Sommes de variables aléatoires

I. Rappels sur les variables aléatoires

Espérance, variance, écart-type

E (X) = i \sum x_{i} P (X = x_{i})

V (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

σ (X) = V (X)

Linéarité de l'espérance

E (a X + b) = a E (X) + b

Transformation de la variance

V (a X + b) = a^{2} V (X)

σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)

II. Somme de deux variables aléatoires

1. Définition

Somme de VA

(X + Y) (ω) = X (ω) + Y (ω)

Deux dés

X + Y

= somme des résultats.

2. Linéarité de l'espérance

Linéarité de l'espérance

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

Plus généralement :

E (\sum a_{i} X_{i}) = \sum a_{i} E (X_{i})

.

Toujours vraie, avec ou sans indépendance.

Important

La linéarité de l'espérance est TOUJOURS vraie. Pas besoin d'indépendance.

Deux dés

E (X + Y) = 3, 5 + 3, 5 = 7

3. Indépendance et variance

Variables indépendantes

X

Y

indépendantes si

P (X = x_{i}, Y = y_{j}) = P (X = x_{i}) \times P (Y = y_{j})

pour tous

x_{i}, y_{j}

Additivité de la variance (si indépendantes)

X_{1}, \dots, X_{n}

mutuellement indépendantes :

V (\sum X_{i}) = \sum V (X_{i})

Attention

L'additivité de la variance NÉCESSITE l'indépendance.

Contre-exemple :

Y = X

→

V (X + Y) = V (2 X) = 4 V (X) \neq = 2 V (X)

Corollaire (même loi)

V (\sum X_{i}) = n σ^{2}

σ (\sum X_{i}) = σ n

III. Moyenne d'un échantillon

1. Définition

Moyenne empirique

\overline{X_{n}} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}

X_{1}, \dots, X_{n}

i.i.d. (indépendantes et de même loi) = échantillon de taille

n

2. Espérance et variance

Espérance et variance de la moyenne

E (\overline{X_{n}}) = μ

V (\overline{X_{n}}) = \frac{V ( X )}{n} = \frac{σ ^{2}}{n}

σ (\overline{X_{n}}) = \frac{σ}{n}

où

μ = E (X)

σ^{2} = V (X)

(variance),

σ = V (X)

(écart-type).

Démonstration

E (\overline{X_{n}}) = \frac{1}{n} \times n μ = μ

V (\overline{X_{n}}) = \frac{1}{n ^{2}} \times n σ^{2} = \frac{σ ^{2}}{n}

Interprétation fondamentale

La variance de la moyenne décroît en $\frac{1}{n}$ . Plus on répète, plus la moyenne est concentrée autour de

μ

3. Fréquence observée

Fréquence

F_{n} = \frac{S _{n}}{n}

avec

S_{n} \sim B (n, p)

E (F_{n}) = p V (F_{n}) = \frac{p ( 1 - p )}{n} σ (F_{n}) = \frac{p ( 1 - p )}{n}

IV. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

1. Inégalité de Markov

Inégalité de Markov

X \geq 0

a > 0

P (X \geq a) \leq \frac{E ( X )}{a}

Démonstration

E (X) = \sum x_{i} P (X = x_{i}) \geq \sum_{x_{i} \geq a} x_{i} P (X = x_{i}) \geq a \cdot P (X \geq a)

2. Bienaymé-Tchebychev

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

P (∣ X - E (X) ∣ \geq δ) \leq \frac{V ( X )}{δ ^{2}}

où

V (X) = σ^{2}

est la variance (le carré de l'écart-type).

Ou encore :

P (∣ X - μ ∣ \geq k σ) \leq \frac{1}{k ^{2}}

Démonstration

Appliquer Markov à

(X - μ)^{2}

avec le seuil

δ^{2}

P ((X - μ)^{2} \geq δ^{2}) \leq \frac{E (( X - μ ) ^{2} )}{δ ^{2}} = \frac{V ( X )}{δ ^{2}}

Forme complémentaire

P (∣ X - μ ∣ < δ) \geq 1 - \frac{V ( X )}{δ ^{2}}

Universelle mais large

Inégalité valable pour toute loi, mais souvent imprécise. Suffisante pour les démonstrations théoriques.

Exemple

μ = 10

σ = 3

P (∣ X - 10∣ \geq 6) \leq \frac{9}{36} = \frac{1}{4}

P (∣ X - 10∣ \geq 9) \leq \frac{9}{81} = \frac{1}{9}

Application à la fréquence

P (∣ F_{n} - p ∣ \geq δ) \leq \frac{p ( 1 - p )}{n δ ^{2}} \leq \frac{1}{4 n δ ^{2}}

(car

p (1 - p) \leq \frac{1}{4}

)

V. Concentration et loi des grands nombres

1. Concentration de la moyenne

Théorème de concentration

P (∣ \overline{X_{n}} - μ ∣ \geq δ) \leq \frac{V ( X )}{n δ ^{2}}

où

V (X) = σ^{2}

est la variance de

X

Démonstration

Bienaymé-Tchebychev appliqué à

\overline{X_{n}}

E = μ

V = \frac{σ ^{2}}{n}

P (∣ \overline{X_{n}} - μ ∣ \geq δ) \leq \frac{σ ^{2} / n}{δ ^{2}} = \frac{σ ^{2}}{n δ ^{2}}

2. Loi faible des grands nombres

Loi des grands nombres

Pour tout

δ > 0

n \to + \infty lim P (∣ \overline{X_{n}} - μ ∣ \geq δ) = 0

\overline{X_{n}}

converge en probabilité vers

μ

Démonstration

0 \leq P (∣ \overline{X_{n}} - μ ∣ \geq δ) \leq \frac{σ ^{2}}{n δ ^{2}} \to 0

.

Par le théorème des gendarmes.

Corollaire (fréquences)

F_{n}

converge en probabilité vers

p

.

La fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique.

3. Ce que dit (et ne dit pas) la LGN

Interprétation correcte

DIT : la moyenne observée se rapproche de

μ

en probabilité.
DIT : la fréquence se rapproche de

p

.

NE DIT PAS : les résultats se « compensent » (sophisme du joueur).
NE DIT PAS : convergence certaine pour un

n

donné.

Casino

Roulette,

p = \frac{18}{37} \approx 0, 4865

. Après 10 000 tours,

F_{n} \approx 0, 4865

.

Mais après 10 rouges consécutifs, le prochain tour a toujours

p = \frac{18}{37}

VI. Intervalles de fluctuation et de confiance

1. Intervalle de fluctuation

Intervalle de fluctuation

Intervalle

I_{n}

tel que

P (F_{n} \in I_{n}) \geq 1 - α

Par Tchebychev

I_{n} = [p - \frac{1}{2 n α}, p + \frac{1}{2 n α}]

Seuil 95%

α = 0, 05

I_{n} = [p - \frac{2 , 236}{n}, p + \frac{2 , 236}{n}]

2. Intervalle de confiance

Intervalle de confiance

On observe

f_{n}

, on renverse :

p \in [f_{n} - \frac{1}{n}, f_{n} + \frac{1}{n}]

Exemple

f_{400} = 0, 62

p \in [0, 57; 0, 67]

3. Prise de décision

Test d'hypothèse

1. Hypothèse

H_{0} : p = p_{0}

.
2. Calculer

I_{n}

sous

p_{0}

.
3. Observer

f_{n}

.
4.

f_{n} \in / I_{n}

→ rejeter

H_{0}

au seuil choisi.
5.

f_{n} \in I_{n}

→ ne pas rejeter

H_{0}

Exemple

Pièce,

n = 400

H_{0} : p = 0, 5

f_{400} = 0, 38

→ hors intervalle → rejet.

f_{400} = 0, 53

→ dans l'intervalle → non rejet.

VII. Simulation et illustration

On peut simuler par ordinateur la convergence de

F_{n}

vers

p

Algorithme Python

import random
def simulation(n, p):
succes = sum(1 for _ in range(n) if random.random() < p)
return succes / n

Ordres de grandeur (

p = 0, 6

)

n = 10

: fluctuations larges (

\pm 0, 15

n = 100

\pm 0, 05

n = 1000

\pm 0, 015

n = 10000

\pm 0, 005

VIII. Méthodes

M1 — Espérance d'une somme

Linéarité :

E (\sum X_{i}) = \sum E (X_{i})

. Toujours vrai.

M2 — Variance d'une somme

Si indépendantes :

V (\sum X_{i}) = \sum V (X_{i})

. Si

a X + b

V = a^{2} V (X)

M3 — Moyenne

E (\overline{X_{n}}) = μ

V (\overline{X_{n}}) = \frac{σ ^{2}}{n}

σ (\overline{X_{n}}) = \frac{σ}{n}

M4 — Bienaymé-Tchebychev

1. Identifier

μ = E (X)

V (X)

(la variance, pas l'écart-type).
2. Identifier

δ

(l'écart toléré).
3. Appliquer :

P (∣ X - μ ∣ \geq δ) \leq \frac{V ( X )}{δ ^{2}}

Exemple

X \sim B (100, 0, 3)

P (∣ X - 30∣ \geq 10) \leq \frac{21}{100} = 0, 21

M5 — Taille d'échantillon

n \geq \frac{σ ^{2}}{α δ ^{2}}

. Pour la fréquence :

n \geq \frac{1}{4 α δ ^{2}}

Exemple

δ = 0, 02

, seuil 95% (

α = 0, 05

) :

n \geq \frac{1}{4 \times 0 , 05 \times 0 , 0004} = 12500

M6 — Intervalle de fluctuation

I_{n} = [p - \frac{1}{2 n α}, p + \frac{1}{2 n α}]

M7 — Test d'hypothèse

Hypothèse → intervalle sous

H_{0}

→ observation → décision.

M8 — Justifier par la LGN

Rédaction : « Par la loi des grands nombres, pour

n

assez grand,

\overline{X_{n}}

est proche de

μ

avec probabilité aussi grande qu'on veut. »

	Espérance	Variance	Écart-type
$\overline{X_{n}}$	$μ$	$\frac{σ ^{2}}{n}$	$\frac{σ}{n}$
$F_{n}$	$p$	$\frac{p ( 1 - p )}{n}$	$\frac{p ( 1 - p )}{n}$

Type	Formule
Fluctuation	$[p - \frac{1}{2 n α}, p + \frac{1}{2 n α}]$
Confiance	$[f_{n} - \frac{1}{n}, f_{n} + \frac{1}{n}]$
Taille $n$	$n \geq \frac{1}{4 α δ ^{2}}$

45 exercices disponibles

Exercice 1

Facile

On considère deux variables aléatoires indépendantes

X

Y

telles que

E(X) = 3

E(Y) = 5

V(X) = 2

V(Y) = 4

Calculer

E(X + Y)

Par linéarité de l'espérance (valable même sans indépendance) :

E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 3 + 5 = \boxed{8}

Calculer

V(X + Y)

Comme

X

Y

sont indépendantes, la variance de la somme est la somme des variances :

V(X + Y) = V(X) + V(Y) = 2 + 4 = \boxed{6}

Calculer

E(2X + 3Y)

Par linéarité de l'espérance :

E(2X + 3Y) = 2E(X) + 3E(Y) = 2 \times 3 + 3 \times 5 = 6 + 15 = \boxed{21}

Calculer

V(2X + 3Y)

Comme

X

Y

sont indépendantes :

V(2X + 3Y) = 2^2 V(X) + 3^2 V(Y) = 4 \times 2 + 9 \times 4 = 8 + 36 = \boxed{44}

Exercice 2

Facile

On lance un dé équilibré à six faces. Soit

X

la variable aléatoire donnant le résultat obtenu.

Rappeler

E(X)

V(X)

Pour un dé équilibré :

E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \boxed{3{,}5}

E(X^2) = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \boxed{\frac{35}{12}}

On lance le dé

n = 100

fois de manière indépendante. Soit

S_{100} = X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}

la somme des résultats. Calculer

E(S_{100})

V(S_{100})

Par linéarité de l'espérance :

E(S_{100}) = \sum_{i=1}^{100} E(X_i) = 100 \times 3{,}5 = \boxed{350}

Les lancers étant indépendants :

V(S_{100}) = \sum_{i=1}^{100} V(X_i) = 100 \times \frac{35}{12} = \boxed{\frac{3500}{12} \approx 291{,}7}

Soit

\bar{X}_{100} = \frac{S_{100}}{100}

la moyenne des résultats. Calculer

E(\bar{X}_{100})

V(\bar{X}_{100})

L'espérance de la moyenne :

E(\bar{X}_{100}) = E(X) = \boxed{3{,}5}

La variance de la moyenne :

V(\bar{X}_{100}) = \frac{V(X)}{100} = \frac{35/12}{100} = \frac{35}{1200} = \boxed{\frac{7}{240} \approx 0{,}029}

Exercice 3

Facile

Soit

X

une variable aléatoire telle que

E(X) = 10

V(X) = 9

En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer

P(|X - 10| \geqslant 6)

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'écrit :

P(|X - E(X)| \geqslant \delta) \leqslant \frac{V(X)}{\delta^2}

Avec

E(X) = 10

V(X) = 9

\delta = 6

P(|X - 10| \geqslant 6) \leqslant \frac{9}{6^2} = \frac{9}{36} = \boxed{0{,}25}

En déduire un minorant de

P(4 < X < 16)

On remarque que

\{4 < X < 16\} = \{|X - 10| < 6\}

.
Donc

P(4 < X < 16) = P(|X - 10| < 6) = 1 - P(|X - 10| \geqslant 6)

.
Or

P(|X - 10| \geqslant 6) \leqslant 0{,}25

, donc :

P(4 < X < 16) \geqslant 1 - 0{,}25 = \boxed{0{,}75}

Majorer

P(|X - 10| \geqslant 3)

Avec

\delta = 3

P(|X - 10| \geqslant 3) \leqslant \frac{V(X)}{\delta^2} = \frac{9}{3^2} = \frac{9}{9} = \boxed{1}

Cette majoration est triviale (toute probabilité est au plus 1). L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev n'est pas toujours informative.

Exercice 4

Facile

On répète

n

fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre

p = 0{,}4

. Soit

S_n

le nombre de succès et

F_n = \frac{S_n}{n}

la fréquence de succès.

Quelle est la loi de

S_n

? Donner

E(S_n)

V(S_n)

S_n

suit une loi binomiale

\mathcal{B}(n, 0{,}4)

E(S_n) = np = 0{,}4n

V(S_n) = np(1-p) = 0{,}4 \times 0{,}6 \times n = \boxed{0{,}24n}

Calculer

E(F_n)

V(F_n)

F_n = \frac{S_n}{n}

, donc :

E(F_n) = \frac{E(S_n)}{n} = \frac{0{,}4n}{n} = \boxed{0{,}4}

V(F_n) = \frac{V(S_n)}{n^2} = \frac{0{,}24n}{n^2} = \boxed{\frac{0{,}24}{n}}

En appliquant l'inégalité de concentration, majorer

P(|F_n - 0{,}4| \geqslant 0{,}1)

pour

n = 100

L'inégalité de concentration donne :

P(|F_n - p| \geqslant \delta) \leqslant \frac{p(1-p)}{n\delta^2}

Avec

p = 0{,}4

\delta = 0{,}1

n = 100

P(|F_{100} - 0{,}4| \geqslant 0{,}1) \leqslant \frac{0{,}4 \times 0{,}6}{100 \times 0{,}01} = \frac{0{,}24}{1} = \boxed{0{,}24}

Quelle valeur minimale de

n

faut-il pour que cette majoration soit inférieure ou égale à

0{,}05

On cherche

n

tel que :

\frac{0{,}24}{n \times 0{,}01} \leqslant 0{,}05

\frac{0{,}24}{0{,}01n} \leqslant 0{,}05

\frac{24}{n} \leqslant 0{,}05

n \geqslant \frac{24}{0{,}05} = 480

Il faut au minimum

\boxed{n = 480}

Exercice 5

Facile

Soient

X_1, X_2, \ldots, X_n

des variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi que

X

avec

E(X) = 7

\sigma(X) = 2

Calculer

V(X)

L'écart type est la , donc :

V(X) = [\sigma(X)]^2 = 2^2 = \boxed{4}

Soit

S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n

. Exprimer

E(S_n)

V(S_n)

en fonction de

n

Par linéarité de l'espérance :

E(S_n) = nE(X) = \boxed{7n}

Par indépendance des variables :

V(S_n) = nV(X) = \boxed{4n}

Soit

\bar{X}_n = \frac{S_n}{n}

. Que vaut

V(\bar{X}_n)

pour

n = 400

On sait que

V(\bar{X}_n) = \frac{V(X)}{n}

.
Pour

n = 400

V(\bar{X}_{400}) = \frac{4}{400} = \boxed{0{,}01}

Que peut-on dire de

\bar{X}_n

quand

n \to +\infty

? Quel théorème justifie cette propriété ?

Quand

n \to +\infty

V(\bar{X}_n) = \frac{4}{n} \to 0

.
Donc

\bar{X}_n

se concentre autour de

E(\bar{X}_n) = 7 = E(X)

.
Pour tout

\delta > 0

P(|\bar{X}_n - 7| \geqslant \delta) \leqslant \frac{4}{n\delta^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0

C'est la \textbf{loi (faible) des grands nombres} :

\bar{X}_n

converge en probabilité vers

E(X) = \boxed{7}

Exercice 6

Facile

On tire au hasard un bonbon dans un sachet contenant des bonbons de deux couleurs. La probabilité de tirer un bonbon rouge est

p = 0{,}3

. On effectue

n = 200

tirages indépendants avec remise.

Soit

F_{200}

la fréquence de bonbons rouges obtenus. Calculer

E(F_{200})

V(F_{200})

La fréquence

F_{200} = \frac{S_{200}}{200}

où

S_{200} \sim \mathcal{B}(200 ; 0{,}3)

E(F_{200}) = p = \boxed{0{,}3}

V(F_{200}) = \frac{p(1-p)}{n} = \frac{0{,}3 \times 0{,}7}{200} = \frac{0{,}21}{200} = \boxed{0{,}00105}

Majorer

P(|F_{200} - 0{,}3| \geqslant 0{,}05)

à l'aide de l'inégalité de concentration.

L'inégalité de concentration donne :

P(|F_{200} - 0{,}3| \geqslant 0{,}05) \leqslant \frac{p(1-p)}{n\delta^2} = \frac{0{,}21}{200 \times 0{,}0025} = \frac{0{,}21}{0{,}5} = \boxed{0{,}42}

En déduire un minorant de

P(0{,}25 \leqslant F_{200} \leqslant 0{,}35)

On a

\{0{,}25 \leqslant F_{200} \leqslant 0{,}35\} = \{|F_{200} - 0{,}3| \leqslant 0{,}05\}

.
Donc :

P(0{,}25 \leqslant F_{200} \leqslant 0{,}35) \geqslant 1 - 0{,}42 = \boxed{0{,}58}

Exercice 7

Facile

Soient

X

Y

deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de Bernoulli :

X \sim \mathcal{B}(0{,}5)

Y \sim \mathcal{B}(0{,}5)

. On pose

S = X + Y

Déterminer la loi de

S

S = X + Y

où

X

Y

sont indépendantes et suivent

\mathcal{B}(0{,}5)

.
Donc

S \sim \mathcal{B}(2 ; 0{,}5)

S

prend les valeurs 0, 1, 2 avec :

P(S=0) = 0{,}5^2 = 0{,}25

P(S=1) = 2 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}5

P(S=2) = 0{,}5^2 = \boxed{0{,}25}

Vérifier que

E(S) = E(X) + E(Y)

D'une part :

E(X) = 0{,}5

E(Y) = 0{,}5

, donc

E(X) + E(Y) = 1

.
D'autre part :

E(S) = 0 \times 0{,}25 + 1 \times 0{,}5 + 2 \times 0{,}25 = 0 + 0{,}5 + 0{,}5 = 1

.
On a bien

E(S) = E(X) + E(Y) = \boxed{1}

Vérifier que

V(S) = V(X) + V(Y)

V(X) = 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25

V(Y) = 0{,}25

. Donc

V(X)+V(Y) = 0{,}5

.
Par ailleurs :

E(S^2) = 0^2 \times 0{,}25 + 1^2 \times 0{,}5 + 2^2 \times 0{,}25 = 0 + 0{,}5 + 1 = 1{,}5

V(S) = E(S^2) - [E(S)]^2 = 1{,}5 - 1 = 0{,}5

On vérifie

V(S) = V(X) + V(Y) = \boxed{0{,}5}

Exercice 8

Facile

Soit

X

une variable aléatoire telle que

E(X) = 50

V(X) = 100

Donner l'écart type

\sigma(X)

\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{100} = \boxed{10}

Majorer

P(|X - 50| \geqslant 20)

par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

P(|X - 50| \geqslant 20) \leqslant \frac{V(X)}{20^2} = \frac{100}{400} = \boxed{0{,}25}

Majorer

P(|X - 50| \geqslant 30)

P(|X - 50| \geqslant 30) \leqslant \frac{100}{30^2} = \frac{100}{900} = \boxed{\frac{1}{9} \approx 0{,}111}

Pour quelle valeur de

\delta

obtient-on

P(|X - 50| \geqslant \delta) \leqslant 0{,}04

On cherche

\delta

tel que

\frac{100}{\delta^2} \leqslant 0{,}04

\delta^2 \geqslant \frac{100}{0{,}04} = 2500

\delta \geqslant 50

Donc pour

\boxed{\delta = 50}

, on a

P(|X - 50| \geqslant 50) \leqslant 0{,}04

Exercice 9

Facile

On considère un schéma de Bernoulli de

n = 50

épreuves indépendantes avec probabilité de succès

p = 0{,}6

. Soit

S_{50}

le nombre de succès.

Donner la loi de

S_{50}

, son espérance et sa variance.

S_{50} \sim \mathcal{B}(50 ; 0{,}6)

E(S_{50}) = np = 50 \times 0{,}6 = \boxed{30}

V(S_{50}) = np(1-p) = 50 \times 0{,}6 \times 0{,}4 = \boxed{12}

On peut écrire

S_{50} = X_1 + X_2 + \cdots + X_{50}

où chaque

X_i

suit une loi de Bernoulli. Retrouver

E(S_{50})

V(S_{50})

par les formules de somme.

Chaque

X_i \sim \mathcal{B}(0{,}6)

donc

E(X_i) = 0{,}6

V(X_i) = 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}24

.
Par linéarité :

E(S_{50}) = \sum_{i=1}^{50} E(X_i) = 50 \times 0{,}6 = \boxed{30}

.
Par indépendance :

V(S_{50}) = \sum_{i=1}^{50} V(X_i) = 50 \times 0{,}24 = \boxed{12}

.
On retrouve bien les mêmes résultats.

Majorer

P(|S_{50} - 30| \geqslant 10)

Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

P(|S_{50} - 30| \geqslant 10) \leqslant \frac{V(S_{50})}{10^2} = \frac{12}{100} = \boxed{0{,}12}

Exercice 10

Facile

On souhaite estimer la proportion

p

d'électeurs favorables à un candidat. On effectue un sondage sur un échantillon de taille

n

On sait que

p(1-p) \leqslant \frac{1}{4}

pour tout

p \in [0;1]

. Le démontrer.

On étudie

f(p) = p(1-p) = p - p^2

sur

[0;1]

f'(p) = 1 - 2p

, qui s'annule en

p = \frac{1}{2}

f

est croissante sur

[0 ; 0{,}5]

et décroissante sur

[0{,}5 ; 1]

.
Le maximum est atteint en

p = \frac{1}{2}

f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \boxed{\frac{1}{4}}

Donc

p(1-p) \leqslant \frac{1}{4}

pour tout

p \in [0;1]

En déduire que

P(|F_n - p| \geqslant \delta) \leqslant \frac{1}{4n\delta^2}

L'inégalité de concentration donne :

P(|F_n - p| \geqslant \delta) \leqslant \frac{p(1-p)}{n\delta^2}

Comme

p(1-p) \leqslant \frac{1}{4}

\boxed{P(|F_n - p| \geqslant \delta) \leqslant \frac{1}{4n\delta^2}}

Déterminer la taille minimale

n

de l'échantillon pour que

P(|F_n - p| \geqslant 0{,}02) \leqslant 0{,}05

On utilise la majoration universelle :

\frac{1}{4n\delta^2} \leqslant \alpha

n \geqslant \frac{1}{4\alpha\delta^2}

Avec

\delta = 0{,}02

\alpha = 0{,}05

n \geqslant \frac{1}{4 \times 0{,}05 \times 0{,}0004} = \frac{1}{0{,}00008} = 12\,500

Il faut au minimum

\boxed{n = 12\,500}

personnes.

Exercice 41

Facile

On lance un dé équilibré un grand nombre de fois. Soit

\bar{X}_n

la moyenne des résultats après

n

lancers.

Rappeler

E(X)

pour un lancer de dé équilibré.

E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \boxed{3{,}5}

Que dit la loi des grands nombres sur

\bar{X}_n

quand

n

tend vers

+\infty

D'après la loi des grands nombres, la moyenne

\bar{X}_n

converge en probabilité vers

E(X)

\bar{X}_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} E(X) = 3{,}5

Autrement dit, pour tout

\delta > 0

\lim_{n \to +\infty} P\left(|\bar{X}_n - 3{,}5| \geqslant \delta\right) = 0

Plus on lance le dé, plus la moyenne des résultats se rapproche de

\boxed{3{,}5}

On a lancé le dé 10 000 fois et obtenu une moyenne de

3{,}48

. Ce résultat est-il cohérent ?

Oui, c'est parfaitement cohérent. La loi des grands nombres garantit que

\bar{X}_n

se rapproche de

3{,}5

quand

n

est grand.

L'écart

|3{,}48 - 3{,}5| = 0{,}02

est très faible, ce qui confirme la convergence.

\boxed{\text{Résultat cohérent avec la LGN.}}

Exercice 42

Facile

On effectue

n

lancers indépendants d'une pièce équilibrée. Soit

F_n

la fréquence d'apparition de « pile ».

Exprimer

F_n

en fonction du nombre de « pile »

S_n

et de

n

F_n = \frac{S_n}{n}

où

S_n

est le nombre de « pile » obtenus sur les

n

lancers.

Que vaut

P(\text{pile})

? Que dit la loi des grands nombres sur

F_n

On a

P(\text{pile}) = p = 0{,}5

.

D'après la loi des grands nombres, la fréquence

F_n

converge en probabilité vers

p

F_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} p = 0{,}5

Pour tout

\delta > 0

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} P(|F_n - 0{,}5| \geqslant \delta) = 0

\boxed{F_n \text{ converge vers } 0{,}5}

Après 500 lancers, on a obtenu 260 « pile ». Calculer

F_{500}

et commenter.

F_{500} = \frac{260}{500} = \boxed{0{,}52}

L'écart à

0{,}5

est

|0{,}52 - 0{,}5| = 0{,}02

, ce qui est faible. Ce résultat est cohérent avec la loi des grands nombres : plus

n

est grand, plus

F_n

est proche de

0{,}5

Exercice 43

Facile

Dans une urne contenant une proportion

p = 0{,}3

de boules rouges, on effectue

n

tirages avec remise. On note

F_n

la fréquence de boules rouges obtenues.

Calculer

E(F_n)

V(F_n)

Chaque tirage suit une loi de Bernoulli de paramètre

p = 0{,}3

E(F_n) = p = \boxed{0{,}3}

V(F_n) = \frac{p(1-p)}{n} = \frac{0{,}3 \times 0{,}7}{n} = \boxed{\frac{0{,}21}{n}}

Que devient

V(F_n)

quand

n \to +\infty

? Interpréter.

\lim_{n \to +\infty} V(F_n) = \lim_{n \to +\infty} \frac{0{,}21}{n} = \boxed{0}

La variance de

F_n

tend vers

0

: la fréquence se concentre de plus en plus autour de

p

. C'est la loi des grands nombres :

F_n

converge en probabilité vers

p = 0{,}3

En utilisant l'inégalité de concentration, déterminer

n

pour que

P(|F_n - 0{,}3| \geqslant 0{,}05) \leqslant 0{,}01

L'inégalité de concentration donne :

P(|F_n - p| \geqslant \delta) \leqslant \frac{p(1-p)}{n\delta^2}

On veut

\frac{0{,}21}{n \times 0{,}0025} \leqslant 0{,}01

, soit :

n \geqslant \frac{0{,}21}{0{,}01 \times 0{,}0025} = \frac{0{,}21}{0{,}000025} = \boxed{8\,400}

Exercice 11

Intermédiaire

On dispose de trois dés équilibrés indépendants. On lance les trois dés simultanément et on note

S

la somme des trois résultats.

Calculer

E(S)

V(S)

Soit

X_i

le résultat du dé

i

. On a

E(X_i) = 3{,}5

V(X_i) = \frac{35}{12}

pour chaque dé.

S = X_1 + X_2 + X_3

.
Par linéarité :

E(S) = 3 \times 3{,}5 = \boxed{10{,}5}

Par indépendance :

V(S) = 3 \times \frac{35}{12} = \frac{105}{12} = \boxed{\frac{35}{4} = 8{,}75}

Calculer

\sigma(S)

\sigma(S) = \sqrt{V(S)} = \sqrt{8{,}75} = \sqrt{\frac{35}{4}} = \frac{\sqrt{35}}{2} \approx \boxed{2{,}96}

Majorer

P(|S - 10{,}5| \geqslant 6)

Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

P(|S - 10{,}5| \geqslant 6) \leqslant \frac{V(S)}{6^2} = \frac{8{,}75}{36} = \boxed{\frac{35}{144} \approx 0{,}243}

En déduire un minorant de

P(4{,}5 \leqslant S \leqslant 16{,}5)

. Comme

S

est entier, en déduire un minorant de

P(5 \leqslant S \leqslant 16)

P(4{,}5 \leqslant S \leqslant 16{,}5) = P(|S - 10{,}5| \leqslant 6) \geqslant 1 - \frac{35}{144} = \frac{109}{144} \approx 0{,}757

.
Comme

S

est un entier entre 3 et 18,

\{4{,}5 \leqslant S \leqslant 16{,}5\} = \{5 \leqslant S \leqslant 16\}

.
Donc :

P(5 \leqslant S \leqslant 16) \geqslant \boxed{\frac{109}{144} \approx 0{,}757}

Exercice 12

Intermédiaire

Un jeu de hasard consiste à lancer une pièce équilibrée. Si on obtient pile, on gagne 2 euros ; si on obtient face, on perd 1 euro. Soit

X_i

le gain algébrique au

i

-ème lancer et

S_n = X_1 + \cdots + X_n

le gain total après

n

lancers.

Déterminer la loi de

X_i

, puis calculer

E(X_i)

V(X_i)

X_i

prend les valeurs

2

(avec probabilité

0{,}5

) et

-1

(avec probabilité

0{,}5

E(X_i) = 2 \times 0{,}5 + (-1) \times 0{,}5 = 1 - 0{,}5 = \boxed{0{,}5}

E(X_i^2) = 4 \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}5 = 2 + 0{,}5 = 2{,}5

V(X_i) = 2{,}5 - 0{,}25 = \boxed{2{,}25}

Calculer

E(S_{100})

V(S_{100})

Par linéarité :

E(S_{100}) = 100 \times 0{,}5 = \boxed{50}

.
Par indépendance :

V(S_{100}) = 100 \times 2{,}25 = \boxed{225}

Majorer la probabilité de perdre de l'argent, c'est-à-dire

P(S_{100} < 0)

On a

P(S_{100} < 0) \leqslant P(S_{100} \leqslant 0) \leqslant P(|S_{100} - 50| \geqslant 50)

.
En effet, si

S_{100} \leqslant 0

, alors

|S_{100} - 50| = 50 - S_{100} \geqslant 50

.
Par Bienaymé-Tchebychev :

P(|S_{100} - 50| \geqslant 50) \leqslant \frac{225}{2500} = \boxed{0{,}09}

La probabilité de perdre est donc majorée par

0{,}09

Soit

\bar{X}_n = \frac{S_n}{n}

le gain moyen par lancer. Vers quelle valeur converge

\bar{X}_n

? Justifier.

Par la loi des grands nombres,

\bar{X}_n

converge en probabilité vers

E(X_i) = 0{,}5

.
En effet,

V(\bar{X}_n) = \frac{V(X_i)}{n} = \frac{2{,}25}{n} \to 0

quand

n \to +\infty

.
Pour tout

\delta > 0

P(|\bar{X}_n - 0{,}5| \geqslant \delta) \leqslant \frac{2{,}25}{n\delta^2} \to 0

Donc

\bar{X}_n \to \boxed{0{,}5}

en probabilité.

Exercice 13

Intermédiaire

Dans une urne, il y a 3 boules rouges et 7 boules bleues. On tire une boule, on note sa couleur, puis on la remet. On répète l'expérience

n

fois.

Soit

X_i

la variable valant 1 si le

i

-ème tirage donne une boule rouge et 0 sinon. Quelle est la loi de

X_i

X_i

suit une loi de Bernoulli de paramètre

p = \frac{3}{10} = 0{,}3

\boxed{X_i \sim \mathcal{B}(0{,}3)}

On pose

F_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i

. Calculer

E(F_n)

V(F_n)

E(F_n) = E(X_i) = p = \boxed{0{,}3}

V(F_n) = \frac{V(X_i)}{n} = \frac{p(1-p)}{n} = \frac{0{,}3 \times 0{,}7}{n} = \boxed{\frac{0{,}21}{n}}

On veut

P(|F_n - 0{,}3| \geqslant 0{,}03) \leqslant 0{,}02

. Déterminer

n

en utilisant

p(1-p) \leqslant \frac{1}{4}

On utilise la majoration universelle :

P(|F_n - p| \geqslant \delta) \leqslant \frac{1}{4n\delta^2}

On veut

\frac{1}{4n \times 0{,}03^2} \leqslant 0{,}02

\frac{1}{4n \times 0{,}0009} \leqslant 0{,}02

\frac{1}{0{,}0036n} \leqslant 0{,}02

n \geqslant \frac{1}{0{,}0036 \times 0{,}02} = \frac{1}{0{,}000072} \approx 13\,889

Il faut

\boxed{n \geqslant 13\,889}

tirages.

En utilisant la valeur exacte

p = 0{,}3

, déterminer un

n

plus petit satisfaisant la même condition.

Avec

p(1-p) = 0{,}21

au lieu de

\frac{1}{4} = 0{,}25

\frac{0{,}21}{n \times 0{,}0009} \leqslant 0{,}02

\frac{0{,}21}{0{,}0009n} \leqslant 0{,}02

n \geqslant \frac{0{,}21}{0{,}0009 \times 0{,}02} = \frac{0{,}21}{0{,}000018} \approx 11\,667

Il suffit de

\boxed{n \geqslant 11\,667}

tirages, ce qui est plus petit grâce à la valeur exacte de

p(1-p)

Exercice 14

Intermédiaire

Soient

X

Y

deux variables aléatoires indépendantes telles que

X

suit la loi uniforme sur

\{1, 2, 3, 4\}

Y

suit la loi de Bernoulli de paramètre

p = 0{,}5

Calculer

E(X)

V(X)

E(Y)

V(Y)

Pour

X

uniforme sur

\{1,2,3,4\}

E(X) = \frac{1+2+3+4}{4} = \frac{10}{4} = \boxed{2{,}5}

E(X^2) = \frac{1+4+9+16}{4} = \frac{30}{4} = 7{,}5

V(X) = 7{,}5 - 6{,}25 = \boxed{1{,}25}

Pour

Y \sim \mathcal{B}(0{,}5)

E(Y) = \boxed{0{,}5} \quad ; \quad V(Y) = 0{,}5 \times 0{,}5 = \boxed{0{,}25}

On pose

Z = 3X - 2Y + 1

. Calculer

E(Z)

Par linéarité de l'espérance :

E(Z) = 3E(X) - 2E(Y) + 1 = 3 \times 2{,}5 - 2 \times 0{,}5 + 1 = 7{,}5 - 1 + 1 = \boxed{7{,}5}

Calculer

V(Z)

Comme

X

Y

sont indépendantes :

V(Z) = V(3X - 2Y + 1) = 3^2 V(X) + (-2)^2 V(Y) = 9 \times 1{,}25 + 4 \times 0{,}25

V(Z) = 11{,}25 + 1 = \boxed{12{,}25}

La constante

+1

ne modifie pas la variance.

Majorer

P(|Z - 7{,}5| \geqslant 7)

Par Bienaymé-Tchebychev :

P(|Z - 7{,}5| \geqslant 7) \leqslant \frac{V(Z)}{7^2} = \frac{12{,}25}{49} = \boxed{0{,}25}

Exercice 15

Intermédiaire

Une machine produit des pièces dont la probabilité d'être défectueuse est

p = 0{,}02

. On prélève un échantillon de

n = 500

pièces.

Soit

S_{500}

le nombre de pièces défectueuses. Donner sa loi, son espérance et sa variance.

S_{500} \sim \mathcal{B}(500 ; 0{,}02)

E(S_{500}) = 500 \times 0{,}02 = \boxed{10}

V(S_{500}) = 500 \times 0{,}02 \times 0{,}98 = \boxed{9{,}8}

Majorer

P(S_{500} \geqslant 20)

S_{500} \geqslant 20

, alors

S_{500} - 10 \geqslant 10

, donc

|S_{500} - 10| \geqslant 10

.
Ainsi

P(S_{500} \geqslant 20) \leqslant P(|S_{500} - 10| \geqslant 10)

.
Par Bienaymé-Tchebychev :

P(|S_{500} - 10| \geqslant 10) \leqslant \frac{9{,}8}{100} = \boxed{0{,}098}

Soit

F_{500}

la fréquence de pièces défectueuses. Majorer

P(|F_{500} - 0{,}02| \geqslant 0{,}01)

Par l'inégalité de concentration :

P(|F_{500} - 0{,}02| \geqslant 0{,}01) \leqslant \frac{p(1-p)}{n\delta^2} = \frac{0{,}02 \times 0{,}98}{500 \times 0{,}0001}

= \frac{0{,}0196}{0{,}05} = \boxed{0{,}392}

Combien de pièces faut-il prélever pour que

P(|F_n - 0{,}02| \geqslant 0{,}01) \leqslant 0{,}01

Avec la majoration universelle :

\frac{1}{4n \times 0{,}01^2} \leqslant 0{,}01

\frac{1}{0{,}0004n} \leqslant 0{,}01

n \geqslant \frac{1}{0{,}0004 \times 0{,}01} = \frac{1}{0{,}000004} = 250\,000

Il faut

\boxed{n \geqslant 250\,000}

pièces.

Avec la valeur exacte

p(1-p) = 0{,}0196

n \geqslant \frac{0{,}0196}{0{,}0001 \times 0{,}01} = 19\,600

Ce qui est bien plus raisonnable :

\boxed{n \geqslant 19\,600}

Exercice 16

Intermédiaire

On lance

n

fois un dé tétraédrique (4 faces numérotées de 1 à 4) équilibré. Soit

\bar{X}_n

la moyenne des résultats.

Calculer

E(X)

V(X)

pour un lancer.

X

est uniforme sur

\{1,2,3,4\}

E(X) = \frac{1+2+3+4}{4} = \frac{10}{4} = \boxed{2{,}5}

E(X^2) = \frac{1+4+9+16}{4} = \frac{30}{4} = 7{,}5

V(X) = 7{,}5 - 2{,}5^2 = 7{,}5 - 6{,}25 = \boxed{1{,}25}

Donner

E(\bar{X}_n)

V(\bar{X}_n)

E(\bar{X}_n) = E(X) = \boxed{2{,}5}

V(\bar{X}_n) = \frac{V(X)}{n} = \boxed{\frac{1{,}25}{n}}

Pour

n = 500

, majorer

P(|\bar{X}_{500} - 2{,}5| \geqslant 0{,}1)

Par Bienaymé-Tchebychev :

P(|\bar{X}_{500} - 2{,}5| \geqslant 0{,}1) \leqslant \frac{V(\bar{X}_{500})}{0{,}1^2} = \frac{1{,}25/500}{0{,}01} = \frac{0{,}0025}{0{,}01} = \boxed{0{,}25}

Déterminer

n

pour que

P(|\bar{X}_n - 2{,}5| \geqslant 0{,}1) \leqslant 0{,}01

On veut :

\frac{1{,}25}{n \times 0{,}01} \leqslant 0{,}01

\frac{1{,}25}{0{,}01n} \leqslant 0{,}01

n \geqslant \frac{1{,}25}{0{,}0001} = 12\,500

Il faut

\boxed{n \geqslant 12\,500}

lancers.

Exercice 17

Intermédiaire

On considère

n

variables aléatoires indépendantes

X_1, \ldots, X_n

de même loi, chacune prenant la valeur 0 avec probabilité

\frac{1}{3}

et la valeur 3 avec probabilité

\frac{2}{3}

Calculer

E(X_i)

V(X_i)

E(X_i) = 0 \times \frac{1}{3} + 3 \times \frac{2}{3} = \boxed{2}

E(X_i^2) = 0 \times \frac{1}{3} + 9 \times \frac{2}{3} = 6

V(X_i) = 6 - 4 = \boxed{2}

Soit

S_n = X_1 + \cdots + X_n

. Exprimer

E(S_n)

\sigma(S_n)

en fonction de

n

E(S_n) = nE(X_i) = \boxed{2n}

V(S_n) = nV(X_i) = 2n

\sigma(S_n) = \sqrt{2n} = \boxed{\sqrt{2n}}

Pour

n = 50

, majorer

P(|S_{50} - 100| \geqslant 20)

E(S_{50}) = 100

V(S_{50}) = 100

.
Par Bienaymé-Tchebychev :

P(|S_{50} - 100| \geqslant 20) \leqslant \frac{100}{400} = \boxed{0{,}25}

Montrer que

\bar{X}_n

converge en probabilité vers 2.

On a

E(\bar{X}_n) = 2

V(\bar{X}_n) = \frac{2}{n}

.
Pour tout

\delta > 0

, par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

P(|\bar{X}_n - 2| \geqslant \delta) \leqslant \frac{V(\bar{X}_n)}{\delta^2} = \frac{2}{n\delta^2}

Quand

n \to +\infty

\frac{2}{n\delta^2} \to 0

.
Donc

P(|\bar{X}_n - 2| \geqslant \delta) \to 0

pour tout

\delta > 0

.
Par définition,

\boxed{\bar{X}_n \xrightarrow{P} 2}

(loi des grands nombres).

Exercice 18

Intermédiaire

Un sondage est effectué dans une ville pour estimer la proportion

p

d'habitants favorables à un projet. On interroge

n = 1\,000

personnes choisies au hasard (avec remise). Soit

F_{1000}

la fréquence observée.

Montrer que

P(|F_{1000} - p| \geqslant 0{,}05) \leqslant 0{,}05

Par la majoration universelle :

P(|F_{1000} - p| \geqslant 0{,}05) \leqslant \frac{1}{4 \times 1000 \times 0{,}05^2} = \frac{1}{4 \times 1000 \times 0{,}0025}

= \frac{1}{10} = 0{,}1

Attention, on obtient

0{,}1

et non

0{,}05

. Vérifions avec

\delta

pour obtenir

0{,}05

:
En fait avec

n=1000

\delta = 0{,}05

on obtient

\frac{1}{10} = 0{,}1

.
Donc

P(|F_{1000} - p| \geqslant 0{,}05) \leqslant \boxed{0{,}1}

.
Pour obtenir une majoration de

0{,}05

, il faudrait un plus grand

n

Quelle taille d'échantillon faut-il pour que

P(|F_n - p| \geqslant 0{,}05) \leqslant 0{,}05

On utilise

\frac{1}{4n\delta^2} \leqslant \alpha

n \geqslant \frac{1}{4 \times 0{,}05 \times 0{,}0025} = \frac{1}{0{,}0005} = \boxed{2\,000}

Si le sondage donne

F_{1000} = 0{,}62

, que peut-on dire de

p

avec le niveau de confiance associé à la majoration de la question 1 ?

D'après la question 1,

P(|F_{1000} - p| < 0{,}05) \geqslant 1 - 0{,}1 = 0{,}9

.
Avec

F_{1000} = 0{,}62

, on peut affirmer avec un niveau de confiance d'au moins

90\%

que :

0{,}62 - 0{,}05 \leqslant p \leqslant 0{,}62 + 0{,}05

\boxed{0{,}57 \leqslant p \leqslant 0{,}67}

Exercice 19

Intermédiaire

On considère deux variables aléatoires indépendantes

X \sim \mathcal{B}(10 ; 0{,}3)

Y \sim \mathcal{B}(20 ; 0{,}3)

. On pose

T = X + Y

Calculer

E(T)

V(T)

E(X) = 10 \times 0{,}3 = 3

E(Y) = 20 \times 0{,}3 = 6

V(X) = 10 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 2{,}1

V(Y) = 20 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 4{,}2

.
Par linéarité et indépendance :

E(T) = 3 + 6 = \boxed{9}

V(T) = 2{,}1 + 4{,}2 = \boxed{6{,}3}

Quelle est la loi de

T

? Justifier.

X

est la somme de 10 variables de Bernoulli indépendantes de paramètre

0{,}3

Y

est la somme de 20 variables de Bernoulli indépendantes de paramètre

0{,}3

X

Y

étant indépendantes,

T = X + Y

est la somme de

10 + 20 = 30

variables de Bernoulli indépendantes de paramètre

0{,}3

.
Donc

\boxed{T \sim \mathcal{B}(30 ; 0{,}3)}

.
Vérification :

E(T) = 30 \times 0{,}3 = 9

V(T) = 30 \times 0{,}21 = 6{,}3

Majorer

P(T \geqslant 15)

T \geqslant 15

alors

T - 9 \geqslant 6

donc

|T - 9| \geqslant 6

P(T \geqslant 15) \leqslant P(|T - 9| \geqslant 6) \leqslant \frac{6{,}3}{36} = \frac{6{,}3}{36} = \boxed{0{,}175}

Exercice 20

Intermédiaire

On effectue une série de

n

lancers indépendants d'une pièce truquée dont la probabilité de tomber sur pile est

p = 0{,}7

. On note

F_n

la fréquence de pile observée.

Exprimer

P(|F_n - 0{,}7| \geqslant \varepsilon)

en fonction de

n

\varepsilon

à l'aide de l'inégalité de concentration.

P(|F_n - 0{,}7| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} = \boxed{\frac{0{,}21}{n\varepsilon^2}}

Pour

\varepsilon = 0{,}04

, calculer le nombre minimal de lancers pour que cette majoration soit inférieure à

0{,}1

\frac{0{,}21}{n \times 0{,}0016} \leqslant 0{,}1

n \geqslant \frac{0{,}21}{0{,}0016 \times 0{,}1} = \frac{0{,}21}{0{,}00016} = 1\,312{,}5

Donc

\boxed{n \geqslant 1\,313}

lancers.

Énoncer la loi des grands nombres pour cette expérience.

Loi des grands nombres : pour tout

\varepsilon > 0

\lim_{n \to +\infty} P(|F_n - 0{,}7| \geqslant \varepsilon) = 0

Autrement dit, la fréquence de pile

F_n

converge en probabilité vers la probabilité théorique

p = 0{,}7

quand

n \to +\infty

.
Cela signifie que

\boxed{F_n \xrightarrow{P} 0{,}7}

En utilisant la majoration universelle, déterminer

n

pour que

P(|F_n - 0{,}7| \geqslant 0{,}04) \leqslant 0{,}1

Avec la majoration universelle

p(1-p) \leqslant \frac{1}{4}

\frac{1}{4n \times 0{,}0016} \leqslant 0{,}1

n \geqslant \frac{1}{4 \times 0{,}0016 \times 0{,}1} = \frac{1}{0{,}00064} = 1\,562{,}5

Donc

\boxed{n \geqslant 1\,563}

lancers.
C'est légèrement plus que les

1\,313

de la question 2, car la majoration universelle est moins précise.

Exercice 44

Intermédiaire

Un dé truqué a une probabilité

p = \frac{1}{3}

de tomber sur 6. On lance ce dé

n

fois et on note

F_n

la fréquence d'apparition du 6.

Calculer

E(F_n)

V(F_n)

Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de paramètre

p = \frac{1}{3}

(succès = obtenir 6).

E(F_n) = p = \boxed{\frac{1}{3}}

V(F_n) = \frac{p(1-p)}{n} = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}}{n} = \boxed{\frac{2}{9n}}

En utilisant l'inégalité de concentration, majorer

P\left(\left|F_n - \frac{1}{3}\right| \geqslant 0{,}1\right)

pour

n = 100

L'inégalité de concentration donne :

P\left(\left|F_n - \frac{1}{3}\right| \geqslant 0{,}1\right) \leqslant \frac{p(1-p)}{n \times (0{,}1)^2} = \frac{\frac{2}{9}}{100 \times 0{,}01} = \frac{\frac{2}{9}}{1} = \boxed{\frac{2}{9} \approx 0{,}222}

Déterminer

n

pour que

P\left(\left|F_n - \frac{1}{3}\right| \geqslant 0{,}05\right) \leqslant 0{,}05

On résout :

\frac{p(1-p)}{n\delta^2} \leqslant \alpha \quad \Longrightarrow \quad n \geqslant \frac{p(1-p)}{\alpha \delta^2} = \frac{\frac{2}{9}}{0{,}05 \times 0{,}0025} = \frac{\frac{2}{9}}{0{,}000125} = \frac{2}{9 \times 0{,}000125}

n \geqslant \frac{2}{0{,}001125} \approx 1\,778

\boxed{n \geqslant 1\,778}

lancers.

Énoncer la loi des grands nombres appliquée à cette situation.

D'après la loi des grands nombres, pour tout

\delta > 0

\lim_{n \to +\infty} P\left(\left|F_n - \frac{1}{3}\right| \geqslant \delta\right) = 0

La fréquence d'apparition du 6 converge en probabilité vers la probabilité théorique

p = \frac{1}{3}

\boxed{F_n \xrightarrow[n \to +\infty]{\text{proba}} \frac{1}{3}}

Exercice 45

Difficile

On mesure la taille d'individus dans une population. Chaque mesure

X_i

est une variable aléatoire d'espérance

\mu = 170

cm et d'écart-type

\sigma = 10

cm. On effectue

n

mesures indépendantes et on calcule la moyenne

\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i

Calculer

E(\bar{X}_n)

\sigma(\bar{X}_n)

en fonction de

n

E(\bar{X}_n) = \mu = \boxed{170 \text{ cm}}

V(\bar{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{100}{n}

\sigma(\bar{X}_n) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \boxed{\frac{10}{\sqrt{n}} \text{ cm}}

En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer

P(|\bar{X}_n - 170| \geqslant 2)

pour

n = 100

P(|\bar{X}_n - 170| \geqslant 2) \leqslant \frac{V(\bar{X}_n)}{2^2} = \frac{\frac{100}{100}}{4} = \frac{1}{4} = \boxed{0{,}25}

Déterminer

n

pour que

P(|\bar{X}_n - 170| \geqslant 1) \leqslant 0{,}01

\frac{V(\bar{X}_n)}{1^2} \leqslant 0{,}01 \quad \Longrightarrow \quad \frac{100}{n} \leqslant 0{,}01 \quad \Longrightarrow \quad n \geqslant \frac{100}{0{,}01} = \boxed{10\,000}

Il faut au moins

10\,000

mesures pour garantir une précision de

\pm 1

cm avec un risque de

1\%

Que dit la loi des grands nombres ? En quoi est-ce utile en pratique ?

La loi des grands nombres affirme que pour tout

\delta > 0

\lim_{n \to +\infty} P(|\bar{X}_n - \mu| \geqslant \delta) = 0

En pratique, cela signifie que la moyenne empirique

\bar{X}_n

des mesures est un estimateur convergent de la taille moyenne

\mu

de la population.

Plus on augmente le nombre de mesures, plus la moyenne calculée est fiable et proche de la vraie valeur. C'est le fondement de la méthode statistique : on estime un paramètre inconnu (

\mu

) par la moyenne d'un grand échantillon.

\boxed{\bar{X}_n \xrightarrow[n \to +\infty]{\text{proba}} \mu = 170 \text{ cm}}

Exercice 21

Difficile

On considère

n

variables aléatoires indépendantes

X_1, \ldots, X_n

de même loi, chacune prenant les valeurs

-1

0

2

avec les probabilités respectives

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Calculer

E(X_i)

V(X_i)

E(X_i) = (-1) \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{4} = -\frac{1}{4} + 0 + \frac{2}{4} = \boxed{\frac{1}{4}}

E(X_i^2) = 1 \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{1}{2} + 4 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + 0 + 1 = \frac{5}{4}

V(X_i) = \frac{5}{4} - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{5}{4} - \frac{1}{16} = \frac{20-1}{16} = \boxed{\frac{19}{16}}

Soit

S_n = X_1 + \cdots + X_n

. Calculer

E(S_n)

V(S_n)

\sigma(S_n)

E(S_n) = nE(X_i) = \boxed{\frac{n}{4}}

V(S_n) = nV(X_i) = \boxed{\frac{19n}{16}}

\sigma(S_n) = \sqrt{\frac{19n}{16}} = \boxed{\frac{\sqrt{19n}}{4}}

Pour

n = 64

, majorer

P(S_{64} \leqslant 0)

P(S_{64} \geqslant 32)

E(S_{64}) = 16

V(S_{64}) = \frac{19 \times 64}{16} = 76

.

Pour

P(S_{64} \leqslant 0)

: si

S_{64} \leqslant 0

alors

|S_{64} - 16| \geqslant 16

P(S_{64} \leqslant 0) \leqslant P(|S_{64} - 16| \geqslant 16) \leqslant \frac{76}{256} = \boxed{\frac{19}{64} \approx 0{,}297}

Pour

P(S_{64} \geqslant 32)

: si

S_{64} \geqslant 32

alors

|S_{64} - 16| \geqslant 16

P(S_{64} \geqslant 32) \leqslant P(|S_{64} - 16| \geqslant 16) \leqslant \boxed{\frac{19}{64} \approx 0{,}297}

Soit

\bar{X}_n = \frac{S_n}{n}

. Montrer que pour tout

\delta > 0

P(|\bar{X}_n - \frac{1}{4}| \geqslant \delta) \to 0

et donner une valeur de

n

pour que cette probabilité soit majorée par

0{,}01

avec

\delta = 0{,}1

V(\bar{X}_n) = \frac{19}{16n}

.
Par Bienaymé-Tchebychev :

P\left(\left|\bar{X}_n - \frac{1}{4}\right| \geqslant \delta\right) \leqslant \frac{19}{16n\delta^2}

Quand

n \to +\infty

, cette expression tend vers

0

. C'est la loi des grands nombres.

Pour

\delta = 0{,}1

et une majoration de

0{,}01

\frac{19}{16n \times 0{,}01} \leqslant 0{,}01

n \geqslant \frac{19}{16 \times 0{,}01 \times 0{,}01} = \frac{19}{0{,}0016} = 11\,875

Il faut

\boxed{n \geqslant 11\,875}

Exercice 22

Difficile

On lance

n

fois un dé équilibré à 6 faces. Soit

X_i

le résultat du

i

-ème lancer,

S_n

la somme des résultats et

\bar{X}_n

la moyenne.

Rappeler

E(X_i)

V(X_i)

. Calculer

E(\bar{X}_n)

V(\bar{X}_n)

E(X_i) = 3{,}5

V(X_i) = \frac{35}{12}

E(\bar{X}_n) = E(X_i) = \boxed{3{,}5}

V(\bar{X}_n) = \frac{V(X_i)}{n} = \boxed{\frac{35}{12n}}

Montrer que

P(|\bar{X}_n - 3{,}5| \geqslant 0{,}5) \leqslant \frac{35}{3n}

. Pour quelle valeur de

n

cette majoration est-elle inférieure à

0{,}01

Par Bienaymé-Tchebychev :

P(|\bar{X}_n - 3{,}5| \geqslant 0{,}5) \leqslant \frac{V(\bar{X}_n)}{0{,}5^2} = \frac{35/(12n)}{0{,}25} = \frac{35}{3n}

Pour

\frac{35}{3n} \leqslant 0{,}01

n \geqslant \frac{35}{0{,}03} \approx 1\,166{,}7

Donc

\boxed{n \geqslant 1\,167}

Soit

Y_i

la variable valant 1 si

X_i = 6

et 0 sinon. Quelle est la loi de

Y_i

? Exprimer la fréquence d'apparition du 6 en fonction des

Y_i

Y_i

suit la loi de Bernoulli de paramètre

p = \frac{1}{6}

\boxed{Y_i \sim \mathcal{B}\left(\frac{1}{6}\right)}

La fréquence d'apparition du 6 est :

F_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_i = \frac{Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_n}{n}

Déterminer

n

pour que

P\left(\left|F_n - \frac{1}{6}\right| \geqslant 0{,}02\right) \leqslant 0{,}05

On utilise la majoration universelle :

P\left(\left|F_n - \frac{1}{6}\right| \geqslant 0{,}02\right) \leqslant \frac{1}{4n \times 0{,}02^2} = \frac{1}{4n \times 0{,}0004} = \frac{1}{0{,}0016n}

Pour

\frac{1}{0{,}0016n} \leqslant 0{,}05

n \geqslant \frac{1}{0{,}0016 \times 0{,}05} = \frac{1}{0{,}00008} = \boxed{12\,500}

Avec la valeur exacte

p = \frac{1}{6}

, améliorer ce résultat.

p(1-p) = \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{36} \approx 0{,}1389

\frac{5/36}{n \times 0{,}0004} \leqslant 0{,}05

n \geqslant \frac{5/36}{0{,}0004 \times 0{,}05} = \frac{5/36}{0{,}00002} = \frac{5}{36 \times 0{,}00002} = \frac{5}{0{,}00072} \approx 6\,944

Donc

\boxed{n \geqslant 6\,945}

, ce qui est presque deux fois moins que

12\,500

Exercice 23

Difficile

On lance simultanément deux dés équilibrés à 6 faces. Soit

M

le maximum des deux résultats. On répète cette expérience

n

fois de manière indépendante.

Déterminer la loi de

M

, c'est-à-dire

P(M = k)

pour

k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

P(M \leqslant k) = P(X \leqslant k \text{ et } Y \leqslant k) = \left(\frac{k}{6}\right)^2

par indépendance.

P(M = k) = P(M \leqslant k) - P(M \leqslant k-1) = \frac{k^2 - (k-1)^2}{36} = \frac{2k-1}{36}

P(M=1) = \frac{1}{36}, \quad P(M=2) = \frac{3}{36}, \quad P(M=3) = \frac{5}{36}

P(M=4) = \frac{7}{36}, \quad P(M=5) = \frac{9}{36}, \quad \boxed{P(M=6) = \frac{11}{36}}

Calculer

E(M)

V(M)

E(M) = \sum_{k=1}^{6} k \cdot \frac{2k-1}{36} = \frac{1}{36}\sum_{k=1}^{6} k(2k-1)

= \frac{1}{36}(1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11)

= \frac{1+6+15+28+45+66}{36} = \frac{161}{36} \approx \boxed{4{,}472}

E(M^2) = \frac{1}{36}(1+12+45+112+225+396) = \frac{791}{36}

V(M) = \frac{791}{36} - \left(\frac{161}{36}\right)^2 = \frac{791 \times 36 - 161^2}{36^2} = \frac{28476 - 25921}{1296} = \frac{2555}{1296} \approx \boxed{1{,}971}

Soit

\bar{M}_n

la moyenne des maximums sur

n

expériences. Majorer

P(|\bar{M}_n - \frac{161}{36}| \geqslant 0{,}2)

pour

n = 1\,000

V(\bar{M}_n) = \frac{V(M)}{n} = \frac{2555}{1296n}

Pour

n = 1000

P\left(\left|\bar{M}_{1000} - \frac{161}{36}\right| \geqslant 0{,}2\right) \leqslant \frac{2555/(1296 \times 1000)}{0{,}04} = \frac{2555}{1296000 \times 0{,}04}

= \frac{2555}{51840} \approx \boxed{0{,}0493}

Vers quelle valeur converge

\bar{M}_n

quand

n \to +\infty

Par la loi des grands nombres,

\bar{M}_n

converge en probabilité vers

E(M) = \frac{161}{36} \approx \boxed{4{,}472}

.
En effet,

V(\bar{M}_n) = \frac{2555}{1296n} \to 0

quand

n \to +\infty

Exercice 24

Difficile

Lors d'un contrôle qualité, chaque article a une probabilité

p = 0{,}05

d'être défectueux. Les articles sont contrôlés indépendamment. On prélève

n

articles et on note

F_n

la proportion de défectueux.

On veut estimer

p

avec une précision

\delta = 0{,}01

et un risque d'erreur

\alpha = 0{,}05

. Calculer

n

avec la majoration universelle.

Avec

p(1-p) \leqslant \frac{1}{4}

n \geqslant \frac{1}{4\alpha\delta^2} = \frac{1}{4 \times 0{,}05 \times 0{,}0001} = \frac{1}{0{,}00002} = \boxed{50\,000}

Calculer

n

avec la valeur exacte

p = 0{,}05

p(1-p) = 0{,}05 \times 0{,}95 = 0{,}0475

n \geqslant \frac{0{,}0475}{0{,}05 \times 0{,}0001} = \frac{0{,}0475}{0{,}000005} = \boxed{9\,500}

C'est plus de 5 fois moins que la majoration universelle !

Comparer les deux résultats et expliquer la différence.

La majoration universelle donne

n = 50\,000

tandis que la valeur exacte donne

n = 9\,500

.
La différence vient du fait que

p(1-p) = 0{,}0475

est bien inférieur à

\frac{1}{4} = 0{,}25

.
Le rapport est

\frac{0{,}25}{0{,}0475} \approx 5{,}26

.
La majoration universelle est pessimiste car elle correspond au pire cas

p = 0{,}5

. Quand

p

est proche de 0 ou 1, la variance

p(1-p)

est petite et l'estimation est plus facile.

\boxed{\text{La majoration universelle surestime } n \text{ d'un facteur } \approx 5{,}3.}}

On prélève

n = 10\,000

articles et on observe

F_{10000} = 0{,}048

. Donner un encadrement de

p

Avec

n = 10\,000

et la majoration universelle :

P(|F_{10000} - p| \geqslant \delta) \leqslant \frac{1}{4 \times 10000 \times \delta^2}

Pour

\delta = 0{,}01

\frac{1}{4 \times 10000 \times 0{,}0001} = \frac{1}{4} = 0{,}25

.
Pour

\delta = 0{,}02

\frac{1}{4 \times 10000 \times 0{,}0004} = \frac{1}{16} = 0{,}0625

.
Avec une confiance d'au moins

1 - 0{,}0625 = 93{,}75\%

0{,}048 - 0{,}02 \leqslant p \leqslant 0{,}048 + 0{,}02

\boxed{0{,}028 \leqslant p \leqslant 0{,}068}

Exercice 25

Difficile

On considère une variable aléatoire

X

prenant les valeurs 1, 2 et 3 avec les probabilités respectives

\frac{1}{6}

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

. Soient

X_1, \ldots, X_n

des copies indépendantes de

X

Calculer

E(X)

V(X)

E(X) = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + 1 + 1 = \frac{1}{6} + \frac{6}{6} + \frac{6}{6} = \frac{13}{6} \approx \boxed{2{,}167}

E(X^2) = 1 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{2} + 9 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + 2 + 3 = \frac{1}{6} + \frac{30}{6} = \frac{31}{6}

V(X) = \frac{31}{6} - \left(\frac{13}{6}\right)^2 = \frac{31}{6} - \frac{169}{36} = \frac{186 - 169}{36} = \boxed{\frac{17}{36} \approx 0{,}472}

Calculer

E(S_{36})

\sigma(S_{36})

où

S_{36} = X_1 + \cdots + X_{36}

E(S_{36}) = 36 \times \frac{13}{6} = \boxed{78}

V(S_{36}) = 36 \times \frac{17}{36} = 17

\sigma(S_{36}) = \sqrt{17} \approx \boxed{4{,}123}

Majorer

P(|S_{36} - 78| \geqslant 10)

P(|S_{36} - 78| \geqslant 10) \leqslant \frac{V(S_{36})}{10^2} = \frac{17}{100} = \boxed{0{,}17}

Donner

V(\bar{X}_{36})

et majorer

P(|\bar{X}_{36} - \frac{13}{6}| \geqslant 0{,}5)

V(\bar{X}_{36}) = \frac{V(X)}{36} = \frac{17/36}{36} = \frac{17}{1296}

P\left(\left|\bar{X}_{36} - \frac{13}{6}\right| \geqslant 0{,}5\right) \leqslant \frac{17/1296}{0{,}25} = \frac{17}{324} \approx \boxed{0{,}0525}

Déterminer le plus petit

n

tel que

P(|\bar{X}_n - \frac{13}{6}| \geqslant 0{,}5) \leqslant 0{,}01

\frac{17/(36n)}{0{,}25} \leqslant 0{,}01

\frac{17}{9n} \leqslant 0{,}01

n \geqslant \frac{17}{0{,}09} \approx 188{,}9

Donc

\boxed{n \geqslant 189}

Exercice 26

Difficile

On note

X_i

des variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre

p

inconnu. On pose

S_n = \sum_{i=1}^n X_i

F_n = \frac{S_n}{n}

Montrer que

E(F_n^2) = \frac{p(1-p)}{n} + p^2

On sait que

V(F_n) = E(F_n^2) - [E(F_n)]^2

.
Or

E(F_n) = p

V(F_n) = \frac{p(1-p)}{n}

.
Donc :

E(F_n^2) = V(F_n) + [E(F_n)]^2 = \frac{p(1-p)}{n} + p^2

\boxed{E(F_n^2) = \frac{p(1-p)}{n} + p^2}

En déduire que

\lim_{n \to +\infty} E(F_n^2) = p^2

\lim_{n \to +\infty} E(F_n^2) = \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{p(1-p)}{n} + p^2\right) = 0 + p^2 = \boxed{p^2}

car

\frac{p(1-p)}{n} \to 0

quand

n \to +\infty

Application :

p = 0{,}2

n = 2\,000

. Majorer

P(F_n \leqslant 0{,}15)

P(F_n \geqslant 0{,}25)

F_n \leqslant 0{,}15

alors

|F_n - 0{,}2| \geqslant 0{,}05

.
Si

F_n \geqslant 0{,}25

alors

|F_n - 0{,}2| \geqslant 0{,}05

.
Donc les deux événements sont contenus dans

\{|F_n - 0{,}2| \geqslant 0{,}05\}

P(|F_n - 0{,}2| \geqslant 0{,}05) \leqslant \frac{0{,}2 \times 0{,}8}{2000 \times 0{,}0025} = \frac{0{,}16}{5} = 0{,}032

Donc :

P(F_n \leqslant 0{,}15) \leqslant \boxed{0{,}032} \quad \text{et} \quad P(F_n \geqslant 0{,}25) \leqslant \boxed{0{,}032}

Déterminer

n

pour que

P(|F_n - 0{,}2| \geqslant 0{,}01) \leqslant 0{,}02

\frac{p(1-p)}{n\delta^2} \leqslant \alpha

\frac{0{,}16}{n \times 0{,}0001} \leqslant 0{,}02

\frac{0{,}16}{0{,}0001n} \leqslant 0{,}02

n \geqslant \frac{0{,}16}{0{,}0001 \times 0{,}02} = \frac{0{,}16}{0{,}000002} = \boxed{80\,000}

Exercice 27

Difficile

Un joueur lance

n

fois une pièce truquée avec

P(\text{pile}) = \frac{2}{3}

. Il gagne 3 euros à chaque pile et perd 6 euros à chaque face.

Soit

G_i

le gain au

i

-ème lancer. Calculer

E(G_i)

V(G_i)

G_i

prend les valeurs

3

(proba

\frac{2}{3}

) et

-6

(proba

\frac{1}{3}

E(G_i) = 3 \times \frac{2}{3} + (-6) \times \frac{1}{3} = 2 - 2 = \boxed{0}

E(G_i^2) = 9 \times \frac{2}{3} + 36 \times \frac{1}{3} = 6 + 12 = 18

V(G_i) = 18 - 0 = \boxed{18}

Soit

T_n = G_1 + \cdots + G_n

le gain total. Calculer

E(T_n)

V(T_n)

E(T_n) = nE(G_i) = n \times 0 = \boxed{0}

V(T_n) = nV(G_i) = \boxed{18n}

Le jeu est équitable en moyenne, mais la variance croît avec

n

Majorer

P(|T_{100}| \geqslant 30)

E(T_{100}) = 0

V(T_{100}) = 1800

P(|T_{100}| \geqslant 30) = P(|T_{100} - 0| \geqslant 30) \leqslant \frac{1800}{900} = \boxed{2}

Cette majoration est triviale (supérieure à 1). Essayons avec

\delta = 60

P(|T_{100}| \geqslant 60) \leqslant \frac{1800}{3600} = \boxed{0{,}5}

Le gain moyen par partie est

\bar{G}_n = \frac{T_n}{n}

. Vers quelle valeur converge-t-il ? Interpréter.

E(\bar{G}_n) = 0

V(\bar{G}_n) = \frac{18}{n} \to 0

.
Par la loi des grands nombres,

\bar{G}_n \xrightarrow{P} 0

.
Interprétation : le jeu est équitable. En jouant un grand nombre de fois, le gain moyen par partie tend vers

\boxed{0}

euro. Le joueur ne gagne ni ne perd en moyenne sur le long terme.

Pour quelle valeur de

n

a-t-on

P(|\bar{G}_n| \geqslant 1) \leqslant 0{,}05

P(|\bar{G}_n| \geqslant 1) \leqslant \frac{V(\bar{G}_n)}{1^2} = \frac{18}{n}

Pour

\frac{18}{n} \leqslant 0{,}05

n \geqslant \frac{18}{0{,}05} = \boxed{360}

Exercice 28

Difficile

On considère deux urnes. L'urne A contient 2 boules blanches et 3 boules noires. L'urne B contient 4 boules blanches et 1 boule noire. On tire une boule dans chaque urne (tirages indépendants). Soit

X

le nombre de boules blanches obtenues.

Soit

X_A

le nombre de boules blanches tirées de A et

X_B

celui de B. Donner les lois de

X_A

X_B

X_A \sim \mathcal{B}\left(\frac{2}{5}\right)

X_B \sim \mathcal{B}\left(\frac{4}{5}\right)

P(X_A = 1) = \frac{2}{5} = 0{,}4 \quad ; \quad P(X_A = 0) = \frac{3}{5} = 0{,}6

\boxed{P(X_B = 1) = \frac{4}{5} = 0{,}8 \quad ; \quad P(X_B = 0) = \frac{1}{5} = 0{,}2}

Calculer

E(X)

V(X)

où

X = X_A + X_B

Par linéarité :

E(X) = E(X_A) + E(X_B) = 0{,}4 + 0{,}8 = \boxed{1{,}2}

Par indépendance :

V(X) = V(X_A) + V(X_B) = 0{,}4 \times 0{,}6 + 0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}24 + 0{,}16 = \boxed{0{,}4}

On répète l'expérience

n = 250

fois. Soit

\bar{X}_{250}

le nombre moyen de boules blanches par expérience. Calculer

E(\bar{X}_{250})

V(\bar{X}_{250})

E(\bar{X}_{250}) = E(X) = \boxed{1{,}2}

V(\bar{X}_{250}) = \frac{V(X)}{250} = \frac{0{,}4}{250} = \boxed{0{,}0016}

Majorer

P(|\bar{X}_{250} - 1{,}2| \geqslant 0{,}1)

P(|\bar{X}_{250} - 1{,}2| \geqslant 0{,}1) \leqslant \frac{V(\bar{X}_{250})}{0{,}01} = \frac{0{,}0016}{0{,}01} = \boxed{0{,}16}

Exercice 29

Difficile

Soit

X

une variable aléatoire d'espérance

\mu

et de variance

\sigma^2

. On pose

Y = aX + b

avec

a, b \in \mathbb{R}

a \neq 0

Exprimer

E(Y)

V(Y)

en fonction de

\mu

\sigma^2

a

b

E(Y) = E(aX + b) = aE(X) + b = \boxed{a\mu + b}

V(Y) = V(aX + b) = a^2 V(X) = \boxed{a^2 \sigma^2}

La constante

b

ne modifie pas la variance.

Soient

Y_1, \ldots, Y_n

des copies indépendantes de

Y

. Calculer

E(\bar{Y}_n)

V(\bar{Y}_n)

E(\bar{Y}_n) = E(Y) = \boxed{a\mu + b}

V(\bar{Y}_n) = \frac{V(Y)}{n} = \boxed{\frac{a^2\sigma^2}{n}}

Application :

\mu = 5

\sigma^2 = 3

a = 2

b = -1

n = 300

. Majorer

P(|\bar{Y}_{300} - 9| \geqslant 0{,}5)

E(Y) = 2 \times 5 - 1 = 9

V(Y) = 4 \times 3 = 12

V(\bar{Y}_{300}) = \frac{12}{300} = 0{,}04

P(|\bar{Y}_{300} - 9| \geqslant 0{,}5) \leqslant \frac{0{,}04}{0{,}25} = \boxed{0{,}16}

Déterminer

n

pour que

P(|\bar{Y}_n - 9| \geqslant 0{,}5) \leqslant 0{,}01

\frac{12/n}{0{,}25} \leqslant 0{,}01

\frac{12}{0{,}25n} \leqslant 0{,}01

\frac{48}{n} \leqslant 0{,}01

n \geqslant \frac{48}{0{,}01} = \boxed{4\,800}

Exercice 30

Difficile

On dispose de

n

capteurs indépendants mesurant une même grandeur. Le capteur

i

donne une mesure

X_i

avec

E(X_i) = \theta

(valeur vraie) et

V(X_i) = 4

pour tout

i

. On estime

\theta

par

\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i

Montrer que

\bar{X}_n

est un estimateur sans biais de

\theta

Un estimateur

T

\theta

est sans biais si

E(T) = \theta

E(\bar{X}_n) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \times n\theta = \boxed{\theta}

Donc

\bar{X}_n

est bien un estimateur sans biais de

\theta

Calculer

V(\bar{X}_n)

et l'écart type

\sigma(\bar{X}_n)

V(\bar{X}_n) = \frac{V(X_i)}{n} = \boxed{\frac{4}{n}}

\sigma(\bar{X}_n) = \frac{2}{\sqrt{n}} = \boxed{\frac{2}{\sqrt{n}}}

Combien de capteurs faut-il pour que

P(|\bar{X}_n - \theta| \geqslant 0{,}5) \leqslant 0{,}02

P(|\bar{X}_n - \theta| \geqslant 0{,}5) \leqslant \frac{V(\bar{X}_n)}{0{,}25} = \frac{4/n}{0{,}25} = \frac{16}{n}

Pour

\frac{16}{n} \leqslant 0{,}02

n \geqslant \frac{16}{0{,}02} = \boxed{800}

Si on utilise la moyenne pondérée

\hat{\theta} = \frac{2X_1 + X_2}{3}

(avec 2 capteurs), est-ce un estimateur sans biais ? Calculer sa variance et comparer avec

\bar{X}_2

E(\hat{\theta}) = \frac{2E(X_1) + E(X_2)}{3} = \frac{2\theta + \theta}{3} = \theta

. Sans biais.

V(\hat{\theta}) = \frac{1}{9}(4V(X_1) + V(X_2)) = \frac{1}{9}(16 + 4) = \frac{20}{9} \approx 2{,}22

V(\bar{X}_2) = \frac{4}{2} = 2

.
Comme

\frac{20}{9} > 2

, la moyenne pondérée est moins précise.

\boxed{\bar{X}_2 \text{ est plus efficace car } V(\bar{X}_2) = 2 < \frac{20}{9} = V(\hat{\theta})}

Exercice 31

Avancé

On considère

n

variables aléatoires indépendantes

X_1, \ldots, X_n

, chacune suivant la loi uniforme sur

\{0, 1, 2, \ldots, N\}

(avec

N \geqslant 1

entier fixé).

Montrer que

E(X_i) = \frac{N}{2}

V(X_i) = \frac{N(N+2)}{12}

X_i

est uniforme sur

\{0, 1, \ldots, N\}

, donc sur

N+1

valeurs.

E(X_i) = \frac{1}{N+1}\sum_{k=0}^{N} k = \frac{1}{N+1} \cdot \frac{N(N+1)}{2} = \boxed{\frac{N}{2}}

E(X_i^2) = \frac{1}{N+1}\sum_{k=0}^{N} k^2 = \frac{1}{N+1} \cdot \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} = \frac{N(2N+1)}{6}

V(X_i) = \frac{N(2N+1)}{6} - \frac{N^2}{4} = \frac{2N(2N+1) - 3N^2}{12} = \frac{4N^2 + 2N - 3N^2}{12} = \boxed{\frac{N^2 + 2N}{12} = \frac{N(N+2)}{12}}

Soit

\bar{X}_n

la moyenne. Exprimer

V(\bar{X}_n)

en fonction de

N

n

V(\bar{X}_n) = \frac{V(X_i)}{n} = \boxed{\frac{N(N+2)}{12n}}

Application :

N = 10

n = 500

. Majorer

P(|\bar{X}_{500} - 5| \geqslant 0{,}5)

V(X_i) = \frac{10 \times 12}{12} = 10

V(\bar{X}_{500}) = \frac{10}{500} = 0{,}02

P(|\bar{X}_{500} - 5| \geqslant 0{,}5) \leqslant \frac{0{,}02}{0{,}25} = \boxed{0{,}08}

Exprimer

n

en fonction de

N

\delta

\alpha

pour que

P(|\bar{X}_n - \frac{N}{2}| \geqslant \delta) \leqslant \alpha

\frac{N(N+2)}{12n\delta^2} \leqslant \alpha

\boxed{n \geqslant \frac{N(N+2)}{12\alpha\delta^2}}

Pour

N = 10

\delta = 0{,}2

\alpha = 0{,}01

, calculer

n

n \geqslant \frac{10 \times 12}{12 \times 0{,}01 \times 0{,}04} = \frac{120}{0{,}0048} = \boxed{25\,000}

Exercice 32

Avancé

On lance

n

fois un dé équilibré à 6 faces. Soit

N_k

le nombre de fois où la face

k

apparaît (

k \in \{1, \ldots, 6\}

) et

F_k = \frac{N_k}{n}

la fréquence de la face

k

Donner la loi de

N_k

, puis

E(F_k)

V(F_k)

N_k \sim \mathcal{B}\left(n, \frac{1}{6}\right)

E(F_k) = \frac{E(N_k)}{n} = \frac{n/6}{n} = \boxed{\frac{1}{6}}

V(F_k) = \frac{V(N_k)}{n^2} = \frac{n \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}}{n^2} = \boxed{\frac{5}{36n}}

Montrer que

P\left(\left|F_k - \frac{1}{6}\right| \geqslant 0{,}05\right) \leqslant \frac{5}{36n \times 0{,}0025}

. Simplifier.

Par Bienaymé-Tchebychev :

P\left(\left|F_k - \frac{1}{6}\right| \geqslant 0{,}05\right) \leqslant \frac{V(F_k)}{0{,}05^2} = \frac{5/(36n)}{0{,}0025} = \frac{5}{0{,}09n} = \boxed{\frac{200}{36n} = \frac{50}{9n}}

Pour

n = 2\,000

, calculer cette majoration. On lance le dé

2\,000

fois et on observe

F_1 = 0{,}18

. Est-ce compatible avec un dé équilibré ?

P\left(\left|F_1 - \frac{1}{6}\right| \geqslant 0{,}05\right) \leqslant \frac{50}{9 \times 2000} = \frac{50}{18000} \approx 0{,}00278

|0{,}18 - \frac{1}{6}| = |0{,}18 - 0{,}1\overline{6}| \approx 0{,}013 < 0{,}05

.
Donc

F_1 = 0{,}18

est dans l'intervalle

[\frac{1}{6} - 0{,}05 ; \frac{1}{6} + 0{,}05]

\boxed{\text{Cette observation est tout à fait compatible avec un dé équilibré.}}

Combien de lancers faut-il pour que

P\left(\left|F_k - \frac{1}{6}\right| \geqslant 0{,}01\right) \leqslant 0{,}01

\frac{5}{36n \times 0{,}0001} \leqslant 0{,}01

\frac{5}{0{,}0036n} \leqslant 0{,}01

n \geqslant \frac{5}{0{,}0036 \times 0{,}01} = \frac{5}{0{,}000036} \approx 138\,889

Il faut

\boxed{n \geqslant 138\,889}

lancers.

Exercice 33

Avancé

On considère la suite de variables aléatoires

S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n

où les

X_i

sont indépendantes et identiquement distribuées avec

E(X_i) = \mu

V(X_i) = \sigma^2

. On définit

T_n = \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}

Calculer

E(T_n)

V(T_n)

E(T_n) = \frac{E(S_n) - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} = \frac{n\mu - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} = \boxed{0}

V(T_n) = \frac{V(S_n)}{\sigma^2 n} = \frac{n\sigma^2}{\sigma^2 n} = \boxed{1}

T_n

est une variable centrée réduite.

En déduire que

P(|T_n| \geqslant a) \leqslant \frac{1}{a^2}

pour tout

a > 0

Par Bienaymé-Tchebychev appliqué à

T_n

P(|T_n - E(T_n)| \geqslant a) \leqslant \frac{V(T_n)}{a^2}

Comme

E(T_n) = 0

V(T_n) = 1

\boxed{P(|T_n| \geqslant a) \leqslant \frac{1}{a^2}}

Exprimer

P(|\bar{X}_n - \mu| \geqslant \varepsilon)

en fonction de

T_n

et en déduire l'inégalité de concentration.

\bar{X}_n = \frac{S_n}{n}

, donc

\bar{X}_n - \mu = \frac{S_n - n\mu}{n} = \frac{\sigma\sqrt{n} \cdot T_n}{n} = \frac{\sigma T_n}{\sqrt{n}}

.
Ainsi

|\bar{X}_n - \mu| \geqslant \varepsilon \iff |T_n| \geqslant \frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}

.
Donc :

P(|\bar{X}_n - \mu| \geqslant \varepsilon) = P\left(|T_n| \geqslant \frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\right) \leqslant \frac{1}{\left(\frac{\varepsilon\sqrt{n}}{\sigma}\right)^2} = \boxed{\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}}

On retrouve l'inégalité de concentration.

Application :

\mu = 10

\sigma = 3

n = 900

. Calculer

P(|\bar{X}_{900} - 10| \geqslant 0{,}3)

par cette méthode.

P(|\bar{X}_{900} - 10| \geqslant 0{,}3) \leqslant \frac{9}{900 \times 0{,}09} = \frac{9}{81} = \boxed{\frac{1}{9} \approx 0{,}111}

Exercice 34

Avancé

On veut estimer la proportion

p

de poissons d'une espèce dans un lac. On capture

n

poissons (avec remise), et on note

F_n

la fréquence de l'espèce considérée. On veut que l'intervalle

[F_n - \delta ; F_n + \delta]

contienne

p

avec une probabilité d'au moins

1 - \alpha

Montrer que

n \geqslant \frac{1}{4\alpha\delta^2}

suffit.

On veut

P(|F_n - p| \geqslant \delta) \leqslant \alpha

.
Par l'inégalité de concentration et la majoration

p(1-p) \leqslant \frac{1}{4}

P(|F_n - p| \geqslant \delta) \leqslant \frac{1}{4n\delta^2}

Pour

\frac{1}{4n\delta^2} \leqslant \alpha

\boxed{n \geqslant \frac{1}{4\alpha\delta^2}}

Pour

\delta = 0{,}03

\alpha = 0{,}05

, calculer

n

n \geqslant \frac{1}{4 \times 0{,}05 \times 0{,}0009} = \frac{1}{0{,}00018} \approx 5\,556

Il faut

\boxed{n \geqslant 5\,556}

captures.

On capture

6\,000

poissons et on observe

F_{6000} = 0{,}12

. Donner un encadrement de

p

Avec

n = 6000

\delta = 0{,}03

\frac{1}{4 \times 6000 \times 0{,}0009} = \frac{1}{21{,}6} \approx 0{,}046 \leqslant 0{,}05

Donc avec confiance

\geqslant 95\%

0{,}12 - 0{,}03 \leqslant p \leqslant 0{,}12 + 0{,}03

\boxed{0{,}09 \leqslant p \leqslant 0{,}15}

Si on sait que

p \leqslant 0{,}2

, montrer que

p(1-p) \leqslant 0{,}16

et en déduire un

n

plus petit.

f(p) = p(1-p)

est croissante sur

[0 ; 0{,}5]

. Si

p \leqslant 0{,}2

p(1-p) \leqslant 0{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}16

P(|F_n - p| \geqslant 0{,}03) \leqslant \frac{0{,}16}{n \times 0{,}0009} \leqslant 0{,}05

n \geqslant \frac{0{,}16}{0{,}0009 \times 0{,}05} = \frac{0{,}16}{0{,}000045} \approx 3\,556

Il suffit de

\boxed{n \geqslant 3\,556}

captures, au lieu de

5\,556

Comment la précision

\delta

varie-t-elle en fonction de

n

(à

\alpha

fixé) ? Si on double

n

, par combien

\delta

est-il divisé ?

n \geqslant \frac{1}{4\alpha\delta^2}

, on tire

\delta \geqslant \frac{1}{2\sqrt{\alpha n}}

.
Donc

\delta

est proportionnel à

\frac{1}{\sqrt{n}}

.
Si on double

n

\delta_{2n} = \frac{1}{2\sqrt{\alpha \cdot 2n}} = \frac{\delta_n}{\sqrt{2}}

En doublant

n

\delta

est divisé par

\sqrt{2} \approx 1{,}414

\boxed{\text{Pour diviser } \delta \text{ par 2, il faut multiplier } n \text{ par 4.}}

Exercice 35

Avancé

Soient

X_1, X_2, \ldots, X_n

des variables aléatoires indépendantes de même loi avec

E(X_i) = 0

V(X_i) = 1

. On pose

S_n = X_1 + \cdots + X_n

M_n = \max(X_1, \ldots, X_n)

est au-delà du programme, on s'intéresse à

S_n

Calculer

E(S_n)

V(S_n)

\sigma(S_n)

E(S_n) = nE(X_i) = n \times 0 = \boxed{0}

V(S_n) = nV(X_i) = n \times 1 = \boxed{n}

\sigma(S_n) = \boxed{\sqrt{n}}

Majorer

P(S_n \geqslant c\sqrt{n})

pour

c > 0

S_n \geqslant c\sqrt{n}

alors

|S_n| \geqslant c\sqrt{n}

(car

c\sqrt{n} > 0

), donc

|S_n - 0| \geqslant c\sqrt{n}

P(S_n \geqslant c\sqrt{n}) \leqslant P(|S_n| \geqslant c\sqrt{n}) \leqslant \frac{V(S_n)}{c^2 n} = \frac{n}{c^2 n} = \boxed{\frac{1}{c^2}}

Pour

n = 10\,000

, donner une valeur

c

telle que

P(S_n \geqslant c\sqrt{n}) \leqslant 0{,}04

. En déduire la valeur numérique correspondante.

\frac{1}{c^2} \leqslant 0{,}04

implique

c^2 \geqslant 25

, soit

c \geqslant 5

.
Avec

c = 5

n = 10\,000

c\sqrt{n} = 5 \times 100 = 500

Donc

P(S_{10000} \geqslant 500) \leqslant 0{,}04

\boxed{c = 5 \text{, soit } S_{10000} \geqslant 500}

Montrer que

P\left(\frac{S_n}{n} \geqslant \varepsilon\right) \to 0

pour tout

\varepsilon > 0

. Quel théorème cela illustre-t-il ?

\frac{S_n}{n} = \bar{X}_n

E(\bar{X}_n) = 0

P\left(\frac{S_n}{n} \geqslant \varepsilon\right) \leqslant P\left(\left|\frac{S_n}{n}\right| \geqslant \varepsilon\right) \leqslant \frac{V(\bar{X}_n)}{\varepsilon^2} = \frac{1/n}{\varepsilon^2} = \frac{1}{n\varepsilon^2} \to 0

C'est la

\boxed{\text{loi des grands nombres}}

\bar{X}_n \xrightarrow{P} E(X_i) = 0

Exercice 36

Avancé

Dans une population, un caractère est présent avec une proportion

p

inconnue. On effectue deux sondages indépendants de tailles

n_1

n_2

, donnant les fréquences

F_1

F_2

. On considère l'estimateur

\hat{p} = \frac{n_1 F_1 + n_2 F_2}{n_1 + n_2}

Montrer que

\hat{p}

est un estimateur sans biais de

p

E(\hat{p}) = \frac{n_1 E(F_1) + n_2 E(F_2)}{n_1 + n_2} = \frac{n_1 p + n_2 p}{n_1 + n_2} = \frac{(n_1 + n_2)p}{n_1 + n_2} = \boxed{p}

Donc

\hat{p}

est sans biais.

Calculer

V(\hat{p})

Les deux sondages étant indépendants,

F_1

F_2

sont indépendantes.

V(F_1) = \frac{p(1-p)}{n_1}

V(F_2) = \frac{p(1-p)}{n_2}

V(\hat{p}) = \frac{n_1^2 V(F_1) + n_2^2 V(F_2)}{(n_1+n_2)^2} = \frac{n_1^2 \cdot \frac{p(1-p)}{n_1} + n_2^2 \cdot \frac{p(1-p)}{n_2}}{(n_1+n_2)^2}

= \frac{n_1 p(1-p) + n_2 p(1-p)}{(n_1+n_2)^2} = \boxed{\frac{p(1-p)}{n_1+n_2}}

Comparer avec un seul sondage de taille

n_1 + n_2

. Commenter.

Un sondage unique de taille

n = n_1 + n_2

donne une fréquence

F

avec :

V(F) = \frac{p(1-p)}{n_1+n_2}

On trouve

V(\hat{p}) = V(F)

: les deux méthodes sont aussi précises.
C'est logique car

\hat{p} = \frac{n_1 F_1 + n_2 F_2}{n_1+n_2}

est la fréquence globale sur les

n_1+n_2

observations.

\boxed{\text{Combiner deux sondages indépendants revient à faire un grand sondage.}}

Application :

n_1 = 400

n_2 = 600

F_1 = 0{,}55

F_2 = 0{,}48

. Calculer

\hat{p}

et donner un encadrement de

p

avec confiance

\geqslant 90\%

\hat{p} = \frac{400 \times 0{,}55 + 600 \times 0{,}48}{1000} = \frac{220 + 288}{1000} = \frac{508}{1000} = 0{,}508

Pour l'encadrement avec

n = 1000

et confiance

\geqslant 90\%

, on cherche

\delta

tel que

\frac{1}{4 \times 1000 \times \delta^2} \leqslant 0{,}1

\delta^2 \geqslant \frac{1}{400} \implies \delta \geqslant 0{,}05

Avec

\delta = 0{,}05

0{,}508 - 0{,}05 \leqslant p \leqslant 0{,}508 + 0{,}05

\boxed{0{,}458 \leqslant p \leqslant 0{,}558}

Exercice 37

Avancé

On étudie la convergence de la fréquence vers la probabilité. Soit

F_n

la fréquence de succès sur

n

épreuves de Bernoulli de paramètre

p

Montrer que pour tout

\varepsilon > 0

P(|F_n - p| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{1}{4n\varepsilon^2}

V(F_n) = \frac{p(1-p)}{n} \leqslant \frac{1}{4n}

car

p(1-p) \leqslant \frac{1}{4}

.
Par Bienaymé-Tchebychev :

P(|F_n - p| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{V(F_n)}{\varepsilon^2} \leqslant \boxed{\frac{1}{4n\varepsilon^2}}

En déduire que

\lim_{n \to +\infty} P(|F_n - p| \geqslant \varepsilon) = 0

. Énoncer le théorème correspondant.

Pour tout

\varepsilon > 0

fixé :

0 \leqslant P(|F_n - p| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{1}{4n\varepsilon^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0

Par le théorème des gendarmes :

\boxed{\lim_{n \to +\infty} P(|F_n - p| \geqslant \varepsilon) = 0}

C'est la loi faible des grands nombres appliquée à la fréquence :

F_n

converge en probabilité vers

p

Pour

p = 0{,}5

\varepsilon = 0{,}001

, combien de lancers faut-il pour que

P(|F_n - 0{,}5| \geqslant 0{,}001) \leqslant 0{,}001

Avec la majoration exacte (

p(1-p) = 0{,}25

) :

\frac{0{,}25}{n \times 10^{-6}} \leqslant 10^{-3}

n \geqslant \frac{0{,}25}{10^{-6} \times 10^{-3}} = \frac{0{,}25}{10^{-9}} = 2{,}5 \times 10^8

Il faut

\boxed{n \geqslant 250\,000\,000}

lancers.
La convergence par Bienaymé-Tchebychev est très lente !

Montrer que la vitesse de convergence est en

O(1/n)

, c'est-à-dire que

P(|F_n - p| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{C}{n}

pour une constante

C

dépendant de

\varepsilon

On a :

P(|F_n - p| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \leqslant \frac{1}{4n\varepsilon^2}

En posant

C = \frac{1}{4\varepsilon^2}

(qui ne dépend que de

\varepsilon

) :

\boxed{P(|F_n - p| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{C}{n} \quad \text{avec } C = \frac{1}{4\varepsilon^2}}

La majoration décroît comme

\frac{1}{n}

: pour diviser le risque par 10, il faut multiplier

n

par 10.

Exercice 38

Avancé

Un restaurant propose deux formules : la formule A (choisie avec probabilité

0{,}6

, prix 15 euros) et la formule B (choisie avec probabilité

0{,}4

, prix 25 euros). Les choix des

n

clients sont indépendants. Soit

R_n

la recette totale et

\bar{R}_n = \frac{R_n}{n}

la recette moyenne par client.

Soit

C_i

le prix payé par le client

i

. Calculer

E(C_i)

V(C_i)

E(C_i) = 15 \times 0{,}6 + 25 \times 0{,}4 = 9 + 10 = \boxed{19}

E(C_i^2) = 225 \times 0{,}6 + 625 \times 0{,}4 = 135 + 250 = 385

V(C_i) = 385 - 361 = \boxed{24}

Calculer

E(R_n)

V(R_n)

E(\bar{R}_n)

V(\bar{R}_n)

R_n = C_1 + \cdots + C_n

E(R_n) = nE(C_i) = \boxed{19n}

V(R_n) = nV(C_i) = \boxed{24n}

E(\bar{R}_n) = \boxed{19}

V(\bar{R}_n) = \frac{24}{n} = \boxed{\frac{24}{n}}

Pour

n = 200

clients, majorer

P(|R_{200} - 3800| \geqslant 200)

E(R_{200}) = 3800

V(R_{200}) = 4800

P(|R_{200} - 3800| \geqslant 200) \leqslant \frac{4800}{40000} = \boxed{0{,}12}

Le restaurant ouvre 300 jours par an avec

n = 100

clients par jour. Combien espère-t-il de recette annuelle ? Majorer la probabilité que la recette moyenne par client sur l'année s'écarte de plus de 50 centimes de la moyenne théorique.

Nombre total de clients par an :

N = 300 \times 100 = 30\,000

.
Recette annuelle espérée :

E(R_{30000}) = 19 \times 30000 = \boxed{570\,000}

euros.

Recette moyenne par client sur l'année :

\bar{R}_{30000}

V(\bar{R}_{30000}) = \frac{24}{30000} = 0{,}0008

P(|\bar{R}_{30000} - 19| \geqslant 0{,}5) \leqslant \frac{0{,}0008}{0{,}25} = \boxed{0{,}0032}

La probabilité est très faible (

< 0{,}33\%

), ce qui illustre la concentration grâce au grand nombre de clients.

Exercice 39

Avancé

On considère une suite de

n

variables aléatoires indépendantes

(X_i)

de même loi prenant les valeurs

-2

0

1

3

avec les probabilités

\frac{1}{8}

\frac{1}{4}

\frac{3}{8}

\frac{1}{4}

Vérifier que c'est bien une loi de probabilité. Calculer

E(X_i)

V(X_i)

Somme des probabilités :

\frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1+2+3+2}{8} = \frac{8}{8} = 1

. \n

E(X_i) = (-2) \times \frac{1}{8} + 0 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{4}

= -\frac{2}{8} + 0 + \frac{3}{8} + \frac{3}{4} = -\frac{1}{4} + 0 + \frac{3}{8} + \frac{3}{4}

Convertissons en huitièmes :

-\frac{2}{8} + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} = \frac{7}{8}

\boxed{E(X_i) = \frac{7}{8} = 0{,}875}

E(X_i^2) = 4 \times \frac{1}{8} + 0 + 1 \times \frac{3}{8} + 9 \times \frac{1}{4} = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} + \frac{9}{4} = \frac{7}{8} + \frac{18}{8} = \frac{25}{8}

V(X_i) = \frac{25}{8} - \left(\frac{7}{8}\right)^2 = \frac{25}{8} - \frac{49}{64} = \frac{200 - 49}{64} = \boxed{\frac{151}{64} \approx 2{,}359}

Soit

S_n = X_1 + \cdots + X_n

. Calculer

E(S_{64})

V(S_{64})

E(S_{64}) = 64 \times \frac{7}{8} = \boxed{56}

V(S_{64}) = 64 \times \frac{151}{64} = \boxed{151}

Majorer

P(S_{64} \leqslant 30)

P(S_{64} \geqslant 82)

Pour

P(S_{64} \leqslant 30)

: si

S_{64} \leqslant 30

alors

56 - S_{64} \geqslant 26

, donc

|S_{64} - 56| \geqslant 26

P(S_{64} \leqslant 30) \leqslant P(|S_{64} - 56| \geqslant 26) \leqslant \frac{151}{676} \approx \boxed{0{,}223}

Pour

P(S_{64} \geqslant 82)

: si

S_{64} \geqslant 82

alors

S_{64} - 56 \geqslant 26

, donc

|S_{64} - 56| \geqslant 26

P(S_{64} \geqslant 82) \leqslant \frac{151}{676} \approx \boxed{0{,}223}

Montrer que

\bar{X}_n \to \frac{7}{8}

en probabilité et déterminer

n

pour que

P(|\bar{X}_n - \frac{7}{8}| \geqslant 0{,}1) \leqslant 0{,}05

V(\bar{X}_n) = \frac{151}{64n} \to 0

quand

n \to +\infty

, donc

\bar{X}_n \xrightarrow{P} \frac{7}{8}

par la loi des grands nombres.

Pour la condition demandée :

\frac{151/(64n)}{0{,}01} \leqslant 0{,}05

\frac{151}{0{,}64n} \leqslant 0{,}05

n \geqslant \frac{151}{0{,}64 \times 0{,}05} = \frac{151}{0{,}032} = 4\,718{,}75

Donc

\boxed{n \geqslant 4\,719}

Exercice 40

Avancé

On veut montrer l'intérêt de la stratification. Une population est composée de deux groupes : le groupe 1 (proportion

w_1 = 0{,}7

, proportion de succès

p_1

) et le groupe 2 (proportion

w_2 = 0{,}3

, proportion de succès

p_2

). On a

p = 0{,}7p_1 + 0{,}3p_2

Sondage non stratifié : on tire

n = 1\,000

personnes au hasard dans toute la population. La fréquence

F_n

estime

p

. Donner la majoration universelle de

P(|F_n - p| \geqslant 0{,}03)

P(|F_n - p| \geqslant 0{,}03) \leqslant \frac{1}{4 \times 1000 \times 0{,}0009} = \frac{1}{3{,}6} \approx \boxed{0{,}278}

Sondage stratifié : on tire

n_1 = 700

personnes du groupe 1 et

n_2 = 300

du groupe 2. On estime

p

par

\hat{p} = 0{,}7 F_1 + 0{,}3 F_2

où

F_1

F_2

sont les fréquences dans chaque groupe. Montrer que

\hat{p}

est sans biais.

E(\hat{p}) = 0{,}7 E(F_1) + 0{,}3 E(F_2) = 0{,}7 p_1 + 0{,}3 p_2 = \boxed{p}

\hat{p}

est sans biais.

Calculer

V(\hat{p})

en fonction de

p_1

p_2

. Montrer que

V(\hat{p}) \leqslant \frac{0{,}49}{4 \times 700} + \frac{0{,}09}{4 \times 300}

F_1

F_2

sont indépendantes (groupes distincts).

V(\hat{p}) = 0{,}49 \cdot V(F_1) + 0{,}09 \cdot V(F_2) = 0{,}49 \cdot \frac{p_1(1-p_1)}{700} + 0{,}09 \cdot \frac{p_2(1-p_2)}{300}

En majorant

p_1(1-p_1) \leqslant \frac{1}{4}

p_2(1-p_2) \leqslant \frac{1}{4}

V(\hat{p}) \leqslant \frac{0{,}49}{2800} + \frac{0{,}09}{1200} = \boxed{\frac{0{,}49}{2800} + \frac{0{,}09}{1200}}

Calculons :

\frac{0{,}49}{2800} \approx 0{,}000175

\frac{0{,}09}{1200} = 0{,}000075

V(\hat{p}) \leqslant 0{,}000175 + 0{,}000075 = \boxed{0{,}00025}

Majorer

P(|\hat{p} - p| \geqslant 0{,}03)

et comparer avec le sondage non stratifié.

Par Bienaymé-Tchebychev :

P(|\hat{p} - p| \geqslant 0{,}03) \leqslant \frac{V(\hat{p})}{0{,}0009} \leqslant \frac{0{,}00025}{0{,}0009} \approx \boxed{0{,}278}

Ici la majoration est la même. Cependant, la variance du stratifié (

0{,}00025

) est légèrement inférieure à celle du non stratifié (

\frac{1}{4000} = 0{,}00025

). Les majorations universelles donnent le même résultat, mais avec les vraies valeurs de

p_1

p_2

, le stratifié sera généralement meilleur.

p_1 = 0{,}8

p_2 = 0{,}3

, calculer les variances exactes et comparer.

Sondage non stratifié :

p = 0{,}7 \times 0{,}8 + 0{,}3 \times 0{,}3 = 0{,}56 + 0{,}09 = 0{,}65

V(F_{1000}) = \frac{0{,}65 \times 0{,}35}{1000} = \frac{0{,}2275}{1000} = 0{,}0002275

Sondage stratifié :

V(\hat{p}) = 0{,}49 \times \frac{0{,}8 \times 0{,}2}{700} + 0{,}09 \times \frac{0{,}3 \times 0{,}7}{300}

= 0{,}49 \times \frac{0{,}16}{700} + 0{,}09 \times \frac{0{,}21}{300}

= 0{,}000112 + 0{,}000063 = 0{,}000175

Comparaison :

V(\hat{p}) = 0{,}000175 < 0{,}0002275 = V(F_{1000})

\boxed{\text{Le sondage stratifié est plus précis, avec une variance } 23\% \text{ plus faible.}}

4 problèmes de synthèse

Problème 1 — Estimation de la proportion de gauchers

Facile

Dans une population, la proportion de gauchers est

p

(inconnue). On interroge

n

personnes choisies au hasard (avec remise). On note

X_i = 1

si la

i

-ème personne est gauchère et

X_i = 0

sinon. On pose

S_n = \sum_{i=1}^n X_i

F_n = \frac{S_n}{n}

Partie A — Étude d'un échantillon

Quelle est la loi de chaque

X_i

? Donner

E(X_i)

V(X_i)

X_i \sim \mathcal{B}(p)

(loi de Bernoulli de paramètre

p

E(X_i) = \boxed{p}

V(X_i) = p(1-p) = \boxed{p(1-p)}

Donner la loi de

S_n

, son espérance et sa variance.

S_n = X_1 + \cdots + X_n

avec les

X_i

indépendantes suivant

\mathcal{B}(p)

.
Donc

S_n \sim \mathcal{B}(n, p)

E(S_n) = \boxed{np}

V(S_n) = \boxed{np(1-p)}

Calculer

E(F_n)

V(F_n)

E(F_n) = \frac{E(S_n)}{n} = \frac{np}{n} = \boxed{p}

V(F_n) = \frac{V(S_n)}{n^2} = \frac{np(1-p)}{n^2} = \boxed{\frac{p(1-p)}{n}}

Partie B — Inégalité de concentration et estimation

Écrire l'inégalité de concentration pour

F_n

. En utilisant

p(1-p) \leqslant \frac{1}{4}

, en déduire que

P(|F_n - p| \geqslant \delta) \leqslant \frac{1}{4n\delta^2}

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à

F_n

P(|F_n - p| \geqslant \delta) \leqslant \frac{V(F_n)}{\delta^2} = \frac{p(1-p)}{n\delta^2}

Comme

p(1-p) \leqslant \frac{1}{4}

pour tout

p \in [0;1]

\boxed{P(|F_n - p| \geqslant \delta) \leqslant \frac{1}{4n\delta^2}}

On veut que

P(|F_n - p| \geqslant 0{,}02) \leqslant 0{,}05

. Déterminer la taille minimale de l'échantillon.

\frac{1}{4n \times 0{,}0004} \leqslant 0{,}05

\frac{1}{0{,}0016n} \leqslant 0{,}05

n \geqslant \frac{1}{0{,}0016 \times 0{,}05} = \frac{1}{0{,}00008} = \boxed{12\,500}

On interroge

n = 15\,000

personnes et on trouve

F_{15000} = 0{,}13

. Donner un encadrement de

p

avec le niveau de confiance correspondant.

Avec

n = 15\,000

\delta = 0{,}02

\frac{1}{4 \times 15000 \times 0{,}0004} = \frac{1}{24} \approx 0{,}042 < 0{,}05

Avec confiance

\geqslant 1 - 0{,}042 \approx 95{,}8\%

0{,}13 - 0{,}02 \leqslant p \leqslant 0{,}13 + 0{,}02

\boxed{0{,}11 \leqslant p \leqslant 0{,}15}

Problème 2 — Moyenne de notes et loi des grands nombres

Intermédiaire

Dans un lycée, les notes d'un examen (sur 20) ont pour moyenne

\mu = 12

et pour écart type

\sigma = 3

. On tire au hasard

n

copies de manière indépendante et on note

X_i

la note de la

i

-ème copie tirée.

Partie A — Somme des notes

Calculer

E(X_i)

V(X_i)

E(X_i) = \mu = \boxed{12}

V(X_i) = \sigma^2 = 3^2 = \boxed{9}

Soit

S_n = X_1 + \cdots + X_n

. Calculer

E(S_n)

V(S_n)

. Application :

n = 50

E(S_n) = nE(X_i) = 12n

V(S_n) = nV(X_i) = 9n

Pour

n = 50

E(S_{50}) = \boxed{600}

V(S_{50}) = \boxed{450}

Pour

n = 50

, majorer

P(|S_{50} - 600| \geqslant 60)

P(|S_{50} - 600| \geqslant 60) \leqslant \frac{V(S_{50})}{60^2} = \frac{450}{3600} = \boxed{0{,}125}

Partie B — Moyenne des notes

Soit

\bar{X}_n = \frac{S_n}{n}

. Calculer

E(\bar{X}_n)

V(\bar{X}_n)

E(\bar{X}_n) = \mu = \boxed{12}

V(\bar{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n} = \boxed{\frac{9}{n}}

Montrer que

P(|\bar{X}_n - 12| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{9}{n\varepsilon^2}

et en déduire que

\bar{X}_n \to 12

en probabilité.

Par Bienaymé-Tchebychev :

P(|\bar{X}_n - 12| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{V(\bar{X}_n)}{\varepsilon^2} = \frac{9}{n\varepsilon^2}

Pour tout

\varepsilon > 0

fixé,

\frac{9}{n\varepsilon^2} \to 0

quand

n \to +\infty

.
Donc

P(|\bar{X}_n - 12| \geqslant \varepsilon) \to 0

: c'est la \textbf{loi des grands nombres}.

\boxed{\bar{X}_n \xrightarrow{P} 12}

Déterminer

n

pour que

P(|\bar{X}_n - 12| \geqslant 0{,}5) \leqslant 0{,}02

\frac{9}{n \times 0{,}25} \leqslant 0{,}02

\frac{36}{n} \leqslant 0{,}02

n \geqslant \frac{36}{0{,}02} = \boxed{1\,800}

On tire

n = 2\,000

copies et on obtient

\bar{X}_{2000} = 11{,}8

. Donner un encadrement de

\mu

avec un niveau de confiance d'au moins

98\%

Avec

n = 2000

\varepsilon = 0{,}5

P(|\bar{X}_{2000} - \mu| \geqslant 0{,}5) \leqslant \frac{9}{2000 \times 0{,}25} = \frac{9}{500} = 0{,}018 < 0{,}02

Avec confiance

\geqslant 98\%

11{,}8 - 0{,}5 \leqslant \mu \leqslant 11{,}8 + 0{,}5

\boxed{11{,}3 \leqslant \mu \leqslant 12{,}3}

Problème 3 — Contrôle qualité et inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Difficile

Une usine produit des composants électroniques. Chaque composant a une durée de vie (en heures) modélisée par une variable aléatoire

X

d'espérance

\mu = 1\,000

heures et d'écart type

\sigma = 150

heures. On teste

n

composants de manière indépendante.

Partie A — Étude d'un composant

Majorer

P(|X - 1000| \geqslant 300)

à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

P(|X - 1000| \geqslant 300) \leqslant \frac{V(X)}{300^2} = \frac{150^2}{300^2} = \frac{22500}{90000} = \boxed{0{,}25}

En déduire un minorant de

P(700 \leqslant X \leqslant 1300)

\{700 \leqslant X \leqslant 1300\} = \{|X - 1000| \leqslant 300\}

P(700 \leqslant X \leqslant 1300) \geqslant 1 - 0{,}25 = \boxed{0{,}75}

Pour quelle valeur de

\delta

a-t-on

P(|X - 1000| \geqslant \delta) \leqslant 0{,}1

\frac{22500}{\delta^2} \leqslant 0{,}1

\delta^2 \geqslant 225000

\delta \geqslant \sqrt{225000} = 150\sqrt{10} \approx \boxed{474{,}3 \text{ heures}}

Partie B — Durée de vie moyenne d'un échantillon

Soit

\bar{X}_n

la durée de vie moyenne des

n

composants. Donner

E(\bar{X}_n)

V(\bar{X}_n)

E(\bar{X}_n) = \mu = \boxed{1\,000}

V(\bar{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n} = \boxed{\frac{22\,500}{n}}

Majorer

P(|\bar{X}_{100} - 1000| \geqslant 50)

pour un échantillon de

n = 100

V(\bar{X}_{100}) = \frac{22500}{100} = 225

P(|\bar{X}_{100} - 1000| \geqslant 50) \leqslant \frac{225}{2500} = \boxed{0{,}09}

Combien de composants faut-il tester pour que

P(|\bar{X}_n - 1000| \geqslant 20) \leqslant 0{,}01

\frac{22500}{n \times 400} \leqslant 0{,}01

\frac{22500}{400n} \leqslant 0{,}01

n \geqslant \frac{22500}{4} = \boxed{5\,625}

Partie C — Garantie de fiabilité

On teste

n = 400

composants et on observe

\bar{X}_{400} = 985

. L'usine garantit

\mu \geqslant 950

. Cette garantie est-elle crédible ? Justifier avec un niveau de confiance.

V(\bar{X}_{400}) = \frac{22500}{400} = 56{,}25

P(|\bar{X}_{400} - \mu| \geqslant 30) \leqslant \frac{56{,}25}{900} = 0{,}0625

.
Avec confiance

\geqslant 93{,}75\%

\mu \in [985 - 30 ; 985 + 30] = [955 ; 1015]

.
Comme

955 > 950

, la garantie

\mu \geqslant 950

est \textbf{crédible}.

\boxed{\text{Oui, avec confiance } \geqslant 93{,}75\%, \mu \in [955 ; 1015] \text{ donc } \mu \geqslant 950.}

Pour quelle valeur minimale de

n

peut-on garantir avec

99\%

de confiance que

\bar{X}_n

est à moins de 10 heures de

\mu

\frac{22500/n}{100} \leqslant 0{,}01

\frac{22500}{100n} \leqslant 0{,}01

\frac{225}{n} \leqslant 0{,}01

n \geqslant \frac{225}{0{,}01} = \boxed{22\,500}

Problème 4 — Jeu de hasard, sommes et convergence

Avancé

Un joueur joue à un jeu dont les gains possibles à chaque partie sont

-3

0

2

5

euros avec les probabilités respectives

\frac{1}{6}

\frac{1}{3}

\frac{1}{3}

\frac{1}{6}

. Les parties sont indépendantes.

Partie A — Étude d'une partie

Soit

G

le gain d'une partie. Calculer

E(G)

V(G)

E(G) = (-3) \times \frac{1}{6} + 0 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{1}{3} + 5 \times \frac{1}{6}

= -\frac{3}{6} + 0 + \frac{2}{3} + \frac{5}{6} = -\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{5}{6}

= \frac{-3 + 4 + 5}{6} = \boxed{1}

E(G^2) = 9 \times \frac{1}{6} + 0 + 4 \times \frac{1}{3} + 25 \times \frac{1}{6} = \frac{9}{6} + \frac{4}{3} + \frac{25}{6} = \frac{9+8+25}{6} = \boxed{7}

V(G) = 7 - 1 = \boxed{6}

Le jeu est-il favorable au joueur ?

Comme

E(G) = 1 > 0

, le jeu est favorable au joueur. En moyenne, il gagne

\boxed{1}

euro par partie.

Partie B — Gain total et concentration

Soit

T_n = G_1 + \cdots + G_n

le gain total après

n

parties. Calculer

E(T_n)

V(T_n)

E(T_n) = nE(G) = \boxed{n}

V(T_n) = nV(G) = \boxed{6n}

Pour

n = 100

, majorer

P(T_{100} \leqslant 0)

(probabilité de ne pas être gagnant).

E(T_{100}) = 100

V(T_{100}) = 600

.
Si

T_{100} \leqslant 0

alors

|T_{100} - 100| \geqslant 100

P(T_{100} \leqslant 0) \leqslant P(|T_{100} - 100| \geqslant 100) \leqslant \frac{600}{10000} = \boxed{0{,}06}

Majorer

P(T_{100} \geqslant 200)

T_{100} \geqslant 200

alors

T_{100} - 100 \geqslant 100

, donc

|T_{100} - 100| \geqslant 100

P(T_{100} \geqslant 200) \leqslant P(|T_{100} - 100| \geqslant 100) \leqslant \frac{600}{10000} = \boxed{0{,}06}

Déterminer

n

pour que

P(T_n \leqslant 0) \leqslant 0{,}01

P(T_n \leqslant 0) \leqslant P(|T_n - n| \geqslant n) \leqslant \frac{6n}{n^2} = \frac{6}{n}

.
Pour

\frac{6}{n} \leqslant 0{,}01

n \geqslant \frac{6}{0{,}01} = \boxed{600}

Partie C — Gain moyen et loi des grands nombres

Soit

\bar{G}_n = \frac{T_n}{n}

. Montrer que pour tout

\varepsilon > 0

P(|\bar{G}_n - 1| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{6}{n\varepsilon^2}

E(\bar{G}_n) = 1

V(\bar{G}_n) = \frac{6}{n}

.
Par Bienaymé-Tchebychev :

P(|\bar{G}_n - 1| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{V(\bar{G}_n)}{\varepsilon^2} = \boxed{\frac{6}{n\varepsilon^2}}

En déduire la convergence de

\bar{G}_n

. Énoncer le théorème utilisé.

Pour tout

\varepsilon > 0

\frac{6}{n\varepsilon^2} \to 0

quand

n \to +\infty

.
Donc

P(|\bar{G}_n - 1| \geqslant \varepsilon) \to 0

.
C'est la \textbf{loi faible des grands nombres} :

\boxed{\bar{G}_n \xrightarrow{P} E(G) = 1}

Le gain moyen par partie converge en probabilité vers l'espérance.

Pour

n = 600

, calculer

P(|\bar{G}_{600} - 1| \geqslant 0{,}5)

P(|\bar{G}_{600} - 1| \geqslant 0{,}2)

P(|\bar{G}_{600} - 1| \geqslant 0{,}5) \leqslant \frac{6}{600 \times 0{,}25} = \frac{6}{150} = \boxed{0{,}04}

P(|\bar{G}_{600} - 1| \geqslant 0{,}2) \leqslant \frac{6}{600 \times 0{,}04} = \frac{6}{24} = \boxed{0{,}25}

Interpréter ces résultats : après 600 parties, quelles informations a-t-on sur le gain moyen ?

Après 600 parties :
- Avec une probabilité d'au moins

96\%

, le gain moyen est compris entre

0{,}5

1{,}5

euros par partie.
- Avec une probabilité d'au moins

75\%

, le gain moyen est compris entre

0{,}8

1{,}2

euros par partie.
- Le gain total espéré est

600

euros, et avec probabilité

\geqslant 96\%

, il est dans l'intervalle

[300 ; 900]

\boxed{\text{Le gain moyen se concentre autour de 1 euro, confirmant que le jeu est favorable.}}

S'entraîner avec les sujets du bac

Voir les sujets corrigés →

Sommes de variables aléatoires

I. Rappels sur les variables aléatoires

II. Somme de deux variables aléatoires

1. Définition

2. Linéarité de l'espérance

3. Indépendance et variance

III. Moyenne d'un échantillon

1. Définition

2. Espérance et variance

3. Fréquence observée

IV. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

1. Inégalité de Markov

2. Bienaymé-Tchebychev

V. Concentration et loi des grands nombres

1. Concentration de la moyenne

2. Loi faible des grands nombres

3. Ce que dit (et ne dit pas) la LGN

VI. Intervalles de fluctuation et de confiance

1. Intervalle de fluctuation

2. Intervalle de confiance

3. Prise de décision

VII. Simulation et illustration

VIII. Méthodes

1. Sommes, moyennes et inégalités

Espérance et variance

Moyenne et fréquence

Bienaymé-Tchebychev

2. LGN, fluctuation et tests

Loi des grands nombres

Intervalles

Récapitulatif

Partie A — Étude d'un échantillon

Partie B — Inégalité de concentration et estimation

Partie A — Somme des notes

Partie B — Moyenne des notes

Partie A — Étude d'un composant

Partie B — Durée de vie moyenne d'un échantillon

Partie C — Garantie de fiabilité

Partie A — Étude d'une partie

Partie B — Gain total et concentration

Partie C — Gain moyen et loi des grands nombres

S'entraîner avec les sujets du bac