Chapitre 01 Limites et continuité Série 2 sur 10

Formes indéterminées et méthodes — 2ᵉ Bac Sciences Physiques

8 exercices corrigés de limites et continuité pour le 2ᵉ Bac Sciences Physiques, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 9 à 16 de la banque du chapitre.

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Tous les exercices : Limites et continuité

Cours et fiche du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

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Exercice 9 — Marathon : lever huit formes $0/0$

Non commencéFacile

24 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Identités remarquables · Factorisation de $x^n-a^n$

Objectifs : Repérer un facteur responsable de $0/0$ · Simplifier avant de passer à la limite

Calculer en factorisant :

\begin{aligned} 1)&\ \lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}, &2)&\ \lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1},\\ 3)&\ \lim_{x\to-1}\frac{x^3+1}{x+1}, &4)&\ \lim_{x\to3}\frac{x^2-5x+6}{x-3},\\ 5)&\ \lim_{x\to1}\frac{x^4-1}{x^2-1}, &6)&\ \lim_{x\to0}\frac{(1+x)^3-1}{x},\\ 7)&\ \lim_{x\to a}\frac{x^2-a^2}{x-a}, &8)&\ \lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x^2-4}. \end{aligned}

Exercice 10 — Marathon : huit quotients à l’infini

Non commencéFacile

22 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Degré d’un polynôme · Signe à l’infini

Objectifs : Comparer les degrés · Extraire un équivalent dominant sans notation avancée

Calculer :

\begin{aligned} 1)&\ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-x+1}{5x^3+2x^2-4}, &2)&\ \lim_{x\to-\infty}\frac{x^4-3x+1}{2x^2+1},\\ 3)&\ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+x}{x^3+1}, &4)&\ \lim_{x\to-\infty}\frac{-x^5+2}{x^2+1},\\ 5)&\ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-3x}{2x-1}, &6)&\ \lim_{x\to-\infty}\frac{x^2-3x}{2x-1},\\ 7)&\ \lim_{x\to-\infty}\frac{1-4x^3}{2x^3+x}, &8)&\ \lim_{x\to+\infty}\frac{5-x}{x^2+1}. \end{aligned}

Exercice 11 — Six rationalisations essentielles

Non commencéFacile

20 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Quantité conjuguée · Différence de deux carrés

Objectifs : Rationaliser un numérateur · Rationaliser un dénominateur

Calculer à l’aide d’une quantité conjuguée :

\begin{aligned} 1)&\ \lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}, &2)&\ \lim_{x\to4}\frac{\sqrt{2x+1}-3}{x-4},\\ 3)&\ \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{5x-1}-2}{x-1}, &4)&\ \lim_{x\to4}\frac{x-4}{\sqrt{x+5}-3},\\ 5)&\ \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x^2+3}-2}{x-1}, &6)&\ \lim_{x\to0}\frac{1-\sqrt{1-x}}x. \end{aligned}

Exercice 12 — Marathon : racines carrées et cubiques

Non commencéFacile

26 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Quantité conjuguée · Identité $A^3-B^3$

Objectifs : Transformer une différence de racines · Choisir l’identité adaptée à l’indice de la racine

Calculer :

\begin{aligned} 1)&\ \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}, &2)&\ \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{3x+1}-2}{x-1},\\ 3)&\ \lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1}, &4)&\ \lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{2x+6}-2}{x-1},\\ 5)&\ \lim_{x\to1}\frac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}, &6)&\ \lim_{x\to1}\frac{x-1}{\sqrt[3]{x+7}-2},\\ 7)&\ \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]x-1}, &8)&\ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-1}{x}. \end{aligned}

Exercice 13 — Différences de racines à l’infini

Non commencéIntermédiaire

22 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Quantité conjuguée · Extraction de $x^2$

Objectifs : Lever une forme $\infty-\infty$ · Gérer $|x|$ à chaque infini

Calculer :

\begin{aligned} 1)&\ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right),\\ 2)&\ \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}+x\right),\\ 3)&\ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{4x^2+x}-2x\right),\\ 4)&\ \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{9x^2+6x}+3x\right). \end{aligned}

Exercice 14 — Compensations avec des racines cubiques

Non commencéIntermédiaire

23 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Différence de deux cubes · Limites de quotients

Objectifs : Rationaliser algébriquement une racine cubique · Comparer trois termes du même ordre

Calculer :

\begin{aligned} 1)&\ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+6x^2}-x\right),\\ 2)&\ \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+6x^2}-x\right),\\ 3)&\ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{8x^3+x^2}-2x\right),\\ 4)&\ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x}-x\right). \end{aligned}

Exercice 15 — Marathon : dix limites mixtes

Non commencéIntermédiaire

30 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Limites trigonométriques · Rationalisation · Composition

Objectifs : Enchaîner plusieurs transformations · Choisir la méthode sans indication

Calculer :

\begin{aligned} 1)&\ \lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{3x}, &2)&\ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos(2x)}{x^2},\\ 3)&\ \lim_{x\to0}\frac{\sin^2(3x)}{x^2}, &4)&\ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sin x},\\ 5)&\ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-1}{\sin x}, &6)&\ \lim_{x\to+\infty}x\sin\frac1x,\\ 7)&\ \lim_{x\to+\infty}x^2\left(1-\cos\frac1x\right), &8)&\ \lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{\sin(5x)},\\ 9)&\ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\sin^2x}, &10)&\ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{x}. \end{aligned}

Exercice 16 — Dominer une oscillation

Non commencéIntermédiaire

18 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Encadrement de sinus et cosinus · Théorème des gendarmes

Objectifs : Construire une majoration en valeur absolue · Conclure par encadrement

Pour $x\neq0$ , on pose

f(x)=x^2\sin\frac1x,\qquad g(x)=x\cos\frac1x.

Pour $x>0$ , on pose aussi

h(x)=\sqrt{x}\sin\frac1x,\qquad k(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{x}}.

Calculer les limites de $f$ et $g$ en $0$ , puis celles de $h$ et $k$ en $0^+$ .

Les 10 séries du chapitre

80 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.