Vecteurs, droites et plans de l'espace

$$I_{AB} = (3;0;0) \quad I_{AC} = (0;3;0) \quad I_{AD} = (0;0;3)$$ $$I_{BC} = (3;3;0) \quad I_{BD} = (3;0;3) \quad I_{CD} = (0;3;3)$$ $$\boxed{\text{Voir ci-dessus}}$$

Milieu de $[I_{AB}I_{CD}]$ : $\left(\dfrac{3+0}{2};\dfrac{0+3}{2};\dfrac{0+3}{2}\right) = \left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)$. Milieu de $[I_{AC}I_{BD}]$ : $\left(\dfrac{0+3}{2};\dfrac{3+0}{2};\dfrac{0+3}{2}\right) = \left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)$. Milieu de $[I_{AD}I_{BC}]$ : $\left(\dfrac{0+3}{2};\dfrac{0+3}{2};\dfrac{3+0}{2}\right) = \left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)$. Les trois segments ont le même milieu $\Omega\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)$. $$\boxed{\text{Les trois segments ont le même milieu } \Omega\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)}$$ Ce point est le centre de gravité du tétraèdre.

$$\overrightarrow{I_{AB}I_{AC}} = (0-3;3-0;0-0) = (-3;3;0)$$ $$\overrightarrow{I_{BD}I_{CD}} = (0-3;3-0;3-3) = (-3;3;0)$$ On a $\overrightarrow{I_{AB}I_{AC}} = \overrightarrow{I_{BD}I_{CD}}$, donc les vecteurs sont colinéaires et les droites sont parallèles. De plus, $\overrightarrow{I_{AB}I_{AC}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ (car $\overrightarrow{BC} = (-6;6;0)$). C'est le théorème des milieux dans le triangle $ABC$. De même, $\overrightarrow{I_{BD}I_{CD}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ (théorème des milieux dans le triangle $BCD$). $$\boxed{(I_{AB}I_{AC}) \parallel (I_{BD}I_{CD}) \text{ car } \overrightarrow{I_{AB}I_{AC}} = \overrightarrow{I_{BD}I_{CD}}}$$

Nous avons montré que $\overrightarrow{I_{AB}I_{AC}} = \overrightarrow{I_{BD}I_{CD}} = (-3;3;0)$. Calculons aussi $\overrightarrow{I_{AB}I_{BD}} = (0;0;3)$ et $\overrightarrow{I_{AC}I_{CD}} = (0;0;3)$. Donc $\overrightarrow{I_{AB}I_{BD}} = \overrightarrow{I_{AC}I_{CD}}$. Comme les côtés opposés sont égaux et parallèles, le quadrilatère $I_{AB}I_{AC}I_{CD}I_{BD}$ est un parallélogramme. Vérifions la coplanarité : $\overrightarrow{I_{AB}I_{AC}} = (-3;3;0)$ et $\overrightarrow{I_{AB}I_{BD}} = (0;0;3)$ ne sont pas colinéaires. Cherchons si $\overrightarrow{I_{AB}I_{CD}} = \alpha\overrightarrow{I_{AB}I_{AC}} + \beta\overrightarrow{I_{AB}I_{BD}}$. $\overrightarrow{I_{AB}I_{CD}} = (-3;3;3)$. $\alpha(-3;3;0) + \beta(0;0;3) = (-3\alpha;3\alpha;3\beta)$. Donc $\alpha = 1$ et $\beta = 1$. Vérification : $(-3;3;3)$ ✓. Les quatre points sont coplanaires. $$\boxed{I_{AB}I_{AC}I_{CD}I_{BD} \text{ est un parallélogramme (les 4 points sont coplanaires)}}$$ Ce résultat est vrai pour tout tétraèdre : les milieux des arêtes opposées forment trois parallélogrammes dont les diagonales se coupent en un même point (le centre de gravité).