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I Analyse · Chapitre 12 / 17

Primitives et équations différentielles

Primitives usuelles, y' = ay + b.

8 min de lecture
5 sections, 6 exemples
40 exercices · 4 problèmes

Conforme au programme officiel 2025-2026 · mis à jour le · notre méthode de vérification

L'essentiel en 30 secondes

Une primitive de f est une fonction F telle que F′ = f ; deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. L'équation différentielle y′ = ay + b se résout explicitement : ses solutions sont y(x) = C × e^(ax) − b/a. Ces équations modélisent les phénomènes dont la vitesse d'évolution dépend de l'état présent : refroidissement, populations, radioactivité.

1 I. Compléments sur les primitives

1. Rappel

2. Primitive avec condition initiale

3. Lien avec les intégrales

2 II. Équation différentielle y′=ayy' = ay

1. Définition

2. Résolution

Démonstration
Vérification : Si y(x)=C eaxy(x) = C\,\mathrm{e}^{ax}, alors y′(x)=aC eax=ay(x)y'(x) = aC\,\mathrm{e}^{ax} = ay(x). ✓

Unicité : Soit yy une solution quelconque. Posons g(x)=y(x) e−axg(x) = y(x)\,\mathrm{e}^{-ax}.

g′(x)=y′(x) e−ax−ay(x) e−ax=e−ax(y′−ay)=0g'(x) = y'(x)\,\mathrm{e}^{-ax} - ay(x)\,\mathrm{e}^{-ax} = \mathrm{e}^{-ax}(y' - ay) = 0.

Donc gg est constante : g(x)=Cg(x) = C, soit y(x)=C eaxy(x) = C\,\mathrm{e}^{ax}.

3. Condition initiale

3 III. Équation différentielle y′=ay+by' = ay + b

1. Résolution

2. Condition initiale

3. Exemples

4 IV. Comportement asymptotique

1. Cas y′=ayy' = ay

2. Cas y′=ay+by' = ay + b

5 V. Méthodes

M1 — Résoudre y′=ayy' = ay

M2 — Résoudre y′=ay+by' = ay + b

M3 — Reconnaître la forme

Forme donnéeaabb
y′=3yy' = 3y3300
y′=−2y+5y' = -2y + 5−2-255
y′+4y=7y' + 4y = 7−4-477
2y′=y−62y' = y - 612\dfrac{1}{2}−3-3
y′−y=0y' - y = 01100

M4 — Vérifier une solution

M5 — Modélisation

Ce chapitre est tombé au bac

13 sujets officiels de bac comportent un exercice sur ce chapitre — chaque corrigé est détaillé question par question.

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Questions fréquentes

Comment trouver une primitive d'une fonction ?
On cherche une fonction FF dont la dérivée redonne ff, en lisant le tableau des dérivées à l'envers. Le réflexe indispensable : vérifier son résultat en dérivant FF et en contrôlant qu'on retombe bien sur ff. Toutes les primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.
Comment résoudre l'équation différentielle y' = ay + b ?
Les solutions sont y(x)=Ceax−bay(x) = C e^{ax} - \dfrac{b}{a}, où CC est une constante réelle déterminée par la condition initiale. La démonstration passe par le changement de fonction z=y+baz = y + \dfrac{b}{a}, qui ramène à l'équation z′=azz' = az, dont les solutions sont z=Ceaxz = Ce^{ax}.
Quelle est la différence entre une primitive et une intégrale ?
Une primitive est une FONCTION dont la dérivée est ff ; une intégrale est un NOMBRE, l'aire algébrique sous la courbe entre deux bornes. Les deux sont reliés par ∫abf=F(b)−F(a)\int_a^b f = F(b) - F(a) : la primitive est l'outil, l'intégrale est le résultat.

1. Primitives

2. Équations différentielles

y′=ayy' = ay

y′=ay+by' = ay + b (a≠0a \neq 0)

Comportement asymptotique

Tableau de reconnaissance

Forme donnéeaabb
y′=3yy' = 3y3300
y′=−2y+5y' = -2y + 5−2-255
y′+4y=7y' + 4y = 7−4-477
2y′=y−62y' = y - 612\dfrac{1}{2}−3-3

3. Méthodes

Récapitulatif

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Déterminer une primitive de f(x)=3x2+2x−1f(x) = 3x^2 + 2x - 1.
Correction détaillée
On primitive **terme à terme**, en remontant la règle $(x^n)' = nx^{n-1}$ : - $3x^2$ a pour primitive $x^3$ ; - $2x$ a pour primitive $x^2$ ; - $-1$ a pour primitive $-x$. $$\boxed{F(x) = x^3 + x^2 - x + C, \quad C \in \mathbb{R}}$$ **Vérification :** $F'(x) = 3x^2 + 2x - 1 = f(x)$ ✓
Exercice 2
Facile
Déterminer une primitive de f(x)=x5f(x) = x^5.
Correction détaillée
Pour $f(x) = x^n$ avec $n \neq -1$, une primitive est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ : on **augmente l'exposant de 1**, puis on **divise par le nouvel exposant**. Ici $n = 5$ : $$\boxed{F(x) = \frac{x^6}{6} + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \dfrac{6x^5}{6} = x^5 = f(x)$ ✓
Exercice 3
Facile
Primitive de 1/x1/x sur ]0;+∞[]0;+\infty[.
Correction détaillée
Attention : la règle $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ **ne s'applique pas** ici, car $n = -1$ donnerait une division par zéro. C'est le cas particulier fondamental : par définition du logarithme népérien, $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$. $$\boxed{F(x) = \ln x + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \dfrac{1}{x} = f(x)$ ✓
Exercice 4
Facile
Primitive de exe^x.
Correction détaillée
La fonction exponentielle est **égale à sa propre dérivée** : elle est donc sa propre primitive. $$\boxed{F(x) = e^x + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = e^x = f(x)$ ✓
Exercice 5
Facile
Primitive de cos⁡x\cos x.
Correction détaillée
On remonte la dérivée : $(\sin x)' = \cos x$. $$\boxed{F(x) = \sin x + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \cos x = f(x)$ ✓
Exercice 6
Facile
Primitive de sin⁡x\sin x.
Correction détaillée
On remonte la dérivée : $(\cos x)' = -\sin x$. Il faut donc un **signe moins** pour compenser. $$\boxed{F(x) = -\cos x + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = -(-\sin x) = \sin x = f(x)$ ✓ *Piège classique :* oublier ce signe moins — c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
Exercice 7
Facile
Résoudre y′=0y' = 0.
Correction détaillée
On cherche les fonctions dont la dérivée est nulle **sur un intervalle**. Ce sont exactement les fonctions **constantes**. $$\boxed{y(x) = C, \quad C \in \mathbb{R}}$$ *Remarque :* c'est ce résultat qui justifie que deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante — si $F' = G' = f$, alors $(F-G)' = 0$, donc $F - G$ est constante.
Exercice 8
Facile
Résoudre y′=2xy' = 2x.
Correction détaillée
Il ne s'agit pas d'une équation du type $y' = ay$ : le second membre ne dépend pas de $y$. Résoudre $y' = 2x$ revient donc simplement à **chercher les primitives** de $x \mapsto 2x$. $$\boxed{y(x) = x^2 + C, \quad C \in \mathbb{R}}$$ **Vérification :** $y'(x) = 2x$ ✓
Exercice 9
Facile
Résoudre y′=3yy' = 3y.
Correction détaillée
C'est l'équation $y' = ay$ avec $a = 3$. Ses solutions sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions : $$\boxed{y(x) = C\,e^{3x}, \quad C \in \mathbb{R}}$$ **Vérification :** $y'(x) = 3C\,e^{3x} = 3\,y(x)$ ✓ *À retenir :* le coefficient $a$ se retrouve **en exposant**, pas en facteur devant.
Exercice 10
Facile
Résoudre y′=−2yy' = -2y avec y(0)=5y(0) = 5.
Correction détaillée
**Étape 1 — solutions générales.** C'est $y' = ay$ avec $a = -2$ : $y(x) = C\,e^{-2x}$. **Étape 2 — condition initiale.** Elle sert à déterminer $C$ : $$y(0) = C\,e^{0} = C = 5$$ $$\boxed{y(x) = 5\,e^{-2x}}$$ **Vérification :** $y(0) = 5$ ✓ et $y'(x) = -10e^{-2x} = -2\,y(x)$ ✓
Exercice 11
Intermédiaire
Primitives de fonctions composées avec une fonction affine.
1.
f(x)=e2xf(x) = e^{2x}
Comme $\left(e^{2x}\right)' = 2e^{2x}$, la dérivation fait apparaître un facteur $2$ **en trop**. On le compense en divisant par $2$ : $$\boxed{F(x) = \frac{e^{2x}}{2} + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \dfrac{2e^{2x}}{2} = e^{2x}$ ✓
2.
f(x)=cos⁡(3x)f(x) = \cos(3x)
$\big(\sin(3x)\big)' = 3\cos(3x)$ : on divise donc par $3$. $$\boxed{F(x) = \frac{\sin(3x)}{3} + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \dfrac{3\cos(3x)}{3} = \cos(3x)$ ✓
3.
f(x)=(2x+1)4f(x) = (2x+1)^4
$\Big((2x+1)^5\Big)' = 5 \times 2 \times (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4$ : on divise par $10$. $$\boxed{F(x) = \frac{(2x+1)^5}{10} + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \dfrac{10(2x+1)^4}{10} = (2x+1)^4$ ✓ *Règle générale :* une primitive de $(ax+b)^n$ est $\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}$ — ne pas oublier de diviser par $a$.
Exercice 12
Intermédiaire
Primitives de la forme u′u\dfrac{u'}{u}.
1.
f(x)=2xx2+1f(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}
On reconnaît la forme $\dfrac{u'}{u}$, dont une primitive est $\ln|u|$. Ici $u = x^2+1$ et $u' = 2x$ : le numérateur est **exactement** $u'$. De plus $u > 0$, donc la valeur absolue est inutile. $$\boxed{F(x) = \ln(x^2+1) + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$ ✓
2.
f(x)=cos⁡xsin⁡xf(x) = \dfrac{\cos x}{\sin x} sur ]0 ;π[]0\,;\pi[
Avec $u = \sin x$, on a $u' = \cos x$ : c'est bien la forme $\dfrac{u'}{u}$. Sur $]0\,;\pi[$, $\sin x > 0$ : la valeur absolue est inutile. $$\boxed{F(x) = \ln(\sin x) + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ ✓
3.
f(x)=1x+3f(x) = \dfrac{1}{x+3}
Avec $u = x+3$, on a $u' = 1$ : le numérateur est bien $u'$. $$\boxed{F(x) = \ln|x+3| + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \dfrac{1}{x+3}$ ✓ *Ici la valeur absolue est nécessaire* : $x + 3$ change de signe, et la primitive doit être définie sur chaque intervalle où $f$ l'est.
Exercice 13
Intermédiaire
Primitives de la forme u′ unu'\,u^n.
1.
f(x)=2x(x2+1)3f(x) = 2x(x^2+1)^3
Forme $u'u^n$ avec $u = x^2+1$, $u' = 2x$ et $n = 3$. Une primitive est $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ : $$\boxed{F(x) = \frac{(x^2+1)^4}{4} + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \dfrac{4 \times 2x \times (x^2+1)^3}{4} = 2x(x^2+1)^3$ ✓
2.
f(x)=cos⁡x sin⁡2xf(x) = \cos x \,\sin^2 x
Forme $u'u^n$ avec $u = \sin x$, $u' = \cos x$ et $n = 2$ : $$\boxed{F(x) = \frac{\sin^3 x}{3} + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \dfrac{3\cos x \sin^2 x}{3} = \cos x \sin^2 x$ ✓
3.
f(x)=xx2+4f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}
On reconnaît la forme $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$, dont une primitive est $\sqrt{u}$. Ici $u = x^2+4$ et $u' = 2x$. Or $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{u}} = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ : c'est exactement la bonne forme. $$\boxed{F(x) = \sqrt{x^2+4} + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+4}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ ✓
Exercice 14
Intermédiaire
Primitives de la forme u′ euu'\,e^{u}.
1.
f(x)=2x ex2f(x) = 2x\,e^{x^2}
Forme $u'e^u$ avec $u = x^2$ et $u' = 2x$. Une primitive est $e^u$ : $$\boxed{F(x) = e^{x^2} + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = 2x\,e^{x^2}$ ✓
2.
f(x)=cos⁡(x) esin⁡xf(x) = \cos(x)\,e^{\sin x}
Forme $u'e^u$ avec $u = \sin x$ et $u' = \cos x$ : $$\boxed{F(x) = e^{\sin x} + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \cos x\,e^{\sin x}$ ✓
3.
f(x)=e3x+1f(x) = e^{3x+1}
Ici $u = 3x+1$ et $u' = 3$ : il **manque** le facteur $3$. On le fait apparaître artificiellement : $$e^{3x+1} = \frac{1}{3} \times 3\,e^{3x+1} = \frac{1}{3}\,u'e^{u}$$ $$\boxed{F(x) = \frac{e^{3x+1}}{3} + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \dfrac{3e^{3x+1}}{3} = e^{3x+1}$ ✓
Exercice 15
Intermédiaire
Résoudre y′=kyy' = ky avec une condition initiale.
1.
y′=5yy' = 5y, y(0)=2y(0) = 2.
Solutions générales : $y(x) = C\,e^{5x}$. Condition initiale : $y(0) = C = 2$. $$\boxed{y(x) = 2\,e^{5x}}$$ **Vérification :** $y'(x) = 10e^{5x} = 5\,y(x)$ ✓ et $y(0) = 2$ ✓
2.
y′=−yy' = -y, y(0)=10y(0) = 10.
Ici $a = -1$ : $y(x) = C\,e^{-x}$, et $y(0) = C = 10$. $$\boxed{y(x) = 10\,e^{-x}}$$ **Vérification :** $y'(x) = -10e^{-x} = -y(x)$ ✓
3.
y′=y2y' = \dfrac{y}{2}, y(0)=6y(0) = 6.
Ici $a = \dfrac{1}{2}$ : $y(x) = C\,e^{x/2}$, et $y(0) = C = 6$. $$\boxed{y(x) = 6\,e^{x/2}}$$ **Vérification :** $y'(x) = 3e^{x/2} = \dfrac{1}{2}\,y(x)$ ✓
Exercice 16
Intermédiaire
Déterminer LA primitive vérifiant une condition initiale.
1.
f(x)=3x2f(x) = 3x^2 et F(1)=0F(1) = 0.
**Étape 1 :** toutes les primitives s'écrivent $F(x) = x^3 + C$. **Étape 2 :** la condition initiale fixe $C$ : $F(1) = 1 + C = 0$, donc $C = -1$. $$\boxed{F(x) = x^3 - 1}$$ **Vérification :** $F'(x) = 3x^2$ ✓ et $F(1) = 0$ ✓
2.
f(x)=exf(x) = e^x et F(0)=3F(0) = 3.
$F(x) = e^x + C$, et $F(0) = 1 + C = 3$ donne $C = 2$. $$\boxed{F(x) = e^x + 2}$$ **Vérification :** $F'(x) = e^x$ ✓ et $F(0) = 3$ ✓
3.
f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x} sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ et F(1)=5F(1) = 5.
$F(x) = \ln x + C$, et $F(1) = \ln 1 + C = C = 5$ (car $\ln 1 = 0$). $$\boxed{F(x) = \ln x + 5}$$ **Vérification :** $F'(x) = \dfrac{1}{x}$ ✓ et $F(1) = 5$ ✓
Exercice 17
Intermédiaire
Résoudre les équations du type y′+ay=0y' + ay = 0.
1.
y′+4y=0y' + 4y = 0
On isole $y'$ pour retrouver la forme $y' = ay$ : $$y' = -4y$$ $$\boxed{y(x) = C\,e^{-4x}}$$ **Vérification :** $y' + 4y = -4Ce^{-4x} + 4Ce^{-4x} = 0$ ✓ *Piège :* le signe. Dans $y' + ay = 0$, le coefficient de l'exponentielle est $\boldsymbol{-a}$.
2.
2y′+6y=02y' + 6y = 0
On **divise d'abord par 2** pour se ramener à la forme de référence : $$y' + 3y = 0 \iff y' = -3y$$ $$\boxed{y(x) = C\,e^{-3x}}$$ **Vérification :** $2y' + 6y = -6Ce^{-3x} + 6Ce^{-3x} = 0$ ✓ *Erreur classique :* oublier de diviser par $2$ et écrire $e^{-6x}$.
3.
y′−y=0y' - y = 0
$y' = y$, c'est-à-dire $a = 1$ : $$\boxed{y(x) = C\,e^{x}}$$ **Vérification :** $y' - y = Ce^x - Ce^x = 0$ ✓
Exercice 18
Intermédiaire
On admet que tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} est dérivable là où cos⁡x≠0\cos x \neq 0.
1.
Montrer que (tan⁡x)′=1cos⁡2x(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}.
On dérive le quotient $\dfrac{u}{v}$ avec $u = \sin x$ ($u' = \cos x$) et $v = \cos x$ ($v' = -\sin x$) : $$(\tan x)' = \frac{\cos x \times \cos x - \sin x \times (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$$ Or $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, d'où : $$\boxed{(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}}$$
2.
En déduire ∫0π/4dxcos⁡2x\displaystyle\int_0^{\pi/4} \frac{dx}{\cos^2 x}.
D'après la question 1, $\tan$ est **une primitive** de $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ : $$\int_0^{\pi/4} \frac{dx}{\cos^2 x} = \Big[\tan x\Big]_0^{\pi/4} = \tan\frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1 - 0$$ $$\boxed{\int_0^{\pi/4} \frac{dx}{\cos^2 x} = 1}$$
Exercice 19
Intermédiaire
Une population de bactéries croît selon P′(t)=0,5 P(t)P'(t) = 0{,}5\,P(t), avec P(0)=1000P(0) = 1000 (tt en heures).
1.
Résoudre l'équation.
C'est $y' = ay$ avec $a = 0{,}5$ : $P(t) = C\,e^{0{,}5t}$. La condition initiale donne $P(0) = C = 1000$. $$\boxed{P(t) = 1000\,e^{0{,}5t}}$$ **Vérification :** $P'(t) = 500\,e^{0{,}5t} = 0{,}5\,P(t)$ ✓
2.
Déterminer le temps de doublement.
On cherche $T$ tel que $P(T) = 2\,P(0) = 2000$ : $$1000\,e^{0{,}5T} = 2000 \iff e^{0{,}5T} = 2$$ En composant par $\ln$ : $0{,}5\,T = \ln 2$, donc $$\boxed{T = 2\ln 2 \approx 1{,}39 \text{ h}}$$ *Remarque :* ce temps de doublement **ne dépend pas** de la population initiale — propriété caractéristique de la croissance exponentielle.
3.
Calculer la population au bout de 10 heures.
$$P(10) = 1000\,e^{0{,}5 \times 10} = 1000\,e^{5}$$ $$\boxed{P(10) \approx 148\,413 \text{ bactéries}}$$
Exercice 20
Intermédiaire
Primitives de puissances non entières (sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[).
1.
f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}
On écrit $f(x) = x^{-1/2}$ et on applique $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ avec $n = -\dfrac{1}{2}$ : $$\frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}$$ $$\boxed{F(x) = 2\sqrt{x} + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = 2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ ✓
2.
f(x)=x3/2f(x) = x^{3/2}
Avec $n = \dfrac{3}{2}$ : $n + 1 = \dfrac{5}{2}$. $$\boxed{F(x) = \frac{2}{5}\,x^{5/2} + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{5}{2}\,x^{3/2} = x^{3/2}$ ✓
3.
f(x)=x−3f(x) = x^{-3}
Avec $n = -3$ : $n + 1 = -2$. $$\frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$$ $$\boxed{F(x) = -\frac{1}{2x^2} + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = -\dfrac{1}{2} \times (-2)x^{-3} = x^{-3}$ ✓
Exercice 21
Difficile
On considère l'équation (E):y′=2y+6(E) : y' = 2y + 6.
1.
Déterminer la solution constante de (E)(E).
Si $y$ est constante, alors $y' = 0$, et $(E)$ devient $0 = 2y + 6$ : $$\boxed{y = -3}$$ C'est la **solution d'équilibre** (le terme $-\frac{b}{a} = -\frac{6}{2}$).
2.
Résoudre l'équation homogène associée y′=2yy' = 2y.
$$\boxed{y(x) = C\,e^{2x}, \quad C \in \mathbb{R}}$$
3.
En déduire la solution générale de (E)(E).
Les solutions de $y' = ay + b$ sont la somme des solutions de l'homogène et de la solution constante : $$\boxed{y(x) = C\,e^{2x} - 3, \quad C \in \mathbb{R}}$$ **Vérification :** $y' = 2Ce^{2x}$ et $2y + 6 = 2Ce^{2x} - 6 + 6 = 2Ce^{2x}$ ✓
4.
Déterminer la solution vérifiant y(0)=1y(0) = 1.
$y(0) = C - 3 = 1$, donc $C = 4$. $$\boxed{y(x) = 4\,e^{2x} - 3}$$ **Vérification :** $y(0) = 4 - 3 = 1$ ✓
Exercice 22
Difficile
La désintégration d'un noyau radioactif suit N′(t)=−λ N(t)N'(t) = -\lambda\,N(t), où λ>0\lambda > 0 et N(0)=N0N(0) = N_0.
1.
Résoudre l'équation.
C'est $y' = ay$ avec $a = -\lambda$ : $N(t) = C\,e^{-\lambda t}$, et $N(0) = C = N_0$. $$\boxed{N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}}$$
2.
Déterminer la demi-vie TT (temps au bout duquel la moitié s'est désintégrée).
On cherche $T$ tel que $N(T) = \dfrac{N_0}{2}$ : $$N_0\,e^{-\lambda T} = \frac{N_0}{2} \iff e^{-\lambda T} = \frac{1}{2}$$ En composant par $\ln$ : $-\lambda T = -\ln 2$, d'où $$\boxed{T = \frac{\ln 2}{\lambda}}$$ *Remarque essentielle :* $T$ **ne dépend pas de $N_0$** — c'est ce qui rend la demi-vie caractéristique du noyau.
3.
Pour le carbone 14, T=5730T = 5730 ans. Calculer λ\lambda.
De $T = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$ on tire $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T}$ : $$\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx \boxed{1{,}21 \times 10^{-4}\ \text{an}^{-1}}$$
4.
Un échantillon contient 30 % du carbone 14 initial. Déterminer son âge.
On résout $e^{-\lambda t} = 0{,}30$, soit $-\lambda t = \ln(0{,}30)$ : $$t = \frac{-\ln(0{,}30)}{\lambda} = \frac{\ln\left(\frac{10}{3}\right)}{\lambda} \approx \frac{1{,}204}{1{,}21 \times 10^{-4}}$$ $$\boxed{t \approx 9953 \text{ ans}}$$
Exercice 23
Difficile
Primitives par reconnaissance de forme.
1.
f(x)=exex+1f(x) = \dfrac{e^x}{e^x+1}
Forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u = e^x + 1$ et $u' = e^x$. De plus $u > 0$ toujours. $$\boxed{F(x) = \ln(e^x+1) + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \dfrac{e^x}{e^x+1}$ ✓
2.
f(x)=sin⁡x1+cos⁡xf(x) = \dfrac{\sin x}{1+\cos x} (là où 1+cos⁡x>01 + \cos x > 0)
Posons $u = 1 + \cos x$. Alors $u' = -\sin x$ : le numérateur est $-u'$, et non $u'$. Donc $f = -\dfrac{u'}{u}$, et une primitive est $-\ln u$ : $$\boxed{F(x) = -\ln(1+\cos x) + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = -\dfrac{-\sin x}{1+\cos x} = \dfrac{\sin x}{1+\cos x}$ ✓ *Le signe moins est le piège de cet exercice.*
3.
f(x)=x ex2f(x) = x\,e^{x^2}
Forme $u'e^u$ avec $u = x^2$, mais $u' = 2x$ : il manque le facteur $2$. On écrit $$x\,e^{x^2} = \frac{1}{2} \times 2x\,e^{x^2}$$ $$\boxed{F(x) = \frac{e^{x^2}}{2} + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \dfrac{2x\,e^{x^2}}{2} = x\,e^{x^2}$ ✓
Exercice 24
Difficile
Une cuve contient 10001000 L d'eau pure. On y déverse une solution polluée : la masse m(t)m(t) de polluant (en kg, tt en heures) vérifie m′(t)=−0,2 m(t)+10m'(t) = -0{,}2\,m(t) + 10, avec m(0)=0m(0) = 0.
1.
Déterminer la masse d'équilibre (solution constante).
Une solution constante vérifie $m' = 0$ : $$0 = -0{,}2\,m + 10 \iff m = \frac{10}{0{,}2} = \boxed{50 \text{ kg}}$$
2.
Résoudre l'équation avec la condition initiale.
Les solutions de $y' = ay + b$ sont $y = C\,e^{at} - \dfrac{b}{a}$, ici avec $a = -0{,}2$ et $b = 10$ : $$m(t) = C\,e^{-0{,}2t} + 50$$ La condition $m(0) = 0$ donne $C + 50 = 0$, soit $C = -50$ : $$\boxed{m(t) = 50\left(1 - e^{-0{,}2t}\right)}$$ **Vérification :** $m(0) = 0$ ✓ et $m'(t) = 10\,e^{-0{,}2t} = -0{,}2\,m(t) + 10$ ✓
3.
Au bout de combien de temps la masse atteint-elle 40 kg ?
$$50\left(1 - e^{-0{,}2t}\right) = 40 \iff 1 - e^{-0{,}2t} = 0{,}8 \iff e^{-0{,}2t} = 0{,}2$$ En composant par $\ln$ : $-0{,}2\,t = \ln(0{,}2) = -\ln 5$, d'où $$t = \frac{\ln 5}{0{,}2} = 5\ln 5 \approx \boxed{8{,}05 \text{ heures}}$$
Exercice 25
Difficile
Primitive de ln⁡x\ln x par intégration par parties.
1.
Déterminer une primitive de ln⁡x\ln x sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.
L'astuce : écrire $\ln x = 1 \times \ln x$ et poser $$u = \ln x \ (u' = \tfrac{1}{x}), \qquad v' = 1 \ (v = x)$$ L'IPP donne : $$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x \times \frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx$$ $$\boxed{F(x) = x\ln x - x + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x$ ✓
2.
En déduire ∫1eln⁡x dx\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx.
$$\int_1^e \ln x\,dx = \Big[x\ln x - x\Big]_1^e = (e \times 1 - e) - (1 \times 0 - 1) = 0 - (-1)$$ $$\boxed{\int_1^e \ln x\,dx = 1}$$
Exercice 26
Difficile
Intégration par parties avec l'exponentielle.
1.
Déterminer une primitive de x exx\,e^x.
On pose $u = x$ ($u' = 1$) et $v' = e^x$ ($v = e^x$). On choisit $u = x$ car **$x$ se simplifie en dérivant**. $$\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int e^x\,dx = x\,e^x - e^x + C$$ $$\boxed{F(x) = (x-1)e^x + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = e^x + (x-1)e^x = x\,e^x$ ✓
2.
En déduire ∫01x ex dx\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx.
$$\int_0^1 x\,e^x\,dx = \Big[(x-1)e^x\Big]_0^1 = (0 \times e) - (-1 \times 1) = 0 + 1$$ $$\boxed{\int_0^1 x\,e^x\,dx = 1}$$
3.
Déterminer une primitive de x2exx^2 e^x (double IPP).
Première IPP avec $u = x^2$ ($u' = 2x$) et $v' = e^x$ : $$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - 2\int x\,e^x\,dx$$ Or $\displaystyle\int x\,e^x\,dx = (x-1)e^x$ (question 1). D'où : $$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - 2(x-1)e^x = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$$ $$\boxed{F(x) = (x^2-2x+2)\,e^x + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = (2x-2)e^x + (x^2-2x+2)e^x = x^2 e^x$ ✓
Exercice 27
Difficile
Intégration par parties avec le cosinus.
1.
Déterminer une primitive de xcos⁡xx\cos x.
On pose $u = x$ ($u' = 1$) et $v' = \cos x$ ($v = \sin x$) : $$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$ $$\boxed{F(x) = x\sin x + \cos x + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x$ ✓
2.
En déduire ∫0π/2xcos⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx.
$$\int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx = \Big[x\sin x + \cos x\Big]_0^{\pi/2} = \left(\frac{\pi}{2} \times 1 + 0\right) - \left(0 + 1\right)$$ $$\boxed{\int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx = \frac{\pi}{2} - 1 \approx 0{,}571}$$
Exercice 28
Difficile
Charge d'un condensateur (circuit RC) : la tension u(t)u(t) vérifie u′(t)=−1τu(t)+Eτu'(t) = -\dfrac{1}{\tau}u(t) + \dfrac{E}{\tau}, avec u(0)=0u(0) = 0 (EE et τ>0\tau > 0 constants).
1.
Déterminer la solution constante.
Si $u$ est constante, $u' = 0$ : $$0 = -\frac{u}{\tau} + \frac{E}{\tau} \iff u = \boxed{E}$$ C'est la tension d'équilibre : le condensateur ne peut pas dépasser la tension du générateur.
2.
Résoudre l'équation avec u(0)=0u(0) = 0.
Forme $y' = ay + b$ avec $a = -\dfrac{1}{\tau}$ et $b = \dfrac{E}{\tau}$, donc $-\dfrac{b}{a} = E$ : $$u(t) = C\,e^{-t/\tau} + E$$ La condition $u(0) = 0$ donne $C + E = 0$, soit $C = -E$ : $$\boxed{u(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)}$$ **Vérification :** $u(0) = 0$ ✓ et $u'(t) = \dfrac{E}{\tau}e^{-t/\tau} = -\dfrac{u(t)}{\tau} + \dfrac{E}{\tau}$ ✓
3.
Quelle est la limite de uu en +∞+\infty ? Interpréter.
Quand $t \to +\infty$, $e^{-t/\tau} \to 0$, donc $u(t) \to E$. $$\boxed{\lim_{t \to +\infty} u(t) = E}$$ **Interprétation :** le condensateur se **charge** progressivement jusqu'à la tension du générateur, qu'il atteint asymptotiquement (jamais exactement). La constante $\tau$ mesure la rapidité de la charge : à $t = \tau$, $u = E(1 - e^{-1}) \approx 0{,}63\,E$.
Exercice 29
Difficile
Primitives de fonctions rationnelles simples.
1.
f(x)=1x−2f(x) = \dfrac{1}{x-2}
Forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u = x - 2$ et $u' = 1$ : $$\boxed{F(x) = \ln|x-2| + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \dfrac{1}{x-2}$ ✓ (sur chaque intervalle ne contenant pas $2$).
2.
f(x)=32x+1f(x) = \dfrac{3}{2x+1}
Avec $u = 2x+1$, on a $u' = 2$. On fait apparaître ce $2$ : $$\frac{3}{2x+1} = \frac{3}{2} \times \frac{2}{2x+1} = \frac{3}{2} \times \frac{u'}{u}$$ $$\boxed{F(x) = \frac{3}{2}\ln|2x+1| + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{2}{2x+1} = \dfrac{3}{2x+1}$ ✓
3.
f(x)=x+1xf(x) = \dfrac{x+1}{x} sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[
On **décompose d'abord** la fraction (indispensable : $\dfrac{u'}{u}$ ne s'applique pas ici) : $$\frac{x+1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{x}$$ On primitive alors terme à terme : $$\boxed{F(x) = x + \ln x + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = 1 + \dfrac{1}{x} = \dfrac{x+1}{x}$ ✓
Exercice 30
Difficile
Loi de refroidissement de Newton : la température T(t)T(t) d'un corps vérifie T′(t)=−k(T(t)−20)T'(t) = -k\big(T(t) - 20\big), avec T(0)=90T(0) = 90 (°C) et k>0k > 0.
1.
En posant θ(t)=T(t)−20\theta(t) = T(t) - 20, montrer que θ′=−kθ\theta' = -k\theta, puis exprimer T(t)T(t).
**Le changement de fonction.** $\theta = T - 20$ donne $\theta' = T'$ (la constante disparaît en dérivant). Donc : $$\theta'(t) = T'(t) = -k\big(T(t) - 20\big) = -k\,\theta(t)$$ On est ramené à $y' = ay$ ! Donc $\theta(t) = C\,e^{-kt}$, avec $\theta(0) = T(0) - 20 = 70$, soit $C = 70$. $$\boxed{T(t) = 20 + 70\,e^{-kt}}$$ **Vérification :** $T(0) = 90$ ✓ et $T'(t) = -70k\,e^{-kt} = -k(T - 20)$ ✓
2.
Sachant que T(10)=60T(10) = 60, déterminer kk.
$$20 + 70\,e^{-10k} = 60 \iff e^{-10k} = \frac{40}{70} = \frac{4}{7}$$ En composant par $\ln$ : $-10k = \ln\left(\dfrac{4}{7}\right)$, donc $$k = \frac{1}{10}\ln\left(\frac{7}{4}\right) \approx \boxed{0{,}056}$$
3.
Au bout de combien de temps la température atteint-elle 25 °C ?
$$20 + 70\,e^{-kt} = 25 \iff e^{-kt} = \frac{5}{70} = \frac{1}{14}$$ Donc $-kt = -\ln 14$, soit $t = \dfrac{\ln 14}{k} \approx \dfrac{2{,}639}{0{,}056}$ : $$\boxed{t \approx 47 \text{ minutes}}$$ *Remarque :* la température tend vers $20$ °C (la température ambiante) sans jamais l'atteindre.
Exercice 31
Avancé
Le changement de fonction qui ramène y′=ay+by' = ay + b à y′=ayy' = ay.
1.
Soit (E):y′=ay+b(E) : y' = ay + b avec a≠0a \neq 0. Montrer que la fonction constante y0=−bay_0 = -\dfrac{b}{a} est solution de (E)(E).
La fonction $y_0$ est constante, donc $y_0' = 0$. Par ailleurs : $$a\,y_0 + b = a \times \left(-\frac{b}{a}\right) + b = -b + b = 0$$ Les deux membres sont nuls : $y_0$ est bien solution de $(E)$. C'est la **solution d'équilibre**.
2.
Soit yy une solution de (E)(E). On pose z=y−y0z = y - y_0. Montrer que z′=azz' = az.
En dérivant ($y_0$ est constante, sa dérivée est nulle) : $$z' = y' - y_0' = y' = a\,y + b$$ Or $y = z + y_0$, donc : $$z' = a(z + y_0) + b = a\,z + \underbrace{a\,y_0 + b}_{= \,0 \text{ (question 1)}} = a\,z$$ $$\boxed{z' = az}$$
3.
En déduire toutes les solutions de (E)(E).
D'après la question 2, $z$ est solution de $y' = ay$, donc $z(x) = C\,e^{ax}$. Comme $y = z + y_0$ : $$\boxed{y(x) = C\,e^{ax} - \frac{b}{a}, \quad C \in \mathbb{R}}$$ Cette démonstration **justifie la formule du cours** : toute solution est la somme d'une solution de l'équation homogène et de la solution d'équilibre.
Exercice 32
Avancé
Étude du comportement des solutions de y′=3y−6y' = 3y - 6 selon la condition initiale.
1.
Déterminer la solution d'équilibre, puis la solution générale.
Solution constante : $0 = 3y - 6$, soit $y = 2$. Solution générale ($a = 3$, $-\frac{b}{a} = -\frac{-6}{3} = 2$) : $$\boxed{y(x) = C\,e^{3x} + 2}$$
2.
Exprimer CC en fonction de y(0)y(0).
$y(0) = C + 2$, donc $C = y(0) - 2$ : $$\boxed{y(x) = \big(y(0) - 2\big)e^{3x} + 2}$$ La constante $C$ mesure **l'écart initial à l'équilibre**.
3.
Discuter le comportement de yy en +∞+\infty selon la valeur de y(0)y(0).
Comme $a = 3 > 0$, le terme $e^{3x} \to +\infty$. Tout dépend donc du **signe de $C = y(0) - 2$** : - **$y(0) > 2$** ($C > 0$) : $y(x) \to +\infty$ — la solution s'**éloigne** de l'équilibre par le haut ; - **$y(0) = 2$** ($C = 0$) : $y$ reste **constante** égale à $2$ ; - **$y(0) < 2$** ($C < 0$) : $y(x) \to -\infty$ — la solution s'éloigne par le bas. L'équilibre $y = 2$ est **instable** : la moindre perturbation en éloigne la solution. C'est l'inverse du cas $a < 0$ (comme le refroidissement), où toutes les solutions **convergent** vers l'équilibre.
Exercice 33
Avancé
Primitive de f(x)=x(x2+1)2f(x) = \dfrac{x}{(x^2+1)^2}.
1.
Reconnaître la forme et déterminer une primitive.
On écrit $f$ sous la forme $u'u^n$ : avec $u = x^2+1$, on a $u' = 2x$, et $$f(x) = \frac{x}{u^2} = \frac{1}{2} \times 2x \times u^{-2} = \frac{1}{2}\,u'\,u^{-2}$$ Une primitive de $u'u^{-2}$ est $\dfrac{u^{-1}}{-1} = -\dfrac{1}{u}$. D'où : $$\boxed{F(x) = -\frac{1}{2(x^2+1)} + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = -\dfrac{1}{2} \times \left(-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}\right) = \dfrac{x}{(x^2+1)^2}$ ✓
2.
En déduire ∫01x(x2+1)2 dx\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx.
$$\int_0^1 \frac{x\,dx}{(x^2+1)^2} = \left[-\frac{1}{2(x^2+1)}\right]_0^1 = -\frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right)$$ $$\boxed{\int_0^1 \frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx = \frac{1}{4}}$$
Exercice 34
Avancé
Chute d'un corps avec frottement : la vitesse v(t)v(t) (en m·s⁻¹) vérifie v′(t)=−0,5 v(t)+10v'(t) = -0{,}5\,v(t) + 10, avec v(0)=0v(0) = 0.
1.
Déterminer la vitesse limite.
La vitesse limite est la solution constante ($v' = 0$) : $$0 = -0{,}5\,v + 10 \iff \boxed{v_{\text{lim}} = 20\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}$$ Physiquement : le frottement compense exactement le poids, l'accélération s'annule.
2.
Résoudre l'équation avec v(0)=0v(0) = 0.
Forme $y' = ay + b$ avec $a = -0{,}5$, $b = 10$, donc $-\dfrac{b}{a} = 20$ : $$v(t) = C\,e^{-0{,}5t} + 20, \qquad v(0) = C + 20 = 0 \ \Rightarrow\ C = -20$$ $$\boxed{v(t) = 20\left(1 - e^{-0{,}5t}\right)}$$ **Vérification :** $v(0) = 0$ ✓ et $v'(t) = 10\,e^{-0{,}5t} = -0{,}5\,v(t) + 10$ ✓
3.
Au bout de combien de temps atteint-on 90 % de la vitesse limite ?
On cherche $t$ tel que $v(t) = 0{,}9 \times 20 = 18$ : $$20\left(1 - e^{-0{,}5t}\right) = 18 \iff e^{-0{,}5t} = 0{,}1$$ En composant par $\ln$ : $-0{,}5\,t = -\ln 10$, d'où $$\boxed{t = 2\ln 10 \approx 4{,}61\ \text{s}}$$ La vitesse limite n'est **jamais atteinte exactement**, mais elle est approchée très vite.
Exercice 35
Avancé
Primitive de xln⁡xx\ln x par intégration par parties.
1.
Déterminer une primitive de xln⁡xx\ln x sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.
On pose $u = \ln x$ ($u' = \frac{1}{x}$) et $v' = x$ ($v = \frac{x^2}{2}$). On choisit $u = \ln x$ car **le logarithme se simplifie en dérivant**. $$\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \times \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}\,dx$$ $$= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$ $$\boxed{F(x) = \frac{x^2}{4}\big(2\ln x - 1\big) + C}$$ **Vérification :** $F'(x) = \dfrac{x}{2}(2\ln x - 1) + \dfrac{x^2}{4} \times \dfrac{2}{x} = x\ln x - \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} = x\ln x$ ✓
2.
En déduire ∫1exln⁡x dx\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx.
$$\int_1^e x\ln x\,dx = \left[\frac{x^2}{4}(2\ln x - 1)\right]_1^e = \frac{e^2}{4}(2 - 1) - \frac{1}{4}(0 - 1)$$ $$= \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4}$$ $$\boxed{\int_1^e x\ln x\,dx = \frac{e^2+1}{4} \approx 2{,}097}$$
Exercice 36
Avancé
Un médicament est injecté puis éliminé : la quantité q(t)q(t) (en mg) vérifie q′(t)=−0,4 q(t)+6q'(t) = -0{,}4\,q(t) + 6 (perfusion continue), avec q(0)=0q(0) = 0.
1.
Résoudre l'équation.
Solution d'équilibre : $0 = -0{,}4q + 6$ donne $q = 15$. Solution générale : $q(t) = C\,e^{-0{,}4t} + 15$, et $q(0) = C + 15 = 0$ donne $C = -15$ : $$\boxed{q(t) = 15\left(1 - e^{-0{,}4t}\right)}$$
2.
Quelle quantité de médicament l'organisme contient-il à long terme ?
Quand $t \to +\infty$, $e^{-0{,}4t} \to 0$ : $$\boxed{\lim_{t \to +\infty} q(t) = 15 \text{ mg}}$$ C'est le **plateau thérapeutique** : l'apport (6 mg/h) compense exactement l'élimination ($0{,}4 \times 15 = 6$ mg/h).
3.
La dose est efficace au-delà de 12 mg. À partir de quel instant ?
$$15\left(1 - e^{-0{,}4t}\right) > 12 \iff 1 - e^{-0{,}4t} > 0{,}8 \iff e^{-0{,}4t} < 0{,}2$$ En composant par $\ln$ (croissant) : $-0{,}4\,t < -\ln 5$, soit $$t > \frac{\ln 5}{0{,}4} = 2{,}5\ln 5 \approx \boxed{4{,}02 \text{ heures}}$$
Exercice 37
Avancé
Lien entre primitive et intégrale : on pose F(x)=∫0xt e−t dtF(x) = \displaystyle\int_0^x t\,e^{-t}\,dt.
1.
Sans calculer FF, déterminer F′(x)F'(x) et F(0)F(0).
Par le théorème fondamental, la fonction $x \mapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$ est **la primitive de $f$ qui s'annule en $0$**. Ici $f(t) = t\,e^{-t}$ est continue, donc : $$\boxed{F'(x) = x\,e^{-x} \qquad \text{et} \qquad F(0) = 0}$$ (l'intégrale de $0$ à $0$ est nulle).
2.
Calculer explicitement F(x)F(x) par une IPP.
On pose $u = t$ ($u' = 1$) et $v' = e^{-t}$ ($v = -e^{-t}$) : $$\int_0^x t\,e^{-t}\,dt = \Big[-t\,e^{-t}\Big]_0^x + \int_0^x e^{-t}\,dt = -x\,e^{-x} + \Big[-e^{-t}\Big]_0^x$$ $$= -x\,e^{-x} - e^{-x} + 1$$ $$\boxed{F(x) = 1 - (x+1)e^{-x}}$$ **Vérification :** $F(0) = 1 - 1 = 0$ ✓ et $F'(x) = -e^{-x} + (x+1)e^{-x} = x\,e^{-x}$ ✓ — cohérent avec la question 1.
Exercice 38
Avancé
Deux populations évoluent selon y′=0,1 yy' = 0{,}1\,y (espèce A) et z′=−0,05 z+30z' = -0{,}05\,z + 30 (espèce B), avec y(0)=100y(0) = 100 et z(0)=100z(0) = 100 (tt en années).
1.
Résoudre chacune des deux équations.
**Espèce A** ($y' = ay$ avec $a = 0{,}1$) : $y(t) = C\,e^{0{,}1t}$ et $y(0) = C = 100$ : $$\boxed{y(t) = 100\,e^{0{,}1t}}$$ **Espèce B** ($y' = ay + b$ avec $a = -0{,}05$, $b = 30$, équilibre $-\frac{b}{a} = 600$) : $z(t) = C\,e^{-0{,}05t} + 600$, et $z(0) = C + 600 = 100$ donne $C = -500$ : $$\boxed{z(t) = 600 - 500\,e^{-0{,}05t}}$$
2.
Décrire le comportement à long terme de chaque population.
**A :** $e^{0{,}1t} \to +\infty$, donc $y(t) \to +\infty$ : croissance **exponentielle sans limite** (modèle irréaliste à long terme). **B :** $e^{-0{,}05t} \to 0$, donc $z(t) \to 600$ : la population se **stabilise** à sa capacité d'accueil de $600$ individus. C'est toute la différence entre $y' = ay$ (croissance illimitée si $a > 0$) et $y' = ay + b$ avec $a < 0$ (convergence vers l'équilibre $-\frac{b}{a}$).
3.
Au bout de combien d'années l'espèce B atteint-elle 400 individus ?
$$600 - 500\,e^{-0{,}05t} = 400 \iff 500\,e^{-0{,}05t} = 200 \iff e^{-0{,}05t} = \frac{2}{5}$$ En composant par $\ln$ : $-0{,}05\,t = \ln(0{,}4)$, donc $$t = \frac{\ln(2{,}5)}{0{,}05} = 20\ln(2{,}5) \approx \boxed{18{,}3 \text{ ans}}$$
Exercice 39
Avancé
Unicité de la solution d'un problème de Cauchy : on veut montrer que y′=ayy' = ay avec y(0)=y0y(0) = y_0 admet une unique solution.
1.
Soit yy une solution. On pose g(x)=y(x) e−axg(x) = y(x)\,e^{-ax}. Calculer g′(x)g'(x).
On dérive le produit $y \times e^{-ax}$ : $$g'(x) = y'(x)\,e^{-ax} + y(x) \times (-a)e^{-ax} = e^{-ax}\big(y'(x) - a\,y(x)\big)$$ Or $y$ est solution de $y' = ay$, donc $y' - ay = 0$ : $$\boxed{g'(x) = 0}$$
2.
En déduire l'expression de yy, puis conclure à l'unicité.
$g' = 0$ sur $\mathbb{R}$ (un intervalle), donc $g$ est **constante** : $g(x) = g(0) = y(0)\,e^{0} = y_0$. Ainsi $y(x)\,e^{-ax} = y_0$, et comme $e^{-ax} \neq 0$ : $$\boxed{y(x) = y_0\,e^{ax}}$$ **Conclusion :** toute solution est **nécessairement** de cette forme — il y en a donc au plus une. Et cette fonction est bien solution (vérification immédiate). Le problème admet donc **une unique solution**. $\square$
Exercice 40
Avancé
Un compte épargne rapporte des intérêts continus au taux annuel r=0,04r = 0{,}04, et l'on y verse en continu 20002000 € par an. Le capital K(t)K(t) (en €) vérifie K′(t)=0,04 K(t)+2000K'(t) = 0{,}04\,K(t) + 2000, avec K(0)=10 000K(0) = 10\,000.
1.
Résoudre l'équation.
Forme $y' = ay + b$ avec $a = 0{,}04$ et $b = 2000$. La solution d'équilibre est $-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2000}{0{,}04} = -50\,000$. $$K(t) = C\,e^{0{,}04t} - 50\,000$$ La condition $K(0) = 10\,000$ donne $C - 50\,000 = 10\,000$, soit $C = 60\,000$ : $$\boxed{K(t) = 60\,000\,e^{0{,}04t} - 50\,000}$$ **Vérification :** $K(0) = 10\,000$ ✓ et $K'(t) = 2400\,e^{0{,}04t} = 0{,}04\,K(t) + 2000$ ✓
2.
Calculer le capital au bout de 10 ans.
$$K(10) = 60\,000\,e^{0{,}4} - 50\,000 \approx 60\,000 \times 1{,}4918 - 50\,000$$ $$\boxed{K(10) \approx 39\,510 \ \text{euros}}$$
3.
Au bout de combien d'années le capital atteint-il 100 000 € ?
$$60\,000\,e^{0{,}04t} - 50\,000 = 100\,000 \iff e^{0{,}04t} = \frac{150\,000}{60\,000} = 2{,}5$$ En composant par $\ln$ : $0{,}04\,t = \ln(2{,}5)$, d'où $$t = \frac{\ln(2{,}5)}{0{,}04} = 25\ln(2{,}5) \approx \boxed{22{,}9 \text{ ans}}$$ *Remarque :* ici $a > 0$, l'équilibre $-50\,000$ est **négatif** et n'a aucun sens financier — il ne sert que d'intermédiaire de calcul. Le capital croît sans limite.
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Primitives et condition initiale
Facile
On rappelle qu'une primitive FF d'une fonction ff vérifie F′=fF' = f, et que deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. Une condition initiale détermine cette constante de façon unique.

Partie A — Primitives usuelles

1.
Déterminer toutes les primitives de f(x)=3x2−2x+1f(x) = 3x^2 - 2x + 1 sur R\mathbb{R}.
On primitive terme à terme : $$F(x) = x^3 - x^2 + x + C, \qquad C \in \mathbb{R}$$ *Vérification :* $F'(x) = 3x^2 - 2x + 1 = f(x)$ ✓
2.
Déterminer la primitive FF de ff vérifiant F(1)=2F(1) = 2.
$F(1) = 1 - 1 + 1 + C = 1 + C$. La condition $F(1) = 2$ donne $C = 1$ : $$\boxed{F(x) = x^3 - x^2 + x + 1}$$

Partie B — Exponentielle et logarithme

3.
Déterminer une primitive de g(x)=e2xg(x) = e^{2x} sur R\mathbb{R}.
Comme $\left(e^{2x}\right)' = 2e^{2x}$, une primitive de $e^{2x}$ est : $$G(x) = \frac{1}{2}e^{2x}$$ *Vérification :* $G'(x) = \frac{1}{2} \times 2e^{2x} = e^{2x}$ ✓
4.
Déterminer une primitive de h(x)=1xh(x) = \dfrac{1}{x} sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.
Par définition de la fonction logarithme népérien, $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ : $$H(x) = \ln x$$
Problème 2 — Résolution de y′ = ay + b
Intermédiaire
On considère l'équation différentielle (E):y′=−2y+6(E) : y' = -2y + 6, d'inconnue une fonction yy dérivable sur R\mathbb{R}.

Partie A — Solutions de (E)

1.
Déterminer la solution constante de (E)(E).
Si $y$ est constante, alors $y' = 0$, et $(E)$ donne $0 = -2y + 6$, soit : $$\boxed{y = 3}$$ C'est la **solution d'équilibre** de l'équation.
2.
En déduire l'ensemble des solutions de (E)(E) sur R\mathbb{R}.
Les solutions de $y' = ay + b$ (avec $a \neq 0$) sont les fonctions $x \mapsto C e^{ax} - \dfrac{b}{a}$, c'est-à-dire ici (avec $a = -2$, $b = 6$, et $-\frac{b}{a} = 3$) : $$\boxed{y(x) = C e^{-2x} + 3, \qquad C \in \mathbb{R}}$$

Partie B — Condition initiale et comportement

3.
Déterminer la solution vérifiant y(0)=5y(0) = 5.
$y(0) = C e^0 + 3 = C + 3 = 5$, donc $C = 2$ : $$\boxed{y(x) = 2e^{-2x} + 3}$$ *Vérification :* $y'(x) = -4e^{-2x}$ et $-2y + 6 = -4e^{-2x} - 6 + 6 = -4e^{-2x}$ ✓
4.
Déterminer la limite de cette solution en +∞+\infty et interpréter.
Quand $x \to +\infty$, $e^{-2x} \to 0$, donc $y(x) \to 3$. La solution se rapproche de la **solution d'équilibre** $y = 3$ : quelle que soit la valeur initiale, le système converge vers son équilibre.
Problème 3 — Pollution d un lac
Difficile
Un lac contient initialement 100100 tonnes de polluant. Chaque année, 20 %20\,\% du polluant présent est éliminé naturellement, tandis qu'une usine en déverse 1212 tonnes. En notant y(t)y(t) la masse de polluant (en tonnes) au bout de tt années, on modélise la situation par :

(E):y′(t)=−0,2 y(t)+12,y(0)=100(E) : y'(t) = -0{,}2\,y(t) + 12, \qquad y(0) = 100

Partie A — Résolution

1.
Déterminer la masse d'équilibre, c'est-à-dire la solution constante de (E)(E).
Une solution constante vérifie $y' = 0$, donc $0 = -0{,}2\,y + 12$, soit $y = \dfrac{12}{0{,}2} = \boxed{60 \text{ tonnes}}$.
2.
Résoudre (E)(E) avec la condition initiale y(0)=100y(0) = 100.
Les solutions de $y' = ay + b$ sont $y(t) = C e^{at} - \dfrac{b}{a}$, ici avec $a = -0{,}2$ et $b = 12$ : $$y(t) = C e^{-0{,}2t} + 60$$ La condition $y(0) = 100$ donne $C + 60 = 100$, soit $C = 40$ : $$\boxed{y(t) = 40\,e^{-0{,}2t} + 60}$$

Partie B — Exploitation du modèle

3.
Calculer la masse de polluant au bout de 55 ans (arrondie au dixième).
$y(5) = 40\,e^{-1} + 60 \approx 40 \times 0{,}3679 + 60 \approx 14{,}7 + 60$ $$\boxed{y(5) \approx 74{,}7 \text{ tonnes}}$$
4.
Déterminer la limite de yy en +∞+\infty et interpréter. Au bout de combien d'années la masse passe-t-elle sous 7070 tonnes ?
**Limite :** $e^{-0{,}2t} \to 0$, donc $y(t) \to 60$ : la pollution se **stabilise à $60$ tonnes** (elle ne disparaît pas, car l'usine continue de déverser). **Seuil :** $40\,e^{-0{,}2t} + 60 < 70 \iff e^{-0{,}2t} < 0{,}25$, soit $-0{,}2\,t < \ln(0{,}25) = -\ln 4$, d'où $$t > \frac{\ln 4}{0{,}2} \approx 6{,}93$$ La masse passe sous $70$ tonnes au cours de la **7ᵉ année**.
Problème 4 — Chute d un parachutiste
Avancé
Un parachutiste tombe en chute libre. Sa vitesse v(t)v(t) (en m·s⁻¹, comptée positivement vers le bas, tt en secondes) est régie par la concurrence du poids et du frottement de l'air. On modélise par :

(E):v′(t)=−0,5 v(t)+10,v(0)=0(E) : v'(t) = -0{,}5\,v(t) + 10, \qquad v(0) = 0

Partie A — Vitesse limite et résolution

1.
Déterminer la vitesse limite, c'est-à-dire la solution constante de (E)(E). Interpréter physiquement.
Une solution constante vérifie $v' = 0$ : $0 = -0{,}5\,v + 10$, soit $v = 20$. $$\boxed{v_{\text{lim}} = 20\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}$$ C'est la vitesse pour laquelle le frottement compense exactement le poids : l'accélération devient nulle et la vitesse cesse d'augmenter.
2.
Résoudre (E)(E) avec la condition initiale v(0)=0v(0) = 0.
Les solutions sont $v(t) = C e^{-0{,}5t} + 20$. La condition $v(0) = 0$ donne $C + 20 = 0$, soit $C = -20$ : $$\boxed{v(t) = 20\left(1 - e^{-0{,}5t}\right)}$$ *Vérification :* $v(0) = 20(1-1) = 0$ ✓ et $v'(t) = 10\,e^{-0{,}5t} = -0{,}5\,v(t) + 10$ ✓

Partie B — Exploitation

3.
Calculer la vitesse au bout de 44 secondes (arrondie au centième).
$v(4) = 20\left(1 - e^{-2}\right) \approx 20 \times (1 - 0{,}1353) \approx 20 \times 0{,}8647$ $$\boxed{v(4) \approx 17{,}29\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}$$
4.
Au bout de combien de temps le parachutiste atteint-il 90 %90\,\% de sa vitesse limite ?
On cherche $t$ tel que $v(t) = 0{,}9 \times 20 = 18$ : $$20\left(1 - e^{-0{,}5t}\right) = 18 \iff 1 - e^{-0{,}5t} = 0{,}9 \iff e^{-0{,}5t} = 0{,}1$$ En composant par $\ln$ : $-0{,}5\,t = \ln(0{,}1) = -\ln 10$, d'où $$t = 2\ln 10 \approx \boxed{4{,}61\ \text{secondes}}$$ La vitesse limite n'est jamais atteinte exactement, mais elle est approchée très vite.