Chapitre 05 Fonction exponentielle Première Spé

Exercices corrigés sur la fonction exponentielle en Première spécialité

Cette banque d’exercices corrigés sur la fonction exponentielle s’adresse aux élèves de Première spécialité. Les premiers calculs font utiliser les règles sur les puissances et la relation entre exponentielle d’une somme et produit d’exponentielles. Tu apprends ensuite à résoudre des équations et des inéquations en utilisant la stricte croissance de la fonction.

La progression comprend aussi des dérivées, des études de variations et des situations de croissance ou de décroissance. Pour chaque exercice, identifie d’abord la propriété utile : positivité de l’exponentielle, règle de calcul ou formule de dérivation. Rédige ta réponse avant de consulter la correction détaillée. Le cours reste accessible pour revoir une méthode, et les exercices de Terminale prolongent le travail sur les limites.

50 exercices : 18 faciles, 16 intermédiaires, 9 difficiles, 7 avancés. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.

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Cours et fiche de révision sur la fonction exponentielle

Les 50 exercices, du plus simple au plus complet

50 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 1

Non commencéFacile

Produit de puissances. Simplifier

e^3 \times e^2

sous la forme

e^k

Exercice 2

Non commencéFacile

Quotient de puissances. Simplifier

\dfrac{e^7}{e^4}

sous la forme

e^k

Exercice 3

Non commencéFacile

Puissance d'une puissance. Simplifier

\left(e^2\right)^3

sous la forme

e^k

Exercice 4

Non commencéFacile

Valeurs particulières. Donner les valeurs de

e^0

et de

e^1

Exercice 5

Non commencéFacile

Produit avec variable. Simplifier

e^x \times e^{2x}

sous la forme

e^{k(x)}

Exercice 6

Non commencéFacile

Quotient avec variable. Simplifier

\dfrac{e^{5x}}{e^{2x}}

Exercice 7

Non commencéFacile

Puissance avec variable. Simplifier

\left(e^x\right)^4

Exercice 8

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : dérivée de t↦e^(at) · positivité de l’exponentielle · valeur e⁰=1

Objectifs : reconnaître une croissance exponentielle · reconnaître une décroissance exponentielle · justifier les variations par la dérivée

Croissance ou décroissance ? On considère, pour

t\geqslant0

f(t)=3e^{0{,}4t}\qquad\text{et}\qquad g(t)=5e^{-0{,}2t}.

1. Calculer

f(0)

g(0)

.
2. Calculer

f'(t)

g'(t)

.
3. Indiquer laquelle des deux fonctions modélise une croissance et laquelle modélise une décroissance.

Exercice 9

Non commencéFacile

Dérivée de l'exponentielle. Déterminer la dérivée de

f(x) = e^x

Exercice 10

Non commencéFacile

Coefficient constant. Déterminer la dérivée de

f(x) = 3e^x

Exercice 11

Non commencéFacile

Somme. Déterminer la dérivée de

f(x) = e^x + x^2

Exercice 12

Non commencéFacile

Exposant $2x$ . Déterminer la dérivée de

f(x) = e^{2x}

Exercice 13

Non commencéFacile

Exposant $-x$ . Déterminer la dérivée de

f(x) = e^{-x}

Exercice 14

Non commencéFacile

Équation simple. Résoudre dans

\mathbb{R}

l'équation

e^x = 1

Exercice 15

Non commencéFacile

Équation $e^x = e^3$ . Résoudre dans

\mathbb{R}

l'équation

e^x = e^3

Exercice 16

Non commencéIntermédiaire

10 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : valeur en zéro d’une exponentielle · variations de e^(at) · lecture qualitative d’une courbe

Objectifs : associer une expression à une courbe · utiliser l’ordonnée à l’origine · utiliser le sens de variation

Associer des courbes à des expressions. Dans un même repère, trois courbes

\mathcal C_1

\mathcal C_2

\mathcal C_3

ont les propriétés suivantes :

•

\mathcal C_1

passe par

(0;1)

et elle est croissante ;
•

\mathcal C_2

passe par

(0;1)

et elle est décroissante ;
•

\mathcal C_3

passe par

(0;4)

et elle est croissante.

Associer chaque courbe à l’une des fonctions

u(t)=e^{0{,}5t},\qquad v(t)=e^{-0{,}5t},\qquad w(t)=4e^{0{,}5t}.

Justifier chaque association.

Exercice 17

Non commencéIntermédiaire

Développement. Développer

e^x\left(e^x + 2\right)

Exercice 18

Non commencéIntermédiaire

Dérivée d'un produit. Déterminer la dérivée de

f(x) = x\,e^x

Exercice 19

Non commencéIntermédiaire

Produit avec $x^2$ . Déterminer la dérivée de

f(x) = x^2 e^x

Exercice 20

Non commencéIntermédiaire

Quotient. Déterminer la dérivée de

f(x) = \dfrac{e^x}{x}

sur

\mathbb{R}^*

Exercice 21

Non commencéIntermédiaire

Exposant affine. Déterminer la dérivée de

f(x) = e^{3x + 1}

Exercice 22

Non commencéIntermédiaire

Produit affine × exponentielle. Déterminer la dérivée de

f(x) = (2x - 1)e^x

Exercice 23

Non commencéIntermédiaire

Équation à exposants. Résoudre dans

\mathbb{R}

l'équation

e^{2x} = e^{x + 3}

Exercice 24

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : règles sur les exposants · symétrie de la courbe de t↦f(-t) par rapport à l’axe des ordonnées · tableau de valeurs

Objectifs : comparer les courbes de e^(kt) et e^(-kt) · mettre en évidence une symétrie graphique · calculer des valeurs exactes

Les deux courbes $e^{kt}$ et $e^{-kt}$ . On définit sur

\mathbb R

f(t)=e^{t/2}\qquad\text{et}\qquad g(t)=e^{-t/2}.

1. Compléter le tableau suivant avec des valeurs exactes :

$t$	$-2$	$0$	$2$
$f(t)$
$g(t)$

2. Montrer que

g(t)=f(-t)

et que

f(t)g(t)=1

.
3. En déduire la relation géométrique entre les deux courbes.
4. Préciser les variations de

f

et de

g

Exercice 25

Non commencéIntermédiaire

Se ramener à $e^0$ . Résoudre dans

\mathbb{R}

l'équation

e^x \times e^{-2} = 1

Exercice 26

Non commencéIntermédiaire

Factoriser par $e^x$ . Résoudre dans

\mathbb{R}

l'équation

e^{2x} - e^x = 0

Exercice 27

Non commencéIntermédiaire

Inéquation. Résoudre dans

\mathbb{R}

l'inéquation

e^x > 1

Exercice 28

Non commencéIntermédiaire

Tangente en 0. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de

f(x) = e^x

au point d'abscisse

0

Exercice 29

Non commencéDifficile

Dérivée d'un quotient d'exponentielles. Déterminer la dérivée de

f(x) = \dfrac{e^x + 1}{e^x - 1}

(là où

e^x \neq 1

Exercice 30

Non commencéDifficile

Étude d'un produit. Soit

f(x) = x\,e^x

. Déterminer

f'(x)

, étudier son signe, et en déduire l'extremum de

f

Exercice 31

Non commencéDifficile

Un autre produit. Soit

f(x) = (x - 1)e^x

. Montrer que

f'(x) = x\,e^x

, puis déterminer l'extremum de

f

Exercice 32

Non commencéDifficile

17 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : suite géométrique · propriétés algébriques de l’exponentielle · dérivée de e^(at)

Objectifs : relier modèle continu et suite géométrique · interpréter une raison · étudier un modèle de croissance

Du modèle continu au modèle discret. Une population est modélisée, pour

t\geqslant0

exprimé en années, par

P(t)=2000e^{0{,}03t}.

Pour tout entier naturel

n

, on pose

u_n=P(n)

.

1. Calculer

P(0)

et interpréter cette valeur.
2. Montrer que

(u_n)

est une suite géométrique et donner sa raison exacte.
3. Montrer que, pour tout réel

t\geqslant0

P(t+5)=e^{0{,}15}P(t).

Interpréter le facteur

e^{0{,}15}

.
4. Calculer

P'(t)

et justifier que le modèle décrit une croissance.

Exercice 33

Non commencéDifficile

Tangente en 1. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de

f(x) = e^x

au point d'abscisse

1

Exercice 34

Non commencéDifficile

Inéquation à exposants. Résoudre dans

\mathbb{R}

l'inéquation

e^{2x} \leqslant e^{x + 2}

Exercice 35

Non commencéDifficile

15 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : exponentielle d’une somme · dérivée de e^(at) · interprétation d’un facteur multiplicatif

Objectifs : analyser un modèle de décroissance · comparer des valeurs sans logarithme · interpréter un facteur temporel

Élimination d’un médicament. La quantité, en milligrammes, d’un médicament présente dans le sang

t

heures après l’injection est modélisée par

Q(t)=80e^{-0{,}25t}\qquad(t\geqslant0).

1. Déterminer la quantité initiale.
2. Calculer

Q'(t)

et justifier le sens de variation de

Q

.
3. Montrer que, pour tout

t\geqslant0

Q(t+4)=e^{-1}Q(t).

4. Comparer exactement

Q(8)

Q(4)

, puis interpréter le résultat.

Exercice 36

Non commencéAvancé

Une inégalité de référence. On pose

g(x) = e^x - x - 1

. Montrer que, pour tout réel

x

e^x \geqslant x + 1

, et préciser le cas d'égalité.

Exercice 37

Non commencéAvancé

L'exponentielle dépasse l'identité. Soit

f(x) = e^x - x

. Étudier les variations de

f

et en déduire que

e^x > x

pour tout réel

x

Exercice 38

Non commencéAvancé

20 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : définition de l’exponentielle par y’=y · approximation affine · suite définie par récurrence

Objectifs : construire l’exponentielle par la méthode d’Euler · traduire une approximation en récurrence · calculer une approximation numérique

Construire l’exponentielle par la méthode d’Euler. La fonction exponentielle vérifie

y'=y

y(0)=1

. Avec un pas

h=0{,}2

, la méthode d’Euler remplace, à chaque étape,

y(t+h)

par l’approximation

y(t)+h\,y'(t).

On définit ainsi

y_0=1

et, pour

n=0,1,2,3,4

y_{n+1}=y_n+0{,}2y_n.

1. Montrer que

y_{n+1}=1{,}2y_n

.
2. Calculer successivement

y_1

y_2

y_3

y_4

y_5

.
3. Expliquer pourquoi

y_5

fournit une approximation de

e

.
4. Comparer cette approximation à

e\approx2{,}71828

Exercice 39

Non commencéAvancé

18 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : puissances · boucle Python · lecture d’une table numérique

Objectifs : expérimenter numériquement autour du nombre e · compléter un programme simple · interpréter une approximation

Une table numérique qui approche $e$ . Pour un entier

n\geqslant1

, on pose

a_n=\left(1+\frac1n\right)^n.

1. Calculer exactement

a_1

a_2

a_4

.
2. Le programme suivant doit afficher

a_n

pour

n

dans la liste

[1,2,4,10,100]

. Compléter l’expression manquante.

valeurs = [1, 2, 4, 10, 100]
for n in valeurs:
    a = ...
    print(n, a)

3. L’exécution fournit, en arrondissant :

$n$	$1$	$2$	$4$	$10$	$100$
$a_n$	$2$	$2{,}25$	$2{,}44140625$	$2{,}59374246$	$2{,}70481383$

Décrire l’évolution observée et comparer les valeurs à

e\approx2{,}71828

Exercice 40

Non commencéAvancé

Propriété géométrique de la tangente. Soit

f(x) = e^x

a

un réel. Déterminer l'abscisse du point où la tangente à la courbe au point d'abscisse

a

coupe l'axe des abscisses.

Exercice 41

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : règles sur les puissances · définition de l’exponentielle · calcul littéral

Objectifs : utiliser les propriétés de l’exponentielle · simplifier des quotients · obtenir une expression constante

Calculs avec l’exponentielle. Simplifier les expressions suivantes, définies pour tout réel

x

A=e^{x+2}e^{-x},\qquad B=\frac{e^{3x-1}}{e^{x+4}},\qquad C=e^{-2x}\left(e^x\right)^2.

Préciser lesquelles de ces expressions sont constantes.

Exercice 42

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : dérivée de $e^{ax}$ · positivité de l’exponentielle · valeur en zéro

Objectifs : dériver une exponentielle · justifier une décroissance · calculer une valeur approchée

Décroissance exponentielle. Pour

t\geqslant0

, on pose

f(t)=7e^{-0{,}3t}.

1. Calculer

f(0)

.
2. Déterminer

f'(t)

et étudier son signe.
3. En déduire le sens de variation de

f

.
4. Donner

f(10)

sous forme exacte, puis une valeur approchée en utilisant

e^{-3}\approx0{,}0498

Exercice 43

Non commencéFacile

9 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : modèle exponentiel · dérivation · calculatrice

Objectifs : interpréter un modèle exponentiel · calculer une évolution · relier dérivée et croissance

Une population modélisée en temps continu. Une population, exprimée en milliers d’individus, est modélisée pour

t\geqslant0

par

P(t)=120e^{0{,}08t},

où

t

est exprimé en années.

1. Interpréter

P(0)

.
2. Montrer que la population modélisée est croissante.
3. Calculer

P(5)

à l’individu près, en utilisant

e^{0{,}4}\approx1{,}4918247

Exercice 44

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : croissance de l’exponentielle · comparaison d’exposants · équation du premier degré

Objectifs : comparer deux modèles exponentiels · résoudre une égalité en comparant les exposants · interpréter un instant de croisement

Comparer deux modèles. Pour

t\geqslant0

, deux quantités sont modélisées par

A(t)=2e^{0{,}3t}\qquad\text{et}\qquad B(t)=2e^{2-0{,}1t}.

1. Déterminer l’instant où

A(t)=B(t)

.
2. Comparer

A(t)

B(t)

avant puis après cet instant.
3. Donner leur valeur commune exacte.

Exercice 45

Non commencéIntermédiaire

14 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : dérivée d’un produit · positivité de l’exponentielle · équation de tangente

Objectifs : dériver un produit avec une exponentielle · étudier des variations · relier zéros et intersections avec les axes

Étude de $(x-1)e^x$ . On pose, pour tout réel

x

f(x)=(x-1)e^x.

1. Montrer que

f'(x)=xe^x

.
2. Dresser le tableau de variations de

f

.
3. Déterminer le minimum de

f

.
4. Calculer les coordonnées des intersections de la courbe avec les deux axes.

Exercice 46

Non commencéIntermédiaire

15 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : équation différentielle $y'=ay$ · suite définie par récurrence · pourcentages

Objectifs : mettre en œuvre la méthode d’Euler · comparer approximation et solution exacte · interpréter un pas de calcul

Méthode d’Euler et croissance exponentielle. Une quantité vérifie

y'(t)=0{,}2y(t)\qquad\text{et}\qquad y(0)=100.

On applique la méthode d’Euler avec un pas

h=0{,}5

. On note

u_n

l’approximation de

y(0{,}5n)

.

1. Montrer que

u_{n+1}=1{,}1u_n

.
2. Calculer

u_1

u_2

u_3

u_4

.
3. Comparer

u_4

à la valeur exacte

y(2)=100e^{0{,}4}

, avec

e^{0{,}4}\approx1{,}4918

Exercice 47

Non commencéDifficile

17 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : dérivée d’un produit · équation $x^2=a$ · tableau de variations

Objectifs : factoriser une dérivée contenant une exponentielle · étudier une fonction sur ℝ · calculer des extremums exacts

Polynôme multiplié par une exponentielle. On définit sur

\mathbb R

f(x)=(x^2-2x)e^x.

1. Montrer que

f'(x)=(x^2-2)e^x

.
2. Étudier le signe de

f'

puis dresser le tableau de variations de

f

.
3. Donner les valeurs exactes du maximum local et du minimum local.

Exercice 48

Non commencéDifficile

16 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : tangente · variations de l’exponentielle · preuve d’une inégalité

Objectifs : comparer une courbe à une tangente · prouver une inégalité par un minimum · déterminer un cas d’égalité

L’exponentielle au-dessus de sa tangente. On pose

h(x)=e^x-x-1

sur

\mathbb R

.

1. Calculer

h'(x)

et étudier son signe.
2. Déterminer le minimum de

h

.
3. En déduire que, pour tout réel

x

e^x\geqslant x+1.

4. Interpréter graphiquement cette inégalité à l’aide de la tangente à la courbe de l’exponentielle en

0

Exercice 49

Non commencéAvancé

19 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : dérivée d’un produit · modèle exponentiel décroissant · maximum

Objectifs : étudier un modèle produit · déterminer un instant optimal · interpréter une valeur exacte et approchée

Concentration d’un médicament. Pour

t\geqslant0

, une concentration est modélisée par

C(t)=(t+1)e^{-t/2},

en mg/L, où

t

est exprimé en heures.

1. Montrer que

C'(t)=\frac{1-t}{2}e^{-t/2}.

2. Étudier les variations de

C

sur

[0;+\infty[

.
3. À quel instant la concentration est-elle maximale ? Donner cette concentration sous forme exacte puis approchée avec

e^{-1/2}\approx0{,}6065

.
4. Comparer la concentration maximale à la concentration initiale.

Exercice 50

Non commencéAvancé

20 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : dérivée d’un produit · carré parfait · tangente horizontale

Objectifs : analyser un point stationnaire · prouver une monotonie malgré une dérivée nulle · éviter une conclusion abusive sur les extremums

Une dérivée nulle sans extremum. On considère

g(x)=(x^2+1)e^{-x}

sur

\mathbb R

.

1. Montrer que

g'(x)=-(x-1)^2e^{-x}.

2. Déterminer le sens de variation de

g

.
3. Montrer que la tangente au point d’abscisse

1

est horizontale et donner son équation.
4. Expliquer pourquoi

g

n’admet pourtant pas d’extremum local en

1

Aller plus loin sur ce chapitre

Les 4 problèmes de synthèse et 2 devoirs surveillés restent sur la page du chapitre : ils mobilisent plusieurs notions à la fois et s'abordent une fois ces exercices maîtrisés.

Voir les 4 problèmes de synthèse et 2 devoirs surveillés sur la fonction exponentielle