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I Analyse · Chapitre 09 / 17

Fonctions trigonométriques

Dérivées de sin et cos, études de fonctions.

16 min de lecture
6 sections, 9 exemples
44 exercices · 4 problèmes

Conforme au programme officiel 2025-2026 · mis à jour le · notre méthode de vérification

L'essentiel en 30 secondes

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ : (sin x)′ = cos x et (cos x)′ = −sin x, et en version composée, sin(u) a pour dérivée u′ cos(u). Périodiques de période 2π, elles s'étudient comme toute fonction — dérivée, variations, tangentes — sur un intervalle adapté à leur période, en exploitant parité et symétries.

1 Introduction et prérequis

La trigonométrie, du grec trigonon (triangle) et metron (mesure), est l'étude des relations entre les angles et les longueurs. En Première, vous avez découvert le cercle trigonométrique, les fonctions cosinus et sinus, et la formule fondamentale cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1. En Terminale, vous allez enrichir considérablement cette boîte à outils :

• Les formules d'addition permettent de calculer cos⁡(a+b)\cos(a+b) et sin⁡(a+b)\sin(a+b) à partir de cos⁡a\cos a, sin⁡a\sin a, cos⁡b\cos b et sin⁡b\sin b. Elles sont le socle de toutes les autres formules.
• Les formules de duplication en découlent directement et simplifient de nombreux calculs.
• La fonction tangente complète le trio des fonctions trigonométriques.
• Enfin, vous apprendrez à résoudre des équations trigonométriques de référence, compétence essentielle pour l'analyse et la géométrie.

Ces outils interviennent en physique (ondes, signaux, oscillations), en ingénierie (traitement du signal, acoustique) et bien sûr dans la suite des mathématiques (intégration, nombres complexes en enseignement de spécialité).

2 I. Formules d'addition

Énoncé des formules d'addition

Les formules d'addition constituent le résultat central de ce chapitre. Toutes les autres formules trigonométriques en découlent.

Démonstration de la formule de cos⁡(a−b)\cos(a-b)

Démonstration (au programme)
On utilise la distance entre deux points du cercle trigonométrique.

Soit C\mathcal{C} le cercle trigonométrique de centre OO dans un repère orthonormé. Soient MM et NN les points du cercle associés respectivement aux réels aa et bb : M=(cos⁡a,sin⁡a)M = (\cos a, \sin a) et N=(cos⁡b,sin⁡b)N = (\cos b, \sin b).

Étape 1 — Calcul de MN2MN^2 par les coordonnées :
MN2=(cos⁡a−cos⁡b)2+(sin⁡a−sin⁡b)2MN^2 = (\cos a - \cos b)^2 + (\sin a - \sin b)^2
=cos⁡2a−2cos⁡acos⁡b+cos⁡2b+sin⁡2a−2sin⁡asin⁡b+sin⁡2b= \cos^2 a - 2\cos a\cos b + \cos^2 b + \sin^2 a - 2\sin a\sin b + \sin^2 b
=(cos⁡2a+sin⁡2a)+(cos⁡2b+sin⁡2b)−2(cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b)= (\cos^2 a + \sin^2 a) + (\cos^2 b + \sin^2 b) - 2(\cos a\cos b + \sin a\sin b)
=2−2(cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b)= 2 - 2(\cos a\cos b + \sin a\sin b)

Étape 2 — Calcul de MN2MN^2 par Al-Kashi : Dans le triangle OMNOMN, le côté MNMN est opposé à l'angle MON^\widehat{MON} de mesure a−ba - b. Comme OM=ON=1OM = ON = 1 :
MN2=1+1−2cos⁡(a−b)=2−2cos⁡(a−b)MN^2 = 1 + 1 - 2\cos(a-b) = 2 - 2\cos(a-b)

Étape 3 — Conclusion : En égalant :
cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\boxed{\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b}

Applications directes

3 II. Formules de duplication

Énoncé

Les formules de duplication sont le cas particulier b=ab = a des formules d'addition.

Démonstration
En posant b=ab = a dans les formules d'addition :
• cos⁡(2a)=cos⁡(a+a)=cos⁡2a−sin⁡2a\cos(2a) = \cos(a+a) = \cos^2 a - \sin^2 a.
• En remplaçant sin⁡2a\sin^2 a par 1−cos⁡2a1 - \cos^2 a : cos⁡(2a)=2cos⁡2a−1\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1.
• En remplaçant cos⁡2a\cos^2 a par 1−sin⁡2a1 - \sin^2 a : cos⁡(2a)=1−2sin⁡2a\cos(2a) = 1 - 2\sin^2 a.
• sin⁡(2a)=sin⁡(a+a)=2sin⁡acos⁡a\sin(2a) = \sin(a+a) = 2\sin a\cos a.

Formules de linéarisation

4 III. La fonction tangente

Définition et ensemble de définition

xx00π6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}
tan⁡x\tan x0033\dfrac{\sqrt{3}}{3}113\sqrt{3}non définie

Périodicité et parité

Démonstration
Périodicité : tan⁡(x+π)=sin⁡(x+π)cos⁡(x+π)=−sin⁡x−cos⁡x=tan⁡x\tan(x+\pi) = \dfrac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)} = \dfrac{-\sin x}{-\cos x} = \tan x.

Imparité : tan⁡(−x)=sin⁡(−x)cos⁡(−x)=−sin⁡xcos⁡x=−tan⁡x\tan(-x) = \dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \dfrac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x.

Dérivée de la fonction tangente

Démonstration (au programme)
On applique la formule de dérivation d'un quotient à tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} :
tan⁡′(x)=cos⁡x⋅cos⁡x−sin⁡x⋅(−sin⁡x)cos⁡2x=cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=1cos⁡2x\tan'(x) = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}

Par ailleurs :
1+tan⁡2x=1+sin⁡2xcos⁡2x=cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=1cos⁡2x1 + \tan^2 x = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}

Les deux expressions coïncident.

Étude complète sur ]−π2 ;π2[\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[

xx−π2-\dfrac{\pi}{2}00π2\dfrac{\pi}{2}
tan⁡′(x)\tan'(x)++++++
tan⁡x\tan x−∞-\infty↗\nearrow00↗\nearrow+∞+\infty

Formule d'addition pour la tangente

Démonstration
tan⁡(a+b)=sin⁡(a+b)cos⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡bcos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\tan(a+b) = \frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)} = \frac{\sin a\cos b + \cos a\sin b}{\cos a\cos b - \sin a\sin b}

En divisant numérateur et dénominateur par cos⁡acos⁡b≠0\cos a \cos b \neq 0 :
tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡a⋅tan⁡b\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}

5 IV. Équations trigonométriques

Équation cos⁡x=cos⁡α\cos x = \cos\alpha

Justification
Sur le cercle trigonométrique, cos⁡x=cos⁡α\cos x = \cos \alpha signifie que les points associés à xx et α\alpha ont la même abscisse, donc sont égaux ou symétriques par rapport à l'axe des abscisses. D'où x=α+2kπx = \alpha + 2k\pi ou x=−α+2kπx = -\alpha + 2k\pi.

Équation sin⁡x=sin⁡α\sin x = \sin\alpha

Justification
Sur le cercle, sin⁡x=sin⁡α\sin x = \sin \alpha signifie que les points ont la même ordonnée, donc sont égaux ou symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. D'où x=α+2kπx = \alpha + 2k\pi ou x=(π−α)+2kπx = (\pi - \alpha) + 2k\pi.

Équation tan⁡x=tan⁡α\tan x = \tan\alpha

Justification
tan⁡\tan est strictement croissante sur ]−π2 ;π2[\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[, donc injective sur cet intervalle : tan⁡x=tan⁡α⇔x=α\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha. Par périodicité de période π\pi, les solutions sont x=α+kπx = \alpha + k\pi.

Équations composées

6 V. Compléments : relations utiles

Formules de complémentarité et de supplémentarité

Démonstration
Ce sont des cas particuliers des formules d'addition. Par exemple :
cos⁡ ⁣(π2−x)=cos⁡π2cos⁡x+sin⁡π2sin⁡x=0⋅cos⁡x+1⋅sin⁡x=sin⁡x\cos\!\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos\frac{\pi}{2}\cos x + \sin\frac{\pi}{2}\sin x = 0 \cdot \cos x + 1 \cdot \sin x = \sin x

Expression acos⁡x+bsin⁡xa\cos x + b\sin x

Démonstration
acos⁡x+bsin⁡x=R(aRcos⁡x+bRsin⁡x)a\cos x + b\sin x = R\left(\frac{a}{R}\cos x + \frac{b}{R}\sin x\right)

Puisque (aR)2+(bR)2=1\left(\frac{a}{R}\right)^2 + \left(\frac{b}{R}\right)^2 = 1, il existe φ\varphi tel que cos⁡φ=aR\cos\varphi = \frac{a}{R} et sin⁡φ=bR\sin\varphi = \frac{b}{R}. Donc :
acos⁡x+bsin⁡x=R(cos⁡φcos⁡x+sin⁡φsin⁡x)=Rcos⁡(x−φ)a\cos x + b\sin x = R(\cos\varphi\cos x + \sin\varphi\sin x) = R\cos(x - \varphi)

Ce chapitre est tombé au bac

2 sujets officiels de bac comportent un exercice sur ce chapitre — chaque corrigé est détaillé question par question.

2025 Métropole · Septembre Jour 2 2025 Amérique du Nord · Jour 2

Questions fréquentes

Quelles sont les dérivées de sinus et cosinus ?
La dérivée de sin⁡x\sin x est cos⁡x\cos x, et la dérivée de cos⁡x\cos x est −sin⁡x-\sin x — attention au signe moins. Pour une composée, on applique la règle de la chaîne : la dérivée de sin⁡(ax+b)\sin(ax + b) est acos⁡(ax+b)a\cos(ax+b).
Comment résoudre une équation trigonométrique ?
On se ramène à cos⁡x=cos⁡a\cos x = \cos a, qui donne x=a+2kπx = a + 2k\pi ou x=−a+2kπx = -a + 2k\pi, ou à sin⁡x=sin⁡a\sin x = \sin a, qui donne x=a+2kπx = a + 2k\pi ou x=π−a+2kπx = \pi - a + 2k\pi, avec kk entier. On ne garde ensuite que les solutions appartenant à l'intervalle demandé.
Comment étudier une fonction trigonométrique ?
On exploite d'abord la périodicité et les symétries (parité) pour réduire l'étude à un intervalle court, typiquement [0 ;π][0\,;\pi]. On étudie les variations sur cet intervalle, puis on complète la courbe par symétrie et par translation d'une période.

Formules d'addition

Duplication et linéarisation

Fonction tangente

Équations trigonométriques

Angles associés

Mise sous forme d'amplitude

L'essentiel à retenir

44 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Calculer la valeur exacte de cos⁡7π12\cos\dfrac{7\pi}{12}.

(Indication : écrire 7π12\dfrac{7\pi}{12} comme somme de deux angles remarquables.)
Correction détaillée
**Stratégie :** on décompose $\dfrac{7\pi}{12}$ en somme d'angles remarquables. On remarque que $\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{3\pi}{12} + \dfrac{4\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3}$. On applique la formule $\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$ avec $a = \dfrac{\pi}{4}$ et $b = \dfrac{\pi}{3}$ : $$\cos\frac{7\pi}{12} = \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{3}$$ $$= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$$ $$\boxed{\cos\frac{7\pi}{12} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}}$$ **Vérification :** $\dfrac{7\pi}{12}$ est dans le deuxième quadrant ($\dfrac{\pi}{2} < \dfrac{7\pi}{12} < \pi$), donc $\cos\dfrac{7\pi}{12} < 0$. Or $\sqrt{2} \approx 1{,}41 < \sqrt{6} \approx 2{,}45$, donc $\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} < 0$. ✓
Exercice 2
Facile
Calculer la valeur exacte de sin⁡π12\sin\dfrac{\pi}{12}.

(Indication : écrire π12\dfrac{\pi}{12} comme différence de deux angles remarquables.)
Correction détaillée
**Stratégie :** on écrit $\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}$. On applique $\sin(a-b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$ avec $a = \dfrac{\pi}{3}$ et $b = \dfrac{\pi}{4}$ : $$\sin\frac{\pi}{12} = \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}$$ $$= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$$ $$\boxed{\sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}$$ **Vérification :** $\dfrac{\pi}{12} = 15°$, donc $\sin 15° \approx 0{,}259$. Or $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \approx \dfrac{2{,}449 - 1{,}414}{4} \approx 0{,}259$. ✓
Exercice 3
Facile
Sachant que cos⁡a=35\cos a = \dfrac{3}{5} et sin⁡a=45\sin a = \dfrac{4}{5} avec a∈]0 ;π2[a \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[, calculer la valeur exacte de cos⁡ ⁣(a+π3)\cos\!\left(a + \dfrac{\pi}{3}\right).
Correction détaillée
On a $\cos a = \dfrac{3}{5}$ et $\sin a = \dfrac{4}{5}$. **Vérification préalable :** $\cos^2 a + \sin^2 a = \dfrac{9}{25} + \dfrac{16}{25} = \dfrac{25}{25} = 1$. ✓ On applique $\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$ avec $b = \dfrac{\pi}{3}$ : $$\cos\!\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \cos a \cos\frac{\pi}{3} - \sin a \sin\frac{\pi}{3}$$ $$= \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} - \frac{4}{5} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{10} - \frac{4\sqrt{3}}{10}$$ $$\boxed{\cos\!\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{3 - 4\sqrt{3}}{10}}$$
Exercice 4
Facile
Simplifier les expressions suivantes :

1) A=2cos⁡2 ⁣(π8)−1A = 2\cos^2\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right) - 1

2) B=1−2sin⁡2 ⁣(π12)B = 1 - 2\sin^2\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)
Correction détaillée
**1)** Simplifier $A = 2\cos^2\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right) - 1$. On reconnaît la formule de duplication $\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1$ avec $a = \dfrac{\pi}{8}$ : $$A = \cos\!\left(2 \times \frac{\pi}{8}\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ **2)** Simplifier $B = 1 - 2\sin^2\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$. On reconnaît la formule $\cos(2a) = 1 - 2\sin^2 a$ avec $a = \dfrac{\pi}{12}$ : $$B = \cos\!\left(2 \times \frac{\pi}{12}\right) = \cos\frac{\pi}{6} = \boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$
Exercice 5
Facile
Calculer la valeur exacte de sin⁡π8\sin\dfrac{\pi}{8} en utilisant la formule sin⁡2a=1−cos⁡(2a)2\sin^2 a = \dfrac{1-\cos(2a)}{2}.
Correction détaillée
On utilise la formule de linéarisation $\sin^2 a = \dfrac{1 - \cos(2a)}{2}$ avec $a = \dfrac{\pi}{8}$ : $$\sin^2\frac{\pi}{8} = \frac{1 - \cos\frac{\pi}{4}}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{2}}{4}$$ Comme $\dfrac{\pi}{8} \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$, on a $\sin\dfrac{\pi}{8} > 0$, donc : $$\sin\frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$$ $$\boxed{\sin\frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}$$ **Vérification :** $\sin\dfrac{\pi}{8} = \sin 22{,}5° \approx 0{,}383$. Or $\dfrac{\sqrt{2-1{,}414}}{2} = \dfrac{\sqrt{0{,}586}}{2} \approx \dfrac{0{,}765}{2} \approx 0{,}383$. ✓
Exercice 6
Facile
Linéariser l'expression f(x)=cos⁡2x−sin⁡2xf(x) = \cos^2 x - \sin^2 x (c'est-à-dire l'écrire sans carré).
Correction détaillée
On reconnaît directement la formule de duplication $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$ : $$f(x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$$ $$\boxed{f(x) = \cos(2x)}$$ **Vérification :** - Pour $x = 0$ : $f(0) = 1 - 0 = 1$ et $\cos(0) = 1$. ✓ - Pour $x = \dfrac{\pi}{4}$ : $f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0$ et $\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$. ✓
Exercice 7
Facile
1) Donner l'ensemble de définition de la fonction tangente.

2) Calculer tan⁡π3\tan\dfrac{\pi}{3} et tan⁡5π4\tan\dfrac{5\pi}{4}.

3) La fonction tangente est-elle définie en x=3π2x = \dfrac{3\pi}{2} ? Justifier.
Correction détaillée
**1)** L'ensemble de définition de $\tan$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $\cos x \neq 0$ : $$\boxed{\mathcal{D}_{\tan} = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi,\; k \in \mathbb{Z}\right\}}$$ **2) Calcul de $\tan\dfrac{\pi}{3}$ :** $$\tan\frac{\pi}{3} = \frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \boxed{\sqrt{3}}$$ **Calcul de $\tan\dfrac{5\pi}{4}$ :** par périodicité de période $\pi$ : $$\tan\frac{5\pi}{4} = \tan\!\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \tan\frac{\pi}{4} = \boxed{1}$$ **3)** $\dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + \pi = \dfrac{\pi}{2} + 1 \times \pi$, donc $\dfrac{3\pi}{2}$ est de la forme $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$ (avec $k = 1$). Ainsi $\cos\dfrac{3\pi}{2} = 0$ et $\tan$ **n'est pas définie** en $x = \dfrac{3\pi}{2}$.
Exercice 8
Facile
Soit f(x)=tan⁡(2x)f(x) = \tan(2x), définie là où cos⁡(2x)≠0\cos(2x) \neq 0.

1) Préciser l'ensemble de définition de ff.

2) Calculer f′(x)f'(x).
Correction détaillée
**1)** $f(x) = \tan(2x)$ est définie lorsque $\cos(2x) \neq 0$, c'est-à-dire $2x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, soit $x \neq \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}$ pour $k \in \mathbb{Z}$. $$\boxed{\mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2},\; k \in \mathbb{Z}\right\}}$$ **2)** On pose $u(x) = 2x$, donc $u'(x) = 2$. Par dérivation de la composée $\tan \circ u$ : $$f'(x) = u'(x) \times \frac{1}{\cos^2(u(x))} = 2 \times \frac{1}{\cos^2(2x)}$$ On peut aussi écrire : $$\boxed{f'(x) = \frac{2}{\cos^2(2x)} = 2\left(1 + \tan^2(2x)\right)}$$
Exercice 9
Facile
Résoudre sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[ l'équation cos⁡x=12\cos x = \dfrac{1}{2}.
Correction détaillée
**Étape 1 :** On identifie $\alpha$. On sait que $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, donc l'équation s'écrit $\cos x = \cos\dfrac{\pi}{3}$. **Étape 2 :** Les solutions dans $\mathbb{R}$ sont : $$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ **Étape 3 :** On sélectionne les solutions dans $[0\,;2\pi[$ : - **Famille 1 :** $x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$. - $k = 0$ : $x = \dfrac{\pi}{3} \in [0\,;2\pi[$. ✓ - $k = 1$ : $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi \notin [0\,;2\pi[$. - **Famille 2 :** $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$. - $k = 0$ : $x = -\dfrac{\pi}{3} \notin [0\,;2\pi[$. - $k = 1$ : $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3} \in [0\,;2\pi[$. ✓ $$\boxed{S = \left\{\frac{\pi}{3}\,;\; \frac{5\pi}{3}\right\}}$$
Exercice 10
Facile
Résoudre sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[ l'équation sin⁡x=−22\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Correction détaillée
**Étape 1 :** On cherche $\alpha$ tel que $\sin\alpha = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. On sait que $\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, donc $\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. On prend $\alpha = -\dfrac{\pi}{4}$. **Étape 2 :** Les solutions dans $\mathbb{R}$ sont : $$x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$$ **Étape 3 :** Sur $[0\,;2\pi[$ : - **Famille 1 :** $k=1$ donne $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{7\pi}{4}$. ✓ - **Famille 2 :** $k=0$ donne $x = \dfrac{5\pi}{4}$. ✓ $$\boxed{S = \left\{\frac{5\pi}{4}\,;\; \frac{7\pi}{4}\right\}}$$ **Vérification :** $\sin\dfrac{5\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\dfrac{7\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. ✓
Exercice 11
Facile
Résoudre sur ]−π ;π]]-\pi\,;\pi] l'équation tan⁡x=3\tan x = \sqrt{3}.
Correction détaillée
**Étape 1 :** On sait que $\tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$. **Étape 2 :** Les solutions dans $\mathbb{R}$ sont : $$x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ **Étape 3 :** Sur $]-\pi\,;\pi]$ : - $k = 0$ : $x = \dfrac{\pi}{3} \in {]-\pi\,;\pi]}$. ✓ - $k = -1$ : $x = \dfrac{\pi}{3} - \pi = -\dfrac{2\pi}{3} \in {]-\pi\,;\pi]}$. ✓ - $k = 1$ : $x = \dfrac{\pi}{3} + \pi = \dfrac{4\pi}{3} \notin {]-\pi\,;\pi]}$. $$\boxed{S = \left\{-\frac{2\pi}{3}\,;\; \frac{\pi}{3}\right\}}$$
Exercice 12
Facile
Écrire l'expression 3cos⁡x+sin⁡x\sqrt{3}\cos x + \sin x sous la forme Rcos⁡(x−φ)R\cos(x - \varphi) où R>0R > 0 et φ∈[0 ;2π[\varphi \in [0\,;2\pi[.
Correction détaillée
**Étape 1 : Calcul de $R$.** $$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$$ **Étape 2 : Détermination de $\varphi$.** On cherche $\varphi$ tel que : $$\cos\varphi = \frac{a}{R} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad \sin\varphi = \frac{b}{R} = \frac{1}{2}$$ On reconnaît les valeurs de $\cos\dfrac{\pi}{6}$ et $\sin\dfrac{\pi}{6}$, donc $\varphi = \dfrac{\pi}{6}$. **Étape 3 : Conclusion.** $$\boxed{\sqrt{3}\cos x + \sin x = 2\cos\!\left(x - \frac{\pi}{6}\right)}$$ **Vérification** pour $x = \dfrac{\pi}{6}$ : - Membre de gauche : $\sqrt{3}\cos\dfrac{\pi}{6} + \sin\dfrac{\pi}{6} = \sqrt{3} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} = 2$. - Membre de droite : $2\cos(0) = 2$. ✓ **Points de vigilance :** - Signe dans $\cos(a+b)$ : opposé au signe de l'argument. - Pour $\sin x = \sin\alpha$ : ne pas oublier la 2ᵉ famille $x = \pi - \alpha + 2k\pi$. - Pour $\tan x = \tan\alpha$ : une seule famille $x = \alpha + k\pi$ (période $\pi$). - $\cos(2a) \neq 2\cos a$ : utiliser les formules de duplication. - Toujours vérifier que $\cos x \neq 0$ avant de calculer $\tan x$.
Exercice 13
Intermédiaire
1) Développer et simplifier cos⁡ ⁣(π4+x)+cos⁡ ⁣(π4−x)\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4} + x\right) + \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right).

2) En déduire la valeur exacte de cos⁡π12+cos⁡5π12\cos\dfrac{\pi}{12} + \cos\dfrac{5\pi}{12}.
Correction détaillée
**1)** On développe chaque terme par la formule d'addition : $$\cos\!\left(\frac{\pi}{4}+x\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos x - \sin\frac{\pi}{4}\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x$$ $$\cos\!\left(\frac{\pi}{4}-x\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos x + \sin\frac{\pi}{4}\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x$$ En additionnant, les termes en $\sin x$ s'annulent : $$\boxed{\cos\!\left(\frac{\pi}{4}+x\right) + \cos\!\left(\frac{\pi}{4}-x\right) = \sqrt{2}\cos x}$$ **2)** On applique le résultat précédent avec $x = \dfrac{\pi}{6}$ : $\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{3\pi+2\pi}{12} = \dfrac{5\pi}{12}$ et $\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{3\pi-2\pi}{12} = \dfrac{\pi}{12}$. Donc : $$\cos\frac{\pi}{12} + \cos\frac{5\pi}{12} = \sqrt{2}\cos\frac{\pi}{6} = \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \boxed{\frac{\sqrt{6}}{2}}$$
Exercice 14
Intermédiaire
Résoudre sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[ l'équation cos⁡(2x)+cos⁡x=0\cos(2x) + \cos x = 0.

(Indication : utiliser une formule de duplication pour se ramener à une équation en cos⁡x\cos x.)
Correction détaillée
**Stratégie :** on utilise $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$ pour se ramener à une équation en $\cos x$. $$2\cos^2 x - 1 + \cos x = 0 \Leftrightarrow 2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$$ On pose $u = \cos x$. L'équation devient $2u^2 + u - 1 = 0$. **Discriminant :** $\Delta = 1 + 8 = 9$, donc $\sqrt{\Delta} = 3$. $$u_1 = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad u_2 = \frac{-1-3}{4} = -1$$ **Cas 1 : $\cos x = \dfrac{1}{2}$.** $\cos x = \cos\dfrac{\pi}{3}$, donc $x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$. Sur $[0\,;2\pi[$ : $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = \dfrac{5\pi}{3}$. **Cas 2 : $\cos x = -1$.** $\cos x = \cos\pi$, donc $x = \pi + 2k\pi$. Sur $[0\,;2\pi[$ : $x = \pi$. $$\boxed{S = \left\{\frac{\pi}{3}\,;\; \pi\,;\; \frac{5\pi}{3}\right\}}$$ **Vérification pour $x = \pi$ :** $\cos(2\pi) + \cos\pi = 1 + (-1) = 0$. ✓
Exercice 15
Intermédiaire
Soit a∈]0 ;π2[a \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[ tel que tan⁡a=2\tan a = 2.

1) Calculer cos⁡2a\cos^2 a à l'aide de 1+tan⁡2a=1cos⁡2a1 + \tan^2 a = \dfrac{1}{\cos^2 a}.

2) En déduire les valeurs de cos⁡a\cos a et sin⁡a\sin a.

3) Calculer la valeur exacte de sin⁡ ⁣(a+π4)\sin\!\left(a + \dfrac{\pi}{4}\right).
Correction détaillée
On a $a \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$ et $\tan a = 2$. **1)** On utilise $1 + \tan^2 a = \dfrac{1}{\cos^2 a}$ : $$\frac{1}{\cos^2 a} = 1 + 4 = 5, \quad \text{donc} \quad \boxed{\cos^2 a = \frac{1}{5}}$$ **2)** Comme $a \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$, $\cos a > 0$, donc $\cos a = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$. Puis $\sin a = \tan a \times \cos a = 2 \times \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$. $$\boxed{\cos a = \frac{\sqrt{5}}{5}, \quad \sin a = \frac{2\sqrt{5}}{5}}$$ **Vérification :** $\cos^2 a + \sin^2 a = \dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{5} = 1$. ✓ **3)** On applique $\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$ avec $b = \dfrac{\pi}{4}$ : $$\sin\!\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{2}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$= \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$ $$\boxed{\sin\!\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3\sqrt{10}}{10}}$$
Exercice 16
Intermédiaire
1) Montrer que pour tout réel xx : cos⁡4x=3+4cos⁡(2x)+cos⁡(4x)8\cos^4 x = \dfrac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}.

(Indication : écrire cos⁡4x=(cos⁡2x)2\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 et linéariser deux fois.)

2) En déduire la valeur exacte de cos⁡4π8\cos^4\dfrac{\pi}{8}.
Correction détaillée
**1)** On écrit $\cos^4 x = (\cos^2 x)^2$ et on linéarise $\cos^2 x$ : $$\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$$ Donc : $$\cos^4 x = \left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}$$ On linéarise à nouveau $\cos^2(2x) = \dfrac{1+\cos(4x)}{2}$ : $$\cos^4 x = \frac{1 + 2\cos(2x) + \frac{1+\cos(4x)}{2}}{4} = \frac{\frac{2 + 4\cos(2x) + 1 + \cos(4x)}{2}}{4}$$ $$= \frac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}$$ $$\boxed{\cos^4 x = \frac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}}$$ **2)** Pour $x = \dfrac{\pi}{8}$ : $2x = \dfrac{\pi}{4}$ et $4x = \dfrac{\pi}{2}$. $\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$. $$\cos^4\frac{\pi}{8} = \frac{3 + 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} + 0}{8} = \boxed{\frac{3 + 2\sqrt{2}}{8}}$$
Exercice 17
Intermédiaire
1) Mettre cos⁡x−sin⁡x\cos x - \sin x sous la forme Rcos⁡(x−φ)R\cos(x - \varphi) avec R>0R > 0 et φ∈[0 ;2π[\varphi \in [0\,;2\pi[.

2) En déduire les solutions sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[ de l'équation cos⁡x−sin⁡x=1\cos x - \sin x = 1.
Correction détaillée
**1)** On a $a = 1$ et $b = -1$ dans $a\cos x + b\sin x$. $R = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$. On cherche $\varphi$ tel que $\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et $\sin\varphi = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. Donc $\varphi = -\dfrac{\pi}{4}$, soit $\varphi = \dfrac{7\pi}{4}$ dans $[0\,;2\pi[$. $$\boxed{\cos x - \sin x = \sqrt{2}\cos\!\left(x + \frac{\pi}{4}\right)}$$ **Vérification :** $\sqrt{2}\cos\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(\cos x\cos\frac{\pi}{4} - \sin x\sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(\frac{\cos x}{\sqrt{2}} - \frac{\sin x}{\sqrt{2}}\right) = \cos x - \sin x$. ✓ **2)** On résout $\cos x - \sin x = 1$, soit $\sqrt{2}\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right) = 1$, d'où : $$\cos\!\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4}$$ Donc $x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ ou $x + \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$. - **Famille 1 :** $x = 2k\pi$. Sur $[0\,;2\pi[$ : $x = 0$. - **Famille 2 :** $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$. Sur $[0\,;2\pi[$ : $x = \dfrac{3\pi}{2}$. $$\boxed{S = \left\{0\,;\; \frac{3\pi}{2}\right\}}$$ **Vérification :** $\cos 0 - \sin 0 = 1 - 0 = 1$ ✓ et $\cos\dfrac{3\pi}{2} - \sin\dfrac{3\pi}{2} = 0 - (-1) = 1$ ✓.
Exercice 18
Intermédiaire
Résoudre sur ]−π2 ;π2[\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[ l'équation tan⁡(2x)=tan⁡x\tan(2x) = \tan x.

(Attention à l'ensemble de définition.)
Correction détaillée
**Ensemble de définition :** on doit avoir $\cos x \neq 0$ et $\cos(2x) \neq 0$. Sur $\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$, $\cos x > 0$ donc la première condition est automatique. $\cos(2x) = 0 \Leftrightarrow 2x = \pm\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \Leftrightarrow x = \pm\dfrac{\pi}{4} + k\pi$. Sur l'intervalle : $x \neq \pm\dfrac{\pi}{4}$. **Résolution :** $\tan(2x) = \tan x$ équivaut à $2x = x + k\pi$, soit $x = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Sur $\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$ : seul $k = 0$ convient, donc $x = 0$. On vérifie que $x = 0$ est bien dans le domaine : $\cos(0) = 1 \neq 0$ et $\cos(0) = 1 \neq 0$. ✓ $$\boxed{S = \{0\}}$$ **Vérification :** $\tan(0) = 0 = \tan(0)$. ✓
Exercice 19
Intermédiaire
Soit x∈]0 ;π2[x \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[ tel que sin⁡x=13\sin x = \dfrac{1}{3}.

1) Calculer cos⁡x\cos x.

2) Calculer sin⁡(2x)\sin(2x) et cos⁡(2x)\cos(2x).

3) En déduire tan⁡(2x)\tan(2x).
Correction détaillée
On a $x \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$ et $\sin x = \dfrac{1}{3}$. **1)** $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$. Comme $x \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$, $\cos x > 0$, donc : $$\boxed{\cos x = \frac{2\sqrt{2}}{3}}$$ **2)** Formules de duplication : $$\sin(2x) = 2\sin x\cos x = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = \boxed{\frac{4\sqrt{2}}{9}}$$ $$\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x = 1 - \frac{2}{9} = \boxed{\frac{7}{9}}$$ **Vérification :** $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = \dfrac{32}{81} + \dfrac{49}{81} = \dfrac{81}{81} = 1$. ✓ **3)** $\tan(2x) = \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \dfrac{4\sqrt{2}/9}{7/9} = \boxed{\dfrac{4\sqrt{2}}{7}}$
Exercice 20
Intermédiaire
1) Simplifier sin⁡(π+x)+sin⁡(π−x)\sin(\pi + x) + \sin(\pi - x).

2) Simplifier cos⁡ ⁣(π2+x)+cos⁡ ⁣(π2−x)\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) + \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right).

3) Développer et simplifier sin⁡(a+b)sin⁡(a−b)\sin(a+b)\sin(a-b).
Correction détaillée
**1)** Par les formules de supplémentarité : $$\sin(\pi + x) = -\sin x \quad \text{et} \quad \sin(\pi - x) = \sin x$$ Donc $\sin(\pi + x) + \sin(\pi - x) = -\sin x + \sin x = \boxed{0}$. **2)** Par les formules de complémentarité : $$\cos\!\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x \quad \text{et} \quad \cos\!\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$$ Donc $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) + \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) = \boxed{0}$. **3)** On développe chaque facteur : $$\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$$ $$\sin(a-b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$$ Le produit est de la forme $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$ avec $u = \sin a\cos b$ et $v = \cos a\sin b$ : $$\sin(a+b)\sin(a-b) = \sin^2 a\cos^2 b - \cos^2 a\sin^2 b$$ $$= \sin^2 a(1 - \sin^2 b) - (1 - \sin^2 a)\sin^2 b$$ $$= \sin^2 a - \sin^2 a\sin^2 b - \sin^2 b + \sin^2 a\sin^2 b$$ $$\boxed{\sin(a+b)\sin(a-b) = \sin^2 a - \sin^2 b}$$
Exercice 21
Intermédiaire
Résoudre sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[ l'équation sin⁡(2x)=sin⁡x\sin(2x) = \sin x.
Correction détaillée
**Méthode : par duplication.** $\sin(2x) = \sin x \Leftrightarrow 2\sin x\cos x - \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x(2\cos x - 1) = 0$. **Cas 1 : $\sin x = 0$.** Sur $[0\,;2\pi[$ : $x = 0$ et $x = \pi$. **Cas 2 : $2\cos x - 1 = 0$, soit $\cos x = \dfrac{1}{2}$.** $\cos x = \cos\dfrac{\pi}{3}$, donc $x = \dfrac{\pi}{3}$ ou $x = \dfrac{5\pi}{3}$ sur $[0\,;2\pi[$. $$\boxed{S = \left\{0\,;\; \frac{\pi}{3}\,;\; \pi\,;\; \frac{5\pi}{3}\right\}}$$ **Vérifications :** - Pour $x = \dfrac{\pi}{3}$ : $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. ✓ - Pour $x = \pi$ : $\sin(2\pi) = 0$ et $\sin\pi = 0$. ✓
Exercice 22
Intermédiaire
1) À l'aide de la formule d'addition de la tangente, calculer la valeur exacte de tan⁡7π12\tan\dfrac{7\pi}{12}.

2) Vérifier ce résultat en calculant sin⁡(7π/12)cos⁡(7π/12)\dfrac{\sin(7\pi/12)}{\cos(7\pi/12)} à l'aide des résultats des exos faciles.
Correction détaillée
**1)** On écrit $\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3}$ et on applique la formule d'addition de $\tan$ : $$\tan\frac{7\pi}{12} = \frac{\tan\frac{\pi}{4} + \tan\frac{\pi}{3}}{1 - \tan\frac{\pi}{4}\cdot\tan\frac{\pi}{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$$ On rationalise en multipliant par $\dfrac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$ : $$\frac{(1+\sqrt{3})^2}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -(2+\sqrt{3})$$ $$\boxed{\tan\frac{7\pi}{12} = -2 - \sqrt{3}}$$ **2)** Vérification par le quotient $\dfrac{\sin(7\pi/12)}{\cos(7\pi/12)}$. De l'exo 1 (faciles) : $\cos\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$. On calcule $\sin\dfrac{7\pi}{12}$. Comme $\dfrac{7\pi}{12} = \pi - \dfrac{5\pi}{12}$, on a $\sin\dfrac{7\pi}{12} = \sin\dfrac{5\pi}{12}$. $\sin\dfrac{5\pi}{12} = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. Donc : $$\frac{\sin\frac{7\pi}{12}}{\cos\frac{7\pi}{12}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{2-6}$$ $$= \frac{6 + 2\sqrt{12} + 2}{-4} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{-4} = -2-\sqrt{3}$$ On retrouve bien $\boxed{\tan\dfrac{7\pi}{12} = -2-\sqrt{3}}$. ✓
Exercice 23
Intermédiaire
On considère la fonction ff définie par f(x)=tan⁡x−xf(x) = \tan x - x sur ]−π2 ;π2[\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[.

1) Calculer f′(x)f'(x).

2) Montrer que f′(x)⩾0f'(x) \geqslant 0 pour tout xx et préciser quand il y a égalité.

3) En déduire le sens de variation de ff et que pour tout x∈]0 ;π2[x \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[ : tan⁡x⩾x\tan x \geqslant x.
Correction détaillée
On considère $f(x) = \tan x - x$ sur $I = \left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$. **1)** $f'(x) = \tan'(x) - 1 = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1$. $$\boxed{f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x}$$ **2)** Pour tout $x \in I$, on a $\tan^2 x \geqslant 0$, donc $f'(x) \geqslant 0$. **Égalité :** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \tan^2 x = 0 \Leftrightarrow \tan x = 0 \Leftrightarrow x = 0$. Donc $f'(x) = 0$ uniquement en $x = 0$, et $f'(x) > 0$ pour tout $x \in I \setminus \{0\}$. **3)** Puisque $f'(x) \geqslant 0$ sur $I$ avec égalité seulement en un point isolé, $f$ est **strictement croissante** sur $I$. Pour $x \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$ : on a $x > 0 = f(0)$, donc par croissance stricte de $f$ : $$f(x) > f(0) = \tan 0 - 0 = 0$$ Autrement dit $\tan x - x > 0$, soit : $$\boxed{\forall x \in \left]0\,;\frac{\pi}{2}\right[,\quad \tan x > x}$$
Exercice 24
Intermédiaire
Résoudre sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[ l'équation 2cos⁡2x−3sin⁡(2x)=12\cos^2 x - \sqrt{3}\sin(2x) = 1.

(Indication : utiliser la linéarisation et une mise sous forme Rcos⁡(x−φ)R\cos(x - \varphi).)
Correction détaillée
**Étape 1 : Linéarisation.** On utilise $2\cos^2 x = 1 + \cos(2x)$. L'équation devient : $$1 + \cos(2x) - \sqrt{3}\sin(2x) = 1 \Leftrightarrow \cos(2x) - \sqrt{3}\sin(2x) = 0$$ **Étape 2 : Mise sous forme d'amplitude (méthode directe par division).** **Cas $\cos(2x) = 0$ :** alors l'équation donne $-\sqrt{3}\sin(2x) = 0$, soit $\sin(2x) = 0$. Mais $\cos(2x) = 0$ et $\sin(2x) = 0$ est impossible (car $\cos^2 + \sin^2 = 1$). Donc $\cos(2x) \neq 0$. **On divise par $\cos(2x)$ :** $$1 - \sqrt{3}\tan(2x) = 0 \Leftrightarrow \tan(2x) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \tan\frac{\pi}{6}$$ **Étape 3 : Résolution.** $\tan(2x) = \tan\dfrac{\pi}{6}$ donne $2x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$, soit $x = \dfrac{\pi}{12} + k\dfrac{\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$. Sur $[0\,;2\pi[$ : - $k = 0$ : $x = \dfrac{\pi}{12}$. ✓ - $k = 1$ : $x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{7\pi}{12}$. ✓ - $k = 2$ : $x = \dfrac{\pi}{12} + \pi = \dfrac{13\pi}{12}$. ✓ - $k = 3$ : $x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{19\pi}{12}$. ✓ - $k = 4$ : $x = \dfrac{\pi}{12} + 2\pi \notin [0\,;2\pi[$. $$\boxed{S = \left\{\frac{\pi}{12}\,;\; \frac{7\pi}{12}\,;\; \frac{13\pi}{12}\,;\; \frac{19\pi}{12}\right\}}$$ **Vérification pour $x = \dfrac{\pi}{12}$ :** $2\cos^2\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{2+\sqrt{3}}{2}$ et $\sqrt{3}\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Différence = $\dfrac{2}{2} = 1$. ✓ **Points de vigilance :** - Mise en équation du second degré : ne pas oublier les solutions où $\cos x$ est négatif. - Division par $\cos(2x)$ : toujours vérifier d'abord que $\cos(2x) \neq 0$. - Factorisation par $\sin x$ : ne pas oublier le cas $\sin x = 0$. - Ensemble de définition de $\tan$ : identifier les valeurs exclues. - Signe lors de l'extraction de racine : dépend du quadrant. - $\sin(a+b)\sin(a-b) = \sin^2 a - \sin^2 b$ : à connaître.
Exercice 25
Difficile
f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x) = \sin x + \cos x.
1.
Montrer f(x)=2sin⁡(x+π/4)f(x) = \sqrt{2}\sin(x+\pi/4).
Factoriser par $\sqrt{2}$.
2.
Amplitude, période.
$\sqrt{2}$, $2\pi$.
3.
Max et min.
Max $\sqrt{2}$ en $\pi/4$, min $-\sqrt{2}$ en $5\pi/4$.
Exercice 26
Difficile
Résoudre cos⁡x+3sin⁡x=1\cos x + \sqrt{3}\sin x = 1 sur [0;2π[[0;2\pi[.
1.
Forme Rcos⁡(x−φ)R\cos(x-\varphi).
$2\cos(x-\pi/3) = 1$.
2.
Solutions.
$x = 0$ ou $x = 2\pi/3$.
Exercice 27
Difficile
Convexité de sin.
1.
sin⁡′′(x)\sin''(x).
$-\sin(x)$.
2.
Convexité/concavité sur [0;2π][0;2\pi].
Concave sur $]0;\pi[$, convexe sur $]\pi;2\pi[$.
3.
Montrer sin⁡x≤x\sin x \leq x pour x≥0x \geq 0.
$g(x) = x-\sin x$, $g' = 1-\cos x \geq 0$, $g(0) = 0$.
Exercice 28
Difficile
Dérivées composées trigo.
1.
sin⁡3(x)\sin^3(x)
$3\sin^2 x \cos x$.
2.
cos⁡(x3)\cos(x^3)
$-3x^2\sin(x^3)$.
3.
sin⁡(cos⁡x)\sin(\cos x)
$-\sin x \cos(\cos x)$.
4.
esin⁡xe^{\sin x}
$\cos(x) e^{\sin x}$.
Exercice 29
Difficile
Tangente en 0 de sin et cos.
1.
sin⁡x≈x\sin x \approx x pour xx petit.
Tangente en 0 : $y = x$.
2.
cos⁡x≈1−x2/2\cos x \approx 1 - x^2/2.
$(\cos x - 1)/x^2 \to -1/2$.
Exercice 30
Difficile
f(x)=x+sin⁡xf(x) = x + \sin x.
1.
Imparité, croissance.
Impaire. $f' = 1+\cos x \geq 0$ : croissante.
2.
Points d'inflexion.
$f'' = -\sin x = 0$ en $x = k\pi$.
Exercice 31
Difficile
Duplication avancée.
1.
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x\cos x.
Addition avec $a = b = x$.
2.
sin⁡2x=(1−cos⁡2x)/2\sin^2 x = (1-\cos 2x)/2.
Depuis $\cos 2x = 1-2\sin^2 x$.
3.
sin⁡2(π/8)\sin^2(\pi/8).
$(2-\sqrt{2})/4$.
Exercice 32
Difficile
f(x)=cos⁡x−xf(x) = \cos x - x. Unique solution de cos⁡x=x\cos x = x.
1.
ff strictement décroissante.
$f' = -\sin x - 1 \leq 0$.
2.
Unique zéro dans ]0;1[]0;1[.
$f(0) = 1 > 0$, $f(1) < 0$. TVI + décroissance.
Exercice 33
Difficile
Encadrement de sin⁡x/x\sin x/x.
1.
cos⁡x≤sin⁡x/x≤1\cos x \leq \sin x/x \leq 1 sur ]0;π/2]]0;\pi/2].
$\sin x \leq x$ et $\sin x \geq x\cos x$ (étude de $\sin x - x\cos x$).
2.
sin⁡x/x\sin x/x décroissante sur ]0;π/2]]0;\pi/2].
$(x\cos x - \sin x)/x^2 \leq 0$.
Exercice 34
Difficile
Primitives de sin⁡2\sin^2 et cos⁡2\cos^2.
1.
∫0πsin⁡2x dx\int_0^\pi \sin^2 x\,dx
$\pi/2$.
2.
∫0πcos⁡2x dx\int_0^\pi \cos^2 x\,dx
$\pi/2$.
3.
Égalité. Interpréter.
Même énergie sur une demi-période. $\sin^2+\cos^2=1$ implique somme $= \pi$.
Exercice 35
Avancé
f(x)=xsin⁡(1/x)f(x) = x\sin(1/x) pour x≠0x \neq 0.
1.
∣f(x)∣≤∣x∣|f(x)| \leq |x|, limite en 0.
$\lim_0 = 0$ par gendarmes.
2.
Prolongement, dérivabilité en 0.
Continue ($f(0)=0$). $f(h)/h = \sin(1/h)$ oscille : non dérivable.
Exercice 36
Avancé
f(x)=exsin⁡xf(x) = e^x\sin x.
1.
f′(x)f'(x).
$\sqrt{2}e^x\sin(x+\pi/4)$.
2.
Extremums en suite géométrique.
En $x_k = -\pi/4+k\pi$, rapport $-e^\pi$.
Exercice 37
Avancé
Formule d'Euler eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.
1.
eiπ=−1e^{i\pi} = -1.
$\cos\pi + i\sin\pi = -1$.
2.
∣eiθ∣=1|e^{i\theta}| = 1.
$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$.
3.
Retrouver duplication.
$(\cos\theta+i\sin\theta)^2$ par identification.
Exercice 38
Avancé
Fonction tangente.
1.
tan⁡′=1/cos⁡2x=1+tan⁡2x\tan' = 1/\cos^2 x = 1+\tan^2 x.
$(\sin/\cos)' = 1/\cos^2$.
2.
Bijection de ]−π/2;π/2[]-\pi/2;\pi/2[ sur R\mathbb{R}.
Croissante, limites $\pm\infty$.
Exercice 39
Avancé
Résoudre sin⁡x=cos⁡x\sin x = \cos x.
1.
tan⁡x=1\tan x = 1.
$x = \pi/4 + k\pi$.
2.
Sur [−π;π][-\pi;\pi].
$\{-3\pi/4; \pi/4\}$.
Exercice 40
Avancé
sin⁡(x)/x\sin(x)/x : prolongement et propriétés.
1.
Prolongement en 0.
$f(0) = 1$.
2.
Parité, limites.
Paire, $\to 0$ en $\pm\infty$.
3.
Infinité de zéros.
$x = k\pi$, $k \neq 0$.
Exercice 41
Avancé
Sn=∑k=0nsin⁡(kθ)S_n = \sum_{k=0}^n \sin(k\theta).
1.
Multiplier par 2sin⁡(θ/2)2\sin(\theta/2).
$2\sin(k\theta)\sin(\theta/2) = \cos((k-1/2)\theta)-\cos((k+1/2)\theta)$.
2.
Télescopage.
$S_n = \dfrac{\cos(\theta/2)-\cos((n+1/2)\theta)}{2\sin(\theta/2)}$.
Exercice 42
Avancé
Dérivée de arctan.
1.
(arctan⁡)′(y)=1/(1+y2)(\arctan)'(y) = 1/(1+y^2).
$1/\tan'(\arctan y) = 1/(1+y^2)$.
2.
arctan⁡(0),arctan⁡(1),lim⁡+∞\arctan(0), \arctan(1), \lim_{+\infty}.
$0$, $\pi/4$, $\pi/2$.
Exercice 43
Avancé
Battements : cos⁡(10x)cos⁡(11x)\cos(10x)\cos(11x).
1.
Linéariser.
$(\cos x + \cos 21x)/2$.
2.
Interpréter.
Enveloppe lente $\cos x$, oscillation rapide $\cos 21x$.
Exercice 44
Avancé
Montrer ∣sin⁡(nx)∣≤n∣sin⁡x∣|\sin(nx)| \leq n|\sin x| par récurrence.
1.
Init n=1n=1.
Trivial.
2.
Hérédité.
$|\sin((n+1)x)| \leq |\sin(nx)| + |\sin x| \leq (n+1)|\sin x|$.
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Étude de f(x) = sin x + cos x
Intermédiaire
On considère la fonction ff définie sur [0 ;2π][0\,;2\pi] par f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x) = \sin x + \cos x.

Partie A — Dérivée et points critiques

1.
Calculer f′(x)f'(x).
$(\sin x)' = \cos x$ et $(\cos x)' = -\sin x$, donc : $$f'(x) = \cos x - \sin x$$
2.
Résoudre f′(x)=0f'(x) = 0 sur [0 ;2π][0\,;2\pi].
$f'(x) = 0 \iff \cos x = \sin x$. En écrivant $\cos x = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$, l'équation $\sin x = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$ donne $x = \dfrac{\pi}{2} - x + 2k\pi$, soit $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$. Sur $[0\,;2\pi]$ : $\boxed{x = \dfrac{\pi}{4} \quad \text{ou} \quad x = \dfrac{5\pi}{4}}$

Partie B — Variations et extremums

3.
Étudier le signe de f′f' et dresser le tableau de variations de ff sur [0 ;2π][0\,;2\pi].
$f'(x) = \cos x - \sin x$ s'annule en $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{5\pi}{4}$ et change de signe en ces points : - sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{4}\right[$ : $\cos x > \sin x$, donc $f' > 0$ : $f$ **croît** ; - sur $\left]\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{5\pi}{4}\right[$ : $f' < 0$ : $f$ **décroît** ; - sur $\left]\dfrac{5\pi}{4}\,;2\pi\right]$ : $f' > 0$ : $f$ **croît**.
4.
En déduire le maximum et le minimum de ff sur [0 ;2π][0\,;2\pi].
$f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ (maximum). $f\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$ (minimum). (Aux bornes : $f(0) = f(2\pi) = 1$, valeurs intermédiaires.) $$\boxed{\max f = \sqrt{2} \ \text{en} \ \tfrac{\pi}{4}, \qquad \min f = -\sqrt{2} \ \text{en} \ \tfrac{5\pi}{4}}$$
Problème 2 — Rectangle inscrit dans un demi-cercle
Difficile
Soit un demi-cercle de centre OO et de rayon 11, de diamètre [AB][AB]. On inscrit un rectangle dont un côté est porté par [AB][AB] et dont deux sommets sont sur le demi-cercle. On note θ∈]0 ;π2[\theta \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[ l'angle que fait avec [OB][OB] le rayon aboutissant à un sommet du rectangle : la demi-largeur du rectangle vaut alors cos⁡θ\cos\theta et sa hauteur sin⁡θ\sin\theta.

Partie A — L'aire en fonction de θ

1.
Montrer que l'aire du rectangle est A(θ)=2sin⁡θcos⁡θA(\theta) = 2\sin\theta\cos\theta.
La largeur du rectangle vaut $2\cos\theta$ (deux demi-largeurs) et sa hauteur $\sin\theta$. Son aire est donc : $$A(\theta) = 2\cos\theta \times \sin\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$
2.
Calculer A′(θ)A'(\theta).
On dérive le produit $u v$ avec $u = 2\sin\theta$ ($u' = 2\cos\theta$) et $v = \cos\theta$ ($v' = -\sin\theta$) : $$A'(\theta) = 2\cos\theta \times \cos\theta + 2\sin\theta \times (-\sin\theta) = 2\left(\cos^2\theta - \sin^2\theta\right)$$

Partie B — Aire maximale

3.
Résoudre A′(θ)=0A'(\theta) = 0 sur ]0 ;π2[\left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[ et en déduire l'aire maximale.
$A'(\theta) = 0 \iff \cos^2\theta = \sin^2\theta$. Sur $\left]0\,;\frac{\pi}{2}\right[$, $\cos\theta$ et $\sin\theta$ sont positifs, donc cela équivaut à $\cos\theta = \sin\theta$, soit $\theta = \dfrac{\pi}{4}$. Sur $\left]0\,;\frac{\pi}{4}\right[$, $\cos\theta > \sin\theta$ donc $A' > 0$ ; sur $\left]\frac{\pi}{4}\,;\frac{\pi}{2}\right[$, $A' < 0$. L'aire est donc **maximale** en $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ : $$A\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \times \frac{1}{2} = \boxed{1}$$ Le rectangle optimal a pour largeur $\sqrt{2}$ et pour hauteur $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Problème 3 — Modéliser la température d une journée
Intermédiaire
La température (en °C) dans une ville est modélisée, pour t∈[0 ;24]t \in [0\,;24] (heures), par T(t)=15+8cos⁡(π(t−14)12)T(t) = 15 + 8\cos\left(\dfrac{\pi(t - 14)}{12}\right).

Partie A — Extremums

1.
Déterminer la température maximale et l'heure à laquelle elle est atteinte.
Le cosinus vaut au plus $1$, atteint lorsque $\dfrac{\pi(t-14)}{12} = 0$, soit $t = 14$. $$T(14) = 15 + 8 \times 1 = \boxed{23\ \text{°C à 14 h}}$$
2.
Déterminer la température minimale et l'heure correspondante.
Le cosinus vaut au moins $-1$, atteint lorsque $\dfrac{\pi(t-14)}{12} = -\pi$, soit $t - 14 = -12$, donc $t = 2$. $$T(2) = 15 - 8 = \boxed{7\ \text{°C à 2 h}}$$

Partie B — Dérivée et seuil

3.
Calculer T′(t)T'(t) et préciser sur quel intervalle la température augmente.
La dérivée de $\cos(ax + b)$ est $-a\sin(ax+b)$, avec ici $a = \dfrac{\pi}{12}$ : $$T'(t) = -8 \times \frac{\pi}{12}\sin\left(\frac{\pi(t-14)}{12}\right) = -\frac{2\pi}{3}\sin\left(\frac{\pi(t-14)}{12}\right)$$ $T'(t) > 0$ lorsque $\sin\left(\frac{\pi(t-14)}{12}\right) < 0$, c'est-à-dire pour $t \in\, ]2\,;14[$ : la température **augmente de 2 h à 14 h**, puis diminue.
4.
À quelles heures la température vaut-elle exactement 1919 °C ?
$T(t) = 19 \iff 8\cos\left(\dfrac{\pi(t-14)}{12}\right) = 4 \iff \cos\left(\dfrac{\pi(t-14)}{12}\right) = \dfrac{1}{2}$. D'où $\dfrac{\pi(t-14)}{12} = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$, soit $t - 14 = \pm 4$ (pour $t \in [0;24]$) : $$\boxed{t = 10\ \text{h} \quad \text{et} \quad t = 18\ \text{h}}$$
Problème 4 — Les inégalités sin x ≤ x et cos x ≥ 1 − x²/2
Avancé
On établit deux encadrements classiques des fonctions trigonométriques, en n'utilisant que les dérivées de sin⁡\sin et cos⁡\cos. On travaille sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[.

Partie A — sin x ≤ x

1.
Soit g(x)=x−sin⁡xg(x) = x - \sin x. Calculer g′(x)g'(x) et en déduire le sens de variation de gg sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[.
$g'(x) = 1 - \cos x$. Or $\cos x \leqslant 1$ pour tout réel $x$, donc $g'(x) \geqslant 0$ : la fonction $g$ est **croissante** sur $[0\,;+\infty[$.
2.
En déduire que sin⁡x⩽x\sin x \leqslant x pour tout x⩾0x \geqslant 0.
$g$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ et $g(0) = 0 - \sin 0 = 0$. Donc, pour tout $x \geqslant 0$, $g(x) \geqslant g(0) = 0$, c'est-à-dire $x - \sin x \geqslant 0$ : $$\boxed{\sin x \leqslant x \quad \text{pour tout } x \geqslant 0}$$ *Interprétation :* la courbe de $\sin$ est située **sous** sa tangente en $0$ (la droite $y = x$).

Partie B — cos x ≥ 1 − x²/2

3.
Soit h(x)=cos⁡x−1+x22h(x) = \cos x - 1 + \dfrac{x^2}{2}. Montrer que h′(x)=x−sin⁡xh'(x) = x - \sin x, puis déterminer le signe de h′h' sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[.
$h'(x) = -\sin x + \dfrac{2x}{2} = x - \sin x$. D'après la **partie A**, $x - \sin x \geqslant 0$ pour tout $x \geqslant 0$ : donc $h'(x) \geqslant 0$ et $h$ est **croissante** sur $[0\,;+\infty[$.
4.
En déduire que cos⁡x⩾1−x22\cos x \geqslant 1 - \dfrac{x^2}{2} pour tout x⩾0x \geqslant 0.
$h$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ et $h(0) = \cos 0 - 1 + 0 = 0$. Donc $h(x) \geqslant 0$ pour tout $x \geqslant 0$, soit : $$\boxed{\cos x \geqslant 1 - \frac{x^2}{2}}$$ *Contrôle :* pour $x = 1$, $\cos 1 \approx 0{,}540$ et $1 - \frac{1}{2} = 0{,}5$ ✓ ; pour $x = 2$, $\cos 2 \approx -0{,}416$ et $1 - 2 = -1$ ✓