Primitives et équations différentielles

Une solution constante vérifie $y' = 0$, donc $0 = -0{,}2\,y + 12$, soit $y = \dfrac{12}{0{,}2} = \boxed{60 \text{ tonnes}}$.

Les solutions de $y' = ay + b$ sont $y(t) = C e^{at} - \dfrac{b}{a}$, ici avec $a = -0{,}2$ et $b = 12$ : $$y(t) = C e^{-0{,}2t} + 60$$ La condition $y(0) = 100$ donne $C + 60 = 100$, soit $C = 40$ : $$\boxed{y(t) = 40\,e^{-0{,}2t} + 60}$$

$y(5) = 40\,e^{-1} + 60 \approx 40 \times 0{,}3679 + 60 \approx 14{,}7 + 60$ $$\boxed{y(5) \approx 74{,}7 \text{ tonnes}}$$

**Limite :** $e^{-0{,}2t} \to 0$, donc $y(t) \to 60$ : la pollution se **stabilise à $60$ tonnes** (elle ne disparaît pas, car l'usine continue de déverser). **Seuil :** $40\,e^{-0{,}2t} + 60 < 70 \iff e^{-0{,}2t} < 0{,}25$, soit $-0{,}2\,t < \ln(0{,}25) = -\ln 4$, d'où $$t > \frac{\ln 4}{0{,}2} \approx 6{,}93$$ La masse passe sous $70$ tonnes au cours de la **7ᵉ année**.