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I Analyse · Chapitre 11 / 17

Calcul intégral

Intégrales, aires, valeur moyenne, IPP.

9 min de lecture
7 sections, 10 exemples
40 exercices · 4 problèmes

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L'essentiel en 30 secondes

L'intégrale de a à b de f mesure l'aire algébrique entre la courbe et l'axe des abscisses. Le théorème fondamental la relie aux primitives : l'intégrale vaut F(b) − F(a), où F est une primitive de f. S'y ajoutent la linéarité, la relation de Chasles, la positivité, la valeur moyenne d'une fonction et l'intégration par parties.

1 I. Intégrale d'une fonction continue positive

Définition par l'aire

2 II. Lien entre intégrale et primitive

Fonction intégrale

Démonstration (au programme — cas ff positive et croissante)
Soit ff positive et croissante sur [a ;b][a\,;b] et x∈[a ;b[x \in [a\,;b[. Pour h>0h > 0 petit :

L'aire sous la courbe entre xx et x+hx+h est encadrée par les rectangles de hauteurs f(x)f(x) et f(x+h)f(x+h) :
h⋅f(x)⩽∫xx+hf(t) dt⩽h⋅f(x+h)h \cdot f(x) \leqslant \int_x^{x+h} f(t)\,dt \leqslant h \cdot f(x+h)

Or ∫xx+hf(t) dt=Fa(x+h)−Fa(x)\int_x^{x+h} f(t)\,dt = F_a(x+h) - F_a(x). En divisant par h>0h > 0 :
f(x)⩽Fa(x+h)−Fa(x)h⩽f(x+h)f(x) \leqslant \frac{F_a(x+h) - F_a(x)}{h} \leqslant f(x+h)

Comme ff est continue, f(x+h)→f(x)f(x+h) \to f(x) quand h→0+h \to 0^+.

Par le théorème des gendarmes : Fa(x+h)−Fa(x)h→f(x)\frac{F_a(x+h) - F_a(x)}{h} \to f(x).

Donc Fa′(x)=f(x)F_a'(x) = f(x). □\square

Calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive

3 III. Extension au cas de signe quelconque

Intégrale d'une fonction de signe quelconque

4 IV. Propriétés de l'intégrale

Linéarité

Relation de Chasles

Positivité et intégration des inégalités

5 V. Valeur moyenne

Définition et interprétation

6 VI. Intégration par parties (IPP)

Formule et méthode

Démonstration (au programme)
La fonction uvuv est dérivable et (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'.

En intégrant entre aa et bb :
∫ab(uv)′(x) dx=∫abu′(x)v(x) dx+∫abu(x)v′(x) dx\int_a^b (uv)'(x)\,dx = \int_a^b u'(x)v(x)\,dx + \int_a^b u(x)v'(x)\,dx

Or ∫ab(uv)′(x) dx=[u(x)v(x)]ab\int_a^b (uv)'(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b.

Donc : [u(x)v(x)]ab=∫abu′(x)v(x) dx+∫abu(x)v′(x) dx\Big[u(x)v(x)\Big]_a^b = \int_a^b u'(x)v(x)\,dx + \int_a^b u(x)v'(x)\,dx.

En isolant : ∫abu′(x)v(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu(x)v′(x) dx\int_a^b u'(x)v(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx. □\square

7 VII. Aire entre deux courbes

Calcul d'aire

Ce chapitre est tombé au bac

18 sujets officiels de bac comportent un exercice sur ce chapitre — chaque corrigé est détaillé question par question.

2025 Nouvelle-Calédonie · Jour 2 2025 Nouvelle-Calédonie · Jour 1 2025 Amérique du Sud · Jour 2 2025 Amérique du Sud · Jour 1 2025 Métropole · Septembre Jour 2 2025 Métropole · Septembre Jour 1 2025 Asie · Septembre 2025 Polynésie · Septembre 2025 Métropole · Jour 2 2025 Polynésie · Jour 2 2025 Métropole · Jour 1 2025 Polynésie · Jour 1 2025 Centres étrangers · Jour 2 2025 Asie · Jour 2 2025 Asie · Jour 1 2025 Amérique du Nord · J2 secours 2025 Amérique du Nord · Jour 2 2024 Amérique du Nord · Jour 1

Questions fréquentes

Quel est le lien entre intégrale et primitive ?
Si FF est une primitive de ff sur [a ;b][a\,;b], alors ∫abf(t) dt=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a). C'est le théorème fondamental de l'analyse : il ramène le calcul d'une aire à une simple soustraction, à condition de savoir trouver une primitive.
Comment calculer l'aire sous une courbe ?
Si ff est continue et positive sur [a ;b][a\,;b], l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x=ax=a et x=bx=b vaut ∫abf(t) dt\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt, en unités d'aire. Si ff est négative, l'intégrale est l'opposé de l'aire.
Qu'est-ce que la valeur moyenne d'une fonction ?
C'est 1b−a∫abf(t) dt\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt : la hauteur du rectangle de base [a ;b][a\,;b] qui aurait la même aire que le domaine sous la courbe. C'est la généralisation continue de la moyenne arithmétique.

Intégrale et primitive

Propriétés

Valeur moyenne

Intégration par parties

Aire entre deux courbes

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Calculer les intégrales suivantes :

a) ∫023 dx\int_0^2 3\,dx

b) ∫142x dx\int_1^4 2x\,dx

c) ∫01x2 dx\int_0^1 x^2\,dx
Correction détaillée
**a)** $\int_0^2 3\,dx = \Big[3x\Big]_0^2 = 6 - 0 = \boxed{6}$ **b)** $\int_1^4 2x\,dx = \Big[x^2\Big]_1^4 = 16 - 1 = \boxed{15}$ **c)** $\int_0^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \boxed{\frac{1}{3}}$
Exercice 2
Facile
Calculer ∫121x2 dx\int_1^2 \frac{1}{x^2}\,dx.
Correction détaillée
Une primitive de $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ est $\frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$. $\int_1^2 \frac{1}{x^2}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^2 = -\frac{1}{2} - \left(-1\right) = -\frac{1}{2} + 1 = \boxed{\frac{1}{2}}$
Exercice 3
Facile
Calculer ∫0πsin⁡(x) dx\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx.
Correction détaillée
Une primitive de $\sin(x)$ est $-\cos(x)$. $\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx = \Big[-\cos(x)\Big]_0^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(0) = -(-1) + 1 = \boxed{2}$
Exercice 4
Facile
Calculer ∫01ex dx\int_0^1 e^x\,dx.
Correction détaillée
$\int_0^1 e^x\,dx = \Big[e^x\Big]_0^1 = e - 1 \approx \boxed{e - 1 \approx 1{,}718}$
Exercice 5
Facile
Calculer ∫1e1x dx\int_1^e \frac{1}{x}\,dx.
Correction détaillée
Une primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln(x)$. $\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \Big[\ln(x)\Big]_1^e = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = \boxed{1}$
Exercice 6
Facile
Calculer ∫03(2x+1) dx\int_0^3 (2x + 1)\,dx.
Correction détaillée
$\int_0^3 (2x+1)\,dx = \Big[x^2 + x\Big]_0^3 = (9 + 3) - 0 = \boxed{12}$
Exercice 7
Facile
Calculer ∫−11x3 dx\int_{-1}^1 x^3\,dx. Interpréter géométriquement le résultat.
Correction détaillée
$\int_{-1}^1 x^3\,dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \boxed{0}$ **Interprétation :** $x^3$ est une fonction impaire. Sur un intervalle symétrique par rapport à $0$, les aires positive et négative se compensent.
Exercice 8
Facile
Calculer ∫0π/2cos⁡(x) dx\int_0^{\pi/2} \cos(x)\,dx.
Correction détaillée
$\int_0^{\pi/2} \cos(x)\,dx = \Big[\sin(x)\Big]_0^{\pi/2} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = \boxed{1}$
Exercice 9
Facile
Soit f(x)=3x2−2x+5f(x) = 3x^2 - 2x + 5. Calculer ∫02f(x) dx\int_0^2 f(x)\,dx.
Correction détaillée
$\int_0^2 (3x^2 - 2x + 5)\,dx = \Big[x^3 - x^2 + 5x\Big]_0^2 = (8 - 4 + 10) - 0 = \boxed{14}$
Exercice 10
Facile
Calculer ∫253 dx\int_2^5 3\,dx puis vérifier géométriquement.
Correction détaillée
$\int_2^5 3\,dx = \Big[3x\Big]_2^5 = 15 - 6 = \boxed{9}$ **Vérification :** c'est l'aire d'un rectangle de largeur $5 - 2 = 3$ et de hauteur $3$, soit $3 \times 3 = 9$. ✓
Exercice 11
Facile
Calculer la valeur moyenne de f(x)=6xf(x) = 6x sur [0 ;4][0\,;4].
Correction détaillée
$\mu = \frac{1}{4-0} \int_0^4 6x\,dx = \frac{1}{4} \Big[3x^2\Big]_0^4 = \frac{1}{4} \times 48 = \boxed{12}$
Exercice 12
Facile
Vérifier que ∫03x dx=∫01x dx+∫13x dx\int_0^3 x\,dx = \int_0^1 x\,dx + \int_1^3 x\,dx (relation de Chasles).
Correction détaillée
$\int_0^3 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^3 = \frac{9}{2}$. $\int_0^1 x\,dx = \frac{1}{2}$ et $\int_1^3 x\,dx = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4$. $\frac{1}{2} + 4 = \frac{9}{2}$. ✓ La relation de Chasles est vérifiée.
Exercice 13
Facile
Calculer ∫31x2 dx\int_3^1 x^2\,dx.
Correction détaillée
$\int_3^1 x^2\,dx = -\int_1^3 x^2\,dx = -\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 = -\left(9 - \frac{1}{3}\right) = \boxed{-\frac{26}{3}}$
Exercice 14
Facile
Calculer ∫01(ex+1) dx\int_0^1 (e^x + 1)\,dx.
Correction détaillée
$\int_0^1 (e^x + 1)\,dx = \Big[e^x + x\Big]_0^1 = (e + 1) - (1 + 0) = \boxed{e}$
Exercice 15
Facile
Encadrer ∫01ex dx\int_0^1 e^x\,dx sachant que 1⩽ex⩽e1 \leqslant e^x \leqslant e pour x∈[0 ;1]x \in [0\,;1].
Correction détaillée
$e^x$ est croissante : sur $[0\,;1]$, $e^0 = 1 \leqslant e^x \leqslant e^1 = e$. Par intégration des inégalités : $$1 \times (1-0) \leqslant \int_0^1 e^x\,dx \leqslant e \times (1-0)$$ $$\boxed{1 \leqslant \int_0^1 e^x\,dx \leqslant e}$$ **Vérification :** $\int_0^1 e^x\,dx = e - 1 \approx 1{,}718$, ce qui est bien entre $1$ et $e \approx 2{,}718$. ✓
Exercice 16
Intermédiaire
Calculer ∫01x ex dx\int_0^1 x\,e^x\,dx à l'aide d'une intégration par parties.
Correction détaillée
On pose $v(x) = x$ ($v' = 1$) et $u'(x) = e^x$ ($u = e^x$). IPP : $\int_0^1 x\,e^x\,dx = \Big[x\,e^x\Big]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = (1 \cdot e) - \Big[e^x\Big]_0^1 = e - (e - 1) = \boxed{1}$
Exercice 17
Intermédiaire
Calculer ∫1eln⁡(x) dx\int_1^e \ln(x)\,dx à l'aide d'une intégration par parties.
Correction détaillée
On pose $v(x) = \ln(x)$ ($v' = \frac{1}{x}$) et $u'(x) = 1$ ($u = x$). IPP : $\int_1^e \ln(x)\,dx = \Big[x\ln(x)\Big]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x}\,dx = (e - 0) - \int_1^e 1\,dx = e - (e - 1) = \boxed{1}$
Exercice 18
Intermédiaire
Calculer ∫02(x−1)2 dx\int_0^2 (x-1)^2\,dx de deux manières : en développant, et en utilisant une primitive directe.
Correction détaillée
**Méthode 1 (développement) :** $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$. $\int_0^2 (x^2 - 2x + 1)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - x^2 + x\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 4 + 2 = \frac{8}{3} - 2 = \boxed{\frac{2}{3}}$ **Méthode 2 (primitive directe) :** une primitive de $(x-1)^2$ est $\frac{(x-1)^3}{3}$. $\int_0^2 (x-1)^2\,dx = \left[\frac{(x-1)^3}{3}\right]_0^2 = \frac{1}{3} - \frac{-1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \boxed{\frac{2}{3}}$
Exercice 19
Intermédiaire
Calculer ∫01x e−x dx\int_0^1 x\,e^{-x}\,dx.
Correction détaillée
IPP avec $v = x$ ($v' = 1$) et $u' = e^{-x}$ ($u = -e^{-x}$). $\int_0^1 x\,e^{-x}\,dx = \Big[-x\,e^{-x}\Big]_0^1 - \int_0^1 (-e^{-x})\,dx = -e^{-1} + \int_0^1 e^{-x}\,dx$ $= -e^{-1} + \Big[-e^{-x}\Big]_0^1 = -e^{-1} + (-e^{-1} + 1) = -2e^{-1} + 1 = \boxed{1 - \frac{2}{e}}$
Exercice 20
Intermédiaire
Calculer l'aire entre la courbe de f(x)=x2f(x) = x^2 et la droite g(x)=xg(x) = x sur [0 ;1][0\,;1].
Correction détaillée
Sur $[0\,;1]$ : $x \geqslant x^2$ (car $x(1-x) \geqslant 0$), donc $g(x) \geqslant f(x)$. $\mathcal{A} = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \boxed{\frac{1}{6}}$
Exercice 21
Intermédiaire
Calculer ∫0πcos⁡2(x) dx\int_0^{\pi} \cos^2(x)\,dx.

(On utilisera la formule cos⁡2(x)=1+cos⁡(2x)2\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}.)
Correction détaillée
$\int_0^{\pi} \cos^2(x)\,dx = \int_0^{\pi} \frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_0^{\pi} \left(1 + \cos(2x)\right)dx$ $= \frac{1}{2}\left[x + \frac{\sin(2x)}{2}\right]_0^{\pi} = \frac{1}{2}\left(\pi + \frac{\sin(2\pi)}{2} - 0\right) = \frac{1}{2} \times \pi = \boxed{\frac{\pi}{2}}$
Exercice 22
Intermédiaire
Calculer la valeur moyenne de f(x)=exf(x) = e^x sur [0 ;2][0\,;2].
Correction détaillée
$\mu = \frac{1}{2} \int_0^2 e^x\,dx = \frac{1}{2}\Big[e^x\Big]_0^2 = \frac{e^2 - 1}{2} \approx \boxed{\frac{e^2-1}{2} \approx 3{,}19}$
Exercice 23
Intermédiaire
Calculer ∫01x2 ex dx\int_0^1 x^2\,e^x\,dx.

(On fera deux IPP successives.)
Correction détaillée
**1ère IPP :** $v = x^2$, $u' = e^x$, donc $v' = 2x$, $u = e^x$. $\int_0^1 x^2 e^x\,dx = \Big[x^2 e^x\Big]_0^1 - \int_0^1 2x\,e^x\,dx = e - 2\int_0^1 x\,e^x\,dx$ **2ème IPP :** on sait déjà que $\int_0^1 x\,e^x\,dx = 1$ (exercice 16). Donc : $\int_0^1 x^2 e^x\,dx = e - 2 \times 1 = \boxed{e - 2}$
Exercice 24
Intermédiaire
Calculer ∫01(2x+3)ex dx\int_0^1 (2x+3)e^x\,dx.
Correction détaillée
Par linéarité : $\int_0^1 (2x+3)e^x\,dx = 2\int_0^1 x\,e^x\,dx + 3\int_0^1 e^x\,dx$. $\int_0^1 x\,e^x\,dx = 1$ (exercice 16) et $\int_0^1 e^x\,dx = e - 1$. $= 2 \times 1 + 3(e-1) = 2 + 3e - 3 = \boxed{3e - 1}$
Exercice 25
Intermédiaire
Calculer ∫1exln⁡(x) dx\int_1^e x\ln(x)\,dx.
Correction détaillée
IPP avec $v = \ln(x)$ ($v' = \frac{1}{x}$) et $u' = x$ ($u = \frac{x^2}{2}$). $\int_1^e x\ln(x)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln(x)\right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\,dx = \frac{e^2}{2} - \int_1^e \frac{x}{2}\,dx$ $= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}\left[\frac{x^2}{2}\right]_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}\left(\frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \boxed{\frac{e^2 + 1}{4}}$
Exercice 26
Intermédiaire
Montrer que ∫0111+x dx=ln⁡(2)\int_0^1 \frac{1}{1+x}\,dx = \ln(2).
Correction détaillée
Une primitive de $\frac{1}{1+x}$ est $\ln(1+x)$ (composée). $\int_0^1 \frac{1}{1+x}\,dx = \Big[\ln(1+x)\Big]_0^1 = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) - 0 = \boxed{\ln(2)}$
Exercice 27
Intermédiaire
Calculer ∫0ln⁡2e2x dx\int_0^{\ln 2} e^{2x}\,dx.
Correction détaillée
Une primitive de $e^{2x}$ est $\frac{e^{2x}}{2}$. $\int_0^{\ln 2} e^{2x}\,dx = \left[\frac{e^{2x}}{2}\right]_0^{\ln 2} = \frac{e^{2\ln 2}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e^{\ln 4}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \boxed{\frac{3}{2}}$
Exercice 28
Intermédiaire
Montrer que 0⩽∫01x1+x2 dx⩽120 \leqslant \int_0^1 \frac{x}{1+x^2}\,dx \leqslant \frac{1}{2}.
Correction détaillée
Sur $[0\,;1]$ : $1 \leqslant 1+x^2 \leqslant 2$, donc $\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{1+x^2} \leqslant 1$. Multipliant par $x \geqslant 0$ : $\frac{x}{2} \leqslant \frac{x}{1+x^2} \leqslant x$. Mais on peut aussi calculer directement : une primitive de $\frac{x}{1+x^2}$ est $\frac{1}{2}\ln(1+x^2)$. $\int_0^1 \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\Big[\ln(1+x^2)\Big]_0^1 = \frac{1}{2}(\ln 2 - \ln 1) = \frac{\ln 2}{2} \approx 0{,}347$. Or $0 \leqslant \frac{\ln 2}{2} \leqslant \frac{1}{2}$ (car $\ln 2 \approx 0{,}693 \leqslant 1$). ✓ $\boxed{0 \leqslant \int_0^1 \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{\ln 2}{2} \leqslant \frac{1}{2}}$
Exercice 29
Difficile
Calculer I=∫01(1−x)ex dxI = \int_0^1 (1-x)e^x\,dx et J=∫01x e1−x dxJ = \int_0^1 x\,e^{1-x}\,dx. Montrer que I=JI = J.
Correction détaillée
**Calcul de $I$ :** IPP avec $v = 1-x$ ($v' = -1$), $u' = e^x$ ($u = e^x$). $I = \Big[(1-x)e^x\Big]_0^1 - \int_0^1 (-1)e^x\,dx = (0 - 1) + \Big[e^x\Big]_0^1 = -1 + (e-1) = \boxed{e - 2}$ **Calcul de $J$ :** IPP avec $v = x$ ($v' = 1$), $u' = e^{1-x}$ ($u = -e^{1-x}$). $J = \Big[-x\,e^{1-x}\Big]_0^1 + \int_0^1 e^{1-x}\,dx = (-1 \cdot 1) + \Big[-e^{1-x}\Big]_0^1 = -1 + (-1 + e) = \boxed{e - 2}$ Donc $I = J = e - 2$.
Exercice 30
Difficile
Calculer ∫01x2(1−x)2 dx\int_0^1 x^2(1-x)^2\,dx.
Correction détaillée
On développe : $x^2(1-x)^2 = x^2(1 - 2x + x^2) = x^2 - 2x^3 + x^4$. $\int_0^1 (x^2 - 2x^3 + x^4)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5}$ $= \frac{10 - 15 + 6}{30} = \boxed{\frac{1}{30}}$
Exercice 31
Difficile
On pose In=∫01xnex dxI_n = \int_0^1 x^n e^x\,dx pour n∈Nn \in \mathbb{N}.

1) Calculer I0I_0 et I1I_1.

2) Montrer par IPP que In=e−nIn−1I_n = e - nI_{n-1} pour n⩾1n \geqslant 1.

3) En déduire I2I_2 et I3I_3.
1.
Calculer I0I_0 et I1I_1.
$I_0 = \int_0^1 e^x\,dx = e - 1$. $I_1 = \int_0^1 x\,e^x\,dx = 1$ (cf. exercice 16).
2.
Montrer In=e−nIn−1I_n = e - nI_{n-1}.
IPP avec $v = x^n$ ($v' = nx^{n-1}$) et $u' = e^x$ ($u = e^x$). $I_n = \Big[x^n e^x\Big]_0^1 - \int_0^1 nx^{n-1}e^x\,dx = e - nI_{n-1}$. $\boxed{I_n = e - nI_{n-1}}$
3.
Calculer I2I_2 et I3I_3.
$I_2 = e - 2I_1 = e - 2 \times 1 = \boxed{e - 2}$ $I_3 = e - 3I_2 = e - 3(e-2) = e - 3e + 6 = \boxed{6 - 2e}$
Exercice 32
Difficile
Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4 et l'axe des abscisses sur [−2 ;3][-2\,;3].
Correction détaillée
$f(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$. Sur $[-2\,;2]$ : $f(x) \leqslant 0$. Sur $[2\,;3]$ : $f(x) \geqslant 0$. $\mathcal{A} = \int_{-2}^2 |f(x)|\,dx + \int_2^3 f(x)\,dx = -\int_{-2}^2 (x^2-4)\,dx + \int_2^3 (x^2-4)\,dx$ $\int_{-2}^2 (x^2-4)\,dx = \left[\frac{x^3}{3}-4x\right]_{-2}^2 = \left(\frac{8}{3}-8\right) - \left(-\frac{8}{3}+8\right) = \frac{16}{3} - 16 = -\frac{32}{3}$ $\int_2^3 (x^2-4)\,dx = \left[\frac{x^3}{3}-4x\right]_2^3 = (9-12) - \left(\frac{8}{3}-8\right) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$ $\mathcal{A} = \frac{32}{3} + \frac{7}{3} = \boxed{\frac{39}{3} = 13}$
Exercice 33
Difficile
Montrer que pour tout n⩾0n \geqslant 0 : ∫01xn dx=1n+1\int_0^1 x^n\,dx = \frac{1}{n+1}. En déduire ∫01(1+x+x2+⋯+xn) dx\int_0^1 (1 + x + x^2 + \cdots + x^n)\,dx.
Correction détaillée
$\int_0^1 x^n\,dx = \left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 = \frac{1}{n+1}$. Par linéarité : $\int_0^1 (1 + x + \cdots + x^n)\,dx = \sum_{k=0}^n \int_0^1 x^k\,dx = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} = \boxed{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n+1}}$
Exercice 34
Difficile
Calculer ∫0πxsin⁡(x) dx\int_0^{\pi} x\sin(x)\,dx.
Correction détaillée
IPP avec $v = x$ ($v' = 1$) et $u' = \sin(x)$ ($u = -\cos(x)$). $\int_0^{\pi} x\sin(x)\,dx = \Big[-x\cos(x)\Big]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos(x)\,dx$ $= (-\pi \cos(\pi) + 0) + \Big[\sin(x)\Big]_0^{\pi} = \pi + (0 - 0) = \boxed{\pi}$
Exercice 35
Difficile
Soit f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} sur [1 ;n][1\,;n] (n⩾2n \geqslant 2 entier). Montrer que :
∑k=2n1k⩽∫1n1x dx⩽∑k=1n−11k\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k} \leqslant \int_1^n \frac{1}{x}\,dx \leqslant \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}
Correction détaillée
$f(x) = \frac{1}{x}$ est décroissante sur $[1\,;n]$. Sur chaque intervalle $[k\,;k+1]$ : $\frac{1}{k+1} \leqslant \frac{1}{x} \leqslant \frac{1}{k}$. En intégrant sur $[k\,;k+1]$ (largeur $1$) : $\frac{1}{k+1} \leqslant \int_k^{k+1} \frac{1}{x}\,dx \leqslant \frac{1}{k}$. En sommant pour $k$ de $1$ à $n-1$ (relation de Chasles) : $$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k+1} \leqslant \int_1^n \frac{1}{x}\,dx \leqslant \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}$$ Or $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k+1} = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k}$. $\boxed{\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k} \leqslant \ln(n) \leqslant \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}}$
Exercice 36
Avancé
Soit ff continue sur [a ;b][a\,;b] telle que f⩾0f \geqslant 0 et ∫abf(x) dx=0\int_a^b f(x)\,dx = 0.

Montrer que f=0f = 0 sur [a ;b][a\,;b].

(On raisonnera par l'absurde.)
Correction détaillée
Supposons qu'il existe $c \in [a\,;b]$ tel que $f(c) > 0$. Comme $f$ est continue en $c$, il existe $\varepsilon > 0$ tel que $f(x) \geqslant \frac{f(c)}{2} > 0$ pour tout $x \in [c-\varepsilon\,;c+\varepsilon] \cap [a\,;b]$. Par positivité de l'intégrale et relation de Chasles : $\int_a^b f(x)\,dx \geqslant \int_{c-\varepsilon}^{c+\varepsilon} f(x)\,dx \geqslant \frac{f(c)}{2} \times 2\varepsilon = \varepsilon \cdot f(c) > 0$. Contradiction avec $\int_a^b f(x)\,dx = 0$. Donc $\boxed{f(x) = 0}$ pour tout $x \in [a\,;b]$.
Exercice 37
Avancé
Soit f(x)=e−xsin⁡(x)f(x) = e^{-x}\sin(x). Calculer I=∫0πe−xsin⁡(x) dxI = \int_0^{\pi} e^{-x}\sin(x)\,dx.

(On fera deux IPP et on retrouvera II dans le résultat.)
Correction détaillée
**1ère IPP :** $v = \sin(x)$, $u' = e^{-x}$, donc $v' = \cos(x)$, $u = -e^{-x}$. $I = \Big[-e^{-x}\sin(x)\Big]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} e^{-x}\cos(x)\,dx = 0 + \int_0^{\pi} e^{-x}\cos(x)\,dx$ **2ème IPP :** $v = \cos(x)$, $u' = e^{-x}$, donc $v' = -\sin(x)$, $u = -e^{-x}$. $\int_0^{\pi} e^{-x}\cos(x)\,dx = \Big[-e^{-x}\cos(x)\Big]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} e^{-x}\sin(x)\,dx$ $= (-e^{-\pi}(-1) + 1 \cdot 1) - I = e^{-\pi} + 1 - I$ Donc $I = e^{-\pi} + 1 - I$, soit $2I = 1 + e^{-\pi}$. $\boxed{I = \frac{1 + e^{-\pi}}{2}}$
Exercice 38
Avancé
Calculer ∫01ln⁡(1+x) dx\int_0^1 \ln(1+x)\,dx.
Correction détaillée
IPP avec $v = \ln(1+x)$ ($v' = \frac{1}{1+x}$) et $u' = 1$ ($u = x$). $\int_0^1 \ln(1+x)\,dx = \Big[x\ln(1+x)\Big]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x}\,dx$ $= \ln(2) - \int_0^1 \frac{x}{1+x}\,dx$ Or $\frac{x}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}$, donc : $\int_0^1 \frac{x}{1+x}\,dx = \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1+x}\right)dx = \Big[x - \ln(1+x)\Big]_0^1 = (1 - \ln 2) - 0 = 1 - \ln 2$ Finalement : $\int_0^1 \ln(1+x)\,dx = \ln 2 - (1 - \ln 2) = \boxed{2\ln 2 - 1}$
Exercice 39
Avancé
Soit In=∫0π/2sin⁡n(x) dxI_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n(x)\,dx pour n⩾0n \geqslant 0.

1) Calculer I0I_0 et I1I_1.

2) Montrer par IPP que pour n⩾2n \geqslant 2 : In=n−1nIn−2I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}.

3) En déduire I2I_2 et I3I_3.
1.
Calculer I0I_0 et I1I_1.
$I_0 = \int_0^{\pi/2} 1\,dx = \frac{\pi}{2}$. $I_1 = \int_0^{\pi/2} \sin(x)\,dx = \Big[-\cos(x)\Big]_0^{\pi/2} = 0 + 1 = 1$.
2.
Montrer In=n−1nIn−2I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}.
Pour $n \geqslant 2$, on écrit $\sin^n(x) = \sin^{n-1}(x) \cdot \sin(x)$. IPP avec $v = \sin^{n-1}(x)$ ($v' = (n-1)\sin^{n-2}(x)\cos(x)$) et $u' = \sin(x)$ ($u = -\cos(x)$). $I_n = \Big[-\cos(x)\sin^{n-1}(x)\Big]_0^{\pi/2} + (n-1)\int_0^{\pi/2} \cos^2(x)\sin^{n-2}(x)\,dx$ Le crochet vaut $0$ aux deux bornes. Et $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$, donc : $I_n = (n-1)\int_0^{\pi/2} (1-\sin^2(x))\sin^{n-2}(x)\,dx = (n-1)(I_{n-2} - I_n)$ $I_n = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n$, soit $nI_n = (n-1)I_{n-2}$. $\boxed{I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}}$
3.
Calculer I2I_2 et I3I_3.
$I_2 = \frac{1}{2} I_0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \boxed{\frac{\pi}{4}}$ $I_3 = \frac{2}{3} I_1 = \frac{2}{3} \times 1 = \boxed{\frac{2}{3}}$
Exercice 40
Avancé
Montrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale : pour ff et gg continues sur [a ;b][a\,;b] :
(∫abf(x)g(x) dx)2⩽(∫abf(x)2 dx)(∫abg(x)2 dx)\left(\int_a^b f(x)g(x)\,dx\right)^2 \leqslant \left(\int_a^b f(x)^2\,dx\right)\left(\int_a^b g(x)^2\,dx\right)
(On pourra considérer P(t)=∫ab(f(x)+tg(x))2 dxP(t) = \int_a^b (f(x) + tg(x))^2\,dx pour t∈Rt \in \mathbb{R}.)
Correction détaillée
Posons $P(t) = \int_a^b (f(x) + tg(x))^2\,dx$. Comme $(f+tg)^2 \geqslant 0$, on a $P(t) \geqslant 0$ pour tout $t \in \mathbb{R}$. En développant : $P(t) = \int_a^b f^2\,dx + 2t\int_a^b fg\,dx + t^2\int_a^b g^2\,dx$ Posons $A = \int_a^b f^2$, $B = \int_a^b fg$, $C = \int_a^b g^2$. $P(t) = Ct^2 + 2Bt + A \geqslant 0$ pour tout $t$. Si $C = 0$, alors $g = 0$ (car $g$ continue et $\int g^2 = 0$), et l'inégalité est triviale. Si $C > 0$, $P$ est un trinôme du second degré en $t$ qui est toujours $\geqslant 0$, donc son discriminant est $\leqslant 0$ : $\Delta = 4B^2 - 4AC \leqslant 0$, soit $B^2 \leqslant AC$. $\boxed{\left(\int_a^b fg\right)^2 \leqslant \left(\int_a^b f^2\right)\left(\int_a^b g^2\right)}$
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Étude d'une suite d'intégrales
Difficile
Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, on pose un=∫01xn1+x dxu_n = \int_0^1 \frac{x^n}{1+x}\,dx.

Partie A — Premières valeurs

1.
Calculer u0u_0.
$u_0 = \int_0^1 \frac{1}{1+x}\,dx = \Big[\ln(1+x)\Big]_0^1 = \ln 2 - \ln 1 = \boxed{\ln 2}$
2.
Calculer u0+u1u_0 + u_1.
$u_0 + u_1 = \int_0^1 \frac{1+x}{1+x}\,dx = \int_0^1 1\,dx = \boxed{1}$ Donc $u_1 = 1 - \ln 2$.
3.
Montrer que pour tout n⩾0n \geqslant 0 : un+un+1=1n+1u_n + u_{n+1} = \frac{1}{n+1}.
$u_n + u_{n+1} = \int_0^1 \frac{x^n + x^{n+1}}{1+x}\,dx = \int_0^1 \frac{x^n(1+x)}{1+x}\,dx = \int_0^1 x^n\,dx = \frac{1}{n+1}$. $\boxed{u_n + u_{n+1} = \frac{1}{n+1}}$

Partie B — Convergence

4.
Montrer que 0⩽un⩽1n+10 \leqslant u_n \leqslant \frac{1}{n+1}.
Sur $[0\,;1]$ : $1 \leqslant 1+x \leqslant 2$, donc $\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{1+x} \leqslant 1$. Multipliant par $x^n \geqslant 0$ : $\frac{x^n}{2} \leqslant \frac{x^n}{1+x} \leqslant x^n$. En intégrant : $\frac{1}{2(n+1)} \leqslant u_n \leqslant \frac{1}{n+1}$. En particulier $\boxed{0 \leqslant u_n \leqslant \frac{1}{n+1}}$.
5.
En déduire lim⁡n→+∞un\lim_{n \to +\infty} u_n.
Par le théorème des gendarmes : $0 \leqslant u_n \leqslant \frac{1}{n+1} \to 0$. $\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = 0}$
6.
En déduire que ln⁡2=1−12+13−14+⋯\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots (somme partielle).
De $u_n + u_{n+1} = \frac{1}{n+1}$, on tire $u_{n+1} = \frac{1}{n+1} - u_n$. $u_1 = 1 - u_0 = 1 - \ln 2$ $u_2 = \frac{1}{2} - u_1 = \frac{1}{2} - 1 + \ln 2 = \ln 2 - \frac{1}{2}$ $u_3 = \frac{1}{3} - u_2 = \frac{1}{3} - \ln 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \ln 2$ Plus généralement, en sommant $u_n + u_{n+1} = \frac{1}{n+1}$ de manière alternée et en utilisant $u_0 = \ln 2$ et $\lim u_n = 0$ : $\boxed{\ln 2 = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots}$
Problème 2 — Calcul d'aire et valeur moyenne
Intermédiaire
Soit ff la fonction définie sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[ par f(x)=xe−xf(x) = xe^{-x}.

Partie A — Étude de ff

1.
Calculer f′(x)f'(x) et dresser le tableau de variations de ff.
$f'(x) = e^{-x} + x(-e^{-x}) = (1-x)e^{-x}$. $e^{-x} > 0$, donc le signe de $f'$ est celui de $1-x$. $f'(x) > 0$ si $x < 1$, $f'(x) < 0$ si $x > 1$. $f(1) = e^{-1}$. $f(0) = 0$. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ (croissance comparée). | $x$ | $0$ | | $1$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---|---|---| | $f'$ | | $+$ | $0$ | $-$ | | | $f$ | $0$ | $\nearrow$ | $1/e$ | $\searrow$ | $0$ |
2.
Calculer ∫0txe−x dx\int_0^t xe^{-x}\,dx pour t>0t > 0.
IPP avec $v = x$, $u' = e^{-x}$, donc $v' = 1$, $u = -e^{-x}$. $\int_0^t xe^{-x}\,dx = \Big[-xe^{-x}\Big]_0^t + \int_0^t e^{-x}\,dx = -te^{-t} + \Big[-e^{-x}\Big]_0^t$ $= -te^{-t} - e^{-t} + 1 = \boxed{1 - (t+1)e^{-t}}$

Partie B — Aire et valeur moyenne

3.
Calculer l'aire sous la courbe de ff entre 00 et tt, puis sa limite quand t→+∞t \to +\infty.
$\mathcal{A}(t) = \int_0^t xe^{-x}\,dx = 1 - (t+1)e^{-t}$. $\lim_{t \to +\infty} (t+1)e^{-t} = 0$ (croissance comparée). Donc $\boxed{\lim_{t \to +\infty} \mathcal{A}(t) = 1}$. L'aire totale sous la courbe est finie et vaut $1$ u.a.
4.
Calculer la valeur moyenne de ff sur [0 ;5][0\,;5].
$\mu = \frac{1}{5} \int_0^5 xe^{-x}\,dx = \frac{1}{5}\left[1 - 6e^{-5}\right] = \frac{1 - 6e^{-5}}{5}$. $e^{-5} \approx 0{,}00674$, donc $6e^{-5} \approx 0{,}0404$. $\mu \approx \frac{1 - 0{,}0404}{5} \approx \boxed{0{,}192}$
Problème 3 — Intégration par parties et suites
Difficile
Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, on pose :
Jn=∫01xnln⁡(x) dxJ_n = \int_0^1 x^n \ln(x)\,dx
(avec la convention 0⋅ln⁡(0)=00 \cdot \ln(0) = 0).

Partie A — Calcul de J0J_0 et relation de récurrence

1.
Calculer J0=∫01ln⁡(x) dxJ_0 = \int_0^1 \ln(x)\,dx.
IPP avec $v = \ln(x)$, $u' = 1$, donc $v' = \frac{1}{x}$, $u = x$. $J_0 = \Big[x\ln(x)\Big]_0^1 - \int_0^1 1\,dx = (0 - 0) - 1 = \boxed{-1}$ (Car $\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$.)
2.
Montrer par IPP que Jn=−1(n+1)2J_n = -\frac{1}{(n+1)^2} pour tout n⩾0n \geqslant 0.
IPP avec $v = \ln(x)$ ($v' = \frac{1}{x}$) et $u' = x^n$ ($u = \frac{x^{n+1}}{n+1}$). $J_n = \left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\ln(x)\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{1}{x}\,dx$ Le crochet vaut $0 - 0 = 0$ (car $\frac{1}{n+1}\ln(1) = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} x^{n+1}\ln(x) = 0$). $J_n = -\frac{1}{n+1}\int_0^1 x^n\,dx = -\frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{n+1} = \boxed{-\frac{1}{(n+1)^2}}$

Partie B — Application

3.
En déduire ∫01x2ln⁡(x) dx\int_0^1 x^2\ln(x)\,dx et ∫01x5ln⁡(x) dx\int_0^1 x^5\ln(x)\,dx.
$J_2 = -\frac{1}{9}$ et $J_5 = -\frac{1}{36}$. $\boxed{\int_0^1 x^2\ln(x)\,dx = -\frac{1}{9}} \qquad \boxed{\int_0^1 x^5\ln(x)\,dx = -\frac{1}{36}}$
4.
Calculer ∫01(3x2+2x)ln⁡(x) dx\int_0^1 (3x^2 + 2x)\ln(x)\,dx.
Par linéarité : $\int_0^1 (3x^2+2x)\ln(x)\,dx = 3J_2 + 2J_1 = 3 \times \left(-\frac{1}{9}\right) + 2 \times \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \boxed{-\frac{5}{6}}$
Problème 4 — Encadrement d'intégrales et approximation de π\pi
Difficile
On considère la fonction f(x)=11+x2f(x) = \frac{1}{1+x^2} définie sur R\mathbb{R}.

Partie A — Calcul fondamental

1.
Montrer que ∫0111+x2 dx=π4\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx = \frac{\pi}{4}.
Une primitive de $\frac{1}{1+x^2}$ est $\arctan(x)$. $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx = \Big[\arctan(x)\Big]_0^1 = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \boxed{\frac{\pi}{4}}$
2.
En déduire un encadrement de π4\frac{\pi}{4} en utilisant 12⩽11+x2⩽1\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{1+x^2} \leqslant 1 sur [0 ;1][0\,;1].
Sur $[0\,;1]$ : $x^2 \leqslant 1$, donc $1+x^2 \leqslant 2$, soit $\frac{1}{1+x^2} \geqslant \frac{1}{2}$. Et $1+x^2 \geqslant 1$, soit $\frac{1}{1+x^2} \leqslant 1$. Par intégration des inégalités : $$\frac{1}{2} \leqslant \frac{\pi}{4} \leqslant 1$$ $$\boxed{2 \leqslant \pi \leqslant 4}$$

Partie B — Encadrement plus fin

3.
Montrer que pour tout x∈[0 ;1]x \in [0\,;1] : 1−x2⩽11+x2⩽1−x2+x41 - x^2 \leqslant \frac{1}{1+x^2} \leqslant 1 - x^2 + x^4.
On a $\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+x^2}$. Multiplions l'inégalité à vérifier par $1+x^2 > 0$ : **Inégalité gauche :** $(1-x^2)(1+x^2) \leqslant 1$, soit $1 - x^4 \leqslant 1$, soit $x^4 \geqslant 0$. ✓ **Inégalité droite :** $1 \leqslant (1-x^2+x^4)(1+x^2) = 1 + x^2 - x^2 - x^4 + x^4 + x^6 = 1 + x^6$. C'est vrai car $x^6 \geqslant 0$. ✓
4.
En déduire un encadrement de π\pi plus précis.
En intégrant sur $[0\,;1]$ : $$\int_0^1 (1-x^2)\,dx \leqslant \frac{\pi}{4} \leqslant \int_0^1 (1-x^2+x^4)\,dx$$ $\int_0^1 (1-x^2)\,dx = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ $\int_0^1 (1-x^2+x^4)\,dx = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15-5+3}{15} = \frac{13}{15}$ Donc $\frac{2}{3} \leqslant \frac{\pi}{4} \leqslant \frac{13}{15}$, soit : $$\boxed{\frac{8}{3} \leqslant \pi \leqslant \frac{52}{15}}$$ Numériquement : $2{,}667 \leqslant \pi \leqslant 3{,}467$, ce qui encadre bien $\pi \approx 3{,}14159$.