Aller au contenu
🇫🇷 France 🇲🇦 Maroc

Chapitre 01 Limites et continuité Série 11 sur 15

Synthèse Bac Sciences Maths — 2ᵉ Bac Sciences Maths

8 exercices corrigés de limites et continuité pour le 2ᵉ Bac Sciences Maths, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 73 à 80 de la banque du chapitre.

Conforme au programme officiel 2026-2027 · notre méthode de vérification

Tous les exercices : Limites et continuité

Cours et fiche du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

8 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 73 — Une image finie impose une fonction constante

Non commencéFacile
25 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : théorème des valeurs intermédiaires · continuité sur un intervalle

Objectifs : raisonner par contradiction avec le TVI · exploiter une contrainte algébrique sur l'image

Soit ff une fonction continue sur l'intervalle [−2,3][-2,3] telle que

f(x)∈{−1,0,2}pour tout x∈[−2,3].f(x)\in\{-1,0,2\} \qquad\text{pour tout }x\in[-2,3].

  1. Supposons qu'il existe u,v∈[−2,3]u,v\in[-2,3] tels que f(u)≠f(v)f(u)\neq f(v). En considérant le milieu des deux nombres f(u)f(u) et f(v)f(v), obtenir une contradiction avec le théorème des valeurs intermédiaires.

  2. En déduire que ff est constante sur [−2,3][-2,3].

  3. Application : une fonction FF, continue sur [0,4][0,4], vérifie

    (F(x)+1)F(x)(F(x)−2)=0(F(x)+1)F(x)(F(x)-2)=0

    pour tout x∈[0,4]x\in[0,4], ainsi que F(1)=2F(1)=2. Déterminer F(x)F(x) pour tout x∈[0,4]x\in[0,4].

Exercice 74 — Le croisement de deux fonctions continues

Non commencéFacile
30 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : théorème des valeurs intermédiaires · continuité d'une différence

Objectifs : transformer un croisement en recherche de zéro · combiner existence et résolution exacte

Soient ff et gg deux fonctions continues sur un segment [a,b][a,b] telles que

f(a)⩽g(a)etf(b)⩾g(b).f(a)\leqslant g(a) \qquad\text{et}\qquad f(b)\geqslant g(b).

  1. En introduisant h=f−gh=f-g, montrer qu'il existe c∈[a,b]c\in[a,b] tel que f(c)=g(c)f(c)=g(c).

  2. On considère maintenant, sur [0,3][0,3],

    f(x)=x+1+1etg(x)=4−x2.f(x)=\sqrt{x+1}+1 \qquad\text{et}\qquad g(x)=4-\frac{x}{2}.

    Vérifier que les hypothèses de la première question sont satisfaites.

  3. Montrer que le point de croisement est unique, puis déterminer exactement son abscisse.

Exercice 75 — Réciproque d'une fonction avec racine

Non commencéIntermédiaire
35 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : fonction racine carrée · résolution d'une équation du second degré

Objectifs : établir une bijection sur un intervalle non borné · calculer une réciproque radicale

On considère la fonction

f(x)=x+xf(x)=x+\sqrt{x}

définie sur I=[0,+∞[I=[0,+\infty[.

  1. Montrer que ff est continue et strictement croissante sur II.

  2. Déterminer f(I)f(I) et justifier que ff est bijective de II sur II.

  3. Pour y⩾0y\geqslant0, résoudre y=x+xy=x+\sqrt{x} en posant t=xt=\sqrt{x}.

  4. En déduire une expression de f−1(y)f^{-1}(y), puis calculer f−1(6)f^{-1}(6).

Exercice 76 — Une fonction continue non nulle garde son signe

Non commencéFacile
30 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : théorème des valeurs intermédiaires · forme canonique d'un trinôme

Objectifs : prouver une conservation du signe · discuter un paramètre sans outil de variation avancé

Soit II un intervalle et soit ff une fonction continue sur II telle que

f(x)≠0pour tout x∈I.f(x)\neq0 \qquad\text{pour tout }x\in I.

  1. Montrer, par contradiction et à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires, que ff garde un signe constant sur II : elle est partout strictement positive ou partout strictement négative.

  2. Pour λ∈R\lambda\in\mathbb R, on définit sur [0,1][0,1]

    qλ(x)=x2−x+λ.q_\lambda(x)=x^2-x+\lambda.

    Écrire qλ(x)q_\lambda(x) sous forme canonique et encadrer ses valeurs sur [0,1][0,1].

  3. Déterminer toutes les valeurs de λ\lambda pour lesquelles qλq_\lambda ne s'annule pas sur [0,1][0,1]. Préciser alors son signe.

Exercice 77 — Précision d'une dichotomie

Non commencéIntermédiaire
35 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : dichotomie · puissances de deux

Objectifs : prévoir le nombre d'itérations · effectuer des calculs de signe exacts

On considère sur [1,2][1,2] la fonction

q(x)=x3−2x−2.q(x)=x^3-2x-2.

  1. Montrer que q(x)=0q(x)=0 possède une unique solution β\beta dans ]1,2[]1,2[.

  2. Déterminer le plus petit entier nn tel qu'après nn étapes de dichotomie l'intervalle obtenu ait une amplitude strictement inférieure à 10−210^{-2}.

  3. Effectuer quatre étapes de dichotomie à partir de [1,2][1,2] et donner un encadrement exact de β\beta.

Exercice 78 — Lire des informations sur une réciproque

Non commencéFacile
18 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : définition d'une fonction réciproque · stricte monotonie

Objectifs : utiliser une table de valeurs d'une bijection · transporter un encadrement par la réciproque

Une fonction ff est continue et strictement croissante sur [−2,3][-2,3]. On sait que

f(−2)=1,f(0)=4,f(3)=10.f(-2)=1,\qquad f(0)=4,\qquad f(3)=10.

On note g=f−1g=f^{-1}.

  1. Préciser l'ensemble de définition de gg et son sens de variation.

  2. Calculer g(1)g(1), g(4)g(4) et g(10)g(10).

  3. Encadrer g(6)g(6).

  4. Résoudre dans [1,10][1,10] les équations g(y)=0g(y)=0 et g(y)=3g(y)=3.

Exercice 79 — Une famille d'homographies selon un paramètre

Non commencéDifficile
45 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : fonction homographique · théorème de la fonction réciproque

Objectifs : discuter une monotonie selon un paramètre · déterminer une image et une réciproque paramétrées

Soit a>0a>0. On définit sur I=[0,+∞[I=[0,+\infty[

fa(x)=ax+1x+a.f_a(x)=\frac{ax+1}{x+a}.

  1. Vérifier que faf_a est continue sur II.

  2. Pour 0⩽x<y0\leqslant x<y, établir

    fa(y)−fa(x)=(a2−1)(y−x)(y+a)(x+a).f_a(y)-f_a(x)=\frac{(a^2-1)(y-x)}{(y+a)(x+a)}.

    En déduire le sens de variation de faf_a selon que 0<a<10<a<1, a=1a=1 ou a>1a>1.

  3. Pour a≠1a\neq1, déterminer Ja=fa(I)J_a=f_a(I) et montrer que faf_a est bijective de II sur JaJ_a.

  4. Calculer fa−1(y)f_a^{-1}(y) pour y∈Jay\in J_a.

  5. Résoudre dans II l'équation fa(x)=xf_a(x)=x pour tout a>0a>0.

Exercice 80 — Encadrer une fonction réciproque à l'infini

Non commencéDifficile
45 min
Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : fonction réciproque · théorème d'encadrement

Objectifs : transporter des inégalités par une bijection · calculer une limite par encadrement

Soit f:[0,+∞[→[0,+∞[f:[0,+\infty[\to[0,+\infty[ une fonction continue, strictement croissante et bijective. On suppose que, pour tout x⩾0x\geqslant0,

x2⩽f(x)⩽x2+x.x^2\leqslant f(x)\leqslant x^2+x.

On note g=f−1g=f^{-1}.

  1. Justifier que gg est continue et strictement croissante sur [0,+∞[[0,+\infty[.

  2. Pour y⩾0y\geqslant0, poser x=g(y)x=g(y) et montrer que

    1+4y−12⩽g(y)⩽y.\frac{\sqrt{1+4y}-1}{2}\leqslant g(y)\leqslant\sqrt y.

  3. En déduire

    lim⁡y→+∞g(y)y=1.\lim_{y\to+\infty}\frac{g(y)}{\sqrt y}=1.

  4. Montrer que g(0)=0g(0)=0.

Les 15 séries du chapitre

120 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.

  1. 1 Prise en main Exercices 1 à 8
  2. 2 Fractions et asymptotes Exercices 9 à 16
  3. 3 Racines carrées et conjugués Exercices 17 à 24
  4. 4 Racines n-ièmes et puissances rationnelles Exercices 25 à 32
  5. 5 Limites difficiles et raccordements Exercices 113 à 120
  6. 6 Continuité et image d'un intervalle Exercices 33 à 40
  7. 7 TVI, dichotomie et fonctions réciproques Exercices 41 à 48
  8. 8 Arctangente : fondements et identités Exercices 49 à 56
  9. 9 Arctangente : équations et limites Exercices 57 à 64
  10. 10 Continuité avancée et points fixes Exercices 65 à 72
  11. 11 Synthèse Bac Sciences Maths Exercices 73 à 80 · page courante
  12. 12 Raccordements, prolongements et images Exercices 81 à 88
  13. 13 TVI, paramètres et dichotomie Exercices 89 à 96
  14. 14 Arctangente, bijections et synthèse Exercices 97 à 104
  15. 15 Partie entière, produits et fonctions inverses Exercices 105 à 112