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Chapitre 02 Suites numériques Série 8 sur 10

Suites adjacentes — 2ᵉ Bac Sciences Maths

8 exercices corrigés de suites numériques pour le 2ᵉ Bac Sciences Maths, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 57 à 64 de la banque du chapitre.

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Tous les exercices : Suites numériques

Cours et fiche du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

8 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 57 — Encadrer une somme de carrés inverses

Non commencéFacile
35 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : sommes finies · monotonie · suites adjacentes

Objectifs : construire une suite majorante · prouver l'adjacence · encadrer une limite sans la calculer

Pour n≥1n\ge1, on pose

un=∑k=1n1k2,vn=un+1n.u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}, \qquad v_n=u_n+\frac1n.

  1. Montrer que (un)(u_n) est strictement croissante.

  2. Montrer que (vn)(v_n) est strictement décroissante.

  3. Prouver que (un)(u_n) et (vn)(v_n) sont adjacentes.

  4. Si ℓ\ell désigne leur limite commune, donner un encadrement de ℓ\ell d'amplitude inférieure à 10−310^{-3}.

  5. Expliquer pourquoi cet exercice prouve la convergence de ∑1/k2\sum 1/k^2 sans connaître la valeur de sa somme.

Exercice 58 — Deux suites couplées à limite explicite

Non commencéFacile
35 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : récurrence double · suite géométrique · suites adjacentes

Objectifs : identifier un invariant · étudier l'écart · obtenir deux formes explicites

On définit

u0=0,v0=3,u_0=0,\qquad v_0=3,

et, pour tout nn,

un+1=2un+vn3,vn+1=un+2vn3.u_{n+1}=\frac{2u_n+v_n}{3}, \qquad v_{n+1}=\frac{u_n+2v_n}{3}.

  1. Montrer que un≤vnu_n\le v_n.

  2. Montrer que (un)(u_n) est croissante et (vn)(v_n) décroissante.

  3. Étudier sn=un+vns_n=u_n+v_n et dn=vn−und_n=v_n-u_n.

  4. Déterminer unu_n et vnv_n.

  5. Conclure que les deux suites sont adjacentes et préciser leur limite commune.

Exercice 59 — Moyennes arithmétique et géométrique

Non commencéIntermédiaire
45 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : inégalité arithmético-géométrique · récurrence double · suites adjacentes

Objectifs : prouver un encadrement récursif · estimer un écart · définir une limite commune non élémentaire

On part de a0=1a_0=1 et b0=4b_0=4, puis

an+1=anbn,bn+1=an+bn2.a_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}, \qquad b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}.

  1. Montrer que 0<an≤bn0<a_n\le b_n pour tout nn.

  2. Montrer que (an)(a_n) est croissante et (bn)(b_n) décroissante.

  3. Établir

    0≤bn+1−an+1≤12(bn−an).0\le b_{n+1}-a_{n+1}\le\frac12(b_n-a_n).

  4. Prouver que les deux suites sont adjacentes.

  5. Encadrer leur limite commune MM après quatre itérations, sans chercher une formule fermée.

Exercice 60 — Deux suites encadrant 5\sqrt5

Non commencéIntermédiaire
45 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : racine carrée · récurrence · suites adjacentes

Objectifs : construire des bornes d'une racine · prouver une convergence quadratique · calculer des approximations rationnelles

On pose

a0=3,an+1=12(an+5an),bn=5an.a_0=3,\qquad a_{n+1}=\frac12\left(a_n+\frac5{a_n}\right), \qquad b_n=\frac5{a_n}.

  1. Montrer que an≥5a_n\ge\sqrt5 et 0<bn≤50<b_n\le\sqrt5.

  2. Montrer que (an)(a_n) décroît et (bn)(b_n) croît.

  3. Prouver que (an)(a_n) et (bn)(b_n) sont adjacentes.

  4. Établir

    an+1−5=(an−5)22an.a_{n+1}-\sqrt5 =\frac{(a_n-\sqrt5)^2}{2a_n}.

  5. Calculer a1a_1, a2a_2 et en déduire un encadrement rationnel de 5\sqrt5.

Exercice 61 — Deux radicaux emboîtés vers le même point fixe

Non commencéFacile
35 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : racine carrée · intervalle stable · suites adjacentes

Objectifs : itérer une fonction croissante · comparer deux orbites · obtenir une contraction

On définit

u0=0,v0=3,u_0=0,\qquad v_0=3,

et

un+1=3+2un,vn+1=3+2vn.u_{n+1}=\sqrt{3+2u_n}, \qquad v_{n+1}=\sqrt{3+2v_n}.

  1. Vérifier que [0,3][0,3] est stable par f(x)=3+2xf(x)=\sqrt{3+2x}.

  2. Montrer que un≤vnu_n\le v_n.

  3. Montrer que (un)(u_n) est croissante et que (vn)(v_n) est constante.

  4. Établir

    0≤vn+1−un+1≤12(vn−un).0\le v_{n+1}-u_{n+1}\le\frac12(v_n-u_n).

  5. En déduire l'adjacence et la limite commune.

Exercice 62 — Encadrer 103\sqrt[3]{10} par une itération

Non commencéDifficile
50 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : racine cubique · identités remarquables · suites adjacentes

Objectifs : analyser une récurrence rationnelle · construire une borne inférieure · prouver une convergence vers une racine

On pose r=103r=\sqrt[3]{10},

a0=3,an+1=2an+10/an23,bn=10an2.a_0=3,\qquad a_{n+1}=\frac{2a_n+10/a_n^2}{3}, \qquad b_n=\frac{10}{a_n^2}.

  1. Montrer que an≥ra_n\ge r et 0<bn≤r0<b_n\le r.

  2. Montrer que (an)(a_n) décroît et (bn)(b_n) croît.

  3. Prouver que les deux suites ont pour limite rr.

  4. Établir l'identité

    an+1−r=(an−r)2(2an+r)3an2.a_{n+1}-r =\frac{(a_n-r)^2(2a_n+r)}{3a_n^2}.

  5. Calculer a1a_1 et b1b_1 pour encadrer rr.

Exercice 63 — Sommes alternées et sous-suites adjacentes

Non commencéIntermédiaire
45 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : sommes finies · parité · suites adjacentes

Objectifs : regrouper des termes deux à deux · étudier des sommes partielles · prouver une convergence sans formule fermée

Pour n≥0n\ge0, on pose

Sn=∑k=0n(−1)kk+1.S_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k+1}.

  1. Écrire S2n+1−S2n−1S_{2n+1}-S_{2n-1} pour n≥1n\ge1 et en déduire le sens de variation de (S2n+1)(S_{2n+1}).

  2. Étudier de même (S2n)(S_{2n}).

  3. Montrer que S2n+1≤S2nS_{2n+1}\le S_{2n}.

  4. Calculer S2n−S2n+1S_{2n}-S_{2n+1} et conclure.

  5. Si ℓ\ell est la limite commune, donner un encadrement de ℓ\ell d'amplitude inférieure à 10−210^{-2}.

Exercice 64 — Une paire adjointe issue des factorielles

Non commencéIntermédiaire
45 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : factorielle · sommes finies · suites adjacentes

Objectifs : manipuler des différences de sommes · construire un reste majorant · définir une constante par convergence

Pour n≥1n\ge1, on définit

un=∑k=0n1k!,vn=un+1n n!.u_n=\sum_{k=0}^{n}\frac1{k!}, \qquad v_n=u_n+\frac1{n\,n!}.

  1. Montrer que (un)(u_n) est strictement croissante.

  2. Montrer que (vn)(v_n) est strictement décroissante.

  3. Prouver que les deux suites sont adjacentes.

  4. Si EE désigne leur limite commune, encadrer EE à l'aide de u6u_6 et v6v_6.

  5. Montrer que l'amplitude de cet encadrement est inférieure à 2,4×10−42{,}4\times10^{-4}.

Les 10 séries du chapitre

80 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.

  1. 1 Prise en main Exercices 1 à 8
  2. 2 Suites arithmétiques et géométriques Exercices 9 à 16
  3. 3 Limites et encadrements Exercices 17 à 24
  4. 4 Récurrences affines et suites auxiliaires Exercices 25 à 32
  5. 5 Monotonie, bornes et convergence Exercices 33 à 40
  6. 6 Récurrences et intervalles stables Exercices 41 à 48
  7. 7 Homographies et points fixes Exercices 49 à 56
  8. 8 Suites adjacentes Exercices 57 à 64 · page courante
  9. 9 Sommes, produits et moyennes Exercices 65 à 72
  10. 10 Synthèse Bac Sciences Maths Exercices 73 à 80