Chapitre 03 Limites de fonctions Terminale Spé

Exercices corrigés sur les limites de fonctions en Terminale spécialité

Une limite de fonction se calcule en précisant d’abord où la variable tend : vers l’infini, vers un réel, à gauche ou à droite. Cette banque de Terminale te fait travailler les quotients de polynômes, les racines carrées et les expressions exponentielles. Avant de transformer une expression, identifie la forme obtenue. Tu peux alors choisir entre factorisation par le terme dominant, expression conjuguée et croissance comparée.

Les exercices sur les limites latérales demandent aussi une étude du signe du dénominateur. D’autres utilisent un encadrement trigonométrique et le théorème des gendarmes. Pour terminer, relie chaque limite à son interprétation graphique : asymptote verticale, horizontale ou oblique selon le résultat. Les corrections détaillent ces étapes, y compris dans les études de fonctions qui réunissent limites et variations.

40 exercices : 15 faciles, 13 intermédiaires, 7 difficiles, 5 avancés. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.

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Cours et fiche de révision sur les limites de fonctions

Les 40 exercices, du plus simple au plus complet

40 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 1

Non commencéFacile

Déterminer les limites suivantes :

a)

\lim_{x \to +\infty} x^3

\lim_{x \to -\infty} x^4

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^2}

\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x}

Exercice 2

Non commencéFacile

Déterminer les limites suivantes :

a)

\lim_{x \to +\infty} e^x

\lim_{x \to -\infty} e^x

\lim_{x \to +\infty} e^{-x}

\lim_{x \to -\infty} e^{-x}

Exercice 3

Non commencéFacile

Déterminer les limites suivantes à l'aide des opérations sur les limites :

a)

\lim_{x \to +\infty} (3x^2 + 5x - 1)

\lim_{x \to -\infty} (-2x^3 + x)

\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 7x)

Exercice 4

Non commencéFacile

Déterminer les limites latérales de

f(x) = \dfrac{1}{x}

0

, puis conclure.

Exercice 5

Non commencéFacile

Déterminer les limites latérales de

f(x) = \dfrac{3}{(x-2)^2}

2

Exercice 6

Non commencéFacile

Déterminer

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{5x - 3}{2x + 1}

Exercice 7

Non commencéFacile

Déterminer

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 + 1}{3x + 2}

Exercice 8

Non commencéFacile

Déterminer

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x - 1}{x^3 + x}

Exercice 9

Non commencéFacile

Déterminer les limites latérales de

f(x) = \dfrac{x+1}{x-4}

4

, puis les limites en

\pm\infty

Exercice 10

Non commencéFacile

Déterminer

\lim_{x \to +\infty} (2e^x + 3x)

Exercice 11

Non commencéFacile

Déterminer

\lim_{x \to -\infty} (e^x - x^2 + 3)

Exercice 12

Non commencéFacile

Déterminer

\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x}

à l'aide des croissances comparées.

Exercice 13

Non commencéFacile

Déterminer

\lim_{x \to -\infty} x^3 e^x

Exercice 14

Non commencéFacile

Déterminer

\lim_{x \to +\infty} e^{2x-1}

par composition.

Exercice 15

Non commencéFacile

Déterminer les asymptotes de

f(x) = \dfrac{2}{x+3} + 1

Exercice 16

Non commencéIntermédiaire

Déterminer

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^3 - x + 5}{-4x^3 + 3x^2}

Exercice 17

Non commencéIntermédiaire

Déterminer

\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 3x} - x\right)

Exercice 18

Non commencéIntermédiaire

Déterminer

\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}

Exercice 19

Non commencéIntermédiaire

Déterminer

\lim_{x \to +\infty} \left(x - \sqrt{x^2 - 4x + 1}\right)

Exercice 20

Non commencéIntermédiaire

Déterminer les limites latérales de

f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{(x-1)(x+2)}

1

et en

-2

Exercice 21

Non commencéIntermédiaire

Montrer que

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\cos(x)}{x^2} = 0

Exercice 22

Non commencéIntermédiaire

Montrer que

\lim_{x \to +\infty} \left(x^2 + \cos(x)\right) = +\infty

Exercice 23

Non commencéIntermédiaire

Déterminer

\lim_{x \to +\infty} (2x + 1)e^{-x}

Exercice 24

Non commencéIntermédiaire

Déterminer

\lim_{x \to +\infty} e^x(1 - x^2)

Exercice 25

Non commencéIntermédiaire

Déterminer

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x - 1}{e^x + 1}

Exercice 26

Non commencéIntermédiaire

Déterminer

\lim_{x \to -\infty} \dfrac{e^x - 1}{e^x + 1}

Exercice 27

Non commencéIntermédiaire

Déterminer

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{2x} + 3}{e^{2x} - x}

Exercice 28

Non commencéIntermédiaire

Déterminer les asymptotes de

f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x + 1}

et préciser la position de la courbe par rapport à ses asymptotes en

\pm\infty

Exercice 29

Non commencéDifficile

Déterminer

\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}

Exercice 30

Non commencéDifficile

Déterminer

\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{4x^2 + 3x + 1} - 2x\right)

Exercice 31

Non commencéDifficile

Déterminer

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 e^x - x}{e^x + x^3}

Exercice 32

Non commencéDifficile

Soit

f(x) = \dfrac{e^{2x} - e^x}{e^{2x} + 1}

. Déterminer les limites de

f

+\infty

et en

-\infty

, puis ses asymptotes.

Exercice 33

Non commencéDifficile

Montrer que

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2 + \sin(x) \cdot e^{-x}}{3 + \cos(x) \cdot e^{-x}} = \dfrac{2}{3}

Exercice 34

Non commencéDifficile

Déterminer

\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2}

Exercice 35

Non commencéDifficile

Soit

f(x) = xe^{1/x}

pour

x \neq 0

. Déterminer

\lim_{x \to +\infty} f(x)

\lim_{x \to 0^+} f(x)

Exercice 36

Non commencéAvancé

Déterminer

\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt[3]{x^3 + x^2} - x\right)

.

(On pourra utiliser l'identité $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ .)

Exercice 37

Non commencéAvancé

Soit

f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x-1} \, e^{-x}

. Déterminer les limites de

f

+\infty

, en

1^+

et en

1^-

Exercice 38

Non commencéAvancé

Soit

f(x) = \dfrac{e^x}{e^x - 1}

pour

x \neq 0

. Déterminer les limites de

f

+\infty

, en

-\infty

, en

0^+

et en

0^-

, puis donner les asymptotes.

Exercice 39

Non commencéAvancé

Soit

f

définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = (x^2 - 3x + 5)e^{-x}

.

1) Déterminer les limites de

f

+\infty

et en

-\infty

.

2) Calculer

f'(x)

et étudier le signe de

f'(x)

.

3) Dresser le tableau de variations de

f

Déterminer les limites de

f

+\infty

et en

-\infty

**En $+\infty$ :** $f(x) = (x^2-3x+5)e^{-x} = \frac{x^2-3x+5}{e^x}$. Par croissance comparée ($n=2$) : $\frac{x^2}{e^x} \to 0$, et de même $\frac{x}{e^x} \to 0$, $\frac{1}{e^x} \to 0$. Donc $\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0}$. La droite $y = 0$ est AH en $+\infty$. **En $-\infty$ :** $e^{-x} \to +\infty$ et $x^2-3x+5 \to +\infty$ (car $x^2$ domine). Par produit : $\boxed{\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty}$.

Calculer

f'(x)

et étudier le signe de

f'(x)

Dresser le tableau de variations de

f

Exercice 40

Non commencéAvancé

Soit

f

définie sur

]0\,;+\infty[

par

f(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{x}

.

1) Déterminer la limite de

f

+\infty

.

2) Déterminer la limite de

f

0^+

.

(On pourra écrire $f(x) = \frac{e^x - 1}{x} + \frac{1 - e^{-x}}{x}$ .)

Déterminer la limite de

f

+\infty

Déterminer la limite de

f

0^+

On écrit $f(x) = \frac{e^x - 1}{x} + \frac{1 - e^{-x}}{x}$. **Premier terme :** $\frac{e^x - 1}{x}$ est le taux d'accroissement de $e^t$ en $0$. Donc $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = (e^t)'|_{t=0} = 1$. **Second terme :** $\frac{1-e^{-x}}{x} = -\frac{e^{-x}-1}{x}$. On pose $u = -x \to 0^-$ : $\frac{e^{-x}-1}{x} = \frac{e^u - 1}{-u} = -\frac{e^u-1}{u} \to -1$. Donc $\frac{1-e^{-x}}{x} = -(-1) = 1$. Par somme : $\boxed{\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 + 1 = 2}$.

Aller plus loin sur ce chapitre

Les 4 problèmes de synthèse restent sur la page du chapitre : ils mobilisent plusieurs notions à la fois et s'abordent une fois ces exercices maîtrisés.

Voir les 4 problèmes de synthèse sur les limites de fonctions