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IV Probabilités & dénombrement · Chapitre 01 / 17

Combinatoire et dénombrement

Factorielle, arrangements, combinaisons, coefficients binomiaux.

15 min de lecture
6 sections, 14 exemples
40 exercices · 4 problèmes

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40 exercices corrigés sur la combinatoire et le dénombrement

L'essentiel en 30 secondes

Le dénombrement compte sans lister. Le principe multiplicatif enchaîne les choix indépendants ; les k-uplets comptent les listes avec répétition, les arrangements les listes sans répétition, et les combinaisons les choix non ordonnés. Le coefficient binomial « k parmi n » compte les parties à k éléments d'un ensemble à n éléments et se calcule avec le triangle de Pascal.

1 I. Principes fondamentaux

1. Principe additif

2. Principe multiplicatif

Démonstration via le produit cartésien
Le produit cartésien de deux ensembles AA et BB est :

A×B={(a,b)∣a∈A et b∈B}A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \text{ et } b \in B\}

Chaque élément de AA peut être associé à chaque élément de BB, ce qui donne :

card(A×B)=card(A)×card(B)\text{card}(A \times B) = \text{card}(A) \times \text{card}(B)

3. Inclusion-exclusion

Démonstration
On décompose A∪BA \cup B en trois parties disjointes :

• A∖BA \setminus B : éléments dans AA mais pas dans BB
• A∩BA \cap B : éléments dans AA et dans BB
• B∖AB \setminus A : éléments dans BB mais pas dans AA

Donc card(A∪B)=card(A∖B)+card(A∩B)+card(B∖A)\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A \setminus B) + \text{card}(A \cap B) + \text{card}(B \setminus A).

Or card(A)=card(A∖B)+card(A∩B)\text{card}(A) = \text{card}(A \setminus B) + \text{card}(A \cap B) et card(B)=card(B∖A)+card(A∩B)\text{card}(B) = \text{card}(B \setminus A) + \text{card}(A \cap B).

En substituant : card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B).

2 II. pp-listes (pp-uplets)

1. pp-listes avec répétition

Démonstration
Par le principe multiplicatif : pour chaque position du pp-uplet, on a nn choix possibles. Les choix sont indépendants.

Donc le nombre total est n×n×⋯×n⏟p fois=np\underbrace{n \times n \times \cdots \times n}_{p \text{ fois}} = n^p.

2. pp-listes sans répétition (arrangements)

Démonstration
Par le principe multiplicatif :

• 1ère position : nn choix
• 2ème position : n−1n - 1 choix (un élément déjà utilisé)
• 3ème position : n−2n - 2 choix
• ⋮\vdots
• pp-ème position : n−p+1n - p + 1 choix

Donc Anp=n(n−1)(n−2)⋯(n−p+1)=n!(n−p)!A_n^p = n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1) = \dfrac{n!}{(n-p)!}.

3 III. Permutations

Démonstration
C'est le cas p=np = n de la formule des arrangements :

Ann=n!(n−n)!=n!0!=n!1=n!A_n^n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n!

4 IV. Combinaisons

1. Définition et formule

Démonstration
Chaque combinaison de pp éléments peut être ordonnée de p!p! façons, donnant ainsi un arrangement.

Donc : nombre d'arrangements == nombre de combinaisons ×\times p!p!

Anp=(np)×p!A_n^p = \binom{n}{p} \times p!

D'où :

(np)=Anpp!=n!p! (n−p)!\binom{n}{p} = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!\,(n-p)!}

2. Propriétés des coefficients binomiaux

Démonstration de la symétrie
(nn−p)=n!(n−p)! [n−(n−p)]!=n!(n−p)! p!=(np)\binom{n}{n-p} = \frac{n!}{(n-p)!\,[n-(n-p)]!} = \frac{n!}{(n-p)!\,p!} = \binom{n}{p}

Interprétation : Choisir pp éléments à prendre parmi nn, c'est la même chose que choisir n−pn - p éléments à laisser.

3. Triangle de Pascal

Démonstration combinatoire
On fixe un élément aa dans l'ensemble EE à nn éléments. Les combinaisons de pp éléments parmi nn se répartissent en deux catégories disjointes :

• Celles qui contiennent aa : il reste à choisir p−1p - 1 éléments parmi les n−1n - 1 restants → (n−1p−1)\binom{n-1}{p-1}
• Celles qui ne contiennent pas aa : il faut choisir pp éléments parmi les n−1n - 1 restants → (n−1p)\binom{n-1}{p}

Par le principe additif : (np)=(n−1p−1)+(n−1p)\binom{n}{p} = \binom{n-1}{p-1} + \binom{n-1}{p}.
Triangle de Pascal (lignes n=0n = 0 à n=6n = 6) :

n=0n = 0 : 1\qquad\qquad\qquad\qquad 1
n=1n = 1 :   11\qquad\qquad\qquad\; 1 \qquad 1
n=2n = 2 : 121\qquad\qquad\quad 1 \qquad 2 \qquad 1
n=3n = 3 : 1331\qquad\qquad 1 \qquad 3 \qquad 3 \qquad 1
n=4n = 4 :   14641\qquad\; 1 \qquad 4 \qquad 6 \qquad 4 \qquad 1
n=5n = 5 : 15101051\quad 1 \qquad 5 \quad 10 \quad 10 \qquad 5 \qquad 1
n=6n = 6 : 16152015611 \qquad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \qquad 6 \qquad 1

Chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui.

4. Binôme de Newton

Idée de la démonstration
On développe le produit (a+b)n=(a+b)(a+b)⋯(a+b)⏟n facteurs(a + b)^n = \underbrace{(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}_{n \text{ facteurs}}.

Dans chaque facteur, on choisit aa ou bb. Un terme an−kbka^{n-k}b^k apparaît chaque fois qu'on choisit bb exactement kk fois parmi les nn facteurs.

Le nombre de façons de choisir ces kk facteurs est (nk)\binom{n}{k}.

5 V. Méthodes et stratégies de dénombrement

1. Schéma de décision

Arbre de décision — Quel outil de dénombrement utiliser ?
L'ordre compte-t-il ?
Non
(np)\displaystyle\binom{n}{p}
Combinaison
Oui
Répétitions possibles ?
Oui
npn^p
p-liste
Non
Tous les éléments ?
Oui
n!n!
Permutation
Non
n!(n−p)!\dfrac{n!}{(n-p)!}
Arrangement

2. Passer par le complémentaire

3. Décomposer en étapes

4. Distinguer des cas

5. Fixer un élément

6. Placer d'abord les contraintes

6 Tableau récapitulatif

SituationOrdreRépétitionFormule
pp-liste avec répétitionOuiOuinpn^p
ArrangementOuiNonn!(n−p)!\dfrac{n!}{(n-p)!}
PermutationOuiNonn!n!
CombinaisonNonNon(np)=n!p!(n−p)!\binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}
Anagrammes (avec rép.)Oui—n!r1!×r2!×⋯×rk!\dfrac{n!}{r_1! \times r_2! \times \cdots \times r_k!}

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8 sujets officiels de bac comportent un exercice sur ce chapitre — chaque corrigé est détaillé question par question.

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une combinaison et un arrangement ?
Dans un arrangement, l'ordre des éléments compte ; dans une combinaison, non. Choisir 3 délégués parmi 20 est une combinaison ((203)\binom{20}{3}) ; choisir un président, un trésorier et un secrétaire est un arrangement. Le réflexe : demandez-vous si échanger deux éléments change le résultat.
Quand utiliser une factorielle et quand utiliser un coefficient binomial ?
La factorielle n!n! compte les permutations, c'est-à-dire toutes les façons d'ordonner nn éléments distincts. Le coefficient binomial (nk)\binom{n}{k} compte les parties à kk éléments d'un ensemble à nn éléments, sans tenir compte de l'ordre.
Comment calculer un coefficient binomial sans calculatrice ?
On utilise (nk)=n!k! (n−k)!\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}, en simplifiant avant de multiplier. Par exemple (103)=10×9×83×2×1=120\binom{10}{3} = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120. Pensez aussi à la symétrie (nk)=(nn−k)\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}, qui évite souvent les gros calculs.