🇫🇷 France 🇲🇦 Maroc
Accueil › Première Spé › Dérivation
II Analyse · Chapitre 03 / 10

Dérivation

Nombre dérivé, tangente, fonction dérivée.

8 min de lecture
4 sections, 5 exemples
40 exercices · 4 problèmes

Conforme au programme officiel 2025-2026 · mis à jour le · notre méthode de vérification

L'essentiel en 30 secondes

Le nombre dérivé f′(a) est la limite du taux d'accroissement de f en a : il mesure la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. Cette tangente a pour équation y = f′(a)(x − a) + f(a). Les formules de dérivation (puissances, produit, quotient) permettent ensuite de calculer la fonction dérivée f′ sans passer par une limite.

1 I. Nombre dérivé

Dériver, c'est mesurer la façon dont une fonction varie localement, autour d'un point. L'outil de base est le taux de variation, qui compare la variation des images à la variation de la variable.

Démonstration (exigible) — nombre dérivé de x2x^2
Soit f(x)=x2f(x) = x^2 et aa un réel. Pour h≠0h \neq 0 :

f(a+h)−f(a)h=(a+h)2−a2h=a2+2ah+h2−a2h=2ah+h2h=2a+h\frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h

Quand hh devient proche de 00, 2a+h2a + h se rapproche de 2a2a. Donc ff est dérivable en aa et f′(a)=2af'(a) = 2a. □\square

2 II. Tangente à une courbe

3 III. Fonction dérivée et dérivées usuelles

f(x)f(x)f′(x)f'(x)sur
kk (constante)00R\mathbb{R}
xx11R\mathbb{R}
xnx^n (n⩾1n \geqslant 1 entier)n xn−1n\,x^{n-1}R\mathbb{R}
1x\dfrac{1}{x}−1x2-\dfrac{1}{x^2}R∗\mathbb{R}^*
x\sqrt{x}12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}]0 ;+∞[]0\,;+\infty[
Démonstration (exigible) — dérivée de 1x\dfrac{1}{x}
Soit f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x} et a≠0a \neq 0. Pour h≠0h \neq 0 (et a+h≠0a + h \neq 0) :

f(a+h)−f(a)h=1a+h−1ah=a−(a+h)a(a+h)h=−hh a(a+h)=−1a(a+h)\frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \frac{\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}}{h} = \frac{\frac{a - (a+h)}{a(a+h)}}{h} = \frac{-h}{h\,a(a+h)} = \frac{-1}{a(a+h)}

Quand hh se rapproche de 00, a+ha + h se rapproche de aa, donc le taux se rapproche de −1a2-\dfrac{1}{a^2}. Ainsi f′(a)=−1a2f'(a) = -\dfrac{1}{a^2}. □\square

4 IV. Opérations sur les dérivées

FonctionDérivéeCondition
k uk\,uk u′k\,u'
u+vu + vu′+v′u' + v'
u vu\,vu′v+u v′u'v + u\,v'
1v\dfrac{1}{v}−v′v2-\dfrac{v'}{v^2}v≠0v \neq 0
uv\dfrac{u}{v}u′v−u v′v2\dfrac{u'v - u\,v'}{v^2}v≠0v \neq 0

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le nombre dérivé ?
C'est la limite du taux d'accroissement f(a+h)−f(a)h\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} quand hh tend vers 00. Géométriquement, c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse aa.
Comment dériver un produit et un quotient ?
Pour un produit, (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'. Pour un quotient, (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} — attention à l'ordre au numérateur, l'inverser change le signe du résultat.
À quoi sert la dérivée ?
Elle donne le sens de variation : la fonction croît là où f′>0f' > 0 et décroît là où f′<0f' < 0. Elle permet aussi de trouver les extremums (là où f′f' s'annule en changeant de signe) et d'écrire l'équation d'une tangente.

Nombre dérivé et tangente

Dérivées usuelles

f(x)f(x)f′(x)f'(x)
kk00
xnx^nn xn−1n\,x^{n-1}
1x\dfrac{1}{x}−1x2-\dfrac{1}{x^2}
x\sqrt{x}12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Opérations

FonctionDérivée
kukuku′ku'
u+vu + vu′+v′u' + v'
uvuvu′v+uv′u'v + uv'
1v\dfrac{1}{v}−v′v2-\dfrac{v'}{v^2}
uv\dfrac{u}{v}u′v−uv′v2\dfrac{u'v - uv'}{v^2}

Pièges à éviter

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Taux de variation. Soit f(x)=x2f(x) = x^2. Calculer le taux de variation de ff entre 11 et 1+h1 + h (avec h≠0h \neq 0), le simplifier, puis en déduire f′(1)f'(1).
Correction détaillée
$$\frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = 2 + h$$ Quand $h$ se rapproche de $0$, ce taux se rapproche de $2$. Donc $f'(1) = 2$.
Exercice 2
Facile
Nombre dérivé général. Soit f(x)=x2f(x) = x^2. En reprenant le calcul du taux de variation entre aa et a+ha + h, montrer que f′(a)=2af'(a) = 2a.
Correction détaillée
$$\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h \xrightarrow[h \to 0]{} 2a$$ Donc $f'(a) = 2a$.
Exercice 3
Facile
Dérivée d'une puissance. Déterminer la dérivée de f(x)=x4f(x) = x^4.
Correction détaillée
$f'(x) = 4x^{3}$.
Exercice 4
Facile
Dérivée d'un trinôme. Déterminer la dérivée de f(x)=3x2−5x+2f(x) = 3x^2 - 5x + 2.
Correction détaillée
$f'(x) = 3 \times 2x - 5 = 6x - 5$.
Exercice 5
Facile
Dérivée d'un polynôme. Déterminer la dérivée de f(x)=x3−2x2+7x−1f(x) = x^3 - 2x^2 + 7x - 1.
Correction détaillée
$f'(x) = 3x^2 - 4x + 7$.
Exercice 6
Facile
Dérivée de l'inverse. Soit f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}. Donner f′(x)f'(x), puis calculer f′(2)f'(2).
Correction détaillée
$f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$, donc $f'(2) = -\dfrac{1}{4}$.
Exercice 7
Facile
Dérivée de la racine. Soit f(x)=xf(x) = \sqrt{x}. Donner f′(x)f'(x), puis calculer f′(4)f'(4).
Correction détaillée
$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, donc $f'(4) = \dfrac{1}{2 \times 2} = \dfrac{1}{4}$.
Exercice 8
Facile
Dérivée d'une constante. Déterminer la dérivée de la fonction constante f(x)=5f(x) = 5.
Correction détaillée
La dérivée d'une constante est nulle : $f'(x) = 0$.
Exercice 9
Facile
Coefficient devant une puissance. Déterminer la dérivée de f(x)=2x5f(x) = 2x^5.
Correction détaillée
$f'(x) = 2 \times 5x^4 = 10x^4$.
Exercice 10
Facile
Nombre dérivé. Soit f(x)=x2−3xf(x) = x^2 - 3x. Donner f′(x)f'(x), puis calculer f′(2)f'(2).
Correction détaillée
$f'(x) = 2x - 3$, donc $f'(2) = 4 - 3 = 1$.
Exercice 11
Facile
Équation de tangente. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f(x)=x2f(x) = x^2 au point d'abscisse a=3a = 3.
Correction détaillée
$f(3) = 9$ et $f'(3) = 6$ : la tangente est $y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9$.
Exercice 12
Facile
Tangente (bis). Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f(x)=x2−4x+1f(x) = x^2 - 4x + 1 au point d'abscisse a=1a = 1.
Correction détaillée
$f(1) = -2$ et $f'(x) = 2x - 4$ donc $f'(1) = -2$ : la tangente est $y = -2(x - 1) - 2 = -2x$.
Exercice 13
Facile
Tangente horizontale. Soit f(x)=−x2+6xf(x) = -x^2 + 6x. Déterminer f′(x)f'(x) et l'abscisse du point où la tangente est horizontale.
Correction détaillée
$f'(x) = -2x + 6$. La tangente est horizontale lorsque $f'(x) = 0$, soit $x = 3$.
Exercice 14
Facile
Nombre dérivé du cube. Soit f(x)=x3f(x) = x^3. Calculer f′(−1)f'(-1).
Correction détaillée
$f'(x) = 3x^2$, donc $f'(-1) = 3$.
Exercice 15
Facile
Tangente en 0. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f(x)=4x2−7f(x) = 4x^2 - 7 au point d'abscisse 00.
Correction détaillée
$f(0) = -7$ et $f'(x) = 8x$ donc $f'(0) = 0$ : la tangente est horizontale, d'équation $y = -7$.
Exercice 16
Intermédiaire
Dérivée d'un produit. Déterminer la dérivée de f(x)=(2x+1)(x−3)f(x) = (2x + 1)(x - 3).
Correction détaillée
Avec $u = 2x + 1$ ($u' = 2$) et $v = x - 3$ ($v' = 1$) : $$f'(x) = 2(x - 3) + (2x + 1) = 2x - 6 + 2x + 1 = 4x - 5$$ (On peut vérifier en développant $f(x) = 2x^2 - 5x - 3$.)
Exercice 17
Intermédiaire
Produit (bis). Déterminer la dérivée de f(x)=(x2+1)(x−2)f(x) = (x^2 + 1)(x - 2).
Correction détaillée
Avec $u = x^2 + 1$ ($u' = 2x$) et $v = x - 2$ ($v' = 1$) : $$f'(x) = 2x(x - 2) + (x^2 + 1) = 2x^2 - 4x + x^2 + 1 = 3x^2 - 4x + 1$$
Exercice 18
Intermédiaire
Dérivée d'un quotient. Déterminer la dérivée de f(x)=xx+1f(x) = \dfrac{x}{x + 1} (sur R∖{−1}\mathbb{R} \setminus \{-1\}).
Correction détaillée
Avec $u = x$ ($u' = 1$) et $v = x + 1$ ($v' = 1$) : $$f'(x) = \frac{1 \times (x + 1) - x \times 1}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2}$$
Exercice 19
Intermédiaire
Quotient (bis). Déterminer la dérivée de f(x)=2x−1x+3f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3}.
Correction détaillée
Avec $u = 2x - 1$ ($u' = 2$) et $v = x + 3$ ($v' = 1$) : $$f'(x) = \frac{2(x + 3) - (2x - 1)}{(x + 3)^2} = \frac{7}{(x + 3)^2}$$
Exercice 20
Intermédiaire
Inverse d'un trinôme. Déterminer la dérivée de f(x)=1x2+1f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}.
Correction détaillée
Avec la formule $\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$, où $v = x^2 + 1$ ($v' = 2x$) : $$f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$$
Exercice 21
Intermédiaire
Produit avec racine. Déterminer la dérivée de f(x)=x (x−4)f(x) = \sqrt{x}\,(x - 4) sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.
Correction détaillée
Avec $u = \sqrt{x}$ ($u' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$) et $v = x - 4$ ($v' = 1$) : $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}(x - 4) + \sqrt{x} = \frac{x - 4}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} = \frac{x - 4 + 2x}{2\sqrt{x}} = \frac{3x - 4}{2\sqrt{x}}$$
Exercice 22
Intermédiaire
Tangente à l'hyperbole. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x} au point d'abscisse a=2a = 2.
Correction détaillée
$f(2) = \dfrac{1}{2}$ et $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ donc $f'(2) = -\dfrac{1}{4}$ : $$y = -\frac{1}{4}(x - 2) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x + 1$$
Exercice 23
Intermédiaire
Tangente à la racine. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f(x)=xf(x) = \sqrt{x} au point d'abscisse a=9a = 9.
Correction détaillée
$f(9) = 3$ et $f'(9) = \dfrac{1}{2\sqrt{9}} = \dfrac{1}{6}$ : $$y = \frac{1}{6}(x - 9) + 3 = \frac{1}{6}x + \frac{3}{2}$$
Exercice 24
Intermédiaire
Point à tangente horizontale. Soit f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5. Déterminer les coordonnées du point où la tangente à la courbe est horizontale.
Correction détaillée
$f'(x) = 2x - 6$ s'annule en $x = 3$. Alors $f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$ : le point est $(3\,;-4)$.
Exercice 25
Intermédiaire
Tangente de pente imposée. Soit f(x)=x2f(x) = x^2. Déterminer le point de la courbe où la tangente a pour coefficient directeur 44, ainsi qu'une équation de cette tangente.
Correction détaillée
On résout $f'(x) = 2x = 4$, soit $x = 2$. Le point est $(2\,;4)$ et la tangente est $y = 4(x - 2) + 4 = 4x - 4$.
Exercice 26
Intermédiaire
Tangente à une cubique. Soit f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 11.
Correction détaillée
$f(1) = 1 - 3 = -2$ et $f'(x) = 3x^2 - 3$ donc $f'(1) = 0$ : la tangente est horizontale, $y = -2$.
Exercice 27
Intermédiaire
Simplifier avant de dériver. Soit f(x)=3x2−1xf(x) = \dfrac{3x^2 - 1}{x} (sur R∗\mathbb{R}^*). Écrire f(x)f(x) sous forme 3x−1x3x - \dfrac{1}{x}, puis en déduire f′(x)f'(x).
Correction détaillée
$f(x) = \dfrac{3x^2}{x} - \dfrac{1}{x} = 3x - \dfrac{1}{x}$. Alors : $$f'(x) = 3 - \left(-\frac{1}{x^2}\right) = 3 + \frac{1}{x^2}$$
Exercice 28
Intermédiaire
Lecture d'une tangente. La tangente à la courbe de ff au point d'abscisse 22 a pour équation y=3x−1y = 3x - 1. En déduire f(2)f(2) et f′(2)f'(2).
Correction détaillée
Le coefficient directeur de la tangente est $f'(2) = 3$. L'ordonnée du point de contact est $f(2) = 3 \times 2 - 1 = 5$.
Exercice 29
Difficile
Quotient à numérateur du second degré. Déterminer la dérivée de f(x)=x2+x+1x−1f(x) = \dfrac{x^2 + x + 1}{x - 1} (sur R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\}).
Correction détaillée
Avec $u = x^2 + x + 1$ ($u' = 2x + 1$) et $v = x - 1$ ($v' = 1$) : $$f'(x) = \frac{(2x + 1)(x - 1) - (x^2 + x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - x - 1 - x^2 - x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 2}{(x - 1)^2}$$
Exercice 30
Difficile
Tangentes issues d'un point. Soit f(x)=x2f(x) = x^2. Déterminer les équations des tangentes à la courbe qui passent par le point A(0 ;−1)A(0\,;-1).
Correction détaillée
La tangente au point d'abscisse $a$ est $y = 2a(x - a) + a^2 = 2ax - a^2$. Elle passe par $A(0\,;-1)$ lorsque $-a^2 = -1$, soit $a = 1$ ou $a = -1$. - $a = 1$ : $y = 2x - 1$ ; - $a = -1$ : $y = -2x - 1$. Il y a donc **deux** tangentes issues de $A$.
Exercice 31
Difficile
Tangentes horizontales d'une cubique. Soit f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Déterminer les coordonnées des points où la tangente à la courbe est horizontale.
Correction détaillée
$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ s'annule en $x = 0$ et $x = 2$. $f(0) = 2$ et $f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$ : les points sont $(0\,;2)$ et $(2\,;-2)$.
Exercice 32
Difficile
Pente imposée sur une cubique. Soit f(x)=x3f(x) = x^3. Déterminer les points de la courbe où la tangente a pour coefficient directeur 1212, et les équations de ces tangentes.
Correction détaillée
$f'(x) = 3x^2 = 12 \iff x^2 = 4 \iff x = \pm 2$. - En $x = 2$ : $f(2) = 8$, tangente $y = 12(x - 2) + 8 = 12x - 16$ ; - En $x = -2$ : $f(-2) = -8$, tangente $y = 12(x + 2) - 8 = 12x + 16$.
Exercice 33
Difficile
Annuler une dérivée (quotient). Soit f(x)=x−1x2+1f(x) = \dfrac{x - 1}{x^2 + 1}. Déterminer f′(x)f'(x), puis les abscisses des points où la tangente est horizontale.
Correction détaillée
Avec $u = x - 1$ ($u' = 1$) et $v = x^2 + 1$ ($v' = 2x$) : $$f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - (x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)^2}$$ La tangente est horizontale quand le numérateur s'annule : $-x^2 + 2x + 1 = 0 \iff x^2 - 2x - 1 = 0$, soit (via $\Delta = 8$) $x = 1 \pm \sqrt{2}$.
Exercice 34
Difficile
Intersection de deux tangentes. Soit f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3. Déterminer les tangentes T0T_0 et T4T_4 aux points d'abscisses 00 et 44, puis les coordonnées de leur point d'intersection.
Correction détaillée
$f'(x) = 2x - 4$. $T_0$ : $f(0) = 3$, $f'(0) = -4$, d'où $y = -4x + 3$. $T_4$ : $f(4) = 3$, $f'(4) = 4$, d'où $y = 4(x - 4) + 3 = 4x - 13$. Intersection : $-4x + 3 = 4x - 13 \iff 8x = 16 \iff x = 2$, et $y = -4 \times 2 + 3 = -5$. Point $(2\,;-5)$.
Exercice 35
Difficile
Nombre dérivé de 1x\dfrac{1}{x} par le taux. Soit f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}. À l'aide du taux de variation entre aa et a+ha + h, retrouver f′(a)f'(a), puis calculer f′(3)f'(3).
Correction détaillée
$$\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}}{h} = \frac{-h}{h\,a(a+h)} = \frac{-1}{a(a+h)} \xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{1}{a^2}$$ Donc $f'(a) = -\dfrac{1}{a^2}$, et $f'(3) = -\dfrac{1}{9}$.
Exercice 36
Avancé
Tangentes passant par un point donné. Soit f(x)=x2f(x) = x^2. Déterminer les tangentes à la courbe passant par le point B(2 ;3)B(2\,;3).
Correction détaillée
La tangente au point d'abscisse $a$ est $y = 2ax - a^2$. Elle passe par $B(2\,;3)$ lorsque $3 = 4a - a^2$, soit $a^2 - 4a + 3 = 0$. $\Delta = 4 > 0$ : $a = 1$ ou $a = 3$. - $a = 1$ : $y = 2x - 1$ ; - $a = 3$ : $y = 6x - 9$. *Vérification :* pour $a = 1$, $2 \times 2 - 1 = 3$ ✓ ; pour $a = 3$, $6 \times 2 - 9 = 3$ ✓.
Exercice 37
Avancé
Déterminer une fonction par sa tangente. Soit f(x)=ax2+bx+3f(x) = ax^2 + bx + 3. Déterminer aa et bb pour que la tangente à la courbe au point d'abscisse 11 soit la droite d'équation y=2x+1y = 2x + 1.
Correction détaillée
La tangente en $1$ a pour pente $f'(1)$ et passe par $(1\,; f(1))$. Deux conditions : - **Pente :** $f'(x) = 2ax + b$, donc $f'(1) = 2a + b = 2$. - **Point de contact sur la droite :** $f(1) = a + b + 3$ doit valoir $2 \times 1 + 1 = 3$, d'où $a + b = 0$. Le système $\begin{cases} 2a + b = 2 \\ a + b = 0 \end{cases}$ donne (par soustraction) $a = 2$, puis $b = -2$. Ainsi $f(x) = 2x^2 - 2x + 3$.
Exercice 38
Avancé
Cubique à tangente horizontale imposée. Soit f(x)=x3+ax+bf(x) = x^3 + ax + b. Déterminer aa et bb pour que la courbe passe par le point (1 ;0)(1\,;0) avec une tangente horizontale en ce point. Factoriser alors f(x)f(x).
Correction détaillée
**Passage par $(1\,;0)$ :** $f(1) = 1 + a + b = 0$. **Tangente horizontale en $1$ :** $f'(x) = 3x^2 + a$, donc $f'(1) = 3 + a = 0$, soit $a = -3$. Alors $1 - 3 + b = 0$ donne $b = 2$. Ainsi $f(x) = x^3 - 3x + 2$. Comme $1$ est racine double (valeur et dérivée nulles), $f(x) = (x - 1)^2(x + 2)$. *Vérification :* $(x-1)^2(x+2) = (x^2 - 2x + 1)(x + 2) = x^3 - 3x + 2$ ✓.
Exercice 39
Avancé
Une propriété générale de la parabole. Soit f(x)=x2f(x) = x^2 et aa un réel non nul. On note MM le point de la courbe d'abscisse aa. Montrer que la tangente en MM coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse a2\dfrac{a}{2}.
Correction détaillée
La tangente en $M$ est $y = 2a(x - a) + a^2 = 2ax - a^2$. Elle coupe l'axe des abscisses là où $y = 0$ : $$2ax - a^2 = 0 \iff x = \frac{a^2}{2a} = \frac{a}{2} \quad (a \neq 0)$$ La tangente coupe donc l'axe des abscisses en $\left(\dfrac{a}{2}\,;0\right)$, quelle que soit la valeur de $a \neq 0$.
Exercice 40
Avancé
Droite tangente issue de l'origine. Déterminer les valeurs du réel mm pour lesquelles la droite d'équation y=mxy = mx est tangente à la courbe de f(x)=x2−x+1f(x) = x^2 - x + 1.
Correction détaillée
La droite $y = mx$ est tangente en un point d'abscisse $a$ si elle a le même point et la même pente que la courbe : - **Pente :** $f'(a) = 2a - 1 = m$ ; - **Point commun :** $f(a) = a^2 - a + 1 = ma$. En substituant $m = 2a - 1$ dans la seconde équation : $a^2 - a + 1 = (2a - 1)a = 2a^2 - a$, soit $a^2 = 1$, d'où $a = 1$ ou $a = -1$. - $a = 1$ : $m = 2 \times 1 - 1 = 1$ ; - $a = -1$ : $m = -2 - 1 = -3$. Les valeurs cherchées sont $m = 1$ et $m = -3$. (On retrouve la condition de tangence du chapitre sur le second degré : $x^2 - (m+1)x + 1 = 0$ a un discriminant nul.)
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Tangentes à une parabole
Facile
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3, de courbe C\mathcal{C}.

Partie A — Fonction dérivée

1.
Déterminer f′(x)f'(x), puis calculer f′(0)f'(0) et f′(3)f'(3).
$f'(x) = 2x - 2$. Donc $f'(0) = -2$ et $f'(3) = 4$.
2.
Déterminer l'abscisse du point de C\mathcal{C} où la tangente est horizontale.
$f'(x) = 2x - 2 = 0 \iff x = 1$. C'est le sommet de la parabole, de coordonnées $(1\,;-4)$.

Partie B — Équations de tangentes

3.
Déterminer une équation de la tangente à C\mathcal{C} au point d'abscisse 00.
$f(0) = -3$ et $f'(0) = -2$ : $y = -2(x - 0) - 3 = -2x - 3$.
4.
Déterminer une équation de la tangente à C\mathcal{C} au point d'abscisse 33.
$f(3) = 0$ et $f'(3) = 4$ : $y = 4(x - 3) + 0 = 4x - 12$.
Problème 2 — Une fonction homographique
Intermédiaire
On considère la fonction ff définie sur R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} par f(x)=2x+1x−1f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}, de courbe C\mathcal{C}.

Partie A — Dérivée

1.
Montrer que f′(x)=−3(x−1)2f'(x) = \dfrac{-3}{(x - 1)^2}.
Avec $u = 2x + 1$ ($u' = 2$) et $v = x - 1$ ($v' = 1$) : $$f'(x) = \frac{2(x - 1) - (2x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{-3}{(x - 1)^2}$$
2.
Quel est le signe de f′(x)f'(x) ? Qu'en déduit-on qualitativement ?
Le numérateur $-3$ est négatif et le dénominateur $(x - 1)^2$ est strictement positif : $f'(x) < 0$ sur chaque intervalle où $f$ est définie. Les tangentes ont toutes une pente négative.

Partie B — Tangentes

3.
Déterminer une équation de la tangente à C\mathcal{C} au point d'abscisse 22.
$f(2) = \dfrac{5}{1} = 5$ et $f'(2) = \dfrac{-3}{1} = -3$ : $y = -3(x - 2) + 5 = -3x + 11$.
4.
Déterminer les abscisses des points de C\mathcal{C} où la tangente a pour coefficient directeur −3-3.
On résout $f'(x) = \dfrac{-3}{(x - 1)^2} = -3$, soit $(x - 1)^2 = 1$, d'où $x - 1 = \pm 1$ : $x = 0$ ou $x = 2$.
Problème 3 — Étude des tangentes d'une cubique
Difficile
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x3−3x+1f(x) = x^3 - 3x + 1, de courbe C\mathcal{C}.

Partie A — Tangentes horizontales

1.
Déterminer f′(x)f'(x) et le factoriser.
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$.
2.
En déduire les coordonnées des points de C\mathcal{C} à tangente horizontale.
$f'(x) = 0 \iff x = 1$ ou $x = -1$. $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ et $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ : les points sont $(1\,;-1)$ et $(-1\,;3)$.

Partie B — Pente imposée

3.
Déterminer une équation de la tangente à C\mathcal{C} au point d'abscisse 22.
$f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$ et $f'(2) = 3 \times 4 - 3 = 9$ : $y = 9(x - 2) + 3 = 9x - 15$.
4.
Existe-t-il un autre point de C\mathcal{C} où la tangente a le même coefficient directeur 99 ? Si oui, donner l'équation de cette tangente.
On résout $f'(x) = 3x^2 - 3 = 9$, soit $x^2 = 4$ : $x = 2$ (déjà traité) ou $x = -2$. En $x = -2$ : $f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1$, tangente $y = 9(x + 2) - 1 = 9x + 17$.
Problème 4 — Déterminer une parabole par ses tangentes
Avancé
On considère une fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2+bx+cf(x) = x^2 + bx + c, où bb et cc sont deux réels, de courbe C\mathcal{C}.

Partie A — Détermination de bb et cc

1.
Déterminer bb et cc sachant que la tangente à C\mathcal{C} au point d'abscisse 00 a pour équation y=−4x+1y = -4x + 1.
$f'(x) = 2x + b$. La pente en $0$ est $f'(0) = b = -4$. L'ordonnée du point de contact est $f(0) = c = 1$. Donc $b = -4$ et $c = 1$ : $f(x) = x^2 - 4x + 1$.
2.
Déterminer les coordonnées du point de C\mathcal{C} où la tangente est horizontale.
$f'(x) = 2x - 4 = 0 \iff x = 2$. $f(2) = 4 - 8 + 1 = -3$ : le point (sommet) est $(2\,;-3)$.

Partie B — Tangentes issues d'un point

3.
Montrer que la tangente à C\mathcal{C} au point d'abscisse aa a pour équation y=(2a−4)x+(1−a2)y = (2a - 4)x + (1 - a^2).
$f(a) = a^2 - 4a + 1$ et $f'(a) = 2a - 4$. La tangente est $y = (2a - 4)(x - a) + a^2 - 4a + 1$. Le terme constant vaut $-(2a - 4)a + a^2 - 4a + 1 = -2a^2 + 4a + a^2 - 4a + 1 = -a^2 + 1$. D'où $y = (2a - 4)x + (1 - a^2)$.
4.
En déduire les tangentes à C\mathcal{C} passant par le point D(0 ;−3)D(0\,;-3).
La tangente passe par $D(0\,;-3)$ lorsque son ordonnée à l'origine vaut $-3$ : $1 - a^2 = -3 \iff a^2 = 4 \iff a = \pm 2$. - $a = 2$ : $y = 0 \times x + (1 - 4) = -3$ (la tangente au sommet, horizontale) ; - $a = -2$ : $y = (2 \times (-2) - 4)x + (1 - 4) = -8x - 3$. Il y a donc deux tangentes issues de $D$ : $y = -3$ et $y = -8x - 3$.