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I Analyse · Chapitre 06 / 17

Convexité

Fonctions convexes et concaves, points d'inflexion.

8 min de lecture
5 sections, 4 exemples
40 exercices · 4 problèmes

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L'essentiel en 30 secondes

Une fonction est convexe sur un intervalle quand sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes ; concave dans le cas contraire. Critère pratique : f est convexe si et seulement si f″ ≥ 0, c'est-à-dire si f′ est croissante. Un point d'inflexion est un point où f″ s'annule en changeant de signe : la courbe y traverse sa tangente.

1 I. Définition et interprétation graphique

1. Sécantes et convexité

2. Tangentes et convexité

2 II. Caractérisation par la dérivée seconde

1. Théorème fondamental

Convexe vs Concave — position relative
Convexe (f'' ≥ 0)
sécantetangentecourbe en dessousdes sécantes
« En creux » — au-dessus des tangentes
Concave (f'' ≤ 0)
sécantetangentecourbe au-dessusdes sécantes
« En bosse » — en dessous des tangentes

2. Fonctions de référence

Fonctionf′′(x)f''(x)Convexité
x2x^22>02 > 0Convexe sur R\mathbb{R}
x3x^36x6xConvexe sur R+\mathbb{R}^+, concave sur R−\mathbb{R}^-
1x\dfrac{1}{x}2x3\dfrac{2}{x^3}Convexe sur ]0,+∞[]0, +\infty[, concave sur ]−∞,0[]-\infty, 0[
x\sqrt{x}−14xx-\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}Concave sur ]0,+∞[]0, +\infty[

3 III. Point d'inflexion

4 IV. Inégalités et convexité

1. Inégalité de convexité

2. Application

Démonstration — l'inégalité ex⩾x+1e^x \geqslant x + 1 par la convexité
Soit f(x)=exf(x) = e^x. Alors f′(x)=exf'(x) = e^x et f′′(x)=ex>0f''(x) = e^x > 0 pour tout réel xx : la fonction ff est convexe sur R\mathbb{R}.

Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de toutes ses tangentes. Écrivons la tangente au point d'abscisse 00 :

y=f′(0)(x−0)+f(0)=x+1y = f'(0)(x - 0) + f(0) = x + 1

La courbe étant au-dessus de cette tangente, on obtient pour tout réel xx :

ex⩾x+1\boxed{e^x \geqslant x + 1}

l'égalité n'ayant lieu qu'au point de contact, c'est-à-dire pour x=0x = 0. □\square

5 V. Méthodes

M1 — Étudier la convexité

M2 — Points d'inflexion

M3 — Position par rapport aux tangentes

M4 — Inégalités

Ce chapitre est tombé au bac

12 sujets officiels de bac comportent un exercice sur ce chapitre — chaque corrigé est détaillé question par question.

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Questions fréquentes

Comment montrer qu'une fonction est convexe ?
On calcule la dérivée seconde : ff est convexe sur un intervalle si f′′⩾0f'' \geqslant 0 sur cet intervalle, et concave si f′′⩽0f'' \leqslant 0. Géométriquement, une fonction convexe a sa courbe au-dessus de toutes ses tangentes et en dessous de ses cordes.
Quelle est la différence entre convexité et croissance ?
La croissance concerne le signe de f′f' (la fonction monte ou descend), la convexité le signe de f′′f'' (la pente elle-même augmente ou diminue). Une fonction peut très bien être décroissante et convexe, comme x↦e−xx \mapsto e^{-x} : elle descend, mais de moins en moins vite.
Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?
C'est un point où la courbe change de convexité — elle passe de convexe à concave, ou l'inverse. On le trouve là où f′′f'' s'annule EN CHANGEANT DE SIGNE : l'annulation seule ne suffit pas, comme le montre x4x^4 en 00, où f′′f'' s'annule sans que la convexité change.

1. Définitions et théorèmes

Caractérisations

ConvexeConcave
SécantesCourbe en dessousCourbe au-dessus
TangentesCourbe au-dessusCourbe en dessous
f′′f''f′′≥0f'' \geq 0f′′≤0f'' \leq 0
f′f'f′f' croissantef′f' décroissante

Schéma visuel

Convexe vs Concave — position relative
Convexe (f'' ≥ 0)
sécantetangentecourbe en dessousdes sécantes
« En creux » — au-dessus des tangentes
Concave (f'' ≤ 0)
sécantetangentecourbe au-dessusdes sécantes
« En bosse » — en dessous des tangentes

Fonctions de référence

Fonctionf′′f''Convexité
x2x^222Convexe sur R\mathbb{R}
x3x^36x6xConvexe R+\mathbb{R}^+, concave R−\mathbb{R}^-
1x\dfrac{1}{x}2x3\dfrac{2}{x^3}Convexe ]0,+∞[]0,+\infty[, concave ]−∞,0[]-\infty,0[
x\sqrt{x}−14xx-\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}Concave ]0,+∞[]0,+\infty[

Point d'inflexion

Inégalité de convexité

2. Méthodes

Récapitulatif

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Convexité par f′′f''.
1.
x2−3x+1x^2-3x+1
$f''=2>0$ : convexe sur $\mathbb{R}$.
2.
−x2+4x-x^2+4x
$f''=-2<0$ : concave.
3.
x3x^3
$f''=6x$. Convexe sur $]0;+\infty[$, concave sur $]-\infty;0[$.
Exercice 2
Facile
f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x. Point d'inflexion.
Correction détaillée
$f''=6x=0$ en $x=0$. Change de signe . Inflexion $(0;0)$.
Exercice 3
Facile
Convexité des fonctions de référence.
1.
x4x^4
$f''=12x^2 \geq 0$ : convexe.
2.
x\sqrt{x} sur ]0;+∞[]0;+\infty[
$f''=-1/(4x\sqrt{x})<0$ : concave.
3.
1/x1/x sur ]0;+∞[]0;+\infty[
$f''=2/x^3>0$ : convexe.
4.
1/x1/x sur ]−∞;0[]-\infty;0[
$f''=2/x^3<0$ : concave.
Exercice 4
Facile
Tableau f′′f'' donné : f′′<0f''<0 sur ]−∞;1[]-\infty;1[, f′′(1)=0f''(1)=0, f′′>0f''>0 sur ]1;+∞[]1;+\infty[.
Correction détaillée
Concave sur $]-\infty;1[$, convexe sur $]1;+\infty[$. Inflexion en $x=1$.
Exercice 5
Facile
f(x)=x2f(x)=x^2. Tangente en x=1x=1 : y=2x−1y=2x-1. Courbe au-dessus ?
Correction détaillée
$f-(2x-1)=(x-1)^2 \geq 0$. Convexe : courbe au-dessus des tangentes.
Exercice 6
Facile
f(x)=x2f(x)=x^2 sur [1;3][1;3]. Sécante. Courbe en dessous ?
Correction détaillée
Sécante $y=4x-3$. $4x-3-x^2=-(x-1)(x-3) \geq 0$ sur $[1;3]$. Convexe : sous la sécante.
Exercice 7
Facile
f(x)=x4f(x)=x^4. f′′(0)=0f''(0)=0. Inflexion en 0 ?
Correction détaillée
$f''=12x^2 \geq 0$ : pas de changement de signe. **Pas** d'inflexion.
Exercice 8
Facile
f(x)=x3+xf(x)=x^3+x. f′f' croissante   ⟺  \iff convexe ?
Correction détaillée
$f''=6x$ change de signe : $f'$ pas toujours croissante. Pas convexe sur $\mathbb{R}$.
Exercice 9
Facile
x2x^2 convexe. Montrer ((a+b)/2)2≤(a2+b2)/2((a+b)/2)^2 \leq (a^2+b^2)/2.
Correction détaillée
Jensen. $(a^2+b^2)/2 - ((a+b)/2)^2 = (a-b)^2/4 \geq 0$.
Exercice 10
Facile
f(x)=−xf(x)=-\sqrt{x}. Convexe ? Position / tangentes.
Correction détaillée
$f''=1/(4x^{3/2})>0$ : convexe. Courbe au-dessus des tangentes.
Exercice 11
Intermédiaire
f(x)=x4−6x2+8x+1f(x)=x^4-6x^2+8x+1. Inflexions.
1.
f′′f''.
$f''=12(x-1)(x+1)$.
2.
Points d'inflexion.
$(-1;-12)$ et $(1;4)$.
Exercice 12
Intermédiaire
f(x)=x/(x2+1)f(x)=x/(x^2+1). 3 points d'inflexion.
1.
f′′f''.
$f''=2x(x^2-3)/(x^2+1)^3$.
2.
Inflexions.
$x=0, \pm\sqrt{3}$.
Exercice 13
Intermédiaire
f(x)=x3−3x2+2f(x)=x^3-3x^2+2. Tangente au point d'inflexion traverse.
1.
Inflexion.
$f''=6(x-1)$. Inflexion $(1;0)$.
2.
Tangente et traversée.
$f-T = (x-1)^3$ change de signe .
Exercice 14
Intermédiaire
1/x1/x convexe sur ]0;+∞[]0;+\infty[. Jensen →\to HM ≤\leq AM.
Correction détaillée
Jensen : $2/(a+b) \leq (1/a+1/b)/2$. D'où $2ab/(a+b) \leq (a+b)/2$.
Exercice 15
Intermédiaire
(1+x)n(1+x)^n convexe pour n≥2n \geq 2. Tangente en 0 →\to Bernoulli.
Correction détaillée
$f''=n(n-1)(1+x)^{n-2} \geq 0$. Tangente $y=1+nx$. $(1+x)^n \geq 1+nx$.
Exercice 16
Intermédiaire
(x2−1)2(x^2-1)^2. Développer, f′′f'', inflexions.
1.
f′′f''.
$f''=4(3x^2-1)$.
2.
Inflexions.
$x=\pm 1/\sqrt{3}$. Concave entre.
Exercice 17
Intermédiaire
f(x)=x3+xf(x)=x^3+x. Tangente en 0 traverse ?
Correction détaillée
Tangente $y=x$. $f-x=x^3$ change de signe. Inflexion en 0.
Exercice 18
Intermédiaire
x\sqrt{x} concave. Jensen →a+b≤2(a+b)\to \sqrt{a}+\sqrt{b} \leq \sqrt{2(a+b)}.
Correction détaillée
$\sqrt{(a+b)/2} \geq (\sqrt{a}+\sqrt{b})/2$. Multiplier par $\sqrt{2}$.
Exercice 19
Intermédiaire
f′f' décroissante sur ]−∞;2[]-\infty;2[, croissante après. Convexité.
Correction détaillée
Concave sur $]-\infty;2[$, convexe sur $]2;+\infty[$. Inflexion en $x=2$.
Exercice 20
Intermédiaire
x2x^2 convexe. Jensen 3 points : ((a+b+c)/3)2≤(a2+b2+c2)/3((a+b+c)/3)^2 \leq (a^2+b^2+c^2)/3.
Correction détaillée
Jensen $\lambda_i=1/3$. $(a^2+b^2+c^2)/3-(\bar{x})^2 = ((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2)/9 \geq 0$.
Exercice 21
Intermédiaire
En déduire de l'exercice 20 que ab⩽a+b2\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2} pour a,b>0a, b > 0.
Correction détaillée
De l'exercice 20 : $\ln\left(\frac{a+b}{2}\right) \geqslant \frac{\ln a+\ln b}{2} = \frac{\ln(ab)}{2} = \ln(\sqrt{ab})$. Comme $\ln$ est croissante : $\boxed{\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}}$.
Exercice 22
Intermédiaire
Montrer que ex⩾exe^x \geqslant ex pour tout x>0x > 0.
Correction détaillée
Posons $g(x) = \frac{e^x}{x}$ pour $x > 0$. $g'(x) = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$. $g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$. Minimum en $x = 1$ : $g(1) = e$. Donc $\frac{e^x}{x} \geqslant e$, soit $\boxed{e^x \geqslant ex}$.
Exercice 23
Intermédiaire
Calculer f′′(x)f''(x) pour f(x)=x1+x2f(x) = \frac{x}{1+x^2} et déterminer les points d'inflexion.
Correction détaillée
$f'(x) = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$. $f''(x) = \frac{2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}$. $f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$, $x = \sqrt{3}$ ou $x = -\sqrt{3}$. Changement de signe en chacun. $f(0) = 0$, $f(\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$, $f(-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{4}$. Points d'inflexion : $\boxed{(0, 0)}$, $\boxed{(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})}$, $\boxed{(-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{4})}$.
Exercice 24
Intermédiaire
Montrer que ex⩾1+x+x22e^x \geqslant 1 + x + \frac{x^2}{2} pour tout x⩾0x \geqslant 0.
Correction détaillée
Posons $h(x) = e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}$. $h(0) = 0$. $h'(x) = e^x - 1 - x$. $h'(0) = 0$. $h''(x) = e^x - 1 \geqslant 0$ pour $x \geqslant 0$. Donc $h'$ croissante sur $[0,+\infty[$, $h'(0)=0$ donne $h' \geqslant 0$, puis $h$ croissante, $h(0)=0$ donne $h \geqslant 0$. $\boxed{e^x \geqslant 1+x+\frac{x^2}{2}}$ pour $x \geqslant 0$.
Exercice 25
Intermédiaire
Montrer que f(x)=x−ln⁡(x)f(x) = x - \ln(x) est convexe sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[. En déduire que f(x)⩾1f(x) \geqslant 1.
Correction détaillée
$f''(x) = \frac{1}{x^2} > 0$ : $f$ convexe. $f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 1$. $f(1) = 1$ (minimum car $f$ convexe). $\boxed{f(x) \geqslant 1}$, soit $\ln(x) \leqslant x-1$.
Exercice 26
Intermédiaire
Montrer que f(x)=exxf(x) = \frac{e^x}{x} est convexe sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.
Correction détaillée
$f'(x) = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$. $f''(x) = \frac{e^x(x^2-2x+2)}{x^3}$. Or $x^2-2x+2 = (x-1)^2+1 > 0$ et $e^x > 0$, $x^3 > 0$ pour $x > 0$. Donc $f''(x) > 0$ : $\boxed{f \text{ convexe sur } ]0\,;+\infty[}$.
Exercice 27
Intermédiaire
Montrer que ln⁡(1+x)⩽x\ln(1+x) \leqslant x pour tout x>−1x > -1.
Correction détaillée
On utilise $e^t \geqslant 1+t$ (convexité de $e^x$). Posons $t = \ln(1+x)$ (défini pour $x > -1$). $e^t = 1+x \geqslant 1+t = 1+\ln(1+x)$, soit $x \geqslant \ln(1+x)$. $\boxed{\ln(1+x) \leqslant x}$ pour $x > -1$.
Exercice 28
Intermédiaire
Calculer f′′(x)f''(x) pour f(x)=x2exf(x) = x^2e^x et déterminer les points d'inflexion.
Correction détaillée
$f'(x) = x(x+2)e^x$. $f''(x) = (x^2+4x+2)e^x$. $f''(x) = 0 \Leftrightarrow x^2+4x+2 = 0$. $\Delta = 8$. $x = -2 \pm \sqrt{2}$. Changement de signe en $x_1 = -2-\sqrt{2} \approx -3{,}41$ et $x_2 = -2+\sqrt{2} \approx -0{,}59$. Points d'inflexion en $(x_1, x_1^2 e^{x_1})$ et $(x_2, x_2^2 e^{x_2})$.
Exercice 29
Difficile
Montrer que (x2+1)e−x(x^2+1)e^{-x} admet deux points d'inflexion.
Correction détaillée
$f'(x) = -(x-1)^2 e^{-x}$. $f''(x) = (x-1)(x-3)e^{-x}$. $f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ ou $x = 3$. Changement de signe en chacun. $f(1) = 2e^{-1}$, $f(3) = 10e^{-3}$. Points d'inflexion : $\boxed{(1, 2e^{-1})}$ et $\boxed{(3, 10e^{-3})}$.
Exercice 30
Difficile
Montrer que x1+x⩽ln⁡(1+x)⩽x\frac{x}{1+x} \leqslant \ln(1+x) \leqslant x pour tout x>0x > 0.
Correction détaillée
**Droite :** $\ln(1+x) \leqslant x$ (exercice 27). **Gauche :** Posons $h(x) = \ln(1+x) - \frac{x}{1+x}$. $h(0) = 0$. $h'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{x}{(1+x)^2} > 0$ pour $x > 0$. $h$ croissante, $h(0) = 0$ donc $h(x) > 0$ pour $x > 0$. $\boxed{\frac{x}{1+x} \leqslant \ln(1+x) \leqslant x}$
Exercice 31
Difficile
Soit ff convexe sur R\mathbb{R} avec f(0)=0f(0) = 0, f(1)=1f(1) = 1. Montrer que f(x)⩽xf(x) \leqslant x pour x∈[0 ;1]x \in [0\,;1] et f(x)⩾xf(x) \geqslant x pour x⩾1x \geqslant 1.
Correction détaillée
**Sur $[0,1]$ :** La corde entre $(0,0)$ et $(1,1)$ est $y = x$. Par convexité : courbe en dessous de la corde, donc $f(x) \leqslant x$. **Pour $x \geqslant 1$ :** On écrit $1 = t \cdot 0 + (1-t) \cdot x$ avec $t = 1 - \frac{1}{x}$, $1-t = \frac{1}{x}$. Par convexité : $f(1) \leqslant tf(0) + (1-t)f(x) = \frac{f(x)}{x}$. Donc $1 \leqslant \frac{f(x)}{x}$, soit $\boxed{f(x) \geqslant x}$.
Exercice 32
Difficile
Montrer l'inégalité AM-GM pour 3 termes : a+b+c3⩾abc3\frac{a+b+c}{3} \geqslant \sqrt[3]{abc} pour a,b,c>0a,b,c > 0.
Correction détaillée
$f(x) = -\ln(x)$ convexe (car $f''(x) = \frac{1}{x^2} > 0$). Par convexité (Jensen avec poids $\frac{1}{3}$) : $f\left(\frac{a+b+c}{3}\right) \leqslant \frac{f(a)+f(b)+f(c)}{3}$. $-\ln\left(\frac{a+b+c}{3}\right) \leqslant -\frac{\ln(abc)}{3} = -\ln(\sqrt[3]{abc})$. Multipliant par $-1$ et appliquant $\ln$ croissante : $\boxed{\frac{a+b+c}{3} \geqslant \sqrt[3]{abc}}$.
Exercice 33
Difficile
Soit f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Déterminer le point d'inflexion II et montrer que f(x)−TI(x)=(x−1)3f(x) - T_I(x) = (x-1)^3.
Correction détaillée
$f''(x) = 6(x-1)$. $f''(1) = 0$, changement de signe. $I = (1, 2)$. $f'(1) = 3-6 = -3$. Tangente : $T_I(x) = -3(x-1)+2 = -3x+5$. $f(x) - T_I(x) = x^3-3x^2+4+3x-5 = x^3-3x^2+3x-1 = \boxed{(x-1)^3}$. $(x-1)^3$ change de signe en $1$ : la courbe traverse bien sa tangente.
Exercice 34
Difficile
Montrer que 1+x⩽1+x2\sqrt{1+x} \leqslant 1 + \frac{x}{2} pour tout x⩾−1x \geqslant -1.
Correction détaillée
$g(x) = \sqrt{1+x}$ est concave sur $[-1, +\infty[$ (car $g''(x) = -\frac{1}{4(1+x)^{3/2}} < 0$). Tangente en $x=0$ : $y = g'(0) \cdot x + g(0) = \frac{1}{2}x + 1$. Concave $\Rightarrow$ courbe en dessous de la tangente : $\boxed{\sqrt{1+x} \leqslant 1+\frac{x}{2}}$ pour $x \geqslant -1$.
Exercice 35
Difficile
Montrer que x2x−1\frac{x^2}{x-1} est convexe sur ]1 ;+∞[]1\,;+\infty[.
Correction détaillée
$f(x) = x + 1 + \frac{1}{x-1}$ (division euclidienne). $f'(x) = 1 - \frac{1}{(x-1)^2}$. $f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3} > 0$ pour $x > 1$. $\boxed{f \text{ convexe sur } ]1\,;+\infty[}$.
Exercice 36
Avancé
Soit ff convexe et dérivable sur R\mathbb{R} avec lim⁡+∞f(x)x=0\lim_{+\infty} \frac{f(x)}{x} = 0. Montrer que ff est décroissante.
Correction détaillée
Par l'absurde : supposons $f'(a) > 0$ pour un certain $a$. Convexe $\Rightarrow$ courbe au-dessus de la tangente en $a$ : $f(x) \geqslant f(a) + f'(a)(x-a)$ pour tout $x$. Pour $x > a$ : $\frac{f(x)}{x} \geqslant \frac{f(a)-f'(a)a}{x} + f'(a) \to f'(a) > 0$. Contradiction avec $\lim \frac{f(x)}{x} = 0$. Donc $f'(a) \leqslant 0$ pour tout $a$ : $\boxed{f \text{ décroissante}}$.
Exercice 37
Avancé
Soit ff convexe sur [a ;b][a\,;b], c∈]a ;b[c \in ]a\,;b[. Montrer l'inégalité des pentes :
f(c)−f(a)c−a⩽f(b)−f(a)b−a⩽f(b)−f(c)b−c\frac{f(c)-f(a)}{c-a} \leqslant \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leqslant \frac{f(b)-f(c)}{b-c}
Correction détaillée
$c = ta+(1-t)b$ avec $t = \frac{b-c}{b-a}$. Convexité : $f(c) \leqslant \frac{b-c}{b-a}f(a) + \frac{c-a}{b-a}f(b)$. $f(c)(b-a) \leqslant (b-c)f(a) + (c-a)f(b)$. En réarrangeant $(f(c)-f(a))(b-a) \leqslant (c-a)(f(b)-f(a))$, on obtient l'inégalité gauche. De même, $(f(b)-f(c))(b-a) \geqslant (b-c)(f(b)-f(a))$ donne l'inégalité droite. $\boxed{\frac{f(c)-f(a)}{c-a} \leqslant \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leqslant \frac{f(b)-f(c)}{b-c}}$
Exercice 38
Avancé
Soit ff convexe sur R\mathbb{R} avec lim⁡+∞f=0\lim_{+\infty} f = 0. Montrer que f⩾0f \geqslant 0.
Correction détaillée
Par l'absurde : supposons $f(a) < 0$. Par convexité, pour $a < x < b$ : $f(x) \leqslant \frac{b-x}{b-a}f(a) + \frac{x-a}{b-a}f(b)$. Fixons $x > a$, $b \to +\infty$ : $\frac{b-x}{b-a} \to 1$, $\frac{x-a}{b-a} \to 0$, $f(b) \to 0$. Donc $f(x) \leqslant f(a) < 0$ pour tout $x > a$, soit $\lim f \leqslant f(a) < 0$. Contradiction. $\boxed{f \geqslant 0}$.
Exercice 39
Avancé
Montrer l'inégalité de Young : pour a,b>0a, b > 0 et p,q>1p, q > 1 avec 1p+1q=1\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 :
ab⩽app+bqqab \leqslant \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}
Correction détaillée
Par convexité de $e^x$, avec $t = \frac{1}{p}$ et $1-t = \frac{1}{q}$ : $$e^{\frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}} \leqslant \frac{e^\alpha}{p} + \frac{e^\beta}{q}$$ Posons $\alpha = p\ln a$ et $\beta = q\ln b$. Alors $\frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q} = \ln a + \ln b = \ln(ab)$. $e^{\ln(ab)} \leqslant \frac{e^{p\ln a}}{p} + \frac{e^{q\ln b}}{q}$, soit $\boxed{ab \leqslant \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}}$.
Exercice 40
Avancé
Soit ff convexe sur R\mathbb{R} telle que lim⁡−∞f=lim⁡+∞f=+∞\lim_{-\infty} f = \lim_{+\infty} f = +\infty. Montrer que ff admet un minimum global.
Correction détaillée
Il existe $A < 0$ tel que $f(x) \geqslant f(0)+1$ pour $x \leqslant A$, et $B > 0$ tel que $f(x) \geqslant f(0)+1$ pour $x \geqslant B$. $f$ continue sur $[A, B]$ (compact), donc atteint son minimum en un $c \in [A, B]$ : $f(c) = \min_{[A,B]} f$. Pour $x \notin [A, B]$ : $f(x) \geqslant f(0)+1 > f(0) \geqslant f(c)$. Donc $f(c) \leqslant f(x)$ pour tout $x$ : $\boxed{f \text{ admet un minimum global en } c}$.
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Étude complète de convexité
Intermédiaire
Soit f(x)=x4−4x3+6x2−4xf(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x.

Partie A — Dérivées et convexité

1.
Calculer f′(x)f'(x), f′′(x)f''(x) et f′′′(x)f'''(x).
$f'(x) = 4x^3-12x^2+12x-4 = 4(x-1)^3$. $f''(x) = 12(x-1)^2$. $f'''(x) = 24(x-1)$.
2.
Étudier la convexité de ff.
$f''(x) = 12(x-1)^2 \geqslant 0$ pour tout $x$. $\boxed{f \text{ convexe sur } \mathbb{R}}$. $f''(1) = 0$ mais pas de changement de signe : **pas de point d'inflexion**.
3.
Dresser le tableau de variations.
$f'(x) = 4(x-1)^3$. $f'(x) < 0$ pour $x < 1$, $f'(x) > 0$ pour $x > 1$. $f(1) = 1-4+6-4 = -1$. | $x$ | $-\infty$ | | $1$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---|---|---| | $f'$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | | $f$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $-1$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |

Partie B — Tangente

4.
Montrer que f(x)⩾−1f(x) \geqslant -1 pour tout xx de deux manières.
**Méthode 1 :** Minimum de $f$ en $x = 1$ : $f(1) = -1$. **Méthode 2 :** $f$ convexe, tangente en $1$ : $y = -1$ (car $f'(1) = 0$). Courbe au-dessus : $f(x) \geqslant -1$. **Méthode 3 :** $f(x) = (x-1)^4 - 1 \geqslant -1$. $\boxed{f(x) \geqslant -1}$.
Problème 2 — Inégalités par convexité de l'exponentielle
Difficile
On utilise la convexité de exe^x pour démontrer des inégalités.

Partie A

1.
Montrer ex⩾1+xe^x \geqslant 1+x pour tout xx.
Tangente de $e^x$ en $0$ : $y = x+1$. Convexe $\Rightarrow$ courbe au-dessus. $\boxed{e^x \geqslant 1+x}$.
2.
En déduire e−x⩾1−xe^{-x} \geqslant 1-x pour tout xx.
Remplacer $x$ par $-x$ : $e^{-x} \geqslant 1+(-x) = \boxed{1-x}$.
3.
Montrer que e(a+b)/2⩽ea+eb2e^{(a+b)/2} \leqslant \frac{e^a+e^b}{2} pour tous a,ba, b.
Convexité de $e^x$ avec $t = \frac{1}{2}$ : $\boxed{e^{(a+b)/2} \leqslant \frac{e^a+e^b}{2}}$.
4.
En déduire (ea−eb)2⩾0(e^a-e^b)^2 \geqslant 0.
En élevant au carré : $e^{a+b} \leqslant \frac{(e^a+e^b)^2}{4}$. $(e^a+e^b)^2 - 4e^{a+b} = e^{2a}-2e^{a+b}+e^{2b} = (e^a-e^b)^2 \geqslant 0$. ✓
Problème 3 — Position relative et tangente d'inflexion
Difficile
Soit f(x)=11+e−xf(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}.

Partie A — Étude

1.
Montrer que f(x)=exex+1f(x) = \frac{e^x}{e^x+1}. Limites en ±∞\pm\infty.
$f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x+1}$. $\lim_{-\infty} f = \frac{0}{1} = 0$ et $\lim_{+\infty} f = \frac{e^x}{e^x} = 1$. $\boxed{\lim_{-\infty} f = 0, \; \lim_{+\infty} f = 1}$.
2.
Montrer que f′(x)=ex(ex+1)2>0f'(x) = \frac{e^x}{(e^x+1)^2} > 0.
$f'(x) = \frac{e^x(e^x+1)-e^x \cdot e^x}{(e^x+1)^2} = \frac{e^x}{(e^x+1)^2} > 0$.
3.
Calculer f′′(x)f''(x) et montrer que f′′(x)=ex(1−ex)(ex+1)3f''(x) = \frac{e^x(1-e^x)}{(e^x+1)^3}.
$f'(x) = e^x(e^x+1)^{-2}$. $f''(x) = e^x(e^x+1)^{-2} - 2e^{2x}(e^x+1)^{-3} = \frac{e^x(e^x+1)-2e^{2x}}{(e^x+1)^3} = \frac{e^x(1-e^x)}{(e^x+1)^3}$.

Partie B — Point d'inflexion et symétrie

4.
Déterminer le point d'inflexion.
$f''(x) = 0 \Leftrightarrow e^x = 1 \Leftrightarrow x = 0$. $f''$ passe de positif ($x < 0$) à négatif ($x > 0$). $f(0) = \frac{1}{2}$. Point d'inflexion : $\boxed{(0, \frac{1}{2})}$. Convexe sur $]-\infty, 0]$, concave sur $[0, +\infty[$.
5.
Montrer que f(x)+f(−x)=1f(x) + f(-x) = 1. Interpréter.
$f(x)+f(-x) = \frac{e^x}{e^x+1}+\frac{1}{1+e^x} = \frac{e^x+1}{e^x+1} = 1$. $\boxed{f(x)+f(-x) = 1}$. La courbe admet le point $I = (0, \frac{1}{2})$ comme **centre de symétrie**. En posant $g(x) = f(x) - \frac{1}{2}$, on a $g(-x) = -g(x)$ : $g$ est impaire.
Problème 4 — Convexité et encadrement de ee
Intermédiaire
On considère f(x)=exf(x) = e^x et g(x)=1+x+x22g(x) = 1+x+\frac{x^2}{2}.

Partie A — Position relative

1.
Montrer que ex⩾1+x+x22e^x \geqslant 1+x+\frac{x^2}{2} pour x⩾0x \geqslant 0.
Posons $h(x) = e^x-1-x-\frac{x^2}{2}$. $h(0) = 0$, $h'(x) = e^x-1-x$, $h'(0) = 0$, $h''(x) = e^x-1 \geqslant 0$ pour $x \geqslant 0$. $h'' \geqslant 0 \Rightarrow h'$ croissante, $h'(0) = 0 \Rightarrow h' \geqslant 0 \Rightarrow h$ croissante, $h(0) = 0 \Rightarrow h \geqslant 0$. $\boxed{e^x \geqslant 1+x+\frac{x^2}{2}}$ pour $x \geqslant 0$.
2.
L'inégalité est-elle vraie pour x<0x < 0 ?
Pour $x < 0$ : $h'(x) = e^x-1-x$ et par $e^t \geqslant 1+t$ : $h'(x) \geqslant 0$ pour tout $x$. Donc $h$ est croissante sur $\mathbb{R}$. Pour $x < 0$ : $h(x) < h(0) = 0$. Donc $e^x < 1+x+\frac{x^2}{2}$ pour $x < 0$. L'inégalité est **fausse** pour $x < 0$.

Partie B — Encadrement de ee

3.
En déduire e⩾52e \geqslant \frac{5}{2}.
$x = 1$ : $e \geqslant 1+1+\frac{1}{2} = \boxed{\frac{5}{2}}$.
4.
En utilisant ex⩾1+x+x22+x36e^x \geqslant 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6} (admis pour x⩾0x \geqslant 0), montrer que e⩾83e \geqslant \frac{8}{3}.
$x = 1$ : $e \geqslant 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6} = \frac{6+6+3+1}{6} = \frac{16}{6} = \boxed{\frac{8}{3} \approx 2{,}667}$.