Chapitre 03 Dérivation Première Spé

Exercices corrigés sur la dérivation en Première spécialité

Ces exercices de dérivation en Première spécialité relient le calcul du nombre dérivé à la pente d’une tangente. Tu pars du taux de variation, puis tu utilises les dérivées usuelles des polynômes, de l’inverse et de la racine carrée. Les produits et les quotients demandent de choisir une formule et de préciser où la fonction est dérivable.

Pour écrire une équation de tangente, calcule séparément la valeur de la fonction et celle de sa dérivée à l’abscisse donnée. La banque propose aussi des lectures graphiques, des approximations linéaires et des problèmes de vitesse. Les exercices sur la valeur absolue montrent pourquoi une formule valable de chaque côté d’un point ne suffit pas à y prouver la dérivabilité. Vérifie ces conditions dans la correction avant de poursuivre vers les variations.

50 exercices : 18 faciles, 16 intermédiaires, 9 difficiles, 7 avancés. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.

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Cours et fiche de révision sur la dérivation

Les 50 exercices, du plus simple au plus complet

50 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 1

Non commencéFacile

Taux de variation. Soit

f(x) = x^2

. Calculer le taux de variation de

f

entre

1

1 + h

(avec

h \neq 0

), le simplifier, puis en déduire

f'(1)

Exercice 2

Non commencéFacile

Nombre dérivé général. Soit

f(x) = x^2

. En reprenant le calcul du taux de variation entre

a

a + h

, montrer que

f'(a) = 2a

Exercice 3

Non commencéFacile

Dérivée d'une puissance. Déterminer la dérivée de

f(x) = x^4

Exercice 4

Non commencéFacile

Dérivée d'un trinôme. Déterminer la dérivée de

f(x) = 3x^2 - 5x + 2

Exercice 5

Non commencéFacile

Dérivée d'un polynôme. Déterminer la dérivée de

f(x) = x^3 - 2x^2 + 7x - 1

Exercice 6

Non commencéFacile

Dérivée de l'inverse. Soit

f(x) = \dfrac{1}{x}

. Donner

f'(x)

, puis calculer

f'(2)

Exercice 7

Non commencéFacile

Dérivée de la racine. Soit

f(x) = \sqrt{x}

. Donner

f'(x)

, puis calculer

f'(4)

Exercice 8

Non commencéFacile

Dérivée d'une constante. Déterminer la dérivée de la fonction constante

f(x) = 5

Exercice 9

Non commencéFacile

Coefficient devant une puissance. Déterminer la dérivée de

f(x) = 2x^5

Exercice 10

Non commencéFacile

Nombre dérivé. Soit

f(x) = x^2 - 3x

. Donner

f'(x)

, puis calculer

f'(2)

Exercice 11

Non commencéFacile

Équation de tangente. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de

f(x) = x^2

au point d'abscisse

a = 3

Exercice 12

Non commencéFacile

Tangente (bis). Déterminer une équation de la tangente à la courbe de

f(x) = x^2 - 4x + 1

au point d'abscisse

a = 1

Exercice 13

Non commencéFacile

Tangente horizontale. Soit

f(x) = -x^2 + 6x

. Déterminer

f'(x)

et l'abscisse du point où la tangente est horizontale.

Exercice 14

Non commencéFacile

Nombre dérivé du cube. Soit

f(x) = x^3

. Calculer

f'(-1)

Exercice 15

Non commencéFacile

Tangente en 0. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de

f(x) = 4x^2 - 7

au point d'abscisse

0

Exercice 16

Non commencéIntermédiaire

Dérivée d'un produit. Déterminer la dérivée de

f(x) = (2x + 1)(x - 3)

Exercice 17

Non commencéIntermédiaire

Produit (bis). Déterminer la dérivée de

f(x) = (x^2 + 1)(x - 2)

Exercice 18

Non commencéIntermédiaire

Dérivée d'un quotient. Déterminer la dérivée de

f(x) = \dfrac{x}{x + 1}

(sur

\mathbb{R} \setminus \{-1\}

Exercice 19

Non commencéIntermédiaire

Quotient (bis). Déterminer la dérivée de

f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3}

Exercice 20

Non commencéIntermédiaire

14 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Dérivée de la racine carrée · Équation de tangente

Objectifs : Écrire une tangente · Utiliser une approximation linéaire · Évaluer la précision d’une approximation

Utiliser une approximation linéaire. On considère

f(x)=\sqrt{x}

.

1. Calculer

f(9)

f'(9)

.
2. Écrire l'équation de la tangente à la courbe de

f

au point d'abscisse

9

.
3. Utiliser cette tangente pour obtenir une valeur approchée de

\sqrt{9{,}12}

.
4. Une calculatrice donne

\sqrt{9{,}12}\approx3{,}019934

. Commenter la précision et préciser si l'approximation trouvée est une égalité.

Exercice 21

Non commencéIntermédiaire

Produit avec racine. Déterminer la dérivée de

f(x) = \sqrt{x}\,(x - 4)

sur

]0\,;+\infty[

Exercice 22

Non commencéIntermédiaire

Tangente à l'hyperbole. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de

f(x) = \dfrac{1}{x}

au point d'abscisse

a = 2

Exercice 23

Non commencéIntermédiaire

Tangente à la racine. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de

f(x) = \sqrt{x}

au point d'abscisse

a = 9

Exercice 24

Non commencéIntermédiaire

Point à tangente horizontale. Soit

f(x) = x^2 - 6x + 5

. Déterminer les coordonnées du point où la tangente à la courbe est horizontale.

Exercice 25

Non commencéIntermédiaire

12 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Coefficient directeur · Tangente · Lecture dans un repère

Objectifs : Lire une image sur une courbe · Déterminer graphiquement un nombre dérivé · Écrire une tangente horizontale

Lecture graphique d'un nombre dérivé. La courbe ci-dessous représente une fonction dérivable

f

. Elle admet un minimum visible au point

A(2\,;3)

.

1. Lire

f(2)

.
2. Quelle est la direction de la tangente en

A

? En déduire graphiquement

f'(2)

.
3. Donner une équation de cette tangente.
4. Expliquer ce que signifie graphiquement le signe de la pente juste avant puis juste après

x=2

Courbe de f, dont le minimum est A(2 ; 3)

Exercice 26

Non commencéIntermédiaire

Tangente à une cubique. Soit

f(x) = x^3 - 3x

. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse

1

Exercice 27

Non commencéIntermédiaire

Simplifier avant de dériver. Soit

f(x) = \dfrac{3x^2 - 1}{x}

(sur

\mathbb{R}^*

). Écrire

f(x)

sous forme

3x - \dfrac{1}{x}

, puis en déduire

f'(x)

Exercice 28

Non commencéIntermédiaire

Lecture d'une tangente. La tangente à la courbe de

f

au point d'abscisse

2

a pour équation

y = 3x - 1

. En déduire

f(2)

f'(2)

Exercice 29

Non commencéDifficile

Quotient à numérateur du second degré. Déterminer la dérivée de

f(x) = \dfrac{x^2 + x + 1}{x - 1}

(sur

\mathbb{R} \setminus \{1\}

Exercice 30

Non commencéDifficile

17 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Valeur absolue · Nombre dérivé comme limite intuitive d’un taux

Objectifs : Calculer un taux de variation · Distinguer une approche à gauche et à droite · Établir une non-dérivabilité

La fonction valeur absolue est-elle dérivable en $0$ ? On considère

f(x)=|x|

.

1. Pour

h>0

, calculer le taux de variation de

f

entre

0

h

.
2. Pour

h<0

, calculer le même taux.
3. Expliquer pourquoi

f

n'est pas dérivable en

0

.
4. Donner les équations des deux demi-tangentes visibles à gauche et à droite de l'origine.
5. Déterminer

f'(x)

pour

x<0

puis pour

x>0

Exercice 31

Non commencéDifficile

Tangentes horizontales d'une cubique. Soit

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2

. Déterminer les coordonnées des points où la tangente à la courbe est horizontale.

Exercice 32

Non commencéDifficile

Pente imposée sur une cubique. Soit

f(x) = x^3

. Déterminer les points de la courbe où la tangente a pour coefficient directeur

12

, et les équations de ces tangentes.

Exercice 33

Non commencéDifficile

16 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Puissances d’exposant entier · Dérivation d’une somme

Objectifs : Dériver $x^n$ pour $ninmathbb Z$ · Convertir puissances négatives et fractions · Interpréter un nombre dérivé

Dériver des puissances d'exposant négatif. Sur

\mathbb R^*

, on considère

f(x)=2x^{-3}-5x^{-2}+x.

1. Rappeler la formule de dérivation de

x^n

pour

n\in\mathbb Z

.
2. Calculer

f'(x)

sous forme de puissances.
3. Réécrire la réponse avec des fractions.
4. Calculer

f'(1)

et interpréter ce nombre comme une pente.

Exercice 34

Non commencéDifficile

21 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Taux de variation · Développement d’un carré · Boucle sur une liste Python

Objectifs : Calculer une pente de sécante · Conjecturer un nombre dérivé · Générer une liste avec Python

Sécantes, liste Python et conjecture. Pour

f(x)=x^2

, on étudie la pente de la sécante entre les points d'abscisses

2

2+h

, avec

h\neq0

.

1. Montrer que cette pente vaut

m(h)=4+h

.
2. Calculer

m(h)

pour

h=1

0{,}1

0{,}01

-0{,}1

. Quelle valeur peut-on conjecturer pour

f'(2)

?
3. Compléter le programme qui construit la liste de ces pentes :

def pentes(H):
    L = []
    for h in H:
        m = (...)
        L.append(...)
    return L

4. Expliquer pourquoi la liste H ne doit jamais contenir

0

Exercice 35

Non commencéDifficile

Nombre dérivé de $\dfrac{1}{x}$ par le taux. Soit

f(x) = \dfrac{1}{x}

. À l'aide du taux de variation entre

a

a + h

, retrouver

f'(a)

, puis calculer

f'(3)

Exercice 36

Non commencéAvancé

24 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Taux de variation · Dérivée d’un trinôme · Signe d’une fonction affine

Objectifs : Interpréter un taux comme vitesse moyenne · Interpréter un nombre dérivé comme vitesse instantanée · Résoudre une équation de vitesse

Vitesse moyenne et vitesse instantanée. La hauteur, en mètres, d'un mobile à l'instant

t

en secondes est modélisée sur

[0\,;6]

par

s(t)=-5t^2+30t+2.

1. Calculer la vitesse moyenne entre les instants

2

2+h

, avec

h\neq0

, puis simplifier son expression.
2. En déduire la vitesse instantanée à l'instant

2

.
3. Déterminer la fonction vitesse

v(t)=s'(t)

.
4. À quel instant le mobile s'arrête-t-il momentanément ? Interpréter le signe de

v(t)

avant et après cet instant.

Exercice 37

Non commencéAvancé

Déterminer une fonction par sa tangente. Soit

f(x) = ax^2 + bx + 3

. Déterminer

a

b

pour que la tangente à la courbe au point d'abscisse

1

soit la droite d'équation

y = 2x + 1

Exercice 38

Non commencéAvancé

22 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Dérivée d’un trinôme · Approximation linéaire · Unités

Objectifs : Interpréter une dérivée en contexte · Utiliser une approximation linéaire · Distinguer coût total, moyen et marginal

Coût marginal. Une entreprise modélise le coût total de production de

q

objets par

C(q)=0{,}02q^2+5q+200,

où

C(q)

est exprimé en euros et

0\leqslant q\leqslant300

.

1. Calculer

C'(q)

puis

C'(100)

.
2. Interpréter

C'(100)

dans ce contexte.
3. Utiliser l'approximation linéaire pour estimer

C(101)-C(100)

.
4. Calculer exactement cette différence et comparer.
5. Expliquer pourquoi

C'(100)

ne représente ni le coût total de

100

objets ni le coût moyen par objet.

Exercice 39

Non commencéAvancé

Une propriété générale de la parabole. Soit

f(x) = x^2

a

un réel non nul. On note

M

le point de la courbe d'abscisse

a

. Montrer que la tangente en

M

coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse

\dfrac{a}{2}

Exercice 40

Non commencéAvancé

30 min

Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : Taux de variation · Nombre dérivé · Équation d’une droite · Dérivées usuelles

Objectifs : Démontrer la dérivée d’un produit · Démontrer l’équation d’une tangente · Appliquer une démonstration à un calcul

Deux démonstrations au programme. Soient

u

v

deux fonctions dérivables en un réel

a

.

1. Dans le taux de variation du produit

uv

, ajouter puis retrancher

u(a+h)v(a)

. Montrer ainsi que

\frac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}h =u(a+h)\frac{v(a+h)-v(a)}h +v(a)\frac{u(a+h)-u(a)}h.

2. Lorsque

h

devient proche de

0

, en déduire la formule

(uv)'(a)=u'(a)v(a)+u(a)v'(a)

.
3. Une droite de coefficient directeur

f'(a)

passe par

A(a\,;f(a))

. À partir de la formule du coefficient directeur d'une droite, démontrer que son équation est

y=f(a)+f'(a)(x-a).

4. Appliquer les deux résultats à

f(x)=(x^2+1)(3x-2)

: calculer

f'(1)

puis écrire la tangente en

1

Exercice 41

Non commencéFacile

13 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Dérivées des puissances · Équation d’une droite · Calcul d’image

Objectifs : Dériver un polynôme · Calculer un nombre dérivé · Écrire une équation de tangente

Dériver un polynôme et écrire une tangente. On considère

f(x)=3x^3-5x^2+2x-7.

1. Calculer

f'(x)

.
2. Déterminer

f(1)

f'(1)

.
3. Écrire l'équation de la tangente à la courbe de

f

au point d'abscisse

1

.
4. Calculer

f'(0)

et interpréter ce nombre graphiquement.

Exercice 42

Non commencéFacile

15 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Coefficient directeur · Développement d’un carré · Dérivée de $x^2$

Objectifs : Calculer une pente de sécante · Conjecturer un nombre dérivé · Relier taux de variation et tangente

Des sécantes à la tangente. Soit

f(x)=x^2+1

. Pour

h\neq0

, on note

m(h)

le coefficient directeur de la sécante passant par les points de la courbe d'abscisses

3

3+h

.

1. Écrire

m(h)

sous la forme d'un taux de variation.
2. Montrer que

m(h)=6+h

.
3. Calculer

m(0{,}1)

m(-0{,}1)

m(0{,}01)

. Quelle valeur ces nombres suggèrent-ils pour

f'(3)

?
4. Retrouver ce résultat en dérivant

f

.
5. Écrire l'équation de la tangente en

3

Exercice 43

Non commencéFacile

14 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Racine carrée · Dérivée usuelle · Valeur approchée

Objectifs : Dériver la racine carrée · Écrire une tangente · Utiliser une approximation linéaire

Tangente à la fonction racine carrée. On considère

f(x)=\sqrt{x}

.

1. Rappeler l'expression de

f'(x)

pour

x>0

.
2. Calculer

f(4)

f'(4)

.
3. Donner une équation de la tangente à la courbe en

4

.
4. Utiliser cette tangente pour approcher

\sqrt{4{,}08}

.
5. Une calculatrice donne

\sqrt{4{,}08}\approx2{,}019901

. Évaluer la qualité de l'approximation.

Exercice 44

Non commencéIntermédiaire

17 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Dérivées usuelles · Développement algébrique · Formule du produit

Objectifs : Appliquer la dérivée d’un produit · Réduire une expression dérivée · Écrire une tangente

Dérivée d'un produit. On considère

f(x)=(2x-1)(x^2+3).

1. Poser

u(x)=2x-1

v(x)=x^2+3

, puis calculer

u'

v'

.
2. Utiliser la formule de dérivation d'un produit pour calculer

f'(x)

.
3. Développer et réduire

f'(x)

.
4. Calculer

f(1)

f'(1)

.
5. Donner une équation de la tangente à la courbe en

1

Exercice 45

Non commencéIntermédiaire

18 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Quotient de fonctions · Dérivées usuelles · Calcul fractionnaire

Objectifs : Déterminer un domaine · Appliquer la dérivée d’un quotient · Écrire une tangente à une fonction rationnelle

Dérivée d'un quotient et domaine. On définit

g(x)=\frac{x^2+1}{x-2}.

1. Donner l'ensemble de définition de

g

.
2. En posant

u(x)=x^2+1

v(x)=x-2

, calculer

g'(x)

.
3. Montrer que

g'(x)=\frac{x^2-4x-1}{(x-2)^2}.

4. Calculer

g(0)

g'(0)

.
5. Donner une équation de la tangente à la courbe en

0

Exercice 46

Non commencéIntermédiaire

20 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Dérivée de l’inverse · Équation de tangente · Fractions et écritures décimales

Objectifs : Dériver la fonction inverse · Utiliser une approximation linéaire · Mesurer une erreur d’approximation

Approcher un inverse près de $4$ . On considère la fonction

f(x)=\dfrac1x

sur

]0\,;+\infty[

.

1. Calculer

f(4)

f'(4)

.
2. Écrire l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse

4

.
3. Utiliser cette tangente pour approcher

\dfrac1{3{,}96}

.
4. Calculer la valeur exacte

\dfrac1{3{,}96}

sous forme de fraction, puis comparer avec l'approximation.
5. Donner l'erreur exacte et une valeur décimale de cette erreur.

Exercice 47

Non commencéDifficile

24 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Dérivée d’un trinôme · Équation de droite · Résolution d’un système linéaire simple

Objectifs : Traduire des conditions de tangence · Déterminer les coefficients d’un polynôme · Écrire une seconde tangente

Retrouver un polynôme grâce à une tangente. On cherche une fonction

f(x)=ax^2+bx+c

dont la courbe passe par

B(0\,;2)

et dont la tangente au point d'abscisse

1

a pour équation

y=4x-1

.

1. Traduire le passage par

B

par une équation portant sur

a

b

c

.
2. Quelle est l'ordonnée du point de tangence lorsque

x=1

? En déduire une deuxième équation.
3. Traduire l'égalité des coefficients directeurs au point de tangence par une troisième équation.
4. Résoudre le système et déterminer

f

.
5. Donner l'équation de la tangente à la courbe de

f

au point d'abscisse

-1

Exercice 48

Non commencéDifficile

24 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Valeur absolue · Nombre dérivé · Dérivée de $x^2$

Objectifs : Étudier une dérivabilité par le taux de variation · Travailler avec une valeur absolue · Rassembler une dérivée définie par morceaux

Une fonction avec valeur absolue dérivable en $0$ . On considère

f(x)=x|x|.

1. Écrire

f(x)

sans valeur absolue lorsque

x<0

, puis lorsque

x\geqslant0

.
2. Pour

h\neq0

, simplifier le taux de variation de

f

entre

0

h

.
3. Montrer que

f

est dérivable en

0

et déterminer

f'(0)

.
4. Calculer

f'(x)

pour

x<0

et pour

x>0

.
5. Donner une expression unique de

f'(x)

valable pour tout réel

x

, puis écrire la tangente en

0

.
6. Expliquer pourquoi ce résultat ne contredit pas le fait que

x\mapsto|x|

n'est pas dérivable en

0

Exercice 49

Non commencéAvancé

28 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Dérivée d’un polynôme · Signe d’un trinôme factorisé · Taux de variation

Objectifs : Interpréter une dérivée comme vitesse · Relier le signe de la vitesse au mouvement · Distinguer déplacement et distance

Position, vitesse et distance parcourue. Un mobile se déplace le long d'un axe. Sa position, en mètres, à l'instant

t

en secondes est donnée sur

[0\,;5]

par

s(t)=t^3-6t^2+9t.

1. Déterminer la fonction vitesse

v(t)=s'(t)

et la factoriser.
2. Calculer les instants auxquels le mobile s'arrête momentanément.
3. Étudier le signe de

v(t)

sur

[0\,;5]

et en déduire le sens du mouvement.
4. Calculer

s(0)

s(1)

s(3)

s(5)

.
5. En déduire la distance totale parcourue entre

0

5

secondes.
6. Calculer la vitesse moyenne sur cet intervalle et expliquer pourquoi elle est différente de la distance totale divisée par

5

Exercice 50

Non commencéAvancé

28 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Dérivée d’un inverse affine · Équation de tangente · Mise au même dénominateur

Objectifs : Utiliser une approximation linéaire · Calculer une erreur exacte · Comparer une courbe et sa tangente par une identité

Approximation et erreur exacte. On considère

f(x)=\frac1{1+x}

sur l'intervalle

]-1\,;+\infty[

.

1. Calculer

f(0)

f'(0)

.
2. Écrire l'équation de la tangente à la courbe en

0

.
3. En déduire une approximation de

\dfrac1{1{,}02}

.
4. Pour

x>-1

, montrer l'identité

f(x)-(1-x)=\frac{x^2}{1+x}.

5. En déduire que la tangente donne ici toujours une valeur inférieure ou égale à

f(x)

.
6. Pour

x=0{,}02

, calculer l'erreur exacte entre la valeur de

f

et l'approximation, puis donner une valeur décimale.

Aller plus loin sur ce chapitre

Les 4 problèmes de synthèse et 2 devoirs surveillés restent sur la page du chapitre : ils mobilisent plusieurs notions à la fois et s'abordent une fois ces exercices maîtrisés.

Voir les 4 problèmes de synthèse et 2 devoirs surveillés sur la dérivation