Fonction exponentielle

I. Définition et propriété fondamentale

1. Introduction

Problème : Existe-t-il une fonction

f

dérivable sur

R

telle que

f^{'} = f

f (0) = 1

Existence et unicité (admis)

Il existe une unique fonction dérivable sur

R

vérifiant :

f^{'} = f et f (0) = 1

Cette fonction est appelée fonction exponentielle, notée

exp

2. Notation

Le nombre

e

et la notation

e^{x}

On pose

e = exp (1) \approx 2, 718

.

Pour tout

x \in R

exp (x) = e^{x}

3. Conséquence fondamentale

L'exponentielle est sa propre dérivée

(e^{x})^{'} = e^{x}

Plus généralement : si

f^{'} = f

, alors il existe

C \in R

tel que

f (x) = C e^{x}

avec

C = f (0)

II. Propriétés algébriques

Relation fonctionnelle

Pour tous réels

a, b

e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}

Démonstration

On pose

g (x) = e^{a + x} \times e^{- x}

g^{'} (x) = e^{a + x} \times e^{- x} + e^{a + x} \times (- e^{- x}) = 0

.

Donc

g

est constante :

g (x) = g (0) = e^{a} \times 1 = e^{a}

.

En particulier pour

x = b

e^{a + b} \times e^{- b} = e^{a}

, soit

e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}

Conséquences

Pour tous réels

a, b

et tout entier

n

:

•

e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}}

•

e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}

•

(e^{a})^{n} = e^{na}

•

e^{a} \neq = 0

pour tout

a \in R

Comparaison

La fonction exponentielle est strictement croissante sur

R

. C'est une bijection de

R

vers

] 0, + \infty [

e^{a} = e^{b} ⟺ a = b e^{a} < e^{b} ⟺ a < b

III. Étude de la fonction exponentielle

1. Dérivée

Signe et monotonie

exp^{'} = exp > 0

sur

R

. Donc

exp

est strictement croissante sur

R

2. Limites

Limites aux bornes

x \to + \infty lim e^{x} = + \infty x \to - \infty lim e^{x} = 0

3. Croissances comparées

L'exponentielle l'emporte sur les puissances

Pour tout entier

n \geq 1

x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty

En $+ \infty$ , l'exponentielle croît plus vite que toute puissance de $x$ .

Conséquence en

- \infty

Pour tout entier

n \geq 1

x \to - \infty lim x^{n} e^{x} = 0

En $- \infty$ , l'exponentielle l'emporte aussi (tend vers 0 plus vite que toute puissance).

Limite fondamentale en 0

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1

Démonstration

\frac{e ^{x} - 1}{x} = \frac{e ^{x} - e ^{0}}{x - 0}

est le taux d'accroissement de

exp

en 0.

Sa limite est

exp^{'} (0) = e^{0} = 1

4. Convexité

Convexité de l'exponentielle

exp^{''} = exp > 0

sur

R

. Donc

exp

est convexe sur

R

.

La courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.

Inégalité fondamentale

La tangente en 0 a pour équation

y = x + 1

. Comme

exp

est convexe :

e^{x} \geq x + 1 pour tout x \in R

5. Tableau de variation

e^{x} > 0

pour tout

x

. Fonction strictement croissante sur

R

.

|

x

- \infty

| |

+ \infty

|
|

e^{x}

0

↗

+ \infty

|

Image :

] 0, + \infty [

IV. Dérivée de $e^{u (x)}$

Formule

u

est dérivable, alors :

(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}

Démonstration

C'est la formule de dérivation d'une composée :

(f \circ u)^{'} = u^{'} \times f^{'} (u)

avec

f = exp

f^{'} = exp

Exemple 1

f (x) = e^{3 x}

. On pose

u = 3 x

u^{'} = 3

f^{'} (x) = 3 e^{3 x}

Exemple 2

f (x) = e^{x^{2} - 1}

. On pose

u = x^{2} - 1

u^{'} = 2 x

f^{'} (x) = 2 x e^{x^{2} - 1}

Exemple 3 (dérivée d'un produit)

f (x) = x e^{- x}

.

Par la formule du produit :

f^{'} (x) = 1 \times e^{- x} + x \times (- e^{- x}) = e^{- x} (1 - x)

V. Équations et inéquations

1. Équations

Résolution

e^{A} = e^{B} ⟺ A = B

Exemples

•

e^{2 x - 1} = e^{x + 3} ⟺ 2 x - 1 = x + 3 ⟺ x = 4

.

•

e^{x^{2}} = e^{4} ⟺ x^{2} = 4 ⟺ x = \pm 2

2. Inéquations

Résolution

e^{A} \leq e^{B} ⟺ A \leq B

(Conservation du sens car $exp$ strictement croissante.)

Exemple

e^{3 x - 2} > e^{x + 1} ⟺ 3 x - 2 > x + 1 ⟺ x > \frac{3}{2}

3. Équation $e^{x} = k$

Nombre de solutions

• Si

k > 0

: une unique solution (qui sera

x = ln k

, vu au chapitre suivant).
• Si

k \leq 0

: aucune solution (car

e^{x} > 0

toujours).

VI. Méthodes

M1 — Dériver avec l'exponentielle

Méthode

1. Identifier

u

.
2. Appliquer

(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}

.
3. Si produit ou quotient : combiner avec les règles correspondantes.

Exemple

f (x) = (x^{2} + 1) e^{- 2 x}

f^{'} (x) = 2 x e^{- 2 x} + (x^{2} + 1) (- 2 e^{- 2 x}) = e^{- 2 x} (2 x - 2 x^{2} - 2) = - 2 e^{- 2 x} (x^{2} - x + 1)

M2 — Étude complète

Les étapes

Domaine → limites (utiliser les croissances comparées pour lever les FI) →

f^{'}

et signe → tableau → courbe.

Exemple complet :

f (x) = x e^{- x}

Domaine :

R

.

Limites :
•

lim_{x \to + \infty} x e^{- x} = lim \frac{x}{e ^{x}} = 0

(croissances comparées) → AH

y = 0

.
•

lim_{x \to - \infty} x e^{- x} = - \infty

(car

x \to - \infty

e^{- x} \to + \infty

).

Dérivée :

f^{'} (x) = e^{- x} (1 - x)

e^{- x} > 0

toujours, donc signe de

f^{'}

= signe de

(1 - x)

f^{'} > 0

sur

] - \infty, 1 [

f^{'} < 0

sur

] 1, + \infty [

.

Maximum :

f (1) = \frac{1}{e}

x = 1

M3 — Résoudre équations/inéquations

Méthode

Ramener à

e^{A} = e^{B}

puis comparer les exposants.
Pour

e^{x} = k

: vérifier

k > 0

M4 — Croissances comparées

Méthode

Pour les FI du type

x^{n} e^{- x}

+ \infty

:

Écrire

x^{n} e^{- x} = \frac{x ^{n}}{e ^{x}} \to 0

car

e^{x}

l'emporte.

Pour les FI en

- \infty

:

Poser

X = - x \to + \infty

et se ramener à une limite en

+ \infty

Fonction	Dérivée
$e^{x}$	$e^{x}$
$e^{u}$	$u^{'} e^{u}$
$f \times e^{u}$	$(f^{'} + f u^{'}) e^{u}$

40 exercices disponibles

Exercice 1

Facile

Simplifier

e^3 \times e^5

Correction détaillée

e^3 \times e^5 = e^{3+5} = e^8

Exercice 2

Facile

Simplifier

\dfrac{e^7}{e^2}

Correction détaillée

\dfrac{e^7}{e^2} = e^{7-2} = e^5

Exercice 3

Facile

Simplifier

(e^3)^4

Correction détaillée

(e^3)^4 = e^{12}

Exercice 4

Facile

Simplifier

e^2 \times e^{-2}

Correction détaillée

e^2 \times e^{-2} = e^0 = 1

Exercice 5

Facile

Calculer la dérivée de

f(x) = 3e^x + 2

Correction détaillée

f'(x) = 3e^x

Exercice 6

Facile

L'expression

e^x - 1

peut-elle être négative ?

Correction détaillée

e^x - 1 < 0 \iff e^x < 1 \iff x < 0

. Oui, pour

x < 0

Exercice 7

Facile

Résoudre

e^x = e^3

Correction détaillée

e^x = e^3 \iff x = 3

S = \{3\}

Exercice 8

Facile

Résoudre

e^x \leq e^5

Correction détaillée

e^x

croissante :

e^x \leq e^5 \iff x \leq 5

S = ]-\infty;5]

Exercice 9

Facile

Déterminer

\lim_{x \to +\infty} e^x

\lim_{x \to -\infty} e^x

Correction détaillée

\lim_{+\infty} e^x = +\infty

\lim_{-\infty} e^x = 0

Exercice 10

Facile

Soit

f(x) = e^{2x}

. Calculer

f(0)

f(1)

f(-1)

Correction détaillée

f(0) = 1

f(1) = e^2 \approx 7{,}389

f(-1) = e^{-2} \approx 0{,}135

Exercice 11

Intermédiaire

Dérivées de

e^u

f(x) = e^{2x+1}

f'(x) = 2e^{2x+1}

g(x) = e^{-3x}

g'(x) = -3e^{-3x}

h(x) = e^{x^2}

h'(x) = 2xe^{x^2}

Exercice 12

Intermédiaire

Équations avec exponentielle.

e^{2x} = e^{x+3}

2x = x+3

x = 3

e^{x^2} = e^4

x^2 = 4

x = \pm 2

e^{3x-1} = 1

3x-1 = 0

x = 1/3

Exercice 13

Intermédiaire

Inéquations avec exponentielle.

e^{2x} > e^{x-1}

2x > x-1

x > -1

e^{-x} \leq 1

-x \leq 0

x \geq 0

e^{x^2-1} < e^3

x^2-1 < 3

|x| < 2

Exercice 14

Intermédiaire

Soit

f(x) = xe^x

f'(x)

f'(x) = (1+x)e^x

Variations.

f' > 0

pour

x > -1

f' < 0

pour

x < -1

. Min

f(-1) = -1/e

Exercice 15

Intermédiaire

Limites avec exponentielle.

\lim_{+\infty} e^{-x}

0

\lim_{+\infty} (e^x - x)

+\infty

(croissance comparée).

\lim_{-\infty} xe^x

0

(croissance comparée).

Exercice 16

Intermédiaire

Croissance comparée.

\lim_{+\infty} e^x/x^2

+\infty

\lim_{+\infty} x^3 e^{-x}

0

\lim_{+\infty} e^x/x^{100}

+\infty

Exercice 17

Intermédiaire

Limite

(e^x-1)/x

\lim_0 (e^{2x}-1)/x

2 \cdot \dfrac{e^{2x}-1}{2x} \to 2

\lim_0 (e^x-1)/(3x)

1/3

\lim_0 (e^{3x}-1)/(5x)

3/5

Exercice 18

Intermédiaire

Dérivée de produits avec exp.

(x^2+1)e^x

(x+1)^2 e^x

(3x-2)e^{-x}

(5-3x)e^{-x}

e^x/x

\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}

Exercice 19

Intermédiaire

Convexité de

e^x

et inégalité.

Montrer

e^x \geq 1 + x

Tangente en

0

y = 1+x

. Convexe

\implies

courbe au-dessus.

Vérifier en

x = 1

x = -1

e \approx 2{,}718 \geq 2

e^{-1} \approx 0{,}368 \geq 0

Exercice 20

Intermédiaire

Résoudre

e^{2x} - 3e^x + 2 = 0

Poser

X = e^x

, résoudre en

X

(X-1)(X-2) = 0

X = 1

X = 2

Solutions en

x

e^x = 1 \implies x = 0

e^x = 2 \implies x = \alpha \approx 0{,}693

S = \{0; \alpha\}

Exercice 21

Difficile

Étude de

f(x) = xe^{-x}

Limites.

\lim_{+\infty} = 0

(croiss. comp.),

\lim_{-\infty} = -\infty

Dérivée, variations.

f' = (1-x)e^{-x}

. Max en

x = 1

f(1) = 1/e

AH.

y = 0

+\infty

Montrer

f(x) \leq 1/e

Max global

f(1) = 1/e

Exercice 22

Difficile

Soit

g(x) = e^x - x - 1

Min global.

g' = e^x - 1 = 0

x = 0

g(0) = 0

. Min global.

En déduire

e^x \geq x + 1

g(x) \geq 0

, soit

e^x \geq x + 1

. Stricte pour

x \neq 0

Exercice 23

Difficile

Équation

e^x = kx

pour

k > 0

Étudier

h(x) = e^x/x

sur

]0;+\infty[

h' = (x-1)e^x/x^2

. Min en

x = 1

h(1) = e

Nombre de solutions selon

k

k < e

: 0.

k = e

: 1 (

x=1

k > e

: 2.

Exercice 24

Difficile

f(x) = e^{x^2-4x}

Dérivée, variations.

f' = (2x-4)e^{x^2-4x}

. Min en

x = 2

f(2) = e^{-4}

Limites.

f \to +\infty

\pm\infty

Exercice 25

Difficile

Tangente à

e^x

passant par l'origine.

Tangente en

a

passant par

(0;0)

T_a : y = e^a(x-a+1)

0 = e^a(1-a)

a = 1

Équation.

y = ex

Exercice 26

Difficile

Résoudre

e^{2x} - 5e^x + 6 \leq 0

Poser

X = e^x

(X-2)(X-3) \leq 0

2 \leq X \leq 3

Solutions en

x

S = [\alpha;\beta]

avec

e^\alpha = 2

e^\beta = 3

Exercice 27

Difficile

Étude de

f(x) = (x-2)e^x

Limites.

\lim_{+\infty} = +\infty

\lim_{-\infty} = 0^-

Variations.

f' = (x-1)e^x

. Min

f(1) = -e

Zéro unique.

f(2) = 0

. Unique car

f

croissante sur

[1;+\infty[

avec

f(1) < 0

Exercice 28

Difficile

Jensen pour

e^x

convexe.

e^{(a+b)/2} \leq (e^a+e^b)/2

Convexité

\lambda = 1/2

Vérifier

a=0, b=2

e \approx 2{,}72 \leq (1+e^2)/2 \approx 4{,}19

Exercice 29

Difficile

f(x) = x^2 e^{-x}

. Points d'inflexion.

f'(x)

f' = x(2-x)e^{-x}

f''(x)

f'' = (x^2-4x+2)e^{-x}

Points d'inflexion.

x = 2 \pm \sqrt{2}

Exercice 30

Difficile

Équation fonctionnelle

e^{a+b} = e^a e^b

En déduire

e^{na} = (e^a)^n

Récurrence :

e^{(n+1)a} = e^{na} \cdot e^a = (e^a)^{n+1}

(e^{na})_n

est géométrique.

Raison

q = e^a

Exercice 31

Avancé

Étude complète de

(x^2-1)e^{-x}

Limites.

\lim_{+\infty} = 0

\lim_{-\infty} = +\infty

Dérivée.

f' = -(x^2-2x-1)e^{-x}

f' = 0

x = 1 \pm \sqrt{2}

Zéros.

x = \pm 1

Points d'inflexion.

f'' = (x^2-4x+1)e^{-x}

. PI en

x = 2 \pm \sqrt{3}

Exercice 32

Avancé

Croissance comparée renforcée.

e^x/x^n \to +\infty

pour tout

n

e^x \geq x^{n+1}/(n+1)!

, donc

e^x/x^n \geq x/(n+1)! \to +\infty

\lim_{+\infty} (x^{10} - e^x)

= e^x(x^{10}/e^x - 1) \to -\infty

Exercice 33

Avancé

f(x) = e^x

bijection de

\mathbb{R}

sur

]0;+\infty[

Justifier la bijection.

Continue, strictement croissante,

\lim_{-\infty} = 0

\lim_{+\infty} = +\infty

. TVI.

f^{-1}(1), f^{-1}(e), f^{-1}(e^2)

0, 1, 2

(f^{-1})'(y) = 1/y

(f^{-1})'(y) = 1/f'(f^{-1}(y)) = 1/e^{f^{-1}(y)} = 1/y

Exercice 34

Avancé

\cosh(x) = (e^x+e^{-x})/2

Parité,

\cosh(0)

Paire,

\cosh(0) = 1

Variations.

\cosh' = (e^x-e^{-x})/2 > 0

pour

x > 0

. Croissante sur

[0;+\infty[

\cosh(x) \geq 1

AM-GM :

e^x + e^{-x} \geq 2

. Ou min

\cosh(0) = 1

Solutions de

\cosh(x) = k

k < 1

: 0.

k = 1

: 1 (

x=0

k > 1

: 2 (

\pm x_0

Exercice 35

Avancé

\sinh(x) = (e^x-e^{-x})/2

Imparité.

\sinh(-x) = -\sinh(x)

\sinh'(x)

\cosh(x) > 0

: strictement croissante.

\cosh^2 - \sinh^2 = 1

((e^x+e^{-x})^2 - (e^x-e^{-x})^2)/4 = 4/(4) = 1

Exercice 36

Avancé

Approximation de

e

u_n = (1+1/n)^n

: calculer

u_1, u_2, u_5, u_{10}

2; 2{,}25; 2{,}488; 2{,}594

S_n = \sum_{k=0}^n 1/k!

: calculer

S_0

S_5

1; 2; 2{,}5; 2{,}667; 2{,}708; 2{,}717

Comparer les vitesses.

S_5

est plus proche de

e

que

u_{100}

. La série converge beaucoup plus vite.

Exercice 37

Avancé

Toutes les solutions de

f' = f

Montrer

g(x) = f(x)e^{-x}

constante.

g' = (f'-f)e^{-x} = 0

En déduire

f(x) = Ce^x

f(x)e^{-x} = C

f(x) = Ce^x

f(0) = 3

f(x) = 3e^x

Exercice 38

Avancé

u_n = e^{-n/2}

géométrique.

Raison.

q = e^{-1/2} = 1/\sqrt{e} \approx 0{,}607

Somme

S_n

et limite.

S_n = (1-q^{n+1})/(1-q) \to \sqrt{e}/(\sqrt{e}-1)

Exercice 39

Avancé

f(x) = e^x/(1+e^x)

(sigmoide).

Montrer

f(x) = 1/(1+e^{-x})

Diviser num et dén par

e^x

Limites.

\lim_{+\infty} = 1

\lim_{-\infty} = 0

f(x) + f(-x) = 1

e^x/(1+e^x) + 1/(1+e^x) = 1

Image.

]0;1[

Exercice 40

Avancé

Montrer

e^x \geq \sum_{k=0}^n x^k/k!

pour

x \geq 0

Vérifier

n = 0

n = 1

e^x \geq 1

e^x \geq 1+x

R_n(x) = e^x - \sum x^k/k!

R_n' = R_{n-1}

Dériver :

R_n' = e^x - \sum_{k=1}^n x^{k-1}/(k-1)! = R_{n-1}

Récurrence :

R_{n-1} \geq 0 \implies R_n

croissante,

R_n(0)=0

R_n' = R_{n-1} \geq 0

sur

[0;+\infty[

R_n(0) = 0

, donc

R_n \geq 0

4 problèmes de synthèse

Problème 1 — Étude de (1-x)e^x

Difficile

Étude complète

Limites.

\lim_{+\infty} = -\infty

\lim_{-\infty} = 0^+

Dérivée, variations.

f' = -xe^x

. Max en

x=0

f(0) = 1

Zéro, signe.

f(1) = 0

f > 0

pour

x < 1

f < 0

pour

x > 1

(1-x)e^x \leq 1

e^x \leq 1/(1-x)

pour

x < 1

Max global

= 1

. Diviser par

(1-x) > 0

Tangente en

0

y = 1

(horizontale). Courbe en dessous partout.

Problème 2 — Suite récurrente et exponentielle

Avancé

Convergence

g(x) = 1 + xe^{-x}

u_0 = 2

u_{n+1} = g(u_n)

. Calculer

u_1, u_2, u_3

u_1 \approx 1{,}271

u_2 \approx 1{,}357

u_3 \approx 1{,}349

Point fixe dans

]1;2[

h(x) = g(x)-x

h(1) > 0

h(2) < 0

. Unique par décroissance.

g([1;2]) \subset [1;2]

g

décroissante sur

[1;2]

g([1;2]) = [g(2);g(1)] \subset [1;2]

Convergence.

|g'| \leq e^{-1} < 1

: contractante. Converge vers

\alpha

Problème 3 — Aire sous e^{-x}

Difficile

Sommes de Riemann

f(x) = e^{-x}

décroissante, convexe.

f' < 0

f'' > 0

S_n = (1/n)\sum_{k=0}^{n-1} e^{-k/n}

: somme géométrique.

S_n = (1/n) \cdot (1-e^{-1})/(1-e^{-1/n})

\lim S_n

1 - 1/e \approx 0{,}632

\int_0^{+\infty} e^{-x}dx

\lim_{A \to +\infty} (1-e^{-A}) = 1

Problème 4 — Croissance bactérienne

Avancé

Modélisation

N(t) = 100 e^{rt}

N' = rN

Taux proportionnel : croissance exponentielle.

N(1) = 200

, trouver

r

e^r = 2

r \approx 0{,}693

N(10)

100 \cdot 2^{10} = 102\,400

Comparer

N(t) = 100 \cdot 2^t

M(t) = 100 t^{10}

N/M = 2^t/t^{10} \to +\infty

(croissance comparée).

N

domine pour

t

grand.

S'entraîner avec les sujets du bac

Voir les sujets corrigés →

Fonction exponentielle

I. Définition et propriété fondamentale

1. Introduction

2. Notation

3. Conséquence fondamentale

II. Propriétés algébriques

III. Étude de la fonction exponentielle

1. Dérivée

2. Limites

3. Croissances comparées

4. Convexité

5. Tableau de variation

IV. Dérivée de $e^{u (x)}$

V. Équations et inéquations

1. Équations

2. Inéquations

3. Équation $e^{x} = k$

VI. Méthodes

M1 — Dériver avec l'exponentielle

M2 — Étude complète

M3 — Résoudre équations/inéquations

M4 — Croissances comparées

1. Définition et propriétés

Définition et dérivée

Propriétés algébriques

Limites et croissances comparées

Convexité et tableau

2. Méthodes

Tableau récap dérivées avec exp

Récapitulatif

Étude complète

Convergence

Sommes de Riemann

Modélisation

S'entraîner avec les sujets du bac

Fonction exponentielle

I. Définition et propriété fondamentale

1. Introduction

2. Notation

3. Conséquence fondamentale

II. Propriétés algébriques

III. Étude de la fonction exponentielle

1. Dérivée

2. Limites

3. Croissances comparées

4. Convexité

5. Tableau de variation

IV. Dérivée de eu(x)

V. Équations et inéquations

1. Équations

2. Inéquations

3. Équation ex=k

VI. Méthodes

M1 — Dériver avec l'exponentielle

M2 — Étude complète

M3 — Résoudre équations/inéquations

M4 — Croissances comparées

1. Définition et propriétés

Définition et dérivée

Propriétés algébriques

Limites et croissances comparées

Convexité et tableau

2. Méthodes

Tableau récap dérivées avec exp

Récapitulatif

Étude complète

Convergence

Sommes de Riemann

Modélisation

S'entraîner avec les sujets du bac

IV. Dérivée de $e^{u (x)}$

3. Équation $e^{x} = k$