Chapitre 01 Combinatoire et dénombrement Terminale Spé

Exercices corrigés sur la combinatoire et le dénombrement en Terminale spécialité

Pour réussir un exercice de dénombrement en Terminale, commence par préciser ce que tu comptes : un code ordonné, un groupe de personnes ou un tirage simultané. L’ordre et la possibilité de répéter un élément déterminent la méthode. Les situations proposées vont des menus et codes PIN aux anagrammes et aux mains de cartes. Elles permettent de distinguer le principe multiplicatif, les permutations et les combinaisons.

Tu peux ensuite travailler les coefficients binomiaux avec le triangle de Pascal et le binôme de Newton. Les problèmes de comités, de chemins sur une grille ou de tirages imposent parfois plusieurs conditions. Sépare les cas incompatibles ou compte l’événement complémentaire avant de calculer. Compare enfin ta démarche à la correction pour repérer les choix comptés plusieurs fois.

40 exercices : 10 faciles, 10 intermédiaires, 10 difficiles, 10 avancés. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.

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Cours et fiche de révision sur la combinatoire et le dénombrement

Les 40 exercices, du plus simple au plus complet

40 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 1

Non commencéFacile

Un code PIN est composé de 4 chiffres choisis parmi

\{0, 1, 2, \ldots, 9\}

. Les répétitions sont autorisées.

Combien de codes PIN peut-on former ?

Combien de codes PIN ont leurs 4 chiffres tous distincts ?

Combien de codes PIN commencent par un chiffre non nul ?

Exercice 2

Non commencéFacile

Un restaurant propose 4 entrées, 5 plats principaux et 3 desserts.

Combien de menus complets (entrée + plat + dessert) peut-on composer ?

Combien de menus si le dessert est optionnel (on peut ne pas en prendre) ?

Combien de menus si 2 plats sont indisponibles ?

Exercice 3

Non commencéFacile

Calculer les combinaisons suivantes.

Calculer

\binom{7}{3}

en utilisant la formule

\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}

Calculer

\binom{10}{7}

en utilisant la propriété de symétrie

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

Calculer

\binom{8}{0} + \binom{8}{1} + \binom{8}{8}

Exercice 4

Non commencéFacile

On considère le mot MARDI (5 lettres toutes distinctes).

Combien d'anagrammes peut-on former avec les lettres de MARDI ?

Combien d'anagrammes commencent par la lettre M ?

Combien d'anagrammes commencent par une voyelle ?

Exercice 5

Non commencéFacile

On lance un dé équilibré à 6 faces trois fois de suite.

Combien de résultats possibles y a-t-il ?

Combien de résultats ne contiennent que des faces paires ?

Combien de résultats contiennent au moins un 6 ?

Exercice 6

Non commencéFacile

Dans une classe de 32 élèves, 20 pratiquent l'anglais et 18 l'espagnol. Seulement 4 élèves ne pratiquent aucune de ces deux langues.

Combien d'élèves pratiquent au moins une des deux langues ?

En utilisant la formule d'inclusion-exclusion, déterminer le nombre d'élèves qui pratiquent les deux langues.

Combien d'élèves pratiquent exactement une seule langue ?

Exercice 7

Non commencéFacile

Soit

E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

Combien

E

possède-t-il de sous-ensembles ?

Combien de sous-ensembles à 2 éléments

E

possède-t-il ?

Combien de sous-ensembles contiennent au moins 4 éléments ?

Exercice 8

Non commencéFacile

On s'intéresse au triangle de Pascal.

Écrire la ligne

n = 5

du triangle de Pascal.

Vérifier que

\binom{5}{2} + \binom{5}{3} = \binom{6}{3}

Calculer la somme des coefficients de la ligne

n = 5

Exercice 9

Non commencéFacile

Les plaques d'immatriculation sont composées de 2 lettres (parmi 26) suivies de 3 chiffres (parmi 10).

Combien de plaques peut-on former (répétitions autorisées) ?

Combien de plaques ont leurs 3 chiffres tous distincts ?

Combien de plaques commencent par AB ?

Exercice 10

Non commencéFacile

On tire simultanément 3 cartes d'un jeu de 32 cartes.

Combien de tirages de 3 cartes peut-on effectuer ?

Combien de tirages contiennent exactement 3 cœurs ?

Combien de tirages ne contiennent aucun as ?

Exercice 11

Non commencéIntermédiaire

On considère les anagrammes du mot CLASSE (6 lettres dont S apparaît 2 fois).

Combien d'anagrammes peut-on former ?

Combien d'anagrammes commencent par la lettre C ?

Combien d'anagrammes ont les deux S consécutifs ?

Combien d'anagrammes commencent par CL ?

Exercice 12

Non commencéIntermédiaire

On considère une grille rectangulaire de 4 colonnes et 3 lignes. On se déplace du coin bas-gauche

(0,0)

au coin haut-droit

(4,3)

en ne faisant que des pas vers la droite (D) ou vers le haut (H).

Combien de chemins mènent de

(0,0)

(4,3)

Combien de chemins passent par le point

(2,1)

Combien de chemins ne passent PAS par

(2,1)

Exercice 13

Non commencéIntermédiaire

Un groupe est composé de 8 hommes et 6 femmes. On forme un comité de 5 personnes.

Combien de comités peut-on former ?

Combien de comités contiennent exactement 2 femmes ?

Combien de comités contiennent au moins une femme ?

Combien de comités contiennent plus de femmes que d'hommes ?

Exercice 14

Non commencéIntermédiaire

On utilise la formule du binôme de Newton pour développer

(2x - 1)^4

Rappeler la formule du binôme de Newton.

Développer

(2x - 1)^4

Quel est le coefficient de

x^2

dans ce développement ?

En posant

x = 10

, calculer

19^4

Exercice 15

Non commencéIntermédiaire

On tire simultanément 5 cartes d'un jeu de 52 cartes.

Combien de mains de 5 cartes peut-on former ?

Combien de mains contiennent exactement 2 as ?

Combien de mains contiennent les 4 as ?

Combien de mains ne contiennent aucun as ?

Exercice 16

Non commencéIntermédiaire

Un mot de passe est composé de 6 caractères choisis parmi les 26 lettres minuscules et les 10 chiffres (36 caractères au total).

Combien de mots de passe peut-on former ?

Combien de mots de passe ne contiennent que des lettres (aucun chiffre) ?

En déduire le nombre de mots de passe contenant au moins un chiffre.

Exercice 17

Non commencéIntermédiaire

Montrer que

\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n

en utilisant la formule du binôme de Newton.

Exercice 18

Non commencéIntermédiaire

Lors d'une conférence, 12 personnes se rencontrent et chacune serre la main de toutes les autres.

Combien de poignées de mains sont échangées ?

Si les 12 personnes se répartissent en 2 groupes de 6, combien de poignées de mains se font entre personnes de groupes différents ?

En déduire le nombre de poignées de mains intra-groupes (au sein du même groupe).

Exercice 19

Non commencéIntermédiaire

On choisit 3 livres parmi 10 livres différents.

De combien de façons peut-on distribuer ces 3 livres comme 1er, 2e et 3e prix ?

De combien de façons peut-on simplement choisir 3 livres (sans distinction de prix) ?

Vérifier la relation

A_n^p = p! \times \binom{n}{p}

sur cet exemple.

Exercice 20

Non commencéIntermédiaire

Un code binaire est un mot de longueur 5 composé de 0 et de 1.

Combien de codes binaires de longueur 5 existe-t-il ?

Combien de codes contiennent exactement 3 fois le chiffre 1 ?

Combien de codes contiennent au plus 2 fois le chiffre 1 ?

Exercice 21

Non commencéDifficile

On considère les anagrammes du mot BANANE (6 lettres : B, A, N, A, N, E).

Combien d'anagrammes peut-on former ?

Combien d'anagrammes commencent par B et finissent par E ?

Combien d'anagrammes ont les deux A consécutifs ?

Combien d'anagrammes ont les deux A NON consécutifs ?

Exercice 22

Non commencéDifficile

Six personnes s'installent autour d'une table ronde.

Combien de dispositions différentes y a-t-il ?

Combien de dispositions si deux personnes A et B doivent être voisines ?

Combien de dispositions si A et B ne doivent PAS être voisins ?

Parmi les 6 personnes, 3 sont des femmes (F) et 3 des hommes (H). Combien de dispositions alternent hommes et femmes ?

Exercice 23

Non commencéDifficile

Formule de Pascal :

\binom{n}{p} = \binom{n-1}{p-1} + \binom{n-1}{p}

pour

1 \leq p \leq n-1

Démontrer cette formule en utilisant l'expression factorielle de

\binom{n}{p}

Donner une démonstration combinatoire de cette formule.

Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments. Fixons un élément $a \in E$. Les parties de $E$ à $p$ éléments se répartissent en deux catégories **disjointes** : - Celles qui **contiennent** $a$ : on choisit les $p-1$ éléments restants parmi les $n-1$ autres → $\binom{n-1}{p-1}$ - Celles qui **ne contiennent pas** $a$ : on choisit les $p$ éléments parmi les $n-1$ autres → $\binom{n-1}{p}$ Donc $\binom{n}{p} = \binom{n-1}{p-1} + \binom{n-1}{p}$.

En utilisant cette formule, calculer

\binom{20}{18}

rapidement.

En déduire par récurrence que

\binom{n}{p}

est un entier naturel pour tous

0 \leq p \leq n

**Initialisation :** $\binom{n}{0} = 1$ et $\binom{n}{n} = 1$ sont des entiers pour tout $n$. **Récurrence sur $n$ :** Supposons que tous les $\binom{n-1}{k}$ sont des entiers ($0 \leq k \leq n-1$). Pour $1 \leq p \leq n-1$ : $\binom{n}{p} = \binom{n-1}{p-1} + \binom{n-1}{p}$, qui est une **somme de deux entiers** (par hypothèse de récurrence), donc un entier. **Conclusion :** Par récurrence, $\binom{n}{p} \in \mathbb{N}$ pour tous $0 \leq p \leq n$. (Ce résultat n'est pas évident a priori car $\binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}$ est un quotient de factorielles.)

Exercice 24

Non commencéDifficile

Une urne contient 5 boules rouges, 4 boules bleues et 3 boules vertes. On tire simultanément 5 boules.

Combien de tirages de 5 boules peut-on effectuer ?

Combien de tirages contiennent exactement 2 rouges et 1 verte ?

Combien de tirages contiennent au moins une boule de chaque couleur ?

Par le complémentaire, on retire les tirages où **au moins une couleur est absente**. Notation : $A$ = pas de rouge, $B$ = pas de bleu, $C$ = pas de vert. $|A| = \binom{7}{5} = 21$ (5 parmi les 4B+3V) $|B| = \binom{8}{5} = 56$ (5 parmi les 5R+3V) $|C| = \binom{9}{5} = 126$ (5 parmi les 5R+4B) $|A \cap B| = \binom{3}{5} = 0$ (impossible : seulement 3 vertes) $|A \cap C| = \binom{4}{5} = 0$ (impossible : seulement 4 bleues) $|B \cap C| = \binom{5}{5} = 1$ (les 5 rouges) $|A \cap B \cap C| = 0$ Par inclusion-exclusion : $|A \cup B \cup C| = 21 + 56 + 126 - 0 - 0 - 1 + 0 = 202$. Tirages avec au moins une de chaque couleur : $792 - 202 = \boxed{590}$

Combien de tirages contiennent 5 boules de la même couleur ?

Exercice 25

Non commencéDifficile

Un QCM comporte 10 questions. Chaque question propose 4 réponses dont une seule est correcte.

De combien de façons peut-on remplir le QCM en répondant à toutes les questions ?

De combien de façons peut-on remplir le QCM si on a le droit de ne pas répondre à certaines questions ?

Combien de grilles contiennent exactement 7 bonnes réponses ?

Combien de grilles contiennent au moins 8 bonnes réponses ?

Exercice 26

Non commencéDifficile

Montrer l'identité :

k \binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1}

pour

1 \leq k \leq n

Démontrer cette identité par le calcul factoriel.

En déduire la valeur de

\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k}

Application : calculer

\displaystyle\sum_{k=0}^{10} k \binom{10}{k}

Exercice 27

Non commencéDifficile

On distribue un jeu de 32 cartes à 4 joueurs, chacun recevant 8 cartes.

De combien de façons peut-on distribuer les 32 cartes à 4 joueurs ?

Combien de mains de 8 cartes le joueur 1 peut-il recevoir ?

Combien de distributions donnent les 4 as au joueur 1 ?

Le joueur 1 a les 4 as + 4 cartes parmi les 28 restantes : $\binom{28}{4}$ choix. Puis les 28 cartes restantes sont distribuées aux 3 autres joueurs : $\dfrac{28!}{(8!)^3} \div \binom{28}{4}$... Plus simplement : on fixe les 4 as chez J1, on choisit 4 cartes parmi 28 pour compléter sa main, puis on distribue le reste : $\binom{28}{4} \times \binom{24}{8} \times \binom{16}{8} \times \binom{8}{8} = \binom{28}{4} \times \dfrac{24!}{(8!)^3}$ $= \boxed{20\,475 \times \dfrac{24!}{(8!)^3}}$

Exercice 28

Non commencéDifficile

On utilise la formule du binôme de Newton.

Déterminer le coefficient de

x^3

dans le développement de

(1+x)^8

Déterminer le coefficient de

x^4

dans

(1 - 2x)^6

Calculer la somme des coefficients du développement de

(3x + 2)^5

Déterminer

n

tel que

\binom{n}{3} = 84

Exercice 29

Non commencéDifficile

Dénombrement par complémentaire.

Combien de mots de 5 lettres (parmi 26) contiennent au moins une voyelle ?

Combien d'entiers de 1 à 1000 ne sont divisibles ni par 3, ni par 5 ?

Combien d'entiers de 1 à 999 contiennent au moins un chiffre 7 dans leur écriture ?

Considérons les entiers de 000 à 999 (en écrivant sur 3 chiffres, avec des zéros non significatifs). Entiers **sans aucun 7** : chaque chiffre a 9 choix (0-9 sauf 7), soit $9^3 = 729$. Entiers avec au moins un 7 parmi $\{000, \ldots, 999\}$ : $1000 - 729 = 271$. Mais 000 n'est pas dans $\{1, \ldots, 999\}$ et ne contient pas de 7. Donc le résultat est le même pour $\{1, \ldots, 999\}$ : $\boxed{271}$

Exercice 30

Non commencéDifficile

Soit

E = \{1, 2, 3, \ldots, n\}

avec

n \geq 2

Dénombrer les paires

\{a, b\}

d'éléments de

E

avec

a < b

Dénombrer les triplets

(a, b, c)

d'éléments de

E

avec

a < b < c

Montrer que le nombre de sous-ensembles de

E

de taille paire est égal au nombre de sous-ensembles de taille impaire.

Exercice 31

Non commencéAvancé

Un tournoi de tennis rassemble 8 joueurs en élimination directe (quarts de finale, demi-finales, finale).

De combien de façons peut-on constituer le tableau des quarts de finale (4 matchs) ?

Le tableau consiste à répartir les 8 joueurs en 4 paires ordonnées par position dans le tableau. On choisit l'ordre des 8 joueurs : $8!$ permutations. Mais au sein de chaque match, l'ordre des 2 joueurs n'importe pas ($2^4$ symétries), et l'ordre des matchs au sein d'une même moitié de tableau non plus. Plus simplement : on choisit 2 joueurs parmi 8 pour le match 1 : $\binom{8}{2}$, puis 2 parmi 6 pour le match 2 : $\binom{6}{2}$, etc. $\binom{8}{2} \times \binom{6}{2} \times \binom{4}{2} \times \binom{2}{2} = 28 \times 15 \times 6 \times 1 = \dfrac{8!}{2^4} = 2\,520$ Si l'ordre des matchs dans le tableau compte (positions fixes) : $\boxed{2\,520}$

Combien de parcours différents (séquences de résultats) le tournoi peut-il avoir ?

De combien de façons peut-on désigner un vainqueur, un finaliste et deux demi-finalistes ?

Si les joueurs sont classés de 1 (meilleur) à 8 et que le meilleur gagne toujours, qui remporte le tournoi ? Montrer que le joueur classé 2 n'est pas nécessairement finaliste.

Le joueur 1 gagne tous ses matchs et remporte le tournoi. Le joueur 2 n'est pas nécessairement finaliste : si les joueurs 1 et 2 sont dans la **même moitié de tableau**, ils se rencontrent en demi-finale, et le joueur 2 est éliminé avant la finale. Par exemple, avec le tableau [1 vs 2, 3 vs 4 | 5 vs 6, 7 vs 8] : le joueur 1 bat 2 en quart, puis bat 3 ou 4 en demi, et affronte le vainqueur de l'autre moitié en finale. Le joueur 2 est éliminé dès le premier tour. Le finaliste serait le meilleur joueur de **l'autre moitié** du tableau.

Exercice 32

Non commencéAvancé

On considère l'identité de Vandermonde :

\displaystyle\binom{m+n}{p} = \sum_{k=0}^{p} \binom{m}{k} \binom{n}{p-k}

Donner une interprétation combinatoire de cette identité.

Considérons un ensemble $E$ de $m+n$ éléments, partitionné en un groupe $A$ de $m$ éléments et un groupe $B$ de $n$ éléments. Le membre de gauche $\binom{m+n}{p}$ compte les parties de $E$ à $p$ éléments. Pour former une telle partie, on choisit $k$ éléments dans $A$ et $p-k$ éléments dans $B$ (avec $0 \leq k \leq p$). Le nombre de choix est $\binom{m}{k}\binom{n}{p-k}$. En sommant sur toutes les valeurs possibles de $k$, on obtient le membre de droite. Cette partition en cas disjoints prouve l'identité. $\square$

En posant

m = n

p = n

, montrer que

\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}

Application : calculer

\binom{5}{0}^2 + \binom{5}{1}^2 + \binom{5}{2}^2 + \binom{5}{3}^2 + \binom{5}{4}^2 + \binom{5}{5}^2

Vérifier l'identité de Vandermonde pour

m = 3

n = 4

p = 3

Exercice 33

Non commencéAvancé

On répartit 12 élèves en 3 groupes.

Si les groupes sont numérotés (G1, G2, G3) et contiennent chacun 4 élèves, combien de répartitions y a-t-il ?

Si les groupes sont indistinguables (non numérotés), combien de répartitions y a-t-il ?

Combien de répartitions en un groupe de 3, un groupe de 4 et un groupe de 5 (groupes numérotés) ?

Combien de répartitions en un groupe de 3, un groupe de 3 et un groupe de 6 (groupes non numérotés) ?

Exercice 34

Non commencéAvancé

On étudie les propriétés de la formule du binôme de Newton.

Écrire

(1+x)^n

sous forme de somme.

En posant

x = -1

, montrer que

\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = 0

En déduire que

\displaystyle\sum_{\substack{k=0 \ k \text{ pair}}}^{n} \binom{n}{k} = \sum_{\substack{k=0 \ k \text{ impair}}}^{n} \binom{n}{k} = 2^{n-1}

En posant

x = 2

, calculer

\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 2^k

Calculer

\displaystyle\sum_{k=0}^{6} 3^k \binom{6}{k}

Exercice 35

Non commencéAvancé

On étudie les chemins sur une grille

n \times n

(0,0)

(n,n)

Rappeler le nombre de chemins de

(0,0)

(n,n)

(en se déplaçant uniquement vers la droite ou vers le haut).

Application numérique pour

n = 4

Combien de chemins de

(0,0)

(4,4)

passent par le point

(2,2)

Combien de chemins de

(0,0)

(4,4)

passent par

(1,2)

puis par

(3,3)

Exercice 36

Non commencéAvancé

Une loterie demande de choisir 6 numéros parmi les entiers de 1 à 49. Un tirage de 6 numéros est effectué au hasard.

Combien de grilles de loto peut-on remplir ?

Combien de grilles ont exactement 3 numéros en commun avec le tirage ?

Quelle est la probabilité de trouver les 6 bons numéros ?

Quelle est la probabilité d'avoir au moins 4 bons numéros ?

Exercice 37

Non commencéAvancé

On considère l'ensemble

E = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}

Combien de sous-ensembles de

E

contiennent l'élément 1 ?

Combien de sous-ensembles de

E

contiennent 1 et 2 mais pas 3 ?

Combien de sous-ensembles à 4 éléments contiennent au moins un nombre pair ?

Combien de sous-ensembles à 5 éléments de

E

ont une somme paire ?

La somme est paire si et seulement si le nombre d'éléments impairs est pair (0, 2 ou 4). Les éléments impairs de $E$ : $\{1,3,5,7,9\}$ (5 éléments). Les pairs : $\{2,4,6,8,10\}$ (5 éléments). **0 impairs, 5 pairs :** $\binom{5}{0}\binom{5}{5} = 1$ **2 impairs, 3 pairs :** $\binom{5}{2}\binom{5}{3} = 10 \times 10 = 100$ **4 impairs, 1 pair :** $\binom{5}{4}\binom{5}{1} = 5 \times 5 = 25$ Total : $1 + 100 + 25 = \boxed{126}$ **Remarque :** $126 = \dfrac{252}{2} = \dfrac{\binom{10}{5}}{2}$. Par symétrie, la moitié des sous-ensembles à 5 éléments ont une somme paire.

Exercice 38

Non commencéAvancé

On utilise le binôme de Newton pour étudier

(1+x)^n(1-x)^n

Simplifier

(1+x)^n(1-x)^n

Développer

(1+x)^n(1-x)^n

en identifiant le coefficient de

x^{2p}

dans

(1-x^2)^n

En identifiant le coefficient de

x^{2p}

dans le produit

(1+x)^n(1-x)^n

développé via le binôme, montrer que

\displaystyle\sum_{k=0}^{2p} (-1)^k \binom{n}{k}\binom{n}{2p-k} = (-1)^p \binom{n}{p}

Application : en posant

p = 0

, retrouver un résultat connu.

Exercice 39

Non commencéAvancé

Un sac contient 10 jetons numérotés de 1 à 10. On tire successivement et sans remise 4 jetons.

Combien de tirages ordonnés de 4 jetons peut-on effectuer ?

Combien de tirages ordonnés donnent les jetons dans l'ordre croissant ?

Combien de tirages non ordonnés contiennent exactement 2 nombres pairs et 2 impairs ?

Combien de tirages non ordonnés contiennent des jetons dont la somme est paire ?

La somme de 4 nombres est paire si et seulement si le nombre d'impairs est pair (0, 2 ou 4). **0 impairs :** $\binom{5}{0}\binom{5}{4} = 1 \times 5 = 5$ **2 impairs :** $\binom{5}{2}\binom{5}{2} = 10 \times 10 = 100$ **4 impairs :** $\binom{5}{4}\binom{5}{0} = 5 \times 1 = 5$ $5 + 100 + 5 = \boxed{110}$ **Vérification :** Total = $\binom{10}{4} = 210$. Somme impaire : $210 - 110 = 100$. Les cas « somme paire » et « somme impaire » ne sont pas symétriques car les 4 éléments sont tirés sans remise.

Exercice 40

Non commencéAvancé

On place au hasard

n

points sur un cercle (

n \geq 2

). On trace toutes les cordes possibles.

Combien de cordes peut-on tracer ?

Application numérique pour

n = 6

n = 10

Combien de points d'intersection y a-t-il à l'intérieur du cercle si aucune intersection n'est triple (aucun point intérieur n'appartient à plus de 2 cordes) ?

Application numérique pour

n = 6

Aller plus loin sur ce chapitre

Les 4 problèmes de synthèse restent sur la page du chapitre : ils mobilisent plusieurs notions à la fois et s'abordent une fois ces exercices maîtrisés.

Voir les 4 problèmes de synthèse sur la combinatoire et le dénombrement