Convexité

I. Définition et interprétation graphique

1. Sécantes et convexité

Fonction convexe

f

est convexe sur un intervalle

I

si, pour tous

a, b \in I

et tout

t \in [0, 1]

f (t a + (1 - t) b) \leq t f (a) + (1 - t) f (b)

Interprétation graphique : la courbe est en dessous de chacune de ses sécantes.

Fonction concave

f

est concave sur

I

- f

est convexe, c'est-à-dire si la courbe est au-dessus de chacune de ses sécantes.

Retenir : convexe = « en creux ». Concave = « en bosse ».

2. Tangentes et convexité

Position par rapport aux tangentes

f

est convexe sur

I

, alors la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes :

\forall x \in I, f (x) \geq f^{'} (a) (x - a) + f (a)

f

est concave, la courbe est en dessous de ses tangentes.

Pas de contradiction

Convexe = en dessous des sécantes = au-dessus des tangentes. Ce n'est pas contradictoire : les sécantes et les tangentes ne sont pas du même côté de la courbe.

II. Caractérisation par la dérivée seconde

1. Théorème fondamental

Convexité et dérivée seconde

Soit

f

deux fois dérivable sur un intervalle

I

f convexe sur I ⟺ f^{''} \geq 0 sur I

f concave sur I ⟺ f^{''} \leq 0 sur I

Caractérisation équivalente par

f^{'}

•

f

convexe

⟺

f^{'}

croissante.
•

f

concave

⟺

f^{'}

décroissante.

Exemple

f (x) = x^{3}

f^{''} (x) = 6 x

.

• Sur

[0, + \infty [

f^{''} \geq 0

→

f

convexe.
• Sur

] - \infty, 0]

f^{''} \leq 0

→

f

concave.

2. Fonctions de référence

Fonction	$f^{''} (x)$	Convexité
$x^{2}$	$2 > 0$	Convexe sur $R$
$x^{3}$	$6 x$	Convexe sur $R^{+}$ , concave sur $R^{-}$
$\frac{1}{x}$	$\frac{2}{x ^{3}}$	Convexe sur $] 0, + \infty [$ , concave sur $] - \infty, 0 [$
$x$	$- \frac{1}{4 x x}$	Concave sur $] 0, + \infty [$

III. Point d'inflexion

Point d'inflexion

Le point

A = (a, f (a))

est un point d'inflexion de la courbe de

f

si la convexité change en

a

Caractérisation

f

est deux fois dérivable en

a

A = (a, f (a))

est un point d'inflexion

⟺

f^{''} (a) = 0

f^{''}

change de signe en

a

Attention :

f^{''} (a) = 0

ne suffit pas !

Contre-exemple :

f (x) = x^{4}

f^{''} (x) = 12 x^{2}

f^{''} (0) = 0

.

Mais

f^{''} \geq 0

partout :

f

est convexe sur $R$ , pas de point d'inflexion en 0.

La tangente traverse la courbe

En un point d'inflexion, la tangente traverse la courbe (passe d'un côté à l'autre).

Exemple 1

f (x) = x^{3}

f^{''} (x) = 6 x

f^{''} (0) = 0

f^{''}

change de signe en 0.

(0, 0)

est point d'inflexion.

Exemple 2

f (x) = x^{4} - 6 x^{2}

f^{''} (x) = 12 x^{2} - 12 = 12 (x^{2} - 1)

f^{''} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1

f^{''}

change de signe en

x = - 1

x = 1

.

Points d'inflexion :

(- 1, - 5)

(1, - 5)

IV. Inégalités et convexité

1. Inégalité de convexité

Inégalité du milieu

f

est convexe sur

I

a, b \in I

f (\frac{a + b}{2}) \leq \frac{f ( a ) + f ( b )}{2}

L'image du milieu est inférieure à la moyenne des images.

Inégalité de Jensen (généralisation)

f

est convexe et

λ_{1}, \dots, λ_{n} \geq 0

avec

\sum λ_{i} = 1

f (i = 1 \sum n λ_{i} x_{i}) \leq i = 1 \sum n λ_{i} f (x_{i})

2. Application

Application avec

x^{2}

x^{2}

est convexe sur

R

. Donc :

(\frac{a + b}{2})^{2} \leq \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2}

Vérification algébrique :

\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} - (\frac{a + b}{2})^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} - \frac{a ^{2} + 2 ab + b ^{2}}{4} = \frac{( a - b ) ^{2}}{4} \geq 0

✓

V. Méthodes

M1 — Étudier la convexité

Méthode

1. Calculer

f^{''} (x)

.
2. Étudier le signe de

f^{''}

.
3.

f^{''} > 0

→ convexe.

f^{''} < 0

→ concave.

M2 — Points d'inflexion

Méthode

1. Résoudre

f^{''} (x) = 0

.
2. Vérifier que

f^{''}

change de signe.
3. Calculer les coordonnées

(a, f (a))

M3 — Position par rapport aux tangentes

Méthode

•

f

convexe → courbe au-dessus des tangentes.
•

f

concave → courbe en dessous des tangentes.
• Point d'inflexion → la tangente traverse la courbe.

M4 — Inégalités

Méthode

Utiliser

f (\frac{a + b}{2}) \leq \frac{f ( a ) + f ( b )}{2}

f

convexe.

Inverser le sens si

f

concave.

	Convexe	Concave
Sécantes	Courbe en dessous	Courbe au-dessus
Tangentes	Courbe au-dessus	Courbe en dessous
$f^{''}$	$f^{''} \geq 0$	$f^{''} \leq 0$
$f^{'}$	$f^{'}$ croissante	$f^{'}$ décroissante

Fonction	$f^{''}$	Convexité
$x^{2}$	$2$	Convexe sur $R$
$x^{3}$	$6 x$	Convexe $R^{+}$ , concave $R^{-}$
$\frac{1}{x}$	$\frac{2}{x ^{3}}$	Convexe $] 0, + \infty [$ , concave $] - \infty, 0 [$
$x$	$- \frac{1}{4 x x}$	Concave $] 0, + \infty [$

40 exercices disponibles

Exercice 1

Facile

Convexité par

f''

x^2-3x+1

f''=2>0

: convexe sur

\mathbb{R}

-x^2+4x

f''=-2<0

: concave.

x^3

f''=6x

. Convexe sur

]0;+\infty[

, concave sur

]-\infty;0[

Exercice 2

Facile

f(x)=x^3-3x

. Point d'inflexion.

Correction détaillée

f''=6x=0

x=0

. Change de signe . Inflexion

(0;0)

Exercice 3

Facile

Convexité des fonctions de référence.

x^4

f''=12x^2 \geq 0

: convexe.

\sqrt{x}

sur

]0;+\infty[

f''=-1/(4x\sqrt{x})<0

: concave.

1/x

sur

]0;+\infty[

f''=2/x^3>0

: convexe.

1/x

sur

]-\infty;0[

f''=2/x^3<0

: concave.

Exercice 4

Facile

Tableau

f''

donné :

f''<0

sur

]-\infty;1[

f''(1)=0

f''>0

sur

]1;+\infty[

Correction détaillée

Concave sur

]-\infty;1[

, convexe sur

]1;+\infty[

. Inflexion en

x=1

Exercice 5

Facile

f(x)=x^2

. Tangente en

x=1

y=2x-1

. Courbe au-dessus ?

Correction détaillée

f-(2x-1)=(x-1)^2 \geq 0

. Convexe : courbe au-dessus des tangentes.

Exercice 6

Facile

f(x)=x^2

sur

[1;3]

. Sécante. Courbe en dessous ?

Correction détaillée

Sécante

y=4x-3

4x-3-x^2=-(x-1)(x-3) \geq 0

sur

[1;3]

. Convexe : sous la sécante.

Exercice 7

Facile

f(x)=x^4

f''(0)=0

. Inflexion en 0 ?

Correction détaillée

f''=12x^2 \geq 0

: pas de changement de signe. Pas d'inflexion.

Exercice 8

Facile

f(x)=x^3+x

f'

croissante

\iff

convexe ?

Correction détaillée

f''=6x

change de signe :

f'

pas toujours croissante. Pas convexe sur

\mathbb{R}

Exercice 9

Facile

x^2

convexe. Montrer

((a+b)/2)^2 \leq (a^2+b^2)/2

Correction détaillée

Jensen.

(a^2+b^2)/2 - ((a+b)/2)^2 = (a-b)^2/4 \geq 0

Exercice 10

Facile

f(x)=-\sqrt{x}

. Convexe ? Position / tangentes.

Correction détaillée

f''=1/(4x^{3/2})>0

: convexe. Courbe au-dessus des tangentes.

Exercice 11

Intermédiaire

f(x)=x^4-6x^2+8x+1

. Inflexions.

f''

f''=12(x-1)(x+1)

Points d'inflexion.

(-1;-12)

(1;4)

Exercice 12

Intermédiaire

f(x)=x/(x^2+1)

. 3 points d'inflexion.

f''

f''=2x(x^2-3)/(x^2+1)^3

Inflexions.

x=0, \pm\sqrt{3}

Exercice 13

Intermédiaire

f(x)=x^3-3x^2+2

. Tangente au point d'inflexion traverse.

Inflexion.

f''=6(x-1)

. Inflexion

(1;0)

Tangente et traversée.

f-T = (x-1)^3

change de signe .

Exercice 14

Intermédiaire

1/x

convexe sur

]0;+\infty[

. Jensen

\to

\leq

AM.

Correction détaillée

Jensen :

2/(a+b) \leq (1/a+1/b)/2

. D'où

2ab/(a+b) \leq (a+b)/2

Exercice 15

Intermédiaire

(1+x)^n

convexe pour

n \geq 2

. Tangente en 0

\to

Bernoulli.

Correction détaillée

f''=n(n-1)(1+x)^{n-2} \geq 0

. Tangente

y=1+nx

(1+x)^n \geq 1+nx

Exercice 16

Intermédiaire

(x^2-1)^2

. Développer,

f''

, inflexions.

f''

f''=4(3x^2-1)

Inflexions.

x=\pm 1/\sqrt{3}

. Concave entre.

Exercice 17

Intermédiaire

f(x)=x^3+x

. Tangente en 0 traverse ?

Correction détaillée

Tangente

y=x

f-x=x^3

change de signe. Inflexion en 0.

Exercice 18

Intermédiaire

\sqrt{x}

concave. Jensen

\to \sqrt{a}+\sqrt{b} \leq \sqrt{2(a+b)}

Correction détaillée

\sqrt{(a+b)/2} \geq (\sqrt{a}+\sqrt{b})/2

. Multiplier par

\sqrt{2}

Exercice 19

Intermédiaire

f'

décroissante sur

]-\infty;2[

, croissante après. Convexité.

Correction détaillée

Concave sur

]-\infty;2[

, convexe sur

]2;+\infty[

. Inflexion en

x=2

Exercice 20

Intermédiaire

x^2

convexe. Jensen 3 points :

((a+b+c)/3)^2 \leq (a^2+b^2+c^2)/3

Correction détaillée

Jensen

\lambda_i=1/3

(a^2+b^2+c^2)/3-(\bar{x})^2 = ((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2)/9 \geq 0

Exercice 21

Difficile

f(x)=x^3/(x^2-1)

sur

]1;+\infty[

. Convexité.

Correction détaillée

f=x+x/(x^2-1)

f''=2x(x^2+3)/(x^2-1)^3>0

. Convexe.

Exercice 22

Difficile

Jensen

x^2

pour

n

variables : AM

\leq

QM.

Correction détaillée

(\sum x_i/n)^2 \leq \sum x_i^2/n

Exercice 23

Difficile

f(x)=x^4-4x^3+6x^2

f''=12(x-1)^2 \geq 0

. Inflexion ?

Correction détaillée

f''

ne change pas de signe : pas d'inflexion. Convexe sur

\mathbb{R}

Exercice 24

Difficile

x^2 \geq 2x-1

partout. Interpréter.

Correction détaillée

(x-1)^2 \geq 0

2x-1

= tangente en

x=1

. Convexité.

Exercice 25

Difficile

f(x)=x+1/x

sur

]0;+\infty[

. Convexité.

Correction détaillée

f''=2/x^3>0

: convexe. Pas d'inflexion.

Exercice 26

Difficile

f(x)=x^5-5x^3

. 3 inflexions.

f''

f''=10x(2x^2-3)

Inflexions.

x=0, \pm\sqrt{6}/2

Exercice 27

Difficile

-\sqrt{x}

convexe. Jensen

\to

inégalité.

Correction détaillée

(\sqrt{a}+\sqrt{b})/2 \leq \sqrt{(a+b)/2}

Exercice 28

Difficile

x^2

au-dessus de ses tangentes

2x-1

4x-4

Correction détaillée

(x-1)^2 \geq 0

(x-2)^2 \geq 0

f \geq \max(T_1,T_2)

. Enveloppe.

Exercice 29

Difficile

f(x)=x/(1+x^2)^2

. Inflexions en

-1, 0, 1

Correction détaillée

f''=12x(x-1)(x+1)/(1+x^2)^4

. 3 changements de signe.

Exercice 30

Difficile

x^p

convexe (

p \geq 2

). Montrer

a^3+b^3 \geq (a+b)^3/4

Correction détaillée

Jensen

p=3

((a+b)/2)^3 \leq (a^3+b^3)/2

. Multiplier par 2.

Exercice 31

Avancé

f

convexe. Milieu de corde au-dessus de la courbe.

Correction détaillée

Jensen

t=1/2

(f(a)+f(b))/2 \geq f((a+b)/2)

Exercice 32

Avancé

Définition :

f(ta+(1-t)b) \leq tf(a)+(1-t)f(b)

= courbe sous sécante.

Correction détaillée

x=ta+(1-t)b

. Membre droit = ordonnée de la sécante en

x

Exercice 33

Avancé

f'' \geq 0

implique courbe au-dessus tangentes. Preuve.

Correction détaillée

g(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)

g(a)=g'(a)=0

g'' \geq 0

: min en

a

g \geq 0

Exercice 34

Avancé

Moyennes de puissance :

M_p \leq M_q

pour

p \leq q

Correction détaillée

x^2

convexe

\to M_1 \leq M_2

x^3

convexe sur

[0;+\infty[

\to M_1 \leq M_3

Exercice 35

Avancé

ax^3+bx^2+cx+d

. Unique inflexion, centre de symétrie.

Inflexion en

x_0=-b/(3a)

f''=6ax+2b=0

x_0=-b/(3a)

Translation élimine

X^2

g

impaire.

X=x-x_0

g(X)=aX^3+(c-b^2/(3a))X+\cdots

. Centre de symétrie.

Exercice 36

Avancé

f(x)=1/x+1/(1-x)

sur

]0;1[

. Convexe, min.

Correction détaillée

f''=2/x^3+2/(1-x)^3>0

f'=0

x=1/2

. Min

f(1/2)=4

Exercice 37

Avancé

x^2

convexe :

f(k/n) \leq (f((k-1)/n)+f((k+1)/n))/2

Correction détaillée

k/n

= milieu de

(k-1)/n

(k+1)/n

. Jensen.

Exercice 38

Avancé

f

strictement convexe : min unique.

f(x)=c

a au plus 2 solutions.

Correction détaillée

3 solutions

\to

contradiction avec stricte convexité (sécante coupée 3 fois).

Exercice 39

Avancé

f

convexe,

a<b<c

. Pentes sécantes croissantes.

Correction détaillée

b=ta+(1-t)c

\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq \dfrac{f(c)-f(a)}{c-a} \leq \dfrac{f(c)-f(b)}{c-b}

Exercice 40

Avancé

Karamata (

n=2

) :

a_1+a_2=b_1+b_2

a_1 \geq b_1 \geq b_2 \geq a_2

f

convexe

\to f(a_1)+f(a_2) \geq f(b_1)+f(b_2)

Correction détaillée

b_i

combinaisons convexes de

a_1, a_2

. Jensen sur chaque.

4 problèmes de synthèse

Problème 1 — Étude convexité polynôme

Difficile

f(x) = x^4-8x^2+18x-11

Étude

f''

et inflexions.

f''=12x^2-16=0

x=\pm 2/\sqrt{3}

. Deux inflexions.

Tangentes aux inflexions. Traversées.

f-T=(x-x_0)^2(\cdots)

change de signe.

Problème 2 — Inégalités classiques

Avancé

Partie A — AM-QM

Jensen

x^2

: AM

\leq

QM.

(\bar{x})^2 \leq \overline{x^2}

Partie B — Puissances

x^p

convexe (

p \geq 2

) :

((a+b)/2)^p \leq (a^p+b^p)/2

Jensen.

Partie C — Racine

\sqrt{x}

concave :

(\sqrt{a}+\sqrt{b})/2 \leq \sqrt{(a+b)/2}

Jensen inversé.

Problème 3 — Convexité de

1/(1+x^2)

Difficile

f(x) = 1/(1+x^2)

Étude

f''=2(3x^2-1)/(1+x^2)^3

. Inflexions.

Inflexions en

\pm 1/\sqrt{3}

Tangente en chaque inflexion.

Calcul direct. La tangente traverse.

Problème 4 — Centre de symétrie du degré 3

Avancé

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d

Étude

Unique inflexion

x_0=-b/(3a)

f''=6ax+2b=0

Translation

X=x-x_0

élimine

X^2

g(X) = aX^3+(c-b^2/(3a))X+\cdots

. Impaire (à constante près).

Application :

x^3-6x^2+12x-5

. Centre de symétrie.

x_0=2

g(X)=X^3+3

. Centre

(2;3)

S'entraîner avec les sujets du bac

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Convexité

I. Définition et interprétation graphique

1. Sécantes et convexité

2. Tangentes et convexité

II. Caractérisation par la dérivée seconde

1. Théorème fondamental

2. Fonctions de référence

III. Point d'inflexion

IV. Inégalités et convexité

1. Inégalité de convexité

2. Application

V. Méthodes

M1 — Étudier la convexité

M2 — Points d'inflexion

M3 — Position par rapport aux tangentes

M4 — Inégalités

1. Définitions et théorèmes

Caractérisations

Schéma visuel

Fonctions de référence

Point d'inflexion

Inégalité de convexité

2. Méthodes

Récapitulatif

Étude

Partie A — AM-QM

Partie B — Puissances

Partie C — Racine

Étude

Étude

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