Continuité des fonctions

I. Continuité en un point

Continuité

f

est continue en $a$ si

lim_{x \to a} f (x) = f (a)

Fonctions continues

Les polynômes, fonctions rationnelles (sur leur domaine),

x

sont continues.

II. Théorème des valeurs intermédiaires

TVI

f

est continue sur

[a; b]

k

est entre

f (a)

f (b)

, alors il existe

c \in [a; b]

tel que

f (c) = k

Corollaire (bijection)

f

est continue et strictement monotone sur

[a; b]

, alors pour tout

k

entre

f (a)

f (b)

, l'équation

f (x) = k

admet une unique solution.

III. Image d un intervalle

Image d un segment

f

est continue sur

[a; b]

, alors

f ([a; b]) = [m; M]

où

m

M

sont les bornes atteintes.

IV. Dichotomie

Méthode de dichotomie

Pour approcher une racine de

f

sur

[a; b]

:\n1. Calculer

f ((a + b) /2)

.\n2. Selon le signe, remplacer

a

b

par le milieu.\n3. Répéter. Précision après

n

étapes :

(b - a) / 2^{n}

40 exercices disponibles

Exercice 1

Facile

f(x) = (x^2-9)/(x-3)

Domaine.

\mathbb{R}\setminus\{3\}

Simplifier.

f(x) = x+3

Limite en 3. Prolongement.

\lim = 6

\tilde{f}(3) = 6

Exercice 2

Facile

Domaine de continuité.

3x^2-5x+1

\mathbb{R}

(x+1)/(x^2-4)

\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}

\sqrt{2x-6}

[3;+\infty[

1/\sqrt{x-1}

]1;+\infty[

Exercice 3

Facile

f(x) = x^3-2x+1

Continue sur

\mathbb{R}

Polynôme : oui.

f(0), f(1), f(-2)

1, 0, -3

Racine sur

]-2;0[

f(-2) < 0 < f(0)

: TVI.

Exercice 4

Facile

Montrer que

x^3+x-1=0

a une solution dans

[0;1]

Correction détaillée

f(0)=-1 < 0

f(1)=1 > 0

f

continue : TVI.

Exercice 5

Facile

f(x) = x^3-3x+1

. Montrer 3 racines.

f(-2), f(-1), f(0), f(1), f(2)

-1, 3, 1, -1, 3

Changements de signe.

Dans

[-2;-1]

[0;1]

[1;2]

: 3 racines (TVI).

Exercice 6

Facile

f(x) = x^2+1

x < 2

3x-1

x \geq 2

. Continue en 2 ?

Correction détaillée

\lim_{2^-} = 5

\lim_{2^+} = 5

f(2) = 5

: continue .

Exercice 7

Facile

f(x) = 2x+3

x < 1

x^2+2

x \geq 1

. Continue en 1 ?

Correction détaillée

\lim_{1^-} = 5 \neq 3 = f(1)

: discontinuité (saut).

Exercice 8

Facile

f(x) = x^2

sur

[-1;3]

. Min, max, image.

Correction détaillée

Min

f(0) = 0

, max

f(3) = 9

f([-1;3]) = [0;9]

Exercice 9

Facile

f(x) = x^2

sur

[0;3]

f(x) = 5

? Unicité ?

Correction détaillée

f(0) < 5 < f(3)

: TVI.

f

croissante : unique (

\sqrt{5}

Exercice 10

Facile

f(x) = (\sqrt{x+1}-1)/x

pour

x \neq 0

. Prolongement.

Correction détaillée

Conjuguée :

1/(\sqrt{x+1}+1) \to 1/2

\tilde{f}(0) = 1/2

Exercice 11

Intermédiaire

f(x) = (x^2-4)/(x-2)

x \neq 2

f(2) = a

. Trouver

a

Correction détaillée

\lim(x+2) = 4

a = 4

Exercice 12

Intermédiaire

f(x) = ax+b

x<1

x^2+1

1 \leq x \leq 3

2x+c

x>3

. Continuité.

x = 1

a+b = 2

x = 3

6+c = 10

c = 4

Exercice 13

Intermédiaire

f(x) = x^3+2x-5

Strictement croissante.

f' = 3x^2+2 > 0

Unique racine.

Corollaire TVI.

Dans

]1;2[

f(1) = -2 < 0 < 7 = f(2)

Dichotomie à 0,5 près.

f(1{,}5) = 1{,}375 > 0

\alpha \in ]1;1{,}5[

Exercice 14

Intermédiaire

f(x) = x^2-3

sur

[1;2]

. Dichotomie 4 étapes.

Correction détaillée

\alpha \in ]1{,}6875;1{,}75[

. Précision

1/16

\sqrt{3} \approx 1{,}732

Exercice 15

Intermédiaire

f(x) = x^5-x-1

sur

[1;2]

. Nombre d'étapes.

Pour

10^{-6}

n \geq 20

Pour

10^{-10}

n \geq 34

Exercice 16

Intermédiaire

f(x) = -x^2+4x

sur

[0;5]

. Variations, image.

Correction détaillée

Croît

[0;2]

, décroît

[2;5]

. Max

f(2)=4

, min

f(5)=-5

. Image

[-5;4]

Exercice 17

Intermédiaire

Montrer

\sqrt{x} = 3-x

a une unique solution.

Correction détaillée

g(x) = \sqrt{x}+x-3

g(0) = -3 < 0

g(4) = 3 > 0

g' > 0

: unique.

Exercice 18

Intermédiaire

f(x) = \lfloor x \rfloor

. Limites en 2, continuité.

Limites latérales en 2.

\lim_{2^-} = 1

\lim_{2^+} = 2 = f(2)

Où continue ?

Continue à droite en tout entier. Continue en tout non-entier.

Exercice 19

Intermédiaire

f(x) = x/(x^2+1)

. Bornée ? Bornes atteintes ?

Correction détaillée

f' = (1-x^2)/(x^2+1)^2

. Max

f(1) = 1/2

, min

f(-1) = -1/2

. Atteintes .

Exercice 20

Intermédiaire

Montrer

x^2+\sqrt{x} = 2

a une unique solution.

Correction détaillée

h(x) = x^2+\sqrt{x}-2

h(0) = -2 < 0

h(1) = 0

h

croissante : unique.

x = 1

Exercice 21

Difficile

f(x) = (\sqrt{x+4}-\sqrt{4-x})/x

sur

[-4;4]\setminus\{0\}

. Prolongement.

Correction détaillée

Conjuguée :

2/(\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x}) \to 1/2

\tilde{f}(0) = 1/2

Exercice 22

Difficile

f_a(x) = x^3-ax+1

(

a>0

). Nombre de racines.

Au moins une racine.

Continue, limites

\pm\infty

: TVI.

Exactement une racine ssi

a \leq 3/\sqrt[3]{4}

Min local

\geq 0

ssi

4a^3 \leq 27

Exercice 23

Difficile

f(x) = |x^2-4|-|x-1|

Expression par morceaux.

4 morceaux selon

x \leq -2

-2 < x < 1

1 \leq x < 2

x \geq 2

Continue ? Résoudre

f = 0

Continue (composée de continues). 4 solutions.

Exercice 24

Difficile

x^5+x^3+x = 10

a une unique solution.

Correction détaillée

g' = 5x^4+3x^2+1 > 0

: strictement croissante. Corollaire TVI. Racine dans

]1;2[

Exercice 25

Difficile

f:[0;1]\to[0;1]

continue. Montrer

\exists c : f(c) = c

Correction détaillée

g(x) = f(x)-x

g(0) = f(0) \geq 0

g(1) = f(1)-1 \leq 0

. TVI.

Exercice 26

Difficile

f(x) = x^3+x-1

sur

[0;1]

. Dichotomie.

5 étapes.

\alpha \in ]0{,}65625;0{,}6875[

Étapes pour

10^{-3}

10 étapes.

Exercice 27

Difficile

f(x) = 1/x

sur

]0;+\infty[

. Images.

Image de

]0;+\infty[

]0;+\infty[

Image de

]1;3[

]1/3;1[

Exercice 28

Difficile

f(x) = x^3

bijection.

Croissante, bijection

\mathbb{R} \to \mathbb{R}

f' = 3x^2 \geq 0

, limites

\pm\infty

Réciproque continue.

f^{-1} = \sqrt[3]{\cdot}

continue.

x^3 = 5

x^3 = -2

\sqrt[3]{5}

-\sqrt[3]{2}

Exercice 29

Difficile

y = x^2

y = \sqrt{x+1}

: une seule intersection pour

x \geq 0

Correction détaillée

h(x) = x^4-x-1

. TVI + monotonie après min : unique racine.

Exercice 30

Difficile

f(x) = x^2

sur

[0;1]

. Montrer

|f(x)-f(y)| \leq 2|x-y|

Correction détaillée

|x^2-y^2| = |x-y||x+y| \leq 2|x-y|

. Continuité uniforme.

Exercice 31

Avancé

f

continue injective sur

[a;b]

\Rightarrow

strictement monotone.

Correction détaillée

Par l'absurde : non monotone

\implies

3 points avec changement. TVI donne deux antécédents : contradiction.

Exercice 32

Avancé

f(x) = x-\lfloor x\rfloor

(partie fractionnaire).

Points de continuité.

Continue sauf aux entiers.

Image de

[0;1[

[0;1[

Exercice 33

Avancé

f

continue,

f(x+y)=f(x)+f(y)

. Montrer

f(x)=cx

Correction détaillée

f(0)=0

f(nx)=nf(x)

. Sur

\mathbb{Q}

f(r) = f(1) \cdot r

. Densité + continuité :

f(x) = f(1) \cdot x

Exercice 34

Avancé

f(x) = x^4-4x^2+2

. Exactement 4 racines.

Variations.

f' = 4x(x^2-2)

. Max

f(0)=2

, min

f(\pm\sqrt{2})=-2

4 racines.

4 changements de signe dans

]-2;-1[

]-1;0[

]0;1[

]1;2[

Exercice 35

Avancé

f

continue sur

[0;1]

f(0)=f(1)

. Montrer

\exists c : f(c) = f(c+1/2)

Correction détaillée

g(x) = f(x)-f(x+1/2)

g(0)+g(1/2) = 0

. TVI.

Exercice 36

Avancé

f(x) = x^2/(|x|+1)

. Continue, paire, limites.

Continuité.

Dénominateur

\geq 1

: continue sur

\mathbb{R}

0 \leq f(x) < |x|

f(x) = |x| \cdot |x|/(|x|+1) < |x|

Exercice 37

Avancé

\sqrt{x+\sqrt{x}} = 2

: unique solution.

Correction détaillée

x+\sqrt{x} = 4

\sqrt{x} = 4-x

x^2-9x+16=0

x = (9-\sqrt{17})/2

Exercice 38

Avancé

f:[0;1]\to[0;1]

continue,

|f(x)-f(y)| < |x-y|

. Point fixe unique.

Existence.

g(x)=f(x)-x

: TVI (exercice 25).

Unicité.

Si 2 points fixes :

|f(c_1)-f(c_2)| = |c_1-c_2|

, contradiction.

Exercice 39

Avancé

f(x) = x^3-3x+1

. 3 racines et suite

u_{n+1} = (u_n^3+1)/3

3 racines de

f

Variations : max

f(-1)=3

, min

f(1)=-1

. 3 changements de signe.

La suite converge vers

\beta \in ]0;1[

Point fixe de

g(x)=(x^3+1)/3

|g'(\beta)| = \beta^2 < 1

: convergence.

Exercice 40

Avancé

Théorème de Darboux :

f

dérivable,

f'(a)<\lambda<f'(b)

\Rightarrow

\exists c : f'(c)=\lambda

Correction détaillée

g(x)=f(x)-\lambda x

. Min en

c \in ]a;b[

(car

g'(a)<0

g'(b)>0

g'(c)=0

f'(c)=\lambda

4 problèmes de synthèse

Problème 1 — Existence et approximation

Difficile

f(x) = x^5-2x^3+x-1

Partie A — Existence

Racine dans

[1;2]

f(1)=-1 < 0 < 17 = f(2)

. TVI.

Unicité sur

]1;+\infty[

f' = (5x^2-1)(x^2-1) > 0

pour

x > 1

Partie B — Approximation

Dichotomie 3 étapes.

\alpha \in ]1{,}25;1{,}375[

Étapes pour

10^{-6}

20 étapes.

Problème 2 — Bornes atteintes

Difficile

f(x) = \dfrac{x^2+1}{x^2+x+1}

Partie A

Continue, positive, limites.

Dénominateur

> 0

f \to 1

Variations.

f' = (x-1)(x+1)/(\cdots)^2

Partie B

Sup, inf, image.

Max

f(-1)=2

, min

f(1)=2/3

f(\mathbb{R}) = [2/3;2]

Problème 3 — Points fixes et itération

Avancé

g(x) = (x+3)/(x+1)

Partie A

Point fixe

\sqrt{3}

x^2 = 3

x = \sqrt{3}

u_0=3

v_n = (u_n-\sqrt{3})/(u_n+\sqrt{3})

géométrique.

Raison

q = (1-\sqrt{3})/(1+\sqrt{3}) = \sqrt{3}-2

|q| \approx 0{,}268

Partie B

Vitesse de convergence.

\sim 11

itérations pour

10^{-6}

Problème 4 — Dichotomie vs Newton

Avancé

f(x) = x^3-2

sur

[1;2]

. Chercher

\sqrt[3]{2}

Partie A — Dichotomie

5 étapes.

Amplitude

1/32 \approx 0{,}031

Partie B — Newton

u_{n+1} = \frac{2}{3}(u_n+1/u_n^2)

u_0=1{,}5

. Calculer

u_1, u_2

u_1 \approx 1{,}296

u_2 \approx 1{,}261

. 3 décimales en 2 étapes.

Partie C — Comparaison

Vitesses.

Dichotomie :

\sim 3{,}3

étapes/décimale. Newton : décimales doublent à chaque étape.

S'entraîner avec les sujets du bac

Voir les sujets corrigés →

Continuité des fonctions

I. Continuité en un point

II. Théorème des valeurs intermédiaires

III. Image d un intervalle

IV. Dichotomie

Résumé

Partie A — Existence

Partie B — Approximation

Partie A

Partie B

Partie A

Partie B

Partie A — Dichotomie

Partie B — Newton

Partie C — Comparaison

S'entraîner avec les sujets du bac