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I Algèbre · Chapitre 01 / 10

Le second degré

Forme canonique, discriminant, signe du trinôme.

22 min de lecture
9 sections, 13 exemples
40 exercices · 4 problèmes

Conforme au programme officiel 2025-2026 · mis à jour le · notre méthode de vérification

L'essentiel en 30 secondes

Un trinôme du second degré f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) se représente par une parabole. Son discriminant Δ = b² − 4ac décide du nombre de racines : deux si Δ > 0, une si Δ = 0, aucune si Δ < 0. Le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire entre elles ; le sommet de la parabole a pour abscisse −b/(2a).

1 I. Introduction et motivation

Les équations du second degré comptent parmi les plus anciens problèmes des mathématiques : les Babyloniens, il y a près de 4 000 ans, savaient déjà en résoudre certaines pour des questions d'arpentage. Au IXᵉ siècle, le mathématicien perse al-Khwārizmī en donne une classification systématique et des méthodes de résolution géométriques : son traité est à l'origine du mot algèbre. La formule générale que nous allons établir, avec le discriminant, est l'aboutissement de cette longue histoire.

Voici un problème typique. Un jardinier dispose de 20 mètres de grillage pour clôturer un potager rectangulaire et souhaite que l'aire du potager soit égale à 21 m221 \text{ m}^2. Quelles dimensions choisir ? En notant xx une largeur (en mètres), la longueur vaut 10−x10 - x et la condition s'écrit :

x(10−x)=21,c’est-aˋ-direx2−10x+21=0x(10 - x) = 21, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad x^2 - 10x + 21 = 0

Cette équation n'est ni du premier degré, ni immédiatement factorisable avec les outils de Seconde. Ce chapitre construit une théorie complète permettant de résoudre toutes les équations de ce type, d'étudier les fonctions associées et de déterminer leur signe. (Nous verrons que les solutions du problème sont x=3x = 3 et x=7x = 7, qui donnent le même rectangle 3×73 \times 7.)

Fil directeur du chapitre : tout repose sur une transformation d'écriture, la forme canonique, dont découlent successivement les variations de la fonction, la résolution de l'équation, la factorisation et le signe du trinôme.

2 II. Prérequis

Les notions suivantes, au programme de Seconde, sont supposées connues :
• Les trois identités remarquables : (u+v)2=u2+2uv+v2(u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2, (u−v)2=u2−2uv+v2(u-v)^2 = u^2 - 2uv + v^2, (u+v)(u−v)=u2−v2(u+v)(u-v) = u^2 - v^2.
• La règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
• Un carré de nombre réel est toujours positif ou nul ; pour k⩾0k \geqslant 0, l'équation u2=ku^2 = k a pour solutions u=ku = \sqrt{k} et u=−ku = -\sqrt{k}.
• La fonction carré x⟼x2x \longmapsto x^2 : décroissante sur ]−∞ ;0]]-\infty\,;0], croissante sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[, courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• Les tableaux de signes d'un produit et d'une expression affine x⟼mx+px \longmapsto mx + p.

3 III. Fonction polynôme du second degré

1. Définition et premières observations

2. Les trois formes d'un trinôme

Un même trinôme peut s'écrire de plusieurs façons, chacune adaptée à un usage précis. C'est l'idée centrale du chapitre.

4 IV. Forme canonique

1. Existence de la forme canonique

Démonstration (exigible)
Soit x∈Rx \in \mathbb{R}. Comme a≠0a \neq 0, on peut factoriser par aa les deux premiers termes :

f(x)=a(x2+bax)+cf(x) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c

On reconnaît en x2+baxx^2 + \dfrac{b}{a}x le début du développement du carré (x+b2a)2=x2+bax+b24a2\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4a^2}. On écrit donc :

x2+bax=(x+b2a)2−b24a2x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}

d'où, en reportant :

f(x)=a(x+b2a)2−a⋅b24a2+c=a(x+b2a)2−b2−4ac4af(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}

En posant α=−b2a\alpha = -\dfrac{b}{2a} et β=−b2−4ac4a\beta = -\dfrac{b^2 - 4ac}{4a}, on obtient bien f(x)=a(x−α)2+βf(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta.

Enfin, en évaluant en x=αx = \alpha : f(α)=a(α−α)2+β=βf(\alpha) = a(\alpha - \alpha)^2 + \beta = \beta, ce qui prouve β=f(α)\beta = f(\alpha). □\square

5 V. Variations et représentation graphique

1. Sens de variation

La forme canonique donne immédiatement les variations : f(x)=a(x−α)2+βf(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta s'obtient à partir du carré (x−α)2(x-\alpha)^2, qui est minimal (nul) en x=αx = \alpha.

x<αx < \alphax=αx = \alphax>αx > \alpha
Cas a>0a > 0↘ décroissanteminimum β\beta↗ croissante
Cas a<0a < 0↗ croissantemaximum β\beta↘ décroissante
Démonstration (cas a > 0, croissance sur [α ; +∞[)
Soient x1x_1 et x2x_2 deux réels tels que α⩽x1<x2\alpha \leqslant x_1 < x_2. Alors :

f(x2)−f(x1)=a(x2−α)2−a(x1−α)2=a[(x2−α)2−(x1−α)2]f(x_2) - f(x_1) = a(x_2-\alpha)^2 - a(x_1-\alpha)^2 = a\bigl[(x_2-\alpha)^2 - (x_1-\alpha)^2\bigr]

Avec l'identité u2−v2=(u−v)(u+v)u^2 - v^2 = (u-v)(u+v) appliquée à u=x2−αu = x_2 - \alpha et v=x1−αv = x_1 - \alpha :

f(x2)−f(x1)=a (x2−x1) (x2+x1−2α)f(x_2) - f(x_1) = a\,(x_2 - x_1)\,(x_2 + x_1 - 2\alpha)

Or x2−x1>0x_2 - x_1 > 0, et x1⩾αx_1 \geqslant \alpha, x2>αx_2 > \alpha donnent x1+x2−2α>0x_1 + x_2 - 2\alpha > 0. Comme a>0a > 0, le produit est strictement positif : f(x2)>f(x1)f(x_2) > f(x_1). La fonction ff est donc strictement croissante sur [α ;+∞[[\alpha\,;+\infty[. Les trois autres cas se traitent de la même façon.

Enfin, pour tout xx, (x−α)2⩾0(x-\alpha)^2 \geqslant 0 donc, si a>0a > 0, f(x)=a(x−α)2+β⩾βf(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta \geqslant \beta, avec égalité si et seulement si x=αx = \alpha : le minimum vaut β\beta et il est atteint uniquement en α\alpha. □\square

2. La parabole

Les deux orientations de la parabole
a > 0 — tournée vers le haut
S(α ; β)x = α
Décroissante puis croissante : minimum β atteint en x = α
a < 0 — tournée vers le bas
S(α ; β)x = α
Croissante puis décroissante : maximum β atteint en x = α
Démonstration
f(α+h)=a(α+h−α)2+β=ah2+βf(\alpha + h) = a(\alpha + h - \alpha)^2 + \beta = ah^2 + \beta et f(α−h)=a(−h)2+β=ah2+βf(\alpha - h) = a(-h)^2 + \beta = ah^2 + \beta. Les deux valeurs sont égales. □\square

6 VI. Équation du second degré

1. Discriminant et racines

Démonstration (exigible)
D'après le théorème de la forme canonique et sa démonstration, pour tout réel xx :

ax2+bx+c=a(x+b2a)2−b2−4ac4a=a[(x+b2a)2−Δ4a2]ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]

la dernière égalité s'obtenant en factorisant par a≠0a \neq 0. Comme a≠0a \neq 0, l'équation f(x)=0f(x) = 0 équivaut à :

(x+b2a)2=Δ4a2(∗)\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2} \qquad (\ast)

Le membre de gauche est un carré, donc positif ou nul ; le dénominateur 4a24a^2 est strictement positif, donc le membre de droite est du signe de Δ\Delta. Trois cas :

Cas Δ<0\Delta < 0. Le membre de droite de (∗)(\ast) est strictement négatif alors que le membre de gauche est positif ou nul : aucune solution.

Cas Δ=0\Delta = 0. L'équation (∗)(\ast) devient (x+b2a)2=0\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = 0, c'est-à-dire x+b2a=0x + \dfrac{b}{2a} = 0, d'unique solution x0=−b2ax_0 = -\dfrac{b}{2a}.

Cas Δ>0\Delta > 0. On a Δ4a2=(Δ2a)2\dfrac{\Delta}{4a^2} = \left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2, donc (∗)(\ast) équivaut à :

x+b2a=Δ2aoux+b2a=−Δ2ax + \frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{ou} \qquad x + \frac{b}{2a} = -\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}

c'est-à-dire x=−b+Δ2ax = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} ou x=−b−Δ2ax = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}. Ces deux réels sont distincts car Δ≠0\sqrt{\Delta} \neq 0. □\square
x₁x₂Δ > 0 : deux racines
x₀Δ = 0 : racine double
Δ < 0 : aucune racine

2. Mise en pratique

7 VII. Factorisation du trinôme

1. Théorème de factorisation

Démonstration (idée, cas Δ > 0)
En reprenant l'égalité de la démonstration du théorème de résolution puis l'identité u2−v2=(u−v)(u+v)u^2 - v^2 = (u-v)(u+v) :

f(x)=a[(x+b2a)2−(Δ2a)2]=a(x+b2a−Δ2a)(x+b2a+Δ2a)=a(x−x2)(x−x1)f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right] = a\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) = a(x - x_2)(x - x_1)

Le cas Δ=0\Delta = 0 s'obtient de même avec Δ=0\sqrt{\Delta} = 0. Dans le cas Δ<0\Delta < 0, une factorisation a(x−x1)(x−x2)a(x - x_1)(x - x_2) fournirait la racine réelle x1x_1, ce qui contredirait le théorème de résolution. □\square

2. Déterminer un trinôme à partir de ses racines

Le programme demande explicitement de savoir déterminer les fonctions polynômes du second degré s'annulant en deux nombres réels distincts.

8 VIII. Signe du trinôme

C'est le résultat le plus utilisé du chapitre : il permet de résoudre toutes les inéquations du second degré.

xxx<x1x < x_1x1x_1x1<x<x2x_1 < x < x_2x2x_2x>x2x > x_2
x−x1x - x_1−-00++++
x−x2x - x_2−-−-00++
a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2)signe de aa00signe de −a-a00signe de aa
Démonstration (exigible)
Cas Δ<0\Delta < 0. D'après la démonstration du théorème de résolution, f(x)=a[(x+b2a)2−Δ4a2]f(x) = a\left[\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\right]. Comme Δ<0\Delta < 0, le crochet est la somme d'un carré (positif ou nul) et du réel strictement positif −Δ4a2-\dfrac{\Delta}{4a^2} : il est strictement positif. Donc f(x)f(x) est du signe de aa, pour tout xx.

Cas Δ=0\Delta = 0. Ici f(x)=a(x+b2a)2=a(x−x0)2f(x) = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = a(x - x_0)^2. Le carré est strictement positif pour x≠x0x \neq x_0 et nul en x0x_0 : d'où le résultat.

Cas Δ>0\Delta > 0. D'après le théorème de factorisation, f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) avec x1<x2x_1 < x_2. On dresse le tableau de signes du produit (ci-dessus) : les facteurs x−x1x - x_1 et x−x2x - x_2 sont de même signe à l'extérieur des racines (produit positif) et de signes contraires entre elles (produit négatif). En multipliant par aa, on obtient l'énoncé. □\square

9 IX. Complément (hors programme)

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation du second degré ?
On calcule le discriminant Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. S'il est strictement positif, il y a deux racines x=−b±Δ2ax = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} ; s'il est nul, une racine double x=−b2ax = \dfrac{-b}{2a} ; s'il est négatif, aucune solution réelle.
Comment étudier le signe d'un trinôme du second degré ?
Le trinôme est du signe de aa à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre les racines. S'il n'y a pas de racine (Δ<0\Delta < 0), il garde le signe de aa sur tout R\mathbb{R}.
Comment trouver le sommet d'une parabole ?
Le sommet a pour abscisse x=−b2ax = \dfrac{-b}{2a}, et son ordonnée s'obtient en calculant l'image de cette valeur. La parabole atteint son minimum en ce point si a>0a > 0, son maximum si a<0a < 0.

Les trois formes du trinôme (a≠0a \neq 0)

FormeÉcritureCe qu'on y lit
Développéeax2+bx+cax^2 + bx + cc=f(0)c = f(0), les coefficients
Canoniquea(x−α)2+βa(x - \alpha)^2 + \betasommet S(α ;β)S(\alpha\,;\beta), extremum, variations
Factorisée (si Δ⩾0\Delta \geqslant 0)a(x−x1)(x−x2)a(x - x_1)(x - x_2)les racines, le signe

Discriminant et racines

Signe et variations

xxx<x1x < x_1x1x_1x1<x<x2x_1 < x < x_2x2x_2x>x2x > x_2
ax2+bx+cax^2 + bx + c (Δ>0\Delta > 0)signe de aa00signe de −a-a00signe de aa

Pièges à éviter

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Reconnaître un trinôme. Parmi les fonctions suivantes, indiquer lesquelles sont des fonctions polynômes du second degré. Le cas échéant, préciser les coefficients aa, bb et cc.
1.
f1(x)=5x2−3x+7f_1(x) = 5x^2 - 3x + 7
$f_1$ est **bien** une fonction polynôme du second degré, déjà sous forme développée, avec : $$a = 5, \qquad b = -3, \qquad c = 7$$
2.
f2(x)=(3x−2)(x+5)f_2(x) = (3x - 2)(x + 5)
On développe : $$f_2(x) = 3x^2 + 15x - 2x - 10 = 3x^2 + 13x - 10$$ Le coefficient de $x^2$ est non nul : $f_2$ est **bien** du second degré, avec $a = 3$, $b = 13$, $c = -10$.
3.
f3(x)=(x−4)2−x2f_3(x) = (x - 4)^2 - x^2
On développe avec l'identité remarquable : $$f_3(x) = x^2 - 8x + 16 - x^2 = -8x + 16$$ Le terme en $x^2$ disparaît ($a = 0$) : $f_3$ **n'est pas** du second degré, c'est une fonction **affine**. C'est le piège classique : toujours développer et réduire avant de conclure.
4.
f4(x)=2x2+1f_4(x) = \dfrac{2}{x^2} + 1
$f_4$ **n'est pas** une fonction polynôme : la variable apparaît au dénominateur ($\frac{2}{x^2}$ n'est pas de la forme $ax^2$). De plus, $f_4$ n'est pas définie en $0$.
Exercice 2
Facile
Calculs d'images. Soit f(x)=2x2−5x+1f(x) = 2x^2 - 5x + 1. Calculer f(0)f(0), f(2)f(2), f(−1)f(-1) et f(12)f\left(\dfrac{1}{2}\right). Que constate-t-on pour f(2)f(2) et f(12)f\left(\dfrac{1}{2}\right) ? Expliquer ce constat à l'aide de l'axe de symétrie de la parabole.
Correction détaillée
**Calculs :** $f(0) = 2 \times 0 - 5 \times 0 + 1 = 1$ $f(2) = 2 \times 4 - 5 \times 2 + 1 = 8 - 10 + 1 = -1$ $f(-1) = 2 \times 1 - 5 \times (-1) + 1 = 2 + 5 + 1 = 8$ $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2 \times \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{2} + 1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{2} + 1 = -1$ **Constat :** $f(2) = f\left(\dfrac{1}{2}\right) = -1$. **Explication :** l'axe de symétrie de la parabole a pour équation $x = \alpha$ avec : $$\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \times 2} = \frac{5}{4}$$ Or $2$ et $\dfrac{1}{2}$ sont symétriques par rapport à $\dfrac{5}{4}$ : en effet $\dfrac{2 + \frac{1}{2}}{2} = \dfrac{5}{4}$. Deux réels symétriques par rapport à $\alpha$ ont la même image ($f(\alpha + h) = f(\alpha - h)$), d'où l'égalité constatée.
Exercice 3
Facile
Racine d'un trinôme. Soit f(x)=3x2−7x+2f(x) = 3x^2 - 7x + 2.
1.
Montrer que 22 est une racine de ff.
On calcule $f(2)$ : $$f(2) = 3 \times 4 - 7 \times 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0$$ Comme $f(2) = 0$, le réel $2$ est bien une **racine** de $f$.
2.
Le réel 11 est-il une racine de ff ? Justifier.
On calcule $f(1)$ : $$f(1) = 3 - 7 + 2 = -2 \neq 0$$ Donc $1$ **n'est pas** une racine de $f$.
3.
Calculer le discriminant de ff et déterminer toutes ses racines.
Ici $a = 3$, $b = -7$, $c = 2$ : $$\Delta = b^2 - 4ac = 49 - 24 = 25 > 0, \qquad \sqrt{\Delta} = 5$$ Deux racines distinctes : $$x_1 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{1}{3}, \qquad x_2 = \frac{7 + 5}{6} = 2$$ Les racines de $f$ sont $\dfrac{1}{3}$ et $2$ (on retrouve bien la racine $2$ de la question 1).
Exercice 4
Facile
Forme canonique (1). Mettre sous forme canonique f(x)=x2−6x+11f(x) = x^2 - 6x + 11, puis vérifier en développant.
Correction détaillée
Ici $a = 1$, $b = -6$, $c = 11$. $$\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2} = 3, \qquad \beta = f(3) = 9 - 18 + 11 = 2$$ Donc : $$\boxed{f(x) = (x - 3)^2 + 2}$$ *Vérification :* $(x-3)^2 + 2 = x^2 - 6x + 9 + 2 = x^2 - 6x + 11$. ✓
Exercice 5
Facile
Forme canonique (2). Mettre sous forme canonique g(x)=2x2+4x−1g(x) = 2x^2 + 4x - 1, puis vérifier en développant.
Correction détaillée
Ici $a = 2$, $b = 4$, $c = -1$. $$\alpha = -\frac{4}{2 \times 2} = -1, \qquad \beta = g(-1) = 2 - 4 - 1 = -3$$ Donc : $$\boxed{g(x) = 2(x + 1)^2 - 3}$$ *Vérification :* $2(x+1)^2 - 3 = 2(x^2 + 2x + 1) - 3 = 2x^2 + 4x + 2 - 3 = 2x^2 + 4x - 1$. ✓
Exercice 6
Facile
Forme canonique (3). Mettre sous forme canonique h(x)=−x2+4x+5h(x) = -x^2 + 4x + 5, puis vérifier en développant.
Correction détaillée
Ici $a = -1$, $b = 4$, $c = 5$. $$\alpha = -\frac{4}{2 \times (-1)} = 2, \qquad \beta = h(2) = -4 + 8 + 5 = 9$$ Donc : $$\boxed{h(x) = -(x - 2)^2 + 9}$$ *Vérification :* $-(x-2)^2 + 9 = -(x^2 - 4x + 4) + 9 = -x^2 + 4x - 4 + 9 = -x^2 + 4x + 5$. ✓
Exercice 7
Facile
Tableau de variations. Soit f(x)=x2+2x−3f(x) = x^2 + 2x - 3. Dresser le tableau de variations de ff sur R\mathbb{R}, en précisant l'extremum et la valeur en laquelle il est atteint.
Correction détaillée
Ici $a = 1 > 0$ : la parabole est tournée vers le haut, $f$ est décroissante puis croissante et admet un **minimum**. $$\alpha = -\frac{2}{2 \times 1} = -1, \qquad \beta = f(-1) = 1 - 2 - 3 = -4$$ | $x$ | $]-\infty\,;-1]$ | $[-1\,;+\infty[$ | | --- | --- | --- | | $f(x)$ | ↘ décroissante | ↗ croissante | $f$ admet un **minimum égal à $-4$, atteint en $x = -1$**.
Exercice 8
Facile
Extremum. La fonction ff définie par f(x)=−2x2+8x−3f(x) = -2x^2 + 8x - 3 admet-elle un minimum ou un maximum sur R\mathbb{R} ? Déterminer sa valeur et le réel en lequel il est atteint.
Correction détaillée
Ici $a = -2 < 0$ : la parabole est tournée vers le bas, donc $f$ admet un **maximum** sur $\mathbb{R}$. $$\alpha = -\frac{8}{2 \times (-2)} = 2, \qquad \beta = f(2) = -8 + 16 - 3 = 5$$ $f$ admet un **maximum égal à $5$, atteint en $x = 2$**. (Attention à ne pas inverser : le maximum est la *valeur* $5$, le réel $2$ est l'*abscisse* où il est atteint.)
Exercice 9
Facile
Équation, Δ>0\Delta > 0. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0.
Correction détaillée
Ici $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$ : $$\Delta = 25 - 24 = 1 > 0, \qquad \sqrt{\Delta} = 1$$ Deux solutions distinctes : $$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2, \qquad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$ $$\boxed{\mathcal{S} = \{2\,;3\}}$$ *Vérification :* $4 - 10 + 6 = 0$ ✓ et $9 - 15 + 6 = 0$ ✓
Exercice 10
Facile
Équation, Δ=0\Delta = 0. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 4x2−12x+9=04x^2 - 12x + 9 = 0.
Correction détaillée
Ici $a = 4$, $b = -12$, $c = 9$ : $$\Delta = 144 - 144 = 0$$ Unique solution (racine double) : $$x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$$ $$\boxed{\mathcal{S} = \left\{\frac{3}{2}\right\}}$$ *Remarque :* on pouvait aussi reconnaître l'identité remarquable $4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$, qui s'annule uniquement pour $x = \frac{3}{2}$.
Exercice 11
Facile
Équation, Δ<0\Delta < 0. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 2x2+3x+5=02x^2 + 3x + 5 = 0.
Correction détaillée
Ici $a = 2$, $b = 3$, $c = 5$ : $$\Delta = 9 - 40 = -31 < 0$$ L'équation n'admet **aucune solution réelle** : $$\boxed{\mathcal{S} = \varnothing}$$
Exercice 12
Facile
Sans discriminant ! Résoudre les équations suivantes sans calculer de discriminant.
1.
x2−49=0x^2 - 49 = 0
Identité remarquable $u^2 - v^2 = (u-v)(u+v)$ : $$x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7) = 0$$ Produit nul : $x = 7$ ou $x = -7$. $$\boxed{\mathcal{S} = \{-7\,;7\}}$$
2.
3x2+12x=03x^2 + 12x = 0
On factorise par $3x$ (surtout ne pas diviser par $x$, on perdrait une solution !) : $$3x^2 + 12x = 3x(x + 4) = 0$$ Produit nul : $x = 0$ ou $x = -4$. $$\boxed{\mathcal{S} = \{-4\,;0\}}$$
3.
(x−1)2=16(x - 1)^2 = 16
Pour $k \geqslant 0$, l'équation $u^2 = k$ a pour solutions $u = \sqrt{k}$ et $u = -\sqrt{k}$ : $$x - 1 = 4 \qquad \text{ou} \qquad x - 1 = -4$$ c'est-à-dire $x = 5$ ou $x = -3$. $$\boxed{\mathcal{S} = \{-3\,;5\}}$$
Exercice 13
Facile
Factorisation. Factoriser le trinôme f(x)=2x2−2x−12f(x) = 2x^2 - 2x - 12, puis vérifier en développant.
Correction détaillée
Ici $a = 2$, $b = -2$, $c = -12$ : $$\Delta = 4 + 96 = 100 > 0, \qquad \sqrt{\Delta} = 10$$ $$x_1 = \frac{2 - 10}{4} = -2, \qquad x_2 = \frac{2 + 10}{4} = 3$$ D'où la factorisation (sans oublier le coefficient $a = 2$ !) : $$\boxed{f(x) = 2(x + 2)(x - 3)}$$ *Vérification :* $2(x+2)(x-3) = 2(x^2 - x - 6) = 2x^2 - 2x - 12$. ✓
Exercice 14
Facile
Signe d'un trinôme. Dresser le tableau de signes de f(x)=x2−x−12f(x) = x^2 - x - 12 sur R\mathbb{R}.
Correction détaillée
**Racines :** $\Delta = 1 + 48 = 49 > 0$, $\sqrt{\Delta} = 7$ : $$x_1 = \frac{1 - 7}{2} = -3, \qquad x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4$$ **Signe :** $a = 1 > 0$, donc $f(x)$ est du signe de $a$ (positif) à l'extérieur des racines, négatif entre elles : | $x$ | $x < -3$ | $-3$ | $-3 < x < 4$ | $4$ | $x > 4$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $f(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
Exercice 15
Facile
Inéquations. Résoudre dans R\mathbb{R} les inéquations suivantes.
1.
x2−4x+3<0x^2 - 4x + 3 < 0
**Racines :** $\Delta = 16 - 12 = 4 > 0$, $\sqrt{\Delta} = 2$ : $$x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1, \qquad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$ **Signe :** $a = 1 > 0$, donc le trinôme est strictement négatif **entre** les racines. L'inégalité étant stricte, les racines sont exclues : $$\boxed{\mathcal{S} = \,]1\,;3[}$$
2.
−x2+2x−5⩾0-x^2 + 2x - 5 \geqslant 0
**Discriminant :** $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ : le trinôme n'a aucune racine. **Signe :** comme $\Delta < 0$, le trinôme est du signe de $a = -1 < 0$ pour **tout** réel $x$ : il est toujours strictement négatif. Il n'est donc jamais positif ou nul : $$\boxed{\mathcal{S} = \varnothing}$$
Exercice 16
Intermédiaire
Sommet et axe de symétrie. Soit f(x)=3x2−12x+7f(x) = 3x^2 - 12x + 7.
1.
Déterminer les coordonnées du sommet SS de la parabole représentant ff, ainsi qu'une équation de son axe de symétrie.
Ici $a = 3$, $b = -12$, $c = 7$ : $$\alpha = -\frac{-12}{2 \times 3} = 2, \qquad \beta = f(2) = 12 - 24 + 7 = -5$$ Le sommet est $\boxed{S(2\,;-5)}$ et l'axe de symétrie est la droite d'équation $\boxed{x = 2}$.
2.
Calculer f(0)f(0) et f(4)f(4). Le résultat était-il prévisible ? Justifier.
$$f(0) = 7, \qquad f(4) = 3 \times 16 - 12 \times 4 + 7 = 48 - 48 + 7 = 7$$ On trouve $f(0) = f(4) = 7$ : c'était **prévisible**. En effet, $0$ et $4$ sont symétriques par rapport à $\alpha = 2$ (car $\frac{0 + 4}{2} = 2$), et deux réels symétriques par rapport à l'axe de symétrie ont la même image : $f(\alpha - 2) = f(\alpha + 2)$.
Exercice 17
Intermédiaire
Trinôme imposé par ses racines. Déterminer la fonction polynôme du second degré ff qui s'annule en 22 et en 55, et telle que f(0)=20f(0) = 20. Donner sa forme développée.
Correction détaillée
Les trinômes s'annulant en $2$ et $5$ sont exactement les fonctions : $$f(x) = a(x - 2)(x - 5), \qquad a \neq 0$$ La condition $f(0) = 20$ donne : $$a \times (-2) \times (-5) = 20 \iff 10a = 20 \iff a = 2$$ Donc $f(x) = 2(x - 2)(x - 5)$, soit en développant : $$\boxed{f(x) = 2x^2 - 14x + 20}$$ *Vérification :* $f(2) = 0$ ✓, $f(5) = 0$ ✓, $f(0) = 2 \times (-2) \times (-5) = 20$ ✓
Exercice 18
Intermédiaire
Lecture graphique. La parabole P\mathcal{P} ci-dessous représente une fonction polynôme du second degré ff.
xy1234-3-2-11O
1.
Quel est le signe du coefficient aa ? Justifier.
La parabole est **tournée vers le bas** (elle admet un maximum), donc : $$\boxed{a < 0}$$
2.
Lire graphiquement les racines de ff, puis les coordonnées du sommet.
La parabole coupe l'axe des abscisses en $x = 1$ et $x = 3$ : les **racines** de $f$ sont $1$ et $3$. Le **sommet** est $S(2\,;1)$. (On retrouve son abscisse comme milieu des racines : $\frac{1+3}{2} = 2$.)
3.
En déduire une forme factorisée de f(x)f(x), sachant que a=−1a = -1.
Un trinôme de racines $1$ et $3$ s'écrit $f(x) = a(x - 1)(x - 3)$. Avec $a = -1$ : $$\boxed{f(x) = -(x - 1)(x - 3)}$$ *Contrôle avec le sommet :* $f(2) = -(2-1)(2-3) = -1 \times (-1) = 1$ ✓ (on retrouve $S(2\,;1)$).
4.
Dresser le tableau de signes de ff.
$a = -1 < 0$ : $f(x)$ est négatif à l'extérieur des racines, positif entre elles : | $x$ | $x < 1$ | $1$ | $1 < x < 3$ | $3$ | $x > 3$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $f(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
Exercice 19
Intermédiaire
Choisir la forme adaptée. Une même fonction ff est donnée sous ses trois formes :

f(x)=2x2−4x−6=2(x−1)2−8=2(x+1)(x−3)f(x) = 2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 1)^2 - 8 = 2(x + 1)(x - 3)

En choisissant à chaque fois la forme la plus adaptée (à préciser), déterminer :
1.
f(0)f(0)
**Forme développée** (elle donne directement $c = f(0)$) : $$f(0) = c = \boxed{-6}$$
2.
les solutions de f(x)=0f(x) = 0
**Forme factorisée** (elle donne directement les racines) : $$2(x + 1)(x - 3) = 0 \iff x = -1 \text{ ou } x = 3$$ $$\boxed{\mathcal{S} = \{-1\,;3\}}$$
3.
le minimum de ff sur R\mathbb{R} et le réel en lequel il est atteint
**Forme canonique** (elle donne directement le sommet) : $f(x) = 2(x-1)^2 - 8$ avec $a = 2 > 0$. Le **minimum vaut $-8$**, atteint en $\boxed{x = 1}$.
4.
les solutions de f(x)=−8f(x) = -8
**Forme canonique** : $$2(x - 1)^2 - 8 = -8 \iff 2(x - 1)^2 = 0 \iff x = 1$$ $$\boxed{\mathcal{S} = \{1\}}$$ *Interprétation :* $-8$ est le minimum de $f$, atteint uniquement au sommet — il est donc normal de ne trouver qu'une seule solution.
Exercice 20
Intermédiaire
Forme canonique et racines (coefficients non entiers). Soit f(x)=3x2+5x−2f(x) = 3x^2 + 5x - 2.
1.
Mettre f(x)f(x) sous forme canonique.
Ici $a = 3$, $b = 5$, $c = -2$. $$\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{6}, \qquad \beta = f\!\left(-\frac{5}{6}\right) = 3 \times \frac{25}{36} - \frac{25}{6} - 2 = \frac{25}{12} - \frac{50}{12} - \frac{24}{12} = -\frac{49}{12}$$ $$\boxed{f(x) = 3\left(x + \frac{5}{6}\right)^2 - \frac{49}{12}}$$
2.
Résoudre f(x)=0f(x) = 0.
$\Delta = 5^2 - 4 \times 3 \times (-2) = 25 + 24 = 49 > 0$, $\sqrt{\Delta} = 7$ : $$x_1 = \frac{-5 - 7}{6} = -2, \qquad x_2 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{1}{3}$$ $$\boxed{\mathcal{S} = \left\{-2\,;\,\frac{1}{3}\right\}}$$
3.
En déduire la forme factorisée de f(x)f(x).
Avec les racines $-2$ et $\dfrac{1}{3}$ et le coefficient $a = 3$ : $$f(x) = 3(x + 2)\left(x - \frac{1}{3}\right) = (x + 2)(3x - 1)$$ *Vérification :* $(x+2)(3x-1) = 3x^2 - x + 6x - 2 = 3x^2 + 5x - 2$. ✓
Exercice 21
Intermédiaire
Équation à mettre en forme. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation (x+3)(x−1)=5(x + 3)(x - 1) = 5.
Correction détaillée
On développe et on ramène tout d'un même côté : $$(x + 3)(x - 1) = x^2 + 2x - 3 = 5 \iff x^2 + 2x - 8 = 0$$ $\Delta = 4 + 32 = 36 > 0$, $\sqrt{\Delta} = 6$ : $$x_1 = \frac{-2 - 6}{2} = -4, \qquad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2$$ $$\boxed{\mathcal{S} = \{-4\,;\,2\}}$$ *Vérification :* $(-4+3)(-4-1) = (-1)(-5) = 5$ ✓ et $(2+3)(2-1) = 5$ ✓
Exercice 22
Intermédiaire
Inéquation par comparaison. Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation x2−3x+1⩽x−2x^2 - 3x + 1 \leqslant x - 2.
Correction détaillée
On ramène tout d'un même côté : $$x^2 - 3x + 1 \leqslant x - 2 \iff x^2 - 4x + 3 \leqslant 0$$ **Racines :** $\Delta = 16 - 12 = 4 > 0$, $\sqrt{\Delta} = 2$, d'où $x_1 = \dfrac{4-2}{2} = 1$ et $x_2 = \dfrac{4+2}{2} = 3$. **Signe :** $a = 1 > 0$, le trinôme est négatif ou nul entre les racines. L'inégalité étant large : $$\boxed{\mathcal{S} = [1\,;\,3]}$$
Exercice 23
Intermédiaire
Nombre de solutions selon un paramètre. On considère l'équation x2−4x+m=0x^2 - 4x + m = 0, où mm est un réel.
1.
Exprimer le discriminant Δ\Delta en fonction de mm.
$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times m = 16 - 4m$$
2.
Discuter, selon les valeurs de mm, le nombre de solutions de l'équation.
Le signe de $\Delta = 16 - 4m$ dépend de $m$ : - $\Delta > 0 \iff 16 - 4m > 0 \iff m < 4$ : **deux** solutions distinctes ; - $\Delta = 0 \iff m = 4$ : **une** solution (racine double) ; - $\Delta < 0 \iff m > 4$ : **aucune** solution réelle.
3.
Pour la valeur de mm donnant une racine double, déterminer cette racine.
Pour $m = 4$, la racine double est : $$x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{4}{2} = 2$$ (On retrouve $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.)
Exercice 24
Intermédiaire
Optimisation d'un enclos. Un éleveur dispose de 2424 mètres de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire le long d'un mur : le mur constitue l'un des grands côtés, la clôture les trois autres côtés. On note xx (en mètres) la largeur de l'enclos (les deux côtés perpendiculaires au mur).
1.
Montrer que l'aire de l'enclos est A(x)=−2x2+24xA(x) = -2x^2 + 24x.
Les deux largeurs mesurent $x$ chacune ; la longueur (côté opposé au mur) mesure donc $24 - 2x$. L'aire vaut : $$A(x) = x(24 - 2x) = 24x - 2x^2 = -2x^2 + 24x$$
2.
Déterminer la largeur xx qui rend l'aire maximale, et la valeur de cette aire maximale.
$A$ est un trinôme avec $a = -2 < 0$ : il admet un maximum, atteint en $$\alpha = -\frac{24}{2 \times (-2)} = 6$$ L'aire maximale vaut $A(6) = -2 \times 36 + 24 \times 6 = -72 + 144 = 144 - 72 = 72\ \text{m}^2$. $$\boxed{x = 6 \text{ m}, \quad A_{\max} = 72 \text{ m}^2}$$ L'enclos optimal mesure alors $6 \text{ m} \times 12 \text{ m}$.
Exercice 25
Intermédiaire
Intersection d'une parabole et d'une droite. Dans un repère, on considère la parabole P\mathcal{P} d'équation y=x2−2xy = x^2 - 2x et la droite D\mathcal{D} d'équation y=xy = x. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de P\mathcal{P} et D\mathcal{D}.
Correction détaillée
Un point commun a une abscisse $x$ vérifiant $x^2 - 2x = x$, soit : $$x^2 - 3x = 0 \iff x(x - 3) = 0 \iff x = 0 \text{ ou } x = 3$$ (On factorise : surtout pas de division par $x$.) Les ordonnées se lisent sur $\mathcal{D}$ ($y = x$) : pour $x = 0$, $y = 0$ ; pour $x = 3$, $y = 3$. $$\boxed{(0\,;0) \quad \text{et} \quad (3\,;3)}$$
Exercice 26
Intermédiaire
Trinôme de sommet imposé. La parabole représentant une fonction polynôme du second degré ff a pour sommet S(2 ;−3)S(2\,;-3) et passe par le point A(0 ;5)A(0\,;5).
1.
En utilisant la forme canonique, déterminer f(x)f(x).
Le sommet étant $S(2\,;-3)$, la forme canonique est $f(x) = a(x - 2)^2 - 3$. Le passage par $A(0\,;5)$ donne : $$f(0) = 4a - 3 = 5 \iff 4a = 8 \iff a = 2$$ $$\boxed{f(x) = 2(x - 2)^2 - 3}$$
2.
Donner la forme développée de f(x)f(x).
$$f(x) = 2(x^2 - 4x + 4) - 3 = 2x^2 - 8x + 8 - 3 = 2x^2 - 8x + 5$$
Exercice 27
Intermédiaire
Signe d'un trinôme à coefficient dominant négatif. Dresser le tableau de signes de g(x)=−2x2+3x+2g(x) = -2x^2 + 3x + 2 sur R\mathbb{R}.
Correction détaillée
**Racines :** $\Delta = 3^2 - 4 \times (-2) \times 2 = 9 + 16 = 25 > 0$, $\sqrt{\Delta} = 5$ : $$x_1 = \frac{-3 - 5}{2 \times (-2)} = \frac{-8}{-4} = 2, \qquad x_2 = \frac{-3 + 5}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$$ **Signe :** $a = -2 < 0$, donc $g(x)$ est du signe de $a$ (négatif) à l'extérieur des racines et du signe contraire (positif) entre elles : | $x$ | $x < -\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{2} < x < 2$ | $2$ | $x > 2$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $g(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
Exercice 28
Intermédiaire
Équation bicarrée. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x4−5x2+4=0x^4 - 5x^2 + 4 = 0.
Correction détaillée
On pose $X = x^2$ (avec $X \geqslant 0$). L'équation devient $X^2 - 5X + 4 = 0$. $\Delta = 25 - 16 = 9 > 0$, $\sqrt{\Delta} = 3$ : $X_1 = \dfrac{5-3}{2} = 1$ et $X_2 = \dfrac{5+3}{2} = 4$. Les deux valeurs sont positives, donc acceptables. On revient à $x$ : $$x^2 = 1 \iff x = \pm 1, \qquad x^2 = 4 \iff x = \pm 2$$ $$\boxed{\mathcal{S} = \{-2\,;-1\,;1\,;2\}}$$
Exercice 29
Difficile
Tangence d'une droite à une parabole. Dans un repère, P\mathcal{P} a pour équation y=x2y = x^2 et Dm\mathcal{D}_m a pour équation y=2x+my = 2x + m, où mm est un réel.
1.
Montrer que les abscisses des points communs à P\mathcal{P} et Dm\mathcal{D}_m sont les solutions de x2−2x−m=0x^2 - 2x - m = 0.
Un point commun vérifie $x^2 = 2x + m$, c'est-à-dire $x^2 - 2x - m = 0$.
2.
Déterminer la valeur de mm pour laquelle Dm\mathcal{D}_m est tangente à P\mathcal{P}.
La droite est tangente lorsque l'équation a une **unique** solution, soit $\Delta = 0$ : $$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-m) = 4 + 4m = 0 \iff m = -1$$
3.
Déterminer alors les coordonnées du point de tangence.
Pour $m = -1$, la racine double est $x_0 = -\dfrac{-2}{2} = 1$, et $y = x_0^2 = 1$. $$\boxed{(1\,;1)}$$
Exercice 30
Difficile
Trinôme strictement positif sur R\mathbb{R}. Déterminer toutes les valeurs du réel mm pour lesquelles le trinôme f(x)=x2−2mx+m+2f(x) = x^2 - 2mx + m + 2 est strictement positif pour tout réel xx.
Correction détaillée
Comme $a = 1 > 0$, le trinôme est strictement positif partout si et seulement si son discriminant est strictement négatif : $$\Delta = (-2m)^2 - 4(m + 2) = 4m^2 - 4m - 8 = 4(m^2 - m - 2) = 4(m - 2)(m + 1)$$ $\Delta < 0 \iff (m - 2)(m + 1) < 0 \iff -1 < m < 2$. $$\boxed{m \in\ ]-1\,;\,2[}$$
Exercice 31
Difficile
Triangle rectangle. Un triangle rectangle a ses deux côtés de l'angle droit qui mesurent xx et x+7x + 7 (en cm), et son hypoténuse mesure 1313 cm. Déterminer xx.
Correction détaillée
Le théorème de Pythagore donne : $$x^2 + (x + 7)^2 = 13^2 \iff x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169 \iff 2x^2 + 14x - 120 = 0$$ En divisant par $2$ : $x^2 + 7x - 60 = 0$. $\Delta = 49 + 240 = 289 = 17^2 > 0$ : $$x = \frac{-7 - 17}{2} = -12 \quad (\text{à rejeter, } x > 0) \qquad \text{ou} \qquad x = \frac{-7 + 17}{2} = 5$$ $$\boxed{x = 5 \text{ cm}}$$ Les côtés mesurent $5$, $12$ et $13$ cm.
Exercice 32
Difficile
Intersection de deux paraboles. Déterminer les abscisses des points d'intersection des paraboles P1:y=x2−3x+2\mathcal{P}_1 : y = x^2 - 3x + 2 et P2:y=−x2+x+6\mathcal{P}_2 : y = -x^2 + x + 6.
Correction détaillée
On égale les ordonnées : $$x^2 - 3x + 2 = -x^2 + x + 6 \iff 2x^2 - 4x - 4 = 0 \iff x^2 - 2x - 2 = 0$$ $\Delta = 4 + 8 = 12 > 0$, $\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{3}$ : $$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$$ $$\boxed{x_1 = 1 - \sqrt{3} \quad \text{et} \quad x_2 = 1 + \sqrt{3}}$$
Exercice 33
Difficile
Seuils de rentabilité. Une petite entreprise produit xx centaines d'objets (0⩽x⩽300 \leqslant x \leqslant 30). Son bénéfice, en milliers d'euros, est modélisé par B(x)=−2x2+120x−1000B(x) = -2x^2 + 120x - 1000.
1.
Déterminer les valeurs de xx pour lesquelles l'entreprise est rentable (bénéfice strictement positif).
On résout $B(x) > 0$, soit $-2x^2 + 120x - 1000 > 0$, c'est-à-dire (en divisant par $-2$, ce qui change le sens) $x^2 - 60x + 500 < 0$. $\Delta = 3600 - 2000 = 1600 = 40^2$ : racines $x_1 = \dfrac{60 - 40}{2} = 10$ et $x_2 = \dfrac{60 + 40}{2} = 50$. Le trinôme $x^2 - 60x + 500$ est négatif entre ses racines : l'entreprise est rentable pour $x \in\ ]10\,;50[$. Compte tenu de $0 \leqslant x \leqslant 30$ : $$\boxed{x \in\ ]10\,;\,30]}$$
2.
Déterminer la production qui maximise le bénéfice, et ce bénéfice maximal.
$B$ est un trinôme avec $a = -2 < 0$ : maximum en $\alpha = -\dfrac{120}{2 \times (-2)} = 30$. $B(30) = -2 \times 900 + 120 \times 30 - 1000 = -1800 + 3600 - 1000 = 800$. $$\boxed{x = 30 \text{ (soit } 3000 \text{ objets)}, \quad B_{\max} = 800 \text{ milliers d'euros}}$$
Exercice 34
Difficile
Minimum imposé. Soit f(x)=x2−4x+mf(x) = x^2 - 4x + m, où mm est un réel.
1.
Exprimer le minimum de ff sur R\mathbb{R} en fonction de mm.
Comme $a = 1 > 0$, $f$ admet un minimum atteint en $\alpha = \dfrac{4}{2} = 2$. Ce minimum vaut : $$f(2) = 4 - 8 + m = m - 4$$
2.
Déterminer mm pour que ce minimum soit égal à 33.
$m - 4 = 3 \iff m = 7$. $$\boxed{m = 7}$$
3.
Pour cette valeur de mm, déterminer le signe de f(x)f(x) sur R\mathbb{R}.
Pour $m = 7$, le minimum de $f$ vaut $3 > 0$ : $f(x) \geqslant 3 > 0$ pour tout réel $x$. Donc $f(x) > 0$ sur $\mathbb{R}$ (on peut le confirmer par $\Delta = 16 - 28 = -12 < 0$).
Exercice 35
Difficile
Racine commune. Déterminer les valeurs du réel mm pour lesquelles les équations x2−3x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0 et x2+mx−2=0x^2 + mx - 2 = 0 ont (au moins) une racine commune.
Correction détaillée
Les racines de la première équation sont, via $\Delta = 9 - 8 = 1$ : $x = 1$ et $x = 2$. Une racine commune est donc $1$ ou $2$. **Si $1$ est racine de la seconde :** $1 + m - 2 = 0 \iff m = 1$. **Si $2$ est racine de la seconde :** $4 + 2m - 2 = 0 \iff 2m = -2 \iff m = -1$. $$\boxed{m = 1 \quad \text{ou} \quad m = -1}$$ *Contrôle :* pour $m = 1$, $x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$ a bien la racine $1$ ; pour $m = -1$, $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$ a bien la racine $2$.
Exercice 36
Avancé
Deux racines strictement positives. Déterminer toutes les valeurs du réel mm pour lesquelles l'équation x2−2x+m=0x^2 - 2x + m = 0 admet deux racines strictement positives et distinctes. (On raisonnera sans utiliser les relations somme-produit, hors programme.)
Correction détaillée
Notons $f(x) = x^2 - 2x + m$, avec $a = 1 > 0$. **Deux racines distinctes :** $\Delta = 4 - 4m > 0 \iff m < 1$. **Les deux racines strictement positives :** la parabole est tournée vers le haut et son sommet a pour abscisse $\alpha = 1 > 0$. Les racines sont symétriques par rapport à $1$. Elles sont toutes deux strictement positives si et seulement si la plus petite l'est, ce qui équivaut à $f(0) > 0$ (le trinôme, positif à l'extérieur des racines, est strictement positif en $0$ précisément lorsque $0$ est à gauche des deux racines). Or $f(0) = m$, donc la condition est $m > 0$. **Synthèse :** $\Delta > 0$, $\alpha > 0$ et $f(0) > 0$ donnent : $$\boxed{0 < m < 1}$$
Exercice 37
Avancé
Équation paramétrique — discussion complète. Résoudre dans R\mathbb{R}, selon les valeurs du réel mm, l'équation mx2−(2m+1)x+(m+1)=0mx^2 - (2m + 1)x + (m + 1) = 0.
Correction détaillée
**Cas $m = 0$ (équation du premier degré) :** l'équation devient $-x + 1 = 0$, d'unique solution $x = 1$. **Cas $m \neq 0$ (équation du second degré) :** $$\Delta = (2m + 1)^2 - 4m(m + 1) = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 - 4m = 1 > 0$$ Le discriminant vaut $1$ quel que soit $m$ : il y a toujours deux solutions, $\sqrt{\Delta} = 1$ : $$x = \frac{(2m + 1) \pm 1}{2m} \ \Longrightarrow\ x_1 = \frac{2m + 2}{2m} = \frac{m + 1}{m}, \qquad x_2 = \frac{2m}{2m} = 1$$ **Conclusion :** $1$ est toujours solution ; pour $m \neq 0$, l'autre solution est $\dfrac{m+1}{m}$ (confondue avec $1$ lorsque $\frac{m+1}{m} = 1$, impossible, donc les solutions sont toujours distinctes pour $m \neq 0$). $$\boxed{m = 0 : \mathcal{S} = \{1\} \qquad m \neq 0 : \mathcal{S} = \left\{1\,;\,\tfrac{m+1}{m}\right\}}$$
Exercice 38
Avancé
Position d'une droite par rapport à une parabole. Dans un repère, on considère la parabole P:y=x2−x+1\mathcal{P} : y = x^2 - x + 1 et la droite Dm:y=mx\mathcal{D}_m : y = mx passant par l'origine. Discuter, selon mm, le nombre de points d'intersection de P\mathcal{P} et Dm\mathcal{D}_m.
Correction détaillée
Les abscisses des points communs vérifient $x^2 - x + 1 = mx$, soit : $$x^2 - (m + 1)x + 1 = 0$$ Le nombre de points d'intersection est le nombre de solutions, donné par le signe de $$\Delta = (m + 1)^2 - 4$$ $\Delta = 0 \iff (m+1)^2 = 4 \iff m + 1 = \pm 2 \iff m = 1 \text{ ou } m = -3$. - $\Delta > 0 \iff (m+1)^2 > 4 \iff m < -3 \text{ ou } m > 1$ : **deux** points d'intersection ; - $\Delta = 0 \iff m = -3 \text{ ou } m = 1$ : **un** point (la droite est tangente) ; - $\Delta < 0 \iff -3 < m < 1$ : **aucun** point d'intersection.
Exercice 39
Avancé
Discussion du nombre de solutions (cas dégénéré compris). Discuter, selon les valeurs du réel mm, le nombre de solutions de l'équation (m−2)x2+2mx+(m+3)=0(m - 2)x^2 + 2mx + (m + 3) = 0.
Correction détaillée
**Cas $m = 2$ (le coefficient de $x^2$ s'annule, équation du premier degré) :** l'équation devient $4x + 5 = 0$, d'unique solution $x = -\dfrac{5}{4}$. **Cas $m \neq 2$ (second degré) :** on calcule le discriminant réduit $$\frac{\Delta}{4} = m^2 - (m - 2)(m + 3) = m^2 - (m^2 + m - 6) = 6 - m$$ - $\dfrac{\Delta}{4} > 0 \iff m < 6$ (et $m \neq 2$) : **deux** solutions ; - $\dfrac{\Delta}{4} = 0 \iff m = 6$ : **une** solution (racine double $x = -\dfrac{m}{m-2} = -\dfrac{6}{4} = -\dfrac{3}{2}$) ; - $\dfrac{\Delta}{4} < 0 \iff m > 6$ : **aucune** solution. *Bilan :* une solution si $m = 2$ ou $m = 6$ ; deux solutions si $m < 6$ et $m \neq 2$ ; aucune si $m > 6$.
Exercice 40
Avancé
Un trinôme du quatrième degré toujours strictement positif. On veut montrer que, pour tout réel xx, x4+x2+1>0x^4 + x^2 + 1 > 0.
1.
Vérifier l'identité x4+x2+1=(x2+x+1)(x2−x+1)x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1).
On peut écrire $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - x^2$ (car $(x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$). C'est une différence de deux carrés : $$(x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + 1 - x)(x^2 + 1 + x) = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$$
2.
Étudier le signe de chacun des facteurs x2+x+1x^2 + x + 1 et x2−x+1x^2 - x + 1.
Pour $x^2 + x + 1$ : $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ et $a = 1 > 0$, donc $x^2 + x + 1 > 0$ pour tout réel $x$. Pour $x^2 - x + 1$ : $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ et $a = 1 > 0$, donc $x^2 - x + 1 > 0$ pour tout réel $x$.
3.
Conclure.
$x^4 + x^2 + 1$ est le produit de deux facteurs strictement positifs pour tout réel $x$ : c'est donc un produit strictement positif. Ainsi, pour tout réel $x$, $x^4 + x^2 + 1 > 0$. $\square$
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Étude complète d'un trinôme
Facile
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3.

Partie A — Forme canonique et variations

1.
Calculer f(0)f(0), f(1)f(1) et f(−2)f(-2).
$f(0) = -3$ ; $f(1) = 1 - 2 - 3 = -4$ ; $f(-2) = 4 + 4 - 3 = 5$.
2.
Mettre f(x)f(x) sous forme canonique.
$a = 1$, $b = -2$, $c = -3$ : $\alpha = -\dfrac{-2}{2} = 1$ et $\beta = f(1) = -4$. $$f(x) = (x - 1)^2 - 4$$
3.
En déduire le sommet de la parabole et le sens de variation de ff.
Le sommet est $S(1\,;-4)$. Comme $a = 1 > 0$, $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;1]$ puis croissante sur $[1\,;+\infty[$ ; elle admet un minimum égal à $-4$, atteint en $x = 1$.

Partie B — Racines, signe et inéquations

4.
Résoudre f(x)=0f(x) = 0 et donner la forme factorisée de f(x)f(x).
$\Delta = 4 + 12 = 16 > 0$, $\sqrt{\Delta} = 4$ : $x_1 = \dfrac{2 - 4}{2} = -1$ et $x_2 = \dfrac{2 + 4}{2} = 3$. Donc $\mathcal{S} = \{-1\,;3\}$ et $f(x) = (x + 1)(x - 3)$.
5.
Dresser le tableau de signes de ff.
$a = 1 > 0$ : positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles. | $x$ | $x < -1$ | $-1$ | $-1 < x < 3$ | $3$ | $x > 3$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $f(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
6.
Résoudre l'inéquation f(x)⩽0f(x) \leqslant 0.
D'après le tableau de signes, $f(x) \leqslant 0$ (racines incluses car l'inégalité est large) : $$\mathcal{S} = [-1\,;3]$$
7.
Résoudre l'équation f(x)=−3f(x) = -3.
$x^2 - 2x - 3 = -3 \iff x^2 - 2x = 0 \iff x(x - 2) = 0$, d'où $\mathcal{S} = \{0\,;2\}$.
Problème 2 — Un jardin rectangulaire
Intermédiaire
Un jardinier veut clôturer un jardin rectangulaire de périmètre 4040 mètres. On note xx (en mètres) la largeur du jardin, avec 0<x<200 < x < 20.

Partie A — Aire maximale

1.
Exprimer la longueur du jardin puis son aire A(x)A(x) en fonction de xx.
Le demi-périmètre vaut $20$, donc la longueur est $20 - x$. L'aire est : $$A(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x$$
2.
Mettre A(x)A(x) sous forme canonique.
$\alpha = -\dfrac{20}{2 \times (-1)} = 10$, $\beta = A(10) = -100 + 200 = 100$ : $$A(x) = -(x - 10)^2 + 100$$
3.
En déduire l'aire maximale du jardin et les dimensions correspondantes.
Comme $a = -1 < 0$, l'aire est maximale en $x = 10$ et vaut $100\ \text{m}^2$. Le jardin est alors un carré de côté $10$ m.

Partie B — Contraintes d'aire

4.
Déterminer les largeurs xx pour lesquelles l'aire est supérieure ou égale à 96 m296\ \text{m}^2.
On résout $-x^2 + 20x \geqslant 96$, soit $x^2 - 20x + 96 \leqslant 0$. $\Delta = 400 - 384 = 16$ : racines $\dfrac{20 - 4}{2} = 8$ et $\dfrac{20 + 4}{2} = 12$. Le trinôme est négatif entre ses racines : $$\mathcal{S} = [8\,;12]$$ La largeur doit être comprise entre $8$ m et $12$ m.
5.
Peut-on obtenir une aire de 84 m284\ \text{m}^2 ? Si oui, pour quelles largeurs ?
On résout $-x^2 + 20x = 84$, soit $x^2 - 20x + 84 = 0$. $\Delta = 400 - 336 = 64 = 8^2$ : $x = \dfrac{20 - 8}{2} = 6$ ou $x = \dfrac{20 + 8}{2} = 14$. Oui : pour $x = 6$ m (jardin $6 \times 14$) ou $x = 14$ m (jardin $14 \times 6$) — c'est le même jardin.
Problème 3 — Rentabilité d'une entreprise
Difficile
Une entreprise fabrique xx milliers d'articles par mois, avec 0⩽x⩽200 \leqslant x \leqslant 20. La recette mensuelle est R(x)=−x2+50xR(x) = -x^2 + 50x et le coût est C(x)=2x2−10x+192C(x) = 2x^2 - 10x + 192 (en milliers d'euros). Le bénéfice est B(x)=R(x)−C(x)B(x) = R(x) - C(x).

Partie A — Expression du bénéfice

1.
Montrer que B(x)=−3x2+60x−192B(x) = -3x^2 + 60x - 192.
$B(x) = R(x) - C(x) = (-x^2 + 50x) - (2x^2 - 10x + 192) = -x^2 + 50x - 2x^2 + 10x - 192 = -3x^2 + 60x - 192$.
2.
Déterminer les seuils de rentabilité (valeurs de xx pour lesquelles B(x)=0B(x) = 0).
$-3x^2 + 60x - 192 = 0 \iff x^2 - 20x + 64 = 0$ (division par $-3$). $\Delta = 400 - 256 = 144 = 12^2$ : $x_1 = \dfrac{20 - 12}{2} = 4$ et $x_2 = \dfrac{20 + 12}{2} = 16$. Les seuils de rentabilité sont $4$ et $16$ milliers d'articles ; l'entreprise est bénéficiaire pour $x \in\ ]4\,;16[$.

Partie B — Bénéfice maximal

3.
Déterminer la production qui maximise le bénéfice, et ce bénéfice maximal.
$a = -3 < 0$ : maximum en $\alpha = -\dfrac{60}{2 \times (-3)} = 10$. $B(10) = -300 + 600 - 192 = 108$. Le bénéfice est maximal pour $x = 10$ (soit $10\,000$ articles) et vaut $108$ milliers d'euros.
4.
Déterminer les productions pour lesquelles le bénéfice atteint au moins 105105 milliers d'euros.
On résout $-3x^2 + 60x - 192 \geqslant 105$, soit $-3x^2 + 60x - 297 \geqslant 0$, c'est-à-dire $x^2 - 20x + 99 \leqslant 0$. $\Delta = 400 - 396 = 4$ : racines $\dfrac{20 - 2}{2} = 9$ et $\dfrac{20 + 2}{2} = 11$. $$\mathcal{S} = [9\,;11]$$ Le bénéfice atteint au moins $105$ milliers d'euros pour une production comprise entre $9$ et $11$ milliers d'articles.
Problème 4 — Une famille de paraboles
Avancé
Pour tout réel mm, on note fmf_m la fonction définie sur R\mathbb{R} par fm(x)=x2−2mx+m+2f_m(x) = x^2 - 2mx + m + 2, et Pm\mathcal{P}_m sa parabole représentative.

Partie A — Un point fixe

1.
Montrer que toutes les paraboles Pm\mathcal{P}_m passent par un même point AA, indépendant de mm.
On écrit $f_m(x) = (x^2 + 2) + m(-2x + 1)$. Cette valeur ne dépend pas de $m$ si et seulement si $-2x + 1 = 0$, soit $x = \dfrac{1}{2}$. On a alors $f_m\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{4} + 2 = \dfrac{9}{4}$. Donc toutes les paraboles passent par le point fixe $A\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{9}{4}\right)$.

Partie B — Racines et sommet

2.
Discuter, selon mm, le nombre de racines de fmf_m.
$\Delta = (-2m)^2 - 4(m + 2) = 4m^2 - 4m - 8 = 4(m^2 - m - 2) = 4(m - 2)(m + 1)$. - $\Delta > 0 \iff (m-2)(m+1) > 0 \iff m < -1 \text{ ou } m > 2$ : deux racines ; - $\Delta = 0 \iff m = -1 \text{ ou } m = 2$ : une racine double ; - $\Delta < 0 \iff -1 < m < 2$ : aucune racine.
3.
Déterminer les valeurs de mm pour lesquelles le sommet de Pm\mathcal{P}_m appartient à l'axe des abscisses.
Le sommet est sur l'axe des abscisses lorsque l'ordonnée du sommet (le minimum) est nulle, c'est-à-dire $\Delta = 0$ : $m = -1$ ou $m = 2$.
4.
Montrer que le sommet SmS_m de Pm\mathcal{P}_m a pour coordonnées (m ; −m2+m+2)(m\,;\,-m^2 + m + 2), puis déterminer une équation de la courbe décrite par SmS_m lorsque mm varie.
L'abscisse du sommet est $\alpha = -\dfrac{-2m}{2} = m$, et l'ordonnée est $f_m(m) = m^2 - 2m^2 + m + 2 = -m^2 + m + 2$. Donc $S_m(m\,;-m^2 + m + 2)$. En posant $X = m$ et $Y = -m^2 + m + 2$, on a $Y = -X^2 + X + 2$ : lorsque $m$ varie, le sommet $S_m$ décrit la parabole d'équation $y = -x^2 + x + 2$.