Calcul intégral

I. Notion d'intégrale

1. Aire sous une courbe

Comment calculer l'aire exacte de la surface délimitée par une courbe, l'axe des abscisses et deux droites verticales ?

Le chapitre sur les suites a montré comment approcher cette aire par des sommes de rectangles (sommes de Riemann). L'intégrale donne la valeur exacte.

2. Définition

Intégrale

Soit

f

une fonction continue sur

[a, b]

. L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est le nombre réel noté :

\int_{a}^{b} f (x) d x

• Si

f \geq 0

: c'est l'aire sous la courbe entre

a

b

.
• Si

f

change de signe : c'est la somme algébrique des aires (positif au-dessus de l'axe, négatif en dessous).

3. Conventions

Conventions

\int_{a}^{a} f (x) d x = 0 \int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x

II. Propriétés de l'intégrale

1. Linéarité

Linéarité

\int_{a}^{b} (f (x) + g (x)) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x

\int_{a}^{b} λ f (x) d x = λ \int_{a}^{b} f (x) d x

2. Relation de Chasles

Relation de Chasles

Pour tout

c

entre

a

b

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x

3. Positivité et comparaison

Positivité

f \geq 0

sur

[a, b]

(

a \leq b

) :

\int_{a}^{b} f (x) d x \geq 0

.

Si

f \leq g

sur

[a, b]

\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x

\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x

4. Encadrement

Encadrement d'une intégrale

m \leq f (x) \leq M

sur

[a, b]

(

a \leq b

) :

m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a)

5. Valeur moyenne

Valeur moyenne

La valeur moyenne de

f

sur

[a, b]

est :

μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

Interprétation : c'est la hauteur du rectangle de base

[a, b]

ayant la même aire que la surface sous la courbe.

III. Théorème fondamental

1. Fonction intégrale

Fonction intégrale

Soit

f

continue sur un intervalle

I

a \in I

. On définit :

F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

Théorème fondamental de l'analyse

F^{'} (x) = f (x)

F

est une primitive de

f

et vérifie

F (a) = 0

Idée de démonstration

F^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} = lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t

.

Pour

h

petit,

f (t) \approx f (x)

sur

[x, x + h]

, donc

\int_{x}^{x + h} f (t) d t \approx h \cdot f (x)

.

D'où

F^{'} (x) = f (x)

2. Lien intégrale — primitive

Calcul d'une intégrale par une primitive

F

est une primitive de

f

sur

[a, b]

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) = [F (x)]_{a}^{b}

Démonstration

Toute primitive de

f

s'écrit

F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t + C

.

Donc

F (b) - F (a) = \int_{a}^{b} f (t) d t + C - C = \int_{a}^{b} f (t) d t

IV. Primitives

1. Définition

Primitive

F

est une primitive de

f

sur

I

F^{'} = f

sur

I

.

Toutes les primitives de

f

sont de la forme

F + C

(

C \in R

2. Primitives usuelles

$f (x)$	$F (x)$	Condition
$k$	$k x$
$x^{n}$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$	$n \neq = - 1$
$\frac{1}{x ^{2}}$	$- \frac{1}{x}$	$x \neq = 0$
$\frac{1}{x}$	$2 x$	$x > 0$
$e^{x}$	$e^{x}$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣$	$x \neq = 0$
$cos x$	$sin x$
$sin x$	$- cos x$

3. Primitives des composées

$f (x)$	$F (x)$	Condition
$u^{'} u^{n}$	$\frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$	$n \neq = - 1$
$\frac{u ^{'}}{u}$	$ln ∣ u ∣$	$u \neq = 0$
$\frac{u ^{'}}{u ^{2}}$	$- \frac{1}{u}$	$u \neq = 0$
$\frac{u ^{'}}{2 u}$	$u$	$u > 0$
$u^{'} e^{u}$	$e^{u}$
$u^{'} cos u$	$sin u$
$u^{'} sin u$	$- cos u$

V. Calcul d'intégrales

1. Intégrales directes

Exemples

\int_{0}^{1} x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3}

\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x = [ln x]_{1}^{e} = ln (e) - ln (1) = 1

\int_{0}^{π} sin x d x = [- cos x]_{0}^{π} = - (- 1) - (- 1) = 2

\int_{0}^{1} e^{x} d x = [e^{x}]_{0}^{1} = e - 1

2. Avec linéarité

Exemple

\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) d x = [x^{3} - 2 x^{2} + x]_{0}^{2} = (8 - 8 + 2) - 0 = 2

3. Avec composées

Exemples

\int_{0}^{1} 2 x e^{x^{2}} d x = [e^{x^{2}}]_{0}^{1} = e - 1

\int_{1}^{2} \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = [ln (x^{2} + 1)]_{1}^{2} = ln 5 - ln 2

\int_{0}^{π /2} cos x sin x d x = [\frac{sin ^{2} x}{2}]_{0}^{π /2} = \frac{1}{2}

VI. Aire entre deux courbes

Formule

L'aire entre les courbes de

f

g

sur

[a, b]

est :

A = \int_{a}^{b} f (x) - g (x) d x

f \geq g

sur

[a, b]

A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x

.

Si les courbes se croisent : découper en sous-intervalles.

Exemple

Aire entre

y = x

y = x^{2}

sur

[0, 1]

.

Sur

[0, 1]

x \geq x^{2}

A = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = [\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

VII. Méthodes

M1 — Calculer une intégrale

Méthode

1. Trouver une primitive

F

f

.
2. Calculer

F (b) - F (a)

M2 — Reconnaître $u^{'} f (u)$

Méthode

1. Identifier

u

u^{'}

dans l'intégrande.
2. Vérifier que le reste est bien

f (u)

pour une primitive connue.
3. Ajuster le coefficient si nécessaire.

Exemple

\int_{0}^{1} \frac{x}{x ^{2} + 3} d x

.

On pose

u = x^{2} + 3

u^{'} = 2 x

. L'intégrande est

\frac{1}{2} \cdot \frac{u ^{'}}{u}

= \frac{1}{2} [ln (x^{2} + 3)]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (ln 4 - ln 3) = \frac{1}{2} ln \frac{4}{3}

M3 — Aire

Méthode

1. Déterminer l'intervalle.
2. Étudier le signe de

f

(ou de

f - g

).
3. Découper si changement de signe.
4. Intégrer chaque morceau en valeur absolue.

M4 — Valeur moyenne

Méthode

μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

Exemple

Valeur moyenne de

x^{2}

sur

[0, 3]

μ = \frac{1}{3} \int_{0}^{3} x^{2} d x = \frac{1}{3} \times 9 = 3

M5 — Encadrer une intégrale

Méthode

Trouver

m

M

tels que

m \leq f (x) \leq M

sur

[a, b]

.

Alors

m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a)

$f (x)$	$F (x)$
$k$	$k x$
$x^{n}$ ( $n \neq = - 1$ )	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣$
$e^{x}$	$e^{x}$
$cos x$	$sin x$
$sin x$	$- cos x$
$\frac{1}{x ^{2}}$	$- \frac{1}{x}$
$\frac{1}{x}$	$2 x$

$f (x)$	$F (x)$
$u^{'} u^{n}$ ( $n \neq = - 1$ )	$\frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$
$\frac{u ^{'}}{u}$	$ln ∣ u ∣$
$u^{'} e^{u}$	$e^{u}$
$u^{'} cos u$	$sin u$
$u^{'} sin u$	$- cos u$

40 exercices disponibles

Exercice 1

Facile

Calculer

\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx

Correction détaillée

[x^3]_0^2 = 8

Exercice 2

Facile

Calculer

\displaystyle\int_1^4 5\,dx

Correction détaillée

[5x]_1^4 = 20-5 = 15

Exercice 3

Facile

Calculer

\displaystyle\int_0^3 x\,dx

. Interpréter.

Correction détaillée

[x^2/2]_0^3 = 9/2

. Aire du triangle :

3 \times 3/2 = 9/2

Exercice 4

Facile

Calculer

\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx

Correction détaillée

[e^x]_0^1 = e-1 \approx 1{,}718

Exercice 5

Facile

Calculer

\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx

Correction détaillée

[\ln x]_1^e = 1

Exercice 6

Facile

Calculer

\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx

Correction détaillée

[\sin x]_0^{\pi/2} = 1

Exercice 7

Facile

Calculer

\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx

Correction détaillée

[-\cos x]_0^{\pi} = 1+1 = 2

Exercice 8

Facile

Sans calculer, déterminer le signe de

\displaystyle\int_0^1 (x-2)\,dx

Correction détaillée

Sur

[0;1]

x-2 < 0

. Donc l'intégrale est

< 0

. (Vérif :

-3/2

Exercice 9

Facile

\int_0^3 f = 7

\int_0^1 f = 2

, calculer

\int_1^3 f

Correction détaillée

Chasles :

\int_1^3 = 7-2 = 5

Exercice 10

Facile

Calculer

\displaystyle\int_2^0 x^2\,dx

Correction détaillée

-\int_0^2 x^2\,dx = -8/3

Exercice 11

Intermédiaire

Calculs variés.

\int_1^2 (3x^2-2x+1)\,dx

[x^3-x^2+x]_1^2 = 6-1 = 5

\int_0^{\pi} (2\cos x+1)\,dx

[2\sin x+x]_0^{\pi} = \pi

\int_1^4 1/\sqrt{x}\,dx

[2\sqrt{x}]_1^4 = 4-2 = 2

Exercice 12

Intermédiaire

Aire sous

f(x) = x^2-1

Zéros sur

[-2;2]

x = \pm 1

\int_{-1}^1 |f(x)|\,dx

\int_{-1}^1 (1-x^2)\,dx = 4/3

Exercice 13

Intermédiaire

Linéarité.

\int_0^1 f = 3

\int_0^1 g = -1

\int_0^1 (2f+3g)

6-3 = 3

\int_0^1 (f-g)

3+1 = 4

\int_0^1 5f

15

Exercice 14

Intermédiaire

Parité et intégrales.

f

paire :

\int_{-a}^a f = 2\int_0^a f

Changement

u=-x

sur

[-a;0]

f

impaire :

\int_{-a}^a f = 0

Les deux moitiés se compensent.

\int_{-1}^1 x^4\,dx

\int_{-\pi}^{\pi}\sin x\,dx

2/5

0

Exercice 15

Intermédiaire

Encadrement de

\int_0^1 e^{-x^2}\,dx

Bornes de

e^{-x^2}

sur

[0;1]

e^{-1} \leq e^{-x^2} \leq 1

Encadrement.

1/e \leq I \leq 1

Exercice 16

Intermédiaire

Valeur moyenne de

x^2

sur

[0;3]

\int_0^3 x^2\,dx

9

Valeur moyenne.

\mu = 9/3 = 3

Exercice 17

Intermédiaire

Intégrales de

e^{ax}

\int_0^1 e^{2x}\,dx

(e^2-1)/2

\int_0^{+\infty} e^{-x}\,dx

1

\int_{-1}^1 e^{-3x}\,dx

(e^3-e^{-3})/3

Exercice 18

Intermédiaire

Intégrales trigo.

\int_0^{\pi} \sin(2x)\,dx

0

\int_0^{\pi/4} \cos(3x)\,dx

\sqrt{2}/6

\int_0^{2\pi} \cos x\,dx

. Interpréter.

0

. Oscillation complète.

Exercice 19

Intermédiaire

Aire entre

x^2

x

Intersections.

x = 0

x = 1

Aire sur

[0;1]

\int_0^1(x-x^2)\,dx = 1/6

Exercice 20

Intermédiaire

\int_0^1 1/(1+x^2)\,dx \leq 1

Majorer l'intégrande.

1/(1+x^2) \leq 1

Valeur exacte.

[\arctan x]_0^1 = \pi/4 \approx 0{,}785

Exercice 21

Difficile

Aire sous

e^{-x}

\int_0^A e^{-x}\,dx

1-e^{-A}

\int_0^{+\infty} e^{-x}\,dx

1

\int_0^{+\infty} xe^{-x}\,dx

(IPP).

1

Exercice 22

Difficile

Intégrales avec ln.

\int_1^{e^2} 1/x\,dx

2

\int_2^6 1/x\,dx

\ln 3

\int_1^e (\ln x)/x\,dx

(\ln x)^2/2

1/2

Exercice 23

Difficile

Intégrales de

\sin^2

\cos^2

\int_0^{\pi} \sin^2 x\,dx

\pi/2

\int_0^{\pi/2} \cos^2 x\,dx

\pi/4

\int_0^{2\pi} \sin^2 x\,dx

\pi

Exercice 24

Difficile

Inégalité intégrale.

1 \leq 1+x^2 \leq (1+x)^2

pour

x \geq 0

2x \geq 0

Encadrement de

\int_0^1(1+x^2)\,dx

1 \leq I \leq 7/3

Valeur exacte.

4/3

Exercice 25

Difficile

Valeurs moyennes classiques.

\sin x

sur

[0;\pi]

2/\pi

e^x

sur

[0;1]

e-1

1/x

sur

[1;e]

1/(e-1)

Exercice 26

Difficile

Primitive de

u'/u

\int_0^1 2x/(x^2+1)\,dx

\ln 2

\int_0^{\pi/2} \cos x/(1+\sin x)\,dx

\ln 2

\int_1^2 3x^2/(x^3+1)\,dx

\ln(9/2)

Exercice 27

Difficile

Aire entre

e^x

y = ex

Vérifier que

y = ex

est tangente en

x = 1

g(1) = e = f(1)

g' = e = f'(1)

e^x \geq ex

pour tout

x

h(x) = e^x-ex

, min

h(1) = 0

Aire sur

[0;1]

e/2-1 \approx 0{,}359

Exercice 28

Difficile

Sommes de Riemann pour

x^2

R_n = \sum k^2/n^3

(n-1)n(2n-1)/(6n^3)

\lim R_n

1/3 = \int_0^1 x^2\,dx

Exercice 29

Difficile

\sin x \leq x

et comparaison d'intégrales.

\int_0^{\pi/2}\sin x \leq \int_0^{\pi/2} x

1 \leq \pi^2/8 \approx 1{,}234

Exercice 30

Difficile

\int_{-2}^3 |x|\,dx

Découper.

\int_{-2}^0(-x)\,dx + \int_0^3 x\,dx = 2 + 9/2 = 13/2

Exercice 31

Avancé

Intégrales de Wallis

I_n = \int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx

I_0, I_1, I_2

\pi/2

1

\pi/4

Récurrence

I_n = \dfrac{n-1}{n}I_{n-2}

IPP.

I_3, I_4

2/3

3\pi/16

Exercice 32

Avancé

u_n = \int_0^1 x^n/(1+x)\,dx

0 \leq u_n \leq 1/(n+1)

x^n/(1+x) \leq x^n

\lim u_n

0

u_n + u_{n+1} = 1/(n+1)

x^n(1+x)/(1+x) = x^n

Exercice 33

Avancé

Théorème de la valeur moyenne.

Énoncer.

\exists c \in [a;b]

\int_a^b f = f(c)(b-a)

Application :

\exists c

tel que

\int_0^1 e^x = e^c

e^c = e-1

c = \ln(e-1) \approx 0{,}541

Exercice 34

Avancé

F(t) = \int_0^t e^{-x^2}\,dx

F

croissante.

F' = e^{-t^2} > 0

F(t) \leq t

e^{-x^2} \leq 1

Pour

t \geq 1

F(t) \leq 1+e^{-1}

Queue majorée par

\int_1^\infty e^{-x}\,dx = e^{-1}

Exercice 35

Avancé

Taylor reste intégral pour

e^x

e^x = 1+x+\int_0^x(x-t)e^t\,dt

IPP :

\int_0^x(x-t)e^t\,dt = -x+e^x-1

. Total :

e^x

Exercice 36

Avancé

Intégrale de Gauss : encadrement.

Convergence de

\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx

e^{-x^2} \leq e^{-x}

pour

x \geq 1

Encadrement.

0{,}746 \leq I \leq 1{,}114

. Exact :

\sqrt{\pi}/2 \approx 0{,}886

Exercice 37

Avancé

F(x) = \int_0^x dt/(1+t^2) = \arctan x

F' = 1/(1+x^2)

Théorème fondamental.

Impaire,

\lim_{+\infty} = \pi/2

Changement

t = -u

pour imparité.

Exercice 38

Avancé

Hermite-Hadamard pour

f

convexe.

f((a+b)/2) \leq \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f \leq (f(a)+f(b))/2

Tangente au milieu minore, sécante majore.

Vérifier pour

x^2

sur

[0;2]

1 \leq 4/3 \leq 2

Exercice 39

Avancé

Encadrement de

\ln(n!)

\int_1^n \ln t\,dt = n\ln n - n + 1

Primitive

t\ln t - t

\ln(n!) \sim n\ln n

Encadrement par intégrales, diviser par

n\ln n

Exercice 40

Avancé

Fonction

\Gamma

\Gamma(n) = \int_0^\infty t^{n-1}e^{-t}\,dt

\Gamma(1) = 1

\int_0^\infty e^{-t}\,dt = 1

\Gamma(n+1) = n\Gamma(n)

(IPP).

u = t^n, v' = e^{-t}

\Gamma(n+1) = n!

Par récurrence depuis

\Gamma(1) = 0! = 1

4 problèmes de synthèse

Problème 1 — Aire sous xe^{-x}

Difficile

Étude complète

Variations de

xe^{-x}

Max

1/e

x=1

\int_0^A xe^{-x}\,dx

par IPP.

1-(A+1)e^{-A}

\int_0^\infty xe^{-x}\,dx

1

Encadrer

\int_0^1 xe^{-x}\,dx

1/(2e) \leq I \leq 1/e

. Exact :

1-2/e \approx 0{,}264

Problème 2 — Aire entre x^2 et sqrt(x)

Difficile

Calcul d aire

Intersections.

x = 0

x = 1

\sqrt{x} \geq x^2

sur

[0;1]

Vérifier en

x = 1/4

Aire.

\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)\,dx = 2/3-1/3 = 1/3

Symétrie

f \leftrightarrow g

Fonctions réciproques : même aire par inversion des axes.

Problème 3 — Suite

u_n = \int_0^1 x^n e^x\,dx

Avancé

Suite et intégrale

0 \leq u_n \leq e/(n+1)

x^n e^x \leq e x^n

\lim u_n = 0

Encadrement.

IPP :

u_n = e - n u_{n-1}

u = x^n, v' = e^x

u_0 = e-1

u_1 = 1

u_2 = e-2

Par la relation.

Problème 4 — Volumes de révolution

Avancé

Applications

Cône :

y = x

sur

[0;h]

V = \pi h^3/3

\pi\int_0^h x^2\,dx

Sphère :

y = \sqrt{R^2-x^2}

V = 4\pi R^3/3

\pi\int_{-R}^R(R^2-x^2)\,dx

y = e^{-x}

V = \pi/2

\pi\int_0^\infty e^{-2x}\,dx = \pi/2

Trompette de Gabriel :

y = 1/x

V = \pi

, surface infinie.

\pi\int_1^\infty 1/x^2\,dx = \pi

. Paradoxe.

S'entraîner avec les sujets du bac

Voir les sujets corrigés →

Calcul intégral

I. Notion d'intégrale

1. Aire sous une courbe

2. Définition

3. Conventions

II. Propriétés de l'intégrale

1. Linéarité

2. Relation de Chasles

3. Positivité et comparaison

4. Encadrement

5. Valeur moyenne

III. Théorème fondamental

1. Fonction intégrale

2. Lien intégrale — primitive

IV. Primitives

1. Définition

2. Primitives usuelles

3. Primitives des composées

V. Calcul d'intégrales

1. Intégrales directes

2. Avec linéarité

3. Avec composées

VI. Aire entre deux courbes

VII. Méthodes

M1 — Calculer une intégrale

M2 — Reconnaître u′f(u)

M3 — Aire

M4 — Valeur moyenne

M5 — Encadrer une intégrale

1. Définitions et propriétés

Intégrale

Théorème fondamental et calcul

Primitives usuelles

Primitives composées

Aire entre deux courbes

2. Méthodes

Récapitulatif

Étude complète

Calcul d aire

Suite et intégrale

Applications

S'entraîner avec les sujets du bac

M2 — Reconnaître $u^{'} f (u)$