Chapitre 01 Limites et continuité Série 8 sur 10

Racines n-ièmes et puissances rationnelles — 2ᵉ Bac Sciences Physiques

8 exercices corrigés de limites et continuité pour le 2ᵉ Bac Sciences Physiques, avec énoncé et correction détaillée, erreurs fréquentes comprises. Exercices 57 à 64 de la banque du chapitre.

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Tous les exercices : Limites et continuité

Cours et fiche du chapitre

Les 8 exercices corrigés de la série

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Exercice 57 — Racine principale et solutions d’une puissance

Non commencéFacile

18 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : puissances entières · parité d’un entier

Objectifs : distinguer racine principale et solutions d’une équation · traiter les cas pair et impair

Calculer $\sqrt[5]{32}$ , $\sqrt[4]{16}$ et $\sqrt[3]{-27}$ .
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations $x^5=32$ et $x^4=16$ .
Expliquer pourquoi $\sqrt[4]{16}=2$ ne signifie pas que l’équation $x^4=16$ possède une seule solution.
Pour $a\geqslant0$ , simplifier $(\sqrt[n]a)^n$ . Que vaut $\sqrt[n]{a^n}$ lorsque $n$ est pair ?

Exercice 58 — Équations avec des racines n-ièmes

Non commencéFacile

20 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : racines n-ièmes · conditions de définition

Objectifs : résoudre une équation avec radical · contrôler le domaine et les solutions

Résoudre dans $\mathbb R$ :

$\sqrt[3]{2x-1}=3$ ;
$\sqrt[4]{x+1}=2$ ;
$\sqrt[5]{3-x}=-1$ ;
$\sqrt[6]{2x-1}=0$ .

Exercice 59 — Calculer avec les puissances rationnelles

Non commencéFacile

20 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : règles sur les puissances · racine carrée

Objectifs : simplifier des puissances rationnelles · résoudre une équation par changement de variable

Dans tout l’exercice, $x>0$ .

Simplifier
$A=x^{3/2}x^{1/2},\qquad B=\frac{x^{7/3}}{x^{1/3}},\qquad C=(x^{2/5})^{5/2}.$
Écrire $x^{3/2}$ et $x^{5/3}$ à l’aide de radicaux.
Résoudre $x^{3/2}=8$ .
Résoudre $x^{2/3}=9$ sous la condition $x>0$ .

Exercice 60 — Limites et puissances rationnelles

Non commencéIntermédiaire

25 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : puissances rationnelles · factorisation par la puissance dominante

Objectifs : normaliser une expression sous un radical · calculer des limites avec exposants fractionnaires

Calculer :

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[3]{x^3+2x}}{x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{x^{2/3}}{\sqrt x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[4]{x^5+1}}{x^{5/4}}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{7/6}+x}{x^{7/6}-2x}$ .

Exercice 61 — Raccordement avec une racine cubique

Non commencéIntermédiaire

28 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : identité $a^3-b^3$ · prolongement par continuité

Objectifs : lever une indétermination par factorisation · déterminer une valeur de raccordement

Pour $a\in\mathbb R$ , on définit

f_a(x)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt[3]{1+x}-1}{x},&x\neq0,\\[6pt] a,&x=0. \end{cases}

Pour $x\neq0$ , poser $u=\sqrt[3]{1+x}$ et montrer que
$f_a(x)=\frac1{u^2+u+1}.$
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0}f_a(x)$ pour $x\neq0$ .
Déterminer $a$ pour que $f_a$ soit continue en $0$ .
Pour cette valeur de $a$ , calculer $f_a(7)$ .

Exercice 62 — Différence de deux racines cubiques

Non commencéIntermédiaire

28 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : identité de différence de cubes · théorème des gendarmes

Objectifs : rationaliser une différence de racines cubiques · obtenir un encadrement utile

Pour $x\geqslant0$ , on pose

d(x)=\sqrt[3]{x^3+1}-x.

Montrer que $d(x)>0$ .
Établir
$d(x)=\frac1{\sqrt[3]{(x^3+1)^2}+x\sqrt[3]{x^3+1}+x^2}.$
Montrer que, pour $x>0$ ,
$0<d(x)\leqslant\frac1{3x^2}.$
En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}d(x)$ .

Exercice 63 — Une équation symétrique en $\sqrt{x}$

Non commencéIntermédiaire

25 min

Objectifs et prérequis4 repères

Prérequis : puissances rationnelles · équation du second degré

Objectifs : choisir un changement de variable positif · revenir à la variable initiale

Résoudre dans $]0,+\infty[$ l’équation

x^{1/2}+x^{-1/2}=\frac52.

Poser $t=\sqrt x$ et préciser la condition sur $t$ .
Résoudre l’équation obtenue en $t$ .
En déduire toutes les solutions en $x$ .
Vérifier que le produit des solutions vaut $1$ et expliquer cette symétrie.

Exercice 64 — Bijection $x^n+x$ et comportement de sa réciproque

Non commencéDifficile

42 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : racine n-ième · fonction réciproque · limites par composition

Objectifs : raisonner pour un entier fixé · encadrer une fonction réciproque · déterminer une limite asymptotique

Dans tout l’exercice, $n\geqslant2$ est un entier fixé. On définit sur $[0,+\infty[$

F_n(x)=x^n+x.

Montrer que $F_n$ est continue et strictement croissante.
Montrer que $F_n$ réalise une bijection de $[0,+\infty[$ sur $[0,+\infty[$ . On note $G_n$ sa réciproque.
Pour $y\geqslant0$ , montrer que
$0\leqslant G_n(y)\leqslant y \qquad\text{et}\qquad G_n(y)\leqslant\sqrt[n]y.$
Prouver que $G_n(y)\to+\infty$ lorsque $y\to+\infty$ .
Établir
$\lim_{y\to+\infty}\frac{G_n(y)}{\sqrt[n]y}=1.$

Les 10 séries du chapitre

80 exercices corrigés au total, en progression du plus simple au plus complet.

1 Limites directes et domaines Exercices 1 à 8
2 Formes indéterminées et méthodes Exercices 9 à 16
3 Continuité locale et prolongement Exercices 17 à 24
4 Fonctions par morceaux et paramètres Exercices 25 à 32
5 Images d’intervalles et variations Exercices 33 à 40
6 TVI, existence, unicité, signe et dichotomie Exercices 41 à 48
7 Fonctions réciproques Exercices 49 à 56
8 Racines n-ièmes et puissances rationnelles Exercices 57 à 64 · page courante
9 Exercices mixtes type contrôle Exercices 65 à 72
10 Synthèses type examen national Exercices 73 à 80