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I Analyse · Chapitre 07 / 17

Fonction exponentielle

Compléments, équations, croissance comparée.

8 min de lecture
6 sections, 5 exemples
40 exercices · 4 problèmes

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L'essentiel en 30 secondes

En Terminale, l'exponentielle se dérive sous forme composée — exp(u) a pour dérivée u′ × exp(u) — et se manipule dans les équations et inéquations via sa stricte croissance : e^a = e^b équivaut à a = b. Les croissances comparées sont au programme : eˣ/xⁿ tend vers +∞ en +∞, et xⁿ × e^(−x) tend vers 0 : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x.

1 I. Rappels et compléments sur la fonction exponentielle

Définition et propriété fondamentale

2 II. Étude de la fonction exponentielle

Dérivée et variations

Démonstration — ex>0e^x > 0 pour tout réel xx
Soit xx un réel. En écrivant x=x2+x2x = \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} et en appliquant la relation fonctionnelle :

ex=ex2×ex2=(ex2)2⩾0e^x = e^{\frac{x}{2}} \times e^{\frac{x}{2}} = \left(e^{\frac{x}{2}}\right)^2 \geqslant 0

L'exponentielle est donc positive ou nulle. De plus elle ne s'annule jamais : si l'on avait ex0=0e^{x_0} = 0, alors ex0×e−x0=e0=1e^{x_0} \times e^{-x_0} = e^{0} = 1 donnerait 0=10 = 1, ce qui est absurde.

Un carré non nul étant strictement positif :

ex>0pour tout reˊel x□\boxed{e^x > 0 \quad \text{pour tout réel } x} \qquad \square

3 III. Croissances comparées

L'exponentielle domine les puissances

Démonstration — la croissance comparée exx→+∞\dfrac{e^x}{x} \to +\infty
On part de l'inégalité de convexité et⩾t+1e^t \geqslant t + 1, valable pour tout réel tt. Appliquons-la à t=x2t = \dfrac{x}{2}, pour x>0x > 0 :

ex2⩾x2+1>x2>0e^{\frac{x}{2}} \geqslant \frac{x}{2} + 1 > \frac{x}{2} > 0

En élevant au carré ces quantités positives :

ex=(ex2)2>x24e^{x} = \left(e^{\frac{x}{2}}\right)^2 > \frac{x^2}{4}

En divisant par x>0x > 0 :

exx>x4\frac{e^x}{x} > \frac{x}{4}

Or x4→+∞\dfrac{x}{4} \to +\infty quand x→+∞x \to +\infty. Par comparaison :

lim⁡x→+∞exx=+∞□\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty} \qquad \square

L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de xx.

4 IV. Équations et inéquations avec l'exponentielle

Résolution

5 V. Fonctions du type x↦eax+bx \mapsto e^{ax+b}

Dérivée et étude

6 VI. Tangente et inégalités

Applications de la convexité

Ce chapitre est tombé au bac

11 sujets officiels de bac comportent un exercice sur ce chapitre — chaque corrigé est détaillé question par question.

2025 Nouvelle-Calédonie · Jour 2 2025 Nouvelle-Calédonie · Jour 1 2025 Amérique du Sud · Jour 2 2025 Amérique du Sud · Jour 1 2025 Asie · Septembre 2025 Polynésie · Septembre 2025 Centres étrangers · Jour 2 2025 Asie · Jour 2 2025 Asie · Jour 1 2025 Amérique du Nord · J2 secours 2025 Amérique du Nord · Jour 1

Questions fréquentes

Quelles sont les propriétés à connaître de la fonction exponentielle ?
L'exponentielle est strictement positive sur R\mathbb{R}, strictement croissante, et égale à sa propre dérivée : (ex)′=ex(e^x)' = e^x. Elle transforme les sommes en produits (ea+b=eaebe^{a+b} = e^a e^b) et vérifie e0=1e^0 = 1. Ses limites sont 00 en −∞-\infty et +∞+\infty en +∞+\infty.
Comment résoudre une équation avec une exponentielle ?
On isole l'exponentielle, puis on compose par le logarithme : ex=ke^x = k équivaut à x=ln⁡kx = \ln k, à condition que k>0k > 0 (une exponentielle n'est jamais négative ni nulle). Si l'équation est du second degré en exe^x, on pose X=exX = e^x avec la contrainte X>0X > 0.
Pourquoi l'exponentielle est-elle toujours strictement positive ?
Parce que ex=(ex/2)2e^x = \left(e^{x/2}\right)^2 est un carré, donc positif ou nul — et il ne peut pas être nul, sinon le produit ex×e−x=e0=1e^x \times e^{-x} = e^0 = 1 serait nul. C'est pourquoi une équation comme ex=−3e^x = -3 n'a aucune solution.

Propriétés algébriques

Dérivée

Limites

Équations et inéquations

Convexité et inégalité

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Simplifier les expressions suivantes :

a) e3×e5e^3 \times e^5

b) e7e4\frac{e^7}{e^4}

c) (e2)3(e^2)^3

d) ex×e−xe^x \times e^{-x}
Correction détaillée
**a)** $e^3 \times e^5 = e^{3+5} = \boxed{e^8}$ **b)** $\frac{e^7}{e^4} = e^{7-4} = \boxed{e^3}$ **c)** $(e^2)^3 = e^{2 \times 3} = \boxed{e^6}$ **d)** $e^x \times e^{-x} = e^{x+(-x)} = e^0 = \boxed{1}$
Exercice 2
Facile
Simplifier :

a) e3x+1ex−2\frac{e^{3x+1}}{e^{x-2}}

b) e2x×e3x+1e^{2x} \times e^{3x+1}

c) (ex+1)2(e^{x+1})^2
Correction détaillée
**a)** $\frac{e^{3x+1}}{e^{x-2}} = e^{(3x+1)-(x-2)} = e^{2x+3} = \boxed{e^{2x+3}}$ **b)** $e^{2x} \times e^{3x+1} = e^{2x+3x+1} = \boxed{e^{5x+1}}$ **c)** $(e^{x+1})^2 = e^{2(x+1)} = \boxed{e^{2x+2}}$
Exercice 3
Facile
Résoudre les équations suivantes :

a) e2x=e6e^{2x} = e^6

b) ex+1=1e^{x+1} = 1

c) e3x−2=ee^{3x-2} = e
Correction détaillée
**a)** $e^{2x} = e^6 \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow \boxed{x = 3}$ **b)** $e^{x+1} = 1 = e^0 \Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow \boxed{x = -1}$ **c)** $e^{3x-2} = e^1 \Leftrightarrow 3x-2 = 1 \Leftrightarrow \boxed{x = 1}$
Exercice 4
Facile
Résoudre les inéquations suivantes :

a) e2x>e4e^{2x} > e^4

b) e−x⩽e3e^{-x} \leqslant e^3

c) ex+1<1e^{x+1} < 1
Correction détaillée
**a)** $e^{2x} > e^4 \Leftrightarrow 2x > 4 \Leftrightarrow \boxed{x > 2}$ **b)** $e^{-x} \leqslant e^3 \Leftrightarrow -x \leqslant 3 \Leftrightarrow \boxed{x \geqslant -3}$ **c)** $e^{x+1} < 1 = e^0 \Leftrightarrow x + 1 < 0 \Leftrightarrow \boxed{x < -1}$
Exercice 5
Facile
Dériver les fonctions suivantes :

a) f(x)=e3xf(x) = e^{3x}

b) f(x)=e−2x+5f(x) = e^{-2x+5}

c) f(x)=5ex+3f(x) = 5e^x + 3
Correction détaillée
**a)** $f'(x) = 3e^{3x}$ **b)** $f'(x) = -2e^{-2x+5}$ **c)** $f'(x) = 5e^x$
Exercice 6
Facile
Déterminer les limites suivantes :

a) lim⁡x→+∞ex\lim_{x \to +\infty} e^x

b) lim⁡x→−∞ex\lim_{x \to -\infty} e^x

c) lim⁡x→+∞e−x\lim_{x \to +\infty} e^{-x}

d) lim⁡x→−∞e−x\lim_{x \to -\infty} e^{-x}
Correction détaillée
**a)** $\boxed{+\infty}$ **b)** $\boxed{0}$ **c)** $-x \to -\infty$ quand $x \to +\infty$, donc $e^{-x} \to \boxed{0}$ **d)** $-x \to +\infty$ quand $x \to -\infty$, donc $e^{-x} \to \boxed{+\infty}$
Exercice 7
Facile
Calculer les limites :

a) lim⁡x→+∞xe−x\lim_{x \to +\infty} xe^{-x}

b) lim⁡x→−∞x2ex\lim_{x \to -\infty} x^2 e^x
Correction détaillée
**a)** $xe^{-x} = \frac{x}{e^x} \to 0$ par croissances comparées ($n=1$). $\boxed{0}$ **b)** Posons $X = -x \to +\infty$. $x^2 e^x = X^2 e^{-X} = \frac{X^2}{e^X} \to 0$. $\boxed{0}$
Exercice 8
Facile
Résoudre ex2=e4e^{x^2} = e^{4}.
Correction détaillée
$e^{x^2} = e^4 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2$ ou $x = -2$. $\boxed{S = \{-2\,; 2\}}$
Exercice 9
Facile
Résoudre e2x−3ex+2=0e^{2x} - 3e^x + 2 = 0.

(Poser X=exX = e^x.)
Correction détaillée
Posons $X = e^x > 0$. L'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$. $(X-1)(X-2) = 0$, donc $X = 1$ ou $X = 2$. $e^x = 1 \Rightarrow x = 0$ et $e^x = 2 \Rightarrow x = \ln 2$. $\boxed{S = \{0\,; \ln 2\}}$
Exercice 10
Facile
Dériver f(x)=xexf(x) = x e^x.
Correction détaillée
$f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x = \boxed{(1+x)e^x}$.
Exercice 11
Facile
Dériver f(x)=exxf(x) = \frac{e^x}{x} pour x≠0x \neq 0.
Correction détaillée
$f'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2} = \boxed{\frac{e^x(x-1)}{x^2}}$.
Exercice 12
Facile
Écrire l'équation de la tangente à la courbe de exe^x au point d'abscisse 00.
Correction détaillée
$f(0) = 1$ et $f'(0) = e^0 = 1$. Tangente : $y = f'(0)(x - 0) + f(0) = x + 1$. $\boxed{y = x + 1}$
Exercice 13
Facile
Déterminer lim⁡x→+∞(ex−x)\lim_{x \to +\infty} (e^x - x).
Correction détaillée
$e^x - x = e^x\left(1 - \frac{x}{e^x}\right)$. Or $\frac{x}{e^x} \to 0$ (croissances comparées) et $e^x \to +\infty$. Donc $e^x - x \to +\infty \times 1 = \boxed{+\infty}$.
Exercice 14
Facile
Montrer que pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : ex>0e^x > 0.
Correction détaillée
$e^x = e^{x/2} \times e^{x/2} = (e^{x/2})^2 \geqslant 0$. De plus $e^x \neq 0$ car sinon $e^x \times e^{-x} = e^0 = 1$ donnerait $0 \times e^{-x} = 1$, contradiction. Donc $\boxed{e^x > 0}$ pour tout $x$.
Exercice 15
Facile
Résoudre 2e2x=82e^{2x} = 8.
Correction détaillée
$2e^{2x} = 8 \Leftrightarrow e^{2x} = 4 \Leftrightarrow 2x = \ln 4 = 2\ln 2 \Leftrightarrow x = \ln 2$. $\boxed{S = \{\ln 2\}}$
Exercice 16
Intermédiaire
Étudier les variations de f(x)=(2x−1)exf(x) = (2x-1)e^x.
Correction détaillée
$f'(x) = 2e^x + (2x-1)e^x = (2x+1)e^x$. $e^x > 0$, donc $f'(x)$ est du signe de $2x + 1$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{2}$. $f$ décroît sur $]-\infty\,; -\frac{1}{2}]$ et croît sur $[-\frac{1}{2}\,; +\infty[$. Minimum : $f(-\frac{1}{2}) = (-2)e^{-1/2} = \boxed{-\frac{2}{\sqrt{e}}}$.
Exercice 17
Intermédiaire
Étudier les variations de f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x} sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[.
Correction détaillée
$f'(x) = 2xe^{-x} + x^2(-e^{-x}) = xe^{-x}(2-x)$. $e^{-x} > 0$ et $x \geqslant 0$, donc $f'(x)$ est du signe de $x(2-x)$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ou $x = 2$. $f$ croît sur $[0\,;2]$ et décroît sur $[2\,;+\infty[$. Maximum : $f(2) = 4e^{-2} = \boxed{\frac{4}{e^2}}$. $\lim_{+\infty} f = 0$ (croissances comparées).
Exercice 18
Intermédiaire
Résoudre e2x−5ex+6=0e^{2x} - 5e^x + 6 = 0.
Correction détaillée
Posons $X = e^x > 0$. $X^2 - 5X + 6 = 0$. $(X-2)(X-3) = 0$, donc $X = 2$ ou $X = 3$. $e^x = 2 \Rightarrow x = \ln 2$ et $e^x = 3 \Rightarrow x = \ln 3$. $\boxed{S = \{\ln 2\,; \ln 3\}}$
Exercice 19
Intermédiaire
Calculer lim⁡x→+∞ex−1ex+1\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - 1}{e^x + 1}.
Correction détaillée
On divise numérateur et dénominateur par $e^x$ : $$\frac{e^x-1}{e^x+1} = \frac{1 - e^{-x}}{1 + e^{-x}}$$ Or $e^{-x} \to 0$ quand $x \to +\infty$. $\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x-1}{e^x+1} = \frac{1-0}{1+0} = 1}$
Exercice 20
Intermédiaire
Montrer que ex⩾1+xe^x \geqslant 1 + x pour tout xx en étudiant g(x)=ex−x−1g(x) = e^x - x - 1.
Correction détaillée
$g(x) = e^x - x - 1$. $g(0) = 0$. $g'(x) = e^x - 1$. $g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$. $g'(x) < 0$ pour $x < 0$ et $g'(x) > 0$ pour $x > 0$ : minimum en $x = 0$. $g(0) = 0$, donc $g(x) \geqslant 0$ pour tout $x$. $\boxed{e^x \geqslant x + 1}$ avec égalité ssi $x = 0$.
Exercice 21
Intermédiaire
Résoudre e2x+ex−6=0e^{2x} + e^x - 6 = 0.
Correction détaillée
Posons $X = e^x > 0$. $X^2 + X - 6 = 0$. $(X+3)(X-2) = 0$, donc $X = -3$ (impossible car $X > 0$) ou $X = 2$. $e^x = 2 \Rightarrow x = \ln 2$. $\boxed{S = \{\ln 2\}}$
Exercice 22
Intermédiaire
Résoudre l'inéquation e2x−4ex+3⩽0e^{2x} - 4e^x + 3 \leqslant 0.
Correction détaillée
Posons $X = e^x > 0$. $X^2 - 4X + 3 \leqslant 0$. $(X-1)(X-3) \leqslant 0 \Leftrightarrow 1 \leqslant X \leqslant 3$. $1 \leqslant e^x \leqslant 3 \Leftrightarrow \ln 1 \leqslant x \leqslant \ln 3 \Leftrightarrow 0 \leqslant x \leqslant \ln 3$. $\boxed{S = [0\,; \ln 3]}$
Exercice 23
Intermédiaire
Dériver f(x)=ex2−3xf(x) = e^{x^2 - 3x} et déterminer les extrema.
Correction détaillée
$u = x^2 - 3x$, $u' = 2x - 3$. $f'(x) = (2x-3)e^{x^2-3x}$. $e^{x^2-3x} > 0$, donc $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$. $f$ décroît sur $]-\infty\,; \frac{3}{2}]$ et croît sur $[\frac{3}{2}\,; +\infty[$. Minimum : $f\left(\frac{3}{2}\right) = e^{9/4-9/2} = \boxed{e^{-9/4}}$.
Exercice 24
Intermédiaire
Calculer lim⁡x→+∞(2x2+1)e−x\lim_{x \to +\infty} (2x^2 + 1)e^{-x}.
Correction détaillée
$(2x^2+1)e^{-x} = \frac{2x^2+1}{e^x} = \frac{2x^2}{e^x} + \frac{1}{e^x}$. Par croissances comparées : $\frac{x^2}{e^x} \to 0$, et $\frac{1}{e^x} \to 0$. $\boxed{\lim_{x \to +\infty} (2x^2+1)e^{-x} = 0}$
Exercice 25
Intermédiaire
Calculer lim⁡x→−∞(x3−2x)ex\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 2x)e^x.
Correction détaillée
Posons $X = -x \to +\infty$. $x = -X$, donc : $(x^3-2x)e^x = (-X^3+2X)e^{-X} = \frac{-X^3+2X}{e^X}$. Par croissances comparées : $\frac{X^3}{e^X} \to 0$ et $\frac{X}{e^X} \to 0$. $\boxed{\lim_{x \to -\infty} (x^3-2x)e^x = 0}$
Exercice 26
Intermédiaire
Écrire l'équation de la tangente à la courbe de f(x)=e2xf(x) = e^{2x} au point d'abscisse 00.
Correction détaillée
$f(0) = e^0 = 1$. $f'(x) = 2e^{2x}$, donc $f'(0) = 2$. Tangente : $y = 2(x-0) + 1 = \boxed{2x + 1}$.
Exercice 27
Intermédiaire
Résoudre (ex−1)(ex−4)=0(e^x - 1)(e^x - 4) = 0.
Correction détaillée
$e^x - 1 = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0$. $e^x - 4 = 0 \Rightarrow e^x = 4 \Rightarrow x = \ln 4 = 2\ln 2$. $\boxed{S = \{0\,; 2\ln 2\}}$
Exercice 28
Intermédiaire
Déterminer lim⁡x→+∞e2xe2x+x\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}}{e^{2x} + x}.
Correction détaillée
On divise par $e^{2x}$ : $$\frac{e^{2x}}{e^{2x}+x} = \frac{1}{1+\frac{x}{e^{2x}}}$$ Or $\frac{x}{e^{2x}} \to 0$ (croissances comparées). $\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}}{e^{2x}+x} = 1}$
Exercice 29
Difficile
Soit f(x)=(x2−x+1)e−xf(x) = (x^2 - x + 1)e^{-x}.

1) Calculer f′(x)f'(x) et étudier les variations de ff.

2) Déterminer les limites de ff en ±∞\pm\infty.
1.
Variations.
$f'(x) = (2x-1)e^{-x} + (x^2-x+1)(-e^{-x}) = e^{-x}(2x-1-x^2+x-1) = e^{-x}(-x^2+3x-2)$. $-x^2+3x-2 = -(x^2-3x+2) = -(x-1)(x-2)$. Donc $f'(x) = -(x-1)(x-2)e^{-x}$. $e^{-x} > 0$, donc $f'(x)$ est du signe de $-(x-1)(x-2)$ : $f'(x) > 0$ pour $1 < x < 2$, $f'(x) < 0$ pour $x < 1$ ou $x > 2$. $f(1) = e^{-1}$ (min local), $f(2) = 3e^{-2}$ (max local). | $x$ | $-\infty$ | | $1$ | | $2$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---|---|---|---|---| | $f'$ | | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | | | $f$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $e^{-1}$ | $\nearrow$ | $3e^{-2}$ | $\searrow$ | $0$ |
2.
Limites.
En $+\infty$ : $f(x) = \frac{x^2-x+1}{e^x} \to 0$ (croissances comparées). En $-\infty$ : $x^2-x+1 \to +\infty$ et $e^{-x} \to +\infty$, donc $f(x) \to +\infty$.
Exercice 30
Difficile
Résoudre e2x−3ex−4=0e^{2x} - 3e^x - 4 = 0 et e2x−3ex−4>0e^{2x} - 3e^x - 4 > 0.
Correction détaillée
Posons $X = e^x > 0$. $X^2 - 3X - 4 = 0$. $(X-4)(X+1) = 0$, donc $X = 4$ (car $X > 0$). $e^x = 4 \Rightarrow x = \ln 4 = 2\ln 2$. $\boxed{\text{Équation : } S = \{2\ln 2\}}$ Pour l'inéquation : $(X-4)(X+1) > 0$ avec $X > 0$. Comme $X + 1 > 0$ toujours, le signe est celui de $X - 4$. $X > 4 \Leftrightarrow e^x > 4 \Leftrightarrow x > 2\ln 2$. $\boxed{\text{Inéquation : } S = ]2\ln 2\,; +\infty[}$
Exercice 31
Difficile
Calculer lim⁡x→0ex−1x\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}.
Correction détaillée
On reconnaît le taux d'accroissement de $f(t) = e^t$ en $t = 0$ : $$\frac{e^x - 1}{x} = \frac{e^x - e^0}{x - 0} = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$$ Or $f'(0) = e^0 = 1$. Donc $\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1}$.
Exercice 32
Difficile
Soit f(x)=exex+1f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}.

1) Montrer que f(x)+f(−x)=1f(x) + f(-x) = 1.

2) Calculer f′(x)f'(x) et en déduire les variations de ff.
1.
Montrer f(x)+f(−x)=1f(x) + f(-x) = 1.
$f(-x) = \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1} = \frac{1}{1+e^x}$. $f(x) + f(-x) = \frac{e^x}{e^x+1} + \frac{1}{e^x+1} = \frac{e^x+1}{e^x+1} = \boxed{1}$.
2.
Variations.
$f'(x) = \frac{e^x(e^x+1) - e^x \cdot e^x}{(e^x+1)^2} = \frac{e^x}{(e^x+1)^2}$. $f'(x) > 0$ pour tout $x$ : $f$ est **strictement croissante** sur $\mathbb{R}$. $\lim_{-\infty} f = 0$, $\lim_{+\infty} f = 1$, $f(0) = \frac{1}{2}$.
Exercice 33
Difficile
Montrer que ex⩾1+x+x22e^x \geqslant 1 + x + \frac{x^2}{2} pour tout x⩾0x \geqslant 0.
Correction détaillée
Posons $h(x) = e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}$. $h(0) = 0$. $h'(x) = e^x - 1 - x$. $h'(0) = 0$. $h''(x) = e^x - 1 \geqslant 0$ pour $x \geqslant 0$. $h'' \geqslant 0 \Rightarrow h'$ croissante sur $[0,+\infty[$, $h'(0) = 0 \Rightarrow h' \geqslant 0$. $h' \geqslant 0 \Rightarrow h$ croissante, $h(0) = 0 \Rightarrow h \geqslant 0$. $\boxed{e^x \geqslant 1 + x + \frac{x^2}{2}}$ pour $x \geqslant 0$.
Exercice 34
Difficile
Déterminer lim⁡x→+∞(ex−x3)\lim_{x \to +\infty} \left(e^x - x^3\right).
Correction détaillée
$e^x - x^3 = e^x\left(1 - \frac{x^3}{e^x}\right)$. Par croissances comparées : $\frac{x^3}{e^x} \to 0$. Donc $1 - \frac{x^3}{e^x} \to 1$ et $e^x \to +\infty$. $\boxed{\lim_{x \to +\infty} (e^x - x^3) = +\infty}$
Exercice 35
Difficile
Soit f(x)=ex−x−1f(x) = e^x - x - 1. Montrer que ff admet un minimum global et le déterminer.
Correction détaillée
$f'(x) = e^x - 1$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$. $f''(x) = e^x > 0$ : $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$. Donc $x = 0$ est un minimum global (unique extremum d'une fonction convexe). $f(0) = 1 - 0 - 1 = 0$. $\boxed{\min f = f(0) = 0}$ Cela redémontre que $e^x \geqslant x + 1$.
Exercice 36
Avancé
Soit f(x)=ex−e−xf(x) = e^x - e^{-x}.

1) Montrer que ff est impaire et strictement croissante.

2) Montrer que ff réalise une bijection de R\mathbb{R} sur R\mathbb{R}.
1.
Imparité et croissance.
$f(-x) = e^{-x} - e^x = -(e^x - e^{-x}) = -f(x)$ : $f$ est **impaire**. $f'(x) = e^x + e^{-x} > 0$ pour tout $x$ (somme de deux termes strictement positifs). $f$ est **strictement croissante** sur $\mathbb{R}$.
2.
Bijection.
$f$ est continue et strictement croissante. $\lim_{-\infty} f = 0 - (+\infty) = -\infty$ et $\lim_{+\infty} f = +\infty - 0 = +\infty$. Par le corollaire du TVI, $f$ réalise une **bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$**.
Exercice 37
Avancé
Montrer que la suite (un)(u_n) définie par un=(1+1n)nu_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n est majorée par ee.

(Utiliser e1/n⩾1+1ne^{1/n} \geqslant 1 + \frac{1}{n}.)
Correction détaillée
Par l'inégalité $e^t \geqslant 1 + t$ (pour tout $t$) appliquée à $t = \frac{1}{n}$ : $$e^{1/n} \geqslant 1 + \frac{1}{n}$$ En élevant à la puissance $n$ (les deux membres sont positifs) : $$\left(e^{1/n}\right)^n \geqslant \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$ Or $\left(e^{1/n}\right)^n = e^{n \cdot 1/n} = e$. Donc $\boxed{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \leqslant e}$ pour tout $n \geqslant 1$.
Exercice 38
Avancé
Soit f(x)=ex(x2−2x+2)f(x) = e^x(x^2 - 2x + 2). Montrer que ff est croissante et déterminer ses limites.
Correction détaillée
$f'(x) = e^x(x^2-2x+2) + e^x(2x-2) = e^x(x^2-2x+2+2x-2) = x^2 e^x$. $f'(x) = x^2 e^x \geqslant 0$ pour tout $x$ (avec $f'(x) = 0$ ssi $x = 0$). $f$ est **croissante** sur $\mathbb{R}$. $\lim_{+\infty} f = +\infty$ (car $e^x \to +\infty$ et $x^2-2x+2 \to +\infty$). $\lim_{-\infty} f$ : $(x^2-2x+2) \to +\infty$ et $e^x \to 0$. Forme $+\infty \times 0$. $f(x) = \frac{x^2-2x+2}{e^{-x}}$. Par croissances comparées ($X = -x \to +\infty$) : $\frac{X^2}{e^X} \to 0$. $\boxed{\lim_{-\infty} f = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{+\infty} f = +\infty}$
Exercice 39
Avancé
Résoudre l'équation e2x−(a+1)ex+a=0e^{2x} - (a+1)e^x + a = 0 où aa est un paramètre réel strictement positif.
Correction détaillée
Posons $X = e^x > 0$. $X^2 - (a+1)X + a = 0$. $\Delta = (a+1)^2 - 4a = a^2 + 2a + 1 - 4a = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2 \geqslant 0$. $X = \frac{(a+1) \pm (a-1)}{2}$. $X_1 = \frac{(a+1)+(a-1)}{2} = a$ et $X_2 = \frac{(a+1)-(a-1)}{2} = 1$. Comme $a > 0$, les deux valeurs $X_1 = a$ et $X_2 = 1$ sont positives. $e^x = a \Rightarrow x = \ln a$ et $e^x = 1 \Rightarrow x = 0$. Si $a = 1$ : $X_1 = X_2 = 1$, une seule solution $x = 0$. Si $a \neq 1$ : deux solutions $x = 0$ et $x = \ln a$. $\boxed{S = \{0\,; \ln a\} \text{ si } a \neq 1, \quad S = \{0\} \text{ si } a = 1}$
Exercice 40
Avancé
Soit ff dérivable sur R\mathbb{R} telle que f′=2ff' = 2f et f(0)=3f(0) = 3. Déterminer ff.
Correction détaillée
Posons $g(x) = f(x) \cdot e^{-2x}$. $g'(x) = f'(x)e^{-2x} + f(x)(-2)e^{-2x} = e^{-2x}(f'(x) - 2f(x)) = e^{-2x} \cdot 0 = 0$ (car $f' = 2f$). Donc $g$ est constante : $g(x) = g(0) = f(0) \cdot e^0 = 3$. Ainsi $f(x)e^{-2x} = 3$, soit $\boxed{f(x) = 3e^{2x}}$. **Vérification :** $f'(x) = 6e^{2x} = 2 \times 3e^{2x} = 2f(x)$ ✓ et $f(0) = 3$ ✓.
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Étude complète d'une fonction avec exponentielle
Intermédiaire
Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(x+1)e−xf(x) = (x+1)e^{-x}.

Partie A — Limites

1.
Déterminer les limites de ff en +∞+\infty et en −∞-\infty.
En $+\infty$ : $f(x) = \frac{x+1}{e^x} \to 0$ par croissances comparées. En $-\infty$ : $(x+1) \to -\infty$ et $e^{-x} \to +\infty$. $f(x) = (x+1)e^{-x}$. Posons $X = -x \to +\infty$ : $f = (-X+1)e^X = -Xe^X + e^X$. Or $Xe^X \to +\infty$, donc $f \to -\infty$. $\boxed{\lim_{+\infty} f = 0, \quad \lim_{-\infty} f = -\infty}$
2.
La courbe admet-elle une asymptote ?
$\lim_{+\infty} f = 0$ : la droite $y = 0$ est **asymptote horizontale** en $+\infty$. Pas d'asymptote en $-\infty$ (limite infinie).

Partie B — Variations

3.
Calculer f′(x)f'(x) et dresser le tableau de variations.
$f'(x) = e^{-x} + (x+1)(-e^{-x}) = e^{-x}(1-x-1) = -xe^{-x}$. $e^{-x} > 0$, donc $f'(x)$ est du signe de $-x$. $f'(x) > 0$ si $x < 0$, $f'(x) < 0$ si $x > 0$. Maximum en $x = 0$ : $f(0) = 1$. | $x$ | $-\infty$ | | $0$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---|---|---| | $f'$ | | $+$ | $0$ | $-$ | | | $f$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $1$ | $\searrow$ | $0$ |
4.
Montrer que f(x)=0f(x) = 0 admet exactement une solution α\alpha et l'encadrer.
Sur $]-\infty\,;0]$ : $f$ croît de $-\infty$ à $1$. $f(-1) = 0$. Donc $\alpha = -1$ est solution. Sur $[0\,;+\infty[$ : $f$ décroît de $1$ à $0$ (non atteint). $f(x) > 0$ car $x+1 > 1 > 0$ et $e^{-x} > 0$ pour $x \geqslant 0$. Donc $\boxed{\alpha = -1}$ est l'unique solution.
Problème 2 — Suite et fonction exponentielle
Difficile
Soit f(x)=ex−2xf(x) = e^x - 2x et (un)(u_n) définie par u0=2u_0 = 2 et un+1=eun2u_{n+1} = \frac{e^{u_n}}{2}.

Partie A — Étude de ff

1.
Étudier les variations de ff et montrer que f(x)>0f(x) > 0 pour tout xx (c'est-à-dire ex>2xe^x > 2x).
$f'(x) = e^x - 2$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow e^x = 2 \Leftrightarrow x = \ln 2$. $f$ décroît sur $]-\infty\,;\ln 2]$ et croît sur $[\ln 2\,;+\infty[$. Minimum : $f(\ln 2) = 2 - 2\ln 2 = 2(1-\ln 2) \approx 0{,}614 > 0$. Le minimum est strictement positif, donc $\boxed{f(x) > 0}$ pour tout $x$, soit $e^x > 2x$.
2.
En déduire que un+1>unu_{n+1} > u_n pour tout nn (si un>0u_n > 0).
$u_{n+1} - u_n = \frac{e^{u_n}}{2} - u_n = \frac{e^{u_n} - 2u_n}{2} = \frac{f(u_n)}{2} > 0$ (car $f > 0$). Donc $(u_n)$ est **strictement croissante**.

Partie B — Comportement de la suite

3.
Montrer que lim⁡un=+∞\lim u_n = +\infty.
$(u_n)$ est croissante. Si elle était majorée, elle convergerait vers $\ell \geqslant u_0 = 2$. Alors $\ell = \frac{e^\ell}{2}$, soit $e^\ell = 2\ell$, soit $f(\ell) = 0$. Mais on a montré $f > 0$ sur $\mathbb{R}$ : contradiction. Donc $(u_n)$ n'est pas majorée, et comme elle est croissante : $\boxed{\lim u_n = +\infty}$.
Problème 3 — Équation fonctionnelle de l'exponentielle
Difficile
Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R}, non identiquement nulle, telle que pour tous x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} :
f(x+y)=f(x)⋅f(y)f(x+y) = f(x) \cdot f(y)

Partie A — Propriétés de ff

1.
En prenant x=y=0x = y = 0, montrer que f(0)=1f(0) = 1.
$f(0+0) = f(0) \cdot f(0)$, soit $f(0) = f(0)^2$. $f(0)(f(0)-1) = 0$, donc $f(0) = 0$ ou $f(0) = 1$. Si $f(0) = 0$ : $f(x) = f(x+0) = f(x) \cdot f(0) = 0$ pour tout $x$. Contradiction avec $f$ non identiquement nulle. Donc $\boxed{f(0) = 1}$.
2.
Montrer que f(x)>0f(x) > 0 pour tout xx.
$f(x) = f\left(\frac{x}{2} + \frac{x}{2}\right) = f\left(\frac{x}{2}\right)^2 \geqslant 0$. De plus, si $f(a) = 0$ pour un $a$, alors $f(x) = f(x-a+a) = f(x-a)f(a) = 0$ pour tout $x$. Contradiction. Donc $\boxed{f(x) > 0}$ pour tout $x$.
3.
En calculant f′(0)f'(0) à l'aide du taux d'accroissement et de l'équation fonctionnelle, montrer que f′(x)=f′(0)⋅f(x)f'(x) = f'(0) \cdot f(x).
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x)f(h)-f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h}$. Or $\lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = f'(0)$. Donc $\boxed{f'(x) = f'(0) \cdot f(x)}$.

Partie B — Conclusion

4.
En posant a=f′(0)a = f'(0), en déduire que f(x)=eaxf(x) = e^{ax}.
On a $f' = af$ avec $f(0) = 1$. Posons $g(x) = f(x)e^{-ax}$. $g'(x) = f'(x)e^{-ax} - af(x)e^{-ax} = e^{-ax}(f'(x)-af(x)) = 0$. Donc $g$ est constante : $g(x) = g(0) = f(0) \cdot 1 = 1$. Ainsi $f(x)e^{-ax} = 1$, soit $\boxed{f(x) = e^{ax}}$. L'exponentielle est l'unique famille de fonctions dérivables vérifiant $f(x+y) = f(x)f(y)$.
Problème 4 — Inégalités et approximations
Intermédiaire
On considère la fonction f(x)=exf(x) = e^x.

Partie A — Encadrements successifs

1.
Montrer que ex⩾1+xe^x \geqslant 1 + x pour tout xx.
$g(x) = e^x - 1 - x$. $g'(x) = e^x - 1$. $g'(0) = 0$. $g''(x) = e^x > 0$ : $g$ convexe. Minimum en $0$ : $g(0) = 0$. Donc $g(x) \geqslant 0$ : $\boxed{e^x \geqslant 1+x}$.
2.
En déduire que ex⩾1+x+x22e^x \geqslant 1 + x + \frac{x^2}{2} pour x⩾0x \geqslant 0.
Posons $h(x) = e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}$. $h(0) = 0$. $h'(x) = e^x - 1 - x \geqslant 0$ pour $x \geqslant 0$ (d'après Q1). Donc $h$ croissante sur $[0,+\infty[$, $h(0) = 0$ : $\boxed{h(x) \geqslant 0}$.
3.
De même, montrer que ex⩾1+x+x22+x36e^x \geqslant 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} pour x⩾0x \geqslant 0.
Posons $p(x) = e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}$. $p(0) = 0$. $p'(x) = e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2} = h(x) \geqslant 0$ pour $x \geqslant 0$ (d'après Q2). Donc $p$ croissante, $p(0) = 0$ : $\boxed{p(x) \geqslant 0}$.

Partie B — Encadrement de ee

4.
En prenant x=1x = 1, donner des minorants successifs de ee.
Q1 : $e \geqslant 1 + 1 = 2$. Q2 : $e \geqslant 1 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5$. Q3 : $e \geqslant 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{8}{3} \approx 2{,}667$. $\boxed{2 \leqslant 2{,}5 \leqslant \frac{8}{3} \leqslant e \approx 2{,}718}$
5.
Montrer que e⩽3e \leqslant 3.
On utilise le développement en série $e = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!}$ et on majore les termes pour $k \geqslant 1$ par $\frac{1}{2^{k-1}}$ : $e = 1 + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k!} \leqslant 1 + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{2^{k-1}} = 1 + \frac{1}{1-1/2} = 1 + 2 = 3$. (Car $k! \geqslant 2^{k-1}$ pour $k \geqslant 1$.) $\boxed{e \leqslant 3}$