Compléments sur la dérivation

I. Rappels de Première

1. Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé

Le nombre dérivé de

f

a

est :

f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}

Interprétation :

f^{'} (a)

est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de

f

au point d'abscisse

a

Équation de la tangente

La tangente à la courbe de

f

au point d'abscisse

a

a pour équation :

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

2. Dérivées usuelles

Fonction $f (x)$	Dérivée $f^{'} (x)$	Domaine
$k$ (constante)	$0$	$R$
$x$	$1$	$R$
$x^{2}$	$2 x$	$R$
$x^{3}$	$3 x^{2}$	$R$
$x^{n}$ ( $n \in N^{*}$ )	$n x^{n - 1}$	$R$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$	$R^{*}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$	$] 0, + \infty [$

3. Opérations sur les dérivées

Fonction	Dérivée
$λ f$	$λ f^{'}$
$f + g$	$f^{'} + g^{'}$
$f \times g$	$f^{'} g + f g^{'}$
$\frac{f}{g}$	$\frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$

II. Dérivée d'une composée

1. Formule

Dérivée d'une composée

g

est dérivable en

x

f

est dérivable en

g (x)

, alors :

(f \circ g)^{'} (x) = g^{'} (x) \times f^{'} (g (x))

Notation :

(f (u))^{'} = u^{'} \times f^{'} (u)

2. Cas particuliers importants

Fonction	Dérivée	Condition
$u^{n}$	$n u^{'} u^{n - 1}$	$n \in Z$
$\frac{1}{u}$	$- \frac{u ^{'}}{u ^{2}}$	$u \neq = 0$
$u$	$\frac{u ^{'}}{2 u}$	$u > 0$

Exemple 1

f (x) = (3 x + 1)^{5}

.

On pose

u = 3 x + 1

u^{'} = 3

f^{'} (x) = 3 \times 5 (3 x + 1)^{4} = 15 (3 x + 1)^{4}

Exemple 2

f (x) = x^{2} + 1

.

On pose

u = x^{2} + 1

u^{'} = 2 x

f^{'} (x) = \frac{2 x}{2 x ^{2} + 1} = \frac{x}{x ^{2} + 1}

Exemple 3

f (x) = \frac{1}{( 2 x - 3 ) ^{2}}

.

On pose

u = 2 x - 3

u^{'} = 2

. C'est

u^{- 2}

f^{'} (x) = 2 \times (- 2) (2 x - 3)^{- 3} = \frac{- 4}{( 2 x - 3 ) ^{3}}

III. Dérivées successives

1. Définition

Dérivées successives

•

f^{''} = (f^{'})^{'}

est la dérivée seconde.
•

f^{'''} = (f^{''})^{'}

est la dérivée troisième.
•

f^{(n)}

est la dérivée $n$ -ième.

Exemple

f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2 x

f^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x + 2

f^{''} (x) = 12 x^{2} - 6

f^{'''} (x) = 24 x

2. Interprétation de $f^{''}$

Lien avec la convexité

•

f^{''} > 0

sur

I

→

f

convexe sur

I

(courbe « en creux »).
•

f^{''} < 0

sur

I

→

f

concave sur

I

(courbe « en bosse »).

Ce lien sera approfondi dans le chapitre Convexité.

IV. Compléments sur l'étude de fonctions

1. Dérivée et sens de variation (rappel)

Lien dérivée — variations

Sur un intervalle

I

:
•

f^{'} > 0

sur

I

→

f

strictement croissante sur

I

.
•

f^{'} < 0

sur

I

→

f

strictement décroissante sur

I

.
•

f^{'} = 0

sur

I

→

f

constante sur

I

2. Extremum local

Condition nécessaire

f

est dérivable en

a

et admet un extremum local en

a

, alors

f^{'} (a) = 0

Attention : la réciproque est fausse !

Exemple :

f (x) = x^{3}

a = 0

f^{'} (0) = 0

mais

f

n'a pas d'extremum en 0 (fonction strictement croissante).

Condition suffisante : changement de signe de

f^{'}

f^{'} (a) = 0

et si

f^{'}

change de signe en

a

:
•

f^{'}

passe de

+

-

→

f

admet un maximum local en

a

.
•

f^{'}

passe de

-

+

→

f

admet un minimum local en

a

.

Si

f^{'}

ne change pas de signe → pas d'extremum.

3. Position relative courbe/tangente

Position de la courbe par rapport à sa tangente

On étudie le signe de

d (x) = f (x) - [f^{'} (a) (x - a) + f (a)]

.

• Si

d (x) \geq 0

au voisinage de

a

→ courbe au-dessus de la tangente.
• Si

d (x) \leq 0

→ courbe en-dessous.
• Si

d

change de signe en

a

→ la courbe traverse la tangente.

V. Dérivée de $x^{n}$ pour $n$ entier relatif

1. Exposant négatif

Formule générale

Pour tout

n \in Z

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

La formule est la même que pour $n \in N$ .

Démonstration pour

n = - 1

(\frac{1}{x})^{'} = (x^{- 1})^{'} = - 1 \times x^{- 2} = - \frac{1}{x ^{2}}

.

On retrouve la formule connue.

Exemple

(x^{- 3})^{'} = - 3 x^{- 4} = - \frac{3}{x ^{4}}

2. Tableau étendu

Fonction	Dérivée	Condition
$x^{n}$ ( $n \in Z$ )	$n x^{n - 1}$	$x \neq = 0$ si $n < 0$
$u^{n}$ ( $n \in Z$ )	$n u^{'} u^{n - 1}$	$u \neq = 0$ si $n < 0$
$u$	$\frac{u ^{'}}{2 u}$	$u > 0$
$\frac{1}{u}$	$- \frac{u ^{'}}{u ^{2}}$	$u \neq = 0$

VI. Méthodes

M1 — Dériver une composée

Méthode

1. Identifier la fonction intérieure

u

.
2. Calculer

u^{'}

.
3. Appliquer

(f (u))^{'} = u^{'} \times f^{'} (u)

Exemple

f (x) = \frac{1}{2 x + 5}

.

On pose

u = 2 x + 5

u^{'} = 2

. C'est

u^{- 1/2}

f^{'} (x) = 2 \times (- \frac{1}{2}) (2 x + 5)^{- 3/2} = \frac{- 1}{( 2 x + 5 ) 2 x + 5}

M2 — Étude complète d'une fonction

Les 6 étapes

1. Domaine de définition.
2. Limites aux bornes → asymptotes.
3. Dérivée

f^{'}

et son signe.
4. Tableau de variations.
5. Tangentes remarquables.
6. Courbe représentative.

Exemple complet :

f (x) = x + \frac{1}{x}

1. Domaine :

D_{f} = R^{*}

.

2. Limites :

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = + \infty

lim_{x \to 0^{-}} f (x) = - \infty

→ AV

x = 0

f (x) - x = \frac{1}{x} \to 0

\pm \infty

→ AO

y = x

.

3. Dérivée :

f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}}

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1

.

4. Signe de $f^{'}$ :

f^{'} > 0

sur

] - \infty, - 1]

[1, + \infty [

f^{'} < 0

sur

[- 1, 0 [

] 0, 1]

.

Maximum local :

f (- 1) = - 2

. Minimum local :

f (1) = 2

M3 — Tangente

Méthode

1. Calculer

f (a)

.
2. Calculer

f^{'} (a)

.
3. Écrire

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

Exemple

f (x) = x^{3} - 2 x + 1

a = 1

f (1) = 1 - 2 + 1 = 0

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2

f^{'} (1) = 1

.

Tangente :

y = 1 \times (x - 1) + 0 = x - 1

M4 — Extremums

Méthode

1. Calculer

f^{'} (x)

.
2. Résoudre

f^{'} (x) = 0

.
3. Étudier le signe de $f^{'}$ autour de chaque solution.
4. Changement de signe → extremum. Pas de changement → pas d'extremum.

$f (x)$	$f^{'} (x)$
$k$	$0$
$x^{n}$ ( $n \in Z$ )	$n x^{n - 1}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$

Fonction	Dérivée	Condition
$u^{n}$ ( $n \in Z$ )	$n u^{'} u^{n - 1}$	$u \neq = 0$ si $n < 0$
$u$	$\frac{u ^{'}}{2 u}$	$u > 0$
$\frac{1}{u}$	$- \frac{u ^{'}}{u ^{2}}$	$u \neq = 0$

Fonction	Dérivée
$k$	$0$
$x^{n}$ ( $n \in Z$ )	$n x^{n - 1}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$
$u^{n}$ ( $n \in Z$ )	$n u^{'} u^{n - 1}$
$u$	$\frac{u ^{'}}{2 u}$
$\frac{1}{u}$	$- \frac{u ^{'}}{u ^{2}}$
$λ f$	$λ f^{'}$
$f + g$	$f^{'} + g^{'}$
$f \times g$	$f^{'} g + f g^{'}$
$\frac{f}{g}$	$\frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$
$f \circ g$	$g^{'} \times f^{'} (g)$

40 exercices disponibles

Exercice 1

Facile

Dériver les fonctions suivantes.

3x^4-2x^3+5x-7

12x^3-6x^2+5

\dfrac{2}{x}+3\sqrt{x}

-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{3}{2\sqrt{x}}

(2x+1)(x^2-3)

6x^2+2x-6

Exercice 2

Facile

Dériver les quotients.

\dfrac{x+1}{x-1}

\dfrac{-2}{(x-1)^2}

\dfrac{x^2}{x+2}

\dfrac{x(x+4)}{(x+2)^2}

\dfrac{3x-1}{2x+5}

\dfrac{17}{(2x+5)^2}

Exercice 3

Facile

f(x)=x^3-2x+1

. Tangentes en

x=1

x=-1

Correction détaillée

f'=3x^2-2

. En

1

y=x-1

. En

-1

y=x+3

Exercice 4

Facile

Dérivées de

u^n

(3x+1)^4

12(3x+1)^3

(x^2-1)^3

6x(x^2-1)^2

(2x^2+x)^2

2(4x+1)(2x^2+x)

Exercice 5

Facile

Dérivées de

\sqrt{u}

\sqrt{3x+2}

\dfrac{3}{2\sqrt{3x+2}}

\sqrt{x^2+1}

\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}

\sqrt{4-x^2}

\dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2}}

Exercice 6

Facile

Dérivées de

1/u

1/(x^2+1)

-2x/(x^2+1)^2

1/(2x-3)^2

-4/(2x-3)^3

1/\sqrt{x+1}

-1/(2(x+1)\sqrt{x+1})

Exercice 7

Facile

f(x)=x^3-3x+2

f'

, zéros, variations, extremums.

Correction détaillée

f'=3(x-1)(x+1)

. Max

f(-1)=4

, min

f(1)=0

Exercice 8

Facile

f(x)=x^4-4x^3

. Tangentes horizontales.

Correction détaillée

f'=4x^2(x-3)

. En

x=0

: pas d'extremum. En

x=3

: min

f(3)=-27

Exercice 9

Facile

Montrer

\sqrt{x} \leq (x+1)/2

pour

x > 0

Correction détaillée

g(x)=(x+1)/2-\sqrt{x}

g'=(\sqrt{x}-1)/(2\sqrt{x})

. Min

g(1)=0

Exercice 10

Facile

f(x)=\sqrt{x}

. Approcher

\sqrt{4{,}1}

par tangente en

x=4

Correction détaillée

f'(4)=1/4

\sqrt{4{,}1} \approx 2+0{,}1/4=2{,}025

. Exact :

2{,}02485

Exercice 11

Intermédiaire

Composées générales.

(x^3+2x)^5

5(3x^2+2)(x^3+2x)^4

1/(x^2+3x+1)^3

-3(2x+3)/(x^2+3x+1)^4

\sqrt{x^2+2x+5}

(x+1)/\sqrt{x^2+2x+5}

((x+1)/(x-1))^4

-8(x+1)^3/(x-1)^5

Exercice 12

Intermédiaire

f(x)=x+1/x

sur

]0;+\infty[

f'

, variations.

f'=(x^2-1)/x^2

. Décroissante sur

]0;1[

, croissante sur

]1;+\infty[

Montrer

f(x) \geq 2

Min

f(1)=2

Tangente en 1.

y = 2

(horizontale).

Exercice 13

Intermédiaire

f(x)=x^4-6x^2+8x+1

. Dérivée seconde, concavité.

f''

f'' = 12(x-1)(x+1)

Concavité.

Convexe hors

[-1;1]

, concave sur

]-1;1[

. Inflexions en

\pm 1

Exercice 14

Intermédiaire

f(x)=(x-1)^3

f'(1)=0

mais pas d'extremum.

Correction détaillée

f'=3(x-1)^2 \geq 0

f

croissante. Point d'inflexion à tangente horizontale.

Exercice 15

Intermédiaire

f(x)=x/(x^2+1)

. Montrer

|f(x)| \leq 1/2

f'

et variations.

f'=(1-x^2)/(x^2+1)^2

Max et min.

Max

1/2

1

, min

-1/2

-1

Exercice 16

Intermédiaire

Dérivées avec exposant négatif.

x^{-3}

-3/x^4

(2x+1)^{-2}

-4/(2x+1)^3

x^2+x^{-2}

2(x^4-1)/x^3

(x^2-1)/x^3

(3-x^2)/x^4

Exercice 17

Intermédiaire

Tangentes à

y=x^2

passant par

A(0;-1)

Correction détaillée

T_a : y=2ax-a^2

. Par

A

a^2=1

y=2x-1

y=-2x-1

Exercice 18

Intermédiaire

f(x)=(x^2+1)/x

sur

]0;+\infty[

f'

, min.

f=x+1/x

f'=(x^2-1)/x^2

. Min

f(1)=2

AO.

y = x

Exercice 19

Intermédiaire

f(x)=|x|\sqrt{x^2+1}

. Parité, dérivée, dérivabilité en 0.

Correction détaillée

Paire.

f'=(2x^2+1)/\sqrt{x^2+1}

pour

x>0

. Non dérivable en 0 (limites

\pm 1

Exercice 20

Intermédiaire

f(x)=2x^3-9x^2+12x-3

. Nature des points critiques par

f''

Correction détaillée

f'=6(x-1)(x-2)

f''(1)=-6<0

: max

f(1)=2

f''(2)=6>0

: min

f(2)=1

Exercice 21

Difficile

f(x)=x^5-3x^3+2x

. Calculer

f', f'', \ldots, f^{(6)}

Correction détaillée

f'=5x^4-9x^2+2

f''=20x^3-18x

f'''=60x^2-18

f^{(4)}=120x

f^{(5)}=120=5!

f^{(6)}=0

Exercice 22

Difficile

f(x)=x^2(x-2)^2

Factoriser

f'

f'=4x(x-1)(x-2)

Variations complètes.

Min

0

x=0,2

. Max

1

x=1

Exercice 23

Difficile

f(x)=\sqrt{x^2-4x+5}

Domaine.

x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0

\mathbb{R}

f'

, minimum.

f'=(x-2)/\sqrt{\cdots}

. Min

f(2)=1

Exercice 24

Difficile

f(x)=x^2+4/x

sur

]0;+\infty[

Correction détaillée

f'=(2x^3-4)/x^2

. Min en

\sqrt[3]{2}

f=3\sqrt[3]{4}

Exercice 25

Difficile

f(x)=\sqrt{x}

. Montrer courbe en dessous de chaque tangente.

Correction détaillée

f(x)-T_a(x) = -(\sqrt{x}-\sqrt{a})^2/(2\sqrt{a}) \leq 0

. Concave.

Exercice 26

Difficile

f_a(x)=x^3-3ax

. Extremums selon

a

. 3 racines ssi

a>0

Points critiques.

f'=3(x^2-a)

. Extremums ssi

a>0

3 racines.

Max

2a^{3/2}>0

et min

-2a^{3/2}<0

: 3 changements de signe ssi

a>0

Exercice 27

Difficile

f(x)=x^3

sur

[1;2]

. TAF : trouver

c

tel que

f'(c)=7

Correction détaillée

\tau = (8-1)/1 = 7

3c^2=7

c=\sqrt{7/3} \approx 1{,}528

Exercice 28

Difficile

Montrer

\dfrac{x}{2\sqrt{x+1}} \leq \sqrt{x+1}-1 \leq \dfrac{x}{2}

pour

x>0

Correction détaillée

Droite :

\sqrt{x+1}<1+x/2

, au carré

\to x^2/4>0

. Gauche :

(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)=x

, diviser.

Exercice 29

Difficile

f(x)=x^2/(x-1)

sur

]1;+\infty[

f=x+1+1/(x-1)

Division euclidienne.

Variations, AO.

f'=x(x-2)/(x-1)^2

. Min

f(2)=4

. AO

y=x+1

, AV

x=1

Exercice 30

Difficile

f(x)=|x^2-1|

. Continuité, dérivabilité en

\pm 1

Correction détaillée

Continue. Non dérivable en

\pm 1

(demi-tangentes

\pm 2

Exercice 31

Avancé

f(x)=1/(1-x)

. Calculer

f^{(n)}

, démontrer par récurrence.

Correction détaillée

f^{(n)}(x) = n!/(1-x)^{n+1}

. Init :

f'=1/(1-x)^2

. Héréd : dériver

(1-x)^{-(n+1)}

Exercice 32

Avancé

f=x^2g(x)

. Vérifier

(uv)''=u''v+2u'v'+uv''

Correction détaillée

f''=2g+4xg'+x^2g''

Exercice 33

Avancé

f(x)=x^3-3x+1

f(-2)=f(1)=-1

. Rolle.

Correction détaillée

f'=3(x^2-1)=0

c=-1 \in ]-2;1[

Exercice 34

Avancé

Montrer

(1+x)^n \geq 1+nx

via

g(x)=(1+x)^n-1-nx

et sa dérivée.

Correction détaillée

g'=n[(1+x)^{n-1}-1] \geq 0

pour

x \geq 0

g(0)=0

. Donc

g \geq 0

Exercice 35

Avancé

f(x)=x^2

convexe. Jensen :

((a+b)/2)^2 \leq (a^2+b^2)/2

Correction détaillée

Convexité. Équivaut à

(a-b)^2 \geq 0

Exercice 36

Avancé

Tangentes communes à

y=x^2

y=x^3

Système.

2a=3b^2

a^2=2b^3

Solutions.

b=8/9

a=32/27

. Plus

y=0

Exercice 37

Avancé

Montrer

2(\sqrt{x}-1) \leq x-1 \leq 2\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)

pour

x \geq 1

Correction détaillée

Les deux se ramènent à

(\sqrt{x}-1)^2 \geq 0

Exercice 38

Avancé

f(x)=x^2\sin(1/x)

f(0)=0

. Dérivable en 0,

f'

discontinue.

Correction détaillée

f'(0)=0

f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)

\cos(1/x)

sans limite en 0.

Exercice 39

Avancé

f(x)=(x-1)^4

. Nature du point critique par dérivées successives.

Correction détaillée

f'(1)=f''(1)=f'''(1)=0

f^{(4)}(1)=24>0

: min global

f(1)=0

Exercice 40

Avancé

Max de

xy

avec

x+y=10

Correction détaillée

V(x)=x(10-x)

V'=10-2x=0

x=5

. Max

V=25

. AM-GM.

4 problèmes de synthèse

Problème 1 — Étude de

(x^2-1)/(x^2+1)

Difficile

Partie A — Domaine et variations

Domaine, parité, limites.

\mathbb{R}

. Paire.

\lim_{\pm\infty}=1

f'=4x/(x^2+1)^2

. Variations.

Min

f(0)=-1

Partie B — Propriétés

Image.

[-1;1[

Position / AH

y=1

f(x)-1=-2/(x^2+1)<0

: en dessous.

Problème 2 — Étude de

x\sqrt{4-x^2}

Difficile

f(x) = x\sqrt{4-x^2}

sur

[-2;2]

Étude

Domaine, imparité.

[-2;2]

. Impaire.

f'=(4-2x^2)/\sqrt{4-x^2}

Max

f(\sqrt{2})=2

Image.

[-2;2]

Tangente en 0.

y=2x

Problème 3 — Boîte sans couvercle

Difficile

Feuille carrée côté

a

, découpe

x

aux coins.

Optimisation

Volume

V=x(a-2x)^2

Domaine

0<x<a/2

V'=(a-2x)(a-6x)

. Max en

x=a/6

V_{max}=2a^3/27

Application

a=12

V=128

^3

Problème 4 — Inégalité AM-GM

Avancé

Partie A — Preuve par dérivée

g(t)=(t+1)/2-\sqrt{t} \geq 0

g'=(\sqrt{t}-1)/(2\sqrt{t})

. Min

g(1)=0

En déduire

\sqrt{ab} \leq (a+b)/2

Poser

t = a/b

avec

a, b > 0

. Alors

g(t) \geq 0

donne

(t+1)/2 \geq \sqrt{t}

, soit

(a/b+1)/2 \geq \sqrt{a/b}

. En multipliant par

b

(a+b)/2 \geq \sqrt{ab}

Partie B — Applications

Rectangle : périmètre fixé → aire max = carré.

A=x(P/2-x)

. Max en

x=P/4

: carré.

Chaîne GM

\leq

\leq

QM.

(a-b)^2 \geq 0

donne AM

\leq

QM.

S'entraîner avec les sujets du bac

Voir les sujets corrigés →

Compléments sur la dérivation

I. Rappels de Première

1. Nombre dérivé et tangente

2. Dérivées usuelles

3. Opérations sur les dérivées

II. Dérivée d'une composée

1. Formule

2. Cas particuliers importants

III. Dérivées successives

1. Définition

2. Interprétation de $f^{''}$

IV. Compléments sur l'étude de fonctions

1. Dérivée et sens de variation (rappel)

2. Extremum local

3. Position relative courbe/tangente

V. Dérivée de $x^{n}$ pour $n$ entier relatif

1. Exposant négatif

2. Tableau étendu

VI. Méthodes

M1 — Dériver une composée

M2 — Étude complète d'une fonction

M3 — Tangente

M4 — Extremums

1. Formules essentielles

Nombre dérivé et tangente

Dérivées usuelles

Opérations

Composée et cas particuliers

Dérivées successives et variations

2. Méthodes

Grand tableau récapitulatif

Récapitulatif — Quand utiliser quoi ?

Partie A — Domaine et variations

Partie B — Propriétés

Étude

Optimisation

Partie A — Preuve par dérivée

Partie B — Applications

S'entraîner avec les sujets du bac

Compléments sur la dérivation

I. Rappels de Première

1. Nombre dérivé et tangente

2. Dérivées usuelles

3. Opérations sur les dérivées

II. Dérivée d'une composée

1. Formule

2. Cas particuliers importants

III. Dérivées successives

1. Définition

2. Interprétation de f′′

IV. Compléments sur l'étude de fonctions

1. Dérivée et sens de variation (rappel)

2. Extremum local

3. Position relative courbe/tangente

V. Dérivée de xn pour n entier relatif

1. Exposant négatif

2. Tableau étendu

VI. Méthodes

M1 — Dériver une composée

M2 — Étude complète d'une fonction

M3 — Tangente

M4 — Extremums

1. Formules essentielles

Nombre dérivé et tangente

Dérivées usuelles

Opérations

Composée et cas particuliers

Dérivées successives et variations

2. Méthodes

Grand tableau récapitulatif

Récapitulatif — Quand utiliser quoi ?

Partie A — Domaine et variations

Partie B — Propriétés

Étude

Optimisation

Partie A — Preuve par dérivée

Partie B — Applications

S'entraîner avec les sujets du bac

2. Interprétation de $f^{''}$

V. Dérivée de $x^{n}$ pour $n$ entier relatif