Fonction logarithme népérien

I. Définition

1. Introduction

L'exponentielle est une bijection de

R

vers

] 0, + \infty [

. Donc pour tout

b > 0

, l'équation

e^{x} = b

admet une unique solution.

Logarithme népérien

Pour tout

b > 0

, on appelle logarithme népérien de

b

, noté

ln (b)

, l'unique réel

a

tel que

e^{a} = b

ln (b) = a ⟺ e^{a} = b (b > 0)

Conséquences immédiates

ln (1) = 0 ln (e) = 1

ln (e^{x}) = x \forall x \in R e^{l n x} = x \forall x > 0

2. Lien avec l'exponentielle

Fonctions réciproques

ln

exp

sont réciproques l'une de l'autre :

•

ln (exp (x)) = x

pour tout

x \in R

.
•

exp (ln (x)) = x

pour tout

x > 0

.

Graphiquement : les courbes de

ln

exp

sont symétriques par rapport à la droite

y = x

II. Propriétés algébriques

Relation fondamentale

Pour tous

a, b > 0

ln (ab) = ln (a) + ln (b)

Le logarithme transforme un produit en somme.

Démonstration

Posons

α = ln (a)

β = ln (b)

, c'est-à-dire

a = e^{α}

b = e^{β}

.

Alors

ab = e^{α} \times e^{β} = e^{α + β}

.

Donc

ln (ab) = α + β = ln (a) + ln (b)

Conséquences

Pour

a, b > 0

n \in Z

:

•

ln (\frac{a}{b}) = ln (a) - ln (b)

•

ln (\frac{1}{a}) = - ln (a)

•

ln (a^{n}) = n ln (a)

•

ln (a) = \frac{ln ( a )}{2}

Exemples

ln (8) = ln (2^{3}) = 3 ln (2)

ln (\frac{3}{5}) = ln (3) - ln (5)

Attention !

Il n'existe aucune formule pour

ln (a + b)

ln (a + b) \neq = ln (a) + ln (b)

III. Étude de la fonction logarithme

1. Dérivée

Dérivée du logarithme

(ln x)^{'} = \frac{1}{x} (x > 0)

Démonstration

On dérive la relation

e^{l n x} = x

(ln x)^{'} \times e^{l n x} = 1

, donc

(ln x)^{'} = \frac{1}{e ^{l n x}} = \frac{1}{x}

Monotonie

Comme

\frac{1}{x} > 0

pour

x > 0

ln

est strictement croissante sur

] 0, + \infty [

2. Signe

Signe de

ln (x)

• Si

0 < x < 1

ln (x) < 0

.
• Si

x = 1

ln (x) = 0

.
• Si

x > 1

ln (x) > 0

3. Limites

Limites aux bornes

x \to + \infty lim ln (x) = + \infty x \to 0^{+} lim ln (x) = - \infty

La droite

x = 0

est asymptote verticale.

4. Croissances comparées

Les puissances l'emportent sur

ln

Pour tout entier

n \geq 1

x \to + \infty lim \frac{ln ( x )}{x ^{n}} = 0

Toute puissance de $x$ croît plus vite que $ln (x)$ en $+ \infty$ .

Cas particulier :

x \to + \infty lim \frac{ln ( x )}{x} = 0

Conséquence en

0^{+}

x \to 0^{+} lim x ln (x) = 0

Démonstration

On pose

t = \frac{1}{x}

. Quand

x \to 0^{+}

t \to + \infty

x ln (x) = \frac{1}{t} ln (\frac{1}{t}) = - \frac{ln ( t )}{t} \to 0

Limite fondamentale en 0

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1

Démonstration

\frac{ln ( 1 + x ) - ln ( 1 )}{x} = \frac{ln ( 1 + x )}{x}

est le taux d'accroissement de

ln

1

.

Sa limite est

(ln)^{'} (1) = \frac{1}{1} = 1

5. Convexité

Concavité

(ln)^{''} = - \frac{1}{x ^{2}} < 0

sur

] 0, + \infty [

.

Donc

ln

est concave sur

] 0, + \infty [

. La courbe est en dessous de ses tangentes.

Inégalité fondamentale

La tangente en

x = 1

a pour équation

y = x - 1

. Comme

ln

est concave :

ln (x) \leq x - 1 pour tout x > 0

6. Tableau de variation

Domaine :

] 0, + \infty [

. Strictement croissante. Image :

R

.

|

x

0^{+}

1

+ \infty

|
|

ln (x)

- \infty

0

+ \infty

IV. Dérivée de $ln (u (x))$

Formule

u

est dérivable et

u > 0

(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}

Exemple 1

f (x) = ln (3 x + 1)

sur

] - \frac{1}{3}, + \infty [

u = 3 x + 1

u^{'} = 3

f^{'} (x) = \frac{3}{3 x + 1}

Exemple 2

f (x) = ln (x^{2} + 1)

sur

R

u = x^{2} + 1

u^{'} = 2 x

f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

Exemple 3

f (x) = x ln (x) - x

sur

] 0, + \infty [

f^{'} (x) = ln (x) + x \times \frac{1}{x} - 1 = ln (x)

Dérivée de

ln ∣ x ∣

(ln ∣ x ∣)^{'} = \frac{1}{x}

pour tout

x \neq = 0

.

Cette formule étend la dérivée de

ln

aux valeurs négatives.

V. Équations et inéquations

1. Équations

Résolution

ln (A) = ln (B) ⟺ A = B (A > 0 et B > 0)

Exemple

ln (2 x - 1) = ln (x + 3)

.

Condition :

2 x - 1 > 0

x + 3 > 0

, soit

x > \frac{1}{2}

2 x - 1 = x + 3 ⟺ x = 4

.

Vérification :

x = 4 > \frac{1}{2}

✓. Solution :

x = 4

2. Inéquations

Résolution

ln (A) \leq ln (B) ⟺ A \leq B (A > 0 et B > 0)

(Conservation du sens car $ln$ est strictement croissante.)

Exemple

ln (x - 2) > ln (5)

.

Condition :

x - 2 > 0

, soit

x > 2

x - 2 > 5 ⟺ x > 7

.

Solution :

x > 7

3. Passage exp/ln

Équivalences

ln (x) = k ⟺ x = e^{k}

e^{x} = k ⟺ x = ln (k)

k > 0

Exemple

e^{2 x} = 5 ⟺ 2 x = ln (5) ⟺ x = \frac{ln ( 5 )}{2}

VI. Méthodes

M1 — Dériver avec $ln$

Méthode

Identifier

u

, appliquer

(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}

M2 — Étude de fonction

Exemple complet :

f (x) = x - ln (x)

sur

] 0, + \infty [

Limites :

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 0 - (- \infty) = + \infty

lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty

(car

\frac{ln ( x )}{x} \to 0

, donc

x

domine).

Dérivée :

f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}

f^{'} (x) = 0 ⟺ x = 1

f^{'} < 0

sur

] 0, 1 [

f^{'} > 0

sur

] 1, + \infty [

.

Minimum :

f (1) = 1 - 0 = 1

x = 1

.

Donc

f (x) \geq 1

pour tout

x > 0

, soit

ln (x) \leq x - 1

M3 — Résoudre $ln (A) = ln (B)$

Méthode

1. Conditions d'existence :

A > 0

B > 0

.
2.

A = B

.
3. Vérifier que les solutions satisfont les conditions.

M4 — Transformer avec les propriétés de $ln$

Méthode

Utiliser

ln (ab) = ln (a) + ln (b)

ln (a^{n}) = n ln (a)

pour simplifier les expressions.

Propriété	Formule
Dérivée	$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
Composée	$(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$
Produit → somme	$ln (ab) = ln a + ln b$
Puissance	$ln (a^{n}) = n ln a$
$lim_{+ \infty}$	$\frac{ln x}{x} \to 0$
$lim_{0^{+}}$	$x ln x \to 0$
Concavité	$ln (x) \leq x - 1$

40 exercices disponibles

Exercice 1

Facile

Calculer

\ln(1)

\ln(e)

\ln(e^3)

Correction détaillée

\ln(1) = 0

\ln(e) = 1

\ln(e^3) = 3

Exercice 2

Facile

Simplifier

e^{\ln 5}

Correction détaillée

e^{\ln 5} = 5

Exercice 3

Facile

Simplifier

\ln(2) + \ln(3)

Correction détaillée

\ln(2) + \ln(3) = \ln(6)

Exercice 4

Facile

Simplifier

\ln(10) - \ln(5)

Correction détaillée

\ln(10) - \ln(5) = \ln(2)

Exercice 5

Facile

Simplifier

\ln(8)

en utilisant

8 = 2^3

Correction détaillée

\ln(8) = 3\ln(2)

Exercice 6

Facile

Calculer la dérivée de

f(x) = 3\ln x

pour

x > 0

Correction détaillée

f'(x) = \dfrac{3}{x}

Exercice 7

Facile

Résoudre

\ln(x) = 2

Correction détaillée

x = e^2

S = \{e^2\}

Exercice 8

Facile

Pour quelles valeurs de

x

a-t-on

\ln(x) < 0

Correction détaillée

\ln(x) < 0 \iff 0 < x < 1

S = \,]0;1[

Exercice 9

Facile

Déterminer

\lim_{x \to +\infty} \ln(x)

\lim_{x \to 0^+} \ln(x)

Correction détaillée

\lim_{+\infty} \ln(x) = +\infty

\lim_{0^+} \ln(x) = -\infty

Exercice 10

Facile

Résoudre

e^x = 5

Correction détaillée

x = \ln(5) \approx 1{,}609

Exercice 11

Intermédiaire

Dérivées de

\ln(u)

f(x) = \ln(2x+1)

f'(x) = \dfrac{2}{2x+1}

g(x) = \ln(x^2+1)

g'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}

h(x) = \ln(\sqrt{x})

h(x) = \dfrac{1}{2}\ln x

h'(x) = \dfrac{1}{2x}

Exercice 12

Intermédiaire

Équations avec ln.

\ln(x) + \ln(x-1) = \ln(6)

Domaine

x > 1

x(x-1) = 6

x = 3

2\ln(x) = \ln(9)

\ln(x^2) = \ln 9

x = 3

(car

x > 0

\ln(x^2-3) = 0

x^2-3 = 1

x = \pm 2

Exercice 13

Intermédiaire

Inéquations avec ln.

\ln(x) \geq 3

x \geq e^3

\ln(2x-1) < 0

Domaine

x > 1/2

2x-1 < 1

x < 1

S = \,]1/2;1[

\ln(x) + \ln(x+2) \leq \ln(3)

x > 0

x(x+2) \leq 3

(x+3)(x-1) \leq 0

S = \,]0;1]

Exercice 14

Intermédiaire

Soit

f(x) = \dfrac{\ln x}{x}

Limites.

\lim_{0^+} = -\infty

\lim_{+\infty} = 0

Dérivée, maximum.

f' = \dfrac{1-\ln x}{x^2}

. Max en

x = e

f(e) = 1/e

Exercice 15

Intermédiaire

Résolution avec ln.

2^x = 7

x = \dfrac{\ln 7}{\ln 2} \approx 2{,}807

3 \cdot 5^x = 60

5^x = 20

x = \dfrac{\ln 20}{\ln 5} \approx 1{,}861

e^{2x} - 3e^x + 2 = 0

X = 1

X = 2

x = 0

x = \ln 2

Exercice 16

Intermédiaire

Croissance comparée.

\lim_{+\infty} \ln x / \sqrt{x}

0

\lim_{0^+} x\ln x

0

\lim_{+\infty} (\ln x)^2/x

0

Exercice 17

Intermédiaire

Limite

\ln(1+x)/x

\lim_0 \ln(1+3x)/x

3

\lim_0 \ln(1+x)/(2x)

1/2

\lim_0 \ln(1+x^2)/x^2

1

Exercice 18

Intermédiaire

Concavité de ln et inégalité.

Montrer

\ln x \leq x - 1

Tangente en

1

y = x-1

. Concave

\implies \ln x \leq x-1

En déduire

e^x \geq 1+x

Poser

x = e^t

t \leq e^t - 1

Exercice 19

Intermédiaire

Dérivées composées avec ln.

\ln(x^2-4)

\dfrac{2x}{x^2-4}

(\ln x)^3

\dfrac{3(\ln x)^2}{x}

x\ln x - x

\ln x

Exercice 20

Intermédiaire

Temps de doublement et demi-vie.

Capital à 3%. Temps de doublement.

n \geq \ln 2/\ln 1{,}03 \approx 23{,}4

. 24 ans.

Demi-vie :

T = \ln 2/\lambda

e^{-\lambda T} = 1/2 \implies T = \ln 2/\lambda

Exercice 21

Difficile

Étude de

f(x) = x - \ln x

Limites.

\lim_{0^+} = +\infty

\lim_{+\infty} = +\infty

Variations, minimum.

f' = (x-1)/x

. Min

f(1) = 1

En déduire

\ln x \leq x - 1

f \geq 1 \implies \ln x \leq x-1

Exercice 22

Difficile

f(x) = \ln x/x^2

Limites.

\lim_{0^+} = -\infty

\lim_{+\infty} = 0

Maximum.

f' = (1-2\ln x)/x^3

. Max en

\sqrt{e}

f(\sqrt{e}) = 1/(2e)

Exercice 23

Difficile

f(x) = x^x

pour

x > 0

\lim_{0^+} x^x

x\ln x \to 0

, donc

x^x \to 1

f'(x)

f' = (\ln x + 1)x^x

Minimum.

x = 1/e

f(1/e) = e^{-1/e} \approx 0{,}692

Exercice 24

Difficile

AM-GM par Jensen sur ln (concave).

\ln((a+b)/2) \geq (\ln a + \ln b)/2

Jensen inversé (concave).

En déduire AM

\geq

GM.

(a+b)/2 \geq \sqrt{ab}

Généraliser à

n

termes.

\geq

GM pour

n

termes par Jensen.

Exercice 25

Difficile

\ln x = \int_1^x dt/t

. Encadrer

\ln 2

Interprétation géométrique.

Aire sous

1/t

entre

1

x

Encadrement par rectangles (4 subdivisions).

0{,}6345 \leq \ln 2 \leq 0{,}7595

Montrer

1/(n+1) \leq \ln(1+1/n) \leq 1/n

1/t

décroissante sur

[n;n+1]

Exercice 26

Difficile

f(x) = x\ln x

\lim_{0^+}

, dérivée, minimum.

\lim = 0

f' = \ln x + 1

. Min

f(1/e) = -1/e

Convexité.

f'' = 1/x > 0

: convexe.

Exercice 27

Difficile

Logarithme décimal.

\log_{10}(10), \log_{10}(100), \log_{10}(1000)

1, 2, 3

Combien de chiffres a

2^{100}

\lfloor 100\log_{10}(2) \rfloor + 1 = 31

Exercice 28

Difficile

Sigmoide

f(x) = 1/(1+e^{-x})

f' = f(1-f)

f' = e^{-x}/(1+e^{-x})^2 = f(1-f)

f^{-1}(y)

f^{-1}(y) = \ln(y/(1-y))

(logit).

Exercice 29

Difficile

Somme harmonique

H_n = \sum 1/k

Encadrement par ln.

\ln(n+1) \leq H_n \leq 1 + \ln n

Divergence.

H_n \geq \ln(n+1) \to +\infty

H_n - \ln n

bornée.

0 < H_n - \ln n \leq 1

. Converge vers

\gamma \approx 0{,}577

Exercice 30

Difficile

Dérivée logarithmique.

(\ln|f|)' = f'/f

Règle de dérivation de

\ln(u)

f(x) = x^2(x+1)^3(x-2)^4

f'/f

f'/f = 2/x + 3/(x+1) + 4/(x-2)

Exercice 31

Avancé

Étude de

x^2\ln x

Limites, variations.

\lim_{0^+} = 0

\lim_{+\infty} = +\infty

f' = x(2\ln x+1)

. Min en

1/\sqrt{e}

Minimum.

f(1/\sqrt{e}) = -1/(2e)

Point d'inflexion.

f'' = 2\ln x + 3 = 0

x = e^{-3/2}

Exercice 32

Avancé

Intégrales avec ln.

\int_1^e 1/x\,dx

1

\int_1^{e^2} 1/x\,dx

2

\int_2^6 1/x\,dx

\ln 3

Exercice 33

Avancé

Limites composées avec ln.

\lim_{+\infty} x[\ln(x+1) - \ln x]

= \lim x\ln(1+1/x) = 1

\lim_1 \ln x/(x-1)

Poser

h = x-1

\ln(1+h)/h \to 1

Exercice 34

Avancé

f(x) = x^{1/x}

. Maximum.

Max en

x = e

g(x) = \ln x/x

max en

e

f(e) = e^{1/e}

En déduire

e^\pi > \pi^e

g(e) > g(\pi) \implies \ln\pi/\pi < 1/e \implies \pi^e < e^\pi

Exercice 35

Avancé

(1+1/n)^n \to e

\ln u_n = n\ln(1+1/n)

Direct.

\ln(1+1/n) \approx 1/n - 1/(2n^2)

, donc

\ln u_n \to 1

n(1/n - 1/(2n^2)) = 1 - 1/(2n) \to 1

u_n \to e

e^{\ln u_n} \to e^1 = e

Exercice 36

Avancé

Entropie

H = -\sum p_i \ln p_i

H

pour

p_1 = p_2 = 1/2

H = \ln 2

H \leq \ln n

(Jensen).

\sum p_i \ln(1/p_i) \leq \ln(\sum p_i/p_i) = \ln n

Égalité ssi

p_i = 1/n

Distribution uniforme.

Exercice 37

Avancé

f(x) = \ln(1+e^x)

(softplus).

f > 0

f' =

sigmoide.

f' = e^x/(1+e^x) = 1/(1+e^{-x})

Limites.

f \sim x

+\infty

f \to 0

-\infty

f(x) \approx x

+\infty

f(x) \approx e^x

-\infty

f(x) - x = \ln(1+e^{-x}) \to 0

f(x) \approx e^x

car

\ln(1+\varepsilon) \approx \varepsilon

Exercice 38

Avancé

Dérivée

n

-ième de

\ln x

Calculer

(\ln x)', (\ln x)'', (\ln x)'''

1/x

-1/x^2

2/x^3

Conjecture et récurrence.

(\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1}(n-1)!/x^n

Exercice 39

Avancé

DL de

\ln(1+x)

x = 1

: série pour

\ln 2

\ln 2 = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + \ldots

Somme 5 termes

\approx 0{,}783

x = -1/2

: convergence plus rapide.

-\ln 2 \approx -(0{,}5+0{,}125+0{,}042+\ldots) \approx -0{,}689

Exercice 40

Avancé

Changement de base

\log_a(x) = \ln x/\ln a

a^{\log_a(x)} = x

e^{(\ln x/\ln a)\ln a} = e^{\ln x} = x

\log_2(32), \log_3(81), \log_5(125)

5, 4, 3

Résoudre

\log_2(x) + \log_2(x-2) = 3

x(x-2) = 8

x = 4

4 problèmes de synthèse

Problème 1 — Étude de ln(x)/x et applications

Difficile

Étude et applications

Rappel : max

1/e

x = e

. Discussion

\ln x/x = k

k > 1/e

: 0 sol.

k = 1/e

: 1.

0 < k < 1/e

: 2.

k \leq 0

: 0 ou 1.

Résoudre

x^y = y^x

(

x \neq y

\ln x/x = \ln y/y

. Unique couple entier :

(2;4)

Montrer

e^\pi > \pi^e

\ln\pi/\pi < 1/e

car

\pi > e

f

décroissante après

e

Problème 2 — Suite harmonique et constante d Euler

Avancé

Convergence de $H_n - \ln n$

Encadrement

\ln(n+1) \leq H_n \leq 1+\ln n

Somme des

\ln(k+1)-\ln k \leq 1/k

\gamma_n = H_n - \ln n

décroissante.

\gamma_{n+1}-\gamma_n = 1/(n+1) - \ln(1+1/n) \leq 0

\gamma_n > 0

H_n > \ln(n+1) > \ln n

Convergence.

\gamma_1

\gamma_{10}

\gamma_1 = 1

\gamma_{10} \approx 0{,}626

\gamma \approx 0{,}577

Problème 3 — Refroidissement de Newton

Difficile

Modélisation

T(t) = 20 + 75e^{-kt}

T_0 = 95

T_{amb} = 20

T(10) = 60

. Trouver

k

k = \ln(15/8)/10 \approx 0{,}063

Temps pour

T = 30

t = \ln(15/2)/k \approx 32

min.

Temps pour quasi-équilibre

T \leq 21

t \geq \ln(75)/k \approx 69

min.

Problème 4 — Inégalités et divergence KL

Avancé

Encadrements et applications

f(x) = x\ln x - x + 1 \geq 0

. En déduire

\ln x \geq 1 - 1/x

Min

f(1) = 0

. Diviser par

x > 0

Encadrement

1-1/x \leq \ln x \leq x-1

Combine avec

\ln x \leq x-1

(concavité).

Encadrer

\ln(1{,}1)

\ln 2

0{,}091 \leq \ln(1{,}1) \leq 0{,}1

0{,}5 \leq \ln 2 \leq 1

Inégalité de Gibbs :

\sum p_i \ln(p_i/q_i) \geq 0

\ln(q_i/p_i) \leq q_i/p_i - 1

. Sommer :

\leq 0

. Donc

\sum p_i\ln(p_i/q_i) \geq 0

S'entraîner avec les sujets du bac

Voir les sujets corrigés →

Fonction logarithme népérien

I. Définition

1. Introduction

2. Lien avec l'exponentielle

II. Propriétés algébriques

III. Étude de la fonction logarithme

1. Dérivée

2. Signe

3. Limites

4. Croissances comparées

5. Convexité

6. Tableau de variation

IV. Dérivée de $ln (u (x))$

V. Équations et inéquations

1. Équations

2. Inéquations

3. Passage exp/ln

VI. Méthodes

M1 — Dériver avec $ln$

M2 — Étude de fonction

M3 — Résoudre $ln (A) = ln (B)$

M4 — Transformer avec les propriétés de $ln$

1. Définition et propriétés

Définition

Propriétés algébriques

Dérivée et signe

Limites et croissances comparées

Convexité et tableau

2. Méthodes

Tableau récapitulatif

Récapitulatif

Étude et applications

Convergence de $H_n - \ln n$

Modélisation

Encadrements et applications

S'entraîner avec les sujets du bac

Fonction logarithme népérien

I. Définition

1. Introduction

2. Lien avec l'exponentielle

II. Propriétés algébriques

III. Étude de la fonction logarithme

1. Dérivée

2. Signe

3. Limites

4. Croissances comparées

5. Convexité

6. Tableau de variation

IV. Dérivée de ln(u(x))

V. Équations et inéquations

1. Équations

2. Inéquations

3. Passage exp/ln

VI. Méthodes

M1 — Dériver avec ln

M2 — Étude de fonction

M3 — Résoudre ln(A)=ln(B)

M4 — Transformer avec les propriétés de ln

1. Définition et propriétés

Définition

Propriétés algébriques

Dérivée et signe

Limites et croissances comparées

Convexité et tableau

2. Méthodes

Tableau récapitulatif

Récapitulatif

Étude et applications

Convergence de Hn−ln⁡nH_n - \ln nHn​−lnn

Modélisation

Encadrements et applications

S'entraîner avec les sujets du bac

IV. Dérivée de $ln (u (x))$

M1 — Dériver avec $ln$

M3 — Résoudre $ln (A) = ln (B)$

M4 — Transformer avec les propriétés de $ln$

Convergence de $H_n - \ln n$