Chapitre 01 Limites et continuité Série 9 sur 15

Arctangente : équations et limites — 2ᵉ Bac Sciences Maths

8 exercices corrigés de limites et continuité pour le 2ᵉ Bac Sciences Maths, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 57 à 64 de la banque du chapitre.

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Tous les exercices : Limites et continuité

Cours et fiche du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

8 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 57 — Équations et inéquations directes

Non commencéFacile

16 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : croissance stricte de arctan · valeurs remarquables de la tangente

Objectifs : résoudre une équation avec arctan · transporter une inégalité par monotonie · résoudre un encadrement double

Résoudre dans $\mathbb R$ :

$\displaystyle \arctan(2x-1)=\frac\pi6$ .
$\displaystyle \arctan(3-x)\le\frac\pi4$ .
$\displaystyle -\frac\pi6<\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right)<\frac\pi4$ .

Exercice 58 — Une somme symétrique de deux arctangentes

Non commencéFacile

20 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : formule d'addition de la tangente · croissance de arctan · forme canonique d'un trinôme

Objectifs : contrôler globalement une branche d'arctangente · déterminer une image sans dérivation · résoudre une équation avec une somme d'arctangentes

Pour $x\in\mathbb R$ , on pose

F(x)=\arctan x+\arctan(1-x).

Montrer que $x(1-x)\leqslant\dfrac14<1$ , puis établir, en contrôlant la branche,
$F(x)=\arctan\left(\frac1{x^2-x+1}\right).$
Montrer que $F(1-x)=F(x)$ , puis déterminer l'image $F(\mathbb R)$ sans utiliser de dérivée.
Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation
$F(x)=\frac\pi4.$

Exercice 59 — Comparer une somme à pi sur deux

Non commencéFacile

18 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : croissance stricte de arctan · identité avec deux nombres réciproques

Objectifs : étudier la monotonie d'une somme sans dérivée · repérer une valeur seuil · résoudre une inéquation globale

Résoudre dans $\mathbb R$ l'inéquation

\arctan x+\arctan(x+1)<\frac\pi2.

Exercice 60 — Une identité de demi-angle avec une racine

Non commencéFacile

20 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : sinus et cosinus d'un arctan · formule trigonométrique de l'angle moitié

Objectifs : encadrer une expression avec une racine · transformer un arctan par un demi-angle · contrôler la branche d'une composition

Pour $x\in\mathbb R$ , on pose

u(x)=\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}.

Montrer que $u$ est définie sur $\mathbb R$ et que
$-1<u(x)<1.$
En posant $\theta=\arctan x$ , établir
$u(x)=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\tan\left(\frac\theta2\right),$
puis démontrer, avec le contrôle de branche,
$\arctan(u(x))=\frac12\arctan x.$
En déduire la valeur exacte de $\arctan(\sqrt2-1)$ .
Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation
$\arctan(u(x))=\frac\pi{12}.$

Exercice 61 — La limite fondamentale de arctan en zéro

Non commencéFacile

22 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : limite de sin t sur t en zéro · changement de variable dans une limite

Objectifs : démontrer une limite de référence sans dérivée · composer des limites · traiter une différence d'arctangentes

En posant $t=\arctan u$ , démontrer sans dérivation que
$\lim_{u\to0}\frac{\arctan u}{u}=1.$
Calculer :
$L_1=\lim_{x\to0}\frac{\arctan(4x)}x,\qquad L_2=\lim_{x\to0}\frac{\arctan(3x)-\arctan x}{x},$ $L_3=\lim_{x\to0}\frac{\arctan(x^2)}{1-\cos x}.$

Exercice 62 — Préciser l'approche des asymptotes horizontales

Non commencéIntermédiaire

28 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : identité arctan x plus arctan de un sur x · limite fondamentale de arctan en zéro · formule de différence

Objectifs : transformer une limite à l'infini en limite en zéro · gérer les signes à moins l'infini · évaluer une différence d'arctangentes

Calculer, sans utiliser de dérivée :

L_1=\lim_{x\to+\infty}x\left(\frac\pi2-\arctan(3x)\right),

L_2=\lim_{x\to-\infty}x\left(\frac\pi2+\arctan(2x)\right),

L_3=\lim_{x\to+\infty}x^2\bigl(\arctan(x+2)-\arctan x\bigr).

Exercice 63 — Une famille symétrique paramétrée

Non commencéIntermédiaire

30 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : continuité et croissance de arctan · identité des arguments réciproques

Objectifs : étudier une fonction sans dérivée · exploiter une symétrie · résoudre une équation paramétrée

Soit $a>0$ . On définit sur $\mathbb R$

F_a(x)=\arctan(x-a)+\arctan(x+a).

Montrer que $F_a$ est continue, strictement croissante et impaire.
Calculer ses limites en $-\infty$ et en $+\infty$ .
Résoudre $F_a(x)=0$ .
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations
$F_a(x)=\frac\pi2\qquad\text{et}\qquad F_a(x)=-\frac\pi2.$

Exercice 64 — Synthèse : continuité, bijection, réciproque et limite

Non commencéDifficile

42 min

Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : fonction homographique · théorème de la fonction réciproque · limite fondamentale de arctan

Objectifs : prouver une monotonie algébriquement · déterminer et exploiter une fonction réciproque · résoudre une équation exacte · calculer une limite de synthèse

On pose $I=]-1,+\infty[$ et, pour $x\in I$ ,

h(x)=\frac{x-1}{x+1},\qquad f(x)=\arctan(h(x)).

Montrer algébriquement que $h$ est strictement croissante sur $I$ , puis déterminer $h(I)$ .
En déduire que $f$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à préciser.
Déterminer $f^{-1}(y)$ pour tout $y\in J$ .
Résoudre exactement $f(x)=\pi/12$ .
Calculer les limites de $f^{-1}(y)$ lorsque $y\to-\pi/2^+$ et lorsque $y\to\pi/4^-$ .
Calculer, sans dérivation,
$\lim_{x\to+\infty}x\left(\frac\pi4-f(x)\right).$

Les 15 séries du chapitre

120 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.