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I Analyse · Chapitre 03 / 17

Limites de fonctions

Limites, asymptotes, croissances comparées.

16 min de lecture
7 sections, 14 exemples
40 exercices · 4 problèmes

Conforme au programme officiel 2025-2026 · mis à jour le · notre méthode de vérification

L'essentiel en 30 secondes

La limite décrit le comportement de f(x) quand x tend vers un réel ou vers l'infini. Une limite finie en l'infini se traduit par une asymptote horizontale, une limite infinie en un réel par une asymptote verticale. Les croissances comparées tranchent les formes indéterminées : eˣ l'emporte sur toute puissance de x, qui l'emporte elle-même sur ln x.

1 I. Limites d'une fonction en l'infini

Limite finie en +∞+\infty ou −∞-\infty

Interprétation graphique : la courbe de ff se rapproche de plus en plus de la droite d'équation y=ℓy = \ell lorsque xx tend vers +∞+\infty. Cette droite est appelée asymptote horizontale à la courbe de ff en +∞+\infty.

Limite infinie en +∞+\infty ou −∞-\infty

Interprétation : les valeurs de f(x)f(x) deviennent aussi grandes que l'on veut lorsque xx est suffisamment grand.

Limites des fonctions de référence en l'infini

FonctionLimite en +∞+\inftyLimite en −∞-\infty
x↦xnx \mapsto x^n (n⩾1n \geqslant 1 pair)+∞+\infty+∞+\infty
x↦xnx \mapsto x^n (n⩾1n \geqslant 1 impair)+∞+\infty−∞-\infty
x↦1xx \mapsto \dfrac{1}{x}0000
x↦1xnx \mapsto \dfrac{1}{x^n} (n⩾1n \geqslant 1)0000
x↦xx \mapsto \sqrt{x}+∞+\infty—
x↦exx \mapsto e^x+∞+\infty00

2 II. Limites d'une fonction en un réel

Limite finie en un réel

Limite infinie en un réel — Asymptote verticale

Limites à gauche et à droite

FonctionLimite à gauche en 00Limite à droite en 00
x↦1xx \mapsto \dfrac{1}{x}−∞-\infty+∞+\infty
x↦1x2x \mapsto \dfrac{1}{x^2}+∞+\infty+∞+\infty

3 III. Opérations sur les limites

Limite d'une somme

Les règles suivantes permettent de calculer la limite d'une combinaison de fonctions dont on connaît les limites. Ces résultats sont admis.

lim⁡f\lim fℓ\ellℓ\ellℓ\ell+∞+\infty−∞-\infty+∞+\infty
lim⁡g\lim gℓ′\ell'+∞+\infty−∞-\infty+∞+\infty−∞-\infty−∞-\infty
lim⁡(f+g)\lim(f+g)ℓ+ℓ′\ell+\ell'+∞+\infty−∞-\infty+∞+\infty−∞-\inftyFI

Limite d'un produit

lim⁡f\lim fℓ\ellℓ>0\ell > 0ℓ<0\ell < 0+∞+\infty00
lim⁡g\lim gℓ′\ell'±∞\pm\infty±∞\pm\infty+∞+\infty±∞\pm\infty
lim⁡(f×g)\lim(f \times g)ℓ×ℓ′\ell \times \ell'±∞\pm\infty∓∞\mp\infty+∞+\inftyFI

Limite d'un quotient

lim⁡f\lim fℓ\ellℓ≠0\ell \neq 0±∞\pm\infty00±∞\pm\infty
lim⁡g\lim gℓ′≠0\ell' \neq 000ℓ′≠0\ell' \neq 000±∞\pm\infty
lim⁡fg\lim \frac{f}{g}ℓℓ′\frac{\ell}{\ell'}±∞\pm\infty±∞\pm\inftyFIFI

Les formes indéterminées

Schema de decision — Calculer une limite
Regles directes applicables ?
Oui
Calculer
operations + ref.
Non (FI)
Type de FI ?
∞∞\dfrac{\infty}{\infty}
terme dominant
+∞−∞+\infty - \infty
factoriser
+∞−∞+\infty - \infty + x\sqrt{\phantom{x}}
conjuguee
00\dfrac{0}{0}
factoriser (x-a)
00\dfrac{0}{0} + x\sqrt{\phantom{x}}
conjuguee
0×∞0 \times \infty
reecrire en frac.

4 IV. Limites et comparaison

Théorème de comparaison

Lorsque les opérations sur les limites ne suffisent pas, on peut utiliser des théorèmes de comparaison.

Théorème des gendarmes

5 V. Croissances comparées

L'exponentielle l'emporte sur les puissances

En cas de forme indéterminée entre la fonction exponentielle et une fonction puissance, les résultats de croissances comparées permettent de conclure. L'idée fondamentale est que la fonction exponentielle l'emporte sur toute fonction puissance en +∞+\infty.

Démonstration (au programme)
Cas n=1n = 1 : Montrons que lim⁡x→+∞exx=+∞\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty.

Pour tout x⩾0x \geqslant 0, on utilise l'inégalité ex⩾1+x+x22e^x \geqslant 1 + x + \frac{x^2}{2} (admise, conséquence de la convexité de l'exponentielle).

Donc pour x>0x > 0 :
exx⩾1+x+x22x=1x+1+x2\frac{e^x}{x} \geqslant \frac{1 + x + \frac{x^2}{2}}{x} = \frac{1}{x} + 1 + \frac{x}{2}
Or lim⁡x→+∞(1x+1+x2)=+∞\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{x} + 1 + \frac{x}{2}\right) = +\infty.

Par comparaison : lim⁡x→+∞exx=+∞\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty.

Cas général n⩾2n \geqslant 2 : On écrit exxn=(ex/nx)n\frac{e^x}{x^n} = \left(\frac{e^{x/n}}{x}\right)^n.

En effet, ex=(ex/n)ne^x = \left(e^{x/n}\right)^n. De plus, pour x>0x > 0, ex/nx=1n⋅ex/nx/n\frac{e^{x/n}}{x} = \frac{1}{n} \cdot \frac{e^{x/n}}{x/n}.

En posant t=xnt = \frac{x}{n}, quand x→+∞x \to +\infty, on a t→+∞t \to +\infty et d'après le cas n=1n = 1 : ett→+∞\frac{e^t}{t} \to +\infty.

Donc ex/nx→+∞\frac{e^{x/n}}{x} \to +\infty et (ex/nx)n→+∞\left(\frac{e^{x/n}}{x}\right)^n \to +\infty.

Ainsi : lim⁡x→+∞exxn=+∞\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty. □\square

6 VI. Limite d'une fonction composée

Composition de limites

7 VII. Asymptotes — Récapitulatif

Asymptotes parallèles aux axes

Ce chapitre est tombé au bac

1 sujet officiel de bac comporte un exercice sur ce chapitre — chaque corrigé est détaillé question par question.

2024 Amérique du Nord · Jour 1

Questions fréquentes

Comment lever une forme indéterminée ?
Il n'existe pas de règle unique : on transforme l'expression jusqu'à faire disparaître l'indétermination. Pour un quotient de polynômes, on factorise par le terme de plus haut degré ; pour ∞−∞\infty - \infty, on factorise ou on multiplie par l'expression conjuguée ; quand une exponentielle ou un logarithme apparaît, on invoque les croissances comparées.
Qu'est-ce qu'une croissance comparée ?
C'est la hiérarchie entre les vitesses de divergence : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, et toute puissance l'emporte sur le logarithme. Concrètement, exxn→+∞\dfrac{e^x}{x^n} \to +\infty et ln⁡xx→0\dfrac{\ln x}{x} \to 0 quand x→+∞x \to +\infty. C'est l'outil qui lève la plupart des indéterminations du chapitre.
Comment trouver les asymptotes d'une courbe ?
Une asymptote verticale d'équation x=ax = a apparaît quand la fonction tend vers l'infini en aa. Une asymptote horizontale y=ℓy = \ell apparaît quand la fonction tend vers un réel ℓ\ell en ±∞\pm\infty. Une asymptote oblique y=ax+by = ax + b existe si f(x)−(ax+b)f(x) - (ax+b) tend vers 00 à l'infini.

Limites en l'infini

FonctionLimite en +∞+\inftyLimite en −∞-\infty
xnx^n (nn pair)+∞+\infty+∞+\infty
xnx^n (nn impair)+∞+\infty−∞-\infty
1/x1/x, 1/xn1/x^n0000
x\sqrt{x}+∞+\infty—
exe^x+∞+\infty00

Limites en un réel

Opérations sur les limites

Théorèmes de comparaison

Croissances comparées

Composition de limites

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Déterminer les limites suivantes :

a) lim⁡x→+∞x3\lim_{x \to +\infty} x^3

b) lim⁡x→−∞x4\lim_{x \to -\infty} x^4

c) lim⁡x→+∞1x2\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^2}

d) lim⁡x→−∞x\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x}
Correction détaillée
**a)** $\lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$ (puissance impaire, $x \to +\infty$). **b)** $\lim_{x \to -\infty} x^4 = +\infty$ (puissance paire). **c)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} = 0$ (limite de référence). **d)** $\sqrt{x}$ n'est pas définie sur $]-\infty\,;0[$, donc cette limite **n'existe pas** (la fonction n'est pas définie au voisinage de $-\infty$).
Exercice 2
Facile
Déterminer les limites suivantes :

a) lim⁡x→+∞ex\lim_{x \to +\infty} e^x

b) lim⁡x→−∞ex\lim_{x \to -\infty} e^x

c) lim⁡x→+∞e−x\lim_{x \to +\infty} e^{-x}

d) lim⁡x→−∞e−x\lim_{x \to -\infty} e^{-x}
Correction détaillée
**a)** $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ (limite de référence). **b)** $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ (limite de référence). **c)** $\lim_{x \to +\infty} e^{-x}$. On pose $X = -x \to -\infty$. Donc $e^{-x} = e^X \to 0$. $\boxed{\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0}$ **d)** $\lim_{x \to -\infty} e^{-x}$. On pose $X = -x \to +\infty$. Donc $e^{-x} = e^X \to +\infty$. $\boxed{\lim_{x \to -\infty} e^{-x} = +\infty}$
Exercice 3
Facile
Déterminer les limites suivantes à l'aide des opérations sur les limites :

a) lim⁡x→+∞(3x2+5x−1)\lim_{x \to +\infty} (3x^2 + 5x - 1)

b) lim⁡x→−∞(−2x3+x)\lim_{x \to -\infty} (-2x^3 + x)

c) lim⁡x→+∞(x2−7x)\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 7x)
Correction détaillée
**a)** $\lim_{x \to +\infty} 3x^2 = +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} 5x = +\infty$. Par somme : $\boxed{\lim_{x \to +\infty} (3x^2 + 5x - 1) = +\infty}$. **b)** $\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$, donc $\lim_{x \to -\infty} (-2x^3) = +\infty$. Et $\lim_{x \to -\infty} x = -\infty$. Forme $+\infty - \infty$ : on factorise par $x^3$ : $-2x^3 + x = x^3(-2 + \frac{1}{x^2})$. Or $\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} (-2 + \frac{1}{x^2}) = -2 < 0$. Par produit : $\boxed{\lim_{x \to -\infty} (-2x^3 + x) = +\infty}$. **c)** $\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} (-7x) = -\infty$. Forme $+\infty - \infty$. On factorise : $x^2 - 7x = x(x - 7)$. Or $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} (x - 7) = +\infty$. Par produit : $\boxed{\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 7x) = +\infty}$.
Exercice 4
Facile
Déterminer les limites latérales de f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x} en 00, puis conclure.
Correction détaillée
- $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ (numérateur $\to 1 > 0$, dénominateur $\to 0^+$). - $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ (numérateur $\to 1 > 0$, dénominateur $\to 0^-$). Les limites à gauche et à droite sont différentes, donc $f$ **n'admet pas de limite en $0$**. La droite $x = 0$ est asymptote verticale à la courbe.
Exercice 5
Facile
Déterminer les limites latérales de f(x)=3(x−2)2f(x) = \dfrac{3}{(x-2)^2} en 22.
Correction détaillée
Lorsque $x \to 2$ (par la droite ou par la gauche), $(x-2)^2 \to 0^+$ (un carré est toujours positif). Donc $\frac{3}{(x-2)^2} \to +\infty$ des deux côtés. $\boxed{\lim_{x \to 2} \frac{3}{(x-2)^2} = +\infty}$ La droite $x = 2$ est asymptote verticale.
Exercice 6
Facile
Déterminer lim⁡x→+∞5x−32x+1\lim_{x \to +\infty} \dfrac{5x - 3}{2x + 1}.
Correction détaillée
Forme $\frac{\infty}{\infty}$. On factorise par $x$ : $$\frac{5x - 3}{2x + 1} = \frac{x(5 - \frac{3}{x})}{x(2 + \frac{1}{x})} = \frac{5 - \frac{3}{x}}{2 + \frac{1}{x}}$$ Or $\lim_{x \to +\infty} \frac{3}{x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$. $\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{5x-3}{2x+1} = \frac{5}{2}}$ La droite $y = \frac{5}{2}$ est asymptote horizontale en $+\infty$.
Exercice 7
Facile
Déterminer lim⁡x→+∞x2+13x+2\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 + 1}{3x + 2}.
Correction détaillée
Forme $\frac{\infty}{\infty}$. On factorise par le terme de plus haut degré. Au numérateur, degré 2 ; au dénominateur, degré 1. On factorise par $x$ : $$\frac{x^2 + 1}{3x + 2} = \frac{x(x + \frac{1}{x})}{x(3 + \frac{2}{x})} = \frac{x + \frac{1}{x}}{3 + \frac{2}{x}}$$ Or $\lim_{x \to +\infty} (x + \frac{1}{x}) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} (3 + \frac{2}{x}) = 3$. Par quotient : $\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+1}{3x+2} = +\infty}$.
Exercice 8
Facile
Déterminer lim⁡x→+∞4x−1x3+x\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x - 1}{x^3 + x}.
Correction détaillée
Forme $\frac{\infty}{\infty}$. On factorise par $x$ : $$\frac{4x - 1}{x^3 + x} = \frac{x(4 - \frac{1}{x})}{x(x^2 + 1)} = \frac{4 - \frac{1}{x}}{x^2 + 1}$$ Or $\lim_{x \to +\infty} (4 - \frac{1}{x}) = 4$ et $\lim_{x \to +\infty} (x^2 + 1) = +\infty$. Par quotient : $\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{4x-1}{x^3+x} = 0}$. La droite $y = 0$ est asymptote horizontale.
Exercice 9
Facile
Déterminer les limites latérales de f(x)=x+1x−4f(x) = \dfrac{x+1}{x-4} en 44, puis les limites en ±∞\pm\infty.
Correction détaillée
**Limites latérales en $4$ :** Le numérateur tend vers $4 + 1 = 5 > 0$. - Quand $x \to 4^+$ : $x - 4 \to 0^+$, donc $\frac{x+1}{x-4} \to \frac{5}{0^+} = +\infty$. - Quand $x \to 4^-$ : $x - 4 \to 0^-$, donc $\frac{x+1}{x-4} \to \frac{5}{0^-} = -\infty$. La droite $x = 4$ est asymptote verticale. **Limites en $\pm\infty$ :** $\frac{x+1}{x-4} = \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{4}{x}} \to \frac{1}{1} = 1$. $\boxed{\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1}$. La droite $y = 1$ est asymptote horizontale.
Exercice 10
Facile
Déterminer lim⁡x→+∞(2ex+3x)\lim_{x \to +\infty} (2e^x + 3x).
Correction détaillée
$\lim_{x \to +\infty} 2e^x = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} 3x = +\infty$. Par somme : $\boxed{\lim_{x \to +\infty} (2e^x + 3x) = +\infty}$.
Exercice 11
Facile
Déterminer lim⁡x→−∞(ex−x2+3)\lim_{x \to -\infty} (e^x - x^2 + 3).
Correction détaillée
$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$, $\lim_{x \to -\infty} (-x^2) = -\infty$ (car $x^2 \to +\infty$). Par somme : $0 + (-\infty) + 3 = -\infty$. $\boxed{\lim_{x \to -\infty} (e^x - x^2 + 3) = -\infty}$.
Exercice 12
Facile
Déterminer lim⁡x→+∞x2e−x\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x} à l'aide des croissances comparées.
Correction détaillée
On écrit $x^2 e^{-x} = \frac{x^2}{e^x}$. Par croissance comparée ($n = 2$) : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2} = +\infty$. Donc $\frac{x^2}{e^x} = \frac{1}{e^x / x^2} \to \frac{1}{+\infty} = 0$. $\boxed{\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x} = 0}$.
Exercice 13
Facile
Déterminer lim⁡x→−∞x3ex\lim_{x \to -\infty} x^3 e^x.
Correction détaillée
On pose $X = -x$. Quand $x \to -\infty$, $X \to +\infty$. $x^3 e^x = (-X)^3 e^{-X} = -X^3 e^{-X} = -\frac{X^3}{e^X}$. Par croissance comparée ($n = 3$) : $\frac{X^3}{e^X} \to 0$. Donc $-\frac{X^3}{e^X} \to 0$. $\boxed{\lim_{x \to -\infty} x^3 e^x = 0}$.
Exercice 14
Facile
Déterminer lim⁡x→+∞e2x−1\lim_{x \to +\infty} e^{2x-1} par composition.
Correction détaillée
On pose $u(x) = 2x - 1$. Or $\lim_{x \to +\infty} (2x - 1) = +\infty$. Et $\lim_{t \to +\infty} e^t = +\infty$. Par composition : $\boxed{\lim_{x \to +\infty} e^{2x-1} = +\infty}$.
Exercice 15
Facile
Déterminer les asymptotes de f(x)=2x+3+1f(x) = \dfrac{2}{x+3} + 1.
Correction détaillée
**Asymptote verticale :** $f$ n'est pas définie en $x = -3$. $\lim_{x \to -3^+} \frac{2}{x+3} = +\infty$, donc $\lim_{x \to -3^+} f(x) = +\infty$. La droite $x = -3$ est asymptote verticale. **Asymptote horizontale :** $\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x+3} = 0$, donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$. De même en $-\infty$. La droite $y = 1$ est asymptote horizontale.
Exercice 16
Intermédiaire
Déterminer lim⁡x→+∞2x3−x+5−4x3+3x2\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^3 - x + 5}{-4x^3 + 3x^2}.
Correction détaillée
Forme $\frac{\infty}{\infty}$. On factorise par $x^3$ : $$\frac{2x^3 - x + 5}{-4x^3 + 3x^2} = \frac{x^3(2 - \frac{1}{x^2} + \frac{5}{x^3})}{x^3(-4 + \frac{3}{x})} = \frac{2 - \frac{1}{x^2} + \frac{5}{x^3}}{-4 + \frac{3}{x}}$$ Quand $x \to +\infty$ : numérateur $\to 2$, dénominateur $\to -4$. $\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 - x + 5}{-4x^3 + 3x^2} = -\frac{1}{2}}$
Exercice 17
Intermédiaire
Déterminer lim⁡x→+∞(x2+3x−x)\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 3x} - x\right).
Correction détaillée
Forme $+\infty - \infty$. On multiplie par la quantité conjuguée : $$\sqrt{x^2+3x} - x = \frac{(x^2+3x) - x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x} = \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}$$ Pour $x > 0$ : $\sqrt{x^2+3x} = x\sqrt{1+\frac{3}{x}}$, donc : $$\frac{3x}{x\sqrt{1+\frac{3}{x}}+x} = \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1} \xrightarrow[x \to +\infty]{} \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2}$$ $\boxed{\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+3x} - x) = \frac{3}{2}}$
Exercice 18
Intermédiaire
Déterminer lim⁡x→1x2−1x2−3x+2\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}.
Correction détaillée
Forme $\frac{0}{0}$ (car $1^2 - 1 = 0$ et $1 - 3 + 2 = 0$). On factorise : - $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ - $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$ Donc pour $x \neq 1$ : $$\frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x+1}{x-2}$$ $\lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x-2} = \frac{2}{-1} = -2$. $\boxed{\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x^2-3x+2} = -2}$
Exercice 19
Intermédiaire
Déterminer lim⁡x→+∞(x−x2−4x+1)\lim_{x \to +\infty} \left(x - \sqrt{x^2 - 4x + 1}\right).
Correction détaillée
Forme $+\infty - \infty$. On utilise la quantité conjuguée : $$x - \sqrt{x^2-4x+1} = \frac{x^2 - (x^2-4x+1)}{x + \sqrt{x^2-4x+1}} = \frac{4x-1}{x+\sqrt{x^2-4x+1}}$$ Pour $x > 0$ : $\sqrt{x^2-4x+1} = x\sqrt{1 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}$, donc : $$\frac{4x-1}{x + x\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}} = \frac{4 - \frac{1}{x}}{1 + \sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}} \to \frac{4}{2} = 2$$ $\boxed{\lim_{x \to +\infty} (x - \sqrt{x^2-4x+1}) = 2}$
Exercice 20
Intermédiaire
Déterminer les limites latérales de f(x)=x2+3(x−1)(x+2)f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{(x-1)(x+2)} en 11 et en −2-2.
Correction détaillée
**En $x = 1$ :** Le numérateur tend vers $1 + 3 = 4 > 0$. - $x \to 1^+$ : $(x-1) \to 0^+$ et $(x+2) \to 3 > 0$, donc $(x-1)(x+2) \to 0^+$. Ainsi $f(x) \to +\infty$. - $x \to 1^-$ : $(x-1) \to 0^-$ et $(x+2) \to 3 > 0$, donc $(x-1)(x+2) \to 0^-$. Ainsi $f(x) \to -\infty$. **En $x = -2$ :** Le numérateur tend vers $4 + 3 = 7 > 0$. - $x \to -2^+$ : $(x-1) \to -3 < 0$ et $(x+2) \to 0^+$, donc $(x-1)(x+2) \to 0^-$. Ainsi $f(x) \to -\infty$. - $x \to -2^-$ : $(x-1) \to -3 < 0$ et $(x+2) \to 0^-$, donc $(x-1)(x+2) \to 0^+$. Ainsi $f(x) \to +\infty$. Les droites $x = 1$ et $x = -2$ sont asymptotes verticales.
Exercice 21
Intermédiaire
Montrer que lim⁡x→+∞cos⁡(x)x2=0\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\cos(x)}{x^2} = 0.
Correction détaillée
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $-1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1$. Pour $x > 0$ (en divisant par $x^2 > 0$) : $$-\frac{1}{x^2} \leqslant \frac{\cos(x)}{x^2} \leqslant \frac{1}{x^2}$$ Or $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{1}{x^2}\right) = 0$. Par le théorème des gendarmes : $\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{\cos(x)}{x^2} = 0}$.
Exercice 22
Intermédiaire
Montrer que lim⁡x→+∞(x2+cos⁡(x))=+∞\lim_{x \to +\infty} \left(x^2 + \cos(x)\right) = +\infty.
Correction détaillée
Pour tout $x$, $\cos(x) \geqslant -1$, donc $x^2 + \cos(x) \geqslant x^2 - 1$. Or $\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 1) = +\infty$. Par le théorème de comparaison : $\boxed{\lim_{x \to +\infty} (x^2 + \cos(x)) = +\infty}$.
Exercice 23
Intermédiaire
Déterminer lim⁡x→+∞(2x+1)e−x\lim_{x \to +\infty} (2x + 1)e^{-x}.
Correction détaillée
Forme $+\infty \times 0$. On écrit : $(2x+1)e^{-x} = \frac{2x+1}{e^x} = \frac{2x}{e^x} + \frac{1}{e^x}$. Par croissance comparée ($n = 1$) : $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$, donc $\frac{2x}{e^x} \to 0$. Et $\frac{1}{e^x} \to 0$. Par somme : $\boxed{\lim_{x \to +\infty} (2x+1)e^{-x} = 0}$.
Exercice 24
Intermédiaire
Déterminer lim⁡x→+∞ex(1−x2)\lim_{x \to +\infty} e^x(1 - x^2).
Correction détaillée
On écrit $e^x(1 - x^2) = e^x - x^2 e^x$. Alternativement : $e^x(1 - x^2) = -x^2 e^x(1 - \frac{1}{x^2})$. Mais il est plus simple d'écrire : $e^x(1 - x^2) = e^x - x^2 e^x = -x^2 e^x + e^x$. Pour $x$ assez grand, $1 - x^2 < 0$ et $e^x > 0$, donc $e^x(1-x^2) < 0$. On écrit $|e^x(1-x^2)| = (x^2 - 1)e^x \geqslant (x^2-1)$. Or $x^2 - 1 \to +\infty$. Donc $(x^2 - 1)e^x \to +\infty$, et comme le signe est négatif : $\boxed{\lim_{x \to +\infty} e^x(1-x^2) = -\infty}$.
Exercice 25
Intermédiaire
Déterminer lim⁡x→+∞ex−1ex+1\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x - 1}{e^x + 1}.
Correction détaillée
Forme $\frac{\infty}{\infty}$. On divise numérateur et dénominateur par $e^x$ : $$\frac{e^x - 1}{e^x + 1} = \frac{1 - \frac{1}{e^x}}{1 + \frac{1}{e^x}}$$ Or $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} = 0$. $\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x-1}{e^x+1} = \frac{1-0}{1+0} = 1}$
Exercice 26
Intermédiaire
Déterminer lim⁡x→−∞ex−1ex+1\lim_{x \to -\infty} \dfrac{e^x - 1}{e^x + 1}.
Correction détaillée
Quand $x \to -\infty$, $e^x \to 0$. Donc $\frac{e^x - 1}{e^x + 1} \to \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$. $\boxed{\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x-1}{e^x+1} = -1}$
Exercice 27
Intermédiaire
Déterminer lim⁡x→+∞e2x+3e2x−x\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{2x} + 3}{e^{2x} - x}.
Correction détaillée
On divise numérateur et dénominateur par $e^{2x}$ : $$\frac{e^{2x} + 3}{e^{2x} - x} = \frac{1 + \frac{3}{e^{2x}}}{1 - \frac{x}{e^{2x}}}$$ Or $\frac{3}{e^{2x}} \to 0$ et $\frac{x}{e^{2x}} \to 0$ (croissance comparée). $\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}+3}{e^{2x}-x} = 1}$
Exercice 28
Intermédiaire
Déterminer les asymptotes de f(x)=x2−4x+1f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x + 1} et préciser la position de la courbe par rapport à ses asymptotes en ±∞\pm\infty.
Correction détaillée
**Asymptote verticale :** $f$ n'est pas définie en $x = -1$. - $x \to -1^+$ : $x^2-4 \to -3$ et $x+1 \to 0^+$, donc $f(x) \to -\infty$. - $x \to -1^-$ : $x^2-4 \to -3$ et $x+1 \to 0^-$, donc $f(x) \to +\infty$. La droite $x = -1$ est asymptote verticale. **Limites en $\pm\infty$ :** $\frac{x^2-4}{x+1} = \frac{x^2}{x} \cdot \frac{1 - 4/x^2}{1 + 1/x} \to +\infty$ en $+\infty$. Plus précisément, effectuons la division euclidienne : $x^2 - 4 = (x+1)(x-1) + (-3)$, donc $f(x) = x - 1 - \frac{3}{x+1}$. Ainsi $\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - (x-1)) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-3}{x+1} = 0$. La droite $y = x - 1$ est asymptote oblique (notion complémentaire hors programme strict, mais la division euclidienne est un outil classique). Pas d'asymptote horizontale puisque $f(x) \to \pm\infty$.
Exercice 29
Difficile
Déterminer lim⁡x→0ex−1x\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}.
Correction détaillée
Forme $\frac{0}{0}$. On reconnaît le taux d'accroissement de $e^x$ en $0$ : $$\frac{e^x - 1}{x} = \frac{e^x - e^0}{x - 0}$$ Ceci est le taux d'accroissement de la fonction $t \mapsto e^t$ entre $0$ et $x$. Or la dérivée de $e^t$ est $e^t$, et $(e^t)'|_{t=0} = e^0 = 1$. Donc $\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1}$.
Exercice 30
Difficile
Déterminer lim⁡x→+∞(4x2+3x+1−2x)\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{4x^2 + 3x + 1} - 2x\right).
Correction détaillée
Forme $+\infty - \infty$. Quantité conjuguée : $$\sqrt{4x^2+3x+1} - 2x = \frac{4x^2+3x+1 - 4x^2}{\sqrt{4x^2+3x+1}+2x} = \frac{3x+1}{\sqrt{4x^2+3x+1}+2x}$$ Pour $x > 0$ : $\sqrt{4x^2+3x+1} = 2x\sqrt{1+\frac{3}{4x}+\frac{1}{4x^2}}$, donc : $$\frac{3x+1}{2x\sqrt{1+\frac{3}{4x}+\frac{1}{4x^2}}+2x} = \frac{3+\frac{1}{x}}{2\sqrt{1+\frac{3}{4x}+\frac{1}{4x^2}}+2} \to \frac{3}{2+2} = \frac{3}{4}$$ $\boxed{\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{4x^2+3x+1}-2x) = \frac{3}{4}}$
Exercice 31
Difficile
Déterminer lim⁡x→+∞x2ex−xex+x3\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 e^x - x}{e^x + x^3}.
Correction détaillée
On divise numérateur et dénominateur par $e^x$ : $$\frac{x^2 e^x - x}{e^x + x^3} = \frac{x^2 - \frac{x}{e^x}}{1 + \frac{x^3}{e^x}}$$ Par croissance comparée : $\frac{x}{e^x} \to 0$ et $\frac{x^3}{e^x} \to 0$. Donc $\frac{x^2 - 0}{1 + 0} = x^2 \to +\infty$. $\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 e^x - x}{e^x + x^3} = +\infty}$
Exercice 32
Difficile
Soit f(x)=e2x−exe2x+1f(x) = \dfrac{e^{2x} - e^x}{e^{2x} + 1}. Déterminer les limites de ff en +∞+\infty et en −∞-\infty, puis ses asymptotes.
Correction détaillée
**En $+\infty$ :** On divise par $e^{2x}$ : $$f(x) = \frac{1 - \frac{1}{e^x}}{1 + \frac{1}{e^{2x}}} \to \frac{1}{1} = 1$$ La droite $y = 1$ est asymptote horizontale en $+\infty$. **En $-\infty$ :** $e^{2x} \to 0$ et $e^x \to 0$, donc : $$f(x) \to \frac{0-0}{0+1} = 0$$ La droite $y = 0$ est asymptote horizontale en $-\infty$. $\boxed{\text{AH : } y = 1 \text{ en } +\infty, \quad y = 0 \text{ en } -\infty}$
Exercice 33
Difficile
Montrer que lim⁡x→+∞2+sin⁡(x)⋅e−x3+cos⁡(x)⋅e−x=23\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2 + \sin(x) \cdot e^{-x}}{3 + \cos(x) \cdot e^{-x}} = \dfrac{2}{3}.
Correction détaillée
On sait que $-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$ et $-1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1$. Comme $e^{-x} \to 0$ quand $x \to +\infty$, on a : - $\sin(x) \cdot e^{-x} \to 0$ (par le théorème des gendarmes : $-e^{-x} \leqslant \sin(x) e^{-x} \leqslant e^{-x}$ et $e^{-x} \to 0$). - De même $\cos(x) \cdot e^{-x} \to 0$. Donc le numérateur $\to 2 + 0 = 2$ et le dénominateur $\to 3 + 0 = 3$. $\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \sin(x) e^{-x}}{3 + \cos(x) e^{-x}} = \frac{2}{3}}$
Exercice 34
Difficile
Déterminer lim⁡x→2x+2−2x−2\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2}.
Correction détaillée
Forme $\frac{0}{0}$ (car $\sqrt{4}-2 = 0$ et $2-2 = 0$). On utilise la quantité conjuguée : $$\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2} = \frac{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)} = \frac{x+2-4}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)} = \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}$$ Pour $x \neq 2$ : $= \frac{1}{\sqrt{x+2}+2}$. $\lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+2}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{4}$. $\boxed{\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2} = \frac{1}{4}}$ **Remarque :** On reconnaît le taux d'accroissement de $x \mapsto \sqrt{x+2}$ en $x = 2$, soit $(\sqrt{x+2})'|_{x=2} = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$.
Exercice 35
Difficile
Soit f(x)=xe1/xf(x) = xe^{1/x} pour x≠0x \neq 0. Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x) et lim⁡x→0+f(x)\lim_{x \to 0^+} f(x).
Correction détaillée
**En $+\infty$ :** $\frac{1}{x} \to 0$, donc $e^{1/x} \to e^0 = 1$. Par produit : $f(x) = x \cdot e^{1/x} \to +\infty \times 1 = +\infty$. $\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}$ **En $0^+$ :** $\frac{1}{x} \to +\infty$, donc $e^{1/x} \to +\infty$. Et $x \to 0^+$. Forme $0 \times \infty$. On pose $t = \frac{1}{x}$, quand $x \to 0^+$, $t \to +\infty$. $f(x) = \frac{1}{t} \cdot e^t = \frac{e^t}{t}$. Par croissance comparée ($n = 1$) : $\frac{e^t}{t} \to +\infty$. $\boxed{\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty}$
Exercice 36
Avancé
Déterminer lim⁡x→+∞(x3+x23−x)\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt[3]{x^3 + x^2} - x\right).

(On pourra utiliser l'identité a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2).)
Correction détaillée
Posons $a = \sqrt[3]{x^3+x^2}$ et $b = x$, de sorte que $a^3 - b^3 = x^3+x^2-x^3 = x^2$. L'identité $a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$ donne : $$\sqrt[3]{x^3+x^2} - x = \frac{x^2}{(\sqrt[3]{x^3+x^2})^2 + x\sqrt[3]{x^3+x^2} + x^2}$$ Or $\sqrt[3]{x^3+x^2} = x\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}} \to x$ quand $x \to +\infty$. Donc $(\sqrt[3]{x^3+x^2})^2 \sim x^2$, $x\sqrt[3]{x^3+x^2} \sim x^2$, et : $$\frac{x^2}{x^2 + x^2 + x^2} = \frac{x^2}{3x^2} = \frac{1}{3}$$ Plus rigoureusement : $$\frac{x^2}{x^2\left((\sqrt[3]{1+1/x})^2 + \sqrt[3]{1+1/x} + 1\right)} = \frac{1}{(\sqrt[3]{1+1/x})^2 + \sqrt[3]{1+1/x} + 1} \to \frac{1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$$ $\boxed{\lim_{x \to +\infty} (\sqrt[3]{x^3+x^2}-x) = \frac{1}{3}}$
Exercice 37
Avancé
Soit f(x)=x2+1x−1 e−xf(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x-1} \, e^{-x}. Déterminer les limites de ff en +∞+\infty, en 1+1^+ et en 1−1^-.
Correction détaillée
**En $+\infty$ :** $\frac{x^2+1}{x-1} \sim \frac{x^2}{x} = x \to +\infty$. Donc $f(x) = \frac{x^2+1}{x-1} \cdot e^{-x}$. Le premier facteur se comporte comme $x$ et le second tend vers $0$ par croissance comparée. Plus précisément : $|f(x)| \leqslant C \cdot x \cdot e^{-x}$ pour $x$ assez grand, et $xe^{-x} \to 0$. $\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0}$ **En $1^+$ :** $x^2 + 1 \to 2$ et $e^{-x} \to e^{-1}$, donc le produit tend vers $2e^{-1}$. Mais $x - 1 \to 0^+$, donc $\frac{x^2+1}{x-1} \to +\infty$. Ainsi $f(x) \to +\infty \times e^{-1} = +\infty$. $\boxed{\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty}$ **En $1^-$ :** $x - 1 \to 0^-$, donc $\frac{x^2+1}{x-1} \to -\infty$. Ainsi $f(x) \to -\infty \times e^{-1} = -\infty$. $\boxed{\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty}$
Exercice 38
Avancé
Soit f(x)=exex−1f(x) = \dfrac{e^x}{e^x - 1} pour x≠0x \neq 0. Déterminer les limites de ff en +∞+\infty, en −∞-\infty, en 0+0^+ et en 0−0^-, puis donner les asymptotes.
Correction détaillée
**En $+\infty$ :** $\frac{e^x}{e^x - 1} = \frac{1}{1 - e^{-x}} \to \frac{1}{1-0} = 1$. AH : $y = 1$ en $+\infty$. **En $-\infty$ :** $e^x \to 0$, donc $\frac{e^x}{e^x - 1} \to \frac{0}{0-1} = 0$. AH : $y = 0$ en $-\infty$. **En $0^+$ :** $e^x \to 1 > 0$ et $e^x - 1 \to 0^+$ (car $e^x > 1$ pour $x > 0$). Donc $f(x) \to +\infty$. **En $0^-$ :** $e^x \to 1 > 0$ et $e^x - 1 \to 0^-$ (car $e^x < 1$ pour $x < 0$). Donc $f(x) \to -\infty$. AV : $x = 0$. $\boxed{\text{AH : } y=1 \text{ en } +\infty, \; y=0 \text{ en } -\infty \;; \quad \text{AV : } x=0}$
Exercice 39
Avancé
Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(x2−3x+5)e−xf(x) = (x^2 - 3x + 5)e^{-x}.

1) Déterminer les limites de ff en +∞+\infty et en −∞-\infty.

2) Calculer f′(x)f'(x) et étudier le signe de f′(x)f'(x).

3) Dresser le tableau de variations de ff.
1.
Déterminer les limites de ff en +∞+\infty et en −∞-\infty.
**En $+\infty$ :** $f(x) = (x^2-3x+5)e^{-x} = \frac{x^2-3x+5}{e^x}$. Par croissance comparée ($n=2$) : $\frac{x^2}{e^x} \to 0$, et de même $\frac{x}{e^x} \to 0$, $\frac{1}{e^x} \to 0$. Donc $\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0}$. La droite $y = 0$ est AH en $+\infty$. **En $-\infty$ :** $e^{-x} \to +\infty$ et $x^2-3x+5 \to +\infty$ (car $x^2$ domine). Par produit : $\boxed{\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty}$.
2.
Calculer f′(x)f'(x) et étudier le signe de f′(x)f'(x).
$f(x) = (x^2-3x+5)e^{-x}$. Dérivée d'un produit : $f'(x) = (2x-3)e^{-x} + (x^2-3x+5)(-e^{-x}) = e^{-x}[(2x-3)-(x^2-3x+5)]$ $f'(x) = e^{-x}(-x^2+5x-8)$. Étudions le signe de $-x^2+5x-8$. Discriminant : $\Delta = 25 - 32 = -7 < 0$. Comme le coefficient de $x^2$ est négatif ($-1$), le trinôme est **toujours négatif**. De plus $e^{-x} > 0$, donc $f'(x) < 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
3.
Dresser le tableau de variations de ff.
$f'(x) < 0$ pour tout $x$, donc $f$ est **strictement décroissante** sur $\mathbb{R}$. | $x$ | $-\infty$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---| | $f'(x)$ | | $-$ | | | $f(x)$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $0$ |
Exercice 40
Avancé
Soit ff définie sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ par f(x)=ex−e−xxf(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{x}.

1) Déterminer la limite de ff en +∞+\infty.

2) Déterminer la limite de ff en 0+0^+.

(On pourra écrire f(x)=ex−1x+1−e−xxf(x) = \frac{e^x - 1}{x} + \frac{1 - e^{-x}}{x}.)
1.
Déterminer la limite de ff en +∞+\infty.
$f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{x} = \frac{e^x}{x} - \frac{e^{-x}}{x}$. Par croissance comparée : $\frac{e^x}{x} \to +\infty$. Et $\frac{e^{-x}}{x} \to \frac{0}{+\infty} = 0$. Par somme : $\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}$.
2.
Déterminer la limite de ff en 0+0^+.
On écrit $f(x) = \frac{e^x - 1}{x} + \frac{1 - e^{-x}}{x}$. **Premier terme :** $\frac{e^x - 1}{x}$ est le taux d'accroissement de $e^t$ en $0$. Donc $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = (e^t)'|_{t=0} = 1$. **Second terme :** $\frac{1-e^{-x}}{x} = -\frac{e^{-x}-1}{x}$. On pose $u = -x \to 0^-$ : $\frac{e^{-x}-1}{x} = \frac{e^u - 1}{-u} = -\frac{e^u-1}{u} \to -1$. Donc $\frac{1-e^{-x}}{x} = -(-1) = 1$. Par somme : $\boxed{\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 + 1 = 2}$.
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Étude complète d'une fonction rationnelle
Intermédiaire
Soit ff la fonction définie sur R∖{−1 ;2}\mathbb{R} \setminus \{-1\,;2\} par :
f(x)=x2−x−6x2−x−2f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x^2 - x - 2}

Partie A — Limites et asymptotes

1.
Factoriser le numérateur et le dénominateur de f(x)f(x).
**Numérateur :** $x^2 - x - 6$. $\Delta = 1 + 24 = 25$. Racines : $\frac{1 \pm 5}{2}$, soit $3$ et $-2$. Donc $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$. **Dénominateur :** $x^2 - x - 2$. $\Delta = 1 + 8 = 9$. Racines : $\frac{1 \pm 3}{2}$, soit $2$ et $-1$. Donc $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$. $$\boxed{f(x) = \frac{(x-3)(x+2)}{(x-2)(x+1)}}$$
2.
Déterminer les limites de ff en +∞+\infty et en −∞-\infty.
Forme $\frac{\infty}{\infty}$. On factorise par $x^2$ : $$f(x) = \frac{x^2(1 - \frac{1}{x} - \frac{6}{x^2})}{x^2(1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2})} = \frac{1 - \frac{1}{x} - \frac{6}{x^2}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}} \to \frac{1}{1} = 1$$ $\boxed{\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1}$. La droite $y = 1$ est asymptote horizontale.
3.
Déterminer les limites latérales de ff en 22 et en −1-1. En déduire les asymptotes verticales.
**En $x = 2$ :** Numérateur : $(2-3)(2+2) = (-1)(4) = -4$. - $x \to 2^+$ : $(x-2) \to 0^+$, $(x+1) \to 3$. Dénominateur $\to 0^+$. Donc $f(x) \to \frac{-4}{0^+} = -\infty$. - $x \to 2^-$ : dénominateur $\to 0^-$. Donc $f(x) \to \frac{-4}{0^-} = +\infty$. **En $x = -1$ :** Numérateur : $(-1-3)(-1+2) = (-4)(1) = -4$. - $x \to -1^+$ : $(x-2) \to -3$, $(x+1) \to 0^+$. Dénominateur $\to 0^-$. Donc $f(x) \to +\infty$. - $x \to -1^-$ : dénominateur $\to 0^+$. Donc $f(x) \to -\infty$. $\boxed{\text{AV : } x = 2 \text{ et } x = -1}$.
4.
Déterminer les éventuelles intersections de la courbe avec l'asymptote horizontale.
$f(x) = 1 \Leftrightarrow \frac{(x-3)(x+2)}{(x-2)(x+1)} = 1 \Leftrightarrow (x-3)(x+2) = (x-2)(x+1)$. $x^2 - x - 6 = x^2 - x - 2 \Leftrightarrow -6 = -2$. Contradiction. $\boxed{\text{La courbe ne coupe jamais son asymptote horizontale.}}$

Partie B — Variations et courbe

5.
Calculer f′(x)f'(x) et montrer que f′(x)=4(2x−1)(x−2)2(x+1)2f'(x) = \dfrac{4(2x - 1)}{(x-2)^2(x+1)^2}.

(On pourra écrire f(x)=1+g(x)(x−2)(x+1)f(x) = 1 + \frac{g(x)}{(x-2)(x+1)} en déterminant g(x)g(x).)
On effectue : $f(x) - 1 = \frac{(x-3)(x+2) - (x-2)(x+1)}{(x-2)(x+1)} = \frac{x^2-x-6 - (x^2-x-2)}{(x-2)(x+1)} = \frac{-4}{(x-2)(x+1)}$. Donc $f(x) = 1 - \frac{4}{(x-2)(x+1)} = 1 - \frac{4}{x^2-x-2}$. On dérive $\frac{-4}{u}$ avec $u = x^2-x-2$ et $u' = 2x-1$ : $$f'(x) = \frac{4(2x-1)}{(x^2-x-2)^2} = \frac{4(2x-1)}{(x-2)^2(x+1)^2}$$
6.
Étudier le signe de f′(x)f'(x) et dresser le tableau de variations complet de ff.
$(x-2)^2(x+1)^2 > 0$ pour $x \neq 2$ et $x \neq -1$. Le signe de $f'(x)$ est celui de $2x - 1$ : - $f'(x) < 0$ si $x < \frac{1}{2}$ - $f'(x) > 0$ si $x > \frac{1}{2}$ $f(\frac{1}{2}) = 1 - \frac{4}{(\frac{1}{2}-2)(\frac{1}{2}+1)} = 1 - \frac{4}{(-\frac{3}{2})(\frac{3}{2})} = 1 - \frac{4}{-\frac{9}{4}} = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$. | $x$ | $-\infty$ | | $-1$ | | $\frac{1}{2}$ | | $2$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| | $f'(x)$ | | $-$ | $\|\|$ | $-$ | $0$ | $+$ | $\|\|$ | $+$ | | | $f(x)$ | $1$ | $\searrow$ | $\|\|$ | $\searrow$ | $\frac{25}{9}$ | $\nearrow$ | $\|\|$ | $\nearrow$ | $1$ |
Problème 2 — Fonction exponentielle et limites
Difficile
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :
f(x)=(x−2)ex+x+2f(x) = (x - 2)e^x + x + 2

Partie A — Étude des limites

1.
Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).
$f(x) = (x-2)e^x + x + 2$. $\lim_{x \to +\infty} (x-2)e^x$ : $(x-2) \to +\infty$ et $e^x \to +\infty$, donc $(x-2)e^x \to +\infty$. Et $x + 2 \to +\infty$. Par somme : $\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}$.
2.
Déterminer lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x).
$(x-2)e^x = xe^x - 2e^x$. Par croissance comparée : $xe^x \to 0$ en $-\infty$. Et $2e^x \to 0$. Donc $(x-2)e^x \to 0$. $x + 2 \to -\infty$. Par somme : $\boxed{\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty}$.
3.
Montrer que la droite Δ:y=x+2\Delta : y = x + 2 est asymptote à la courbe Cf\mathcal{C}_f en −∞-\infty. Préciser la position de Cf\mathcal{C}_f par rapport à Δ\Delta.
$f(x) - (x+2) = (x-2)e^x$. $\lim_{x \to -\infty} (x-2)e^x = 0$ (croissance comparée, comme vu question 2). Donc $\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (x+2)] = 0$ : la droite $\Delta : y = x + 2$ est **asymptote** à $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$. **Position :** pour $x < 2$, $(x-2) < 0$ et $e^x > 0$, donc $(x-2)e^x < 0$, soit $f(x) < x + 2$. La courbe est **en dessous** de $\Delta$ au voisinage de $-\infty$.

Partie B — Étude de variations

4.
Calculer f′(x)f'(x).
$f'(x) = e^x + (x-2)e^x + 1 = (1 + x - 2)e^x + 1 = (x-1)e^x + 1$. $\boxed{f'(x) = (x-1)e^x + 1}$
5.
Montrer que f′(x)⩾0f'(x) \geqslant 0 pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, avec égalité uniquement en x=0x = 0.
$f''(x) = e^x + (x-1)e^x = xe^x$. Pour $x > 0$ : $f''(x) = xe^x > 0$. Pour $x < 0$ : $f''(x) = xe^x < 0$. $f''(0) = 0$. Donc $f'$ décroît sur $]-\infty\,;0]$ et croît sur $[0\,;+\infty[$. Le minimum de $f'$ est atteint en $x = 0$ : $f'(0) = (0-1)e^0 + 1 = -1 + 1 = 0$. Donc $f'(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, avec égalité seulement en $x = 0$.
6.
En déduire les variations de ff et dresser son tableau de variations complet.
$f'(x) \geqslant 0$ pour tout $x$, avec $f'(0) = 0$. Donc $f$ est **croissante** sur $\mathbb{R}$ (strictement sur chacun des intervalles). $f(0) = (0-2)e^0 + 0 + 2 = -2 + 2 = 0$. | $x$ | $-\infty$ | | $0$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---|---|---| | $f'(x)$ | | $+$ | $0$ | $+$ | | | $f(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $0$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |
7.
En déduire le nombre de solutions de l'équation f(x)=0f(x) = 0.
$f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec $f(0) = 0$. Comme $f$ passe de $-\infty$ à $+\infty$ et est strictement croissante, l'équation $f(x) = 0$ admet **une unique solution**, qui est $\boxed{x = 0}$.
Problème 3 — Suite, fonction et limites
Difficile
On considère la fonction ff définie sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[ par :
f(x)=3x+1x+2f(x) = \frac{3x + 1}{x + 2}
et la suite (un)(u_n) définie par u0=0u_0 = 0 et un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.

Partie A — Étude de la fonction ff

1.
Déterminer la limite de ff en +∞+\infty.
$f(x) = \frac{3x+1}{x+2} = \frac{x(3+\frac{1}{x})}{x(1+\frac{2}{x})} = \frac{3+\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}} \to \frac{3}{1} = 3$. $\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3}$. La droite $y = 3$ est AH.
2.
Calculer f′(x)f'(x) et montrer que ff est strictement croissante sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[.
$f'(x) = \frac{3(x+2) - (3x+1)}{(x+2)^2} = \frac{3x+6-3x-1}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2}$. Pour tout $x \geqslant 0$, $(x+2)^2 > 0$, donc $f'(x) = \frac{5}{(x+2)^2} > 0$. $f$ est **strictement croissante** sur $[0\,;+\infty[$.
3.
Résoudre f(x)=xf(x) = x et interpréter graphiquement.
$\frac{3x+1}{x+2} = x \Leftrightarrow 3x+1 = x(x+2) = x^2+2x \Leftrightarrow x^2 - x - 1 = 0$. $\Delta = 1 + 4 = 5$. Solutions : $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Sur $[0\,;+\infty[$ : $x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ (le nombre d'or !). Graphiquement, la courbe de $f$ coupe la droite $y = x$ en ce point.

Partie B — Étude de la suite (un)(u_n)

4.
Calculer u1u_1, u2u_2 et u3u_3.
$u_0 = 0$. $u_1 = f(0) = \frac{1}{2} = 0{,}5$. $u_2 = f(\frac{1}{2}) = \frac{\frac{3}{2}+1}{\frac{1}{2}+2} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} = 1$. $u_3 = f(1) = \frac{3+1}{1+2} = \frac{4}{3} \approx 1{,}333$. $\boxed{u_1 = \frac{1}{2}, \quad u_2 = 1, \quad u_3 = \frac{4}{3}}$
5.
Montrer par récurrence que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, 0⩽un<1+520 \leqslant u_n < \frac{1+\sqrt{5}}{2}.
Posons $\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. **Initialisation :** $u_0 = 0$. On a bien $0 \leqslant 0 < \alpha$. **Hérédité :** Supposons $0 \leqslant u_n < \alpha$. - $f$ est croissante et $u_n \geqslant 0$, donc $u_{n+1} = f(u_n) \geqslant f(0) = \frac{1}{2} > 0$. - $u_n < \alpha$ et $f$ croissante, donc $u_{n+1} = f(u_n) < f(\alpha) = \alpha$ (car $\alpha$ est point fixe). Donc $0 \leqslant u_{n+1} < \alpha$. Par récurrence, $\boxed{0 \leqslant u_n < \alpha}$ pour tout $n$.
6.
Montrer que (un)(u_n) est croissante.
On étudie $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n$. Posons $g(x) = f(x) - x = \frac{3x+1}{x+2} - x = \frac{3x+1 - x(x+2)}{x+2} = \frac{-x^2+x+1}{x+2}$. Pour $0 \leqslant x < \alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ : le dénominateur $x+2 > 0$. Le numérateur $-x^2+x+1 = -(x^2-x-1)$. Or $x^2-x-1 < 0$ pour $x < \frac{1+\sqrt{5}}{2} = \alpha$. Donc $-x^2+x+1 > 0$, et $g(x) > 0$. Comme $0 \leqslant u_n < \alpha$, on a $g(u_n) > 0$, soit $u_{n+1} > u_n$. La suite $(u_n)$ est **strictement croissante**.
7.
En déduire que (un)(u_n) est convergente et déterminer sa limite.
$(u_n)$ est croissante et majorée par $\alpha$, donc elle **converge** (théorème de la suite croissante majorée). Soit $\ell$ sa limite. Par continuité de $f$ : $\ell = f(\ell)$, donc $\ell$ est point fixe de $f$ dans $[0\,;+\infty[$. Le seul point fixe positif est $\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. $\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$
Problème 4 — Asymptotes et étude de fonction avec exponentielle
Difficile
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :
f(x)=x exex+1f(x) = \frac{x \, e^x}{e^x + 1}

Partie A — Limites et asymptotes

1.
Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).
On divise numérateur et dénominateur par $e^x$ : $$f(x) = \frac{x}{1 + \frac{1}{e^x}}$$ $\frac{1}{e^x} \to 0$ quand $x \to +\infty$, donc $f(x) \sim \frac{x}{1} = x \to +\infty$. $\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}$
2.
Déterminer lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x).
Quand $x \to -\infty$, $e^x \to 0$, donc : $$f(x) = \frac{xe^x}{e^x + 1} \to \frac{0}{0+1} = 0$$ (car $xe^x \to 0$ par croissance comparée). $\boxed{\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0}$. La droite $y = 0$ est AH en $-\infty$.
3.
Montrer que f(x)−x=−xex+1f(x) - x = \dfrac{-x}{e^x + 1}. En déduire que la droite y=xy = x est asymptote à Cf\mathcal{C}_f en +∞+\infty.
$f(x) - x = \frac{xe^x}{e^x+1} - x = \frac{xe^x - x(e^x+1)}{e^x+1} = \frac{xe^x - xe^x - x}{e^x+1} = \frac{-x}{e^x+1}$. $\lim_{x \to +\infty} \frac{-x}{e^x+1}$ : par croissance comparée, $\frac{x}{e^x} \to 0$, et $\frac{x}{e^x+1} \leqslant \frac{x}{e^x} \to 0$. Donc $\frac{-x}{e^x+1} \to 0$. Ainsi $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - x] = 0$ : la droite $y = x$ est **asymptote** à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.
4.
Étudier la position de Cf\mathcal{C}_f par rapport à chacune de ses asymptotes.
**Par rapport à $y = x$ (en $+\infty$) :** $f(x) - x = \frac{-x}{e^x+1}$. Pour $x > 0$ : $\frac{-x}{e^x+1} < 0$, donc $\mathcal{C}_f$ est **en dessous** de $y = x$. **Par rapport à $y = 0$ (en $-\infty$) :** $f(x) = \frac{xe^x}{e^x+1}$. Pour $x < 0$ : $x < 0$ et $e^x > 0$ donc $xe^x < 0$, et $e^x + 1 > 0$. Donc $f(x) < 0$ : $\mathcal{C}_f$ est **en dessous** de $y = 0$.

Partie B — Variations

5.
Montrer que f′(x)=ex(ex+x+1)(ex+1)2f'(x) = \dfrac{e^x(e^x + x + 1)}{(e^x + 1)^2}.

(On pourra écrire f(x)=x−xex+1f(x) = x - \frac{x}{e^x+1} et dériver.)
$f(x) = x - \frac{x}{e^x+1}$. Posons $h(x) = \frac{x}{e^x+1}$. $h'(x) = \frac{(e^x+1) - x e^x}{(e^x+1)^2} = \frac{e^x + 1 - xe^x}{(e^x+1)^2} = \frac{(1-x)e^x + 1}{(e^x+1)^2}$. $f'(x) = 1 - h'(x) = 1 - \frac{(1-x)e^x + 1}{(e^x+1)^2} = \frac{(e^x+1)^2 - (1-x)e^x - 1}{(e^x+1)^2}$. Développons : $(e^x+1)^2 = e^{2x} + 2e^x + 1$. $e^{2x} + 2e^x + 1 - e^x + xe^x - 1 = e^{2x} + e^x + xe^x = e^x(e^x + 1 + x)$. $\boxed{f'(x) = \frac{e^x(e^x + x + 1)}{(e^x+1)^2}}$
6.
Étudier le signe de f′(x)f'(x) et dresser le tableau de variations de ff.
$e^x > 0$ et $(e^x+1)^2 > 0$ pour tout $x$. Le signe de $f'$ est celui de $\varphi(x) = e^x + x + 1$. $\varphi'(x) = e^x + 1 > 0$ pour tout $x$ : $\varphi$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. $\lim_{x \to -\infty} \varphi(x) = -\infty$ et $\varphi(0) = 2 > 0$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique $x_0 \in ]-\infty\,;0[$ tel que $\varphi(x_0) = 0$. Numériquement : $\varphi(-2) = e^{-2} - 1 \approx -0{,}86 < 0$ et $\varphi(-1) = e^{-1} \approx 0{,}37 > 0$, donc $x_0 \in ]-2\,;-1[$, soit $x_0 \approx -1{,}28$. Tableau de signes de $\varphi$ (et donc de $f'$) : - Pour $x < x_0$ : $\varphi(x) < 0$, donc $f'(x) < 0$. - Pour $x > x_0$ : $\varphi(x) > 0$, donc $f'(x) > 0$. $f(x_0) = \frac{x_0 e^{x_0}}{e^{x_0}+1} \approx -0{,}28$. Tableau de variations : | $x$ | $-\infty$ | | $x_0 \approx -1{,}28$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---|---|---| | $f'(x)$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | | $f(x)$ | $0$ | $\searrow$ | $f(x_0) \approx -0{,}28$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |