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I Analyse · Chapitre 05 / 17

Compléments sur la dérivation

Dérivée seconde, extremums, tangentes.

8 min de lecture
3 sections, 6 exemples
40 exercices · 4 problèmes

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L'essentiel en 30 secondes

Ce chapitre outille l'étude fine des courbes : dérivées des fonctions composées usuelles, dérivée seconde f″ (la dérivée de f′), tangentes et position locale de la courbe. Résultat clé : en un extremum local situé à l'intérieur de l'intervalle, la dérivée s'annule — et réciproquement, si f′ s'annule en changeant de signe, il y a un extremum local.

1 I. Dérivée d'une fonction composée

Formule générale

En Première, on a appris à dériver des sommes, des produits et des quotients de fonctions. En Terminale, on complète ces outils avec la dérivation des fonctions composées, qui permet de dériver des expressions comme ex2e^{x^2}, ln⁡(3x+1)\ln(3x+1) ou (2x+1)5(2x+1)^5.

Cas particuliers fondamentaux

Démonstration (au programme) — Dérivée de x↦eax+bx \mapsto e^{ax+b}
Soit f(x)=eax+bf(x) = e^{ax+b} avec a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Posons u(x)=ax+bu(x) = ax + b, donc u′(x)=au'(x) = a.

Par la formule de dérivation de eue^u :
f′(x)=u′(x)⋅eu(x)=a⋅eax+bf'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)} = a \cdot e^{ax+b}

En particulier : (eax)′=aeax(e^{ax})' = ae^{ax}.

2 II. Dérivée seconde

Définition

3 III. Convexité

Définition et interprétation graphique

Caractérisation par la dérivée seconde

Point d'inflexion

Questions fréquentes

Comment dériver une fonction composée ?
On applique (f(u))′=u′×f′(u)\big(f(u)\big)' = u' \times f'(u) : on dérive la fonction extérieure en gardant l'intérieur intact, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur. Par exemple, la dérivée de e3x+1e^{3x+1} est 3 e3x+13\,e^{3x+1}. Oublier le facteur u′u' est l'erreur la plus courante.
Comment étudier le sens de variation d'une fonction ?
On calcule f′f', on étudie son signe, et on conclut : ff croît là où f′>0f' > 0, décroît là où f′<0f' < 0. Un extremum local se trouve là où f′f' s'annule en changeant de signe — s'annuler ne suffit pas, comme le montre x3x^3 en 00.
Comment trouver l'équation d'une tangente ?
La tangente à la courbe de ff au point d'abscisse aa a pour équation y=f′(a)(x−a)+f(a)y = f'(a)(x - a) + f(a). Le coefficient directeur est le nombre dérivé f′(a)f'(a), et la droite passe par le point (a ;f(a))\big(a\,;f(a)\big).

Dérivée d'une composée

Dérivée seconde et convexité

Point d'inflexion

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Dériver les fonctions suivantes :

a) f(x)=e3xf(x) = e^{3x}

b) f(x)=e−2x+1f(x) = e^{-2x+1}

c) f(x)=ex2f(x) = e^{x^2}
Correction détaillée
**a)** $u = 3x$, $u' = 3$. $f'(x) = 3e^{3x}$. **b)** $u = -2x+1$, $u' = -2$. $f'(x) = -2e^{-2x+1}$. **c)** $u = x^2$, $u' = 2x$. $f'(x) = 2x\,e^{x^2}$.
Exercice 2
Facile
Dériver les fonctions suivantes :

a) f(x)=ln⁡(2x+3)f(x) = \ln(2x+3) pour x>−32x > -\frac{3}{2}

b) f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln(x^2+1)

c) f(x)=ln⁡(ex+1)f(x) = \ln(e^x + 1)
Correction détaillée
**a)** $u = 2x+3$, $u' = 2$. $f'(x) = \frac{2}{2x+3}$. **b)** $u = x^2+1$, $u' = 2x$. $f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$. **c)** $u = e^x+1$, $u' = e^x$. $f'(x) = \frac{e^x}{e^x+1}$.
Exercice 3
Facile
Dériver f(x)=(3x−1)4f(x) = (3x-1)^4.
Correction détaillée
$u = 3x-1$, $u' = 3$. $(u^4)' = 4u' u^3 = 4 \times 3 \times (3x-1)^3 = \boxed{12(3x-1)^3}$.
Exercice 4
Facile
Dériver f(x)=5x+2f(x) = \sqrt{5x+2} pour x>−25x > -\frac{2}{5}.
Correction détaillée
$u = 5x+2$, $u' = 5$. $f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{5x+2}} = \boxed{\frac{5}{2\sqrt{5x+2}}}$.
Exercice 5
Facile
Dériver f(x)=1x2+1f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}.
Correction détaillée
$u = x^2+1$, $u' = 2x$. $f'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2} = \boxed{-\frac{2x}{(x^2+1)^2}}$.
Exercice 6
Facile
Calculer f′′(x)f''(x) pour f(x)=x3−6x2+9x−2f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2.
Correction détaillée
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$. $f''(x) = 6x - 12 = \boxed{6(x-2)}$.
Exercice 7
Facile
Calculer f′′(x)f''(x) pour f(x)=exf(x) = e^x. La fonction ff est-elle convexe ou concave ?
Correction détaillée
$f'(x) = e^x$. $f''(x) = e^x > 0$ pour tout $x$. Comme $f'' > 0$ sur $\mathbb{R}$, $f$ est $\boxed{\text{convexe sur } \mathbb{R}}$.
Exercice 8
Facile
Calculer f′′(x)f''(x) pour f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln(x) (x>0x > 0). La fonction est-elle convexe ou concave ?
Correction détaillée
$f'(x) = \frac{1}{x}$. $f''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$ pour tout $x > 0$. Comme $f'' < 0$ sur $]0\,;+\infty[$, $f$ est $\boxed{\text{concave sur } ]0\,;+\infty[}$.
Exercice 9
Facile
Montrer que f(x)=x2f(x) = x^2 est convexe sur R\mathbb{R} à l'aide de f′′f''.
Correction détaillée
$f'(x) = 2x$. $f''(x) = 2 > 0$ pour tout $x$. Donc $\boxed{f \text{ est convexe sur } \mathbb{R}}$.
Exercice 10
Facile
Déterminer les points d'inflexion de f(x)=x3f(x) = x^3.
Correction détaillée
$f'(x) = 3x^2$. $f''(x) = 6x$. $f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$. $f''$ passe de négatif ($x < 0$) à positif ($x > 0$) : changement de signe ✓. $f(0) = 0$. Le point $\boxed{(0\,;0)}$ est un point d'inflexion.
Exercice 11
Facile
Dériver f(x)=e−x2/2f(x) = e^{-x^2/2}.
Correction détaillée
$u = -\frac{x^2}{2}$, $u' = -x$. $f'(x) = -x\,e^{-x^2/2} = \boxed{-x\,e^{-x^2/2}}$.
Exercice 12
Facile
Dériver f(x)=[ln⁡(x)]2f(x) = [\ln(x)]^2 pour x>0x > 0.
Correction détaillée
$f(x) = u^2$ avec $u = \ln(x)$, $u' = \frac{1}{x}$. $f'(x) = 2u' \cdot u = \frac{2\ln(x)}{x} = \boxed{\frac{2\ln(x)}{x}}$.
Exercice 13
Facile
Montrer que ex⩾x+1e^x \geqslant x + 1 pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.
Correction détaillée
$f(x) = e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$ (car $f''(x) = e^x > 0$). Sa tangente en $0$ a pour équation $y = f'(0)(x-0) + f(0) = 1 \cdot x + 1 = x + 1$. Comme $f$ est convexe, sa courbe est **au-dessus de ses tangentes** : $$\boxed{e^x \geqslant x + 1 \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}}$$
Exercice 14
Facile
Déterminer la convexité de f(x)=x4−6x2f(x) = x^4 - 6x^2.
Correction détaillée
$f'(x) = 4x^3 - 12x$. $f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2-1) = 12(x-1)(x+1)$. $f'' \geqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant -1$ ou $x \geqslant 1$. $f$ est **convexe** sur $]-\infty\,;-1]$ et sur $[1\,;+\infty[$, **concave** sur $[-1\,;1]$.
Exercice 15
Facile
Dériver f(x)=esin⁡(x)f(x) = e^{\sin(x)}.
Correction détaillée
$u = \sin(x)$, $u' = \cos(x)$. $f'(x) = \cos(x)\,e^{\sin(x)} = \boxed{\cos(x)\,e^{\sin(x)}}$.
Exercice 16
Intermédiaire
Dériver f(x)=x2e−3xf(x) = x^2 e^{-3x} puis étudier les variations de ff.
Correction détaillée
$f'(x) = 2x\,e^{-3x} + x^2(-3e^{-3x}) = e^{-3x}(2x - 3x^2) = xe^{-3x}(2 - 3x)$. $e^{-3x} > 0$, donc le signe de $f'$ est celui de $x(2-3x)$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ou $x = \frac{2}{3}$. | $x$ | $-\infty$ | | $0$ | | $\frac{2}{3}$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---|---|---|---|---| | $f'$ | | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | | | $f$ | | $\searrow$ | $0$ | $\nearrow$ | $\frac{4}{9}e^{-2}$ | $\searrow$ | |
Exercice 17
Intermédiaire
Dériver f(x)=ln⁡(x2−4)f(x) = \ln(x^2 - 4) et préciser son domaine de définition.
Correction détaillée
Domaine : $x^2 - 4 > 0 \Leftrightarrow |x| > 2$, soit $D_f = ]-\infty\,;-2[ \cup ]2\,;+\infty[$. $u = x^2-4$, $u' = 2x$. $f'(x) = \frac{2x}{x^2-4} = \boxed{\frac{2x}{x^2-4}}$.
Exercice 18
Intermédiaire
Dériver f(x)=ex+1f(x) = \sqrt{e^x + 1}.
Correction détaillée
$u = e^x+1$, $u' = e^x$. $f'(x) = \frac{e^x}{2\sqrt{e^x+1}} = \boxed{\frac{e^x}{2\sqrt{e^x+1}}}$.
Exercice 19
Intermédiaire
Soit f(x)=xe−xf(x) = xe^{-x}. Calculer f′′(x)f''(x) et déterminer le point d'inflexion.
Correction détaillée
$f'(x) = e^{-x} + x(-e^{-x}) = (1-x)e^{-x}$. $f''(x) = -e^{-x} + (1-x)(-e^{-x}) = e^{-x}(-1 - 1 + x) = (x-2)e^{-x}$. $f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$. $f''$ passe de négatif ($x < 2$) à positif ($x > 2$) : changement de signe. $f(2) = 2e^{-2}$. Le point d'inflexion est $\boxed{\left(2\,; 2e^{-2}\right)}$. $f$ est concave sur $]-\infty\,;2]$ et convexe sur $[2\,;+\infty[$.
Exercice 20
Intermédiaire
Montrer que ln⁡(x)⩽x−1\ln(x) \leqslant x - 1 pour tout x>0x > 0.
Correction détaillée
$g(x) = \ln(x)$ est concave sur $]0\,;+\infty[$ (car $g''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$). Sa tangente en $1$ : $y = g'(1)(x-1) + g(1) = 1 \cdot (x-1) + 0 = x-1$. Comme $g$ est concave, sa courbe est **en dessous de ses tangentes** : $$\boxed{\ln(x) \leqslant x - 1 \quad \text{pour tout } x > 0}$$
Exercice 21
Intermédiaire
Déterminer les points d'inflexion de f(x)=x4−6x2+1f(x) = x^4 - 6x^2 + 1.
Correction détaillée
$f'(x) = 4x^3 - 12x$. $f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2-1)$. $f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ ou $x = 1$. $f''$ change de signe en $-1$ (de $+$ à $-$) et en $1$ (de $-$ à $+$). $f(-1) = 1 - 6 + 1 = -4$ et $f(1) = 1 - 6 + 1 = -4$. Points d'inflexion : $\boxed{(-1\,;-4)}$ et $\boxed{(1\,;-4)}$.
Exercice 22
Intermédiaire
Dériver f(x)=e2xe2x+1f(x) = \dfrac{e^{2x}}{e^{2x}+1} et simplifier.
Correction détaillée
C'est un quotient $\frac{u}{v}$ avec $u = e^{2x}$, $u' = 2e^{2x}$, $v = e^{2x}+1$, $v' = 2e^{2x}$. $f'(x) = \frac{2e^{2x}(e^{2x}+1) - e^{2x} \cdot 2e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2} = \frac{2e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2} = \boxed{\frac{2e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}}$
Exercice 23
Intermédiaire
Dériver f(x)=exln⁡(x)f(x) = e^{x} \ln(x) pour x>0x > 0 puis résoudre f′(x)=0f'(x) = 0.
Correction détaillée
$f'(x) = e^x \ln(x) + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x\left(\ln(x) + \frac{1}{x}\right)$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \ln(x) + \frac{1}{x} = 0$ (car $e^x > 0$). Posons $g(x) = \ln(x) + \frac{1}{x}$. $g'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} = \frac{x-1}{x^2}$. $g'(x) < 0$ si $x < 1$, $g'(x) > 0$ si $x > 1$. Minimum en $x = 1$ : $g(1) = 0 + 1 = 1 > 0$. Donc $g(x) \geqslant 1 > 0$ pour tout $x > 0$ : $\boxed{f'(x) > 0}$ pour tout $x > 0$. L'équation $f'(x) = 0$ n'a pas de solution.
Exercice 24
Intermédiaire
Soit f(x)=x−ln⁡(x)f(x) = x - \ln(x) pour x>0x > 0.

1) Étudier la convexité de ff.

2) En déduire que ln⁡(x)⩽x−1\ln(x) \leqslant x - 1 pour tout x>0x > 0.
1.
Convexité.
$f'(x) = 1 - \frac{1}{x}$. $f''(x) = \frac{1}{x^2} > 0$ pour tout $x > 0$. Donc $\boxed{f \text{ est convexe sur } ]0\,;+\infty[}$.
2.
Inégalité.
$f$ est convexe, donc au-dessus de ses tangentes. En $x = 1$ : $f(1) = 1 - 0 = 1$ et $f'(1) = 1 - 1 = 0$. Tangente : $y = 0 \cdot (x-1) + 1 = 1$. Donc $f(x) \geqslant 1$, soit $x - \ln(x) \geqslant 1$, soit $\boxed{\ln(x) \leqslant x - 1}$.
Exercice 25
Intermédiaire
Dériver f(x)=(ln⁡(x))3f(x) = (\ln(x))^3 pour x>0x > 0.
Correction détaillée
$u = \ln(x)$, $u' = \frac{1}{x}$. $f(x) = u^3$. $f'(x) = 3u' \cdot u^2 = \frac{3(\ln(x))^2}{x} = \boxed{\frac{3(\ln x)^2}{x}}$.
Exercice 26
Intermédiaire
Dériver f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right) pour x>1x > 1.
Correction détaillée
$f(x) = \ln(x+1) - \ln(x-1)$. $f'(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} = \frac{(x-1) - (x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{-2}{x^2-1} = \boxed{\frac{-2}{x^2-1}}$.
Exercice 27
Intermédiaire
Soit f(x)=x2ln⁡(x)f(x) = x^2 \ln(x) pour x>0x > 0. Calculer f′′(x)f''(x) et déterminer le point d'inflexion.
Correction détaillée
$f'(x) = 2x \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x\ln(x) + x = x(2\ln(x) + 1)$. $f''(x) = 2\ln(x) + 1 + x \cdot \frac{2}{x} = 2\ln(x) + 3$. $f''(x) = 0 \Leftrightarrow \ln(x) = -\frac{3}{2} \Leftrightarrow x = e^{-3/2}$. $f''$ passe de négatif ($x < e^{-3/2}$) à positif ($x > e^{-3/2}$). $f(e^{-3/2}) = e^{-3} \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{2}e^{-3}$. Point d'inflexion : $\boxed{\left(e^{-3/2}\,; -\frac{3}{2}e^{-3}\right)}$.
Exercice 28
Intermédiaire
Dériver f(x)=sin⁡(2x+1)f(x) = \sin(2x + 1) et g(x)=cos⁡(x2)g(x) = \cos(x^2).
Correction détaillée
**$f$ :** $u = 2x+1$, $u' = 2$. $f'(x) = 2\cos(2x+1)$. **$g$ :** $u = x^2$, $u' = 2x$. $g'(x) = -2x\sin(x^2) = \boxed{-2x\sin(x^2)}$.
Exercice 29
Difficile
Soit f(x)=(x2+1)e−xf(x) = (x^2 + 1)e^{-x}. Étudier les variations et la convexité de ff.
Correction détaillée
$f'(x) = 2xe^{-x} + (x^2+1)(-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2 - 1) = -e^{-x}(x^2-2x+1) = -(x-1)^2 e^{-x}$. $(x-1)^2 \geqslant 0$ et $e^{-x} > 0$, donc $f'(x) \leqslant 0$ avec $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$. $f$ est **décroissante** sur $\mathbb{R}$ (avec un palier en $x = 1$). $f''(x)$ : on dérive $f'(x) = -(x-1)^2 e^{-x}$ : $f''(x) = -[2(x-1)e^{-x} + (x-1)^2(-e^{-x})] = -(x-1)e^{-x}[2 - (x-1)] = -(x-1)(3-x)e^{-x}$. Soit $f''(x) = (x-1)(x-3)e^{-x}$. $f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ ou $x = 3$. | $x$ | $-\infty$ | | $1$ | | $3$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---|---|---|---|---| | $f''$ | | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | | | Convexité | | convexe | infl. | concave | infl. | convexe | | Points d'inflexion : $(1\,; 2e^{-1})$ et $(3\,; 10e^{-3})$.
Exercice 30
Difficile
Montrer que pour tout x>0x > 0 : x1+x⩽ln⁡(1+x)⩽x\dfrac{x}{1+x} \leqslant \ln(1+x) \leqslant x.
Correction détaillée
**Inégalité droite :** $\ln(1+x) \leqslant x$. C'est l'inégalité $\ln(t) \leqslant t - 1$ appliquée à $t = 1+x$ : $\ln(1+x) \leqslant (1+x) - 1 = x$. ✓ **Inégalité gauche :** $\frac{x}{1+x} \leqslant \ln(1+x)$. Posons $h(x) = \ln(1+x) - \frac{x}{1+x}$ pour $x > 0$. $h(0) = 0$. $h'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(1+x) - x}{(1+x)^2} = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{(1+x) - 1}{(1+x)^2} = \frac{x}{(1+x)^2}$. Pour $x > 0$ : $h'(x) > 0$, donc $h$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$. Comme $h(0) = 0$, on a $h(x) > 0$ pour $x > 0$. $\boxed{\frac{x}{1+x} \leqslant \ln(1+x) \leqslant x \quad \text{pour tout } x > 0}$
Exercice 31
Difficile
Soit f(x)=ex−1−x−x22f(x) = e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}. Montrer que f(x)⩾0f(x) \geqslant 0 pour tout x⩾0x \geqslant 0, puis en déduire ex⩾1+x+x22e^x \geqslant 1 + x + \frac{x^2}{2}.
Correction détaillée
$f(0) = 0$. $f'(x) = e^x - 1 - x$. $f'(0) = 0$. $f''(x) = e^x - 1$. $f''(0) = 0$. $f'''(x) = e^x > 0$ pour tout $x$, donc $f''$ est strictement croissante. Comme $f''(0) = 0$ et $f''$ croissante : $f''(x) \geqslant 0$ pour $x \geqslant 0$. Donc $f'$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$. Comme $f'(0) = 0$ : $f'(x) \geqslant 0$ pour $x \geqslant 0$. Donc $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$. Comme $f(0) = 0$ : $f(x) \geqslant 0$ pour $x \geqslant 0$. $\boxed{e^x \geqslant 1 + x + \frac{x^2}{2} \quad \text{pour tout } x \geqslant 0}$
Exercice 32
Difficile
Soit f(x)=xln⁡(x)f(x) = \dfrac{x}{\ln(x)} pour x>0x > 0, x≠1x \neq 1.

Calculer f′(x)f'(x) et f′′(x)f''(x), puis étudier la convexité de ff sur ]1 ;+∞[]1\,;+\infty[.
Correction détaillée
$f'(x) = \frac{\ln(x) - x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{\ln(x) - 1}{(\ln x)^2}$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \ln(x) = 1 \Leftrightarrow x = e$. Pour $f''$ sur $]1\,;+\infty[$ : $f'(x) = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}$. On dérive ce quotient : $f''(x) = \frac{\frac{1}{x}(\ln x)^2 - (\ln x - 1) \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^4} = \frac{\frac{\ln x}{x}[\ln x - 2(\ln x - 1)]}{(\ln x)^4}$ $= \frac{\frac{\ln x}{x}(2 - \ln x)}{(\ln x)^4} = \frac{2 - \ln x}{x(\ln x)^3}$. Sur $]1\,;+\infty[$ : $x > 0$ et $\ln x > 0$, donc le signe de $f''$ est celui de $2 - \ln x$. $f''(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow \ln x \leqslant 2 \Leftrightarrow x \leqslant e^2$. $f$ est **convexe** sur $]1\,;e^2]$ et **concave** sur $[e^2\,;+\infty[$. Point d'inflexion en $x = e^2$ : $f(e^2) = \frac{e^2}{2}$.
Exercice 33
Difficile
Dériver f(x)=xxf(x) = x^x pour x>0x > 0.

(Indication : écrire xx=exln⁡(x)x^x = e^{x\ln(x)}.)
Correction détaillée
$f(x) = e^{x\ln(x)}$. Posons $u(x) = x\ln(x)$. $u'(x) = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$. $f'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)} = (\ln(x) + 1) \cdot e^{x\ln(x)} = \boxed{(\ln(x)+1) \cdot x^x}$.
Exercice 34
Difficile
Soit f(x)=exxf(x) = \dfrac{e^x}{x} pour x>0x > 0.

1) Étudier les variations de ff.

2) Montrer que ex⩾exe^x \geqslant ex pour tout x>0x > 0.
1.
Variations.
$f'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$. $e^x > 0$ et $x^2 > 0$, donc le signe de $f'$ est celui de $x - 1$. $f'(x) < 0$ si $x < 1$, $f'(x) > 0$ si $x > 1$. Minimum en $x = 1$ : $f(1) = e$. | $x$ | $0^+$ | | $1$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---|---|---| | $f'$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | | $f$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $e$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |
2.
Montrer ex⩾exe^x \geqslant ex.
D'après les variations, $f(x) = \frac{e^x}{x} \geqslant f(1) = e$ pour tout $x > 0$. Donc $\frac{e^x}{x} \geqslant e$, soit $\boxed{e^x \geqslant ex}$ pour tout $x > 0$.
Exercice 35
Difficile
Soit f(x)=x2e1/xf(x) = x^2 e^{1/x} pour x>0x > 0. Dériver ff.
Correction détaillée
$f$ est un produit $u \cdot v$ avec $u = x^2$, $v = e^{1/x}$. $u' = 2x$. Pour $v$ : on pose $w = \frac{1}{x} = x^{-1}$, $w' = -\frac{1}{x^2}$. Donc $v' = -\frac{1}{x^2} e^{1/x}$. $f'(x) = 2x \cdot e^{1/x} + x^2 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) e^{1/x} = 2xe^{1/x} - e^{1/x} = \boxed{(2x-1)e^{1/x}}$.
Exercice 36
Avancé
Montrer l'inégalité arithmético-géométrique pour n=2n = 2 : pour tous a,b>0a, b > 0,
ab⩽a+b2\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2}
en utilisant la convexité de f(x)=−ln⁡(x)f(x) = -\ln(x).
Correction détaillée
$f(x) = -\ln(x)$ est convexe sur $]0\,;+\infty[$ car $f''(x) = \frac{1}{x^2} > 0$. Par convexité, pour tous $a, b > 0$ : $$f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{f(a)+f(b)}{2}$$ Soit $-\ln\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{-\ln(a)-\ln(b)}{2} = -\frac{\ln(ab)}{2}$. En multipliant par $-1$ (renversement) : $\ln\left(\frac{a+b}{2}\right) \geqslant \frac{\ln(ab)}{2} = \ln(\sqrt{ab})$. Comme $\ln$ est croissante : $\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$. $\boxed{\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2}}$
Exercice 37
Avancé
Soit ff deux fois dérivable sur R\mathbb{R} avec f(0)=0f(0) = 0, f(1)=1f(1) = 1 et f′′(x)⩾0f''(x) \geqslant 0 pour tout xx.

Montrer que f(x)⩽xf(x) \leqslant x pour tout x∈[0 ;1]x \in [0\,;1].
Correction détaillée
$f$ est convexe (car $f'' \geqslant 0$). La corde entre $(0, f(0)) = (0,0)$ et $(1, f(1)) = (1,1)$ a pour équation $y = x$. Par définition de la convexité, la courbe de $f$ est **en dessous de la corde** sur $[0\,;1]$ : $$\boxed{f(x) \leqslant x \quad \text{pour tout } x \in [0\,;1]}$$
Exercice 38
Avancé
Soit ff une fonction deux fois dérivable sur R\mathbb{R} telle que f′′+f′=0f'' + f' = 0 et f(0)=1f(0) = 1, f′(0)=−1f'(0) = -1.

Montrer que f(x)=e−xf(x) = e^{-x}.

(On pourra montrer que g(x)=f(x)−e−xg(x) = f(x) - e^{-x} est identiquement nulle.)
Correction détaillée
Posons $g(x) = f(x) - e^{-x}$. $g(0) = f(0) - 1 = 0$ et $g'(0) = f'(0) + 1 = -1 + 1 = 0$. $g'(x) = f'(x) + e^{-x}$ et $g''(x) = f''(x) - e^{-x}$. Or $f'' = -f'$, donc $g''(x) = -f'(x) - e^{-x} = -(f'(x) + e^{-x}) = -g'(x)$. Ainsi $(g' + g)' = g'' + g' = 0$. Donc $g'(x) + g(x) = g'(0) + g(0) = 0$ pour tout $x$. Posons $\varphi(x) = g(x)e^x$. Alors : $\varphi'(x) = g'(x)e^x + g(x)e^x = (g'(x) + g(x))e^x = 0$. Donc $\varphi$ est constante : $\varphi(x) = \varphi(0) = g(0) \cdot 1 = 0$. Comme $e^x > 0$ : $g(x) = 0$ pour tout $x$. $\boxed{f(x) = e^{-x}}$
Exercice 39
Avancé
Soit f(x)=x2−1x2+1f(x) = \dfrac{x^2-1}{x^2+1}.

1) Dériver ff et f′f'.

2) Déterminer les points d'inflexion de ff.
1.
Dériver ff et f′f'.
$f'(x) = \frac{2x(x^2+1) - (x^2-1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x(x^2+1-x^2+1)}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2}$. Pour $f''$ : $f'(x) = 4x(x^2+1)^{-2}$. Par produit : $f''(x) = 4(x^2+1)^{-2} + 4x \cdot (-2) \cdot 2x \cdot (x^2+1)^{-3} = \frac{4}{(x^2+1)^2} - \frac{16x^2}{(x^2+1)^3}$ $= \frac{4(x^2+1) - 16x^2}{(x^2+1)^3} = \frac{4 - 12x^2}{(x^2+1)^3} = \frac{4(1-3x^2)}{(x^2+1)^3}$.
2.
Points d'inflexion.
$f''(x) = 0 \Leftrightarrow 1 - 3x^2 = 0 \Leftrightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$. $f''$ change de signe en ces deux points (positif entre $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ et $\frac{1}{\sqrt{3}}$, négatif ailleurs). $f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\frac{1}{3}-1}{\frac{1}{3}+1} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = -\frac{1}{2}$. Par symétrie ($f$ est paire) : $f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{1}{2}$. Points d'inflexion : $\boxed{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\,; -\frac{1}{2}\right)}$ et $\boxed{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\,; -\frac{1}{2}\right)}$.
Exercice 40
Avancé
Soit ff une fonction deux fois dérivable et convexe sur R\mathbb{R}, avec lim⁡+∞f=0\lim_{+\infty} f = 0.

Montrer que f⩾0f \geqslant 0 sur R\mathbb{R}.
Correction détaillée
Raisonnons par l'absurde. Supposons qu'il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $f(a) < 0$. Comme $f$ est convexe, pour tous $a < x < b$ : $$f(x) \leqslant \frac{b-x}{b-a}f(a) + \frac{x-a}{b-a}f(b)$$ (la courbe est en dessous de la corde). Fixons $x > a$ et faisons tendre $b \to +\infty$. On a $\frac{b-x}{b-a} \to 1$ et $\frac{x-a}{b-a} \to 0$, et $f(b) \to 0$. Donc $f(x) \leqslant 1 \cdot f(a) + 0 = f(a) < 0$. Ainsi $f(x) \leqslant f(a) < 0$ pour tout $x > a$, ce qui implique $\lim_{+\infty} f \leqslant f(a) < 0$. Contradiction avec $\lim_{+\infty} f = 0$. $\boxed{f \geqslant 0 \text{ sur } \mathbb{R}}$.
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Étude complète avec dérivée composée et convexité
Intermédiaire
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=xe−x2f(x) = xe^{-x^2}.

Partie A — Étude de ff

1.
Montrer que ff est impaire.
$f(-x) = (-x)e^{-(-x)^2} = -xe^{-x^2} = -f(x)$. $\boxed{f \text{ est impaire.}}$
2.
Calculer f′(x)f'(x) et étudier les variations de ff.
$f'(x) = e^{-x^2} + x(-2x)e^{-x^2} = (1-2x^2)e^{-x^2}$. $e^{-x^2} > 0$, donc $f'(x)$ est du signe de $1 - 2x^2$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$. $f'(x) > 0$ sur $]-\frac{1}{\sqrt{2}}\,;\frac{1}{\sqrt{2}}[$. $f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2e}}$. | $x$ | $-\infty$ | | $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ | | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---|---|---|---|---| | $f'$ | | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | | | $f$ | $0$ | $\searrow$ | $-\frac{1}{\sqrt{2e}}$ | $\nearrow$ | $\frac{1}{\sqrt{2e}}$ | $\searrow$ | $0$ |
3.
Déterminer les limites de ff en ±∞\pm\infty.
$f(x) = xe^{-x^2} = \frac{x}{e^{x^2}}$. Par croissance comparée : $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x^2}} = 0$. Par imparité : $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$. La droite $y = 0$ est asymptote horizontale en $\pm\infty$.

Partie B — Convexité

4.
Calculer f′′(x)f''(x).
$f'(x) = (1-2x^2)e^{-x^2}$. $f''(x) = -4xe^{-x^2} + (1-2x^2)(-2x)e^{-x^2} = e^{-x^2}[-4x + (-2x)(1-2x^2)]$ $= e^{-x^2}[-4x - 2x + 4x^3] = e^{-x^2}(4x^3 - 6x) = 2x(2x^2-3)e^{-x^2}$. $\boxed{f''(x) = 2x(2x^2-3)e^{-x^2}}$
5.
Déterminer les points d'inflexion de ff.
$f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ou $2x^2-3=0$, soit $x = \pm\sqrt{\frac{3}{2}}$. On vérifie que $f''$ change de signe en chacun de ces trois points. Points d'inflexion : - $(0\,; 0)$ - $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\,; \sqrt{\frac{3}{2}}\,e^{-3/2}\right)$ - $\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}\,; -\sqrt{\frac{3}{2}}\,e^{-3/2}\right)$
Problème 2 — Convexité de l'exponentielle et inégalités
Difficile
On utilise la convexité de f(x)=exf(x) = e^x pour démontrer des inégalités.

Partie A — Inégalités classiques

1.
Rappeler pourquoi exe^x est convexe sur R\mathbb{R}.
$f''(x) = e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc $f$ est $\boxed{\text{convexe sur } \mathbb{R}}$.
2.
En déduire que ex⩾1+xe^x \geqslant 1 + x pour tout xx.
La tangente en $0$ est $y = f'(0)(x-0)+f(0) = x + 1$. Comme $f$ est convexe, sa courbe est au-dessus de ses tangentes : $\boxed{e^x \geqslant x + 1}$ pour tout $x$.
3.
En déduire que pour tous réels aa et bb : e(a+b)/2⩽ea+eb2e^{(a+b)/2} \leqslant \frac{e^a + e^b}{2}.
Par convexité de $e^x$ : pour $t = \frac{1}{2}$, $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{f(a)+f(b)}{2}$. $\boxed{e^{(a+b)/2} \leqslant \frac{e^a+e^b}{2}}$.

Partie B — Application

4.
En prenant a=0a = 0 dans l'inégalité précédente, montrer que eb/2⩽1+eb2e^{b/2} \leqslant \frac{1+e^b}{2}.
$a = 0$ : $e^{b/2} \leqslant \frac{e^0 + e^b}{2} = \boxed{\frac{1+e^b}{2}}$.
5.
En déduire que 4eb⩾(1+eb)24e^b \geqslant (1+e^b)^2 est fausse en général. Quelle inégalité correcte obtient-on en élevant au carré ?
De $e^{b/2} \leqslant \frac{1+e^b}{2}$, en élevant au carré (les deux membres sont positifs) : $e^b \leqslant \frac{(1+e^b)^2}{4}$, soit $\boxed{4e^b \leqslant (1+e^b)^2}$. C'est l'inégalité AM-GM : $4ab \leqslant (a+b)^2$ avec $a = 1$, $b = e^b$. Toujours vraie.
Problème 3 — Fonction et tangente d'inflexion
Difficile
Soit f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4.

Partie A — Étude de ff

1.
Calculer f′(x)f'(x), f′′(x)f''(x), et dresser le tableau de variations complet de ff.
$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ou $x = 2$. $f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)$. $f(0) = 4$, $f(2) = 8-12+4 = 0$, $f(1) = 1-3+4 = 2$. | $x$ | $-\infty$ | | $0$ | | $1$ | | $2$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| | $f'$ | | $+$ | $0$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | | | $f''$ | | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | | | $f$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $4$ | $\searrow$ | $2$ infl. | $\searrow$ | $0$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |
2.
Déterminer le point d'inflexion et l'équation de la tangente en ce point.
$f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$. $f''$ change de signe en $1$. Point d'inflexion : $I = (1\,; 2)$. Tangente en $I$ : $y = f'(1)(x-1) + f(1) = (3-6)(x-1) + 2 = -3x + 5$. $\boxed{y = -3x + 5}$

Partie B — Position par rapport à la tangente d'inflexion

3.
Étudier le signe de f(x)−(−3x+5)f(x) - (-3x+5) et interpréter.
$f(x) - (-3x+5) = x^3 - 3x^2 + 4 + 3x - 5 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x-1)^3$. $(x-1)^3 < 0$ si $x < 1$ : la courbe est **en dessous** de la tangente. $(x-1)^3 > 0$ si $x > 1$ : la courbe est **au-dessus** de la tangente. La courbe **traverse** sa tangente au point d'inflexion $I$, ce qui confirme que $I$ est bien un point d'inflexion.
Problème 4 — Fonction logarithme et dérivée composée
Intermédiaire
Soit ff la fonction définie sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ par f(x)=ln⁡(x)−12ln⁡(x2+1)f(x) = \ln(x) - \frac{1}{2}\ln(x^2+1).

Partie A

1.
Simplifier f(x)f(x) et déterminer les limites de ff en 0+0^+ et en +∞+\infty.
$f(x) = \ln(x) - \frac{1}{2}\ln(x^2+1) = \ln(x) - \ln(\sqrt{x^2+1}) = \ln\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)$. En $0^+$ : $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \to \frac{0}{1} = 0$, donc $f(x) \to \ln(0^+) = -\infty$. En $+\infty$ : $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{1+1/x^2}} \to 1$, donc $f(x) \to \ln(1) = 0$. $\boxed{\lim_{0^+} f = -\infty, \quad \lim_{+\infty} f = 0}$
2.
Calculer f′(x)f'(x) et étudier les variations de ff.
$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2+1} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1} = \frac{x^2+1-x^2}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x(x^2+1)}$. Pour $x > 0$ : $f'(x) > 0$. Donc $f$ est **strictement croissante** sur $]0\,;+\infty[$. | $x$ | $0^+$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---| | $f'$ | | $+$ | | | $f$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $0$ |
3.
En déduire le signe de f(x)f(x) et montrer que xx2+1<1\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} < 1 pour tout x>0x > 0.
$f$ est strictement croissante de $-\infty$ à $0$ (non atteint). Donc $f(x) < 0$ pour tout $x > 0$, soit $\ln\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right) < 0$. Comme $\ln$ est croissante : $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} < 1$. Alternativement : $x < \sqrt{x^2+1}$ car $x^2 < x^2+1$. ✓ $\boxed{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} < 1 \text{ pour tout } x > 0}$