Aller au contenu
🇫🇷 France 🇲🇦 Maroc

Chapitre 04 Continuité des fonctions Terminale Spé

Exercices corrigés sur la continuité des fonctions en Terminale spécialité

Montrer qu’une équation admet une solution ne consiste pas toujours à la résoudre exactement. Ces exercices de continuité en Terminale t’apprennent à choisir une fonction, un intervalle et deux valeurs entre lesquelles appliquer le théorème des valeurs intermédiaires. Justifie sa continuité et les valeurs prises aux bornes avant de conclure. Pour prouver l’unicité, ajoute une étude de stricte monotonie sur l’intervalle considéré.

Tu trouveras ensuite des encadrements par dichotomie, notamment pour des équations polynomiales et exponentielles. À chaque étape, conserve un intervalle où le changement de signe garantit la présence de la racine. La banque comporte également des points fixes et des suites récurrentes : le passage à la limite donne une équation nécessaire, à distinguer de la preuve que la suite converge.

40 exercices : 15 faciles, 13 intermédiaires, 7 difficiles, 5 avancés. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.

Conforme au programme officiel 2026-2027 · notre méthode de vérification

Cours et fiche de révision sur la continuité des fonctions

Les 40 exercices, du plus simple au plus complet

40 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 1

Non commencéFacile
La fonction f(x)=x2−3x+5f(x) = x^2 - 3x + 5 est-elle continue sur R\mathbb{R} ? Justifier.

Exercice 2

Non commencéFacile
La fonction f(x)=x+1x−2f(x) = \dfrac{x+1}{x-2} est-elle continue sur R\mathbb{R} ?

Exercice 3

Non commencéFacile
La fonction g(x)=e−x2g(x) = e^{-x^2} est-elle continue sur R\mathbb{R} ? Justifier.

Exercice 4

Non commencéFacile
La fonction f(x)=3x+7f(x) = \sqrt{3x + 7} est-elle continue sur son domaine de définition ?

Exercice 5

Non commencéFacile
Montrer que l'équation x2=3x^2 = 3 admet au moins une solution dans [1 ;2][1\,;2].

Exercice 6

Non commencéFacile
Montrer que l'équation ex=2e^x = 2 admet une unique solution dans R\mathbb{R}.

Exercice 7

Non commencéFacile
Montrer que l'équation x3−5x+3=0x^3 - 5x + 3 = 0 admet au moins une solution dans [0 ;1][0\,;1].

Exercice 8

Non commencéFacile
Soit (un)(u_n) définie par un+1=12un+3u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3 et u0=0u_0 = 0. Si (un)(u_n) converge vers ℓ\ell, déterminer ℓ\ell.

Exercice 9

Non commencéFacile
La fonction f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln(x^2 + 1) est-elle continue sur R\mathbb{R} ?

Exercice 10

Non commencéFacile
Montrer que l'équation cos⁡(x)=x\cos(x) = x admet au moins une solution dans [0 ;1][0\,;1].

Exercice 11

Non commencéFacile
Appliquer une étape de dichotomie pour encadrer la solution de x3+x−1=0x^3 + x - 1 = 0 dans [0 ;1][0\,;1].

Exercice 12

Non commencéFacile
Soit f(x)=x3−6x+2f(x) = x^3 - 6x + 2. Montrer que f(x)=0f(x) = 0 admet au moins une solution dans [0 ;1][0\,;1].

Exercice 13

Non commencéFacile
Soit ff continue sur [0 ;5][0\,;5] avec f(0)=−3f(0) = -3 et f(5)=7f(5) = 7. Peut-on affirmer que ff s'annule sur [0 ;5][0\,;5] ?

Exercice 14

Non commencéFacile
Soit ff continue sur [0 ;3][0\,;3] avec f(0)=2f(0) = 2 et f(3)=8f(3) = 8. Peut-on affirmer que ff prend la valeur 55 sur [0 ;3][0\,;3] ?

Exercice 15

Non commencéFacile
Soit (un)(u_n) définie par u0=0u_0 = 0 et un+1=un2+14u_{n+1} = u_n^2 + \frac{1}{4}. Si (un)(u_n) converge vers ℓ\ell, déterminer ℓ\ell.

Exercice 16

Non commencéIntermédiaire
Montrer que l'équation x3+x−1=0x^3 + x - 1 = 0 admet exactement une solution dans R\mathbb{R}.

Exercice 17

Non commencéIntermédiaire
Montrer que l'équation ex+x=0e^x + x = 0 admet une unique solution α\alpha dans R\mathbb{R}, puis montrer que α∈[−1 ;0]\alpha \in [-1\,;0].

Exercice 18

Non commencéIntermédiaire
Montrer que l'équation ln⁡(x)=−x+2\ln(x) = -x + 2 admet une unique solution sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.

Exercice 19

Non commencéIntermédiaire
Soit f(x)=x3−3x+1f(x) = x^3 - 3x + 1.

1) Étudier les variations de ff.

2) En déduire le nombre de solutions de f(x)=0f(x) = 0 dans R\mathbb{R}.
1.
Variations de ff.
2.
Nombre de solutions.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 20

Non commencéIntermédiaire
Montrer que pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, l'équation xn+x=1x^n + x = 1 admet une unique solution αn\alpha_n dans [0 ;1][0\,;1].

Exercice 21

Non commencéIntermédiaire
Soit (un)(u_n) définie par u0=4u_0 = 4 et un+1=3un+4u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4}.

1) Montrer que si (un)(u_n) converge, sa limite est 44.

2) Montrer par récurrence que un⩾4u_n \geqslant 4 pour tout nn.
1.
Limite si convergence.
2.
Montrer un⩾4u_n \geqslant 4.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 22

Non commencéIntermédiaire
Montrer que toute fonction polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle.

Exercice 23

Non commencéIntermédiaire
Par dichotomie, encadrer à 0,250{,}25 près la solution de ex+x=0e^x + x = 0 dans [−1 ;0][-1\,;0].

Exercice 24

Non commencéIntermédiaire
Soit ff continue sur [0 ;1][0\,;1] avec f(0)=0f(0) = 0 et f(1)=1f(1) = 1. Montrer qu'il existe c∈[0 ;1]c \in [0\,;1] tel que f(c)=cf(c) = c.

(Indication : introduire g(x)=f(x)−xg(x) = f(x) - x.)

Exercice 25

Non commencéIntermédiaire
Montrer que l'équation x5+x3+x=10x^5 + x^3 + x = 10 admet une unique solution dans R\mathbb{R}.

Exercice 26

Non commencéIntermédiaire
Soit f(x)=xex−1f(x) = xe^x - 1. Montrer que f(x)=0f(x) = 0 admet exactement une solution dans R\mathbb{R}.

Exercice 27

Non commencéIntermédiaire
Soit ff continue sur [a ;b][a\,;b] telle que f(a)⋅f(b)<0f(a) \cdot f(b) < 0. Montrer que ff s'annule sur ]a ;b[]a\,;b[.

Exercice 28

Non commencéIntermédiaire
Soit (un)(u_n) définie par u0=2u_0 = 2 et un+1=un+3un+1u_{n+1} = \frac{u_n + 3}{u_n + 1}.

1) Si (un)(u_n) converge, quelle est sa limite ?

2) Montrer que un>0u_n > 0 pour tout nn.
1.
Limite.
2.
Montrer un>0u_n > 0.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 29

Non commencéDifficile
Soit f(x)=x−sin⁡(x)f(x) = x - \sin(x). Montrer que f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution dans R\mathbb{R}.

Exercice 30

Non commencéDifficile
Montrer que l'équation 2x+3x=5x2^x + 3^x = 5^x admet une unique solution dans R\mathbb{R}.

(Diviser par 5x5^x.)

Exercice 31

Non commencéDifficile
Soit ff continue sur [0 ;1][0\,;1] telle que 0⩽f(x)⩽10 \leqslant f(x) \leqslant 1 pour tout x∈[0 ;1]x \in [0\,;1].

Montrer que ff admet un point fixe, c'est-à-dire qu'il existe c∈[0 ;1]c \in [0\,;1] tel que f(c)=cf(c) = c.

Exercice 32

Non commencéDifficile
Soit f(x)=x3−3x+1f(x) = x^3 - 3x + 1 (cf. exercice 19). Par dichotomie, encadrer à 0,1250{,}125 près la racine positive la plus grande.

Exercice 33

Non commencéDifficile
Soit (un)(u_n) définie par u0=2u_0 = 2 et un+1=12(un+3un)u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n + \frac{3}{u_n}).

Montrer que si (un)(u_n) converge vers ℓ>0\ell > 0, alors ℓ=3\ell = \sqrt{3}. Que reconnaît-on ?

Exercice 34

Non commencéDifficile
Montrer que l'équation xln⁡(x)=1x \ln(x) = 1 admet une unique solution sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, puis encadrer cette solution entre deux entiers consécutifs.

Exercice 35

Non commencéDifficile
Soit ff continue sur [a ;b][a\,;b] telle que f([a ;b])⊂[a ;b]f([a\,;b]) \subset [a\,;b].

Montrer que ff admet un point fixe dans [a ;b][a\,;b].

Exercice 36

Non commencéAvancé
Soit ff continue sur [0 ;1][0\,;1] telle que f(0)=f(1)f(0) = f(1). Montrer qu'il existe c∈[0 ;12]c \in [0\,;\frac{1}{2}] tel que f(c)=f(c+12)f(c) = f(c + \frac{1}{2}).

Exercice 37

Non commencéAvancé
Soit ff et gg deux fonctions continues sur [a ;b][a\,;b] telles que f(a)>g(a)f(a) > g(a) et f(b)<g(b)f(b) < g(b). Montrer que les courbes de ff et gg se croisent au moins une fois sur ]a ;b[]a\,;b[.

Exercice 38

Non commencéAvancé
Soit f(x)=ex−x2f(x) = e^x - x^2.

Montrer que f(x)=0f(x) = 0 admet exactement une solution dans R\mathbb{R}, puis l'encadrer entre deux décimaux consécutifs au dixième.

Exercice 39

Non commencéAvancé
Soit ff continue sur R\mathbb{R} telle que lim⁡−∞f=+∞\lim_{-\infty} f = +\infty et lim⁡+∞f=+∞\lim_{+\infty} f = +\infty. Montrer que ff admet un minimum global sur R\mathbb{R}.

Exercice 40

Non commencéAvancé
Soit ff continue et injective sur un intervalle II. Montrer que ff est strictement monotone sur II.

Aller plus loin sur ce chapitre

Les 4 problèmes de synthèse restent sur la page du chapitre : ils mobilisent plusieurs notions à la fois et s'abordent une fois ces exercices maîtrisés.

Voir les 4 problèmes de synthèse sur la continuité des fonctions