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Chapitre 05 Compléments sur la dérivation Terminale Spé

Exercices corrigés sur les compléments sur la dérivation en Terminale spécialité

Les compléments de dérivation en Terminale demandent de reconnaître plusieurs règles dans une même expression. Tu travailles ici les exponentielles composées, les logarithmes, les puissances et les racines, puis des produits et des quotients. Précise le domaine où tu dérives, identifie la fonction intérieure et conserve son facteur dérivé. Cette étape évite notamment les oublis dans une expression comme un logarithme de polynôme.

Une dérivée calculée doit ensuite servir à répondre à la question : variations, extremum ou convexité. Les exercices proposent de factoriser avant d’étudier le signe, puis de calculer la dérivée seconde pour localiser des points d’inflexion. Certaines inégalités se démontrent aussi par une étude de fonction. Les corrections permettent de vérifier chaque enchaînement entre le calcul et sa conclusion géométrique.

40 exercices : 15 faciles, 13 intermédiaires, 7 difficiles, 5 avancés. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.

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Cours et fiche de révision sur les compléments sur la dérivation

Les 40 exercices, du plus simple au plus complet

40 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 1

Non commencéFacile
Dériver les fonctions suivantes :

a) f(x)=e3xf(x) = e^{3x}

b) f(x)=e−2x+1f(x) = e^{-2x+1}

c) f(x)=ex2f(x) = e^{x^2}

Exercice 2

Non commencéFacile
Dériver les fonctions suivantes :

a) f(x)=ln⁡(2x+3)f(x) = \ln(2x+3) pour x>−32x > -\frac{3}{2}

b) f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln(x^2+1)

c) f(x)=ln⁡(ex+1)f(x) = \ln(e^x + 1)

Exercice 3

Non commencéFacile
Dériver f(x)=(3x−1)4f(x) = (3x-1)^4.

Exercice 4

Non commencéFacile
Dériver f(x)=5x+2f(x) = \sqrt{5x+2} pour x>−25x > -\frac{2}{5}.

Exercice 5

Non commencéFacile
Dériver f(x)=1x2+1f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}.

Exercice 6

Non commencéFacile
Calculer f′′(x)f''(x) pour f(x)=x3−6x2+9x−2f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2.

Exercice 7

Non commencéFacile
Calculer f′′(x)f''(x) pour f(x)=exf(x) = e^x. La fonction ff est-elle convexe ou concave ?

Exercice 8

Non commencéFacile
Calculer f′′(x)f''(x) pour f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln(x) (x>0x > 0). La fonction est-elle convexe ou concave ?

Exercice 9

Non commencéFacile
Montrer que f(x)=x2f(x) = x^2 est convexe sur R\mathbb{R} à l'aide de f′′f''.

Exercice 10

Non commencéFacile
Déterminer les points d'inflexion de f(x)=x3f(x) = x^3.

Exercice 11

Non commencéFacile
Dériver f(x)=e−x2/2f(x) = e^{-x^2/2}.

Exercice 12

Non commencéFacile
Dériver f(x)=[ln⁡(x)]2f(x) = [\ln(x)]^2 pour x>0x > 0.

Exercice 13

Non commencéFacile
Montrer que ex⩾x+1e^x \geqslant x + 1 pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

Exercice 14

Non commencéFacile
Déterminer la convexité de f(x)=x4−6x2f(x) = x^4 - 6x^2.

Exercice 15

Non commencéFacile
Dériver f(x)=esin⁡(x)f(x) = e^{\sin(x)}.

Exercice 16

Non commencéIntermédiaire
Dériver f(x)=x2e−3xf(x) = x^2 e^{-3x} puis étudier les variations de ff.

Exercice 17

Non commencéIntermédiaire
Dériver f(x)=ln⁡(x2−4)f(x) = \ln(x^2 - 4) et préciser son domaine de définition.

Exercice 18

Non commencéIntermédiaire
Dériver f(x)=ex+1f(x) = \sqrt{e^x + 1}.

Exercice 19

Non commencéIntermédiaire
Soit f(x)=xe−xf(x) = xe^{-x}. Calculer f′′(x)f''(x) et déterminer le point d'inflexion.

Exercice 20

Non commencéIntermédiaire
Montrer que ln⁡(x)⩽x−1\ln(x) \leqslant x - 1 pour tout x>0x > 0.

Exercice 21

Non commencéIntermédiaire
Déterminer les points d'inflexion de f(x)=x4−6x2+1f(x) = x^4 - 6x^2 + 1.

Exercice 22

Non commencéIntermédiaire
Dériver f(x)=e2xe2x+1f(x) = \dfrac{e^{2x}}{e^{2x}+1} et simplifier.

Exercice 23

Non commencéIntermédiaire
Dériver f(x)=exln⁡(x)f(x) = e^{x} \ln(x) pour x>0x > 0 puis résoudre f′(x)=0f'(x) = 0.

Exercice 24

Non commencéIntermédiaire
Soit f(x)=x−ln⁡(x)f(x) = x - \ln(x) pour x>0x > 0.

1) Étudier la convexité de ff.

2) En déduire que ln⁡(x)⩽x−1\ln(x) \leqslant x - 1 pour tout x>0x > 0.
1.
Convexité.
2.
Inégalité.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 25

Non commencéIntermédiaire
Dériver f(x)=(ln⁡(x))3f(x) = (\ln(x))^3 pour x>0x > 0.

Exercice 26

Non commencéIntermédiaire
Dériver f(x)=ln⁡(x+1x−1)f(x) = \ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right) pour x>1x > 1.

Exercice 27

Non commencéIntermédiaire
Soit f(x)=x2ln⁡(x)f(x) = x^2 \ln(x) pour x>0x > 0. Calculer f′′(x)f''(x) et déterminer le point d'inflexion.

Exercice 28

Non commencéIntermédiaire
Dériver f(x)=sin⁡(2x+1)f(x) = \sin(2x + 1) et g(x)=cos⁡(x2)g(x) = \cos(x^2).

Exercice 29

Non commencéDifficile
Soit f(x)=(x2+1)e−xf(x) = (x^2 + 1)e^{-x}. Étudier les variations et la convexité de ff.

Exercice 30

Non commencéDifficile
Montrer que pour tout x>0x > 0 : x1+x⩽ln⁡(1+x)⩽x\dfrac{x}{1+x} \leqslant \ln(1+x) \leqslant x.

Exercice 31

Non commencéDifficile
Soit f(x)=ex−1−x−x22f(x) = e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}. Montrer que f(x)⩾0f(x) \geqslant 0 pour tout x⩾0x \geqslant 0, puis en déduire ex⩾1+x+x22e^x \geqslant 1 + x + \frac{x^2}{2}.

Exercice 32

Non commencéDifficile
Soit f(x)=xln⁡(x)f(x) = \dfrac{x}{\ln(x)} pour x>0x > 0, x≠1x \neq 1.

Calculer f′(x)f'(x) et f′′(x)f''(x), puis étudier la convexité de ff sur ]1 ;+∞[]1\,;+\infty[.

Exercice 33

Non commencéDifficile
Dériver f(x)=xxf(x) = x^x pour x>0x > 0.

(Indication : écrire xx=exln⁡(x)x^x = e^{x\ln(x)}.)

Exercice 34

Non commencéDifficile
Soit f(x)=exxf(x) = \dfrac{e^x}{x} pour x>0x > 0.

1) Étudier les variations de ff.

2) Montrer que ex⩾exe^x \geqslant ex pour tout x>0x > 0.
1.
Variations.
2.
Montrer ex⩾exe^x \geqslant ex.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 35

Non commencéDifficile
Soit f(x)=x2e1/xf(x) = x^2 e^{1/x} pour x>0x > 0. Dériver ff.

Exercice 36

Non commencéAvancé
Montrer l'inégalité arithmético-géométrique pour n=2n = 2 : pour tous a,b>0a, b > 0,
ab⩽a+b2\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2}
en utilisant la convexité de f(x)=−ln⁡(x)f(x) = -\ln(x).

Exercice 37

Non commencéAvancé
Soit ff deux fois dérivable sur R\mathbb{R} avec f(0)=0f(0) = 0, f(1)=1f(1) = 1 et f′′(x)⩾0f''(x) \geqslant 0 pour tout xx.

Montrer que f(x)⩽xf(x) \leqslant x pour tout x∈[0 ;1]x \in [0\,;1].

Exercice 38

Non commencéAvancé
Soit ff une fonction deux fois dérivable sur R\mathbb{R} telle que f′′+f′=0f'' + f' = 0 et f(0)=1f(0) = 1, f′(0)=−1f'(0) = -1.

Montrer que f(x)=e−xf(x) = e^{-x}.

(On pourra montrer que g(x)=f(x)−e−xg(x) = f(x) - e^{-x} est identiquement nulle.)

Exercice 39

Non commencéAvancé
Soit f(x)=x2−1x2+1f(x) = \dfrac{x^2-1}{x^2+1}.

1) Dériver ff et f′f'.

2) Déterminer les points d'inflexion de ff.
1.
Dériver ff et f′f'.
2.
Points d'inflexion.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 40

Non commencéAvancé
Soit ff une fonction deux fois dérivable et convexe sur R\mathbb{R}, avec lim⁡+∞f=0\lim_{+\infty} f = 0.

Montrer que f⩾0f \geqslant 0 sur R\mathbb{R}.

Aller plus loin sur ce chapitre

Les 4 problèmes de synthèse restent sur la page du chapitre : ils mobilisent plusieurs notions à la fois et s'abordent une fois ces exercices maîtrisés.

Voir les 4 problèmes de synthèse sur les compléments sur la dérivation