Primitives et équations différentielles

I. Compléments sur les primitives

1. Rappel

Primitive

F

est une primitive de

f

sur

I

F^{'} = f

sur

I

.

Toutes les primitives de

f

sont de la forme

F (x) + C

avec

C \in R

2. Primitive avec condition initiale

Méthode

Pour trouver la primitive

F

f

vérifiant

F (x_{0}) = y_{0}

:
1. Écrire la forme générale

F (x) + C

.
2. Résoudre

F (x_{0}) + C = y_{0}

pour déterminer

C

Exemple

f (x) = 2 x + 1

F (1) = 3

.

Primitive générale :

F (x) = x^{2} + x + C

F (1) = 1 + 1 + C = 3 \Rightarrow C = 1

F (x) = x^{2} + x + 1

3. Lien avec les intégrales

Rappel

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

\int_{a}^{x} f (t) d t

est la primitive de

f

qui s'annule en $a$ .

II. Équation différentielle $y^{'} = a y$

1. Définition

Équation différentielle

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, faisant intervenir cette fonction et ses dérivées.

y^{'} = a y

est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants.

2. Résolution

Solutions de

y^{'} = a y

Les solutions de

y^{'} = a y

sont les fonctions :

y (x) = C e^{a x} C \in R

Démonstration

Vérification : Si

y (x) = C e^{a x}

, alors

y^{'} (x) = a C e^{a x} = a y (x)

. ✓

Unicité : Soit

y

une solution quelconque. Posons

g (x) = y (x) e^{- a x}

g^{'} (x) = y^{'} (x) e^{- a x} - a y (x) e^{- a x} = e^{- a x} (y^{'} - a y) = 0

.

Donc

g

est constante :

g (x) = C

, soit

y (x) = C e^{a x}

3. Condition initiale

Solution avec condition initiale

L'unique solution de

y^{'} = a y

avec

y (x_{0}) = y_{0}

est :

y (x) = y_{0} e^{a (x - x_{0})}

Cas

x_{0} = 0

y (x) = y_{0} e^{a x}

Exemples

•

y^{'} = 3 y

y (0) = 2

→

y (x) = 2 e^{3 x}

.
•

y^{'} = - 2 y

y (0) = 5

→

y (x) = 5 e^{- 2 x}

.
•

y^{'} = y

y (1) = 4

→

y (x) = 4 e^{x - 1}

III. Équation différentielle $y^{'} = a y + b$

1. Résolution

Méthode de résolution

Étape 1 — Solution particulière constante :
On cherche

y = k

constante telle que

y^{'} = 0 = ak + b

, soit :

k = - \frac{b}{a}

Étape 2 — Changement de fonction :
On pose

z = y - k

. Alors

z^{'} = y^{'} = a (y) + b = a (z + k) + b = a z

.
Donc

z^{'} = a z

, soit

z (x) = C e^{a x}

.

Étape 3 — Solution générale :

Solution générale de

y^{'} = a y + b

y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a} C \in R

2. Condition initiale

Avec

y (x_{0}) = y_{0}

On détermine

C

par

y_{0} = C e^{a x_{0}} - \frac{b}{a}

.

Cas

x_{0} = 0

y (x) = (y_{0} + \frac{b}{a}) e^{a x} - \frac{b}{a}

3. Exemples

Exemple 1

y^{'} = 2 y + 6

y (0) = 1

k = - \frac{6}{2} = - 3

. Solution générale :

y = C e^{2 x} - 3

y (0) = C - 3 = 1 \Rightarrow C = 4

y (x) = 4 e^{2 x} - 3

Vérification :

y^{'} = 8 e^{2 x}

2 y + 6 = 8 e^{2 x} - 6 + 6 = 8 e^{2 x}

. ✓

Exemple 2

y^{'} = - y + 3

y (0) = 0

k = - \frac{3}{- 1} = 3

. Solution générale :

y = C e^{- x} + 3

y (0) = C + 3 = 0 \Rightarrow C = - 3

y (x) = 3 (1 - e^{- x})

Exemple 3 : réécriture

y^{'} + 5 y = 10

.

On réécrit :

y^{'} = - 5 y + 10

(

a = - 5

b = 10

k = - \frac{10}{- 5} = 2

. Solution générale :

y (x) = C e^{- 5 x} + 2

IV. Comportement asymptotique

1. Cas $y^{'} = a y$

Comportement

•

a > 0

∣ y ∣ \to + \infty

(croissance exponentielle).
•

a < 0

y \to 0

(décroissance exponentielle).

2. Cas $y^{'} = a y + b$

Valeur d'équilibre

La valeur d'équilibre est

- \frac{b}{a}

.

• Si

a < 0

y \to - \frac{b}{a}

(convergence vers l'équilibre).
• Si

a > 0

: divergence.

Exemple : refroidissement de Newton

T^{'} (t) = - k (T - T_{ext})

, soit

T^{'} = - k T + k T_{ext}

a = - k < 0

b = k T_{ext}

.

Équilibre :

- \frac{b}{a} = T_{ext}

. Donc

T (t) \to T_{ext}

V. Méthodes

M1 — Résoudre $y^{'} = a y$

Méthode

Solutions :

y (x) = C e^{a x}

.
Condition initiale

y (x_{0}) = y_{0}

→

C = y_{0} e^{- a x_{0}}

M2 — Résoudre $y^{'} = a y + b$

Méthode en 3 étapes

1. Solution particulière constante :

k = - \frac{b}{a}

.
2. Solution générale :

y (x) = C e^{a x} + k

.
3. Condition initiale → déterminer

C

M3 — Reconnaître la forme

Forme donnée	$a$	$b$
$y^{'} = 3 y$	$3$	$0$
$y^{'} = - 2 y + 5$	$- 2$	$5$
$y^{'} + 4 y = 7$	$- 4$	$7$
$2 y^{'} = y - 6$	$\frac{1}{2}$	$- 3$
$y^{'} - y = 0$	$1$	$0$

M4 — Vérifier une solution

Méthode

1. Calculer

y^{'}

.
2. Calculer

a y + b

.
3. Vérifier que

y^{'} = a y + b

M5 — Modélisation

Applications physiques

• Radioactivité :

N^{'} (t) = - λ N

→

N (t) = N_{0} e^{- λ t}

.
• Refroidissement :

T^{'} = - k (T - T_{ext})

→

T \to T_{ext}

40 exercices disponibles

Exercice 1

Facile

Déterminer une primitive de

f(x) = 3x^2 + 2x - 1

Correction détaillée

F(x) = x^3 + x^2 - x + C

Exercice 2

Facile

Déterminer une primitive de

f(x) = x^5

Correction détaillée

F(x) = x^6/6 + C

Exercice 3

Facile

Primitive de

1/x

sur

]0;+\infty[

Correction détaillée

F(x) = \ln x + C

Exercice 4

Facile

Primitive de

e^x

Correction détaillée

F(x) = e^x + C

Exercice 5

Facile

Primitive de

\cos x

Correction détaillée

F(x) = \sin x + C

Exercice 6

Facile

Primitive de

\sin x

Correction détaillée

F(x) = -\cos x + C

Exercice 7

Facile

Résoudre

y' = 0

Correction détaillée

y(x) = C

(fonctions constantes).

Exercice 8

Facile

Résoudre

y' = 2x

Correction détaillée

y(x) = x^2 + C

Exercice 9

Facile

Résoudre

y' = 3y

Correction détaillée

y(x) = Ce^{3x}

Exercice 10

Facile

Résoudre

y' = -2y

avec

y(0) = 5

Correction détaillée

y = Ce^{-2x}

C = 5

y(x) = 5e^{-2x}

Exercice 11

Intermédiaire

Primitives de composées.

e^{2x}

e^{2x}/2

\cos(3x)

\sin(3x)/3

(2x+1)^4

(2x+1)^5/10

Exercice 12

Intermédiaire

Primitives de type

u'/u

2x/(x^2+1)

\ln(x^2+1)

\cos x/\sin x

sur

]0;\pi[

\ln(\sin x)

1/(x+3)

\ln|x+3|

Exercice 13

Intermédiaire

Primitives de type

u'u^n

2x(x^2+1)^3

(x^2+1)^4/4

\cos x\sin^2 x

\sin^3 x/3

x/\sqrt{x^2+4}

\sqrt{x^2+4}

Exercice 14

Intermédiaire

Primitives de type

u'e^u

2xe^{x^2}

e^{x^2}

\cos(x)e^{\sin x}

e^{\sin x}

e^{3x+1}

e^{3x+1}/3

Exercice 15

Intermédiaire

y' = ky

avec condition initiale.

y' = 5y

y(0) = 2

y = 2e^{5x}

y' = -y

y(0) = 10

y = 10e^{-x}

y' = y/2

y(0) = 6

y = 6e^{x/2}

Exercice 16

Intermédiaire

Primitive avec condition initiale.

f = 3x^2

F(1) = 0

F = x^3-1

f = e^x

F(0) = 3

F = e^x+2

f = 1/x

F(1) = 5

F = \ln x + 5

Exercice 17

Intermédiaire

Résoudre

y'+ay = 0

y'+4y = 0

y = Ce^{-4x}

2y'+6y = 0

y = Ce^{-3x}

y'-y = 0

y = Ce^x

Exercice 18

Intermédiaire

\tan x

primitive de

1/\cos^2 x

(\tan x)' = 1/\cos^2 x

(\sin x/\cos x)' = 1/\cos^2 x

\int_0^{\pi/4} dx/\cos^2 x

[\tan x]_0^{\pi/4} = 1

Exercice 19

Intermédiaire

Population bactérienne

P' = 0{,}5P

P(0) = 1000

Résoudre.

P(t) = 1000e^{0{,}5t}

Temps de doublement.

T = 2\ln 2 \approx 1{,}39

Population après 10 h.

P(10) = 1000e^5 \approx 148\,413

Exercice 20

Intermédiaire

Primitives de

x^\alpha

1/\sqrt{x}

2\sqrt{x}

x^{3/2}

2x^{5/2}/5

x^{-3}

-1/(2x^2)

Exercice 21

Difficile

y' = 2y+6

Solution particulière constante.

c = -3

Homogène.

Ce^{2x}

Générale.

y = Ce^{2x}-3

y(0) = 1

C = 4

y = 4e^{2x}-3

Exercice 22

Difficile

Désintégration radioactive

N' = -\lambda N

Résoudre.

N = N_0 e^{-\lambda t}

Demi-vie.

T = \ln 2/\lambda

C14 :

T = 5730

ans.

\lambda

\lambda \approx 1{,}21 \times 10^{-4}

^{-1}

30% restant. Âge.

t = \ln(10/3)/\lambda \approx 9953

ans.

Exercice 23

Difficile

Primitives par reconnaissance.

e^x/(e^x+1)

\ln(e^x+1)

\sin x/(1+\cos x)

-\ln(1+\cos x)

xe^{x^2}

e^{x^2}/2

Exercice 24

Difficile

y'+y = e^{2x}

Homogène.

Ce^{-x}

Particulière

Ae^{2x}

A = 1/3

y(0) = 0

y = (e^{2x}-e^{-x})/3

Exercice 25

Difficile

Primitive de

\ln x

par IPP.

\int \ln x\,dx

x\ln x - x + C

\int_1^e \ln x\,dx

1

Exercice 26

Difficile

Primitive de

xe^x

par IPP.

\int xe^x\,dx

(x-1)e^x + C

\int_0^1 xe^x\,dx

1

\int x^2 e^x\,dx

(x^2-2x+2)e^x + C

Exercice 27

Difficile

Primitive de

x\cos x

par IPP.

\int x\cos x\,dx

x\sin x + \cos x + C

\int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx

\pi/2 - 1

Exercice 28

Difficile

Circuit RC :

u'+u/\tau = E/\tau

u(0) = 0

Solution particulière.

u_p = E

Solution avec

u(0) = 0

u(t) = E(1-e^{-t/\tau})

Limite.

u \to E

: charge complète.

Exercice 29

Difficile

Primitives de fractions simples.

1/(x-2)

\ln|x-2|

3/(2x+1)

\frac{3}{2}\ln|2x+1|

(x+1)/x = 1+1/x

x + \ln x

Exercice 30

Difficile

Refroidissement :

T'+kT = kT_{ext}

T(0) = 90

T_{ext} = 20

Poser

\theta = T-20

\theta' = -k\theta

\theta = 70e^{-kt}

T = 20+70e^{-kt}

T(10) = 60

, trouver

k

k = \ln(7/4)/10 \approx 0{,}056

Temps pour

T = 25

t = \ln 14/k \approx 47

min.

Exercice 31

Avancé

\int e^x\cos x\,dx

par double IPP.

IPP :

I = e^x\cos x + J

J = \int e^x\sin x\,dx

J = e^x\sin x - I

. Résoudre.

2I = e^x(\cos x+\sin x)

I = e^x(\cos x+\sin x)/2+C

Exercice 32

Avancé

y'+y = \cos x

Homogène.

Ce^{-x}

Particulière

A\cos x + B\sin x

A = B = 1/2

y_p = (\cos x+\sin x)/2

Générale.

y = Ce^{-x}+(\cos x+\sin x)/2

Exercice 33

Avancé

Primitive de

1/(4+x^2)

et arctan.

Primitive.

\frac{1}{2}\arctan(x/2)

\int_0^2 dx/(4+x^2)

\pi/8

Exercice 34

Avancé

y' = y^2

y(0) = 1

Séparer.

dy/y^2 = dx

Intégrer.

-1/y = x+C

C = -1

y = 1/(1-x)

Domaine.

x < 1

: explosion en temps fini.

Exercice 35

Avancé

\int x\ln x\,dx

par IPP.

Primitive.

x^2(2\ln x-1)/4+C

\int_1^e x\ln x\,dx

(e^2+1)/4

Exercice 36

Avancé

Équation logistique

y' = y(1-y)

y(0) = 1/2

Solutions constantes.

y = 0

y = 1

Séparer et décomposer

1/(y(1-y))

1/y + 1/(1-y)

Solution.

y = 1/(1+Ce^{-x})

C = 1

: sigmoide

1/(1+e^{-x})

Exercice 37

Avancé

\int dx/\sqrt{1-x^2}

par substitution

x = \sin t

Substituer.

\int \cos t\,dt/\cos t = t + C

Résultat.

\arcsin x + C

Exercice 38

Avancé

y''+4y = 0

(oscillateur).

\cos(2x)

\sin(2x)

solutions.

Vérification directe.

y(0)=3

y'(0)=0

y = 3\cos(2x)

y(0)=0

y'(0)=6

y = 3\sin(2x)

Exercice 39

Avancé

\int dx/(x^2-1)

par décomposition.

A/(x-1)+B/(x+1)

A = 1/2

B = -1/2

Intégrer.

\frac{1}{2}\ln|(x-1)/(x+1)| + C

Exercice 40

Avancé

y' = xy

y(0) = 1

Séparer.

dy/y = x\,dx

Intégrer.

\ln|y| = x^2/2 + C

Solution.

y = e^{x^2/2}

4 problèmes de synthèse

Problème 1 — Pollution d un lac

Difficile

Modélisation

Q' = 5 - Q/20

. Identifier

a, b

a = 1/20

b = 5

Solution particulière.

Q_p = 100

kg.

Q(0) = 0

. Solution.

Q = 100(1-e^{-t/20})

Limite et temps pour 90%.

Q \to 100

t = 20\ln 10 \approx 46

Problème 2 — Primitives et aires

Difficile

Intégrales par IPP

\int_0^\infty xe^{-x}\,dx = 1

IPP.

\int_0^\infty x^2 e^{-x}\,dx = 2

Double IPP.

\int_0^\infty x^n e^{-x}\,dx = n!

Fonction

\Gamma

Problème 3 — Oscillateur amorti

Avancé

Equation y''+2y'+y=0

Équation caractéristique.

(r+1)^2 = 0

r = -1

double.

e^{-x}

xe^{-x}

solutions.

Vérification directe.

y(0) = 1

y'(0) = 0

y = (1+x)e^{-x}

Unique zéro.

x = -1

Problème 4 — Parachutiste

Avancé

Chute avec frottement

v'+0{,}2v = 10

v(0) = 0

v_\infty = 50

m/s.

Solution.

v = 50(1-e^{-0{,}2t})

Temps pour 90% de

v_\infty

t = 5\ln 10 \approx 11{,}5

Distance en 10 s.

d = 50t+250e^{-0{,}2t}-250

d(10) \approx 284

S'entraîner avec les sujets du bac

Voir les sujets corrigés →

Primitives et équations différentielles

I. Compléments sur les primitives

1. Rappel

2. Primitive avec condition initiale

3. Lien avec les intégrales

II. Équation différentielle $y^{'} = a y$

1. Définition

2. Résolution

3. Condition initiale

III. Équation différentielle $y^{'} = a y + b$

1. Résolution

2. Condition initiale

3. Exemples

IV. Comportement asymptotique

1. Cas $y^{'} = a y$

2. Cas $y^{'} = a y + b$

V. Méthodes

M1 — Résoudre $y^{'} = a y$

M2 — Résoudre $y^{'} = a y + b$

M3 — Reconnaître la forme

M4 — Vérifier une solution

M5 — Modélisation

1. Primitives

2. Équations différentielles

$y^{'} = a y$

$y^{'} = a y + b$ ( $a \neq = 0$ )

Comportement asymptotique

Tableau de reconnaissance

3. Méthodes

Récapitulatif

Modélisation

Intégrales par IPP

Equation y''+2y'+y=0

Chute avec frottement

S'entraîner avec les sujets du bac

Primitives et équations différentielles

I. Compléments sur les primitives

1. Rappel

2. Primitive avec condition initiale

3. Lien avec les intégrales

II. Équation différentielle y′=ay

1. Définition

2. Résolution

3. Condition initiale

III. Équation différentielle y′=ay+b

1. Résolution

2. Condition initiale

3. Exemples

IV. Comportement asymptotique

1. Cas y′=ay

2. Cas y′=ay+b

V. Méthodes

M1 — Résoudre y′=ay

M2 — Résoudre y′=ay+b

M3 — Reconnaître la forme

M4 — Vérifier une solution

M5 — Modélisation

1. Primitives

2. Équations différentielles

y′=ay

y′=ay+b (a=0)

Comportement asymptotique

Tableau de reconnaissance

3. Méthodes

Récapitulatif

Modélisation

Intégrales par IPP

Equation y''+2y'+y=0

Chute avec frottement

S'entraîner avec les sujets du bac

II. Équation différentielle $y^{'} = a y$

III. Équation différentielle $y^{'} = a y + b$

1. Cas $y^{'} = a y$

2. Cas $y^{'} = a y + b$

M1 — Résoudre $y^{'} = a y$

M2 — Résoudre $y^{'} = a y + b$

$y^{'} = a y$

$y^{'} = a y + b$ ( $a \neq = 0$ )