Chapitre 01 Limites et continuité Série 4 sur 10

Fonctions par morceaux et paramètres — 2ᵉ Bac Sciences Physiques

8 exercices corrigés de limites et continuité pour le 2ᵉ Bac Sciences Physiques, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 25 à 32 de la banque du chapitre.

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Tous les exercices : Limites et continuité

Cours et fiche du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

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Exercice 25 — Un raccordement affine en $1$

Non commencéIntermédiaire

15 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Continuité latérale · Factorisation

Objectifs : Traduire la continuité en une équation · Vérifier la condition obtenue

Pour $a\in\mathbb R$ , on définit

f_a(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1},&x<1,\\[5pt] ax+1,&x\geqslant1. \end{cases}

Calculer la limite à gauche en $1$ .
Calculer la limite à droite et $f_a(1)$ .
Déterminer $a$ pour que $f_a$ soit continue en $1$ .
Pour cette valeur, simplifier l’expression de $f_a$ sur $\mathbb R$ .

Exercice 26 — Deux raccordements, deux paramètres

Non commencéIntermédiaire

20 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Continuité aux points de changement de formule · Système linéaire

Objectifs : Écrire deux conditions de raccordement · Résoudre et vérifier un système

Pour $(a,b)\in\mathbb R^2$ , on définit

f_{a,b}(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1},&x<1,\\[6pt] ax+b,&1\leqslant x\leqslant2,\\[4pt] \sqrt{x+7},&x>2. \end{cases}

Déterminer l’unique couple $(a,b)$ pour lequel $f_{a,b}$ est continue sur $\mathbb R$ .

Exercice 27 — Raccordement trigonométrique et radical

Non commencéIntermédiaire

19 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Limite de $\sin t/t$ · Rationalisation

Objectifs : Faire intervenir un paramètre dans une limite · Déterminer simultanément une formule et une valeur au point

Pour $(a,b)\in\mathbb R^2$ , on pose au voisinage de $0$ :

f_{a,b}(x)= \begin{cases} \dfrac{\sin(ax)}x,&x<0,\\[6pt] b,&x=0,\\[4pt] \dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x},&x>0. \end{cases}

Déterminer $(a,b)$ pour que $f_{a,b}$ soit continue en $0$ .

Exercice 28 — Continuité et valeur imposée

Non commencéIntermédiaire

20 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Quantité conjuguée · Système de deux équations

Objectifs : Combiner une condition de continuité et une valeur fonctionnelle · Contrôler le domaine

Pour $(a,b)\in\mathbb R^2$ , on définit sur $[-3,+\infty[$ :

f_{a,b}(x)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1},&-3\leqslant x<1,\\[6pt] ax+b,&x\geqslant1. \end{cases}

Déterminer $a$ et $b$ pour que $f_{a,b}$ soit continue en $1$ et vérifie $f_{a,b}(2)=5/4$ .

Exercice 29 — Une droite entre deux courbes

Non commencéIntermédiaire

20 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Raccordements multiples · Système linéaire

Objectifs : Déterminer une branche affine assurant deux raccordements · Prouver la continuité globale

Pour $(a,b)\in\mathbb R^2$ , soit

f_{a,b}(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1},&x<1,\\[6pt] ax+b,&1\leqslant x\leqslant3,\\[4pt] \sqrt{x+6},&x>3. \end{cases}

Déterminer l’équation de la branche affine pour que $f_{a,b}$ soit continue sur $\mathbb R$ .

Exercice 30 — Un raccordement valable pour tout paramètre

Non commencéIntermédiaire

17 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : Différence de deux carrés · Continuité d’une fonction par morceaux

Objectifs : Raisonner avec un point de raccordement dépendant d’un paramètre · Établir une propriété pour tout réel

Pour chaque réel $a$ , on définit sur $\mathbb R$ :

f_a(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-a^2}{x-a},&x<a,\\[6pt] 2x,&x\geqslant a. \end{cases}

Simplifier la première branche.
Calculer la limite à gauche en $a$ .
Calculer la limite à droite et $f_a(a)$ .
Pour quelles valeurs de $a$ la fonction $f_a$ est-elle continue sur $\mathbb R$ ?

Exercice 31 — Double raccordement avec deux formes indéterminées

Non commencéDifficile

25 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Quantité conjuguée · Factorisation · Système linéaire

Objectifs : Lever deux formes indéterminées dans un même problème · Établir des conditions nécessaires et suffisantes

Pour $(a,b)\in\mathbb R^2$ , on définit sur $[-3,+\infty[$ :

f_{a,b}(x)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1},&-3\leqslant x<1,\\[7pt] ax+b,&1\leqslant x\leqslant2,\\[4pt] \dfrac{x^2-4}{x-2},&x>2. \end{cases}

Déterminer le couple $(a,b)$ pour lequel $f_{a,b}$ est continue sur tout son domaine. Présenter la preuve sous la forme « nécessité puis suffisance ».

Exercice 32 — Racine cubique à gauche, racine carrée à droite

Non commencéDifficile

26 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Différence de cubes · Quantité conjuguée · Continuité globale

Objectifs : Combiner deux techniques de rationalisation · Résoudre un double raccordement

Pour $(a,b)\in\mathbb R^2$ , on pose

f_{a,b}(x)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1},&x<1,\\[7pt] ax+b,&1\leqslant x\leqslant2,\\[4pt] \dfrac{\sqrt{x+2}-2}{x-2},&x>2. \end{cases}

Calculer les limites des branches extérieures aux points de raccordement.
Déterminer $(a,b)$ pour que $f_{a,b}$ soit continue sur $\mathbb R$ .
Vérifier explicitement les deux raccordements.

Les 10 séries du chapitre

80 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.