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IV Probabilités & dénombrement · Chapitre 16 / 17

Succession d'épreuves indépendantes

Schéma de Bernoulli, loi binomiale.

10 min de lecture
3 sections, 9 exemples
40 exercices · 4 problèmes

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L'essentiel en 30 secondes

Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : succès (probabilité p) ou échec. Répétée n fois de façon identique et indépendante — le schéma de Bernoulli —, le nombre de succès X suit la loi binomiale B(n ; p) : P(X = k) = (k parmi n) × p^k × (1−p)^(n−k), avec E(X) = np et V(X) = np(1−p).

1 I. Épreuves et événements indépendants

1. Événements indépendants

2. Propriétés des événements indépendants

Démonstration (AA et B‾\overline{B} indépendants)
On a A=(A∩B)∪(A∩B‾)A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) et ces deux événements sont incompatibles.

Donc P(A)=P(A∩B)+P(A∩B‾)P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}), d'où :

P(A∩B‾)=P(A)−P(A∩B)=P(A)−P(A)×P(B)P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = P(A) - P(A) \times P(B)

=P(A)(1−P(B))=P(A)×P(B‾)= P(A)(1 - P(B)) = P(A) \times P(\overline{B})

Donc AA et B‾\overline{B} sont indépendants. □\square

3. Succession d'épreuves indépendantes

4. Représentation par un arbre pondéré

2 II. Schéma de Bernoulli

1. Épreuve de Bernoulli

2. Schéma de Bernoulli

3. Nombre de chemins réalisant kk succès

Justification
Un chemin avec exactement kk succès correspond au choix des kk positions (parmi nn) où se produit un succès. L'ordre des positions choisies n'importe pas : c'est une combinaison de kk éléments parmi nn, d'où (nk)\binom{n}{k} chemins.

3 III. Loi binomiale

1. Définition

Démonstration
Chaque chemin de l'arbre réalisant exactement kk succès contient kk branches « succès » (probabilité pp) et n−kn - k branches « échec » (probabilité 1−p1 - p).

Par indépendance, la probabilité d'un tel chemin est pk(1−p)n−kp^k (1-p)^{n-k}.

Il y a (nk)\binom{n}{k} tels chemins.

Donc P(X=k)=(nk) pk (1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}. □\square
Que cherche-t-on ?
E ou V somme
E : linearite / V : additivite
E, V moyenne
E=μ, V=σ²/n
Majorer P
Tchebychev
Taille n
n ≥ σ²/(αδ²)
Fluctuation
I_n formule
Test H₀
f_n vs I_n
Convergence
LGN

2. Espérance, variance et écart-type

Démonstration de E(X)=npE(X) = np
On écrit X=X1+X2+⋯+XnX = X_1 + X_2 + \cdots + X_n où XiX_i est la variable de Bernoulli associée à la ii-ème épreuve (Xi=1X_i = 1 si succès, Xi=0X_i = 0 si échec).

Chaque XiX_i a pour espérance E(Xi)=1×p+0×(1−p)=pE(X_i) = 1 \times p + 0 \times (1-p) = p.

Par linéarité de l'espérance :

E(X)=E(X1)+E(X2)+⋯+E(Xn)=np□E(X) = E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_n) = np \quad \square
Démonstration de V(X)=np(1−p)V(X) = np(1-p)
Les variables X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n sont indépendantes.

Chaque XiX_i a pour variance V(Xi)=E(Xi2)−[E(Xi)]2=p−p2=p(1−p)V(X_i) = E(X_i^2) - [E(X_i)]^2 = p - p^2 = p(1-p).

Par additivité des variances pour des variables indépendantes :

V(X)=V(X1)+V(X2)+⋯+V(Xn)=np(1−p)□V(X) = V(X_1) + V(X_2) + \cdots + V(X_n) = np(1-p) \quad \square

3. Calculs et propriétés

4. Représentation graphique

Ce chapitre est tombé au bac

20 sujets officiels de bac comportent un exercice sur ce chapitre — chaque corrigé est détaillé question par question.

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Questions fréquentes

Quand utiliser la loi binomiale ?
Quand on répète nn fois, de façon indépendante, une même épreuve à deux issues (succès ou échec) de probabilité de succès pp constante. La variable qui compte les succès suit alors la loi binomiale B(n ;p)\mathcal{B}(n\,;p), et P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.
Quelles sont l'espérance et la variance d'une loi binomiale ?
Pour XX suivant B(n ;p)\mathcal{B}(n\,;p), l'espérance vaut E(X)=npE(X) = np et la variance V(X)=np(1−p)V(X) = np(1-p). L'écart-type est donc np(1−p)\sqrt{np(1-p)}. L'espérance s'interprète comme le nombre moyen de succès sur un grand nombre de répétitions.
Comment reconnaître un schéma de Bernoulli ?
Trois conditions doivent être réunies : chaque épreuve n'a que deux issues, les épreuves sont indépendantes, et la probabilité de succès est la même à chaque fois. Un tirage sans remise, par exemple, ne vérifie pas la troisième condition.

1. Événements indépendants

2. Schéma de Bernoulli

3. Loi binomiale

4. Méthode type

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
On lance une pièce de monnaie équilibrée 4 fois de suite.
1.
Justifier que les lancers constituent un schéma de Bernoulli et préciser ses paramètres.
Chaque lancer est une **épreuve de Bernoulli** : deux issues, Pile (succès) de probabilité $p = 0{,}5$ et Face (échec) de probabilité $1 - p = 0{,}5$. Les lancers sont **identiques** (même pièce) et **indépendants** (chaque lancer n'influence pas les autres). C'est donc un **schéma de Bernoulli** de paramètres $\boxed{n = 4}$ et $\boxed{p = 0{,}5}$.
2.
Soit XX le nombre de Pile obtenus. Quelle est la loi de XX ?
$X$ compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 4$ et $p = 0{,}5$. Donc $X$ suit la **loi binomiale** : $$\boxed{X \sim \mathcal{B}(4 \,; 0{,}5)}$$
3.
Calculer P(X=2)P(X = 2).
On applique la formule de la loi binomiale : $$P(X = 2) = \binom{4}{2} \times (0{,}5)^2 \times (0{,}5)^{4-2}$$ $$= \binom{4}{2} \times (0{,}5)^4 = 6 \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{6}{16} = \boxed{\dfrac{3}{8} = 0{,}375}$$
Exercice 2
Facile
Une usine produit des pièces dont 5 % sont défectueuses. On prélève au hasard 10 pièces (tirage avec remise).
1.
Soit XX le nombre de pièces défectueuses dans le prélèvement. Justifier que X∼B(10 ;0,05)X \sim \mathcal{B}(10 \,; 0{,}05).
Chaque prélèvement est une épreuve de Bernoulli : succès = pièce défectueuse ($p = 0{,}05$), échec = pièce conforme ($1 - p = 0{,}95$). Le tirage avec remise assure l'**indépendance** des épreuves et le maintien de la probabilité $p = 0{,}05$. Les $n = 10$ épreuves sont identiques et indépendantes. Donc $\boxed{X \sim \mathcal{B}(10 \,; 0{,}05)}$.
2.
Calculer P(X=0)P(X = 0), la probabilité qu'aucune pièce ne soit défectueuse.
$$P(X = 0) = \binom{10}{0} \times (0{,}05)^0 \times (0{,}95)^{10} = 1 \times 1 \times (0{,}95)^{10}$$ $$(0{,}95)^{10} \approx 0{,}5987$$ Donc $\boxed{P(X = 0) \approx 0{,}599}$.
3.
Calculer E(X)E(X) et interpréter.
$$E(X) = np = 10 \times 0{,}05 = \boxed{0{,}5}$$ En moyenne, sur un prélèvement de 10 pièces, on s'attend à trouver $0{,}5$ pièce défectueuse.
Exercice 3
Facile
Un QCM comporte 6 questions indépendantes. Pour chaque question, il y a 3 réponses proposées dont une seule est correcte. Un élève répond au hasard.
1.
Quelle loi suit le nombre XX de bonnes réponses ? Préciser les paramètres.
Chaque question est une épreuve de Bernoulli : succès = bonne réponse, $p = \dfrac{1}{3}$. Les 6 questions sont indépendantes (l'élève répond au hasard). Donc $\boxed{X \sim \mathcal{B}\left(6 \,; \dfrac{1}{3}\right)}$.
2.
Calculer P(X=6)P(X = 6), la probabilité d'avoir tout juste.
$$P(X = 6) = \binom{6}{6} \left(\dfrac{1}{3}\right)^6 \left(\dfrac{2}{3}\right)^0 = 1 \times \dfrac{1}{729} \times 1 = \boxed{\dfrac{1}{729} \approx 0{,}00137}$$
3.
Calculer l'espérance et l'écart-type de XX.
$$E(X) = np = 6 \times \dfrac{1}{3} = \boxed{2}$$ $$V(X) = np(1-p) = 6 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}$$ $$\sigma(X) = \sqrt{\dfrac{4}{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \approx \boxed{1{,}15}$$
Exercice 4
Facile
On considère deux événements AA et BB tels que P(A)=0,4P(A) = 0{,}4, P(B)=0,3P(B) = 0{,}3 et P(A∩B)=0,12P(A \cap B) = 0{,}12.
1.
Les événements AA et BB sont-ils indépendants ? Justifier.
Calculons $P(A) \times P(B) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12$. Or $P(A \cap B) = 0{,}12$. Donc $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ : les événements $A$ et $B$ sont $\boxed{\text{indépendants}}$.
2.
Calculer P(A∪B)P(A \cup B).
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}4 + 0{,}3 - 0{,}12 = \boxed{0{,}58}$$
3.
Calculer P(A‾∩B‾)P(\overline{A} \cap \overline{B}).
Puisque $A$ et $B$ sont indépendants, $\overline{A}$ et $\overline{B}$ le sont aussi. $$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \times P(\overline{B}) = (1 - 0{,}4) \times (1 - 0{,}3) = 0{,}6 \times 0{,}7 = \boxed{0{,}42}$$ **Vérification :** $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0{,}58 = 0{,}42$ ✓.
Exercice 5
Facile
Soit X∼B(8 ;0,3)X \sim \mathcal{B}(8 \,; 0{,}3).
1.
Calculer P(X=0)P(X = 0).
$$P(X = 0) = \binom{8}{0} \times (0{,}3)^0 \times (0{,}7)^8 = 1 \times 1 \times (0{,}7)^8$$ $$(0{,}7)^8 = 0{,}05764801$$ Donc $\boxed{P(X = 0) \approx 0{,}0576}$.
2.
Calculer P(X=1)P(X = 1).
$$P(X = 1) = \binom{8}{1} \times (0{,}3)^1 \times (0{,}7)^7 = 8 \times 0{,}3 \times (0{,}7)^7$$ $$(0{,}7)^7 = 0{,}0823543$$ $$P(X = 1) = 8 \times 0{,}3 \times 0{,}0823543 = 8 \times 0{,}02470629 \approx \boxed{0{,}1977}$$
3.
En déduire P(X⩾2)P(X \geqslant 2).
$$P(X \geqslant 2) = 1 - P(X \leqslant 1) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$$ $$= 1 - 0{,}0576 - 0{,}1977 = 1 - 0{,}2553 = \boxed{0{,}7447}$$
Exercice 6
Facile
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes, on note sa couleur, puis on la remet. On répète cette expérience 5 fois.
1.
Quelle est la probabilité de tirer un cœur à chaque tirage ?
Un jeu de 32 cartes contient 8 cœurs. La probabilité de tirer un cœur est : $$p = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$$ Donc $\boxed{p = 0{,}25}$.
2.
Soit XX le nombre de cœurs tirés sur les 5 tirages. Donner la loi de XX.
Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}25$ (succès = cœur). Le tirage avec remise garantit l'indépendance. Donc $\boxed{X \sim \mathcal{B}(5 \,; 0{,}25)}$.
3.
Calculer la probabilité de n'obtenir aucun cœur.
$$P(X = 0) = \binom{5}{0} \times (0{,}25)^0 \times (0{,}75)^5 = (0{,}75)^5$$ $$(0{,}75)^5 = \dfrac{243}{1024} \approx 0{,}2373$$ Donc $\boxed{P(X = 0) \approx 0{,}237}$.
Exercice 7
Facile
Un joueur lance un dé équilibré à 6 faces 3 fois de suite. On s'intéresse au nombre de 6 obtenus.
1.
Identifier la loi suivie par XX, le nombre de 6 obtenus.
Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli : succès = obtenir 6, $p = \dfrac{1}{6}$. Les lancers sont indépendants. Donc $\boxed{X \sim \mathcal{B}\left(3 \,; \dfrac{1}{6}\right)}$.
2.
Calculer P(X=3)P(X = 3), la probabilité d'obtenir trois 6.
$$P(X = 3) = \binom{3}{3} \left(\dfrac{1}{6}\right)^3 \left(\dfrac{5}{6}\right)^0 = 1 \times \dfrac{1}{216} \times 1 = \boxed{\dfrac{1}{216} \approx 0{,}00463}$$
3.
Calculer P(X⩾1)P(X \geqslant 1), la probabilité d'obtenir au moins un 6.
$$P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \binom{3}{0} \left(\dfrac{1}{6}\right)^0 \left(\dfrac{5}{6}\right)^3$$ $$= 1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 = 1 - \dfrac{125}{216} = \dfrac{91}{216} \approx \boxed{0{,}421}$$
Exercice 8
Facile
Soit X∼B(20 ;0,1)X \sim \mathcal{B}(20 \,; 0{,}1).
1.
Calculer E(X)E(X), V(X)V(X) et σ(X)\sigma(X).
$$E(X) = np = 20 \times 0{,}1 = \boxed{2}$$ $$V(X) = np(1-p) = 20 \times 0{,}1 \times 0{,}9 = \boxed{1{,}8}$$ $$\sigma(X) = \sqrt{1{,}8} \approx \boxed{1{,}342}$$
2.
Calculer P(X=0)P(X = 0).
$$P(X = 0) = (1-p)^n = (0{,}9)^{20}$$ $$(0{,}9)^{20} \approx 0{,}1216$$ Donc $\boxed{P(X = 0) \approx 0{,}122}$.
3.
Calculer P(X=2)P(X = 2).
$$P(X = 2) = \binom{20}{2} \times (0{,}1)^2 \times (0{,}9)^{18}$$ $$= 190 \times 0{,}01 \times (0{,}9)^{18}$$ $$(0{,}9)^{18} \approx 0{,}1501$$ $$P(X = 2) = 190 \times 0{,}01 \times 0{,}1501 \approx \boxed{0{,}285}$$
Exercice 9
Facile
On sait que P(A)=0,6P(A) = 0{,}6, P(B)=0,5P(B) = 0{,}5 et que AA et BB sont indépendants.
1.
Calculer P(A∩B)P(A \cap B).
Puisque $A$ et $B$ sont indépendants : $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0{,}6 \times 0{,}5 = \boxed{0{,}3}$$
2.
Calculer P(A∩B‾)P(A \cap \overline{B}).
Puisque $A$ et $B$ sont indépendants, $A$ et $\overline{B}$ le sont aussi. $$P(A \cap \overline{B}) = P(A) \times P(\overline{B}) = 0{,}6 \times 0{,}5 = \boxed{0{,}3}$$
3.
Calculer P(A∪B)P(A \cup B).
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}6 + 0{,}5 - 0{,}3 = \boxed{0{,}8}$$
Exercice 10
Facile
On lance une pièce truquée (P(Pile)=0,6P(\text{Pile}) = 0{,}6) deux fois de suite. Les lancers sont indépendants.
1.
Construire l'arbre pondéré associé à cette expérience.
L'arbre a deux niveaux. **Niveau 1 :** Pile ($0{,}6$) ou Face ($0{,}4$). **Niveau 2 (depuis chaque nœud) :** Pile ($0{,}6$) ou Face ($0{,}4$). Les 4 chemins sont : PP, PF, FP, FF.
2.
Calculer la probabilité de chacun des 4 résultats possibles.
Par indépendance, on multiplie les probabilités le long de chaque chemin : $$P(PP) = 0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}36$$ $$P(PF) = 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}24$$ $$P(FP) = 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}24$$ $$P(FF) = 0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}16$$ **Vérification :** $0{,}36 + 0{,}24 + 0{,}24 + 0{,}16 = 1$ ✓.
3.
En déduire la probabilité d'obtenir exactement un Pile.
Exactement un Pile correspond aux chemins PF et FP : $$P(\text{exactement 1 Pile}) = P(PF) + P(FP) = 0{,}24 + 0{,}24 = \boxed{0{,}48}$$ On retrouve $\binom{2}{1} \times (0{,}6)^1 \times (0{,}4)^1 = 2 \times 0{,}24 = 0{,}48$ ✓.
Exercice 11
Intermédiaire
Un archer atteint sa cible avec une probabilité de 0,80{,}8 à chaque tir. Il effectue 7 tirs indépendants. Soit XX le nombre de fois où il atteint la cible.
1.
Justifier que X∼B(7 ;0,8)X \sim \mathcal{B}(7 \,; 0{,}8).
Chaque tir est une épreuve de Bernoulli : succès = atteindre la cible ($p = 0{,}8$), échec = rater ($q = 0{,}2$). Les 7 tirs sont **identiques** (même probabilité) et **indépendants**. $X$ compte le nombre de succès, donc $\boxed{X \sim \mathcal{B}(7 \,; 0{,}8)}$.
2.
Calculer P(X=7)P(X = 7).
$$P(X = 7) = \binom{7}{7} \times (0{,}8)^7 \times (0{,}2)^0 = (0{,}8)^7$$ $$(0{,}8)^7 = 0{,}2097152$$ Donc $\boxed{P(X = 7) \approx 0{,}210}$.
3.
Calculer P(X=5)P(X = 5).
$$P(X = 5) = \binom{7}{5} \times (0{,}8)^5 \times (0{,}2)^2$$ $$= 21 \times 0{,}32768 \times 0{,}04 = 21 \times 0{,}0131072$$ $$= \boxed{0{,}275}$$
4.
Calculer P(X⩾5)P(X \geqslant 5).
$$P(X \geqslant 5) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7)$$ $P(X = 6) = \binom{7}{6} \times (0{,}8)^6 \times (0{,}2)^1 = 7 \times 0{,}262144 \times 0{,}2 = 7 \times 0{,}0524288 \approx 0{,}367$ $P(X = 7) \approx 0{,}210$ (calculé précédemment) $$P(X \geqslant 5) \approx 0{,}275 + 0{,}367 + 0{,}210 = \boxed{0{,}852}$$
Exercice 12
Intermédiaire
Soit X∼B(10 ;0,4)X \sim \mathcal{B}(10 \,; 0{,}4).
1.
Calculer E(X)E(X), V(X)V(X) et σ(X)\sigma(X).
$$E(X) = np = 10 \times 0{,}4 = \boxed{4}$$ $$V(X) = np(1-p) = 10 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = \boxed{2{,}4}$$ $$\sigma(X) = \sqrt{2{,}4} \approx \boxed{1{,}549}$$
2.
Calculer P(X=4)P(X = 4).
$$P(X = 4) = \binom{10}{4} \times (0{,}4)^4 \times (0{,}6)^6$$ $$= 210 \times 0{,}0256 \times 0{,}046656$$ $$= 210 \times 0{,}001194394 \approx \boxed{0{,}251}$$
3.
Calculer P(3⩽X⩽5)P(3 \leqslant X \leqslant 5).
$$P(3 \leqslant X \leqslant 5) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$$ $P(X=3) = \binom{10}{3} \times (0{,}4)^3 \times (0{,}6)^7 = 120 \times 0{,}064 \times 0{,}0279936 \approx 0{,}215$ $P(X=4) \approx 0{,}251$ (calculé précédemment) $P(X=5) = \binom{10}{5} \times (0{,}4)^5 \times (0{,}6)^5 = 252 \times 0{,}01024 \times 0{,}07776 \approx 0{,}201$ $$P(3 \leqslant X \leqslant 5) \approx 0{,}215 + 0{,}251 + 0{,}201 = \boxed{0{,}667}$$
Exercice 13
Intermédiaire
On lance un dé équilibré à 6 faces 10 fois de suite. On note XX le nombre de fois où le résultat est strictement supérieur à 4.
1.
Déterminer la probabilité pp de l'événement « le résultat est strictement supérieur à 4 » pour un lancer.
Les faces strictement supérieures à 4 sont 5 et 6. Donc : $$p = P(\text{résultat} > 4) = \dfrac{2}{6} = \boxed{\dfrac{1}{3}}$$
2.
Identifier la loi de XX et calculer E(X)E(X).
Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = \dfrac{1}{3}$, les lancers sont indépendants. $$X \sim \mathcal{B}\left(10 \,; \dfrac{1}{3}\right)$$ $$E(X) = np = 10 \times \dfrac{1}{3} = \boxed{\dfrac{10}{3} \approx 3{,}33}$$
3.
Calculer P(X=0)P(X = 0) et P(X=10)P(X = 10).
$$P(X = 0) = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{10} = \dfrac{1024}{59049} \approx \boxed{0{,}01734}$$ $$P(X = 10) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{10} = \dfrac{1}{59049} \approx \boxed{0{,}0000169}$$
4.
Calculer P(X⩾1)P(X \geqslant 1).
$$P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{10}$$ $$= 1 - \dfrac{1024}{59049} = \dfrac{58025}{59049} \approx \boxed{0{,}983}$$
Exercice 14
Intermédiaire
Dans un test de dépistage, la probabilité qu'un individu soit positif est 0,020{,}02. On teste 50 individus de manière indépendante.
1.
Soit XX le nombre d'individus positifs. Donner la loi de XX et calculer E(X)E(X).
Chaque test est une épreuve de Bernoulli : succès = test positif, $p = 0{,}02$. Les tests sont indépendants. $$X \sim \mathcal{B}(50 \,; 0{,}02)$$ $$E(X) = 50 \times 0{,}02 = \boxed{1}$$ En moyenne, on s'attend à 1 individu positif.
2.
Calculer la probabilité qu'aucun individu ne soit positif.
$$P(X = 0) = (1 - 0{,}02)^{50} = (0{,}98)^{50}$$ $\ln(0{,}98) \approx -0{,}02020$, donc $50 \times \ln(0{,}98) \approx -1{,}0101$. $$(0{,}98)^{50} \approx e^{-1{,}0101} \approx \boxed{0{,}364}$$
3.
Calculer la probabilité d'avoir au moins 2 individus positifs.
$$P(X \geqslant 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$$ $P(X = 1) = \binom{50}{1} \times (0{,}02)^1 \times (0{,}98)^{49} = 50 \times 0{,}02 \times (0{,}98)^{49}$ $(0{,}98)^{49} \approx 0{,}3716$ $P(X = 1) = 50 \times 0{,}02 \times 0{,}3716 \approx 0{,}372$ $$P(X \geqslant 2) = 1 - 0{,}364 - 0{,}372 = \boxed{0{,}264}$$
Exercice 15
Intermédiaire
On effectue une succession de 5 épreuves indépendantes. À chaque épreuve, la probabilité de succès est p=0,7p = 0{,}7.
1.
Donner la probabilité du chemin SSSEESSSEE (3 succès puis 2 échecs dans cet ordre).
Par indépendance, la probabilité d'un chemin particulier est le produit des probabilités de chaque branche : $$P(SSSEE) = (0{,}7)^3 \times (0{,}3)^2 = 0{,}343 \times 0{,}09 = \boxed{0{,}03087}$$
2.
Combien de chemins réalisent exactement 3 succès parmi 5 épreuves ?
Le nombre de chemins réalisant exactement 3 succès parmi 5 épreuves est : $$\binom{5}{3} = \dfrac{5!}{3! \times 2!} = \dfrac{120}{6 \times 2} = \boxed{10}$$
3.
Calculer P(X=3)P(X = 3) où XX est le nombre de succès.
$$P(X = 3) = \binom{5}{3} \times (0{,}7)^3 \times (0{,}3)^2 = 10 \times 0{,}03087 = \boxed{0{,}3087}$$
Exercice 16
Intermédiaire
Un sac contient 3 boules rouges et 7 boules bleues. On tire une boule, on note sa couleur, et on la remet dans le sac. On répète cette expérience n=6n = 6 fois.
1.
Soit XX le nombre de boules rouges tirées. Identifier la loi de XX.
Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli : succès = tirer une boule rouge, $p = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$. Le tirage avec remise garantit l'indépendance. $$\boxed{X \sim \mathcal{B}(6 \,; 0{,}3)}$$
2.
Calculer P(X=2)P(X = 2).
$$P(X = 2) = \binom{6}{2} \times (0{,}3)^2 \times (0{,}7)^4$$ $$= 15 \times 0{,}09 \times 0{,}2401 = 15 \times 0{,}021609 = \boxed{0{,}324}$$
3.
Calculer la probabilité d'obtenir au plus une boule rouge.
$$P(X \leqslant 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$$ $P(X = 0) = (0{,}7)^6 = 0{,}117649$ $P(X = 1) = \binom{6}{1} \times 0{,}3 \times (0{,}7)^5 = 6 \times 0{,}3 \times 0{,}16807 = 0{,}302526$ $$P(X \leqslant 1) \approx 0{,}1176 + 0{,}3025 = \boxed{0{,}420}$$
Exercice 17
Intermédiaire
On considère deux événements AA et BB tels que P(A)=0,3P(A) = 0{,}3, P(B)=0,6P(B) = 0{,}6 et P(A∩B)=0,24P(A \cap B) = 0{,}24.
1.
Les événements AA et BB sont-ils indépendants ?
Calculons $P(A) \times P(B) = 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18$. Or $P(A \cap B) = 0{,}24 \neq 0{,}18$. Donc $P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)$ : les événements $A$ et $B$ ne sont $\boxed{\text{pas indépendants}}$.
2.
Calculer PB(A)P_B(A).
$$P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}24}{0{,}6} = \boxed{0{,}4}$$ On remarque que $P_B(A) = 0{,}4 \neq 0{,}3 = P(A)$, ce qui confirme la non-indépendance.
3.
Calculer PA(B)P_A(B).
$$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}24}{0{,}3} = \boxed{0{,}8}$$ Savoir que $A$ est réalisé augmente la probabilité de $B$ (de $0{,}6$ à $0{,}8$).
Exercice 18
Intermédiaire
La probabilité qu'un joueur de basket réussisse un lancer franc est 0,750{,}75. Il effectue 12 lancers indépendants.
1.
Soit XX le nombre de lancers réussis. Donner la loi de XX et ses paramètres caractéristiques.
$X \sim \mathcal{B}(12 \,; 0{,}75)$ $$E(X) = 12 \times 0{,}75 = \boxed{9}$$ $$V(X) = 12 \times 0{,}75 \times 0{,}25 = \boxed{2{,}25}$$ $$\sigma(X) = \sqrt{2{,}25} = \boxed{1{,}5}$$
2.
Calculer la probabilité qu'il réussisse les 12 lancers.
$$P(X = 12) = (0{,}75)^{12} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{12} = \dfrac{531441}{16777216} \approx \boxed{0{,}0317}$$
3.
Calculer la probabilité qu'il rate tous ses lancers.
$$P(X = 0) = (0{,}25)^{12} = \left(\dfrac{1}{4}\right)^{12} = \dfrac{1}{16777216} \approx \boxed{5{,}96 \times 10^{-8}}$$ Cet événement est quasi impossible.
Exercice 19
Intermédiaire
On effectue 8 épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre pp. On sait que l'espérance du nombre de succès est 6.
1.
Déterminer la valeur de pp.
Soit $X \sim \mathcal{B}(8, p)$. On a $E(X) = np = 8p$. Or $E(X) = 6$, donc : $$8p = 6 \implies p = \dfrac{6}{8} = \boxed{\dfrac{3}{4} = 0{,}75}$$
2.
Calculer V(X)V(X) et σ(X)\sigma(X).
$$V(X) = np(1-p) = 8 \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{4} = 8 \times \dfrac{3}{16} = \boxed{\dfrac{3}{2} = 1{,}5}$$ $$\sigma(X) = \sqrt{1{,}5} = \boxed{\dfrac{\sqrt{6}}{2} \approx 1{,}225}$$
3.
Calculer P(X=8)P(X = 8).
$$P(X = 8) = \binom{8}{8} \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^8 \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^0 = \left(\dfrac{3}{4}\right)^8$$ $$= \dfrac{3^8}{4^8} = \dfrac{6561}{65536} \approx \boxed{0{,}1001}$$
Exercice 20
Intermédiaire
Soit X∼B(n,p)X \sim \mathcal{B}(n, p) avec E(X)=6E(X) = 6 et V(X)=2,4V(X) = 2{,}4.
1.
Déterminer nn et pp.
On a le système : $$\begin{cases} np = 6 \\ np(1-p) = 2{,}4 \end{cases}$$ En divisant la deuxième équation par la première : $$1 - p = \dfrac{2{,}4}{6} = 0{,}4$$ Donc $p = 1 - 0{,}4 = \boxed{0{,}6}$. Puis $n = \dfrac{6}{p} = \dfrac{6}{0{,}6} = \boxed{10}$.
2.
Calculer σ(X)\sigma(X).
$$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{2{,}4} \approx \boxed{1{,}549}$$
3.
Calculer P(X=6)P(X = 6).
$$P(X = 6) = \binom{10}{6} \times (0{,}6)^6 \times (0{,}4)^4$$ $$= 210 \times 0{,}046656 \times 0{,}0256$$ $$= 210 \times 0{,}001194394 \approx \boxed{0{,}251}$$
Exercice 21
Difficile
Une machine produit des composants électroniques. La probabilité qu'un composant soit défectueux est 0,030{,}03. On prélève 20 composants au hasard avec remise.
1.
Soit XX le nombre de composants défectueux. Donner la loi de XX.
Chaque prélèvement est une épreuve de Bernoulli indépendante de paramètre $p = 0{,}03$. $$\boxed{X \sim \mathcal{B}(20 \,; 0{,}03)}$$
2.
Calculer la probabilité que le lot soit accepté, sachant qu'il est accepté si et seulement si X⩽1X \leqslant 1.
$P(X \leqslant 1) = P(X=0) + P(X=1)$ $P(X = 0) = (0{,}97)^{20} \approx 0{,}5438$ $P(X = 1) = \binom{20}{1} \times 0{,}03 \times (0{,}97)^{19} = 20 \times 0{,}03 \times 0{,}5607 \approx 0{,}3364$ $$P(X \leqslant 1) \approx 0{,}5438 + 0{,}3364 = \boxed{0{,}880}$$
3.
Déterminer le plus petit entier n0n_0 tel que P(X⩾1)>0,5P(X \geqslant 1) > 0{,}5 si l'on prélève n0n_0 composants.
On cherche $n_0$ tel que $P(X \geqslant 1) > 0{,}5$, soit $1 - P(X = 0) > 0{,}5$, c'est-à-dire $P(X = 0) < 0{,}5$. $P(X = 0) = (0{,}97)^{n_0} < 0{,}5$ $n_0 \ln(0{,}97) < \ln(0{,}5)$ $n_0 > \dfrac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}97)} = \dfrac{-0{,}6931}{-0{,}03046} \approx 22{,}76$ Donc $\boxed{n_0 = 23}$.
Exercice 22
Difficile
Un tireur touche la cible avec une probabilité de 23\dfrac{2}{3} à chaque tir (tirs indépendants). Il effectue 6 tirs.
1.
Calculer la probabilité qu'il touche la cible exactement 4 fois.
Soit $X \sim \mathcal{B}\left(6 \,; \dfrac{2}{3}\right)$. $$P(X = 4) = \binom{6}{4} \left(\dfrac{2}{3}\right)^4 \left(\dfrac{1}{3}\right)^2$$ $$= 15 \times \dfrac{16}{81} \times \dfrac{1}{9} = 15 \times \dfrac{16}{729} = \dfrac{240}{729} = \dfrac{80}{243} \approx \boxed{0{,}329}$$
2.
Calculer la probabilité qu'il touche la cible au moins 5 fois.
$$P(X \geqslant 5) = P(X=5) + P(X=6)$$ $P(X = 5) = \binom{6}{5} \left(\dfrac{2}{3}\right)^5 \left(\dfrac{1}{3}\right)^1 = 6 \times \dfrac{32}{243} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{192}{729} = \dfrac{64}{243}$ $P(X = 6) = \left(\dfrac{2}{3}\right)^6 = \dfrac{64}{729}$ $$P(X \geqslant 5) = \dfrac{64}{243} + \dfrac{64}{729} = \dfrac{192}{729} + \dfrac{64}{729} = \dfrac{256}{729} \approx \boxed{0{,}351}$$
3.
Déterminer la valeur de kk pour laquelle P(X=k)P(X = k) est maximale.
L'espérance est $E(X) = 6 \times \dfrac{2}{3} = 4$. Le mode est l'entier le plus proche de $(n+1)p - 1 = 7 \times \dfrac{2}{3} - 1 = \dfrac{14}{3} - 1 = \dfrac{11}{3} \approx 3{,}67$, soit $k = 4$. Vérifions : $P(X=4) = \dfrac{80}{243} \approx 0{,}329$ est bien la plus grande probabilité. Donc $P(X = k)$ est maximale pour $\boxed{k = 4}$.
Exercice 23
Difficile
Un vaccin est efficace avec une probabilité de 0,90{,}9. On vaccine 15 personnes indépendamment.
1.
Soit XX le nombre de personnes pour lesquelles le vaccin est efficace. Calculer P(X=15)P(X = 15).
$X \sim \mathcal{B}(15 \,; 0{,}9)$. $$P(X = 15) = (0{,}9)^{15} \approx \boxed{0{,}206}$$
2.
Calculer P(X⩽12)P(X \leqslant 12).
$$P(X \leqslant 12) = 1 - P(X = 13) - P(X = 14) - P(X = 15)$$ $P(X = 14) = \binom{15}{14} \times (0{,}9)^{14} \times (0{,}1)^1 = 15 \times 0{,}2288 \times 0{,}1 \approx 0{,}343$ $P(X = 13) = \binom{15}{13} \times (0{,}9)^{13} \times (0{,}1)^2 = 105 \times 0{,}2542 \times 0{,}01 \approx 0{,}267$ $P(X = 15) \approx 0{,}206$ $$P(X \leqslant 12) \approx 1 - 0{,}267 - 0{,}343 - 0{,}206 = \boxed{0{,}184}$$
3.
Quel est le nombre minimum de personnes à vacciner pour que P(X⩾1)>0,999P(X \geqslant 1) > 0{,}999 ?
On cherche $n$ tel que $P(X \geqslant 1) > 0{,}999$, soit $P(X = 0) < 0{,}001$. $(0{,}1)^n < 0{,}001 = 10^{-3}$ $10^{-n} < 10^{-3}$ $n > 3$ Donc il faut au minimum $\boxed{n = 4}$ personnes pour que la probabilité qu'au moins une soit protégée dépasse $0{,}999$. **Vérification :** $(0{,}1)^4 = 0{,}0001 < 0{,}001$ ✓ et $(0{,}1)^3 = 0{,}001$ n'est pas $< 0{,}001$.
Exercice 24
Difficile
Soit X∼B(n,p)X \sim \mathcal{B}(n, p). On donne P(X=0)=0,0256P(X = 0) = 0{,}0256 et P(X=1)=0,1536P(X = 1) = 0{,}1536.
1.
Exprimer P(X=0)P(X = 0) et P(X=1)P(X = 1) en fonction de nn et pp.
$$P(X = 0) = \binom{n}{0} p^0 (1-p)^n = (1-p)^n = 0{,}0256$$ $$P(X = 1) = \binom{n}{1} p (1-p)^{n-1} = np(1-p)^{n-1} = 0{,}1536$$
2.
En calculant le rapport P(X=1)P(X=0)\dfrac{P(X=1)}{P(X=0)}, déterminer np1−p\dfrac{np}{1-p}.
$$\dfrac{P(X=1)}{P(X=0)} = \dfrac{np(1-p)^{n-1}}{(1-p)^n} = \dfrac{np}{1-p}$$ $$\dfrac{np}{1-p} = \dfrac{0{,}1536}{0{,}0256} = \boxed{6}$$
3.
Déterminer les valeurs de nn et pp.
On a $(1-p)^n = 0{,}0256 = (0{,}4)^4$. Essayons $1 - p = 0{,}4$ et $n = 4$ : Alors $p = 0{,}6$ et $n = 4$. Vérifions : $\dfrac{np}{1-p} = \dfrac{4 \times 0{,}6}{0{,}4} = \dfrac{2{,}4}{0{,}4} = 6$ ✓ $P(X=1) = 4 \times 0{,}6 \times (0{,}4)^3 = 4 \times 0{,}6 \times 0{,}064 = 0{,}1536$ ✓ Donc $\boxed{n = 4}$ et $\boxed{p = 0{,}6}$.
Exercice 25
Difficile
On répète nn fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p=0,2p = 0{,}2. On souhaite que la probabilité d'obtenir au moins un succès soit supérieure à 0,950{,}95.
1.
Exprimer P(X⩾1)P(X \geqslant 1) en fonction de nn.
Soit $X \sim \mathcal{B}(n \,; 0{,}2)$. $$P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - 0{,}2)^n = \boxed{1 - (0{,}8)^n}$$
2.
Résoudre l'inéquation P(X⩾1)>0,95P(X \geqslant 1) > 0{,}95.
$$1 - (0{,}8)^n > 0{,}95$$ $$(0{,}8)^n < 0{,}05$$ $$n \ln(0{,}8) < \ln(0{,}05)$$ Or $\ln(0{,}8) < 0$, donc en divisant on inverse l'inégalité : $$n > \dfrac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}8)} = \dfrac{-2{,}9957}{-0{,}22314} \approx 13{,}42$$ Donc $\boxed{n \geqslant 14}$.
3.
Vérifier pour n=14n = 14 que P(X⩾1)>0,95P(X \geqslant 1) > 0{,}95.
$P(X \geqslant 1) = 1 - (0{,}8)^{14}$ $(0{,}8)^{14} = (0{,}8)^{10} \times (0{,}8)^4 = 0{,}1073741824 \times 0{,}4096 \approx 0{,}04398$ $P(X \geqslant 1) \approx 1 - 0{,}044 = 0{,}956 > 0{,}95$ ✓ Et pour $n = 13$ : $(0{,}8)^{13} \approx 0{,}0550$, donc $P(X \geqslant 1) \approx 0{,}945 < 0{,}95$. Bien $\boxed{n = 14}$ est le plus petit entier convenable.
Exercice 26
Difficile
On lance simultanément deux dés équilibrés. On répète cette expérience 10 fois de manière indépendante. On appelle « double six » l'événement « obtenir 6 sur chacun des deux dés ».
1.
Quelle est la probabilité d'obtenir un double six à un lancer ?
Les deux dés sont indépendants. La probabilité d'obtenir 6 sur un dé est $\dfrac{1}{6}$. $$P(\text{double six}) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \boxed{\dfrac{1}{36}}$$
2.
Soit XX le nombre de double six sur les 10 lancers. Donner la loi de XX et calculer E(X)E(X).
Chaque lancer de la paire de dés est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = \dfrac{1}{36}$. Les 10 lancers sont indépendants. $$X \sim \mathcal{B}\left(10 \,; \dfrac{1}{36}\right)$$ $$E(X) = 10 \times \dfrac{1}{36} = \boxed{\dfrac{5}{18} \approx 0{,}278}$$
3.
Calculer la probabilité de n'obtenir aucun double six.
$$P(X = 0) = \left(1 - \dfrac{1}{36}\right)^{10} = \left(\dfrac{35}{36}\right)^{10}$$ $\ln\left(\dfrac{35}{36}\right) \approx -0{,}02817$, donc $10 \times (-0{,}02817) \approx -0{,}2817$. $$P(X = 0) \approx e^{-0{,}2817} \approx \boxed{0{,}755}$$
4.
Combien de fois faut-il lancer les deux dés pour que la probabilité d'obtenir au moins un double six dépasse 0,50{,}5 ?
On cherche $n$ tel que $1 - \left(\dfrac{35}{36}\right)^n > 0{,}5$, soit $\left(\dfrac{35}{36}\right)^n < 0{,}5$. $$n > \dfrac{\ln(0{,}5)}{\ln\left(\frac{35}{36}\right)} = \dfrac{-0{,}6931}{-0{,}02817} \approx 24{,}6$$ Donc $\boxed{n = 25}$. **Remarque historique :** c'est le problème du Chevalier de Méré, qui demandait s'il était avantageux de parier sur au moins un double six en 24 lancers. La réponse est non : $P \approx 0{,}491 < 0{,}5$.
Exercice 27
Difficile
Soit X∼B(n,p)X \sim \mathcal{B}(n, p). Montrer que P(X=k+1)=n−kk+1×p1−p×P(X=k)P(X = k+1) = \dfrac{n-k}{k+1} \times \dfrac{p}{1-p} \times P(X = k).
1.
Écrire P(X=k+1)P(X = k+1) et P(X=k)P(X = k) avec la formule de la loi binomiale.
$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ $$P(X = k+1) = \binom{n}{k+1} p^{k+1} (1-p)^{n-k-1}$$
2.
Calculer le rapport P(X=k+1)P(X=k)\dfrac{P(X = k+1)}{P(X = k)}.
$$\dfrac{P(X = k+1)}{P(X = k)} = \dfrac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}} \times \dfrac{p^{k+1}}{p^k} \times \dfrac{(1-p)^{n-k-1}}{(1-p)^{n-k}}$$ Or $\dfrac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}} = \dfrac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} \times \dfrac{k!(n-k)!}{n!} = \dfrac{n-k}{k+1}$. Et $\dfrac{p^{k+1}}{p^k} = p$ ; $\dfrac{(1-p)^{n-k-1}}{(1-p)^{n-k}} = \dfrac{1}{1-p}$. Donc : $$\boxed{\dfrac{P(X = k+1)}{P(X = k)} = \dfrac{n-k}{k+1} \times \dfrac{p}{1-p}}$$
3.
Application : si X∼B(10 ;0,3)X \sim \mathcal{B}(10 \,; 0{,}3) et P(X=3)≈0,2668P(X = 3) \approx 0{,}2668, calculer P(X=4)P(X = 4).
On applique la formule avec $n = 10$, $k = 3$, $p = 0{,}3$ : $$\dfrac{P(X = 4)}{P(X = 3)} = \dfrac{10 - 3}{3 + 1} \times \dfrac{0{,}3}{0{,}7} = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$$ $$P(X = 4) = 0{,}75 \times P(X = 3) = 0{,}75 \times 0{,}2668 = \boxed{0{,}2001}$$
Exercice 28
Difficile
Un test de grossesse a une sensibilité de 0,990{,}99 (probabilité de détecter une grossesse quand elle existe) et une spécificité de 0,970{,}97 (probabilité d'un résultat négatif quand il n'y a pas de grossesse). On teste n=100n = 100 femmes non enceintes de manière indépendante.
1.
Soit YY le nombre de faux positifs parmi les 100 femmes non enceintes. Quelle est la loi de YY ?
Pour chaque femme non enceinte, la probabilité d'un faux positif est $1 - 0{,}97 = 0{,}03$. Les tests sont indépendants. $$\boxed{Y \sim \mathcal{B}(100 \,; 0{,}03)}$$
2.
Calculer E(Y)E(Y) et σ(Y)\sigma(Y).
$$E(Y) = 100 \times 0{,}03 = \boxed{3}$$ $$V(Y) = 100 \times 0{,}03 \times 0{,}97 = 2{,}91$$ $$\sigma(Y) = \sqrt{2{,}91} \approx \boxed{1{,}706}$$
3.
Calculer la probabilité d'avoir au plus 2 faux positifs.
$P(Y \leqslant 2) = P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2)$ $P(Y=0) = (0{,}97)^{100} \approx 0{,}0476$ $P(Y=1) = 100 \times 0{,}03 \times (0{,}97)^{99} \approx 100 \times 0{,}03 \times 0{,}0491 \approx 0{,}1473$ $P(Y=2) = \binom{100}{2} \times (0{,}03)^2 \times (0{,}97)^{98} = 4950 \times 0{,}0009 \times 0{,}0506 \approx 0{,}2253$ $$P(Y \leqslant 2) \approx 0{,}0476 + 0{,}1473 + 0{,}2253 = \boxed{0{,}420}$$
Exercice 29
Difficile
Soit X∼B(n,p)X \sim \mathcal{B}(n, p) et Y∼B(n,1−p)Y \sim \mathcal{B}(n, 1-p).
1.
Montrer que P(Y=k)=P(X=n−k)P(Y = k) = P(X = n - k) pour tout 0⩽k⩽n0 \leqslant k \leqslant n.
$$P(Y = k) = \binom{n}{k} (1-p)^k p^{n-k}$$ $$P(X = n-k) = \binom{n}{n-k} p^{n-k} (1-p)^{n-(n-k)} = \binom{n}{n-k} p^{n-k} (1-p)^k$$ Or $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ (symétrie des coefficients binomiaux). Donc $P(Y = k) = \binom{n}{n-k} (1-p)^k p^{n-k} = P(X = n-k)$. $\boxed{\square}$
2.
En déduire que E(Y)=n−E(X)E(Y) = n - E(X).
On a $Y = n - X$ (le nombre d'échecs dans le schéma de Bernoulli initial). Par linéarité de l'espérance : $$E(Y) = E(n - X) = n - E(X) = n - np = n(1-p) \quad \boxed{\square}$$ On retrouve bien $E(Y) = n(1-p)$, ce qui est cohérent avec $Y \sim \mathcal{B}(n, 1-p)$.
3.
Vérifier que V(Y)=V(X)V(Y) = V(X).
$$V(Y) = n(1-p)p = np(1-p) = V(X) \quad \boxed{\square}$$ Alternativement : $V(Y) = V(n - X) = V(X)$ car la variance est invariante par translation.
Exercice 30
Difficile
Un candidat passe un examen composé de 20 questions indépendantes. Pour chaque question, la probabilité qu'il réponde correctement est 0,60{,}6. Il obtient 2 points par bonne réponse et perd 1 point par mauvaise réponse.
1.
Soit XX le nombre de bonnes réponses. Donner la loi de XX et calculer E(X)E(X).
$X \sim \mathcal{B}(20 \,; 0{,}6)$ $$E(X) = 20 \times 0{,}6 = \boxed{12}$$
2.
Exprimer le score total SS en fonction de XX et calculer E(S)E(S).
$X$ bonnes réponses rapportent $2X$ points. Les $20 - X$ mauvaises réponses coûtent $1 \times (20 - X)$ points. $$S = 2X - (20 - X) = 3X - 20$$ Par linéarité de l'espérance : $$E(S) = 3E(X) - 20 = 3 \times 12 - 20 = \boxed{16}$$
3.
Calculer V(S)V(S) et σ(S)\sigma(S).
$S = 3X - 20$, donc : $$V(S) = 3^2 \times V(X) = 9 \times np(1-p) = 9 \times 20 \times 0{,}6 \times 0{,}4 = 9 \times 4{,}8 = \boxed{43{,}2}$$ $$\sigma(S) = \sqrt{43{,}2} \approx \boxed{6{,}57}$$
4.
Quelle est la probabilité que le candidat obtienne un score positif ou nul (S⩾0S \geqslant 0) ?
$S \geqslant 0 \iff 3X - 20 \geqslant 0 \iff X \geqslant \dfrac{20}{3} \approx 6{,}67$. Donc $S \geqslant 0 \iff X \geqslant 7$. $$P(S \geqslant 0) = P(X \geqslant 7) = 1 - P(X \leqslant 6)$$ Avec la calculatrice : $P(X \leqslant 6) \approx 0{,}0210$. $$P(S \geqslant 0) \approx 1 - 0{,}0210 = \boxed{0{,}979}$$
Exercice 31
Avancé
On considère un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp. Soit X∼B(n,p)X \sim \mathcal{B}(n, p). On pose q=1−pq = 1 - p.
1.
Montrer que ∑k=0n(nk)pkqn−k=1\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = 1 en utilisant la formule du binôme de Newton.
La formule du binôme de Newton donne : $$(p + q)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$$ Or $p + q = p + (1-p) = 1$, donc : $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = 1^n = \boxed{1}$$ Cela confirme que la somme des probabilités $P(X = k)$ vaut bien 1.
2.
En dérivant par rapport à pp la relation (p+q)n=1(p+q)^n = 1 (avec q=1−pq = 1-p), retrouver E(X)=npE(X) = np.
On a $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = 1$. Dérivons les deux membres par rapport à $p$ : $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \left[ k p^{k-1} (1-p)^{n-k} - (n-k) p^k (1-p)^{n-k-1} \right] = 0$$ Alternativement, utilisons $(p + q)^n$ avec $q = 1-p$ vu comme indépendant de $p$, puis posons $q = 1-p$ à la fin. Dérivons $f(p) = (p+q)^n$ par rapport à $p$ : $f'(p) = n(p+q)^{n-1}$. Et $f(p) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$, donc $f'(p) = \sum_{k=1}^{n} k \binom{n}{k} p^{k-1} q^{n-k}$. En posant $p+q = 1$ : $n \times 1 = \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} p^{k-1} q^{n-k}$. Multiplions par $p$ : $np = \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = E(X)$. Donc $\boxed{E(X) = np}$. $\square$
3.
En déduire E(X2)E(X^2) puis retrouver V(X)=npqV(X) = npq.
Dérivons une seconde fois $f(p) = (p+q)^n$ : $f''(p) = n(n-1)(p+q)^{n-2}$. Et $f''(p) = \sum_{k=2}^{n} k(k-1) \binom{n}{k} p^{k-2} q^{n-k}$. En posant $p+q=1$ et en multipliant par $p^2$ : $$n(n-1)p^2 = \sum_{k=0}^{n} k(k-1) \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = E(X(X-1)) = E(X^2) - E(X)$$ Donc $E(X^2) = n(n-1)p^2 + np$. $$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = n(n-1)p^2 + np - n^2p^2$$ $$= n^2p^2 - np^2 + np - n^2p^2 = np - np^2 = np(1-p) = \boxed{npq}$$ $\square$
Exercice 32
Avancé
On effectue une succession de lancers d'une pièce truquée (P(Pile)=pP(\text{Pile}) = p avec 0<p<10 < p < 1). On s'arrête dès que l'on obtient Pile.
1.
Soit YY le nombre de lancers effectués. Calculer P(Y=1)P(Y = 1), P(Y=2)P(Y = 2) et P(Y=3)P(Y = 3).
$Y = 1$ : on obtient Pile au premier lancer. $P(Y = 1) = p$. $Y = 2$ : Face au 1er lancer puis Pile au 2e. $P(Y = 2) = (1-p) \times p$. $Y = 3$ : Face, Face, Pile. $P(Y = 3) = (1-p)^2 \times p$. $$\boxed{P(Y = 1) = p \;; \; P(Y = 2) = (1-p)p \;; \; P(Y = 3) = (1-p)^2 p}$$
2.
Montrer que P(Y=k)=(1−p)k−1pP(Y = k) = (1-p)^{k-1} p pour tout entier k⩾1k \geqslant 1.
$Y = k$ signifie : les $k-1$ premiers lancers donnent Face (chacun de probabilité $1-p$) et le $k$-ème donne Pile (probabilité $p$). Par indépendance des lancers : $$P(Y = k) = (1-p)^{k-1} \times p \quad \boxed{\square}$$ On reconnaît la **loi géométrique** de paramètre $p$.
3.
Vérifier que ∑k=1+∞P(Y=k)=1\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} P(Y = k) = 1.
$$\sum_{k=1}^{+\infty} P(Y = k) = \sum_{k=1}^{+\infty} (1-p)^{k-1} p = p \sum_{k=0}^{+\infty} (1-p)^k$$ C'est une série géométrique de raison $1-p$ avec $|1-p| < 1$ : $$= p \times \dfrac{1}{1-(1-p)} = p \times \dfrac{1}{p} = \boxed{1}$$ $\square$
4.
Application numérique : pour p=0,3p = 0{,}3, calculer la probabilité d'avoir besoin de plus de 5 lancers.
$P(Y > 5) = 1 - P(Y \leqslant 5) = 1 - \sum_{k=1}^{5} (0{,}7)^{k-1} \times 0{,}3$ $= 1 - 0{,}3 \times \dfrac{1 - (0{,}7)^5}{1 - 0{,}7} = 1 - 0{,}3 \times \dfrac{1 - 0{,}16807}{0{,}3}$ $= 1 - (1 - 0{,}16807) = (0{,}7)^5 = \boxed{0{,}16807}$ Alternativement : $P(Y > 5) = P(\text{les 5 premiers lancers sont Face}) = (0{,}7)^5$.
Exercice 33
Avancé
Un organisme de sondage interroge 1000 personnes. Chaque personne, indépendamment, est favorable à un projet avec une probabilité p=0,52p = 0{,}52. Soit XX le nombre de personnes favorables.
1.
Donner la loi de XX et calculer E(X)E(X), V(X)V(X) et σ(X)\sigma(X).
$X \sim \mathcal{B}(1000 \,; 0{,}52)$ $$E(X) = 1000 \times 0{,}52 = \boxed{520}$$ $$V(X) = 1000 \times 0{,}52 \times 0{,}48 = \boxed{249{,}6}$$ $$\sigma(X) = \sqrt{249{,}6} \approx \boxed{15{,}80}$$
2.
On admet que P(E(X)−2σ⩽X⩽E(X)+2σ)≈0,95P(E(X) - 2\sigma \leqslant X \leqslant E(X) + 2\sigma) \approx 0{,}95. Déterminer l'intervalle correspondant.
$$E(X) - 2\sigma \approx 520 - 2 \times 15{,}80 = 520 - 31{,}6 = 488{,}4$$ $$E(X) + 2\sigma \approx 520 + 31{,}6 = 551{,}6$$ Donc avec une probabilité d'environ $0{,}95$ : $$\boxed{489 \leqslant X \leqslant 551}$$
3.
En déduire un encadrement de la proportion F=X1000F = \dfrac{X}{1000} de personnes favorables avec une probabilité d'environ 0,950{,}95.
En divisant par 1000 : $$\dfrac{489}{1000} \leqslant \dfrac{X}{1000} \leqslant \dfrac{551}{1000}$$ $$\boxed{0{,}489 \leqslant F \leqslant 0{,}551}$$ Avec une probabilité d'environ $0{,}95$, la proportion observée de personnes favorables est comprise entre $48{,}9\%$ et $55{,}1\%$.
Exercice 34
Avancé
On dispose de deux pièces. La pièce A est équilibrée (P(Pile)=0,5P(\text{Pile}) = 0{,}5) et la pièce B est truquée (P(Pile)=0,8P(\text{Pile}) = 0{,}8). On choisit au hasard une pièce (avec la même probabilité) et on la lance 5 fois.
1.
Sachant qu'on a choisi la pièce A, quelle est la loi du nombre de Pile XAX_A ?
Avec la pièce A, chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}5$, les lancers sont indépendants. $$\boxed{X_A \sim \mathcal{B}(5 \,; 0{,}5)}$$
2.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement 4 Pile.
Notons $A$ = « choisir la pièce A » et $B$ = « choisir la pièce B ». On a $P(A) = P(B) = 0{,}5$. Soit $X$ le nombre de Pile. Par la formule des probabilités totales : $$P(X = 4) = P(A) \times P_A(X = 4) + P(B) \times P_B(X = 4)$$ $P_A(X = 4) = \binom{5}{4} (0{,}5)^4 (0{,}5)^1 = 5 \times \dfrac{1}{32} = \dfrac{5}{32} = 0{,}15625$ $P_B(X = 4) = \binom{5}{4} (0{,}8)^4 (0{,}2)^1 = 5 \times 0{,}4096 \times 0{,}2 = 0{,}4096$ $$P(X = 4) = 0{,}5 \times 0{,}15625 + 0{,}5 \times 0{,}4096 \approx \boxed{0{,}283}$$
3.
Sachant qu'on a obtenu exactement 4 Pile, quelle est la probabilité d'avoir utilisé la pièce B ?
Par la formule de Bayes : $$P_{X=4}(B) = \dfrac{P(B) \times P_B(X=4)}{P(X=4)} = \dfrac{0{,}5 \times 0{,}4096}{0{,}2829}$$ $$= \dfrac{0{,}2048}{0{,}2829} \approx \boxed{0{,}724}$$ Sachant qu'on a obtenu 4 Pile, il y a environ $72{,}4\%$ de chances que ce soit la pièce truquée.
Exercice 35
Avancé
On pose Sn=∑k=0n(nk)2S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2.
1.
En utilisant l'identité de Vandermonde ∑k=0n(nk)(nn−k)=(2nn)\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \binom{n}{n-k} = \binom{2n}{n} et la symétrie (nk)=(nn−k)\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}, montrer que Sn=(2nn)S_n = \binom{2n}{n}.
Par symétrie des coefficients binomiaux : $\binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}$. Donc : $$S_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \binom{n}{n-k}$$ D'après l'identité de Vandermonde : $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \binom{n}{n-k} = \binom{2n}{n}$$ Donc $\boxed{S_n = \binom{2n}{n}}$. $\square$
2.
Vérifier pour n=3n = 3.
$S_3 = \binom{3}{0}^2 + \binom{3}{1}^2 + \binom{3}{2}^2 + \binom{3}{3}^2 = 1 + 9 + 9 + 1 = 20$ $\binom{6}{3} = \dfrac{6!}{3!3!} = 20$ Bien $S_3 = \binom{6}{3} = \boxed{20}$ ✓.
3.
Application probabiliste : soit X∼B(n ;12)X \sim \mathcal{B}\left(n \,; \dfrac{1}{2}\right). Exprimer ∑k=0n[P(X=k)]2\displaystyle\sum_{k=0}^{n} [P(X=k)]^2 en fonction de nn.
$$P(X = k) = \binom{n}{k} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$ $$\sum_{k=0}^{n} [P(X=k)]^2 = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2n} = \dfrac{1}{4^n} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \dfrac{S_n}{4^n} = \boxed{\dfrac{\binom{2n}{n}}{4^n}}$$
Exercice 36
Avancé
Un joueur lance une pièce truquée (P(Pile)=pP(\text{Pile}) = p) 2n2n fois. Soit XX le nombre de Pile obtenus.
1.
Donner la loi de XX.
Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$, les lancers sont indépendants. $$\boxed{X \sim \mathcal{B}(2n, p)}$$
2.
Montrer que P(X=n)=(2nn)pn(1−p)nP(X = n) = \binom{2n}{n} p^n (1-p)^n.
En appliquant la formule de la loi binomiale avec $k = n$ : $$P(X = n) = \binom{2n}{n} p^n (1-p)^{2n-n} = \boxed{\binom{2n}{n} p^n (1-p)^n}$$ $\square$
3.
Pour p=12p = \dfrac{1}{2}, montrer que P(X=n)=(2nn)4nP(X = n) = \dfrac{\binom{2n}{n}}{4^n} et calculer cette valeur pour n=5n = 5.
Pour $p = \dfrac{1}{2}$ : $$P(X = n) = \binom{2n}{n} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = \dfrac{\binom{2n}{n}}{4^n} \quad \boxed{\square}$$ Pour $n = 5$ : $$P(X = 5) = \dfrac{\binom{10}{5}}{4^5} = \dfrac{252}{1024} = \dfrac{63}{256} \approx \boxed{0{,}246}$$
Exercice 37
Avancé
On considère deux variables aléatoires indépendantes X∼B(n1,p)X \sim \mathcal{B}(n_1, p) et Y∼B(n2,p)Y \sim \mathcal{B}(n_2, p) avec le même paramètre pp.
1.
Soit Z=X+YZ = X + Y. Conjecturer la loi de ZZ et vérifier que E(Z)=(n1+n2)pE(Z) = (n_1 + n_2)p.
On conjecture que $Z \sim \mathcal{B}(n_1 + n_2, p)$. En effet, $X$ compte les succès de $n_1$ épreuves et $Y$ ceux de $n_2$ épreuves indépendantes, toutes de même paramètre $p$. Leur somme $Z$ compte les succès des $n_1 + n_2$ épreuves. Vérifions : $E(Z) = E(X) + E(Y) = n_1 p + n_2 p = \boxed{(n_1 + n_2)p}$ ✓.
2.
Vérifier que V(Z)=(n1+n2)p(1−p)V(Z) = (n_1 + n_2)p(1-p).
Puisque $X$ et $Y$ sont **indépendantes**, les variances s'additionnent : $$V(Z) = V(X) + V(Y) = n_1 p(1-p) + n_2 p(1-p) = \boxed{(n_1 + n_2)p(1-p)}$$ C'est bien la variance d'une loi $\mathcal{B}(n_1 + n_2, p)$ ✓.
3.
Application : X∼B(8 ;0,3)X \sim \mathcal{B}(8 \,; 0{,}3) et Y∼B(12 ;0,3)Y \sim \mathcal{B}(12 \,; 0{,}3) indépendantes. Donner la loi de Z=X+YZ = X + Y et calculer E(Z)E(Z) et σ(Z)\sigma(Z).
$$Z \sim \mathcal{B}(8 + 12 \,; 0{,}3) = \mathcal{B}(20 \,; 0{,}3)$$ $$E(Z) = 20 \times 0{,}3 = \boxed{6}$$ $$V(Z) = 20 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 4{,}2$$ $$\sigma(Z) = \sqrt{4{,}2} \approx \boxed{2{,}049}$$
Exercice 38
Avancé
Un contrôle qualité porte sur un lot de grande taille contenant une proportion p=0,1p = 0{,}1 de pièces défectueuses. On prélève nn pièces au hasard avec remise. Le lot est refusé si l'on trouve au moins 2 pièces défectueuses.
1.
Exprimer, en fonction de nn, la probabilité R(n)R(n) de refuser le lot.
Soit $X \sim \mathcal{B}(n \,; 0{,}1)$. Le lot est refusé si $X \geqslant 2$. $$R(n) = P(X \geqslant 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$$ $$= 1 - (0{,}9)^n - n \times 0{,}1 \times (0{,}9)^{n-1}$$ $$= \boxed{1 - (0{,}9)^n \left(1 + \dfrac{n}{9}\right)}$$ (car $n \times 0{,}1 \times (0{,}9)^{n-1} = \dfrac{n}{9} \times (0{,}9)^n$ en factorisant $(0{,}9)^n$, ce qui donne $n \times 0{,}1 \times \dfrac{(0{,}9)^n}{0{,}9} = \dfrac{n}{9}(0{,}9)^n$.)
2.
Calculer R(10)R(10) et R(20)R(20).
$R(10) = 1 - (0{,}9)^{10}\left(1 + \dfrac{10}{9}\right) = 1 - (0{,}9)^{10} \times \dfrac{19}{9}$ $(0{,}9)^{10} \approx 0{,}34868$ $R(10) = 1 - 0{,}34868 \times 2{,}1111 \approx 1 - 0{,}7361 = \boxed{0{,}264}$ $R(20) = 1 - (0{,}9)^{20}\left(1 + \dfrac{20}{9}\right) = 1 - (0{,}9)^{20} \times \dfrac{29}{9}$ $(0{,}9)^{20} \approx 0{,}12158$ $R(20) = 1 - 0{,}12158 \times 3{,}2222 \approx 1 - 0{,}3917 = \boxed{0{,}608}$
3.
Déterminer le plus petit nn tel que R(n)>0,9R(n) > 0{,}9.
On cherche $n$ tel que $R(n) > 0{,}9$, soit $(0{,}9)^n \left(1 + \dfrac{n}{9}\right) < 0{,}1$. Testons quelques valeurs : $n = 40$ : $(0{,}9)^{40} \approx 0{,}01478$, $1 + \dfrac{40}{9} \approx 5{,}444$, produit $\approx 0{,}0805 < 0{,}1$ ✓ $n = 35$ : $(0{,}9)^{35} \approx 0{,}02503$, $1 + \dfrac{35}{9} \approx 4{,}889$, produit $\approx 0{,}1224 > 0{,}1$ ✗ $n = 38$ : $(0{,}9)^{38} \approx 0{,}01826$, $1 + \dfrac{38}{9} \approx 5{,}222$, produit $\approx 0{,}0954 < 0{,}1$ ✓ $n = 37$ : $(0{,}9)^{37} \approx 0{,}02029$, $1 + \dfrac{37}{9} \approx 5{,}111$, produit $\approx 0{,}1037 > 0{,}1$ ✗ Donc $\boxed{n = 38}$.
Exercice 39
Avancé
Soit X∼B(n,p)X \sim \mathcal{B}(n, p). On note μ=E(X)=np\mu = E(X) = np et σ2=V(X)=np(1−p)\sigma^2 = V(X) = np(1-p).
1.
Montrer que P(X=k)P(X = k) est maximale pour k=k0k = k_0 où k0k_0 est le plus grand entier tel que k0⩽(n+1)pk_0 \leqslant (n+1)p.
D'après l'exercice 27, on a : $$\dfrac{P(X = k+1)}{P(X = k)} = \dfrac{(n-k)p}{(k+1)(1-p)}$$ Ce rapport est $\geqslant 1$ si et seulement si $(n-k)p \geqslant (k+1)(1-p)$, soit : $np - kp \geqslant k + 1 - kp - p$, d'où $np + p - 1 \geqslant k$, soit $k \leqslant (n+1)p - 1$. Donc $P(X = k)$ croît tant que $k \leqslant (n+1)p - 1$ et décroît ensuite. Le maximum est atteint pour $\boxed{k_0 = \lfloor (n+1)p \rfloor}$ (partie entière), ou pour les deux valeurs encadrant $(n+1)p - 1$ si c'est un entier.
2.
Application : déterminer le mode de X∼B(15 ;0,4)X \sim \mathcal{B}(15 \,; 0{,}4).
$(n+1)p = 16 \times 0{,}4 = 6{,}4$. Donc $k_0 = \lfloor 6{,}4 \rfloor = 6$. Le mode est $\boxed{k_0 = 6}$ : la valeur la plus probable est $P(X = 6)$.
3.
Pour X∼B(100 ;0,5)X \sim \mathcal{B}(100 \,; 0{,}5), montrer que P(X=50)P(X = 50) est la plus grande probabilité.
$(n+1)p = 101 \times 0{,}5 = 50{,}5$. Donc $k_0 = \lfloor 50{,}5 \rfloor = 50$. La probabilité $P(X = 50)$ est bien la plus grande. $\boxed{\square}$ Cela est cohérent avec la symétrie de la loi $\mathcal{B}(100 \,; 0{,}5)$ autour de $\mu = 50$.
Exercice 40
Avancé
Deux joueurs A et B jouent une série de parties indépendantes. À chaque partie, A gagne avec la probabilité p=0,6p = 0{,}6. Le premier à remporter 3 parties gagne la série.
1.
La série dure au minimum 3 parties et au maximum 5 parties. Calculer la probabilité que A gagne en exactement 3 parties.
A gagne en 3 parties si et seulement si A gagne les 3 premières parties : $$P(\text{A gagne en 3}) = p^3 = (0{,}6)^3 = \boxed{0{,}216}$$
2.
Calculer la probabilité que A gagne en exactement 4 parties.
A gagne en exactement 4 parties signifie : parmi les 3 premières parties, A en gagne exactement 2 et B en gagne 1, puis A gagne la 4e. Nombre de façons de placer la victoire de B parmi les 3 premières : $\binom{3}{1} = 3$. $$P(\text{A gagne en 4}) = \binom{3}{1} \times p^2 \times (1-p) \times p = 3 \times (0{,}6)^2 \times 0{,}4 \times 0{,}6$$ $$= 3 \times 0{,}36 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 3 \times 0{,}0864 = \boxed{0{,}2592}$$
3.
Calculer la probabilité que A gagne en exactement 5 parties.
Parmi les 4 premières parties, A en gagne exactement 2 et B en gagne 2, puis A gagne la 5e. Nombre de façons : $\binom{4}{2} = 6$. $$P(\text{A gagne en 5}) = \binom{4}{2} \times p^2 \times (1-p)^2 \times p = 6 \times (0{,}6)^2 \times (0{,}4)^2 \times 0{,}6$$ $$= 6 \times 0{,}36 \times 0{,}16 \times 0{,}6 = 6 \times 0{,}03456 = \boxed{0{,}20736}$$
4.
En déduire la probabilité que A gagne la série.
$$P(\text{A gagne}) = P(\text{en 3}) + P(\text{en 4}) + P(\text{en 5})$$ $$= 0{,}216 + 0{,}2592 + 0{,}20736 = \boxed{0{,}68256}$$ A a environ $68{,}3\%$ de chances de remporter la série.
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Lancers de dés et loi binomiale
Facile
On lance un dé équilibré à 6 faces 12 fois de suite. On appelle « succès » l'événement « obtenir un 6 ». Soit XX le nombre de succès obtenus.

Partie A — Étude de la loi de XX

1.
Justifier que XX suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Chaque lancer est une **épreuve de Bernoulli** de paramètre $p = P(\text{obtenir 6}) = \dfrac{1}{6}$. Les 12 lancers sont **identiques** (même dé) et **indépendants** (chaque lancer n'influence pas les autres). $X$ compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli. Donc $\boxed{X \sim \mathcal{B}\left(12 \,; \dfrac{1}{6}\right)}$.
2.
Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de XX.
$$E(X) = np = 12 \times \dfrac{1}{6} = \boxed{2}$$ $$V(X) = np(1-p) = 12 \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{60}{36} = \boxed{\dfrac{5}{3} \approx 1{,}667}$$ $$\sigma(X) = \sqrt{\dfrac{5}{3}} = \dfrac{\sqrt{15}}{3} \approx \boxed{1{,}291}$$
3.
Calculer P(X=0)P(X = 0) et P(X=1)P(X = 1).
$P(X = 0) = \left(\dfrac{5}{6}\right)^{12} = \dfrac{5^{12}}{6^{12}} = \dfrac{244\,140\,625}{2\,176\,782\,336} \approx \boxed{0{,}1122}$ $P(X = 1) = \binom{12}{1} \times \dfrac{1}{6} \times \left(\dfrac{5}{6}\right)^{11} = 12 \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5^{11}}{6^{11}}$ $= 2 \times \dfrac{48\,828\,125}{362\,797\,056} \approx 2 \times 0{,}13463 \approx \boxed{0{,}2692}$
4.
En déduire P(X⩾2)P(X \geqslant 2).
$$P(X \geqslant 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \approx 1 - 0{,}1122 - 0{,}2692 = \boxed{0{,}619}$$

Partie B — Interprétation

5.
Interpréter E(X)E(X) dans le contexte de l'expérience.
L'espérance $E(X) = 2$ signifie que **en moyenne**, sur 12 lancers d'un dé équilibré, on obtient **2 fois** le résultat 6. C'est le nombre moyen de 6 que l'on s'attend à observer si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois.
6.
Est-il plus probable d'obtenir au moins deux 6 que d'en obtenir au plus un ? Justifier.
$P(X \leqslant 1) = P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0{,}1122 + 0{,}2692 = 0{,}3814$ $P(X \geqslant 2) \approx 0{,}619$ Puisque $P(X \geqslant 2) \approx 0{,}619 > 0{,}381 \approx P(X \leqslant 1)$, il est $\boxed{\text{plus probable d'obtenir au moins deux 6}}$.
Problème 2 — Contrôle qualité dans une usine
Intermédiaire
Une usine fabrique des composants dont 4%4\% sont défectueux. Un contrôleur prélève au hasard nn composants dans la production (assimilée à un tirage avec remise). Soit XX le nombre de composants défectueux dans l'échantillon.

Partie A — Échantillon de taille n=25n = 25

1.
Justifier que X∼B(25 ;0,04)X \sim \mathcal{B}(25 \,; 0{,}04).
Chaque prélèvement est une épreuve de Bernoulli : succès = composant défectueux ($p = 0{,}04$), échec = composant conforme ($q = 0{,}96$). Le tirage avec remise garantit : - les épreuves sont **identiques** (la proportion reste $0{,}04$) ; - les épreuves sont **indépendantes**. $X$ est le nombre de succès, donc $\boxed{X \sim \mathcal{B}(25 \,; 0{,}04)}$.
2.
Calculer E(X)E(X) et σ(X)\sigma(X).
$$E(X) = 25 \times 0{,}04 = \boxed{1}$$ $$V(X) = 25 \times 0{,}04 \times 0{,}96 = 0{,}96$$ $$\sigma(X) = \sqrt{0{,}96} \approx \boxed{0{,}980}$$
3.
Calculer la probabilité qu'aucun composant ne soit défectueux.
$$P(X = 0) = (0{,}96)^{25}$$ $\ln(0{,}96) \approx -0{,}04082$, donc $25 \times \ln(0{,}96) \approx -1{,}0206$. $$P(X = 0) \approx e^{-1{,}0206} \approx \boxed{0{,}360}$$
4.
Le lot est refusé si X⩾3X \geqslant 3. Calculer P(X⩾3)P(X \geqslant 3).
$P(X \geqslant 3) = 1 - P(X \leqslant 2)$ $P(X = 0) \approx 0{,}3604$ $P(X = 1) = 25 \times 0{,}04 \times (0{,}96)^{24} = 1 \times (0{,}96)^{24} \approx 0{,}3604 \times \dfrac{25 \times 0{,}04}{0{,}96}$ Plus directement : $P(X=1) = 25 \times 0{,}04 \times (0{,}96)^{24}$ $(0{,}96)^{24} \approx 0{,}3754$ $P(X = 1) = 1 \times 0{,}3754 = 0{,}3754$ $P(X = 2) = \binom{25}{2} \times (0{,}04)^2 \times (0{,}96)^{23} = 300 \times 0{,}0016 \times 0{,}3911 \approx 0{,}1877$ $P(X \leqslant 2) \approx 0{,}3604 + 0{,}3754 + 0{,}1877 = 0{,}9235$ $$P(X \geqslant 3) \approx 1 - 0{,}9235 = \boxed{0{,}076}$$

Partie B — Taille minimale de l'échantillon

5.
On souhaite que la probabilité de détecter au moins un composant défectueux soit supérieure à 0,900{,}90. Déterminer le plus petit nn convenable.
On cherche $n$ tel que $P(X \geqslant 1) > 0{,}90$, soit $P(X = 0) < 0{,}10$. $(0{,}96)^n < 0{,}10$ $n \ln(0{,}96) < \ln(0{,}10)$ $n > \dfrac{\ln(0{,}10)}{\ln(0{,}96)} = \dfrac{-2{,}3026}{-0{,}04082} \approx 56{,}4$ Donc $\boxed{n = 57}$. **Vérification :** $(0{,}96)^{57} \approx 0{,}097 < 0{,}10$ ✓ et $(0{,}96)^{56} \approx 0{,}101 > 0{,}10$ ✗.
6.
Pour n=57n = 57, calculer E(X)E(X).
$$E(X) = 57 \times 0{,}04 = \boxed{2{,}28}$$ En moyenne, on détectera environ $2{,}3$ composants défectueux sur un échantillon de 57.
Problème 3 — Jeu de hasard et prise de décision
Difficile
Un joueur participe à un jeu où il lance une pièce truquée (P(Pile)=0,6P(\text{Pile}) = 0{,}6). Il peut choisir entre deux options :

Option 1 : Lancer la pièce 5 fois. Il gagne s'il obtient au moins 3 Pile.
Option 2 : Lancer la pièce 3 fois. Il gagne s'il obtient au moins 2 Pile.

En cas de gain, il reçoit 10 euros. La mise est de 5 euros dans les deux cas.

Partie A — Étude de l'option 1

1.
Soit X1X_1 le nombre de Pile en 5 lancers. Donner la loi de X1X_1.
$X_1$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(5 \,; 0{,}6)$. Les 5 lancers sont des épreuves de Bernoulli identiques ($p = 0{,}6$) et indépendantes.
2.
Calculer P(X1⩾3)P(X_1 \geqslant 3).
$P(X_1 \geqslant 3) = P(X_1=3) + P(X_1=4) + P(X_1=5)$ $P(X_1=3) = \binom{5}{3}(0{,}6)^3(0{,}4)^2 = 10 \times 0{,}216 \times 0{,}16 = 0{,}3456$ $P(X_1=4) = \binom{5}{4}(0{,}6)^4(0{,}4)^1 = 5 \times 0{,}1296 \times 0{,}4 = 0{,}2592$ $P(X_1=5) = (0{,}6)^5 = 0{,}07776$ $$P(X_1 \geqslant 3) = 0{,}3456 + 0{,}2592 + 0{,}07776 = \boxed{0{,}68256}$$
3.
Calculer l'espérance du gain net G1G_1 pour l'option 1.
Le gain net est : $G_1 = 10 - 5 = 5$ euros si victoire, $G_1 = -5$ euros si défaite. $$E(G_1) = 5 \times P(X_1 \geqslant 3) + (-5) \times P(X_1 < 3)$$ $$= 5 \times 0{,}68256 + (-5) \times 0{,}31744$$ $$= 3{,}4128 - 1{,}5872 = \boxed{1{,}8256 \text{ euros}}$$

Partie B — Étude de l'option 2

4.
Soit X2X_2 le nombre de Pile en 3 lancers. Calculer P(X2⩾2)P(X_2 \geqslant 2).
$X_2 \sim \mathcal{B}(3 \,; 0{,}6)$ $P(X_2 \geqslant 2) = P(X_2=2) + P(X_2=3)$ $P(X_2=2) = \binom{3}{2}(0{,}6)^2(0{,}4)^1 = 3 \times 0{,}36 \times 0{,}4 = 0{,}432$ $P(X_2=3) = (0{,}6)^3 = 0{,}216$ $$P(X_2 \geqslant 2) = 0{,}432 + 0{,}216 = \boxed{0{,}648}$$
5.
Calculer l'espérance du gain net G2G_2 pour l'option 2.
$$E(G_2) = 5 \times 0{,}648 + (-5) \times 0{,}352 = 3{,}24 - 1{,}76 = \boxed{1{,}48 \text{ euros}}$$

Partie C — Comparaison et décision

6.
Quelle option le joueur doit-il choisir pour maximiser son espérance de gain ? Justifier.
Comparons les espérances de gain : - Option 1 : $E(G_1) \approx 1{,}83$ euros - Option 2 : $E(G_2) \approx 1{,}48$ euros Puisque $E(G_1) > E(G_2)$, le joueur doit choisir $\boxed{\text{l'option 1}}$ pour maximiser son espérance de gain. Cela s'explique par le fait qu'avec 5 lancers au lieu de 3, la loi des grands nombres joue en faveur du joueur : la fréquence de Pile se rapproche de $p = 0{,}6 > 0{,}5$, ce qui facilite l'obtention d'une majorité de Pile.
7.
Le joueur joue 100 fois à l'option 1. Soit YY le nombre de parties gagnées. Calculer E(Y)E(Y) et la somme totale espérée après 100 parties.
$Y \sim \mathcal{B}(100 \,; 0{,}68256)$ $E(Y) = 100 \times 0{,}68256 = 68{,}256$ Le gain net total espéré est : $E(\text{gain total}) = 100 \times E(G_1) = 100 \times 1{,}8256 = \boxed{182{,}56 \text{ euros}}$ Sur 100 parties, le joueur peut espérer gagner environ 183 euros.
Problème 4 — Fiabilité d'un système et maintenance préventive
Avancé
Un système informatique est composé de nn serveurs indépendants. Chaque serveur a une probabilité p=0,95p = 0{,}95 de fonctionner correctement pendant une journée. Le système est opérationnel si au moins 3n4\dfrac{3n}{4} serveurs fonctionnent (arrondi à l'entier supérieur).

Partie A — Étude pour n=8n = 8 serveurs

1.
Soit XX le nombre de serveurs fonctionnels. Donner la loi de XX et calculer E(X)E(X).
Chaque serveur est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}95$ (succès = fonctionne). Les serveurs sont indépendants. $$X \sim \mathcal{B}(8 \,; 0{,}95)$$ $$E(X) = 8 \times 0{,}95 = \boxed{7{,}6}$$
2.
Le système est opérationnel si X⩾6X \geqslant 6 (car ⌈3×84⌉=6\lceil \frac{3 \times 8}{4} \rceil = 6). Calculer P(X⩾6)P(X \geqslant 6).
$P(X \geqslant 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)$ $P(X=8) = (0{,}95)^8 \approx 0{,}6634$ $P(X=7) = \binom{8}{7}(0{,}95)^7(0{,}05)^1 = 8 \times 0{,}6983 \times 0{,}05 \approx 0{,}2793$ $P(X=6) = \binom{8}{6}(0{,}95)^6(0{,}05)^2 = 28 \times 0{,}7351 \times 0{,}0025 \approx 0{,}0515$ $$P(X \geqslant 6) \approx 0{,}6634 + 0{,}2793 + 0{,}0515 = \boxed{0{,}9942}$$
3.
Calculer la probabilité que le système ne soit PAS opérationnel.
$$P(\text{non opérationnel}) = 1 - P(X \geqslant 6) \approx 1 - 0{,}9942 = \boxed{0{,}0058}$$ Il y a environ $0{,}6\%$ de risque de panne du système.

Partie B — Maintenance préventive sur 30 jours

4.
On suppose que chaque jour est indépendant. Soit DD le nombre de jours sur 30 où le système n'est pas opérationnel. Donner la loi de DD.
Chaque jour, le système est non opérationnel avec une probabilité $q \approx 0{,}0058$. Les jours sont indépendants. $$\boxed{D \sim \mathcal{B}(30 \,; 0{,}0058)}$$
5.
Calculer E(D)E(D) et la probabilité que le système soit opérationnel tous les jours du mois.
$$E(D) = 30 \times 0{,}0058 = \boxed{0{,}174}$$ En moyenne, on s'attend à $0{,}174$ jour de panne par mois. $$P(D = 0) = (1 - 0{,}0058)^{30} = (0{,}9942)^{30}$$ $\ln(0{,}9942) \approx -0{,}005817$, donc $30 \times (-0{,}005817) \approx -0{,}1745$. $$P(D = 0) \approx e^{-0{,}1745} \approx \boxed{0{,}840}$$ Il y a environ $84\%$ de chances que le système fonctionne sans interruption pendant un mois.

Partie C — Optimisation du nombre de serveurs

6.
On souhaite que la probabilité quotidienne de panne du système soit inférieure à 0,0010{,}001 (0,1%0{,}1\%). Plutôt que de changer les serveurs, on envisage de passer à n=12n = 12 serveurs (seuil : X⩾9X \geqslant 9). Calculer P(X<9)P(X < 9) pour X∼B(12 ;0,95)X \sim \mathcal{B}(12 \,; 0{,}95).
On calcule $P(X \leqslant 8) = 1 - P(X \geqslant 9)$. $P(X=12) = (0{,}95)^{12} \approx 0{,}5404$ $P(X=11) = \binom{12}{11}(0{,}95)^{11}(0{,}05)^1 = 12 \times 0{,}5688 \times 0{,}05 \approx 0{,}3413$ $P(X=10) = \binom{12}{10}(0{,}95)^{10}(0{,}05)^2 = 66 \times 0{,}5987 \times 0{,}0025 \approx 0{,}0988$ $P(X=9) = \binom{12}{9}(0{,}95)^9(0{,}05)^3 = 220 \times 0{,}6302 \times 0{,}000125 \approx 0{,}0173$ $P(X \geqslant 9) \approx 0{,}5404 + 0{,}3413 + 0{,}0988 + 0{,}0173 = 0{,}9978$ $$P(X < 9) = 1 - 0{,}9978 = \boxed{0{,}0022}$$ Avec 12 serveurs, la probabilité de panne est environ $0{,}22\%$, ce qui est encore au-dessus du seuil de $0{,}1\%$.
7.
On augmente la fiabilité individuelle des serveurs à p=0,98p = 0{,}98 (tout en gardant n=8n = 8 et le seuil X⩾6X \geqslant 6). Calculer la nouvelle probabilité de panne et conclure sur la meilleure stratégie.
Avec $X \sim \mathcal{B}(8 \,; 0{,}98)$ et le seuil $X \geqslant 6$ : $P(X=8) = (0{,}98)^8 \approx 0{,}8508$ $P(X=7) = 8 \times (0{,}98)^7 \times 0{,}02 = 8 \times 0{,}8681 \times 0{,}02 \approx 0{,}1389$ $P(X=6) = 28 \times (0{,}98)^6 \times (0{,}02)^2 = 28 \times 0{,}8858 \times 0{,}0004 \approx 0{,}0099$ $P(X \geqslant 6) \approx 0{,}8508 + 0{,}1389 + 0{,}0099 = 0{,}9996$ $P(\text{panne}) = 1 - 0{,}9996 = \boxed{0{,}0004 = 0{,}04\%}$ Avec $p = 0{,}98$ et $n = 8$, la probabilité de panne est $0{,}04\% < 0{,}1\%$. **Conclusion :** $\boxed{\text{Améliorer la fiabilité individuelle}}$ (passer de $p = 0{,}95$ à $p = 0{,}98$) est plus efficace qu'augmenter le nombre de serveurs (de 8 à 12) pour atteindre le seuil de $0{,}1\%$ de risque de panne.