Exercices corrigés sur les notions de logique en 1ʳᵉ Bac SM au Maroc

On pose $E=\{1\,;2\,;3\}$. Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes, en détaillant l'énumération.

1. $(\forall x\in E)(\exists y\in E)\;x+y\leqslant4$.

2. $(\exists y\in E)(\forall x\in E)\;x+y\leqslant4$.

3. $(\forall x\in E)(\forall y\in E)\;xy\leqslant6$.

4. $(\exists x\in E)(\exists y\in E)\;x+y=5$.

5. $(\forall x\in E)(\exists!\,y\in E)\;x+y=4$.

   Écrire enfin la négation de la proposition 3 et la vérifier.

On note $\mathbb{I}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ l'ensemble des nombres irrationnels. On admet que $\sqrt2\in\mathbb{I}$.

On considère

1. Démontrer $B$.

2. Écrire $\overline{C}$ et déterminer la valeur de vérité de $C$.

3. Démontrer $D$.

4. La proposition $(\forall x\in\mathbb{Q}^{*})(\forall y\in\mathbb{I})\;xy\in\mathbb{I}$ est-elle vraie ? Que se passe-t-il si l'on remplace $\mathbb{Q}^{*}$ par $\mathbb{Q}$ ?

1. Montrer que $(\forall x\in\mathbb{R})\;x^{2}-4x+5>0$, puis en déduire la valeur de vérité de

   $$(\exists x\in\mathbb{R})\;x^{2}-4x+5=0.$$

2. Montrer que $(\exists!\,x\in\mathbb{R})\;x^{2}-4x+4=0$.

3. On pose $E=\{x\in\mathbb{R}\;\mid\;x^{2}\leqslant4\}$. Montrer que

   $$(\exists!\,a\in E)(\forall y\in E)\;y\leqslant a.$$

4. Écrire la négation de $(\exists!\,x\in E)\;P(x)$ en français, sans symbole.

Pour chacune des implications suivantes, énoncer la réciproque et la contraposée, puis préciser lesquelles de ces trois propositions sont vraies. Conclure, le cas échéant, à une équivalence.

1. Pour $x\in\mathbb{R}$ : $x=2\Rightarrow x^{2}=4$.

2. Pour $n\in\mathbb{N}$ : $n$ divisible par $6$ $\Rightarrow$ $n$ divisible par $3$.

3. Pour $x\in\mathbb{R}$ : $x^{2}>4\Rightarrow x>2$.

4. Pour $x,y\in\mathbb{R}$ : $xy=0\Rightarrow(x=0\lor y=0)$.

1. Démontrer, sans table de vérité, que

   $$\big[(P\lor Q)\Rightarrow R\big]\;\equiv\;\big[(P\Rightarrow R)\land(Q\Rightarrow R)\big].$$

2. Expliquer en quoi cette loi justifie le raisonnement par disjonction des cas.

3. Démontrer de même que

   $$\big[P\Rightarrow(Q\land R)\big]\;\equiv\;\big[(P\Rightarrow Q)\land(P\Rightarrow R)\big].$$

4. La proposition $\big[(P\land Q)\Rightarrow R\big]\Rightarrow\big[(P\Rightarrow R)\lor(Q\Rightarrow R)\big]$ est-elle une tautologie ?

1. Démontrer que

   $$\big[(P\Rightarrow Q)\land(Q\Rightarrow R)\big]\Rightarrow(P\Rightarrow R)$$

   est une tautologie.

2. La proposition

   $$\big[(P\Rightarrow Q)\land(R\Rightarrow Q)\big]\Rightarrow(P\Rightarrow R)$$

   est-elle une tautologie ? Justifier.

3. La proposition

   $$\big[(P\Rightarrow Q)\land(P\Rightarrow R)\big]\Rightarrow(Q\Rightarrow R)$$

   est-elle une tautologie ? Justifier.

4. Application : on sait que « tout entier divisible par $12$ est divisible par $6$ » et que « tout entier divisible par $6$ est divisible par $3$ ». Qu'en déduit-on, et que ne peut-on pas en déduire ?

Soit $n\in\mathbb{N}$.

1. Démontrer par contraposée que si $n^{2}$ est impair, alors $n$ est impair.

2. Démontrer par contraposée que si $n^{2}$ est divisible par $3$, alors $n$ est divisible par $3$.

3. Soient $x$ et $y$ deux réels positifs. Démontrer par contraposée que si $x\neq y$, alors $\sqrt{x}\neq\sqrt{y}$.

4. Soit $n\in\mathbb{N}$. Démontrer que si $n^{2}+1$ est pair, alors $n$ est impair.

On utilisera le résultat de l'exercice précédent : pour $n\in\mathbb{N}$, si $3$ divise $n^{2}$ alors $3$ divise $n$.

1. Démontrer par l'absurde que $\sqrt3\notin\mathbb{Q}$.

2. Soient $a\in\mathbb{Q}$ et $b\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. Démontrer que $a+b\notin\mathbb{Q}$, puis que $ab\notin\mathbb{Q}$ dès que $a\neq0$.

3. En déduire que $1+\sqrt3$ et $\dfrac{\sqrt3}{2}$ sont irrationnels.

4. Démontrer par l'absurde qu'il n'existe pas d'entiers naturels non nuls $p$ et $q$ tels que $p^{2}=3q^{2}$.

1. Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{Z}$, le produit $n(n+1)(n+2)$ est divisible par $3$.

2. Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $|x|\geqslant x$ et $|x|\geqslant-x$.

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation

   $$|x-1|+|x+2|=5.$$

4. Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{Z}$, l'entier $n^{2}+n$ est pair.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt{x+3}=x+1$.

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\dfrac{x-2}{x+1}\leqslant0$.

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $|2x-1|=x+3$.

4. Expliquer pourquoi « élever au carré » n'est pas, en général, une équivalence, et donner la condition qui la rend valable.

Démontrer par récurrence les propriétés suivantes.

1. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $3$ divise $4^{n}+5$.

2. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $6$ divise $7^{n}-1$.

3. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $7$ divise $3^{2n}-2^{n}$.

1. Soit $a$ un réel tel que $a\geqslant-1$. Démontrer par récurrence que

   $$(\forall n\in\mathbb{N})\quad(1+a)^{n}\geqslant1+na.$$

2. En déduire que $2^{n}\geqslant n+1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

3. Démontrer par récurrence que $2^{n}\geqslant n^{2}$ pour tout entier $n\geqslant4$, et vérifier que l'inégalité est fausse pour $n=3$.

On définit une famille de nombres $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ par

1. Calculer $u_{2}$ et $u_{3}$.

2. Démontrer par récurrence double que

   $$(\forall n\in\mathbb{N})\quad u_{n}=3^{\,n+1}-2^{\,n+1}.$$

3. Expliquer pourquoi une récurrence simple ne permettrait pas de conclure ici.

1. Démontrer par récurrence forte que tout entier $n\geqslant2$ admet au moins un diviseur premier.

2. En déduire, toujours par récurrence forte, que tout entier $n\geqslant2$ s'écrit comme un produit de nombres premiers.

3. Expliquer pourquoi une récurrence simple ne convient pas ici.

Pour $n\in\mathbb{N}^{*}$, on pose $v_{n}=n\times n!$.

1. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$,

   $$v_{n}=(n+1)!-n!.$$

2. En déduire, sans récurrence, que

   $$\sum_{k=1}^{n}k\times k!=(n+1)!-1.$$

3. Retrouver ce résultat par récurrence.

4. Calculer $\displaystyle\sum_{k=1}^{6}k\times k!$.

1. Soit $n\in\mathbb{N}^{*}$. Montrer que

   $$n^{2}<n^{2}+1<(n+1)^{2},$$

   puis en déduire, par l'absurde, que $\sqrt{n^{2}+1}\notin\mathbb{N}$.

2. Soit $n\in\mathbb{N}^{*}$. Montrer que $\sqrt{n^{2}+n}\notin\mathbb{N}$.

3. Soit $n\in\mathbb{N}$. Montrer que $\sqrt{n^{2}+2n+2}\notin\mathbb{N}$.

4. La proposition « $(\forall n\in\mathbb{N}^{*})\;\sqrt{n^{2}+3n}\notin\mathbb{N}$ » est-elle vraie ?

1. Montrer que, pour tous réels $a$ et $b$,

   $$|a|\leqslant|b|\iff b^{2}-a^{2}\geqslant0.$$

2. En déduire l'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'inéquation

   $$|x-1|\leqslant|x+3|.$$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ le système

   $$\left\{\begin{array}{l}|x|+|y|=5,\\x-y=1.\end{array}\right.$$

4. Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ le système

   $$\left\{\begin{array}{l}|x-y|=2,\\|x+y|=4.\end{array}\right.$$

1. Étudier le signe sur $\mathbb{R}$ des expressions

   $$f(x)=x^{2}-3x+2\qquad\text{et}\qquad g(x)=|x-1|-2.$$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt{2x+3}=x$.

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt{x+4}-\sqrt{x-1}=1$.

4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\sqrt{x+4}\geqslant x+2$.