Fonctions trigonométriques

I. Rappels sur le cercle trigonométrique

1. Radian et cercle trigonométrique

Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre

O

, de rayon

1

, muni du sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).

À tout réel

x

on associe le point

M

de coordonnées

(cos x, sin x)

2. Valeurs remarquables

$x$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$
$cos x$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- 1$
$sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$0$

3. Propriétés fondamentales

Identités et symétries

cos^{2} x + sin^{2} x = 1

- 1 \leq cos x \leq 1

- 1 \leq sin x \leq 1

.

•

cos

est paire :

cos (- x) = cos (x)

.
•

sin

est impaire :

sin (- x) = - sin (x)

.
• Les deux sont $2 π$ -périodiques :

cos (x + 2 π) = cos (x)

sin (x + 2 π) = sin (x)

4. Formules d'addition

Formules d'addition

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

Formules de duplication

cos (2 x) = 2 cos^{2} x - 1 = 1 - 2 sin^{2} x

sin (2 x) = 2 sin x cos x

Linéarisation

cos^{2} x = \frac{1 + cos ( 2 x )}{2} sin^{2} x = \frac{1 - cos ( 2 x )}{2}

II. Dérivées de $sin$ et $cos$

1. Limite fondamentale

Limite de

\frac{sin x}{x}

en 0

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

Conséquence

x \to 0 lim \frac{cos x - 1}{x} = 0

Démonstration de la conséquence

On multiplie par la quantité conjuguée :

\frac{cos x - 1}{x} = \frac{( cos x - 1 ) ( cos x + 1 )}{x ( cos x + 1 )} = \frac{cos ^{2} x - 1}{x ( cos x + 1 )} = \frac{- sin ^{2} x}{x ( cos x + 1 )}

= - \frac{sin x}{x} \times \frac{sin x}{cos x + 1} \to - 1 \times \frac{0}{2} = 0

2. Dérivée de $sin$

Dérivée de

sin

(sin x)^{'} = cos x

Démonstration

Taux d'accroissement en

x

\frac{sin ( x + h ) - sin x}{h} = \frac{sin x cos h + cos x sin h - sin x}{h}

= sin x \cdot \frac{cos h - 1}{h} + cos x \cdot \frac{sin h}{h}

Quand

h \to 0

\frac{cos h - 1}{h} \to 0

\frac{sin h}{h} \to 1

.

Donc

(sin x)^{'} = sin x \times 0 + cos x \times 1 = cos x

3. Dérivée de $cos$

Dérivée de

cos

(cos x)^{'} = - sin x

Démonstration

On utilise

cos x = sin (\frac{π}{2} - x)

.

Par la formule de dérivation d'une composée :

(cos x)^{'} = (- 1) \times cos (\frac{π}{2} - x) = - sin x

III. Étude des fonctions $sin$ et $cos$

1. Étude de $sin$ sur $[- π, π]$

(sin x)^{'} = cos x

.

|

x

- π

| |

- \frac{π}{2}

| |

\frac{π}{2}

| |

π

|
|

cos x

- 1

-

0

+

0

-

- 1

|
|

sin x

0

↘

- 1

↗

1

↘

0

|

Minimum :

- 1

x = - \frac{π}{2}

. Maximum :

1

x = \frac{π}{2}

2. Étude de $cos$ sur $[0, 2 π]$

(cos x)^{'} = - sin x

.

|

x

0

| |

π

| |

2 π

|
|

- sin x

0

-

0

+

0

|
|

cos x

1

↘

- 1

↗

1

|

Minimum :

- 1

x = π

. Maximum :

1

x = 0

x = 2 π

3. Courbes

Sinusoïdes

Les courbes de

sin

cos

sont des sinusoïdes d'amplitude

1

et de période

2 π

cos (x) = sin (x + \frac{π}{2})

: la courbe de

cos

est la translatée de celle de

sin

\frac{π}{2}

vers la gauche.

IV. Dérivée de $sin (u)$ et $cos (u)$

Formules

u

est dérivable :

(sin u)^{'} = u^{'} cos u (cos u)^{'} = - u^{'} sin u

Exemple 1

f (x) = sin (3 x)

u = 3 x

u^{'} = 3

f^{'} (x) = 3 cos (3 x)

Exemple 2

f (x) = cos (x^{2})

u = x^{2}

u^{'} = 2 x

f^{'} (x) = - 2 x sin (x^{2})

Exemple 3

f (x) = sin^{2} (x)

. C'est

(sin x)^{2}

f^{'} (x) = 2 sin x \times cos x = sin (2 x)

Exemple 4 (produit)

f (x) = x cos (x)

f^{'} (x) = 1 \times cos x + x \times (- sin x) = cos x - x sin x

V. Équations et inéquations trigonométriques

1. Équations

Résolution de

cos (x) = cos (a)

cos (x) = cos (a) ⟺ {x = a + 2 k π ou x = - a + 2 k π (k \in Z)

Résolution de

sin (x) = sin (a)

sin (x) = sin (a) ⟺ {x = a + 2 k π ou x = π - a + 2 k π (k \in Z)

Exemple 1

cos x = \frac{1}{2} = cos \frac{π}{3}

x = \frac{π}{3} + 2 k π

x = - \frac{π}{3} + 2 k π

, soit

x = \pm \frac{π}{3} + 2 k π

Exemple 2

sin (2 x) = \frac{2}{2} = sin \frac{π}{4}

2 x = \frac{π}{4} + 2 k π

2 x = π - \frac{π}{4} + 2 k π = \frac{3 π}{4} + 2 k π

.

Donc

x = \frac{π}{8} + k π

x = \frac{3 π}{8} + k π

2. Inéquations

Résolution graphique

On résout les inéquations trigonométriques graphiquement (sur le cercle trigonométrique ou sur la courbe).

Exemple

cos x \geq \frac{1}{2}

sur

[0, 2 π]

cos x = \frac{1}{2}

x = \frac{π}{3}

x = \frac{5 π}{3}

cos

décroissante sur

[0, π]

et croissante sur

[π, 2 π]

.

Solution :

x \in [0, \frac{π}{3}] \cup [\frac{5 π}{3}, 2 π]

VI. Méthodes

M1 — Dériver avec $sin$ et $cos$

Méthode

Identifier

u

, appliquer

(sin u)^{'} = u^{'} cos u

(cos u)^{'} = - u^{'} sin u

M2 — Étudier une fonction trigonométrique

Méthode

1. Exploiter la périodicité : réduire l'étude à

[0, 2 π]

[- π, π]

.
2. Exploiter la parité si possible.
3. Dériver, signe de

f^{'}

, tableau, courbe.

Exemple

f (x) = 2 sin x + sin (2 x)

f^{'} (x) = 2 cos x + 2 cos (2 x) = 2 cos x + 2 (2 cos^{2} x - 1) = 4 cos^{2} x + 2 cos x - 2

.

On pose

X = cos x

4 X^{2} + 2 X - 2 = 0

, soit

X = \frac{1}{2}

X = - 1

cos x = \frac{1}{2}

→

x = \pm \frac{π}{3}

cos x = - 1

→

x = π

M3 — Résoudre des équations trigonométriques

Méthode

Ramener à

cos (X) = cos (a)

sin (X) = sin (a)

.

Deux familles de solutions. Ne pas oublier

k \in Z

M4 — Linéariser

Méthode

Utiliser les formules :

cos^{2} x = \frac{1 + cos ( 2 x )}{2} sin^{2} x = \frac{1 - cos ( 2 x )}{2}

Permet de transformer un carré trigonométrique en expression du premier degré.

Fonction	Dérivée
$sin x$	$cos x$
$cos x$	$- sin x$
$sin u$	$u^{'} cos u$
$cos u$	$- u^{'} sin u$
$sin^{2} x$	$sin (2 x)$

40 exercices disponibles

Exercice 1

Facile

Calculer

\cos(0)

\cos(\pi/6)

\cos(\pi/4)

\cos(\pi/3)

\cos(\pi/2)

Correction détaillée

1

\sqrt{3}/2

\sqrt{2}/2

1/2

0

Exercice 2

Facile

Calculer

\sin(0)

\sin(\pi/6)

\sin(\pi/4)

\sin(\pi/3)

\sin(\pi/2)

Correction détaillée

0

1/2

\sqrt{2}/2

\sqrt{3}/2

1

Exercice 3

Facile

Simplifier

\cos(-\pi/3)

\sin(-\pi/4)

Correction détaillée

\cos(-\pi/3) = 1/2

(paire).

\sin(-\pi/4) = -\sqrt{2}/2

(impaire).

Exercice 4

Facile

Vérifier que

\cos^2(\pi/3) + \sin^2(\pi/3) = 1

Correction détaillée

(1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 = 1/4 + 3/4 = 1

Exercice 5

Facile

Calculer la dérivée de

f(x) = 3\sin(x)

Correction détaillée

f'(x) = 3\cos(x)

Exercice 6

Facile

Calculer la dérivée de

f(x) = 2\cos(x) + x

Correction détaillée

f'(x) = -2\sin(x) + 1

Exercice 7

Facile

Simplifier

\sin(x + 2\pi)

\cos(x + 4\pi)

Correction détaillée

\sin(x)

\cos(x)

(périodicité

2\pi

Exercice 8

Facile

Résoudre

\cos(x) = 0

sur

[0;2\pi]

Correction détaillée

x = \pi/2

x = 3\pi/2

Exercice 9

Facile

Résoudre

\sin(x) = 1/2

sur

[0;2\pi]

Correction détaillée

x = \pi/6

x = 5\pi/6

Exercice 10

Facile

Calculer

\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{x}

Correction détaillée

3 \cdot \dfrac{\sin(3x)}{3x} \to 3

Exercice 11

Intermédiaire

Dérivées de

\sin(u)

\cos(u)

\sin(2x)

2\cos(2x)

\cos(3x+1)

-3\sin(3x+1)

\sin(x^2)

2x\cos(x^2)

Exercice 12

Intermédiaire

Équations trigo : résolution générale.

\cos(x) = \cos(\pi/4)

x = \pm\pi/4 + 2k\pi

\sin(x) = \sin(\pi/3)

x = \pi/3 + 2k\pi

x = 2\pi/3 + 2k\pi

\cos(x) = -1

x = \pi + 2k\pi

Exercice 13

Intermédiaire

Formules d'addition.

\cos(\pi/12) = \cos(\pi/3 - \pi/4)

\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}

\sin(7\pi/12) = \sin(\pi/3 + \pi/4)

\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

Exercice 14

Intermédiaire

Formules de duplication.

Montrer

\cos(2x) = 2\cos^2(x)-1

\cos(x+x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1

En déduire

\cos^2(x) = (1+\cos 2x)/2

Isoler

\cos^2 x

\cos^2(\pi/8)

(2+\sqrt{2})/4

Exercice 15

Intermédiaire

Étude de

\sin

sur

[-\pi;\pi]

Imparité.

\sin(-x) = -\sin(x)

Variations.

\sin'=\cos

. Décroissante sur

[-\pi;-\pi/2]

, croissante sur

[-\pi/2;\pi/2]

, décroissante sur

[\pi/2;\pi]

Exercice 16

Intermédiaire

\cos

sur

[0;2\pi]

Variations.

Décroissante

[0;\pi]

, croissante

[\pi;2\pi]

\cos(x) = 1/2

sur

[0;2\pi]

x = \pi/3

5\pi/3

Exercice 17

Intermédiaire

Limite

(\cos x - 1)/x

\lim_0 (\cos x-1)/x

0

(utiliser

\cos x-1 = -2\sin^2(x/2)

\lim_0 (\cos x-1)/x^2

-1/2

Exercice 18

Intermédiaire

Dérivées de produits avec sin/cos.

x\sin(x)

\sin x + x\cos x

e^x\cos(x)

e^x(\cos x - \sin x)

\sin(x)\cos(x)

\cos(2x)

Exercice 19

Intermédiaire

Inéquations trigo sur

[0;2\pi[

\sin(x) \geq 0

[0;\pi]

\cos(x) < -1/2

]2\pi/3;4\pi/3[

2\sin(x) - 1 \leq 0

[0;\pi/6] \cup [5\pi/6;2\pi[

Exercice 20

Intermédiaire

Linéarisation.

\cos^2(x)

(1+\cos 2x)/2

\sin^2(x)

(1-\cos 2x)/2

\sin(x)\cos(x)

\sin(2x)/2

Exercice 21

Difficile

f(x) = \sin x + \cos x

Montrer

f(x) = \sqrt{2}\sin(x+\pi/4)

Factoriser par

\sqrt{2}

Amplitude, période.

\sqrt{2}

2\pi

Max et min.

Max

\sqrt{2}

\pi/4

, min

-\sqrt{2}

5\pi/4

Exercice 22

Difficile

Résoudre

\cos x + \sqrt{3}\sin x = 1

sur

[0;2\pi[

Forme

R\cos(x-\varphi)

2\cos(x-\pi/3) = 1

Solutions.

x = 0

x = 2\pi/3

Exercice 23

Difficile

Convexité de sin.

\sin''(x)

-\sin(x)

Convexité/concavité sur

[0;2\pi]

Concave sur

]0;\pi[

, convexe sur

]\pi;2\pi[

Montrer

\sin x \leq x

pour

x \geq 0

g(x) = x-\sin x

g' = 1-\cos x \geq 0

g(0) = 0

Exercice 24

Difficile

Dérivées composées trigo.

\sin^3(x)

3\sin^2 x \cos x

\cos(x^3)

-3x^2\sin(x^3)

\sin(\cos x)

-\sin x \cos(\cos x)

e^{\sin x}

\cos(x) e^{\sin x}

Exercice 25

Difficile

Tangente en 0 de sin et cos.

\sin x \approx x

pour

x

petit.

Tangente en 0 :

y = x

\cos x \approx 1 - x^2/2

(\cos x - 1)/x^2 \to -1/2

Exercice 26

Difficile

f(x) = x + \sin x

Imparité, croissance.

Impaire.

f' = 1+\cos x \geq 0

: croissante.

Points d'inflexion.

f'' = -\sin x = 0

x = k\pi

Exercice 27

Difficile

Duplication avancée.

\sin(2x) = 2\sin x\cos x

Addition avec

a = b = x

\sin^2 x = (1-\cos 2x)/2

Depuis

\cos 2x = 1-2\sin^2 x

\sin^2(\pi/8)

(2-\sqrt{2})/4

Exercice 28

Difficile

f(x) = \cos x - x

. Unique solution de

\cos x = x

f

strictement décroissante.

f' = -\sin x - 1 \leq 0

Unique zéro dans

]0;1[

f(0) = 1 > 0

f(1) < 0

. TVI + décroissance.

Exercice 29

Difficile

Encadrement de

\sin x/x

\cos x \leq \sin x/x \leq 1

sur

]0;\pi/2]

\sin x \leq x

\sin x \geq x\cos x

(étude de

\sin x - x\cos x

\sin x/x

décroissante sur

]0;\pi/2]

(x\cos x - \sin x)/x^2 \leq 0

Exercice 30

Difficile

Primitives de

\sin^2

\cos^2

\int_0^\pi \sin^2 x\,dx

\pi/2

\int_0^\pi \cos^2 x\,dx

\pi/2

Égalité. Interpréter.

Même énergie sur une demi-période.

\sin^2+\cos^2=1

implique somme

= \pi

Exercice 31

Avancé

f(x) = x\sin(1/x)

pour

x \neq 0

|f(x)| \leq |x|

, limite en 0.

\lim_0 = 0

par gendarmes.

Prolongement, dérivabilité en 0.

Continue (

f(0)=0

f(h)/h = \sin(1/h)

oscille : non dérivable.

Exercice 32

Avancé

f(x) = e^x\sin x

f'(x)

\sqrt{2}e^x\sin(x+\pi/4)

Extremums en suite géométrique.

x_k = -\pi/4+k\pi

, rapport

-e^\pi

Exercice 33

Avancé

Formule d'Euler

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

e^{i\pi} = -1

\cos\pi + i\sin\pi = -1

|e^{i\theta}| = 1

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Retrouver duplication.

(\cos\theta+i\sin\theta)^2

par identification.

Exercice 34

Avancé

Fonction tangente.

\tan' = 1/\cos^2 x = 1+\tan^2 x

(\sin/\cos)' = 1/\cos^2

Bijection de

]-\pi/2;\pi/2[

sur

\mathbb{R}

Croissante, limites

\pm\infty

Exercice 35

Avancé

Résoudre

\sin x = \cos x

\tan x = 1

x = \pi/4 + k\pi

Sur

[-\pi;\pi]

\{-3\pi/4; \pi/4\}

Exercice 36

Avancé

\sin(x)/x

: prolongement et propriétés.

Prolongement en 0.

f(0) = 1

Parité, limites.

Paire,

\to 0

\pm\infty

Infinité de zéros.

x = k\pi

k \neq 0

Exercice 37

Avancé

S_n = \sum_{k=0}^n \sin(k\theta)

Multiplier par

2\sin(\theta/2)

2\sin(k\theta)\sin(\theta/2) = \cos((k-1/2)\theta)-\cos((k+1/2)\theta)

Télescopage.

S_n = \dfrac{\cos(\theta/2)-\cos((n+1/2)\theta)}{2\sin(\theta/2)}

Exercice 38

Avancé

Dérivée de arctan.

(\arctan)'(y) = 1/(1+y^2)

1/\tan'(\arctan y) = 1/(1+y^2)

\arctan(0), \arctan(1), \lim_{+\infty}

0

\pi/4

\pi/2

Exercice 39

Avancé

Battements :

\cos(10x)\cos(11x)

Linéariser.

(\cos x + \cos 21x)/2

Interpréter.

Enveloppe lente

\cos x

, oscillation rapide

\cos 21x

Exercice 40

Avancé

Montrer

|\sin(nx)| \leq n|\sin x|

par récurrence.

Init

n=1

Trivial.

Hérédité.

|\sin((n+1)x)| \leq |\sin(nx)| + |\sin x| \leq (n+1)|\sin x|

4 problèmes de synthèse

Problème 1 — Étude de sin(x) + sin(2x)/2

Difficile

Étude complète

Imparité, périodicité.

Impaire,

2\pi

-périodique.

Réécrire

f(x) = \sin x(1+\cos x)

\sin x + \sin x\cos x = \sin x(1+\cos x)

f'(x) = (2\cos x-1)(\cos x+1)

. Variations sur

[0;\pi]

Max

f(\pi/3) = 3\sqrt{3}/4

Zéros sur

[-\pi;\pi]

x = -\pi, 0, \pi

Problème 2 — Rectangle inscrit dans un demi-cercle

Difficile

Optimisation

Paramétrer par

\theta

. Aire

A(\theta) = \sin(2\theta)

Largeur

2\cos\theta

, hauteur

\sin\theta

Maximum.

\theta = \pi/4

A = 1

Dimensions.

Largeur

\sqrt{2}

, hauteur

\sqrt{2}/2

Problème 3 — Polynômes de Tchebychev

Avancé

Construction et propriétés

T_0=1

T_1=x

T_2=2x^2-1

Par

\cos(n\theta) = T_n(\cos\theta)

Récurrence

T_{n+1} = 2xT_n - T_{n-1}

Formule de produit de cosinus.

T_3 = 4x^3-3x

T_4 = 8x^4-8x^2+1

Par récurrence.

Zéros de

T_n

x_k = \cos((2k-1)\pi/(2n))

pour

k=1,\ldots,n

Problème 4 — Oscillateur harmonique y''+y=0

Avancé

Équation différentielle

\cos x

\sin x

sont solutions.

\cos''+\cos = -\cos+\cos = 0

Solution avec

y(0)=1, y'(0)=0

y = \cos x

y^2+y'^2 =

constante.

(y^2+y'^2)' = 2y'(y+y'') = 0

. Conservation de l'énergie.

e^{ix}

est solution (complexe).

(e^{ix})'' + e^{ix} = -e^{ix}+e^{ix} = 0

S'entraîner avec les sujets du bac

Voir les sujets corrigés →

Fonctions trigonométriques

I. Rappels sur le cercle trigonométrique

1. Radian et cercle trigonométrique

2. Valeurs remarquables

3. Propriétés fondamentales

4. Formules d'addition

II. Dérivées de $sin$ et $cos$

1. Limite fondamentale

2. Dérivée de $sin$

3. Dérivée de $cos$

III. Étude des fonctions $sin$ et $cos$

1. Étude de $sin$ sur $[- π, π]$

2. Étude de $cos$ sur $[0, 2 π]$

3. Courbes

IV. Dérivée de $sin (u)$ et $cos (u)$

V. Équations et inéquations trigonométriques

1. Équations

2. Inéquations

VI. Méthodes

M1 — Dériver avec $sin$ et $cos$

M2 — Étudier une fonction trigonométrique

M3 — Résoudre des équations trigonométriques

M4 — Linéariser

1. Formules et propriétés

Valeurs remarquables

Propriétés et formules

Dérivées et limites

Variations

2. Méthodes

Récapitulatif

Étude complète

Optimisation

Construction et propriétés

Équation différentielle

S'entraîner avec les sujets du bac

Fonctions trigonométriques

I. Rappels sur le cercle trigonométrique

1. Radian et cercle trigonométrique

2. Valeurs remarquables

3. Propriétés fondamentales

4. Formules d'addition

II. Dérivées de sin et cos

1. Limite fondamentale

2. Dérivée de sin

3. Dérivée de cos

III. Étude des fonctions sin et cos

1. Étude de sin sur [−π,π]

2. Étude de cos sur [0,2π]

3. Courbes

IV. Dérivée de sin(u) et cos(u)

V. Équations et inéquations trigonométriques

1. Équations

2. Inéquations

VI. Méthodes

M1 — Dériver avec sin et cos

M2 — Étudier une fonction trigonométrique

M3 — Résoudre des équations trigonométriques

M4 — Linéariser

1. Formules et propriétés

Valeurs remarquables

Propriétés et formules

Dérivées et limites

Variations

2. Méthodes

Récapitulatif

Étude complète

Optimisation

Construction et propriétés

Équation différentielle

S'entraîner avec les sujets du bac

II. Dérivées de $sin$ et $cos$

2. Dérivée de $sin$

3. Dérivée de $cos$

III. Étude des fonctions $sin$ et $cos$

1. Étude de $sin$ sur $[- π, π]$

2. Étude de $cos$ sur $[0, 2 π]$

IV. Dérivée de $sin (u)$ et $cos (u)$

M1 — Dériver avec $sin$ et $cos$