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I Algèbre · Chapitre 02 / 10

Suites numériques

Suites arithmétiques et géométriques, sens de variation.

10 min de lecture
5 sections, 8 exemples
40 exercices · 4 problèmes

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L'essentiel en 30 secondes

Une suite arithmétique avance d'un pas constant r : u(n) = u(0) + n × r. Une suite géométrique est multipliée à chaque étape par une raison constante q : u(n) = u(0) × qⁿ. Le sens de variation s'étudie par le signe de u(n+1) − u(n), et deux formules de sommes sont à connaître : 1 + 2 + ⋯ + n = n(n+1)/2 et 1 + q + q² + ⋯ + qⁿ = (1 − q^(n+1))/(1 − q) pour q ≠ 1.

1 I. Modes de génération d'une suite

Une suite numérique est une liste ordonnée et infinie de nombres réels, indexée par les entiers naturels : un premier terme, un deuxième, un troisième, etc. On la rencontre partout où une grandeur évolue étape par étape : un capital placé année après année, une population comptée de génération en génération, les valeurs successives d'un algorithme.

2 II. Sens de variation

3 III. Suites arithmétiques

1. Définition et terme général

Démonstration (exigible)
En ajoutant rr à chaque étape depuis u0u_0 :

u1=u0+r,u2=u1+r=u0+2r,u3=u0+3r, …u_1 = u_0 + r, \quad u_2 = u_1 + r = u_0 + 2r, \quad u_3 = u_0 + 3r, \ \dots

Après nn ajouts de rr, on obtient un=u0+nru_n = u_0 + nr. (Rigoureusement, cela se démontre par récurrence : la propriété est vraie au rang 00 car u0=u0+0×ru_0 = u_0 + 0 \times r ; si un=u0+nru_n = u_0 + nr, alors un+1=un+r=u0+nr+r=u0+(n+1)ru_{n+1} = u_n + r = u_0 + nr + r = u_0 + (n+1)r.) □\square

2. Sens de variation et somme

Démonstration (exigible)
Notons S=1+2+⋯+nS = 1 + 2 + \dots + n. On écrit cette somme deux fois, dans les deux sens, et on ajoute terme à terme :

S=1+2+⋯+nS=n+(n−1)+⋯+1\begin{array}{ccccccc} S &=& 1 &+& 2 &+ \dots +& n \\ S &=& n &+& (n-1) &+ \dots +& 1 \end{array}

Chacune des nn colonnes a pour somme n+1n + 1, donc 2S=n(n+1)2S = n(n+1), d'où S=n(n+1)2S = \dfrac{n(n+1)}{2}. □\square

4 IV. Suites géométriques

1. Définition et terme général

Démonstration (exigible)
En multipliant par qq à chaque étape depuis u0u_0 :

u1=u0q,u2=u1q=u0q2,u3=u0q3, …u_1 = u_0 q, \quad u_2 = u_1 q = u_0 q^2, \quad u_3 = u_0 q^3, \ \dots

Après nn multiplications par qq, on obtient un=u0qnu_n = u_0 q^n. (Par récurrence : vrai au rang 00 car u0q0=u0u_0 q^0 = u_0 ; si un=u0qnu_n = u_0 q^n, alors un+1=unq=u0qn×q=u0qn+1u_{n+1} = u_n q = u_0 q^n \times q = u_0 q^{n+1}.) □\square

2. Sens de variation et somme

Démonstration (exigible)
Notons S=1+q+q2+⋯+qnS = 1 + q + q^2 + \dots + q^n. Alors :

qS=q+q2+⋯+qn+1qS = q + q^2 + \dots + q^{n+1}

En soustrayant, tous les termes intermédiaires se simplifient :

S−qS=1−qn+1⟹S(1−q)=1−qn+1S - qS = 1 - q^{n+1} \quad\Longrightarrow\quad S(1 - q) = 1 - q^{n+1}

Comme q≠1q \neq 1, on divise par 1−q1 - q : S=1−qn+11−qS = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}. □\square

5 V. Modéliser avec les suites

Le choix du modèle dépend de la nature de l'évolution :
• une évolution par ajout d'une quantité fixe à chaque étape se modélise par une suite arithmétique ;
• une évolution par multiplication par un facteur fixe — en particulier une évolution en pourcentage — se modélise par une suite géométrique.

Questions fréquentes

Comment reconnaître une suite arithmétique ou géométrique ?
Une suite est arithmétique si la DIFFÉRENCE un+1−unu_{n+1} - u_n est constante (la raison rr), et géométrique si le QUOTIENT un+1/unu_{n+1}/u_n est constant (la raison qq). Le test se fait toujours sur deux termes consécutifs quelconques, pas seulement les premiers.
Comment calculer la somme des termes d'une suite géométrique ?
Pour une raison q≠1q \neq 1, la somme des n+1n+1 premiers termes vaut u0×1−qn+11−qu_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}. Une bonne façon de retenir la formule : premier terme multiplié par 1−qnombre de termes1−q\dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}.
Comment démontrer qu'une suite est croissante ?
On étudie le signe de un+1−unu_{n+1} - u_n : la suite est croissante si cette différence est positive pour tout nn. Pour une suite à termes strictement positifs, on peut aussi comparer un+1/unu_{n+1}/u_n à 11.

Modes de génération et variation

Suites arithmétiques

Suites géométriques

Pièges à éviter

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Termes d'une suite explicite. Soit la suite définie par un=n2−3nu_n = n^2 - 3n. Calculer u0u_0, u1u_1, u2u_2, u3u_3 et u4u_4.
Correction détaillée
On remplace $n$ par chaque valeur : $$u_0 = 0, \quad u_1 = 1 - 3 = -2, \quad u_2 = 4 - 6 = -2, \quad u_3 = 9 - 9 = 0, \quad u_4 = 16 - 12 = 4$$
Exercice 2
Facile
Suite récurrente. Soit u0=5u_0 = 5 et, pour tout entier nn, un+1=2un−3u_{n+1} = 2u_n - 3. Calculer u1u_1, u2u_2 et u3u_3.
Correction détaillée
De proche en proche : $$u_1 = 2 \times 5 - 3 = 7, \quad u_2 = 2 \times 7 - 3 = 11, \quad u_3 = 2 \times 11 - 3 = 19$$
Exercice 3
Facile
Reconnaître une suite arithmétique. Soit un=3n+2u_n = 3n + 2. Montrer que (un)(u_n) est arithmétique et préciser son premier terme et sa raison.
Correction détaillée
Pour tout entier $n$ : $u_{n+1} - u_n = \big(3(n+1) + 2\big) - (3n + 2) = 3$. La différence est constante, donc $(u_n)$ est **arithmétique de raison $r = 3$**, de premier terme $u_0 = 2$.
Exercice 4
Facile
Reconnaître une suite géométrique. Soit un=5×2nu_n = 5 \times 2^n. Montrer que (un)(u_n) est géométrique et préciser son premier terme et sa raison.
Correction détaillée
Aucun terme n'est nul et $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{5 \times 2^{n+1}}{5 \times 2^n} = 2$. Le quotient est constant, donc $(u_n)$ est **géométrique de raison $q = 2$**, de premier terme $u_0 = 5$.
Exercice 5
Facile
Terme général (arithmétique). Une suite arithmétique a pour premier terme u0=7u_0 = 7 et pour raison r=−2r = -2. Donner unu_n en fonction de nn, puis calculer u10u_{10}.
Correction détaillée
$u_n = u_0 + nr = 7 - 2n$. Donc $u_{10} = 7 - 20 = -13$.
Exercice 6
Facile
Terme général (arithmétique, bis). Une suite arithmétique a pour premier terme u0=−4u_0 = -4 et pour raison r=3r = 3. Calculer u20u_{20}.
Correction détaillée
$u_n = -4 + 3n$, donc $u_{20} = -4 + 60 = 56$.
Exercice 7
Facile
Terme général (géométrique). Une suite géométrique a pour premier terme u0=2u_0 = 2 et pour raison q=3q = 3. Donner unu_n, puis calculer u4u_4.
Correction détaillée
$u_n = u_0 \times q^n = 2 \times 3^n$. Donc $u_4 = 2 \times 81 = 162$.
Exercice 8
Facile
Terme général (géométrique, bis). Une suite géométrique a pour premier terme u0=48u_0 = 48 et pour raison q=12q = \dfrac{1}{2}. Calculer u3u_3.
Correction détaillée
$u_3 = 48 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{48}{8} = 6$.
Exercice 9
Facile
Retrouver raison et premier terme. Une suite arithmétique vérifie u3=5u_3 = 5 et u7=17u_7 = 17. Déterminer sa raison rr puis son premier terme u0u_0.
Correction détaillée
De $u_7 = u_3 + (7 - 3)r$ on tire $17 = 5 + 4r$, donc $r = 3$. Puis $u_0 = u_3 - 3r = 5 - 9 = -4$.
Exercice 10
Facile
Sens de variation (arithmétique). Préciser, en le justifiant, le sens de variation de la suite arithmétique de raison r=−5r = -5.
Correction détaillée
Comme $u_{n+1} - u_n = r = -5 < 0$, la suite est **décroissante**.
Exercice 11
Facile
Sens de variation (géométrique). Soit une suite géométrique de premier terme u0=3>0u_0 = 3 > 0 et de raison q=1,5q = 1{,}5. Préciser son sens de variation.
Correction détaillée
$u_0 > 0$ et $q = 1{,}5 > 1$ : la suite est **croissante**.
Exercice 12
Facile
Somme des premiers entiers. Calculer 1+2+3+⋯+1001 + 2 + 3 + \dots + 100.
Correction détaillée
$$1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$$
Exercice 13
Facile
Somme de termes arithmétiques. Soit la suite arithmétique un=3+4nu_n = 3 + 4n. Calculer S=u0+u1+⋯+u10S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}.
Correction détaillée
Il y a $11$ termes, de premier terme $u_0 = 3$ et de dernier terme $u_{10} = 3 + 40 = 43$ : $$S = 11 \times \frac{3 + 43}{2} = 11 \times 23 = 253$$
Exercice 14
Facile
Somme de puissances de 2. Calculer 1+2+4+⋯+2101 + 2 + 4 + \dots + 2^{10}.
Correction détaillée
C'est une somme géométrique de raison $2$, à $11$ termes : $$1 + 2 + \dots + 2^{10} = \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2047$$
Exercice 15
Facile
Somme géométrique. Calculer 1+3+32+⋯+351 + 3 + 3^2 + \dots + 3^5.
Correction détaillée
$$1 + 3 + \dots + 3^5 = \frac{1 - 3^6}{1 - 3} = \frac{-728}{-2} = 364$$
Exercice 16
Intermédiaire
D'une récurrence à une forme explicite (arithmétique). Soit u0=2u_0 = 2 et un+1=un+5u_{n+1} = u_n + 5.
1.
Quelle est la nature de (un)(u_n) ?
On ajoute toujours $5$ : $(u_n)$ est **arithmétique** de premier terme $2$ et de raison $r = 5$.
2.
Exprimer unu_n en fonction de nn, puis calculer u100u_{100}.
$u_n = 2 + 5n$, donc $u_{100} = 2 + 500 = 502$.
Exercice 17
Intermédiaire
D'une récurrence à une forme explicite (géométrique). Soit u0=4u_0 = 4 et un+1=3unu_{n+1} = 3u_n. Déterminer la nature de (un)(u_n), exprimer unu_n, puis calculer u5u_5.
Correction détaillée
On multiplie toujours par $3$ : $(u_n)$ est **géométrique** de raison $q = 3$ et de premier terme $4$. Donc $u_n = 4 \times 3^n$ et $u_5 = 4 \times 243 = 972$.
Exercice 18
Intermédiaire
Déterminer une suite arithmétique. Une suite arithmétique vérifie u2=7u_2 = 7 et u5=16u_5 = 16. Déterminer rr, u0u_0 et unu_n.
Correction détaillée
$u_5 = u_2 + 3r$ donne $16 = 7 + 3r$, soit $r = 3$. Puis $u_0 = u_2 - 2r = 7 - 6 = 1$, et $u_n = 1 + 3n$.
Exercice 19
Intermédiaire
Déterminer une suite géométrique. Une suite géométrique à termes strictement positifs vérifie u1=6u_1 = 6 et u3=54u_3 = 54. Déterminer sa raison qq (positive) et son premier terme u0u_0.
Correction détaillée
$u_3 = u_1 \times q^2$ donne $54 = 6q^2$, soit $q^2 = 9$. Les termes étant positifs, $q = 3$. Puis $u_0 = \dfrac{u_1}{q} = \dfrac{6}{3} = 2$.
Exercice 20
Intermédiaire
Somme de termes consécutifs (arithmétique). Soit un=2n+1u_n = 2n + 1. Calculer S=u5+u6+⋯+u20S = u_5 + u_6 + \dots + u_{20}.
Correction détaillée
Il y a $20 - 5 + 1 = 16$ termes, $u_5 = 11$ et $u_{20} = 41$ : $$S = 16 \times \frac{11 + 41}{2} = 16 \times 26 = 416$$
Exercice 21
Intermédiaire
Somme de termes consécutifs (géométrique). Calculer S=3+6+12+⋯+3×29S = 3 + 6 + 12 + \dots + 3 \times 2^9.
Correction détaillée
En factorisant par $3$ : $S = 3\,(1 + 2 + \dots + 2^9) = 3 \times \dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 3\,(2^{10} - 1) = 3 \times 1023 = 3069$.
Exercice 22
Intermédiaire
Sens de variation par la différence. Étudier le sens de variation de la suite définie par un=n2−10nu_n = n^2 - 10n.
Correction détaillée
Pour tout entier $n$ : $u_{n+1} - u_n = \big((n+1)^2 - 10(n+1)\big) - (n^2 - 10n) = 2n + 1 - 10 = 2n - 9$. Cette différence est négative pour $n \leqslant 4$ et positive pour $n \geqslant 5$ : la suite est d'abord **décroissante** (jusqu'au rang $5$), puis **croissante**. Elle n'est pas monotone.
Exercice 23
Intermédiaire
Placement à intérêts composés. On place 10001000 € à un taux annuel de 5%5\%. On note unu_n le capital (en euros) au bout de nn années, avec u0=1000u_0 = 1000.
1.
Justifier que (un)(u_n) est géométrique et donner unu_n.
Chaque année, le capital est multiplié par $1 + \dfrac{5}{100} = 1{,}05$ : $(u_n)$ est géométrique de raison $q = 1{,}05$. Donc $u_n = 1000 \times 1{,}05^{\,n}$.
2.
Calculer le capital au bout de 1010 ans (arrondi au centime).
$u_{10} = 1000 \times 1{,}05^{10} \approx 1628{,}89$ €.
Exercice 24
Intermédiaire
Modèle arithmétique. Un abonnement coûte 5050 € à l'inscription, puis 1212 € par mois. On note unu_n le coût total après nn mois (u0=50u_0 = 50). Exprimer unu_n et calculer le coût total au bout de 22 ans.
Correction détaillée
Chaque mois ajoute $12$ € : $(u_n)$ est arithmétique de raison $12$, donc $u_n = 50 + 12n$. Au bout de $2$ ans, $n = 24$ : $u_{24} = 50 + 288 = 338$ €.
Exercice 25
Intermédiaire
Comparer deux offres. L'offre A coûte un=100+20nu_n = 100 + 20n euros et l'offre B coûte vn=100×1,1 nv_n = 100 \times 1{,}1^{\,n} euros au bout de nn mois. Comparer les coûts pour n=10n = 10 puis n=15n = 15. Qu'observe-t-on ?
Correction détaillée
Pour $n = 10$ : $u_{10} = 300$ et $v_{10} = 100 \times 1{,}1^{10} \approx 259{,}37$. L'offre B est moins chère. Pour $n = 15$ : $u_{15} = 400$ et $v_{15} = 100 \times 1{,}1^{15} \approx 417{,}72$. L'offre B est devenue plus chère. La croissance géométrique de B (facteur $1{,}1$) finit par dépasser la croissance arithmétique de A : le coût de B rattrape puis dépasse celui de A entre le $14^{\text{e}}$ et le $15^{\text{e}}$ mois.
Exercice 26
Intermédiaire
Somme des entiers impairs. On admet que 1+3+5+⋯+(2n−1)=n21 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2. En déduire la valeur de 1+3+5+⋯+151 + 3 + 5 + \dots + 15.
Correction détaillée
La somme $1 + 3 + \dots + 15$ va jusqu'à $2n - 1 = 15$, soit $n = 8$. Donc elle vaut $n^2 = 8^2 = 64$.
Exercice 27
Intermédiaire
Insérer des termes. Entre u0=2u_0 = 2 et u4=14u_4 = 14, on veut insérer trois nombres u1u_1, u2u_2, u3u_3 de sorte que (un)(u_n) soit arithmétique. Déterminer u1u_1, u2u_2 et u3u_3.
Correction détaillée
$u_4 = u_0 + 4r$ donne $14 = 2 + 4r$, soit $r = 3$. D'où $u_1 = 5$, $u_2 = 8$, $u_3 = 11$.
Exercice 28
Intermédiaire
Suite géométrique décroissante. Une population de 10001000 individus diminue de 20%20\% par an. On note unu_n l'effectif au bout de nn années (u0=1000u_0 = 1000).
1.
Exprimer unu_n en fonction de nn.
Diminuer de $20\%$ revient à multiplier par $1 - 0{,}20 = 0{,}8$ : $(u_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$, donc $u_n = 1000 \times 0{,}8^{\,n}$.
2.
Calculer u5u_5 (arrondi à l'unité) et décrire le comportement à long terme.
$u_5 = 1000 \times 0{,}8^5 = 1000 \times 0{,}32768 = 327{,}68 \approx 328$. Comme $0 < q < 1$, les termes se rapprochent de $0$ : la population tend à s'éteindre.
Exercice 29
Difficile
Seuil (arithmétique). Soit la suite arithmétique un=5+7nu_n = 5 + 7n. Déterminer le plus petit entier nn tel que un>1000u_n > 1000.
Correction détaillée
$u_n > 1000 \iff 5 + 7n > 1000 \iff 7n > 995 \iff n > 142{,}14\ldots$ Le plus petit entier convenable est $n = 143$ (on vérifie : $u_{142} = 5 + 994 = 999 \leqslant 1000$ et $u_{143} = 5 + 1001 = 1006 > 1000$).
Exercice 30
Difficile
Seuil (géométrique). Soit la suite géométrique un=3×2nu_n = 3 \times 2^n. Déterminer le plus petit entier nn tel que un>10 000u_n > 10\,000 (on procédera par calculs successifs, sans logarithme).
Correction détaillée
On calcule : $u_{11} = 3 \times 2^{11} = 3 \times 2048 = 6144 \leqslant 10\,000$ et $u_{12} = 3 \times 2^{12} = 3 \times 4096 = 12\,288 > 10\,000$. Le plus petit entier convenable est $n = 12$.
Exercice 31
Difficile
Résoudre une équation de somme. Déterminer l'entier n⩾1n \geqslant 1 tel que 1+2+3+⋯+n=2101 + 2 + 3 + \dots + n = 210.
Correction détaillée
On résout $\dfrac{n(n+1)}{2} = 210$, soit $n^2 + n - 420 = 0$. $\Delta = 1 + 1680 = 1681 = 41^2$ : $$n = \frac{-1 + 41}{2} = 20 \quad (\text{l'autre racine } -21 \text{ est négative})$$ Donc $n = 20$ (on vérifie : $\dfrac{20 \times 21}{2} = 210$).
Exercice 32
Difficile
Croissance arithmétique contre géométrique. On considère un=2+3nu_n = 2 + 3n (arithmétique) et vn=2nv_n = 2^n (géométrique). Déterminer le plus petit entier nn pour lequel vn>unv_n > u_n.
Correction détaillée
On compare les termes : | $n$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $u_n = 2 + 3n$ | $2$ | $5$ | $8$ | $11$ | $14$ | | $v_n = 2^n$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ | $16$ | Jusqu'à $n = 3$, $v_n \leqslant u_n$ ; au rang $n = 4$, $v_4 = 16 > 14 = u_4$. Le plus petit entier cherché est $n = 4$.
Exercice 33
Difficile
Décroissance en pourcentage et seuil. Une ville de 50 00050\,000 habitants perd 8%8\% de sa population chaque année. On note unu_n la population au bout de nn années (u0=50 000u_0 = 50\,000). Déterminer la première année où la population passe sous 30 00030\,000 habitants (par calculs successifs, sans logarithme).
Correction détaillée
Chaque année, on multiplie par $0{,}92$ : $u_n = 50\,000 \times 0{,}92^{\,n}$. On calcule : $$u_6 = 50\,000 \times 0{,}92^6 \approx 30\,318 \quad (> 30\,000), \qquad u_7 = 50\,000 \times 0{,}92^7 \approx 27\,892 \quad (< 30\,000)$$ C'est donc au bout de $7$ années que la population passe sous $30\,000$ habitants.
Exercice 34
Difficile
La légende de l'échiquier. On pose 11 grain sur la première case d'un échiquier, 22 sur la deuxième, 44 sur la troisième, et ainsi de suite en doublant à chaque case. Combien de grains faut-il pour les 2020 premières cases ?
Correction détaillée
Le nombre de grains sur la case de rang $k$ (de $1$ à $20$) est $2^{k-1}$. Le total est : $$1 + 2 + 4 + \dots + 2^{19} = \frac{1 - 2^{20}}{1 - 2} = 2^{20} - 1 = 1\,048\,575 \text{ grains}$$
Exercice 35
Difficile
Somme entre deux rangs. Soit la suite arithmétique un=4n−3u_n = 4n - 3. Calculer S=u10+u11+⋯+u50S = u_{10} + u_{11} + \dots + u_{50}.
Correction détaillée
Il y a $50 - 10 + 1 = 41$ termes, $u_{10} = 37$ et $u_{50} = 197$ : $$S = 41 \times \frac{37 + 197}{2} = 41 \times 117 = 4797$$
Exercice 36
Avancé
Suite arithmétique déterminée par deux conditions. Une suite arithmétique de raison rr et de premier terme u0u_0 vérifie u4−u0=12u_4 - u_0 = 12 et u0+u1+u2+u3+u4=40u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 = 40. Déterminer rr, u0u_0 et unu_n.
Correction détaillée
De $u_4 - u_0 = 4r = 12$, on tire $r = 3$. La somme des cinq premiers termes vaut $u_0 + u_1 + \dots + u_4 = 5u_0 + r(0 + 1 + 2 + 3 + 4) = 5u_0 + 10r$. Avec $r = 3$ : $5u_0 + 30 = 40$, donc $u_0 = 2$. Ainsi $u_n = 2 + 3n$.
Exercice 37
Avancé
Suite géométrique et discussion. Une suite géométrique à termes strictement positifs vérifie u1×u3=36u_1 \times u_3 = 36 et u1+u3=15u_1 + u_3 = 15. Déterminer les valeurs possibles de la raison qq et du premier terme.
Correction détaillée
Comme $u_1 u_3 = u_2^2 = 36$ et les termes sont positifs, $u_2 = 6$. En posant $u_1 = \dfrac{u_2}{q} = \dfrac{6}{q}$ et $u_3 = u_2 q = 6q$, la condition $u_1 + u_3 = 15$ s'écrit : $$\frac{6}{q} + 6q = 15 \iff 6 + 6q^2 = 15q \iff 6q^2 - 15q + 6 = 0 \iff 2q^2 - 5q + 2 = 0$$ $\Delta = 25 - 16 = 9$ : $q = \dfrac{5 - 3}{4} = \dfrac{1}{2}$ ou $q = \dfrac{5 + 3}{4} = 2$. - Si $q = 2$ : $u_1 = 3$, $u_2 = 6$, $u_3 = 12$ (et $u_0 = \tfrac{3}{2}$). - Si $q = \dfrac{1}{2}$ : $u_1 = 12$, $u_2 = 6$, $u_3 = 3$ (et $u_0 = 24$). Les deux solutions conviennent (elles correspondent à la même suite parcourue en sens inverse).
Exercice 38
Avancé
Somme qui s'approche d'une limite (approche qualitative). On considère Sn=1+12+14+⋯+12nS_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dots + \dfrac{1}{2^n}.
1.
Montrer que Sn=2−12nS_n = 2 - \dfrac{1}{2^n}.
C'est une somme géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$, à $n + 1$ termes : $$S_n = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{2}} = 2\left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right) = 2 - \frac{1}{2^n}$$
2.
Déterminer le plus petit entier nn tel que Sn>1,99S_n > 1{,}99, et décrire le comportement de SnS_n.
$S_n > 1{,}99 \iff 2 - \dfrac{1}{2^n} > 1{,}99 \iff \dfrac{1}{2^n} < 0{,}01 \iff 2^n > 100$. Or $2^6 = 64 \leqslant 100$ et $2^7 = 128 > 100$ : le plus petit entier est $n = 7$ (on a $S_7 = 2 - \tfrac{1}{128} \approx 1{,}992$). Comme $\dfrac{1}{2^n}$ se rapproche de $0$, $S_n$ se rapproche de $2$ sans jamais l'atteindre.
Exercice 39
Avancé
Somme télescopique. Soit u0=1u_0 = 1 et, pour tout entier nn, un+1=un+2n+1u_{n+1} = u_n + 2n + 1.
1.
Calculer u1u_1, u2u_2, u3u_3 et conjecturer une expression de unu_n.
$u_1 = 1 + 1 = 2$, $u_2 = 2 + 3 = 5$, $u_3 = 5 + 5 = 10$. On conjecture $u_n = n^2 + 1$.
2.
Démontrer que un=n2+1u_n = n^2 + 1 en sommant les égalités uk+1−uk=2k+1u_{k+1} - u_k = 2k + 1.
Pour $k$ de $0$ à $n - 1$, on a $u_{k+1} - u_k = 2k + 1$. En additionnant ces $n$ égalités, le membre de gauche se télescope : $$u_n - u_0 = \sum_{k=0}^{n-1}(2k + 1) = 1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$$ Donc $u_n = u_0 + n^2 = n^2 + 1$. En particulier $u_{10} = 101$.
Exercice 40
Avancé
Suite auxiliaire géométrique. Soit u0=10u_0 = 10 et, pour tout entier nn, un+1=12un+3u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3. On pose vn=un−6v_n = u_n - 6.
1.
Montrer que (vn)(v_n) est géométrique ; préciser sa raison et v0v_0.
$v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = \dfrac{1}{2}u_n + 3 - 6 = \dfrac{1}{2}u_n - 3 = \dfrac{1}{2}(u_n - 6) = \dfrac{1}{2}v_n$. $(v_n)$ est donc **géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$**, de premier terme $v_0 = u_0 - 6 = 4$.
2.
En déduire unu_n en fonction de nn, puis le comportement de (un)(u_n).
$v_n = 4 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$, donc $u_n = v_n + 6 = 6 + \dfrac{4}{2^n}$. Comme $\dfrac{4}{2^n}$ se rapproche de $0$, les termes $u_n$ se rapprochent de $6$ (en décroissant, puisque $u_1 = 8$, $u_2 = 7$, $\ldots$).
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Évolution d'un salaire
Facile
À son embauche, un salarié gagne 18001800 € par mois. Son salaire augmente de 4040 € chaque mois. On note unu_n le salaire (en euros) au bout de nn mois, avec u0=1800u_0 = 1800.

Partie A — Terme général

1.
Justifier que (un)(u_n) est arithmétique et donner unu_n en fonction de nn.
Chaque mois ajoute $40$ € : $(u_n)$ est arithmétique de raison $r = 40$. Donc $u_n = 1800 + 40n$.
2.
Calculer le salaire au bout de 11 an, puis de 22 ans.
Au bout de $1$ an ($n = 12$) : $u_{12} = 1800 + 480 = 2280$ €. Au bout de $2$ ans ($n = 24$) : $u_{24} = 1800 + 960 = 2760$ €.

Partie B — Somme perçue

3.
Calculer la somme totale SS perçue pendant les 22 premières années (soit les mois de rang 00 à 2323).
Il y a $24$ termes, de premier terme $u_0 = 1800$ et de dernier terme $u_{23} = 1800 + 920 = 2720$ : $$S = 24 \times \frac{1800 + 2720}{2} = 12 \times 4520 = 54\,240$$ Le salarié perçoit donc $54\,240$ € sur les deux premières années.
Problème 2 — Culture de bactéries
Intermédiaire
Une culture contient initialement 200200 bactéries. Leur nombre double toutes les heures. On note unu_n le nombre de bactéries au bout de nn heures, avec u0=200u_0 = 200.

Partie A — Modèle

1.
Justifier que (un)(u_n) est géométrique et donner unu_n.
Le nombre double chaque heure : $(u_n)$ est géométrique de raison $q = 2$. Donc $u_n = 200 \times 2^n$.
2.
Calculer le nombre de bactéries au bout de 55 heures.
$u_5 = 200 \times 2^5 = 200 \times 32 = 6400$.

Partie B — Seuil

3.
Déterminer le nombre d'heures au bout duquel la culture dépasse 100 000100\,000 bactéries (par calculs successifs).
On cherche le plus petit $n$ tel que $200 \times 2^n > 100\,000$, soit $2^n > 500$. Or $2^8 = 256 \leqslant 500$ et $2^9 = 512 > 500$ : donc $n = 9$. On vérifie $u_9 = 200 \times 512 = 102\,400 > 100\,000$. Il faut $9$ heures.
Problème 3 — Deux formules d'abonnement
Difficile
Une salle de sport propose deux formules pour un abonnement de nn mois. Formule A : un coût an=150+30na_n = 150 + 30n euros. Formule B : b0=150b_0 = 150 € le premier mois, puis une hausse de 8%8\% du coût cumulé chaque mois, soit bn+1=1,08 bnb_{n+1} = 1{,}08\, b_n.

Partie A — Les deux modèles

1.
Préciser la nature de chaque suite et donner ana_n et bnb_n en fonction de nn.
$(a_n)$ est arithmétique de raison $30$ : $a_n = 150 + 30n$. $(b_n)$ est géométrique de raison $1{,}08$ : $b_n = 150 \times 1{,}08^{\,n}$.
2.
Comparer les deux formules pour n=12n = 12 (arrondir au centime).
$a_{12} = 150 + 360 = 510$ € et $b_{12} = 150 \times 1{,}08^{12} \approx 377{,}73$ €. Pour $12$ mois, la formule B est nettement moins chère.

Partie B — Croisement

3.
En calculant ana_n et bnb_n pour quelques valeurs, déterminer à partir de quel mois la formule B devient plus chère que la formule A.
On compare : | $n$ | $20$ | $21$ | $22$ | | --- | --- | --- | --- | | $a_n$ | $750$ | $780$ | $810$ | | $b_n \approx$ | $699{,}1$ | $755{,}1$ | $815{,}5$ | Au rang $n = 21$, B ($\approx 755{,}1$) est encore moins chère que A ($780$) ; au rang $n = 22$, B ($\approx 815{,}5$) dépasse A ($810$). La formule B devient donc plus chère à partir du $22^{\text{e}}$ mois.
Problème 4 — Un nénuphar et un modèle amorti
Avancé
Un bassin contient des algues dont la surface évolue selon u0=10u_0 = 10 (en m²) et un+1=0,5 un+3u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3, où unu_n est la surface couverte au bout de nn semaines. On étudie cette suite à l'aide de la suite auxiliaire vn=un−6v_n = u_n - 6.

Partie A — Premiers termes

1.
Calculer u1u_1 et u2u_2.
$u_1 = 0{,}5 \times 10 + 3 = 8$ et $u_2 = 0{,}5 \times 8 + 3 = 7$.

Partie B — Suite auxiliaire

2.
Montrer que (vn)(v_n) est géométrique de raison 0,50{,}5 et donner v0v_0.
$v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = 0{,}5\,u_n + 3 - 6 = 0{,}5\,u_n - 3 = 0{,}5(u_n - 6) = 0{,}5\,v_n$. Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}5$, avec $v_0 = u_0 - 6 = 4$.
3.
En déduire unu_n en fonction de nn.
$v_n = 4 \times 0{,}5^{\,n}$, donc $u_n = 6 + 4 \times 0{,}5^{\,n} = 6 + \dfrac{4}{2^n}$.
4.
Décrire l'évolution de la surface d'algues à long terme.
Comme $0 < 0{,}5 < 1$, le terme $\dfrac{4}{2^n}$ se rapproche de $0$ : la surface $u_n$ décroît et se rapproche de $6$ m². Le bassin se stabilise autour de $6$ m² d'algues.