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Chapitre 01 Le second degré Première Spé

Exercices corrigés sur le second degré en Première spécialité

Ces exercices corrigés sur le second degré en Première spécialité permettent de passer d’une forme d’un trinôme à une autre et de choisir celle qui simplifie le calcul. Tu travailles la forme développée, la forme canonique et la forme factorisée, puis le discriminant, les racines et le signe d’un polynôme du second degré.

Commence par les calculs directs avant de résoudre des équations et des inéquations. Les exercices plus difficiles demandent d’interpréter une parabole ou de traduire un problème en expression du second degré. Essaie de justifier chaque étape avant d’ouvrir la correction : elle permet de comparer ta méthode et de repérer une erreur de signe ou de factorisation.

50 exercices : 18 faciles, 16 intermédiaires, 9 difficiles, 7 avancés. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.

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Cours et fiche de révision sur le second degré

Les 50 exercices, du plus simple au plus complet

50 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 1

Non commencéFacile
Reconnaître un trinôme. Parmi les fonctions suivantes, indiquer lesquelles sont des fonctions polynômes du second degré. Le cas échéant, préciser les coefficients aa, bb et cc.
1.
f1(x)=5x2−3x+7f_1(x) = 5x^2 - 3x + 7
2.
f2(x)=(3x−2)(x+5)f_2(x) = (3x - 2)(x + 5)
3.
f3(x)=(x−4)2−x2f_3(x) = (x - 4)^2 - x^2
4.
f4(x)=2x2+1f_4(x) = \dfrac{2}{x^2} + 1
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 2

Non commencéFacile
Calculs d'images. Soit f(x)=2x2−5x+1f(x) = 2x^2 - 5x + 1. Calculer f(0)f(0), f(2)f(2), f(−1)f(-1) et f(12)f\left(\dfrac{1}{2}\right). Que constate-t-on pour f(2)f(2) et f(12)f\left(\dfrac{1}{2}\right) ? Expliquer ce constat à l'aide de l'axe de symétrie de la parabole.

Exercice 3

Non commencéFacile
Racine d'un trinôme. Soit f(x)=3x2−7x+2f(x) = 3x^2 - 7x + 2.
1.
Montrer que 22 est une racine de ff.
2.
Le réel 11 est-il une racine de ff ? Justifier.
3.
Calculer le discriminant de ff et déterminer toutes ses racines.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 4

Non commencéFacile
Forme canonique (1). Mettre sous forme canonique f(x)=x2−6x+11f(x) = x^2 - 6x + 11, puis vérifier en développant.

Exercice 5

Non commencéFacile
Forme canonique (2). Mettre sous forme canonique g(x)=2x2+4x−1g(x) = 2x^2 + 4x - 1, puis vérifier en développant.

Exercice 6

Non commencéFacile
Forme canonique (3). Mettre sous forme canonique h(x)=−x2+4x+5h(x) = -x^2 + 4x + 5, puis vérifier en développant.

Exercice 7

Non commencéFacile
Tableau de variations. Soit f(x)=x2+2x−3f(x) = x^2 + 2x - 3. Dresser le tableau de variations de ff sur R\mathbb{R}, en précisant l'extremum et la valeur en laquelle il est atteint.

Exercice 8

Non commencéFacile
Extremum. La fonction ff définie par f(x)=−2x2+8x−3f(x) = -2x^2 + 8x - 3 admet-elle un minimum ou un maximum sur R\mathbb{R} ? Déterminer sa valeur et le réel en lequel il est atteint.

Exercice 9

Non commencéFacile
Équation, Δ>0\Delta > 0. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0.

Exercice 10

Non commencéFacile
Équation, Δ=0\Delta = 0. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 4x2−12x+9=04x^2 - 12x + 9 = 0.

Exercice 11

Non commencéFacile
Équation, Δ<0\Delta < 0. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 2x2+3x+5=02x^2 + 3x + 5 = 0.

Exercice 12

Non commencéFacile
Sans discriminant ! Résoudre les équations suivantes sans calculer de discriminant.
1.
x2−49=0x^2 - 49 = 0
2.
3x2+12x=03x^2 + 12x = 0
3.
(x−1)2=16(x - 1)^2 = 16
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 13

Non commencéFacile
Factorisation. Factoriser le trinôme f(x)=2x2−2x−12f(x) = 2x^2 - 2x - 12, puis vérifier en développant.

Exercice 14

Non commencéFacile
Signe d'un trinôme. Dresser le tableau de signes de f(x)=x2−x−12f(x) = x^2 - x - 12 sur R\mathbb{R}.

Exercice 15

Non commencéFacile
Inéquations. Résoudre dans R\mathbb{R} les inéquations suivantes.
1.
x2−4x+3<0x^2 - 4x + 3 < 0
2.
−x2+2x−5⩾0-x^2 + 2x - 5 \geqslant 0
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 16

Non commencéIntermédiaire
Sommet et axe de symétrie. Soit f(x)=3x2−12x+7f(x) = 3x^2 - 12x + 7.
1.
Déterminer les coordonnées du sommet SS de la parabole représentant ff, ainsi qu'une équation de son axe de symétrie.
2.
Calculer f(0)f(0) et f(4)f(4). Le résultat était-il prévisible ? Justifier.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 17

Non commencéIntermédiaire
Trinôme imposé par ses racines. Déterminer la fonction polynôme du second degré ff qui s'annule en 22 et en 55, et telle que f(0)=20f(0) = 20. Donner sa forme développée.

Exercice 18

Non commencéIntermédiaire
Lecture graphique. La parabole P\mathcal{P} ci-dessous représente une fonction polynôme du second degré ff.
Représentation graphique de la parabole dans un repère
1.
Quel est le signe du coefficient aa ? Justifier.
2.
Lire graphiquement les racines de ff, puis les coordonnées du sommet.
3.
En déduire une forme factorisée de f(x)f(x), sachant que a=−1a = -1.
4.
Dresser le tableau de signes de ff.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 19

Non commencéIntermédiaire
Choisir la forme adaptée. Une même fonction ff est donnée sous ses trois formes :

f(x)=2x2−4x−6=2(x−1)2−8=2(x+1)(x−3)f(x) = 2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 1)^2 - 8 = 2(x + 1)(x - 3)

En choisissant à chaque fois la forme la plus adaptée (à préciser), déterminer :
1.
f(0)f(0)
2.
les solutions de f(x)=0f(x) = 0
3.
le minimum de ff sur R\mathbb{R} et le réel en lequel il est atteint
4.
les solutions de f(x)=−8f(x) = -8
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 20

Non commencéIntermédiaire
15 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Identités remarquables · Carré d’un réel · Intervalles

Objectifs : Compléter un carré dans un cas simple · Choisir la forme canonique · Résoudre une inéquation simple

Compléter le carré dans un cas simple. On considère la fonction

f(x)=2x2−12x+11.f(x)=2x^2-12x+11.

1. Vérifier que x2−6x=(x−3)2−9x^2-6x=(x-3)^2-9.
2. En déduire la forme canonique de ff, sans utiliser de formule générale.
3. Lire le minimum de ff sur R\mathbb R et préciser où il est atteint.
4. Résoudre f(x)⩽1f(x)\leqslant 1.

Exercice 21

Non commencéIntermédiaire
Équation à mettre en forme. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation (x+3)(x−1)=5(x + 3)(x - 1) = 5.

Exercice 22

Non commencéIntermédiaire
Inéquation par comparaison. Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation x2−3x+1⩽x−2x^2 - 3x + 1 \leqslant x - 2.

Exercice 23

Non commencéIntermédiaire
Nombre de solutions selon un paramètre. On considère l'équation x2−4x+m=0x^2 - 4x + m = 0, où mm est un réel.
1.
Exprimer le discriminant Δ\Delta en fonction de mm.
2.
Discuter, selon les valeurs de mm, le nombre de solutions de l'équation.
3.
Pour la valeur de mm donnant une racine double, déterminer cette racine.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 24

Non commencéIntermédiaire
Optimisation d'un enclos. Un éleveur dispose de 2424 mètres de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire le long d'un mur : le mur constitue l'un des grands côtés, la clôture les trois autres côtés. On note xx (en mètres) la largeur de l'enclos (les deux côtés perpendiculaires au mur).
1.
Montrer que l'aire de l'enclos est A(x)=−2x2+24xA(x) = -2x^2 + 24x.
2.
Déterminer la largeur xx qui rend l'aire maximale, et la valeur de cette aire maximale.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 25

Non commencéIntermédiaire
Intersection d'une parabole et d'une droite. Dans un repère, on considère la parabole P\mathcal{P} d'équation y=x2−2xy = x^2 - 2x et la droite D\mathcal{D} d'équation y=xy = x. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de P\mathcal{P} et D\mathcal{D}.

Exercice 26

Non commencéIntermédiaire
Trinôme de sommet imposé. La parabole représentant une fonction polynôme du second degré ff a pour sommet S(2 ;−3)S(2\,;-3) et passe par le point A(0 ;5)A(0\,;5).
1.
En utilisant la forme canonique, déterminer f(x)f(x).
2.
Donner la forme développée de f(x)f(x).
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 27

Non commencéIntermédiaire
Signe d'un trinôme à coefficient dominant négatif. Dresser le tableau de signes de g(x)=−2x2+3x+2g(x) = -2x^2 + 3x + 2 sur R\mathbb{R}.

Exercice 28

Non commencéIntermédiaire
14 min
Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : Calcul d’image · Relations somme-produit · Signe d’un produit

Objectifs : Exploiter une racine connue · Utiliser somme et produit des racines · Factoriser un trinôme · Étudier un signe

Racine connue, somme et produit. On considère

P(x)=3x2−13x+4.P(x)=3x^2-13x+4.

1. Vérifier que 44 est une racine de PP.
2. On note x2x_2 l'autre racine. Sans calculer le discriminant, utiliser le produit des racines pour déterminer x2x_2.
3. Vérifier le résultat avec la somme des racines, puis factoriser PP.
4. Résoudre P(x)⩽0P(x)\leqslant 0.

Exercice 29

Non commencéDifficile
Tangence d'une droite à une parabole. Dans un repère, P\mathcal{P} a pour équation y=x2y = x^2 et Dm\mathcal{D}_m a pour équation y=2x+my = 2x + m, où mm est un réel.
1.
Montrer que les abscisses des points communs à P\mathcal{P} et Dm\mathcal{D}_m sont les solutions de x2−2x−m=0x^2 - 2x - m = 0.
2.
Déterminer la valeur de mm pour laquelle Dm\mathcal{D}_m est tangente à P\mathcal{P}.
3.
Déterminer alors les coordonnées du point de tangence.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 30

Non commencéDifficile
Trinôme strictement positif sur R\mathbb{R}. Déterminer toutes les valeurs du réel mm pour lesquelles le trinôme f(x)=x2−2mx+m+2f(x) = x^2 - 2mx + m + 2 est strictement positif pour tout réel xx.

Exercice 31

Non commencéDifficile
Triangle rectangle. Un triangle rectangle a ses deux côtés de l'angle droit qui mesurent xx et x+7x + 7 (en cm), et son hypoténuse mesure 1313 cm. Déterminer xx.

Exercice 32

Non commencéDifficile
Intersection de deux paraboles. Déterminer les abscisses des points d'intersection des paraboles P1:y=x2−3x+2\mathcal{P}_1 : y = x^2 - 3x + 2 et P2:y=−x2+x+6\mathcal{P}_2 : y = -x^2 + x + 6.

Exercice 33

Non commencéDifficile
Seuils de rentabilité. Une petite entreprise produit xx centaines d'objets (0⩽x⩽300 \leqslant x \leqslant 30). Son bénéfice, en milliers d'euros, est modélisé par B(x)=−2x2+120x−1000B(x) = -2x^2 + 120x - 1000.
1.
Déterminer les valeurs de xx pour lesquelles l'entreprise est rentable (bénéfice strictement positif).
2.
Déterminer la production qui maximise le bénéfice, et ce bénéfice maximal.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 34

Non commencéDifficile
Minimum imposé. Soit f(x)=x2−4x+mf(x) = x^2 - 4x + m, où mm est un réel.
1.
Exprimer le minimum de ff sur R\mathbb{R} en fonction de mm.
2.
Déterminer mm pour que ce minimum soit égal à 33.
3.
Pour cette valeur de mm, déterminer le signe de f(x)f(x) sur R\mathbb{R}.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 35

Non commencéDifficile
Racine commune. Déterminer les valeurs du réel mm pour lesquelles les équations x2−3x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0 et x2+mx−2=0x^2 + mx - 2 = 0 ont (au moins) une racine commune.

Exercice 36

Non commencéAvancé
24 min
Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : Trois formes d’un trinôme · Identités remarquables · Somme et produit des racines · Discriminant

Objectifs : Choisir une forme adaptée · Diversifier les stratégies de factorisation · Justifier une méthode

Choisir la forme et la stratégie adaptées. Une même fonction est donnée sous trois formes :

f(x)=2x2−8x−10=2(x−2)2−18=2(x+1)(x−5).f(x)=2x^2-8x-10 =2(x-2)^2-18 =2(x+1)(x-5).

1. Sans développer ni factoriser à nouveau, choisir la forme la plus efficace pour calculer f(0)f(0), résoudre f(x)=0f(x)=0, déterminer le minimum de ff et résoudre f(x)⩽0f(x)\leqslant 0.
2. Pour chacun des trinômes suivants, indiquer la stratégie de factorisation la plus courte, puis factoriser lorsque cela se fait mentalement :

A(x)=x2−9,B(x)=x2−7x+12,C(x)=2x2+x−4.A(x)=x^2-9,\qquad B(x)=x^2-7x+12,\qquad C(x)=2x^2+x-4.

Les stratégies autorisées sont : identité remarquable, racines détectées par leur somme et leur produit, ou discriminant.

Exercice 37

Non commencéAvancé
24 min
Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : Forme factorisée · Calcul d’image · Sommet d’une parabole

Objectifs : Construire un trinôme à partir de ses zéros · Déterminer un coefficient avec un point · Changer de forme · Étudier le signe

Construire un trinôme à partir de deux zéros et d'un point. On cherche une fonction polynôme du second degré PP qui s'annule en −2-2 et en 55, et dont la courbe passe par le point A(1 ;−24)A(1\,;-24).

1. Montrer que P(x)=a(x+2)(x−5)P(x)=a(x+2)(x-5) pour un réel non nul aa.
2. Utiliser le point AA pour déterminer aa.
3. Donner les formes factorisée et développée de PP.
4. Déterminer le signe de PP et résoudre P(x)⩽0P(x)\leqslant 0.
5. Mettre PP sous forme canonique et en déduire son minimum.

Exercice 38

Non commencéAvancé
Position d'une droite par rapport à une parabole. Dans un repère, on considère la parabole P:y=x2−x+1\mathcal{P} : y = x^2 - x + 1 et la droite Dm:y=mx\mathcal{D}_m : y = mx passant par l'origine. Discuter, selon mm, le nombre de points d'intersection de P\mathcal{P} et Dm\mathcal{D}_m.

Exercice 39

Non commencéAvancé
22 min
Objectifs et prérequis8 repères

Prérequis : Discriminant · Signe d’un trinôme · Somme des racines · Produit nul

Objectifs : Évaluer un raisonnement · Mobiliser un contre-exemple · Corriger une procédure · Communiquer une justification

Analyser et corriger des raisonnements. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Toute réponse doit être justifiée et, si nécessaire, corrigée.

1. « Le discriminant de q(x)=−x2+x−4q(x)=-x^2+x-4 est négatif, donc q(x)>0q(x)>0 pour tout réel xx. »
2. « Si x1x_1 et x2x_2 sont les racines de 2x2−5x−32x^2-5x-3, alors x1+x2=−52x_1+x_2=\dfrac{-5}{2}. »
3. « Les solutions de (x−2)(x+1)=3(x-2)(x+1)=3 sont 22 et −1-1. »
4. « Comme x2−6x+5=(x−1)(x−5)x^2-6x+5=(x-1)(x-5), l'inéquation x2−6x+5⩽0x^2-6x+5\leqslant0 a pour ensemble solution [1 ;5][1\,;5]. »

Exercice 40

Non commencéAvancé
28 min
Objectifs et prérequis7 repères

Prérequis : Aire d’un rectangle · Forme canonique · Inéquations avec un carré

Objectifs : Modéliser une contrainte géométrique · Optimiser un trinôme · Contrôler un domaine · Résoudre une inéquation

Optimisation avec contrainte de domaine. Un maraîcher dispose de 4848 mètres de grillage pour construire un enclos rectangulaire adossé à un mur. Le mur remplace un côté de l'enclos : seules les deux largeurs et la longueur opposée au mur sont grillagées.

On note xx la largeur, en mètres.

1. Justifier que 0<x<240<x<24 et exprimer la longueur en fonction de xx.
2. Montrer que l'aire est A(x)=−2x2+48xA(x)=-2x^2+48x.
3. Mettre AA sous forme canonique et déterminer les dimensions qui donnent l'aire maximale.
4. Pour quelles largeurs l'aire est-elle au moins égale à 250 m2250\ \text{m}^2 ? Donner les valeurs exactes, puis des valeurs approchées au centième.

Exercice 41

Non commencéFacile
10 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Calcul d’image · Produit nul · Lecture d’un tableau de signes

Objectifs : Vérifier une racine · Factoriser avec deux racines · Étudier le signe d’un trinôme

Reconnaître deux racines et factoriser. On considère

P(x)=x2−5x+6.P(x)=x^2-5x+6.

1. Calculer P(2)P(2) et P(3)P(3).
2. En déduire une forme factorisée de PP.
3. Dresser le tableau de signes de PP.
4. Résoudre P(x)⩽0P(x)\leqslant0.

Exercice 42

Non commencéFacile
12 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Carrés et racines carrées · Formule du discriminant · Intervalles

Objectifs : Calculer un discriminant · Résoudre une équation du second degré · Factoriser et étudier un signe

Discriminant, racines et signe. Soit

Q(x)=2x2+3x−2.Q(x)=2x^2+3x-2.

1. Calculer le discriminant de QQ.
2. Déterminer ses racines.
3. Factoriser QQ.
4. Résoudre Q(x)>0Q(x)>0.

Exercice 43

Non commencéFacile
12 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Carré d’un réel · Équations avec un carré · Signe d’un trinôme

Objectifs : Lire une forme canonique · Déterminer un extremum · Passer à une forme factorisée

Exploiter une forme canonique donnée. On considère

R(x)=−3(x−1)2+12.R(x)=-3(x-1)^2+12.

1. Lire les coordonnées du sommet de la parabole représentant RR.
2. Déterminer le maximum de RR sur R\mathbb R.
3. Résoudre R(x)=0R(x)=0, puis donner une forme factorisée de RR.
4. Résoudre R(x)⩾0R(x)\geqslant0.

Exercice 44

Non commencéIntermédiaire
15 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Calcul fractionnaire · Relations entre racines et coefficients · Signe d’un trinôme

Objectifs : Exploiter une racine connue · Utiliser somme et produit des racines · Factoriser sans discriminant

Racine connue, somme et produit. On considère

A(x)=2x2+x−6.A(x)=2x^2+x-6.

1. Vérifier que 32\dfrac32 est une racine de AA.
2. Sans utiliser le discriminant, déterminer l'autre racine à l'aide du produit des racines.
3. Contrôler le résultat avec la somme des racines.
4. Factoriser AA, puis résoudre A(x)⩽0A(x)\leqslant0.

Exercice 45

Non commencéIntermédiaire
16 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Formes développée et canonique · Valeur absolue et distance · Intervalles

Objectifs : Choisir une forme adaptée · Lire un minimum · Résoudre une équation ou une inéquation avec un carré

Choisir la forme la plus efficace. La même fonction est donnée sous deux formes :

f(x)=3x2−12x+5=3(x−2)2−7.f(x)=3x^2-12x+5=3(x-2)^2-7.

1. Quelle forme permet de calculer immédiatement f(0)f(0) ? Effectuer le calcul.
2. Déterminer le minimum de ff et l'abscisse où il est atteint.
3. Résoudre f(x)=−4f(x)=-4.
4. Résoudre f(x)⩽5f(x)\leqslant5.
5. Expliquer, pour chaque question, pourquoi la forme choisie était adaptée.

Exercice 46

Non commencéIntermédiaire
17 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Forme factorisée · Coordonnées d’un point d’une courbe · Signe d’un trinôme

Objectifs : Construire un trinôme à partir de ses racines · Déterminer un coefficient avec un point · Changer de forme

Construire un trinôme. On cherche une fonction polynôme du second degré PP dont les racines sont −3-3 et 77, et dont la courbe passe par le point A(0 ;−42)A(0\,;-42).

1. Justifier qu'il existe un réel non nul aa tel que

P(x)=a(x+3)(x−7).P(x)=a(x+3)(x-7).

2. Utiliser le point AA pour déterminer aa.
3. Donner les formes factorisée et développée de PP.
4. Calculer P(2)P(2).
5. Résoudre P(x)>0P(x)>0.

Exercice 47

Non commencéDifficile
23 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Discriminant · Signe d’un trinôme · Coordonnées d’un point

Objectifs : Déterminer des intersections · Étudier une position relative · Résoudre une inéquation du second degré

Position relative d'une parabole et d'une droite. On considère

f(x)=x2−4x+1etg(x)=−x+4.f(x)=x^2-4x+1\qquad\text{et}\qquad g(x)=-x+4.

On note Cf\mathcal C_f la parabole représentant ff et Dg\mathcal D_g la droite représentant gg.

1. Montrer que les abscisses des points d'intersection vérifient x2−3x−3=0x^2-3x-3=0.
2. Calculer ces deux abscisses, puis les ordonnées correspondantes.
3. Déterminer les valeurs de xx pour lesquelles Cf\mathcal C_f est située sous Dg\mathcal D_g.
4. Vérifier la réponse précédente avec la valeur x=0x=0.

Exercice 48

Non commencéDifficile
25 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Parabole · Inéquation avec un carré · Valeur absolue comme distance

Objectifs : Modéliser avec un trinôme · Exploiter une forme canonique · Résoudre une contrainte géométrique

Passage sous une arche parabolique. Dans un repère où l'unité est le mètre, le bord supérieur d'une arche est modélisé, pour x∈[0 ;8]x\in[0\,;8], par

h(x)=−12x2+4x=8−12(x−4)2.h(x)=-\frac12x^2+4x=8-\frac12(x-4)^2.

Le sol est l'axe des abscisses.

1. Déterminer la largeur de l'arche au niveau du sol et sa hauteur maximale.
2. Un véhicule rectangulaire de largeur 44 m et de hauteur 5,55{,}5 m passe au centre de l'arche. Ses côtés verticaux se trouvent donc aux abscisses 22 et 66. Montrer qu'il peut passer.
3. Un second véhicule mesure 77 m de haut. Déterminer exactement la largeur maximale qu'il peut avoir s'il passe au centre.
4. Donner cette dernière largeur au centimètre près.

Exercice 49

Non commencéAvancé
27 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Calcul littéral · Discriminant · Inéquation affine en un paramètre

Objectifs : Étudier un discriminant avec paramètre · Distinguer trois configurations de racines · Déterminer un signe sans racine

Famille de trinômes et nombre de racines. Pour tout réel mm, on définit

Pm(x)=x2−2(m+1)x+m2.P_m(x)=x^2-2(m+1)x+m^2.

1. Calculer le discriminant Δm\Delta_m de PmP_m et montrer que Δm=4(2m+1)\Delta_m=4(2m+1).
2. Selon les valeurs de mm, déterminer le nombre de racines réelles de PmP_m.
3. Lorsque m⩾−12m\geqslant-\dfrac12, donner les racines éventuelles.
4. Déterminer le signe de PmP_m sur R\mathbb R lorsque m<−12m<-\dfrac12.
5. Traiter complètement le cas m=0m=0 : factorisation, signe et solution de P0(x)⩽0P_0(x)\leqslant0.

Exercice 50

Non commencéAvancé
28 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Développement d’un produit · Forme canonique · Signe d’un produit

Objectifs : Construire un modèle quadratique · Optimiser une fonction du second degré · Prendre en compte une variable entière

Tarif optimal et contrainte entière. Une salle accueille habituellement 120120 spectateurs lorsque la place coûte 1515 €. Une étude prévoit que chaque hausse de 11 € fait perdre 55 spectateurs. On note nn le nombre entier d'augmentations de 11 €, avec 0⩽n⩽240\leqslant n\leqslant24.

1. Exprimer le nouveau prix et le nombre prévu de spectateurs en fonction de nn.
2. Montrer que la recette est

R(n)=−5n2+45n+1800.R(n)=-5n^2+45n+1800.

3. Vérifier que

R(n)=−5(n−92)2+76054,R(n)=-5\left(n-\frac92\right)^2+\frac{7605}{4},

puis déterminer le maximum du modèle si nn pouvait être réel.
4. En tenant compte du fait que nn est entier, déterminer le ou les tarifs donnant la recette maximale.
5. Pour quelles augmentations entières la recette est-elle au moins égale à la recette initiale ?

Aller plus loin sur ce chapitre

Les 4 problèmes de synthèse et 2 devoirs surveillés restent sur la page du chapitre : ils mobilisent plusieurs notions à la fois et s'abordent une fois ces exercices maîtrisés.

Voir les 4 problèmes de synthèse et 2 devoirs surveillés sur le second degré