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Chapitre 04 Variations et courbes Première Spé

Exercices corrigés sur les variations et les courbes en Première spécialité

Comment passer du signe d’une dérivée au tableau de variations de la fonction ? Cette banque de Première spécialité te fait travailler cet enchaînement sur des trinômes, des polynômes de degré trois et des quotients. Tu apprends aussi à lire la courbe de la dérivée, à reconnaître les symétries d’une courbe et à comparer deux fonctions.

Les problèmes d’optimisation portent notamment sur des aires, des enclos et des distances. Avant de dériver, exprime la quantité étudiée en fonction d’une seule variable et détermine son domaine. Sur un segment, compare les valeurs aux points critiques et aux bornes pour trouver l’extremum global. Les corrections détaillent ces choix et permettent de distinguer un simple calcul de dérivée d’une réponse complète au problème posé.

50 exercices : 18 faciles, 16 intermédiaires, 9 difficiles, 7 avancés. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.

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Cours et fiche de révision sur les variations et les courbes

Les 50 exercices, du plus simple au plus complet

50 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 1

Non commencéFacile
Variations d'un trinôme. Soit f(x)=x2−6x+2f(x) = x^2 - 6x + 2. Calculer f′(x)f'(x), étudier son signe et dresser le tableau de variations de ff.

Exercice 2

Non commencéFacile
Parabole tournée vers le bas. Soit f(x)=−x2+4xf(x) = -x^2 + 4x. Étudier les variations de ff et préciser son maximum.

Exercice 3

Non commencéFacile
Fonction affine. Justifier par la dérivée que f(x)=3x−5f(x) = 3x - 5 est strictement croissante sur R\mathbb{R}.

Exercice 4

Non commencéFacile
La fonction cube. Soit f(x)=x3f(x) = x^3. Calculer f′(x)f'(x), étudier son signe et en déduire les variations de ff. Que se passe-t-il en 00 ?

Exercice 5

Non commencéFacile
Une cubique classique. Soit f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. Factoriser f′(x)f'(x), dresser le tableau de variations de ff et préciser ses extremums locaux.

Exercice 6

Non commencéFacile
Minimum d'un trinôme. Soit f(x)=x2+2x−3f(x) = x^2 + 2x - 3. Déterminer par la dérivée le minimum de ff et la valeur où il est atteint.

Exercice 7

Non commencéFacile
8 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : définition d’une fonction paire ou impaire · calcul de f(-x) · développement et réduction

Objectifs : tester la parité d’une fonction · justifier une réponse par une identité algébrique · distinguer paire, impaire et ni paire ni impaire

Paire, impaire ou aucune des deux ? Pour chacune des fonctions suivantes, calculer l’image de −x-x puis déterminer si la fonction est paire, impaire, ou ni paire ni impaire :

f(x)=x4−3x2+2,g(x)=x3−2x,h(x)=x2+x.f(x)=x^4-3x^2+2,\qquad g(x)=x^3-2x,\qquad h(x)=x^2+x.

Exercice 8

Non commencéFacile
La fonction inverse. Soit f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}. Rappeler f′(x)f'(x) et son signe. Peut-on dire que ff est décroissante sur R∗\mathbb{R}^* ? Justifier.

Exercice 9

Non commencéFacile
Maximum d'un trinôme. Soit f(x)=−2x2+8x−3f(x) = -2x^2 + 8x - 3. Étudier les variations de ff et donner son maximum.

Exercice 10

Non commencéFacile
7 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : symétrie centrale · fonction impaire · lecture de coordonnées

Objectifs : exploiter la symétrie de la courbe d’une fonction impaire · déduire des valeurs sans nouveau calcul · transformer les coordonnées d’un point

Compléter une courbe par symétrie. Une fonction ff est impaire sur [−3;3][-3;3]. On sait que sa courbe passe par les points

A(1;2),B(2;−1),C(3;0).A(1;2),\qquad B(2;-1),\qquad C(3;0).

1. Donner f(−1)f(-1), f(−2)f(-2) et f(−3)f(-3).
2. Donner les coordonnées des trois points symétriques de AA, BB et CC qui appartiennent aussi à la courbe.
3. Quelle est nécessairement la valeur de f(0)f(0) ?

Exercice 11

Non commencéFacile
Un minimum strictement positif. Soit f(x)=x2−2x+5f(x) = x^2 - 2x + 5. Étudier les variations de ff et en déduire que f(x)>0f(x) > 0 pour tout réel xx.

Exercice 12

Non commencéFacile
9 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : lien entre signe de la dérivée et variations · extremum local · tableau de signes

Objectifs : lire les variations à partir de la courbe de la dérivée · identifier des extremums locaux · repérer une tangente horizontale

Lire la courbe de f′f'. Une fonction ff est dérivable sur [−4;5][-4;5]. La courbe de sa dérivée f′f' coupe l’axe des abscisses en −1-1 et en 33. La lecture graphique donne :

• f′(x)>0f'(x)>0 sur [−4;−1[[-4;-1[ ;
• f′(x)<0f'(x)<0 sur ]−1;3[]-1;3[ ;
• f′(x)>0f'(x)>0 sur ]3;5]]3;5].

1. Dresser le tableau de variations de ff.
2. Préciser la nature des extremums locaux aux abscisses −1-1 et 33.
3. Que peut-on dire des tangentes à la courbe de ff en ces deux points ?

Exercice 13

Non commencéFacile
Tableau de variations d'une cubique. Soit f(x)=2x3−3x2f(x) = 2x^3 - 3x^2. Factoriser f′(x)f'(x), puis dresser le tableau de variations de ff.

Exercice 14

Non commencéFacile
Du signe de f′f' aux variations. Une fonction ff est dérivable sur R\mathbb{R} et sa dérivée est f′(x)=(x−2)(x+3)f'(x) = (x - 2)(x + 3). Dresser le tableau de signes de f′(x)f'(x), puis donner les variations de ff et la nature de ses points critiques.

Exercice 15

Non commencéFacile
Hauteur maximale. Une balle est lancée verticalement ; sa hauteur (en mètres) à l'instant tt (en secondes) est h(t)=−5t2+20th(t) = -5t^2 + 20t pour t∈[0 ;4]t \in [0\,;4]. À quel instant la hauteur est-elle maximale, et que vaut-elle ?

Exercice 16

Non commencéIntermédiaire
Étude complète d'une cubique. Soit f(x)=x3−6x2+9x+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1. Factoriser f′(x)f'(x), dresser le tableau de variations de ff et préciser ses extremums locaux.

Exercice 17

Non commencéIntermédiaire
Cubique de coefficient dominant négatif. Soit f(x)=−x3+3x2f(x) = -x^3 + 3x^2. Étudier les variations de ff et donner ses extremums locaux.

Exercice 18

Non commencéIntermédiaire
Somme d'une variable et de son inverse. Soit f(x)=x+1xf(x) = x + \dfrac{1}{x} sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[. Montrer que f′(x)=(x−1)(x+1)x2f'(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}, puis dresser le tableau de variations de ff sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.

Exercice 19

Non commencéIntermédiaire
Quotient à étudier sur R\mathbb{R}. Soit f(x)=xx2+1f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}. Montrer que f′(x)=1−x2(x2+1)2f'(x) = \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}, puis dresser le tableau de variations de ff et préciser ses extremums.

Exercice 20

Non commencéIntermédiaire
Fonction homographique. Soit f(x)=2x−3x+2f(x) = \dfrac{2x - 3}{x + 2} sur R∖{−2}\mathbb{R} \setminus \{-2\}. Calculer f′(x)f'(x) et en déduire les variations de ff.

Exercice 21

Non commencéIntermédiaire
Fonction bicarrée. Soit f(x)=x4−4x2f(x) = x^4 - 4x^2. Factoriser f′(x)f'(x), dresser le tableau de variations de ff et préciser ses extremums locaux.

Exercice 22

Non commencéIntermédiaire
Extremums globaux sur un segment. Soit f(x)=x3−3x2+5f(x) = x^3 - 3x^2 + 5 sur [0 ;4][0\,;4]. Dresser le tableau de variations de ff sur ce segment et déterminer son minimum et son maximum globaux.

Exercice 23

Non commencéIntermédiaire
Racines non évidentes de la dérivée. Soit f(x)=x3−x2−x+1f(x) = x^3 - x^2 - x + 1. Montrer que f′(x)=(x−1)(3x+1)f'(x) = (x - 1)(3x + 1), puis déterminer les extremums locaux de ff.

Exercice 24

Non commencéIntermédiaire
Minimum sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[. Soit f(x)=4x+1xf(x) = 4x + \dfrac{1}{x} sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[. Étudier les variations de ff et déterminer son minimum.

Exercice 25

Non commencéIntermédiaire
Monotonie et paramètre. Soit mm un réel et f(x)=x3+mxf(x) = x^3 + mx. Déterminer les valeurs de mm pour lesquelles ff est croissante sur R\mathbb{R}.

Exercice 26

Non commencéIntermédiaire
Une cubique aux coefficients plus grands. Soit f(x)=2x3−3x2−12x+4f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4. Factoriser f′(x)f'(x), puis déterminer les extremums locaux de ff.

Exercice 27

Non commencéIntermédiaire
Trinôme sur un segment. Soit f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 sur [0 ;3][0\,;3]. Dresser le tableau de variations de ff sur ce segment et donner ses extremums globaux.

Exercice 28

Non commencéIntermédiaire
12 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : signe d’un produit de deux facteurs affines · coordonnées d’un point d’intersection · position relative de deux courbes

Objectifs : introduire la différence de deux fonctions · étudier son signe · traduire un signe en position relative de courbes

Position relative de deux courbes. On considère

f(x)=x2+1etg(x)=3x−1f(x)=x^2+1\qquad\text{et}\qquad g(x)=3x-1

sur R\mathbb R. On note Cf\mathcal C_f et Cg\mathcal C_g leurs courbes représentatives.

1. Calculer h(x)=f(x)−g(x)h(x)=f(x)-g(x) et factoriser h(x)h(x).
2. Étudier le signe de hh.
3. Déterminer les points d’intersection des deux courbes.
4. Préciser sur quels intervalles Cf\mathcal C_f est au-dessus de Cg\mathcal C_g.

Exercice 29

Non commencéDifficile
Quotient avec point interdit. Soit f(x)=x2−3x−2f(x) = \dfrac{x^2 - 3}{x - 2} sur R∖{2}\mathbb{R} \setminus \{2\}. Montrer que f′(x)=(x−1)(x−3)(x−2)2f'(x) = \dfrac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 2)^2}, puis dresser le tableau de variations de ff et préciser ses extremums locaux.

Exercice 30

Non commencéDifficile
Aire maximale à périmètre fixé. Parmi tous les rectangles de périmètre 2020, déterminer celui dont l'aire est maximale. On introduira la largeur xx et on précisera l'intervalle d'étude.

Exercice 31

Non commencéDifficile
La boîte découpée. Dans un carré de carton de côté 1212, on découpe aux quatre coins des carrés de côté xx (0<x<60 < x < 6), puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle. Montrer que le volume est V(x)=x(12−2x)2V(x) = x(12 - 2x)^2, puis déterminer xx pour que le volume soit maximal.

Exercice 32

Non commencéDifficile
Démontrer une inégalité par les variations. Soit f(x)=x+4xf(x) = x + \dfrac{4}{x} sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[. Étudier les variations de ff, puis en déduire que pour tout x>0x > 0 : x+4x⩾4x + \dfrac{4}{x} \geqslant 4. Préciser le cas d'égalité.

Exercice 33

Non commencéDifficile
15 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : dérivée d’un polynôme · factorisation de x³-1 · minimum d’une fonction

Objectifs : établir une inégalité par les variations · déterminer un minimum global · identifier le cas d’égalité

Une inégalité obtenue par les variations. On définit sur [0;+∞[[0;+\infty[ la fonction

f(x)=x4−4x+3.f(x)=x^4-4x+3.

1. Montrer que
f′(x)=4(x−1)(x2+x+1).f'(x)=4(x-1)(x^2+x+1).
2. Étudier le signe de f′f' sur [0;+∞[[0;+\infty[ puis dresser les variations de ff.
3. En déduire que, pour tout x⩾0x\geqslant0,
x4+3⩾4x.x^4+3\geqslant4x.
4. Préciser le cas d’égalité.

Exercice 34

Non commencéDifficile
Distance minimale à une courbe. Soit C\mathcal{C} la courbe d'équation y=xy = \sqrt{x} et A(3 ;0)A(3\,;0). Pour M(x ;x)M(x\,;\sqrt{x}) un point de C\mathcal{C} (x⩾0x \geqslant 0), on pose g(x)=AM2g(x) = AM^2. Montrer que g(x)=x2−5x+9g(x) = x^2 - 5x + 9, puis déterminer le point de C\mathcal{C} le plus proche de AA et la distance correspondante.

Exercice 35

Non commencéDifficile
Une inégalité polynomiale. En étudiant la fonction f(x)=x3−3x+2f(x) = x^3 - 3x + 2 sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, montrer que pour tout x>0x > 0 : x3+2⩾3xx^3 + 2 \geqslant 3x. Préciser le cas d'égalité.

Exercice 36

Non commencéAvancé
16 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : nombre dérivé · extremum local · contre-exemple

Objectifs : analyser une affirmation mathématique · distinguer condition nécessaire et condition suffisante · produire un contre-exemple pertinent

Vrai ou faux : dérivée et extremums. Pour chaque affirmation, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier.

1. Si f′(a)=0f'(a)=0, alors ff admet un extremum local en aa.
2. Si ff est dérivable sur un intervalle ouvert et admet un extremum local en un point intérieur aa, alors f′(a)=0f'(a)=0.
3. Si f′f' est négative juste avant aa et positive juste après aa, alors f(a)f(a) est un minimum local.
4. Si f′(x)=0f'(x)=0 pour tout xx d’un intervalle II, alors ff est constante sur II.

Exercice 37

Non commencéAvancé
L'enclos contre le mur. Un éleveur dispose de 6060 m de grillage pour construire un enclos rectangulaire adossé à un mur (le côté le long du mur ne nécessite pas de grillage). Déterminer les dimensions de l'enclos d'aire maximale.

Exercice 38

Non commencéAvancé
Rectangle sous une parabole. Soit P\mathcal{P} la parabole d'équation y=9−x2y = 9 - x^2. Pour 0<x<30 < x < 3, on construit le rectangle de sommets (x ;0)(x\,;0), (−x ;0)(-x\,;0), (−x ;9−x2)(-x\,;9 - x^2) et (x ;9−x2)(x\,;9 - x^2). Exprimer son aire A(x)A(x), puis déterminer la valeur de xx qui la rend maximale et la valeur de cette aire.

Exercice 39

Non commencéAvancé
Le point le plus proche de l'origine. Soit H\mathcal{H} la branche d'hyperbole d'équation y=1xy = \dfrac{1}{x} avec x>0x > 0. Pour M(x ;1x)M\left(x\,;\dfrac{1}{x}\right), on pose g(x)=OM2g(x) = OM^2. Étudier gg sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ et en déduire le point de H\mathcal{H} le plus proche de l'origine OO.

Exercice 40

Non commencéAvancé
22 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : équation de la tangente · dérivée de x²-2 · calcul sur les fractions

Objectifs : mettre en œuvre la méthode de Newton · calculer des itérations exactes · contrôler numériquement une approximation

Méthode de Newton dans un cas favorable. On cherche une valeur approchée positive de 2\sqrt2, c’est-à-dire du zéro positif de

f(x)=x2−2.f(x)=x^2-2.

Pour un nombre positif xnx_n, la tangente à la courbe de ff au point d’abscisse xnx_n coupe l’axe des abscisses en xn+1x_{n+1}.

1. Montrer que
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)=12(xn+2xn).x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} =\frac12\left(x_n+\frac2{x_n}\right).
2. On choisit x0=32x_0=\dfrac32. Calculer exactement x1x_1 puis x2x_2.
3. Montrer que x22−2=1166464x_2^2-2=\dfrac1{166464}. Pourquoi ce résultat confirme-t-il la qualité de l’approximation ?
4. Compléter le principe de l’algorithme suivant : à chaque tour, remplacer xx par l’expression donnant le terme suivant.

Exercice 41

Non commencéFacile
8 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : signe de la dérivée · lecture d’un tableau · extremum local

Objectifs : déduire les variations du signe de la dérivée · identifier des extremums · lire un tableau de variations

Du signe de f′f' aux variations de ff. Une fonction ff est dérivable sur [−4;5][-4;5]. On dispose des informations suivantes :

f(−4)=1,f(−1)=6,f(3)=−2,f(5)=4,f(-4)=1,\quad f(-1)=6,\quad f(3)=-2,\quad f(5)=4,

et

• f′(x)>0f'(x)>0 sur ]−4;−1[]-4;-1[ ;
• f′(x)<0f'(x)<0 sur ]−1;3[]-1;3[ ;
• f′(x)>0f'(x)>0 sur ]3;5[]3;5[ ;
• f′(−1)=f′(3)=0f'(-1)=f'(3)=0.

1. Dresser le tableau de variations de ff.
2. Donner les extremums locaux visibles dans ce tableau.
3. Préciser les équations réduites des tangentes aux points d’abscisses −1-1 et 33.

Exercice 42

Non commencéFacile
8 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : fonction paire · symétrie axiale · coordonnées d’un point

Objectifs : exploiter la parité d’une fonction · compléter une courbe par symétrie · déduire des images

Compléter une courbe paire. La fonction ff est paire sur [−4;4][-4;4]. Sa courbe passe par

A(1;3),B(2;−1),C(4;2),A(1;3),\qquad B(2;-1),\qquad C(4;2),

et l’on sait que f(0)=−2f(0)=-2.

1. Donner f(−1)f(-1), f(−2)f(-2) et f(−4)f(-4).
2. Donner les coordonnées des symétriques de AA, BB et CC appartenant à la courbe.
3. Comparer, sans calcul supplémentaire, les tangentes éventuelles aux points d’abscisses 22 et −2-2.

Exercice 43

Non commencéFacile
10 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : factorisation · signe d’un produit · position relative de courbes

Objectifs : calculer la différence de deux fonctions · déterminer des intersections · comparer deux courbes

Une parabole et une droite. On considère

f(x)=x2−4x+3etg(x)=−x+3.f(x)=x^2-4x+3\qquad\text{et}\qquad g(x)=-x+3.

1. Factoriser f(x)−g(x)f(x)-g(x).
2. Déterminer les points d’intersection de leurs courbes Cf\mathcal C_f et Cg\mathcal C_g.
3. Préciser la position relative des deux courbes sur R\mathbb R.

Exercice 44

Non commencéIntermédiaire
13 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : mise en équation · dérivée d’un trinôme · maximum sur un intervalle

Objectifs : modéliser une aire · optimiser par les variations · interpréter un maximum

Aire maximale d’un rectangle. Un rectangle a un périmètre égal à 2020 cm. On note xx la longueur d’un côté.

1. Justifier que l’autre côté mesure 10−x10-x et que x∈[0;10]x\in[0;10].
2. Exprimer l’aire A(x)A(x) du rectangle.
3. Étudier les variations de AA sur [0;10][0;10].
4. Déterminer les dimensions donnant l’aire maximale et cette aire.

Exercice 45

Non commencéIntermédiaire
14 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : dérivée d’un polynôme · signe d’un produit · tableau de variations

Objectifs : factoriser une dérivée · dresser un tableau de variations · calculer des extremums locaux

Variations d’une fonction polynôme. Soit

f(x)=x3−3x2−9x+5.f(x)=x^3-3x^2-9x+5.

1. Montrer que f′(x)=3(x+1)(x−3)f'(x)=3(x+1)(x-3).
2. Étudier le signe de f′f' puis dresser le tableau de variations de ff.
3. Calculer les valeurs des deux extremums locaux.

Exercice 46

Non commencéIntermédiaire
14 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : équation d’une tangente · factorisation · signe d’un produit

Objectifs : déterminer une tangente · étudier la position d’une courbe par rapport à sa tangente · repérer plusieurs points de contact ou d’intersection

Une courbe et sa tangente. On considère f(x)=x3+x2f(x)=x^3+x^2 et sa courbe C\mathcal C.

1. Déterminer l’équation de la tangente TT à C\mathcal C au point d’abscisse 00.
2. Factoriser la différence entre f(x)f(x) et l’ordonnée du point de TT d’abscisse xx.
3. Étudier la position de C\mathcal C par rapport à TT.
4. La tangente TT rencontre-t-elle C\mathcal C ailleurs qu’au point de tangence ?

Exercice 47

Non commencéDifficile
18 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : dérivée d’un quotient · trinôme du second degré · tableau de variations

Objectifs : tenir compte d’une valeur interdite · étudier une fonction rationnelle · calculer exactement des extremums

Variations avec une valeur interdite. On définit

f(x)=x2+1x+1f(x)=\frac{x^2+1}{x+1}

sur R∖{−1}\mathbb R\setminus\{-1\}.

1. Montrer que
f′(x)=x2+2x−1(x+1)2.f'(x)=\frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}.
2. Résoudre x2+2x−1=0x^2+2x-1=0.
3. Dresser le tableau de variations de ff en faisant apparaître la valeur interdite.
4. Calculer les valeurs de ff aux deux points où f′f' s’annule.

Exercice 48

Non commencéDifficile
15 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : dérivée de la fonction inverse · signe d’une expression · minimum

Objectifs : prouver une inégalité par les variations · déterminer un minimum global · identifier le cas d’égalité

Une inégalité classique par les variations. Pour x>0x>0, on pose

h(x)=x+1x.h(x)=x+\frac1x.

1. Calculer h′(x)h'(x) et mettre cette dérivée sous la forme d’un quotient dont le numérateur est factorisé.
2. Étudier les variations de hh sur ]0;+∞[]0;+\infty[.
3. En déduire que, pour tout x>0x>0,
x+1x⩾2,x+\frac1x\geqslant2,
puis préciser le cas d’égalité.

Exercice 49

Non commencéAvancé
20 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : paramètre positif · dérivée d’un polynôme · racine carrée

Objectifs : étudier une famille de fonctions · exprimer des extremums en fonction d’un paramètre · déterminer un paramètre à partir d’une condition

Une famille de courbes. Pour a>0a>0, on considère

fa(x)=x3−3ax.f_a(x)=x^3-3ax.

1. Montrer que fa′(x)=3(x−a)(x+a)f_a'(x)=3(x-\sqrt a)(x+\sqrt a).
2. Dresser le tableau de variations de faf_a.
3. Calculer les valeurs des deux extremums locaux en fonction de aa.
4. Déterminer aa pour que le maximum local de faf_a soit égal à 1616.

Exercice 50

Non commencéAvancé
22 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : distance dans un repère · fonction carré · dérivée d’un polynôme

Objectifs : transformer un problème géométrique en optimisation · minimiser une distance au carré · déterminer des points optimaux

Points d’une parabole les plus proches d’un point. Dans un repère orthonormé, P\mathcal P est la parabole d’équation y=x2y=x^2 et A(0;3)A(0;3). Pour x∈Rx\in\mathbb R, on note M(x;x2)M(x;x^2) un point de P\mathcal P.

1. Montrer que
AM2=x4−5x2+9.AM^2=x^4-5x^2+9.
2. Étudier les variations de la fonction d(x)=x4−5x2+9d(x)=x^4-5x^2+9.
3. Montrer aussi que
d(x)−114=(x2−52)2.d(x)-\frac{11}{4}=\left(x^2-\frac52\right)^2.
4. En déduire les deux points de P\mathcal P les plus proches de AA et la distance minimale.

Aller plus loin sur ce chapitre

Les 4 problèmes de synthèse et 2 devoirs surveillés restent sur la page du chapitre : ils mobilisent plusieurs notions à la fois et s'abordent une fois ces exercices maîtrisés.

Voir les 4 problèmes de synthèse et 2 devoirs surveillés sur les variations et les courbes