Chapitre 16 Loi binomiale et épreuves indépendantes Terminale Spé

Exercices corrigés sur la loi binomiale et les épreuves indépendantes en Terminale spécialité

Avant d’utiliser la loi binomiale, justifie que l’expérience répète des épreuves de Bernoulli indépendantes avec une même probabilité de succès. Les exercices de Terminale partent de lancers de pièces, de dés, de QCM et de contrôles de pièces. Tu identifies le nombre d’essais et la probabilité de succès, puis tu traduis les expressions « exactement », « au moins » et « au plus » en événements sur la variable aléatoire.

Les calculs portent sur les probabilités ponctuelles et cumulées, l’espérance et la variance. Pour obtenir au moins un succès, l’événement complémentaire simplifie souvent la méthode. Tu trouveras aussi des problèmes où il faut retrouver les paramètres ou déterminer le nombre minimal d’essais. Après une résolution avec le logarithme, vérifie les entiers voisins pour respecter le seuil demandé.

40 exercices : 10 faciles, 10 intermédiaires, 10 difficiles, 10 avancés. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.

Conforme au programme officiel 2026-2027 · notre méthode de vérification

Cours et fiche de révision sur la loi binomiale et les épreuves indépendantes

Les 40 exercices, du plus simple au plus complet

40 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 1

Non commencéFacile

On lance une pièce de monnaie équilibrée 4 fois de suite.

Justifier que les lancers constituent un schéma de Bernoulli et préciser ses paramètres.

Soit

X

le nombre de Pile obtenus. Quelle est la loi de

X

Calculer

P(X = 2)

Exercice 2

Non commencéFacile

Une usine produit des pièces dont 5 % sont défectueuses. On prélève au hasard 10 pièces (tirage avec remise).

Soit

X

le nombre de pièces défectueuses dans le prélèvement. Justifier que

X \sim \mathcal{B}(10 \,; 0{,}05)

Calculer

P(X = 0)

, la probabilité qu'aucune pièce ne soit défectueuse.

Calculer

E(X)

et interpréter.

Exercice 3

Non commencéFacile

Un QCM comporte 6 questions indépendantes. Pour chaque question, il y a 3 réponses proposées dont une seule est correcte. Un élève répond au hasard.

Quelle loi suit le nombre

X

de bonnes réponses ? Préciser les paramètres.

Calculer

P(X = 6)

, la probabilité d'avoir tout juste.

Calculer l'espérance et l'écart-type de

X

Exercice 4

Non commencéFacile

On considère deux événements

A

B

tels que

P(A) = 0{,}4

P(B) = 0{,}3

P(A \cap B) = 0{,}12

Les événements

A

B

sont-ils indépendants ? Justifier.

Calculer

P(A \cup B)

Calculer

P(\overline{A} \cap \overline{B})

Exercice 5

Non commencéFacile

Soit

X \sim \mathcal{B}(8 \,; 0{,}3)

Calculer

P(X = 0)

Calculer

P(X = 1)

En déduire

P(X \geqslant 2)

Exercice 6

Non commencéFacile

On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes, on note sa couleur, puis on la remet. On répète cette expérience 5 fois.

Quelle est la probabilité de tirer un cœur à chaque tirage ?

Soit

X

le nombre de cœurs tirés sur les 5 tirages. Donner la loi de

X

Calculer la probabilité de n'obtenir aucun cœur.

Exercice 7

Non commencéFacile

Un joueur lance un dé équilibré à 6 faces 3 fois de suite. On s'intéresse au nombre de 6 obtenus.

Identifier la loi suivie par

X

, le nombre de 6 obtenus.

Calculer

P(X = 3)

, la probabilité d'obtenir trois 6.

Calculer

P(X \geqslant 1)

, la probabilité d'obtenir au moins un 6.

Exercice 8

Non commencéFacile

Soit

X \sim \mathcal{B}(20 \,; 0{,}1)

Calculer

E(X)

V(X)

\sigma(X)

Calculer

P(X = 0)

Calculer

P(X = 2)

Exercice 9

Non commencéFacile

On sait que

P(A) = 0{,}6

P(B) = 0{,}5

et que

A

B

sont indépendants.

Calculer

P(A \cap B)

Calculer

P(A \cap \overline{B})

Calculer

P(A \cup B)

Exercice 10

Non commencéFacile

On lance une pièce truquée (

P(\text{Pile}) = 0{,}6

) deux fois de suite. Les lancers sont indépendants.

Construire l'arbre pondéré associé à cette expérience.

Calculer la probabilité de chacun des 4 résultats possibles.

En déduire la probabilité d'obtenir exactement un Pile.

Exercice 11

Non commencéIntermédiaire

Un archer atteint sa cible avec une probabilité de

0{,}8

à chaque tir. Il effectue 7 tirs indépendants. Soit

X

le nombre de fois où il atteint la cible.

Justifier que

X \sim \mathcal{B}(7 \,; 0{,}8)

Calculer

P(X = 7)

Calculer

P(X = 5)

Calculer

P(X \geqslant 5)

Exercice 12

Non commencéIntermédiaire

Soit

X \sim \mathcal{B}(10 \,; 0{,}4)

Calculer

E(X)

V(X)

\sigma(X)

Calculer

P(X = 4)

Calculer

P(3 \leqslant X \leqslant 5)

$$P(3 \leqslant X \leqslant 5) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$$ $P(X=3) = \binom{10}{3} \times (0{,}4)^3 \times (0{,}6)^7 = 120 \times 0{,}064 \times 0{,}0279936 \approx 0{,}215$ $P(X=4) \approx 0{,}251$ (calculé précédemment) $P(X=5) = \binom{10}{5} \times (0{,}4)^5 \times (0{,}6)^5 = 252 \times 0{,}01024 \times 0{,}07776 \approx 0{,}201$ $$P(3 \leqslant X \leqslant 5) \approx 0{,}215 + 0{,}251 + 0{,}201 = \boxed{0{,}667}$$

Exercice 13

Non commencéIntermédiaire

On lance un dé équilibré à 6 faces 10 fois de suite. On note

X

le nombre de fois où le résultat est strictement supérieur à 4.

Déterminer la probabilité

p

de l'événement « le résultat est strictement supérieur à 4 » pour un lancer.

Identifier la loi de

X

et calculer

E(X)

Calculer

P(X = 0)

P(X = 10)

Calculer

P(X \geqslant 1)

Exercice 14

Non commencéIntermédiaire

Dans un test de dépistage, la probabilité qu'un individu soit positif est

0{,}02

. On teste 50 individus de manière indépendante.

Soit

X

le nombre d'individus positifs. Donner la loi de

X

et calculer

E(X)

Calculer la probabilité qu'aucun individu ne soit positif.

Calculer la probabilité d'avoir au moins 2 individus positifs.

Exercice 15

Non commencéIntermédiaire

On effectue une succession de 5 épreuves indépendantes. À chaque épreuve, la probabilité de succès est

p = 0{,}7

Donner la probabilité du chemin

SSSEE

(3 succès puis 2 échecs dans cet ordre).

Combien de chemins réalisent exactement 3 succès parmi 5 épreuves ?

Calculer

P(X = 3)

où

X

est le nombre de succès.

Exercice 16

Non commencéIntermédiaire

Un sac contient 3 boules rouges et 7 boules bleues. On tire une boule, on note sa couleur, et on la remet dans le sac. On répète cette expérience

n = 6

fois.

Soit

X

le nombre de boules rouges tirées. Identifier la loi de

X

Calculer

P(X = 2)

Calculer la probabilité d'obtenir au plus une boule rouge.

Exercice 17

Non commencéIntermédiaire

On considère deux événements

A

B

tels que

P(A) = 0{,}3

P(B) = 0{,}6

P(A \cap B) = 0{,}24

Les événements

A

B

sont-ils indépendants ?

Calculer

P_B(A)

Calculer

P_A(B)

Exercice 18

Non commencéIntermédiaire

La probabilité qu'un joueur de basket réussisse un lancer franc est

0{,}75

. Il effectue 12 lancers indépendants.

Soit

X

le nombre de lancers réussis. Donner la loi de

X

et ses paramètres caractéristiques.

Calculer la probabilité qu'il réussisse les 12 lancers.

Calculer la probabilité qu'il rate tous ses lancers.

Exercice 19

Non commencéIntermédiaire

On effectue 8 épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre

p

. On sait que l'espérance du nombre de succès est 6.

Déterminer la valeur de

p

Calculer

V(X)

\sigma(X)

Calculer

P(X = 8)

Exercice 20

Non commencéIntermédiaire

Soit

X \sim \mathcal{B}(n, p)

avec

E(X) = 6

V(X) = 2{,}4

Déterminer

n

p

Calculer

\sigma(X)

Calculer

P(X = 6)

Exercice 21

Non commencéDifficile

Une machine produit des composants électroniques. La probabilité qu'un composant soit défectueux est

0{,}03

. On prélève 20 composants au hasard avec remise.

Soit

X

le nombre de composants défectueux. Donner la loi de

X

Calculer la probabilité que le lot soit accepté, sachant qu'il est accepté si et seulement si

X \leqslant 1

Déterminer le plus petit entier

n_0

tel que

P(X \geqslant 1) > 0{,}5

si l'on prélève

n_0

composants.

Exercice 22

Non commencéDifficile

Un tireur touche la cible avec une probabilité de

\dfrac{2}{3}

à chaque tir (tirs indépendants). Il effectue 6 tirs.

Calculer la probabilité qu'il touche la cible exactement 4 fois.

Calculer la probabilité qu'il touche la cible au moins 5 fois.

$$P(X \geqslant 5) = P(X=5) + P(X=6)$$ $P(X = 5) = \binom{6}{5} \left(\dfrac{2}{3}\right)^5 \left(\dfrac{1}{3}\right)^1 = 6 \times \dfrac{32}{243} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{192}{729} = \dfrac{64}{243}$ $P(X = 6) = \left(\dfrac{2}{3}\right)^6 = \dfrac{64}{729}$ $$P(X \geqslant 5) = \dfrac{64}{243} + \dfrac{64}{729} = \dfrac{192}{729} + \dfrac{64}{729} = \dfrac{256}{729} \approx \boxed{0{,}351}$$

Déterminer la valeur de

k

pour laquelle

P(X = k)

est maximale.

Exercice 23

Non commencéDifficile

Un vaccin est efficace avec une probabilité de

0{,}9

. On vaccine 15 personnes indépendamment.

Soit

X

le nombre de personnes pour lesquelles le vaccin est efficace. Calculer

P(X = 15)

Calculer

P(X \leqslant 12)

$$P(X \leqslant 12) = 1 - P(X = 13) - P(X = 14) - P(X = 15)$$ $P(X = 14) = \binom{15}{14} \times (0{,}9)^{14} \times (0{,}1)^1 = 15 \times 0{,}2288 \times 0{,}1 \approx 0{,}343$ $P(X = 13) = \binom{15}{13} \times (0{,}9)^{13} \times (0{,}1)^2 = 105 \times 0{,}2542 \times 0{,}01 \approx 0{,}267$ $P(X = 15) \approx 0{,}206$ $$P(X \leqslant 12) \approx 1 - 0{,}267 - 0{,}343 - 0{,}206 = \boxed{0{,}184}$$

Quel est le nombre minimum de personnes à vacciner pour que

P(X \geqslant 1) > 0{,}999

Exercice 24

Non commencéDifficile

Soit

X \sim \mathcal{B}(n, p)

. On donne

P(X = 0) = 0{,}0256

P(X = 1) = 0{,}1536

Exprimer

P(X = 0)

P(X = 1)

en fonction de

n

p

En calculant le rapport

\dfrac{P(X=1)}{P(X=0)}

, déterminer

\dfrac{np}{1-p}

Déterminer les valeurs de

n

p

Exercice 25

Non commencéDifficile

On répète

n

fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre

p = 0{,}2

. On souhaite que la probabilité d'obtenir au moins un succès soit supérieure à

0{,}95

Exprimer

P(X \geqslant 1)

en fonction de

n

Résoudre l'inéquation

P(X \geqslant 1) > 0{,}95

Vérifier pour

n = 14

que

P(X \geqslant 1) > 0{,}95

Exercice 26

Non commencéDifficile

On lance simultanément deux dés équilibrés. On répète cette expérience 10 fois de manière indépendante. On appelle « double six » l'événement « obtenir 6 sur chacun des deux dés ».

Quelle est la probabilité d'obtenir un double six à un lancer ?

Soit

X

le nombre de double six sur les 10 lancers. Donner la loi de

X

et calculer

E(X)

Calculer la probabilité de n'obtenir aucun double six.

Combien de fois faut-il lancer les deux dés pour que la probabilité d'obtenir au moins un double six dépasse

0{,}5

On cherche $n$ tel que $1 - \left(\dfrac{35}{36}\right)^n > 0{,}5$, soit $\left(\dfrac{35}{36}\right)^n < 0{,}5$. $$n > \dfrac{\ln(0{,}5)}{\ln\left(\frac{35}{36}\right)} = \dfrac{-0{,}6931}{-0{,}02817} \approx 24{,}6$$ Donc $\boxed{n = 25}$. **Remarque historique :** c'est le problème du Chevalier de Méré, qui demandait s'il était avantageux de parier sur au moins un double six en 24 lancers. La réponse est non : $P \approx 0{,}491 < 0{,}5$.

Exercice 27

Non commencéDifficile

Soit

X \sim \mathcal{B}(n, p)

. Montrer que

P(X = k+1) = \dfrac{n-k}{k+1} \times \dfrac{p}{1-p} \times P(X = k)

Écrire

P(X = k+1)

P(X = k)

avec la formule de la loi binomiale.

Calculer le rapport

\dfrac{P(X = k+1)}{P(X = k)}

$$\dfrac{P(X = k+1)}{P(X = k)} = \dfrac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}} \times \dfrac{p^{k+1}}{p^k} \times \dfrac{(1-p)^{n-k-1}}{(1-p)^{n-k}}$$ Or $\dfrac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}} = \dfrac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} \times \dfrac{k!(n-k)!}{n!} = \dfrac{n-k}{k+1}$. Et $\dfrac{p^{k+1}}{p^k} = p$ ; $\dfrac{(1-p)^{n-k-1}}{(1-p)^{n-k}} = \dfrac{1}{1-p}$. Donc : $$\boxed{\dfrac{P(X = k+1)}{P(X = k)} = \dfrac{n-k}{k+1} \times \dfrac{p}{1-p}}$$

Application : si

X \sim \mathcal{B}(10 \,; 0{,}3)

P(X = 3) \approx 0{,}2668

, calculer

P(X = 4)

Exercice 28

Non commencéDifficile

Un test de grossesse a une sensibilité de

0{,}99

(probabilité de détecter une grossesse quand elle existe) et une spécificité de

0{,}97

(probabilité d'un résultat négatif quand il n'y a pas de grossesse). On teste

n = 100

femmes non enceintes de manière indépendante.

Soit

Y

le nombre de faux positifs parmi les 100 femmes non enceintes. Quelle est la loi de

Y

Calculer

E(Y)

\sigma(Y)

Calculer la probabilité d'avoir au plus 2 faux positifs.

$P(Y \leqslant 2) = P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2)$ $P(Y=0) = (0{,}97)^{100} \approx 0{,}0476$ $P(Y=1) = 100 \times 0{,}03 \times (0{,}97)^{99} \approx 100 \times 0{,}03 \times 0{,}0491 \approx 0{,}1473$ $P(Y=2) = \binom{100}{2} \times (0{,}03)^2 \times (0{,}97)^{98} = 4950 \times 0{,}0009 \times 0{,}0506 \approx 0{,}2253$ $$P(Y \leqslant 2) \approx 0{,}0476 + 0{,}1473 + 0{,}2253 = \boxed{0{,}420}$$

Exercice 29

Non commencéDifficile

Soit

X \sim \mathcal{B}(n, p)

Y \sim \mathcal{B}(n, 1-p)

Montrer que

P(Y = k) = P(X = n - k)

pour tout

0 \leqslant k \leqslant n

En déduire que

E(Y) = n - E(X)

Vérifier que

V(Y) = V(X)

Exercice 30

Non commencéDifficile

Un candidat passe un examen composé de 20 questions indépendantes. Pour chaque question, la probabilité qu'il réponde correctement est

0{,}6

. Il obtient 2 points par bonne réponse et perd 1 point par mauvaise réponse.

Soit

X

le nombre de bonnes réponses. Donner la loi de

X

et calculer

E(X)

Exprimer le score total

S

en fonction de

X

et calculer

E(S)

Calculer

V(S)

\sigma(S)

Quelle est la probabilité que le candidat obtienne un score positif ou nul (

S \geqslant 0

) ?

Exercice 31

Non commencéAvancé

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres

n

p

. Soit

X \sim \mathcal{B}(n, p)

. On pose

q = 1 - p

Montrer que

\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = 1

en utilisant la formule du binôme de Newton.

En dérivant par rapport à

p

la relation

(p+q)^n = 1

(avec

q = 1-p

), retrouver

E(X) = np

On a $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = 1$. Dérivons les deux membres par rapport à $p$ : $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \left[ k p^{k-1} (1-p)^{n-k} - (n-k) p^k (1-p)^{n-k-1} \right] = 0$$ Alternativement, utilisons $(p + q)^n$ avec $q = 1-p$ vu comme indépendant de $p$, puis posons $q = 1-p$ à la fin. Dérivons $f(p) = (p+q)^n$ par rapport à $p$ : $f'(p) = n(p+q)^{n-1}$. Et $f(p) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$, donc $f'(p) = \sum_{k=1}^{n} k \binom{n}{k} p^{k-1} q^{n-k}$. En posant $p+q = 1$ : $n \times 1 = \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} p^{k-1} q^{n-k}$. Multiplions par $p$ : $np = \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = E(X)$. Donc $\boxed{E(X) = np}$. $\square$

En déduire

E(X^2)

puis retrouver

V(X) = npq

Dérivons une seconde fois $f(p) = (p+q)^n$ : $f''(p) = n(n-1)(p+q)^{n-2}$. Et $f''(p) = \sum_{k=2}^{n} k(k-1) \binom{n}{k} p^{k-2} q^{n-k}$. En posant $p+q=1$ et en multipliant par $p^2$ : $$n(n-1)p^2 = \sum_{k=0}^{n} k(k-1) \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = E(X(X-1)) = E(X^2) - E(X)$$ Donc $E(X^2) = n(n-1)p^2 + np$. $$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = n(n-1)p^2 + np - n^2p^2$$ $$= n^2p^2 - np^2 + np - n^2p^2 = np - np^2 = np(1-p) = \boxed{npq}$$ $\square$

Exercice 32

Non commencéAvancé

On effectue une succession de lancers d'une pièce truquée (

P(\text{Pile}) = p

avec

0 < p < 1

). On s'arrête dès que l'on obtient Pile.

Soit

Y

le nombre de lancers effectués. Calculer

P(Y = 1)

P(Y = 2)

P(Y = 3)

Montrer que

P(Y = k) = (1-p)^{k-1} p

pour tout entier

k \geqslant 1

Vérifier que

\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} P(Y = k) = 1

Application numérique : pour

p = 0{,}3

, calculer la probabilité d'avoir besoin de plus de 5 lancers.

Exercice 33

Non commencéAvancé

Un organisme de sondage interroge 1000 personnes. Chaque personne, indépendamment, est favorable à un projet avec une probabilité

p = 0{,}52

. Soit

X

le nombre de personnes favorables.

Donner la loi de

X

et calculer

E(X)

V(X)

\sigma(X)

On admet que

P(E(X) - 2\sigma \leqslant X \leqslant E(X) + 2\sigma) \approx 0{,}95

. Déterminer l'intervalle correspondant.

En déduire un encadrement de la proportion

F = \dfrac{X}{1000}

de personnes favorables avec une probabilité d'environ

0{,}95

Exercice 34

Non commencéAvancé

On dispose de deux pièces. La pièce A est équilibrée (

P(\text{Pile}) = 0{,}5

) et la pièce B est truquée (

P(\text{Pile}) = 0{,}8

). On choisit au hasard une pièce (avec la même probabilité) et on la lance 5 fois.

Sachant qu'on a choisi la pièce A, quelle est la loi du nombre de Pile

X_A

Calculer la probabilité d'obtenir exactement 4 Pile.

Notons $A$ = « choisir la pièce A » et $B$ = « choisir la pièce B ». On a $P(A) = P(B) = 0{,}5$. Soit $X$ le nombre de Pile. Par la formule des probabilités totales : $$P(X = 4) = P(A) \times P_A(X = 4) + P(B) \times P_B(X = 4)$$ $P_A(X = 4) = \binom{5}{4} (0{,}5)^4 (0{,}5)^1 = 5 \times \dfrac{1}{32} = \dfrac{5}{32} = 0{,}15625$ $P_B(X = 4) = \binom{5}{4} (0{,}8)^4 (0{,}2)^1 = 5 \times 0{,}4096 \times 0{,}2 = 0{,}4096$ $$P(X = 4) = 0{,}5 \times 0{,}15625 + 0{,}5 \times 0{,}4096 \approx \boxed{0{,}283}$$

Sachant qu'on a obtenu exactement 4 Pile, quelle est la probabilité d'avoir utilisé la pièce B ?

Exercice 35

Non commencéAvancé

On pose

S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2

En utilisant l'identité de Vandermonde

\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \binom{n}{n-k} = \binom{2n}{n}

et la symétrie

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

, montrer que

S_n = \binom{2n}{n}

Vérifier pour

n = 3

Application probabiliste : soit

X \sim \mathcal{B}\left(n \,; \dfrac{1}{2}\right)

. Exprimer

\displaystyle\sum_{k=0}^{n} [P(X=k)]^2

en fonction de

n

Exercice 36

Non commencéAvancé

Un joueur lance une pièce truquée (

P(\text{Pile}) = p

)

2n

fois. Soit

X

le nombre de Pile obtenus.

Donner la loi de

X

Montrer que

P(X = n) = \binom{2n}{n} p^n (1-p)^n

Pour

p = \dfrac{1}{2}

, montrer que

P(X = n) = \dfrac{\binom{2n}{n}}{4^n}

et calculer cette valeur pour

n = 5

Exercice 37

Non commencéAvancé

On considère deux variables aléatoires indépendantes

X \sim \mathcal{B}(n_1, p)

Y \sim \mathcal{B}(n_2, p)

avec le même paramètre

p

Soit

Z = X + Y

. Conjecturer la loi de

Z

et vérifier que

E(Z) = (n_1 + n_2)p

Vérifier que

V(Z) = (n_1 + n_2)p(1-p)

Application :

X \sim \mathcal{B}(8 \,; 0{,}3)

Y \sim \mathcal{B}(12 \,; 0{,}3)

indépendantes. Donner la loi de

Z = X + Y

et calculer

E(Z)

\sigma(Z)

Exercice 38

Non commencéAvancé

Un contrôle qualité porte sur un lot de grande taille contenant une proportion

p = 0{,}1

de pièces défectueuses. On prélève

n

pièces au hasard avec remise. Le lot est refusé si l'on trouve au moins 2 pièces défectueuses.

Exprimer, en fonction de

n

, la probabilité

R(n)

de refuser le lot.

Soit $X \sim \mathcal{B}(n \,; 0{,}1)$. Le lot est refusé si $X \geqslant 2$. $$R(n) = P(X \geqslant 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$$ $$= 1 - (0{,}9)^n - n \times 0{,}1 \times (0{,}9)^{n-1}$$ $$= \boxed{1 - (0{,}9)^n \left(1 + \dfrac{n}{9}\right)}$$ (car $n \times 0{,}1 \times (0{,}9)^{n-1} = \dfrac{n}{9} \times (0{,}9)^n$ en factorisant $(0{,}9)^n$, ce qui donne $n \times 0{,}1 \times \dfrac{(0{,}9)^n}{0{,}9} = \dfrac{n}{9}(0{,}9)^n$.)

Calculer

R(10)

R(20)

$R(10) = 1 - (0{,}9)^{10}\left(1 + \dfrac{10}{9}\right) = 1 - (0{,}9)^{10} \times \dfrac{19}{9}$ $(0{,}9)^{10} \approx 0{,}34868$ $R(10) = 1 - 0{,}34868 \times 2{,}1111 \approx 1 - 0{,}7361 = \boxed{0{,}264}$ $R(20) = 1 - (0{,}9)^{20}\left(1 + \dfrac{20}{9}\right) = 1 - (0{,}9)^{20} \times \dfrac{29}{9}$ $(0{,}9)^{20} \approx 0{,}12158$ $R(20) = 1 - 0{,}12158 \times 3{,}2222 \approx 1 - 0{,}3917 = \boxed{0{,}608}$

Déterminer le plus petit

n

tel que

R(n) > 0{,}9

On cherche $n$ tel que $R(n) > 0{,}9$, soit $(0{,}9)^n \left(1 + \dfrac{n}{9}\right) < 0{,}1$. Testons quelques valeurs : $n = 40$ : $(0{,}9)^{40} \approx 0{,}01478$, $1 + \dfrac{40}{9} \approx 5{,}444$, produit $\approx 0{,}0805 < 0{,}1$ ✓ $n = 35$ : $(0{,}9)^{35} \approx 0{,}02503$, $1 + \dfrac{35}{9} \approx 4{,}889$, produit $\approx 0{,}1224 > 0{,}1$ ✗ $n = 38$ : $(0{,}9)^{38} \approx 0{,}01826$, $1 + \dfrac{38}{9} \approx 5{,}222$, produit $\approx 0{,}0954 < 0{,}1$ ✓ $n = 37$ : $(0{,}9)^{37} \approx 0{,}02029$, $1 + \dfrac{37}{9} \approx 5{,}111$, produit $\approx 0{,}1037 > 0{,}1$ ✗ Donc $\boxed{n = 38}$.

Exercice 39

Non commencéAvancé

Soit

X \sim \mathcal{B}(n, p)

. On note

\mu = E(X) = np

\sigma^2 = V(X) = np(1-p)

Montrer que

P(X = k)

est maximale pour

k = k_0

où

k_0

est le plus grand entier tel que

k_0 \leqslant (n+1)p

D'après l'exercice 27, on a : $$\dfrac{P(X = k+1)}{P(X = k)} = \dfrac{(n-k)p}{(k+1)(1-p)}$$ Ce rapport est $\geqslant 1$ si et seulement si $(n-k)p \geqslant (k+1)(1-p)$, soit : $np - kp \geqslant k + 1 - kp - p$, d'où $np + p - 1 \geqslant k$, soit $k \leqslant (n+1)p - 1$. Donc $P(X = k)$ croît tant que $k \leqslant (n+1)p - 1$ et décroît ensuite. Le maximum est atteint pour $\boxed{k_0 = \lfloor (n+1)p \rfloor}$ (partie entière), ou pour les deux valeurs encadrant $(n+1)p - 1$ si c'est un entier.

Application : déterminer le mode de

X \sim \mathcal{B}(15 \,; 0{,}4)

Pour

X \sim \mathcal{B}(100 \,; 0{,}5)

, montrer que

P(X = 50)

est la plus grande probabilité.

Exercice 40

Non commencéAvancé

Deux joueurs A et B jouent une série de parties indépendantes. À chaque partie, A gagne avec la probabilité

p = 0{,}6

. Le premier à remporter 3 parties gagne la série.

La série dure au minimum 3 parties et au maximum 5 parties. Calculer la probabilité que A gagne en exactement 3 parties.

Calculer la probabilité que A gagne en exactement 4 parties.

A gagne en exactement 4 parties signifie : parmi les 3 premières parties, A en gagne exactement 2 et B en gagne 1, puis A gagne la 4e. Nombre de façons de placer la victoire de B parmi les 3 premières : $\binom{3}{1} = 3$. $$P(\text{A gagne en 4}) = \binom{3}{1} \times p^2 \times (1-p) \times p = 3 \times (0{,}6)^2 \times 0{,}4 \times 0{,}6$$ $$= 3 \times 0{,}36 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 3 \times 0{,}0864 = \boxed{0{,}2592}$$

Calculer la probabilité que A gagne en exactement 5 parties.

En déduire la probabilité que A gagne la série.

Aller plus loin sur ce chapitre

Les 4 problèmes de synthèse restent sur la page du chapitre : ils mobilisent plusieurs notions à la fois et s'abordent une fois ces exercices maîtrisés.

Voir les 4 problèmes de synthèse sur la loi binomiale et les épreuves indépendantes