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I Analyse · Chapitre 08 / 17

Fonction logarithme népérien

Propriétés algébriques, dérivée, limites.

8 min de lecture
6 sections, 8 exemples
40 exercices · 4 problèmes

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L'essentiel en 30 secondes

Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l'exponentielle : ln(eˣ) = x et e^(ln x) = x pour x > 0. Il transforme les produits en sommes — ln(ab) = ln a + ln b, ln(aⁿ) = n ln a — ce qui en fait l'outil pour résoudre les équations où l'inconnue est en exposant. Sa dérivée est 1/x, il est strictement croissant sur ]0 ; +∞[, et x l'emporte sur ln x en +∞.

1 I. Définition

1. Introduction

L'exponentielle est une bijection de R\mathbb{R} vers ]0,+∞[]0, +\infty[. Donc pour tout b>0b > 0, l'équation ex=b\mathrm{e}^x = b admet une unique solution.

2. Lien avec l'exponentielle

2 II. Propriétés algébriques

Démonstration
Posons α=ln⁡(a)\alpha = \ln(a) et β=ln⁡(b)\beta = \ln(b), c'est-à-dire a=eαa = \mathrm{e}^\alpha et b=eβb = \mathrm{e}^\beta.

Alors ab=eα×eβ=eα+βab = \mathrm{e}^\alpha \times \mathrm{e}^\beta = \mathrm{e}^{\alpha + \beta}.

Donc ln⁡(ab)=α+β=ln⁡(a)+ln⁡(b)\ln(ab) = \alpha + \beta = \ln(a) + \ln(b).

3 III. Étude de la fonction logarithme

1. Dérivée

Démonstration
On dérive la relation eln⁡x=x\mathrm{e}^{\ln x} = x :

(ln⁡x)′×eln⁡x=1(\ln x)' \times \mathrm{e}^{\ln x} = 1, donc (ln⁡x)′=1eln⁡x=1x(\ln x)' = \dfrac{1}{\mathrm{e}^{\ln x}} = \dfrac{1}{x}.

2. Signe

3. Limites

4. Croissances comparées

Démonstration
On pose t=1xt = \dfrac{1}{x}. Quand x→0+x \to 0^+, t→+∞t \to +\infty.

x ln⁡(x)=1t ln⁡(1t)=−ln⁡(t)t→0x\,\ln(x) = \dfrac{1}{t}\,\ln\left(\dfrac{1}{t}\right) = -\dfrac{\ln(t)}{t} \to 0.
Démonstration
ln⁡(1+x)−ln⁡(1)x=ln⁡(1+x)x\dfrac{\ln(1+x) - \ln(1)}{x} = \dfrac{\ln(1+x)}{x} est le taux d'accroissement de ln⁡\ln en 11.

Sa limite est (ln⁡)′(1)=11=1(\ln)'(1) = \dfrac{1}{1} = 1.

5. Convexité

6. Tableau de variation

Domaine : ]0,+∞[]0, +\infty[. Strictement croissante. Image : R\mathbb{R}.

| xx | 0+0^+ | 11 | +∞+\infty |
| ln⁡(x)\ln(x) | −∞-\infty | 00 | +∞+\infty |

4 IV. Dérivée de ln⁡(u(x))\ln(u(x))

5 V. Équations et inéquations

1. Équations

2. Inéquations

3. Passage exp/ln

6 VI. Méthodes

M1 — Dériver avec ln⁡\ln

M2 — Étude de fonction

M3 — Résoudre ln⁡(A)=ln⁡(B)\ln(A) = \ln(B)

M4 — Transformer avec les propriétés de ln⁡\ln

Ce chapitre est tombé au bac

12 sujets officiels de bac comportent un exercice sur ce chapitre — chaque corrigé est détaillé question par question.

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Questions fréquentes

Comment résoudre une équation avec un logarithme ?
On commence TOUJOURS par déterminer l'ensemble de définition (l'argument de chaque logarithme doit être strictement positif), puis on regroupe les logarithmes avec ln⁡a+ln⁡b=ln⁡(ab)\ln a + \ln b = \ln(ab) et on identifie. À la fin, on rejette les solutions hors du domaine : la transformation en fabrique souvent de parasites.
Quelles sont les propriétés du logarithme népérien ?
Le logarithme transforme les produits en sommes : ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b, ln⁡(a/b)=ln⁡a−ln⁡b\ln(a/b) = \ln a - \ln b et ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n) = n\ln a. Il vaut 00 en 11, 11 en ee, et sa dérivée est 1/x1/x. Il est négatif entre 00 et 11, positif au-delà.
Comment résoudre une équation où l'inconnue est en exposant, comme 2^x = 7 ?
C'est le rôle premier du logarithme : faire descendre l'inconnue. On compose par ln⁡\ln, ce qui donne xln⁡2=ln⁡7x\ln 2 = \ln 7, donc x=ln⁡7ln⁡2≈2,807x = \dfrac{\ln 7}{\ln 2} \approx 2{,}807. Attention, ln⁡7ln⁡2\dfrac{\ln 7}{\ln 2} n'est pas ln⁡(7/2)\ln(7/2) : un quotient de logarithmes ne se simplifie pas.

1. Définition et propriétés

Définition

Propriétés algébriques

Dérivée et signe

Limites et croissances comparées

Convexité et tableau

Domaine ]0,+∞[]0, +\infty[. Strictement croissante. Image R\mathbb{R}.

2. Méthodes

Tableau récapitulatif

PropriétéFormule
Dérivée(ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \dfrac{1}{x}
Composée(ln⁡u)′=u′u(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}
Produit → sommeln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b
Puissanceln⁡(an)=n ln⁡a\ln(a^n) = n\,\ln a
lim⁡+∞\lim_{+\infty}ln⁡xx→0\dfrac{\ln x}{x} \to 0
lim⁡0+\lim_{0^+}x ln⁡x→0x\,\ln x \to 0
Concavitéln⁡(x)≤x−1\ln(x) \leq x - 1

Récapitulatif

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Calculer ln⁡(1)\ln(1), ln⁡(e)\ln(e) et ln⁡(e3)\ln(e^3).
Correction détaillée
On utilise la propriété fondamentale $\ln(e^a) = a$ (le logarithme et l'exponentielle sont réciproques l'un de l'autre) : - $\ln(1) = \ln(e^0) = \boxed{0}$ - $\ln(e) = \ln(e^1) = \boxed{1}$ - $\ln(e^3) = \boxed{3}$ *À retenir :* $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$ sont les deux valeurs à connaître par cœur — elles servent dans presque toutes les résolutions.
Exercice 2
Facile
Simplifier eln⁡5e^{\ln 5}.
Correction détaillée
Les fonctions $\exp$ et $\ln$ sont **réciproques** : elles s'annulent mutuellement. $$e^{\ln x} = x \quad \text{pour tout } x > 0, \qquad \ln(e^x) = x \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}$$ $$\boxed{e^{\ln 5} = 5}$$
Exercice 3
Facile
Simplifier ln⁡(2)+ln⁡(3)\ln(2) + \ln(3).
Correction détaillée
Le logarithme **transforme les produits en sommes** : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. On lit ici la formule de droite à gauche : $$\ln(2) + \ln(3) = \ln(2 \times 3) = \boxed{\ln 6}$$ *Attention :* c'est $\ln(2 \times 3)$, surtout pas $\ln(2+3)$ — il n'existe aucune formule pour le logarithme d'une somme.
Exercice 4
Facile
Simplifier ln⁡(10)−ln⁡(5)\ln(10) - \ln(5).
Correction détaillée
Une **différence** de logarithmes correspond à un **quotient** : $\ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$. $$\ln(10) - \ln(5) = \ln\left(\frac{10}{5}\right) = \boxed{\ln 2}$$
Exercice 5
Facile
Simplifier ln⁡(8)\ln(8) en utilisant 8=238 = 2^3.
Correction détaillée
On utilise $\ln(a^n) = n\ln a$ : l'exposant **descend en facteur**. $$\ln(8) = \ln(2^3) = \boxed{3\ln 2}$$ *Utilité :* cette règle permet de tout exprimer en fonction de quelques logarithmes de base ($\ln 2$, $\ln 3$, $\ln 5$…) — par exemple $\ln(12) = \ln(2^2 \times 3) = 2\ln 2 + \ln 3$.
Exercice 6
Facile
Calculer la dérivée de f(x)=3ln⁡xf(x) = 3\ln x pour x>0x > 0.
Correction détaillée
La dérivée de $\ln$ est $\dfrac{1}{x}$, et la constante $3$ reste en facteur : $$\boxed{f'(x) = \frac{3}{x}}$$ *Remarque :* pour $x > 0$, $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est **strictement croissante**, comme $\ln$.
Exercice 7
Facile
Résoudre ln⁡(x)=2\ln(x) = 2.
Correction détaillée
**Domaine :** $x > 0$. La fonction $\ln$ est une **bijection** de $]0\,;+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ : on peut composer par $\exp$ des deux côtés. $$\ln x = 2 \iff e^{\ln x} = e^2 \iff x = e^2$$ $$\boxed{\mathcal{S} = \{e^2\}} \qquad (e^2 \approx 7{,}39)$$ La solution appartient bien au domaine ($e^2 > 0$) ✓
Exercice 8
Facile
Pour quelles valeurs de xx a-t-on ln⁡(x)<0\ln(x) < 0 ?
Correction détaillée
**Domaine :** $x > 0$. On écrit $0 = \ln 1$, puis on utilise la **stricte croissance** de $\ln$ (le sens de l'inégalité est conservé) : $$\ln x < 0 = \ln 1 \iff x < 1$$ En croisant avec le domaine : $$\boxed{\mathcal{S} = \,]0\,;1[}$$ *Interprétation :* le logarithme est **négatif entre 0 et 1**, nul en 1, positif au-delà. C'est le signe à connaître par cœur.
Exercice 9
Facile
Déterminer lim⁡x→+∞ln⁡(x)\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) et lim⁡x→0+ln⁡(x)\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x).
Correction détaillée
Ce sont les deux limites de référence du chapitre : $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty} \qquad \text{et} \qquad \boxed{\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty}$$ **Conséquence graphique :** l'axe des **ordonnées** ($x = 0$) est **asymptote verticale** à la courbe de $\ln$. *Attention :* $\ln$ tend vers $+\infty$, mais **très lentement** (il faut $x = e^{10} \approx 22\,000$ pour que $\ln x = 10$). C'est ce qui explique les croissances comparées.
Exercice 10
Facile
Résoudre ex=5e^x = 5.
Correction détaillée
L'exponentielle est strictement positive, donc l'équation a un sens pour tout $x$. On compose par $\ln$ (réciproque de $\exp$) : $$e^x = 5 \iff \ln(e^x) = \ln 5 \iff x = \ln 5$$ $$\boxed{\mathcal{S} = \{\ln 5\}} \qquad (\ln 5 \approx 1{,}609)$$ *C'est le rôle premier du logarithme :* faire « descendre » une inconnue placée en exposant.
Exercice 11
Intermédiaire
Dérivées de la forme ln⁡(u)\ln(u). On rappelle que (ln⁡u)′=u′u\big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}.
1.
f(x)=ln⁡(2x+1)f(x) = \ln(2x+1) sur ]−12 ;+∞[\left]-\tfrac{1}{2}\,;+\infty\right[
On identifie $u = 2x+1$, donc $u' = 2$ : $$\boxed{f'(x) = \frac{2}{2x+1}}$$ *Le réflexe :* la dérivée de $\ln(u)$ met $u'$ **au numérateur** et $u$ **au dénominateur** — ne jamais écrire $\frac{1}{2x+1}$ seul (on oublierait le facteur $u' = 2$).
2.
g(x)=ln⁡(x2+1)g(x) = \ln(x^2+1) sur R\mathbb{R}
Ici $u = x^2+1$ (toujours $> 0$, donc $g$ est définie sur $\mathbb{R}$) et $u' = 2x$ : $$\boxed{g'(x) = \frac{2x}{x^2+1}}$$ *Remarque :* le dénominateur étant positif, $g'$ a le signe de $x$ — la fonction décroît puis croît, avec un minimum en $0$.
3.
h(x)=ln⁡(x)h(x) = \ln(\sqrt{x}) sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[
**Astuce :** on simplifie **avant** de dériver, grâce à $\ln(a^n) = n\ln a$ : $$h(x) = \ln\left(x^{1/2}\right) = \frac{1}{2}\ln x$$ La dérivation devient alors immédiate : $$\boxed{h'(x) = \frac{1}{2x}}$$ *Morale :* toujours chercher à **simplifier l'expression avec les propriétés du logarithme** avant de se lancer dans un calcul de dérivée.
Exercice 12
Intermédiaire
Résoudre les équations suivantes. On commencera systématiquement par déterminer l'ensemble de définition.
1.
ln⁡(x)+ln⁡(x−1)=ln⁡(6)\ln(x) + \ln(x-1) = \ln(6)
**Domaine :** il faut $x > 0$ **et** $x - 1 > 0$, donc $x > 1$. **Équation :** on regroupe à gauche avec $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ : $$\ln\big(x(x-1)\big) = \ln 6 \iff x(x-1) = 6 \iff x^2 - x - 6 = 0$$ $\Delta = 1 + 24 = 25$ : $x = \dfrac{1 \pm 5}{2}$, soit $x = 3$ ou $x = -2$. **Retour au domaine :** $-2 \notin\, ]1\,;+\infty[$ : cette solution est **rejetée**. $$\boxed{\mathcal{S} = \{3\}}$$ *C'est exactement pour cela qu'on pose le domaine d'abord :* l'équation transformée $x^2-x-6=0$ « fabrique » une solution parasite.
2.
2ln⁡(x)=ln⁡(9)2\ln(x) = \ln(9)
**Domaine :** $x > 0$. On fait rentrer le $2$ dans le logarithme : $2\ln x = \ln(x^2)$. $$\ln(x^2) = \ln 9 \iff x^2 = 9 \iff x = 3 \ \text{ou} \ x = -3$$ **Retour au domaine :** $-3$ est rejeté. $$\boxed{\mathcal{S} = \{3\}}$$
3.
ln⁡(x2−3)=0\ln(x^2-3) = 0
**Domaine :** $x^2 - 3 > 0$, soit $x < -\sqrt{3}$ ou $x > \sqrt{3}$. **Équation :** $\ln(x^2-3) = 0 = \ln 1$, donc $x^2 - 3 = 1$, soit $x^2 = 4$ : $$x = 2 \quad \text{ou} \quad x = -2$$ **Retour au domaine :** $|2| > \sqrt{3} \approx 1{,}73$ : les **deux** solutions conviennent. $$\boxed{\mathcal{S} = \{-2\,;2\}}$$ *Ici, contrairement aux deux questions précédentes, aucune solution n'est à rejeter — le domaine n'impose pas $x > 0$.*
Exercice 13
Intermédiaire
Résoudre les inéquations suivantes. On rappelle que ln⁡\ln est strictement croissante : le sens de l'inégalité est conservé.
1.
ln⁡(x)⩾3\ln(x) \geqslant 3
**Domaine :** $x > 0$. $$\ln x \geqslant 3 = \ln(e^3) \iff x \geqslant e^3$$ $$\boxed{\mathcal{S} = [e^3\,;+\infty[} \qquad (e^3 \approx 20{,}09)$$
2.
ln⁡(2x−1)<0\ln(2x-1) < 0
**Domaine :** $2x - 1 > 0$, soit $x > \dfrac{1}{2}$. $$\ln(2x-1) < 0 = \ln 1 \iff 2x - 1 < 1 \iff x < 1$$ **Croisement avec le domaine :** $$\boxed{\mathcal{S} = \left]\frac{1}{2}\,;1\right[}$$ *La borne $\frac{1}{2}$ vient du domaine, la borne $1$ de l'inéquation : les deux sont indispensables.*
3.
ln⁡(x)+ln⁡(x+2)⩽ln⁡(3)\ln(x) + \ln(x+2) \leqslant \ln(3)
**Domaine :** $x > 0$ et $x + 2 > 0$, donc $x > 0$. **Inéquation :** $\ln\big(x(x+2)\big) \leqslant \ln 3 \iff x(x+2) \leqslant 3$, soit $$x^2 + 2x - 3 \leqslant 0 \iff (x+3)(x-1) \leqslant 0 \iff -3 \leqslant x \leqslant 1$$ **Croisement avec le domaine ($x > 0$) :** $$\boxed{\mathcal{S} = \,]0\,;1]}$$
Exercice 14
Intermédiaire
Étude de la fonction f(x)=ln⁡xxf(x) = \dfrac{\ln x}{x} sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.
1.
Déterminer les limites de ff aux bornes.
**En $0^+$ :** $\ln x \to -\infty$ et $\dfrac{1}{x} \to +\infty$, donc le produit $\ln x \times \dfrac{1}{x} \to -\infty$ (pas d'indétermination). $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$$ **En $+\infty$ :** c'est la forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$, levée par la **croissance comparée** ($x$ l'emporte sur $\ln x$) : $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0}$$ L'axe des abscisses est asymptote horizontale en $+\infty$.
2.
Calculer f′(x)f'(x) et en déduire le maximum de ff.
On dérive le quotient avec $u = \ln x$ ($u' = \frac{1}{x}$) et $v = x$ ($v' = 1$) : $$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \times x - \ln x \times 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$ Le dénominateur est positif : $f'$ a le **signe de $1 - \ln x$**, qui est positif ssi $\ln x < 1$, c'est-à-dire $x < e$. Donc $f$ croît sur $]0\,;e]$ puis décroît : elle admet un **maximum** en $x = e$ : $$\boxed{f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e} \approx 0{,}368}$$
Exercice 15
Intermédiaire
Le logarithme sert à faire « descendre » une inconnue placée en exposant.
1.
Résoudre 2x=72^x = 7.
On compose par $\ln$ (licite : les deux membres sont strictement positifs), puis on utilise $\ln(a^x) = x\ln a$ : $$\ln(2^x) = \ln 7 \iff x\ln 2 = \ln 7$$ $$\boxed{x = \frac{\ln 7}{\ln 2} \approx 2{,}807}$$ *Attention :* $\dfrac{\ln 7}{\ln 2}$ **n'est pas** $\ln\left(\frac{7}{2}\right)$ — un quotient de logarithmes ne se simplifie pas.
2.
Résoudre 3×5x=603 \times 5^x = 60.
**Étape 1 :** on isole la puissance : $5^x = \dfrac{60}{3} = 20$. **Étape 2 :** on compose par $\ln$ : $x\ln 5 = \ln 20$. $$\boxed{x = \frac{\ln 20}{\ln 5} \approx 1{,}861}$$
3.
Résoudre e2x−3ex+2=0e^{2x} - 3e^x + 2 = 0.
**Changement de variable :** on pose $X = e^x$, avec la contrainte $X > 0$. L'équation devient du second degré : $$X^2 - 3X + 2 = 0 \iff (X-1)(X-2) = 0$$ donc $X = 1$ ou $X = 2$ — toutes deux strictement positives, donc acceptables. **Retour à $x$ :** - $e^x = 1 \iff x = 0$ ; - $e^x = 2 \iff x = \ln 2$. $$\boxed{\mathcal{S} = \{0\,;\ln 2\}}$$
Exercice 16
Intermédiaire
Croissances comparées : « la puissance l'emporte sur le logarithme ».
1.
lim⁡x→+∞ln⁡xx\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}
Forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$. On se ramène à la croissance comparée de référence en posant $t = \sqrt{x}$ (donc $x = t^2$ et $\ln x = 2\ln t$) : $$\frac{\ln x}{\sqrt{x}} = \frac{2\ln t}{t} \xrightarrow[t \to +\infty]{} 2 \times 0 = 0$$ $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0}$$
2.
lim⁡x→0+xln⁡x\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln x
Forme indéterminée $0 \times (-\infty)$. C'est la **deuxième croissance comparée de référence** : $$\boxed{\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0}$$ *Intuition :* $x$ tend vers $0$ « plus vite » que $\ln x$ ne tend vers $-\infty$. Numériquement, pour $x = 0{,}001$ : $x\ln x \approx -0{,}0069$ — déjà très proche de $0$.
3.
lim⁡x→+∞(ln⁡x)2x\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{(\ln x)^2}{x}
Forme indéterminée. On écrit astucieusement, avec $t = \sqrt{x}$ : $$\frac{(\ln x)^2}{x} = \left(\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\right)^2 \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0^2 = 0$$ en utilisant la question 1. $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{x} = 0}$$ *Même une puissance du logarithme perd face à $x$ :* la hiérarchie est toujours la même.
Exercice 17
Intermédiaire
On admet la limite de référence lim⁡u→0ln⁡(1+u)u=1\lim\limits_{u \to 0} \dfrac{\ln(1+u)}{u} = 1 (c'est le nombre dérivé de ln⁡\ln en 11).
1.
lim⁡x→0ln⁡(1+3x)x\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+3x)}{x}
On fait apparaître la forme de référence en posant $u = 3x$ (qui tend vers $0$) : $$\frac{\ln(1+3x)}{x} = 3 \times \frac{\ln(1+3x)}{3x} = 3 \times \frac{\ln(1+u)}{u} \xrightarrow[x \to 0]{} 3 \times 1$$ $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+3x)}{x} = 3}$$
2.
lim⁡x→0ln⁡(1+x)2x\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{2x}
$$\frac{\ln(1+x)}{2x} = \frac{1}{2} \times \frac{\ln(1+x)}{x} \xrightarrow[x \to 0]{} \frac{1}{2} \times 1$$ $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{2x} = \frac{1}{2}}$$
3.
lim⁡x→0ln⁡(1+x2)x2\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x^2)}{x^2}
On pose $u = x^2$, qui tend vers $0$ quand $x \to 0$ : $$\frac{\ln(1+x^2)}{x^2} = \frac{\ln(1+u)}{u} \xrightarrow[u \to 0]{} 1$$ $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2)}{x^2} = 1}$$
Exercice 18
Intermédiaire
Concavité du logarithme et inégalité de référence.
1.
Montrer que ln⁡x⩽x−1\ln x \leqslant x - 1 pour tout x>0x > 0.
**Méthode par la concavité.** $\ln$ est deux fois dérivable et $(\ln x)'' = -\dfrac{1}{x^2} < 0$ : la fonction $\ln$ est **concave** sur $]0\,;+\infty[$. Une fonction concave a sa courbe **en dessous de toutes ses tangentes**. Écrivons la tangente au point d'abscisse $1$ : $$y = (\ln)'(1)\,(x - 1) + \ln 1 = 1 \times (x-1) + 0 = x - 1$$ La courbe étant sous cette tangente : $$\boxed{\ln x \leqslant x - 1 \quad \text{pour tout } x > 0}$$ avec **égalité si et seulement si $x = 1$** (le point de contact).
2.
En déduire que et⩾1+te^t \geqslant 1 + t pour tout réel tt.
Appliquons l'inégalité précédente à $x = e^t$ (qui est bien $> 0$ pour tout réel $t$) : $$\ln(e^t) \leqslant e^t - 1, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad t \leqslant e^t - 1$$ En ajoutant $1$ des deux côtés : $$\boxed{e^t \geqslant 1 + t \quad \text{pour tout } t \in \mathbb{R}}$$ *Élégant :* les deux inégalités de référence du programme sont en fait **la même**, lue de deux façons — l'une par la concavité de $\ln$, l'autre par la convexité de $\exp$.
Exercice 19
Intermédiaire
Dérivées composées faisant intervenir ln⁡\ln.
1.
f(x)=ln⁡(x2−4)f(x) = \ln(x^2-4) sur ]2 ;+∞[]2\,;+\infty[
Forme $\ln(u)$ avec $u = x^2 - 4$ et $u' = 2x$ : $$\boxed{f'(x) = \frac{2x}{x^2-4}}$$ *(Sur $]2\,;+\infty[$, $u > 0$ : la fonction est bien définie et $f' > 0$, donc $f$ y est croissante.)*
2.
g(x)=(ln⁡x)3g(x) = (\ln x)^3 sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[
Attention : ici le logarithme est **à l'intérieur** d'une puissance — c'est la forme $u^n$ avec $u = \ln x$, $u' = \dfrac{1}{x}$ et $n = 3$. $$g'(x) = 3\,u'\,u^2 = 3 \times \frac{1}{x} \times (\ln x)^2$$ $$\boxed{g'(x) = \frac{3(\ln x)^2}{x}}$$ *Ne pas confondre* $(\ln x)^3$ (le logarithme au cube) et $\ln(x^3) = 3\ln x$ (le logarithme du cube) : ce sont deux fonctions différentes !
3.
h(x)=xln⁡x−xh(x) = x\ln x - x sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[
On dérive le produit $x \times \ln x$, puis le terme $-x$ : $$h'(x) = \underbrace{1 \times \ln x + x \times \frac{1}{x}}_{\text{dérivée de } x\ln x} - 1 = \ln x + 1 - 1$$ $$\boxed{h'(x) = \ln x}$$ *Résultat remarquable :* $h$ est donc **une primitive de $\ln$** — c'est ainsi qu'on obtient $\displaystyle\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$.
Exercice 20
Intermédiaire
Le logarithme permet de calculer des temps de doublement et des demi-vies.
1.
Un capital est placé à 3 %3\,\% par an. Au bout de combien d'années aura-t-il doublé ?
Le capital est multiplié chaque année par $1{,}03$ : au bout de $n$ années il vaut $C_0 \times 1{,}03^{\,n}$. On cherche $n$ tel que $$1{,}03^{\,n} \geqslant 2$$ On compose par $\ln$ (croissante) : $n\ln(1{,}03) \geqslant \ln 2$, d'où (car $\ln(1{,}03) > 0$) $$n \geqslant \frac{\ln 2}{\ln(1{,}03)} \approx \frac{0{,}693}{0{,}0296} \approx 23{,}4$$ $$\boxed{n = 24 \text{ ans}}$$ *Remarque :* ce temps ne dépend **pas** du capital initial $C_0$, qui se simplifie.
2.
Une substance radioactive vérifie N(t)=N0 e−λtN(t) = N_0\,e^{-\lambda t}. Montrer que sa demi-vie vaut T=ln⁡2λT = \dfrac{\ln 2}{\lambda}.
La demi-vie $T$ est l'instant où il reste la moitié de la quantité initiale : $$N_0\,e^{-\lambda T} = \frac{N_0}{2} \iff e^{-\lambda T} = \frac{1}{2}$$ On compose par $\ln$ : $$-\lambda T = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2$$ $$\boxed{T = \frac{\ln 2}{\lambda}}$$ *Le $N_0$ s'est simplifié :* la demi-vie ne dépend que de $\lambda$ — c'est une **constante caractéristique** de la substance.
Exercice 21
Difficile
Étude complète de f(x)=x−ln⁡xf(x) = x - \ln x sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.
1.
Déterminer les limites aux bornes.
**En $0^+$ :** $x \to 0$ et $-\ln x \to +\infty$, donc $f(x) \to +\infty$ (somme, pas d'indétermination). **En $+\infty$ :** forme indéterminée $\infty - \infty$. On **factorise par le terme dominant** $x$ : $$f(x) = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right)$$ Par croissance comparée, $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$, donc la parenthèse tend vers $1$ et $f(x) \to +\infty$. $$\boxed{\lim_{x \to 0^+} f = +\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} f = +\infty}$$
2.
Étudier les variations de ff et déterminer son minimum.
$$f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$$ Sur $]0\,;+\infty[$ le dénominateur est positif : $f'$ a le **signe de $x - 1$**. Donc $f$ décroît sur $]0\,;1]$ puis croît sur $[1\,;+\infty[$. Elle admet un **minimum** en $x = 1$ : $$\boxed{f(1) = 1 - \ln 1 = 1}$$
3.
En déduire que ln⁡x⩽x−1\ln x \leqslant x - 1 pour tout x>0x > 0.
D'après la question 2, le minimum de $f$ vaut $1$, donc pour tout $x > 0$ : $$f(x) = x - \ln x \geqslant 1$$ En réarrangeant : $$\boxed{\ln x \leqslant x - 1}$$ avec égalité **si et seulement si $x = 1$** (le point où le minimum est atteint). *C'est la même inégalité qu'à l'exercice 18, obtenue ici par une étude de fonction plutôt que par la concavité — les deux démonstrations sont au programme.*
Exercice 22
Difficile
Étude de f(x)=ln⁡xx2f(x) = \dfrac{\ln x}{x^2} sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.
1.
Déterminer les limites aux bornes.
**En $0^+$ :** $\ln x \to -\infty$ et $\dfrac{1}{x^2} \to +\infty$ : le produit tend vers $-\infty$. **En $+\infty$ :** on écrit $\dfrac{\ln x}{x^2} = \dfrac{\ln x}{x} \times \dfrac{1}{x}$. Par croissance comparée $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$, et $\dfrac{1}{x} \to 0$ : $$\boxed{\lim_{x \to 0^+} f = -\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} f = 0}$$
2.
Calculer f′(x)f'(x) et déterminer le maximum de ff.
Quotient avec $u = \ln x$ ($u' = \frac{1}{x}$) et $v = x^2$ ($v' = 2x$) : $$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \times x^2 - \ln x \times 2x}{x^4} = \frac{x - 2x\ln x}{x^4} = \frac{1 - 2\ln x}{x^3}$$ Sur $]0\,;+\infty[$, $x^3 > 0$ : $f'$ a le signe de $1 - 2\ln x$, positif ssi $\ln x < \dfrac{1}{2}$, c'est-à-dire $x < \sqrt{e}$. Donc $f$ admet un **maximum** en $x = \sqrt{e}$ : $$\boxed{f(\sqrt{e}) = \frac{\ln\sqrt{e}}{e} = \frac{1/2}{e} = \frac{1}{2e} \approx 0{,}184}$$
Exercice 23
Difficile
Étude de f(x)=xxf(x) = x^x sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[. On utilisera l'écriture xx=exln⁡xx^x = e^{x\ln x}.
1.
Déterminer lim⁡x→0+xx\lim\limits_{x \to 0^+} x^x.
L'écriture $x^x = e^{x\ln x}$ est **la clé** : elle ramène une forme indéterminée « $0^0$ » à une croissance comparée connue. Par croissance comparée, $x\ln x \to 0$ quand $x \to 0^+$. La fonction $\exp$ étant continue : $$x^x = e^{x\ln x} \xrightarrow[x \to 0^+]{} e^{0}$$ $$\boxed{\lim_{x \to 0^+} x^x = 1}$$
2.
Calculer f′(x)f'(x).
On dérive $e^{u}$ avec $u = x\ln x$, dont la dérivée est $u' = \ln x + 1$ (cf. exercice 19) : $$f'(x) = u'\,e^{u} = (\ln x + 1)\,e^{x\ln x}$$ $$\boxed{f'(x) = (\ln x + 1)\,x^x}$$
3.
En déduire le minimum de ff.
Comme $x^x = e^{x\ln x} > 0$ toujours, $f'$ a le **signe de $\ln x + 1$** : $$\ln x + 1 > 0 \iff \ln x > -1 \iff x > e^{-1} = \frac{1}{e}$$ Donc $f$ décroît sur $\left]0\,;\frac{1}{e}\right]$ puis croît : elle admet un **minimum** en $x = \dfrac{1}{e}$ : $$\boxed{f\left(\frac{1}{e}\right) = \left(\frac{1}{e}\right)^{1/e} = e^{-1/e} \approx 0{,}692}$$
Exercice 24
Difficile
Équations et inéquations du second degré en ln⁡x\ln x (changement de variable X=ln⁡xX = \ln x).
1.
Résoudre (ln⁡x)2−3ln⁡x+2=0(\ln x)^2 - 3\ln x + 2 = 0.
**Domaine :** $x > 0$. **Changement de variable :** on pose $X = \ln x$, qui peut prendre **n'importe quelle valeur réelle** (aucune contrainte, contrairement au cas $X = e^x > 0$). $$X^2 - 3X + 2 = 0 \iff (X-1)(X-2) = 0 \iff X = 1 \ \text{ou} \ X = 2$$ **Retour à $x$ :** - $\ln x = 1 \iff x = e$ ; - $\ln x = 2 \iff x = e^2$. $$\boxed{\mathcal{S} = \{e\,;e^2\}}$$
2.
Résoudre (ln⁡x)2−3ln⁡x+2<0(\ln x)^2 - 3\ln x + 2 < 0.
Avec le même changement de variable $X = \ln x$, le trinôme $X^2 - 3X + 2$ (de coefficient dominant $1 > 0$) est **négatif entre ses racines** : $$1 < X < 2$$ **Retour à $x$ :** $1 < \ln x < 2$. La fonction $\exp$ étant strictement croissante, on compose sans changer le sens : $$e^1 < x < e^2$$ $$\boxed{\mathcal{S} = \,]e\,;e^2[}$$
3.
Résoudre (ln⁡x)2=ln⁡(x4)(\ln x)^2 = \ln(x^4).
**Domaine :** $x > 0$. On simplifie d'abord le membre de droite : $\ln(x^4) = 4\ln x$. Avec $X = \ln x$ : $$X^2 = 4X \iff X^2 - 4X = 0 \iff X(X - 4) = 0$$ (surtout **ne pas diviser par $X$** : on perdrait la solution $X = 0$ !) Donc $X = 0$ ou $X = 4$ : - $\ln x = 0 \iff x = 1$ ; - $\ln x = 4 \iff x = e^4$. $$\boxed{\mathcal{S} = \{1\,;e^4\}}$$
Exercice 25
Difficile
On admet que ln⁡x=∫1xdtt\ln x = \displaystyle\int_1^x \frac{dt}{t} pour x>0x > 0.
1.
Interpréter géométriquement ln⁡2\ln 2.
$\ln 2 = \displaystyle\int_1^2 \frac{dt}{t}$ est l'**aire** du domaine compris entre la courbe de $t \mapsto \dfrac{1}{t}$, l'axe des abscisses, et les droites $t = 1$ et $t = 2$. (La fonction $\frac{1}{t}$ étant positive sur $[1\,;2]$, l'intégrale est bien une aire.)
2.
Encadrer ln⁡2\ln 2 par la méthode des rectangles (4 subdivisions).
On découpe $[1\,;2]$ en $4$ intervalles de longueur $h = \dfrac{1}{4}$, aux bornes $1\,;1{,}25\,;1{,}5\,;1{,}75\,;2$. La fonction $t \mapsto \dfrac{1}{t}$ est **décroissante** : sur chaque sous-intervalle, elle est majorée par sa valeur à gauche et minorée par sa valeur à droite. **Minorant** (rectangles à droite) : $$\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1{,}25} + \frac{1}{1{,}5} + \frac{1}{1{,}75} + \frac{1}{2}\right) \approx 0{,}6345$$ **Majorant** (rectangles à gauche) : $$\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1} + \frac{1}{1{,}25} + \frac{1}{1{,}5} + \frac{1}{1{,}75}\right) \approx 0{,}7595$$ $$\boxed{0{,}6345 \leqslant \ln 2 \leqslant 0{,}7595}$$ *Contrôle :* $\ln 2 \approx 0{,}693$ est bien dans l'encadrement ✓ (l'encadrement se resserre si l'on augmente le nombre de subdivisions).
Exercice 26
Difficile
Étude de f(x)=xln⁡xf(x) = x\ln x sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.
1.
Limite en 0+0^+, dérivée, et minimum de ff.
**Limite :** par croissance comparée, $\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln x = 0$ (la fonction se **prolonge par continuité** en $0$ en posant $f(0) = 0$). **Dérivée :** produit de $x$ et $\ln x$ : $$f'(x) = 1 \times \ln x + x \times \frac{1}{x} = \ln x + 1$$ **Signe :** $f'(x) > 0 \iff \ln x > -1 \iff x > \dfrac{1}{e}$. Donc $f$ décroît puis croît, avec un **minimum** en $x = \dfrac{1}{e}$ : $$\boxed{f\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} \times (-1) = -\frac{1}{e} \approx -0{,}368}$$
2.
Étudier la convexité de ff.
On dérive une seconde fois : $$f''(x) = (\ln x + 1)' = \frac{1}{x}$$ Sur $]0\,;+\infty[$, $f''(x) = \dfrac{1}{x} > 0$ : la fonction $f$ est **convexe** sur tout son ensemble de définition. $$\boxed{f \text{ est convexe sur } ]0\,;+\infty[}$$ *Conséquence :* la courbe de $f$ est **au-dessus de toutes ses tangentes**, et $f''$ ne s'annulant jamais, il n'y a **aucun point d'inflexion**.
Exercice 27
Difficile
Le logarithme décimal est défini par log⁡(x)=ln⁡xln⁡10\log(x) = \dfrac{\ln x}{\ln 10}.
1.
Calculer log⁡(10)\log(10), log⁡(100)\log(100) et log⁡(1000)\log(1000).
$$\log(10) = \frac{\ln 10}{\ln 10} = \boxed{1}, \qquad \log(100) = \frac{\ln(10^2)}{\ln 10} = \frac{2\ln 10}{\ln 10} = \boxed{2}, \qquad \log(1000) = \boxed{3}$$ *Autrement dit :* $\log(10^n) = n$ — le logarithme décimal **compte les puissances de 10**. C'est pourquoi il sert aux échelles (pH, décibels, magnitude sismique).
2.
Combien de chiffres comporte 21002^{100} en écriture décimale ?
**Principe :** un entier $N$ s'écrit avec $p$ chiffres si et seulement si $10^{p-1} \leqslant N < 10^{p}$, c'est-à-dire $p - 1 \leqslant \log N < p$. Le nombre de chiffres est donc $$p = \lfloor \log N \rfloor + 1$$ **Application :** $\log\left(2^{100}\right) = 100\log 2 \approx 100 \times 0{,}30103 \approx 30{,}103$. $$p = \lfloor 30{,}103 \rfloor + 1 = 30 + 1$$ $$\boxed{2^{100} \text{ comporte } 31 \text{ chiffres}}$$ *Remarquable :* on connaît le nombre de chiffres sans jamais calculer $2^{100}$.
Exercice 28
Difficile
La fonction sigmoïde est définie sur R\mathbb{R} par f(x)=11+e−xf(x) = \dfrac{1}{1+e^{-x}}.
1.
Montrer que f′(x)=f(x)(1−f(x))f'(x) = f(x)\big(1 - f(x)\big).
On dérive $\dfrac{1}{v}$ avec $v = 1 + e^{-x}$ et $v' = -e^{-x}$ : $$f'(x) = -\frac{v'}{v^2} = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$$ Pour retrouver la forme voulue, on remarque que $$1 - f(x) = 1 - \frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$$ D'où : $$f(x)\big(1-f(x)\big) = \frac{1}{1+e^{-x}} \times \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} = f'(x)$$ $$\boxed{f' = f(1-f)}$$ *Conséquence :* comme $0 < f < 1$, on a $f' > 0$ : la sigmoïde est **strictement croissante**.
2.
Déterminer la réciproque de ff (fonction « logit »).
On résout $y = \dfrac{1}{1+e^{-x}}$ d'inconnue $x$, avec $y \in\, ]0\,;1[$ : $$1 + e^{-x} = \frac{1}{y} \iff e^{-x} = \frac{1}{y} - 1 = \frac{1-y}{y}$$ On compose par $\ln$ (le membre de droite est bien $> 0$ car $0 < y < 1$) : $$-x = \ln\left(\frac{1-y}{y}\right) \iff x = \ln\left(\frac{y}{1-y}\right)$$ $$\boxed{f^{-1}(y) = \ln\left(\frac{y}{1-y}\right)}$$
Exercice 29
Difficile
Somme harmonique : Hn=∑k=1n1k=1+12+⋯+1nH_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}.
1.
En comparant 1k\frac{1}{k} à des intégrales, montrer que ln⁡(n+1)⩽Hn⩽1+ln⁡n\ln(n+1) \leqslant H_n \leqslant 1 + \ln n.
Sur $[k\,;k+1]$, la fonction décroissante $t \mapsto \dfrac{1}{t}$ vérifie $\dfrac{1}{k+1} \leqslant \dfrac{1}{t} \leqslant \dfrac{1}{k}$. En intégrant sur cet intervalle de longueur $1$ : $$\frac{1}{k+1} \leqslant \int_k^{k+1} \frac{dt}{t} = \ln(k+1) - \ln k \leqslant \frac{1}{k}$$ **Minorant :** en sommant $\ln(k+1) - \ln k \leqslant \dfrac{1}{k}$ pour $k = 1$ à $n$, la somme de gauche se **télescope** : $$\ln(n+1) - \ln 1 = \ln(n+1) \leqslant H_n$$ **Majorant :** en sommant $\dfrac{1}{k+1} \leqslant \ln(k+1) - \ln k$ pour $k = 1$ à $n-1$, on obtient $H_n - 1 \leqslant \ln n$. $$\boxed{\ln(n+1) \leqslant H_n \leqslant 1 + \ln n}$$
2.
En déduire la limite de HnH_n.
D'après le minorant, $H_n \geqslant \ln(n+1)$, et $\ln(n+1) \to +\infty$ quand $n \to +\infty$. Par **comparaison** : $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} H_n = +\infty}$$ *Résultat contre-intuitif :* les termes $\frac{1}{k}$ tendent vers $0$, et pourtant leur somme **diverge**. Mais très lentement : d'après le majorant, il faut environ $n = e^{100}$ termes pour que $H_n$ atteigne $100$.
3.
Montrer que la suite un=Hn−ln⁡nu_n = H_n - \ln n est bornée.
L'encadrement de la question 1 donne directement, en retranchant $\ln n$ : $$\underbrace{\ln(n+1) - \ln n}_{\geqslant\, 0} \leqslant H_n - \ln n \leqslant 1$$ Donc pour tout $n \geqslant 1$ : $$\boxed{0 \leqslant u_n \leqslant 1}$$ La suite $(u_n)$ est **bornée**. *(On montre en études supérieures qu'elle converge ; sa limite est la constante d'Euler $\gamma \approx 0{,}577$.)*
Exercice 30
Difficile
La dérivée logarithmique d'une fonction ff strictement positive est f′f=(ln⁡f)′\dfrac{f'}{f} = \big(\ln f\big)'.
1.
Justifier cette égalité.
Il s'agit simplement de la dérivée de $\ln(u)$ appliquée à $u = f$ : $$\big(\ln f(x)\big)' = \frac{f'(x)}{f(x)}$$ (licite car $f > 0$, donc $\ln f$ est bien définie). **Intérêt :** le logarithme transforme les **produits en sommes**. Dériver $\ln f$ est donc bien plus simple que dériver $f$ quand $f$ est un gros produit.
2.
Soit f(x)=x2(x+1)3(x−2)4f(x) = x^2(x+1)^3(x-2)^4 sur ]2 ;+∞[]2\,;+\infty[. Calculer f′f\dfrac{f'}{f}.
**Étape 1 — on prend le logarithme** (tous les facteurs sont $> 0$ sur $]2\,;+\infty[$) : $$\ln f(x) = 2\ln x + 3\ln(x+1) + 4\ln(x-2)$$ Le produit est devenu une **somme** ! **Étape 2 — on dérive** terme à terme : $$\boxed{\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} + \frac{4}{x-2}}$$ *Comparer avec la dérivation directe :* il aurait fallu appliquer deux fois la règle du produit sur un polynôme de degré 9. Le logarithme réduit le calcul à trois dérivées immédiates.
Exercice 31
Avancé
Étude complète de f(x)=x2ln⁡xf(x) = x^2\ln x sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.
1.
Limites aux bornes et sens de variation.
**En $0^+$ :** $x^2\ln x = x \times (x\ln x) \to 0 \times 0 = 0$ (croissance comparée). **En $+\infty$ :** $x^2 \to +\infty$ et $\ln x \to +\infty$, donc $f(x) \to +\infty$. **Dérivée :** produit de $x^2$ et $\ln x$ : $$f'(x) = 2x\ln x + x^2 \times \frac{1}{x} = 2x\ln x + x = x\,(2\ln x + 1)$$ Sur $]0\,;+\infty[$, $x > 0$ : $f'$ a le **signe de $2\ln x + 1$**, positif ssi $\ln x > -\dfrac{1}{2}$, c'est-à-dire $x > e^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{e}}$.
2.
En déduire le minimum de ff.
$f$ décroît sur $\left]0\,;\frac{1}{\sqrt{e}}\right]$ puis croît : le **minimum** est atteint en $x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}$. $$f\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = \frac{1}{e} \times \ln\left(e^{-1/2}\right) = \frac{1}{e} \times \left(-\frac{1}{2}\right)$$ $$\boxed{f\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = -\frac{1}{2e} \approx -0{,}184}$$
3.
Déterminer le point d'inflexion de la courbe.
On dérive une seconde fois $f'(x) = 2x\ln x + x$ : $$f''(x) = 2\ln x + 2x \times \frac{1}{x} + 1 = 2\ln x + 3$$ $$f''(x) = 0 \iff \ln x = -\frac{3}{2} \iff x = e^{-3/2}$$ Et $f''$ **change de signe** en ce point (elle est croissante) : c'est donc bien un **point d'inflexion**. $$\boxed{\text{Point d'inflexion en } x = e^{-3/2} \approx 0{,}223}$$ *La courbe est concave avant, convexe après.*
Exercice 32
Avancé
Intégrales et logarithme : on rappelle qu'une primitive de 1x\dfrac{1}{x} sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ est ln⁡x\ln x.
1.
∫1edxx\displaystyle\int_1^e \frac{dx}{x}
$$\int_1^e \frac{dx}{x} = \Big[\ln x\Big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0$$ $$\boxed{\int_1^e \frac{dx}{x} = 1}$$ *Interprétation :* l'aire sous l'hyperbole entre $1$ et $e$ vaut **exactement 1** — c'est même une façon de **définir** le nombre $e$.
2.
∫1e2dxx\displaystyle\int_1^{e^2} \frac{dx}{x}
$$\int_1^{e^2} \frac{dx}{x} = \Big[\ln x\Big]_1^{e^2} = \ln(e^2) - 0 = \boxed{2}$$
3.
∫26dxx\displaystyle\int_2^6 \frac{dx}{x}
$$\int_2^6 \frac{dx}{x} = \Big[\ln x\Big]_2^6 = \ln 6 - \ln 2 = \ln\left(\frac{6}{2}\right)$$ $$\boxed{\int_2^6 \frac{dx}{x} = \ln 3 \approx 1{,}099}$$ *Le logarithme transforme le quotient des bornes en différence :* c'est ce qui rend ces calculs si simples.
Exercice 33
Avancé
Limites faisant intervenir des composées avec ln⁡\ln.
1.
lim⁡x→+∞x[ln⁡(x+1)−ln⁡x]\lim\limits_{x \to +\infty} x\big[\ln(x+1) - \ln x\big]
Forme indéterminée $\infty \times 0$. On **regroupe d'abord les logarithmes** : $$\ln(x+1) - \ln x = \ln\left(\frac{x+1}{x}\right) = \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$$ L'expression devient $x\ln\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)$. On pose $u = \dfrac{1}{x}$, qui tend vers $0$ : $$x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{\ln(1+u)}{u} \xrightarrow[u \to 0]{} 1$$ $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} x\big[\ln(x+1) - \ln x\big] = 1}$$
2.
lim⁡x→1ln⁡xx−1\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{x-1}
Forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$. On pose $h = x - 1$ (donc $x = 1 + h$ et $h \to 0$) : $$\frac{\ln x}{x-1} = \frac{\ln(1+h)}{h} \xrightarrow[h \to 0]{} 1$$ $$\boxed{\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = 1}$$ *Interprétation :* cette limite est exactement le **nombre dérivé de $\ln$ en $1$**, qui vaut $\dfrac{1}{1} = 1$ ✓
Exercice 34
Avancé
Étude de f(x)=x1/xf(x) = x^{1/x} sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, et comparaison de eπe^\pi et πe\pi^e.
1.
Montrer que ff admet un maximum en x=ex = e.
On écrit $f(x) = e^{\frac{\ln x}{x}}$. La fonction $\exp$ étant **strictement croissante**, $f$ varie **exactement comme** $g(x) = \dfrac{\ln x}{x}$. Or (exercice 14) $g$ admet un **maximum en $x = e$**, avec $g(e) = \dfrac{1}{e}$. Donc $f$ admet son maximum au même point : $$\boxed{f(e) = e^{1/e} \approx 1{,}444}$$
2.
En déduire que eπ>πee^{\pi} > \pi^{e}.
D'après la question 1, $g(e) > g(\pi)$ (car $\pi \neq e$ et le maximum est **strict**) : $$\frac{\ln e}{e} > \frac{\ln \pi}{\pi} \iff \frac{1}{e} > \frac{\ln \pi}{\pi}$$ On multiplie par $e\pi > 0$ : $$\pi > e\ln\pi = \ln\left(\pi^{e}\right)$$ Or $\pi = \ln(e^{\pi})$. L'inégalité devient donc $\ln(e^{\pi}) > \ln(\pi^{e})$, et par stricte croissance de $\ln$ : $$\boxed{e^{\pi} > \pi^{e}}$$ *Contrôle numérique :* $e^{\pi} \approx 23{,}14$ et $\pi^{e} \approx 22{,}46$ ✓ — un écart de 3 % seulement, qu'aucune intuition ne permettait de deviner.
Exercice 35
Avancé
Soit un=(1+1n)nu_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n pour n⩾1n \geqslant 1. On veut montrer que un⩽eu_n \leqslant e.
1.
Exprimer ln⁡(un)\ln(u_n), puis majorer cette quantité à l'aide de l'inégalité ln⁡(1+t)⩽t\ln(1+t) \leqslant t.
On prend le logarithme (licite : $u_n > 0$) : $$\ln(u_n) = \ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right) = n\,\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$$ L'inégalité $\ln x \leqslant x - 1$ (exercice 18), appliquée à $x = 1 + t$, donne $\ln(1+t) \leqslant t$. Avec $t = \dfrac{1}{n} > 0$ : $$\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \leqslant \frac{1}{n}$$ En multipliant par $n > 0$ : $$\boxed{\ln(u_n) \leqslant 1}$$
2.
En déduire que un⩽eu_n \leqslant e pour tout n⩾1n \geqslant 1.
On compose par $\exp$, qui est **strictement croissante** (le sens de l'inégalité est conservé) : $$\ln(u_n) \leqslant 1 \ \Longrightarrow \ e^{\ln(u_n)} \leqslant e^{1}$$ Or $e^{\ln(u_n)} = u_n$ : $$\boxed{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leqslant e \quad \text{pour tout } n \geqslant 1}$$ *Contrôle :* pour $n = 5$, $\left(\frac{6}{5}\right)^5 \approx 2{,}49 \leqslant e \approx 2{,}718$ ✓ ; pour $n = 100$, $u_{100} \approx 2{,}705$ — la suite s'approche de $e$ **par en dessous**.
Exercice 36
Avancé
Étude de f(x)=ln⁡xxf(x) = \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.
1.
Déterminer les limites aux bornes.
**En $0^+$ :** $\ln x \to -\infty$ et $\dfrac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$ : le produit tend vers $-\infty$ (pas d'indétermination). **En $+\infty$ :** c'est la croissance comparée de l'exercice 16 : $$\boxed{\lim_{x \to 0^+} f = -\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} f = 0}$$
2.
Calculer f′(x)f'(x) et déterminer le maximum de ff.
On écrit $f(x) = \ln x \times x^{-1/2}$ et on dérive le produit : $$f'(x) = \frac{1}{x} \times x^{-1/2} + \ln x \times \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2} = x^{-3/2}\left(1 - \frac{\ln x}{2}\right)$$ $$f'(x) = \frac{2 - \ln x}{2\,x^{3/2}}$$ Le dénominateur est positif : $f'$ a le **signe de $2 - \ln x$**, positif ssi $\ln x < 2$, c'est-à-dire $x < e^2$. $f$ croît puis décroît : elle admet un **maximum** en $x = e^2$ : $$\boxed{f(e^2) = \frac{2}{\sqrt{e^2}} = \frac{2}{e} \approx 0{,}736}$$
Exercice 37
Avancé
Étude de f(x)=ln⁡(1+ex)f(x) = \ln(1+e^x) sur R\mathbb{R} (fonction « softplus »).
1.
Justifier que ff est définie sur R\mathbb{R}, et calculer f′(x)f'(x).
Pour tout réel $x$, $e^x > 0$, donc $1 + e^x > 1 > 0$ : le logarithme est bien défini. $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier. Forme $\ln(u)$ avec $u = 1 + e^x$ et $u' = e^x$ : $$f'(x) = \frac{e^x}{1+e^x}$$ En divisant numérateur et dénominateur par $e^x$ : $$\boxed{f'(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}}$$ C'est exactement la **sigmoïde** de l'exercice 28 ! En particulier $0 < f' < 1$ : $f$ est strictement croissante.
2.
Montrer que f(x)−x→0f(x) - x \to 0 quand x→+∞x \to +\infty. Interpréter.
On factorise par $e^x$ **à l'intérieur du logarithme** (le terme dominant en $+\infty$) : $$f(x) = \ln\left(e^x\left(e^{-x} + 1\right)\right) = \underbrace{\ln(e^x)}_{= \,x} + \ln\left(1 + e^{-x}\right)$$ Donc $f(x) - x = \ln(1 + e^{-x})$. Or $e^{-x} \to 0$ quand $x \to +\infty$, donc $\ln(1+e^{-x}) \to \ln 1 = 0$ : $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \big(f(x) - x\big) = 0}$$ **Interprétation :** la droite $y = x$ est **asymptote oblique** à la courbe en $+\infty$.
3.
Déterminer lim⁡x→−∞f(x)\lim\limits_{x \to -\infty} f(x).
Quand $x \to -\infty$, $e^x \to 0$, donc $1 + e^x \to 1$ et, par continuité de $\ln$ : $$\boxed{\lim_{x \to -\infty} f(x) = \ln 1 = 0}$$ La droite $y = 0$ (l'axe des abscisses) est **asymptote horizontale** en $-\infty$. *Bilan :* la softplus vaut presque $0$ à gauche et presque $x$ à droite — c'est une version « adoucie » de la fonction $\max(0, x)$.
Exercice 38
Avancé
Dérivées successives de ln⁡\ln.
1.
Calculer les trois premières dérivées de ln⁡x\ln x sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.
$$(\ln x)' = \frac{1}{x} = x^{-1}$$ $$(\ln x)'' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$$ $$(\ln x)''' = \left(-x^{-2}\right)' = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$$ $$\boxed{\frac{1}{x}, \qquad -\frac{1}{x^2}, \qquad \frac{2}{x^3}}$$ On observe une **alternance de signe** et l'apparition de factorielles.
2.
Conjecturer l'expression de la dérivée nn-ième, puis la démontrer par récurrence.
**Conjecture :** pour tout $n \geqslant 1$, $$(\ln x)^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}\,(n-1)!}{x^n}$$ *(Contrôle : $n=1 \to \frac{1}{x}$ ✓ ; $n=2 \to \frac{-1}{x^2}$ ✓ ; $n=3 \to \frac{2}{x^3}$ ✓)* **Récurrence.** *Initialisation :* vraie au rang $1$. *Hérédité :* supposons la formule vraie au rang $n$. On dérive : $$(\ln x)^{(n+1)} = \left(\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}\right)' = (-1)^{n-1}(n-1)! \times \left(-n\,x^{-n-1}\right)$$ $$= \frac{(-1)^{n}\,n\,(n-1)!}{x^{n+1}} = \frac{(-1)^{n}\,n!}{x^{n+1}}$$ C'est bien la formule au rang $n+1$. $\square$ $$\boxed{(\ln x)^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}}$$
Exercice 39
Avancé
Étude de f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right).
1.
Déterminer l'ensemble de définition de ff.
Il faut que l'argument du logarithme soit **strictement positif** : $$\frac{x+1}{x-1} > 0$$ Le quotient est positif quand numérateur et dénominateur sont de **même signe**. Tableau de signes : le quotient est positif sur $]-\infty\,;-1[$ et sur $]1\,;+\infty[$. $$\boxed{\mathcal{D}_f = \,]-\infty\,;-1[\ \cup\ ]1\,;+\infty[}$$
2.
Calculer f′(x)f'(x) et en déduire le sens de variation de ff sur ]1 ;+∞[]1\,;+\infty[.
Forme $\ln(u)$ avec $u = \dfrac{x+1}{x-1}$. On dérive d'abord $u$ (quotient) : $$u'(x) = \frac{1 \times (x-1) - (x+1) \times 1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$$ Puis $f' = \dfrac{u'}{u}$ : $$f'(x) = \frac{-2}{(x-1)^2} \times \frac{x-1}{x+1} = \frac{-2}{(x-1)(x+1)}$$ $$\boxed{f'(x) = \frac{-2}{x^2-1}}$$ Sur $]1\,;+\infty[$, $x^2 - 1 > 0$, donc $f'(x) < 0$ : $f$ est **strictement décroissante**.
3.
Montrer que ff est impaire.
L'ensemble de définition est **symétrique** par rapport à $0$ ✓ (c'est $]-\infty;-1[\,\cup\,]1;+\infty[$). Pour $x \in \mathcal{D}_f$ : $$f(-x) = \ln\left(\frac{-x+1}{-x-1}\right) = \ln\left(\frac{-(x-1)}{-(x+1)}\right) = \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$$ Or $\dfrac{x-1}{x+1}$ est l'**inverse** de $\dfrac{x+1}{x-1}$, et $\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln a$ : $$f(-x) = -\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = -f(x)$$ $$\boxed{f \text{ est impaire}}$$ Sa courbe est donc **symétrique par rapport à l'origine** — il suffit de l'étudier sur $]1\,;+\infty[$.
Exercice 40
Avancé
Une somme télescopique : on pose Sn=∑k=1nln⁡(1+1k)S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right).
1.
Montrer que ln⁡(1+1k)=ln⁡(k+1)−ln⁡(k)\ln\left(1+\dfrac{1}{k}\right) = \ln(k+1) - \ln(k).
On écrit l'argument sous forme de quotient : $$1 + \frac{1}{k} = \frac{k+1}{k}$$ Puis on applique $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$ : $$\boxed{\ln\left(1+\frac{1}{k}\right) = \ln(k+1) - \ln k}$$ *C'est la clé de l'exercice :* chaque terme de la somme est une **différence de deux termes consécutifs**.
2.
En déduire une expression simple de SnS_n.
La somme se **télescope** : chaque terme s'annule avec le suivant. $$S_n = \sum_{k=1}^{n}\big(\ln(k+1) - \ln k\big)$$ $$= \big(\cancel{\ln 2} - \ln 1\big) + \big(\cancel{\ln 3} - \cancel{\ln 2}\big) + \cdots + \big(\ln(n+1) - \cancel{\ln n}\big)$$ Il ne reste que le **dernier** terme positif et le **premier** terme négatif : $$S_n = \ln(n+1) - \ln 1$$ $$\boxed{S_n = \ln(n+1)}$$ *Vérification pour $n = 3$ :* $\ln 2 + \ln\frac{3}{2} + \ln\frac{4}{3} = \ln\left(2 \times \frac{3}{2} \times \frac{4}{3}\right) = \ln 4 = \ln(3+1)$ ✓
3.
En déduire la limite de SnS_n.
$$S_n = \ln(n+1) \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$$ $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} S_n = +\infty}$$ *La suite $(S_n)$ **diverge**, mais très lentement :* il faut $n \approx e^{10} \approx 22\,000$ termes pour que $S_n$ atteigne seulement $10$.
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Étude de la fonction ln(x)/x
Intermédiaire
On considère la fonction ff définie sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ par f(x)=ln⁡xxf(x) = \dfrac{\ln x}{x}, de courbe représentative C\mathcal{C}.

Partie A — Étude de la fonction

1.
Montrer que, pour tout x>0x > 0, f′(x)=1−ln⁡xx2f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}.
On dérive le quotient $\dfrac{u}{v}$ avec $u = \ln x$ ($u' = \frac{1}{x}$) et $v = x$ ($v' = 1$) : $$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \times x - \ln x \times 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$
2.
Étudier le signe de f′(x)f'(x) et dresser le tableau de variations de ff.
Le dénominateur $x^2$ est strictement positif : $f'(x)$ a le signe de $1 - \ln x$. $1 - \ln x > 0 \iff \ln x < 1 \iff x < e$. Donc $f$ est **croissante** sur $]0\,;e]$ et **décroissante** sur $[e\,;+\infty[$. Elle admet un **maximum** en $x = e$ : $$f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}$$
3.
Déterminer les limites de ff en 0+0^+ et en +∞+\infty.
**En $0^+$ :** $\ln x \to -\infty$ et $\dfrac{1}{x} \to +\infty$, donc $f(x) = \ln x \times \dfrac{1}{x} \to -\infty$. **En $+\infty$ :** par **croissance comparée**, $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$. L'axe des abscisses est donc asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ en $+\infty$.

Partie B — Nombre de solutions de f(x) = k

4.
Résoudre l'équation f(x)=0f(x) = 0.
$f(x) = 0 \iff \dfrac{\ln x}{x} = 0 \iff \ln x = 0$ (car $x \neq 0$), soit $x = 1$. $$\boxed{\mathcal{S} = \{1\}}$$
5.
Discuter, selon les valeurs du réel kk, le nombre de solutions de l'équation f(x)=kf(x) = k.
D'après le tableau de variations : $f$ croît de $-\infty$ à $\dfrac{1}{e}$ sur $]0\,;e]$, puis décroît de $\dfrac{1}{e}$ vers $0$ (sans l'atteindre) sur $[e\,;+\infty[$. - Si $k > \dfrac{1}{e}$ : **aucune** solution. - Si $k = \dfrac{1}{e}$ : **une** solution ($x = e$). - Si $0 < k < \dfrac{1}{e}$ : **deux** solutions (une dans $]1\,;e[$, une dans $]e\,;+\infty[$). - Si $k \leqslant 0$ : **une** solution (dans $]0\,;1]$).
Problème 2 — Équations et inéquations logarithmiques
Facile
Cet exercice regroupe les techniques de résolution faisant intervenir la fonction logarithme népérien. On veillera à chaque fois à préciser l'ensemble de définition.

Partie A — Équations

1.
Résoudre ln⁡x=3\ln x = 3.
La fonction $\ln$ est une bijection de $]0\,;+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ : $\ln x = 3 \iff x = e^3$. $$\boxed{\mathcal{S} = \{e^3\}} \qquad (e^3 \approx 20{,}09)$$
2.
Résoudre ln⁡(2x−1)=0\ln(2x - 1) = 0.
**Domaine :** il faut $2x - 1 > 0$, soit $x > \dfrac{1}{2}$. $\ln(2x-1) = 0 \iff 2x - 1 = e^0 = 1 \iff x = 1$, qui appartient bien au domaine. $$\boxed{\mathcal{S} = \{1\}}$$
3.
Résoudre (ln⁡x)2−3ln⁡x+2=0(\ln x)^2 - 3\ln x + 2 = 0.
On pose $X = \ln x$ : l'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$, soit $(X-1)(X-2) = 0$, donc $X = 1$ ou $X = 2$. - $\ln x = 1 \iff x = e$ ; - $\ln x = 2 \iff x = e^2$. $$\boxed{\mathcal{S} = \{e\,;e^2\}}$$

Partie B — Inéquation

4.
Résoudre ln⁡x<2\ln x < 2.
**Domaine :** $x > 0$. La fonction $\ln$ étant **strictement croissante** : $$\ln x < 2 = \ln(e^2) \iff x < e^2$$ En tenant compte du domaine : $$\boxed{\mathcal{S} = \,]0\,;e^2[}$$
Problème 3 — Datation au carbone 14
Difficile
La quantité de carbone 14 présente dans un échantillon décroît selon N(t)=N0 e−λtN(t) = N_0\,e^{-\lambda t}, où N0N_0 est la quantité initiale, tt le temps en années et λ>0\lambda > 0 une constante. La demi-vie du carbone 14 (durée au bout de laquelle la moitié s'est désintégrée) est de 57305730 ans.

Partie A — La constante de désintégration

1.
Montrer que λ=ln⁡25730\lambda = \dfrac{\ln 2}{5730}.
Par définition de la demi-vie, $N(5730) = \dfrac{N_0}{2}$, soit : $$N_0\,e^{-5730\lambda} = \frac{N_0}{2} \iff e^{-5730\lambda} = \frac{1}{2}$$ En composant par $\ln$ : $-5730\lambda = \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln 2$, d'où $$\boxed{\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1{,}21 \times 10^{-4}}$$

Partie B — Dater un échantillon

2.
Un ossement contient 30 %30\,\% du carbone 14 initial. Déterminer son âge (arrondi à l'année).
On résout $e^{-\lambda t} = 0{,}30$, soit $-\lambda t = \ln(0{,}30)$, donc : $$t = -\frac{\ln(0{,}30)}{\lambda} = \frac{5730 \times \ln\left(\frac{10}{3}\right)}{\ln 2}$$ Numériquement : $t \approx \dfrac{5730 \times 1{,}2040}{0{,}6931} \approx \boxed{9952 \text{ ans}}$.
3.
Au bout de combien de temps ne reste-t-il plus que 10 %10\,\% du carbone 14 initial ?
On résout $e^{-\lambda t} = 0{,}10$ : $$t = \frac{\ln(10)}{\lambda} = \frac{5730 \times \ln 10}{\ln 2} \approx \frac{5730 \times 2{,}3026}{0{,}6931} \approx \boxed{19\,035 \text{ ans}}$$ C'est environ $3{,}3$ demi-vies, ce qui est cohérent : $\left(\frac{1}{2}\right)^{3{,}3} \approx 0{,}10$.
Problème 4 — Une inégalité fondamentale : ln(x) ≤ x − 1
Avancé
On considère la fonction gg définie sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ par g(x)=x−1−ln⁡xg(x) = x - 1 - \ln x. Cette étude conduit à une inégalité utilisée dans toute l'analyse.

Partie A — L'inégalité

1.
Calculer g′(x)g'(x) et étudier son signe.
$g'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 1}{x}$. Sur $]0\,;+\infty[$, le dénominateur est positif : $g'(x)$ a le signe de $x - 1$. Donc $g' < 0$ sur $]0\,;1[$ et $g' > 0$ sur $]1\,;+\infty[$.
2.
En déduire que, pour tout x>0x > 0, ln⁡x⩽x−1\ln x \leqslant x - 1, avec égalité si et seulement si x=1x = 1.
$g$ décroît sur $]0\,;1]$ puis croît sur $[1\,;+\infty[$ : elle atteint son **minimum** en $x = 1$, et $$g(1) = 1 - 1 - \ln 1 = 0$$ Donc $g(x) \geqslant 0$ pour tout $x > 0$, c'est-à-dire $x - 1 - \ln x \geqslant 0$, soit : $$\boxed{\ln x \leqslant x - 1}$$ L'égalité n'a lieu qu'au minimum, c'est-à-dire **si et seulement si $x = 1$**.

Partie B — Une application

3.
En déduire que, pour tout entier n⩾1n \geqslant 1, ln⁡(1+1n)⩽1n\ln\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) \leqslant \dfrac{1}{n}.
On applique l'inégalité $\ln x \leqslant x - 1$ à $x = 1 + \dfrac{1}{n}$ (qui est bien $> 0$) : $$\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \leqslant \left(1 + \frac{1}{n}\right) - 1 = \frac{1}{n}$$
4.
En déduire que, pour tout entier n⩾1n \geqslant 1, (1+1n)n⩽e\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n \leqslant e.
En multipliant l'inégalité précédente par $n > 0$ : $$n\,\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \leqslant 1, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad \ln\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right) \leqslant 1$$ La fonction $\exp$ étant croissante, on compose par $\exp$ : $$\boxed{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leqslant e}$$ *Illustration :* pour $n = 5$, $\left(\frac{6}{5}\right)^5 \approx 2{,}49 \leqslant e \approx 2{,}718$ ✓