Chapitre 17 Sommes de variables aléatoires Terminale Spé

Exercices corrigés sur les sommes de variables aléatoires et la concentration en Terminale spécialité

Ces exercices de Terminale relient les sommes de variables aléatoires à la précision d’une moyenne observée. Tu commences par calculer une espérance, une variance et un écart type, puis tu passes à une somme ou à une moyenne d’échantillon. Distingue les règles : l’espérance est linéaire, tandis que l’addition des variances utilisée ici exige l’indépendance. Multiplier une variable par un nombre multiplie sa variance par le carré de ce nombre.

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev fournit ensuite une borne pour la probabilité de s’éloigner de l’espérance. La banque propose des applications à des fréquences, des sondages et des tailles d’échantillon. Identifie l’écart demandé, la variance de la variable concernée et le seuil de probabilité. Les exercices de concentration expliquent enfin comment la variance de la moyenne diminue lorsque la taille de l’échantillon augmente.

50 exercices : 20 faciles, 17 intermédiaires, 8 difficiles, 5 avancés. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.

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Cours et fiche de révision sur les sommes de variables aléatoires et la concentration

Les 50 exercices, du plus simple au plus complet

50 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 1

Non commencéFacile

Soit

X

Y

deux variables aléatoires telles que

E(X) = 3

E(Y) = 7

.

Calculer

E(X+Y)

E(3X)

E(2X+Y)

E(X-Y)

Exercice 2

Non commencéFacile

Soit

X

une variable aléatoire telle que

E(X) = 5

V(X) = 4

.

Calculer

E(3X+2)

V(3X+2)

Exercice 3

Non commencéFacile

Soit

X \sim \mathcal{B}(50\,; 0{,}3)

. Calculer

E(X)

V(X)

\sigma(X)

Exercice 4

Non commencéFacile

Soit

X

Y

deux variables aléatoires indépendantes telles que

V(X) = 6

V(Y) = 10

.

Calculer

V(X+Y)

Exercice 5

Non commencéFacile

On lance

200

fois une pièce truquée dont la probabilité de Pile est

p = 0{,}4

. Soit

X

le nombre de Pile obtenus.

1) Quelle est la loi de

X

?

2) Calculer

E(X)

\sigma(X)

Quelle est la loi de

X

Calculer

E(X)

\sigma(X)

Exercice 6

Non commencéFacile

Soit

X

une variable aléatoire d'espérance

\mu = 10

et de variance

V = 8

. On considère un échantillon

(X_1, \ldots, X_{40})

de taille

40

X

.

Calculer

E(S_{40})

V(S_{40})

E(M_{40})

V(M_{40})

Exercice 7

Non commencéFacile

Soit

X \sim \mathcal{B}(p)

une variable de Bernoulli. Vérifier que

V(X) = p(1-p)

en utilisant la formule

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Exercice 8

Non commencéFacile

Soit

X

une variable aléatoire telle que

V(X) = 12

.

Calculer

V(2X)

V(-3X)

V(5X+7)

\sigma(2X)

Exercice 9

Non commencéFacile

On lance

5

dés équilibrés à

6

faces. Soit

S

la somme des résultats et

M

la moyenne.

Calculer

E(S)

E(M)

V(S)

V(M)

.

(On rappelle que pour un dé : $E(X) = 3{,}5$ et $V(X) = \frac{35}{12}$ .)

Exercice 10

Non commencéFacile

Soit

X_1

X_2

deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi, avec

E(X_1) = 4

\sigma(X_1) = 3

.

Calculer

E(X_1+X_2)

V(X_1+X_2)

\sigma(X_1+X_2)

Exercice 11

Non commencéFacile

On tire

4

fois de suite une boule dans une urne contenant

3

boules rouges et

7

boules bleues, avec remise. Soit

X

le nombre de boules rouges tirées.

Exprimer

X

comme somme de variables de Bernoulli, puis calculer

E(X)

V(X)

Exercice 12

Non commencéFacile

Soit

X

une variable aléatoire avec

E(X) = 20

V(X) = 50

. On considère un échantillon de taille

n = 200

.

Calculer

\sigma(M_{200})

Exercice 13

Non commencéFacile

Soit

X \sim \mathcal{B}(n\,; 0{,}6)

avec

E(X) = 30

. Déterminer

n

V(X)

Exercice 14

Non commencéFacile

Soit

X

Y

deux variables aléatoires indépendantes avec

E(X) = 2

V(X) = 3

E(Y) = -1

V(Y) = 5

.

Calculer

E(X+Y)

V(X+Y)

E(3X - 2Y + 4)

V(3X - 2Y)

.

(On admet que si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $3X$ et $2Y$ le sont aussi.)

Exercice 15

Non commencéFacile

Montrer que si

X \sim \mathcal{B}(n, p)

, alors

\sigma(X) \leqslant \frac{\sqrt{n}}{2}

Exercice 16

Non commencéIntermédiaire

Un jeu consiste à lancer

3

dés équilibrés. On gagne la somme

S

des trois dés, et on paie

12

euros pour jouer.

Soit

G

le gain net du joueur. Calculer

E(G)

. Le jeu est-il favorable au joueur ?

Exercice 17

Non commencéIntermédiaire

Soit

X

une variable aléatoire prenant les valeurs

1

2

3

avec les probabilités respectives

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{1}{6}

.

1) Calculer

E(X)

V(X)

.

2) On considère

S = X_1 + X_2

où

X_1

X_2

sont deux copies indépendantes de

X

. Déterminer

E(S)

V(S)

Calculer

E(X)

V(X)

$E(X) = 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{3} + 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3+4+3}{6} = \frac{10}{6} = \boxed{\frac{5}{3}}$ $E(X^2) = 1 \times \frac{1}{2} + 4 \times \frac{1}{3} + 9 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{3}{2} = \frac{3+8+9}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$ $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{10}{3} - \frac{25}{9} = \frac{30-25}{9} = \boxed{\frac{5}{9}}$

Déterminer

E(S)

V(S)

Exercice 18

Non commencéIntermédiaire

Un contrôle qualité teste

500

pièces. Chaque pièce a une probabilité

0{,}02

d'être défectueuse, indépendamment des autres. Soit

X

le nombre de pièces défectueuses.

Calculer

E(X)

\sigma(X)

Exercice 19

Non commencéIntermédiaire

Soit

X

une variable aléatoire d'espérance

\mu = 5

et de variance

V = 20

. On note

M_n

la moyenne d'un échantillon de taille

n

.

Déterminer la plus petite valeur de

n

telle que

\sigma(M_n) \leqslant 0{,}1

Exercice 20

Non commencéIntermédiaire

On lance une pièce équilibrée

n

fois. Soit

S_n

le nombre de Pile et

M_n = \frac{S_n}{n}

la fréquence de Pile.

1) Exprimer

E(M_n)

V(M_n)

en fonction de

n

.

2) Pour quelle valeur minimale de

n

a-t-on

\sigma(M_n) \leqslant 0{,}01

Exprimer

E(M_n)

V(M_n)

en fonction de

n

Valeur minimale de

n

pour

\sigma(M_n) \leqslant 0{,}01

Exercice 21

Non commencéIntermédiaire

Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi binomiale

\mathcal{B}(n, p)

avec

E(X) = 12

V(X) = 9{,}6

.

Déterminer

n

p

Exercice 22

Non commencéIntermédiaire

On lance

n

fois un dé équilibré. Soit

M_n

la moyenne des résultats. Calculer la probabilité exacte

P(M_1 = 3{,}5)

puis commenter

P(M_2 = 3{,}5)

Exercice 23

Non commencéIntermédiaire

Un examen comporte

80

questions de type vrai/faux. Un étudiant répond au hasard à chaque question. On note

1

point par bonne réponse et

0

sinon. Soit

X

sa note totale.

1) Déterminer la loi de

X

et calculer

E(X)

\sigma(X)

.

2) L'examen est réussi si

X \geqslant 50

. Commenter.

Loi, espérance et écart-type.

Commenter le seuil

X \geqslant 50

Exercice 24

Non commencéIntermédiaire

Soit

X_1, X_2, X_3

trois variables aléatoires indépendantes avec :

E(X_1) = 2

V(X_1) = 1

;

E(X_2) = 5

V(X_2) = 4

;

E(X_3) = 3

V(X_3) = 2

.

Soit

Y = X_1 + 2X_2 - X_3

. Calculer

E(Y)

V(Y)

Exercice 25

Non commencéIntermédiaire

Une entreprise fabrique des vis. La probabilité qu'une vis soit défectueuse est

p = 0{,}05

. On prélève

n

vis au hasard (échantillon indépendant). Soit

M_n

la proportion de vis défectueuses dans l'échantillon.

Pour quelle taille

n

d'échantillon a-t-on

\sigma(M_n) \leqslant 0{,}01

Exercice 26

Non commencéIntermédiaire

Soit

X

Y

deux variables aléatoires indépendantes avec

X \sim \mathcal{B}(10\,; 0{,}3)

Y \sim \mathcal{B}(20\,; 0{,}3)

.

Montrer que

X + Y \sim \mathcal{B}(30\,; 0{,}3)

Exercice 27

Non commencéIntermédiaire

Un joueur lance un dé équilibré

n

fois et note la moyenne

M_n

des résultats.

Comparer

V(M_{10})

V(M_{100})

V(M_{1000})

. Que peut-on conjecturer sur

V(M_n)

quand

n \to +\infty

Exercice 28

Non commencéIntermédiaire

Soit

X

une variable aléatoire avec

E(X) = \mu

V(X) = \sigma^2

. On pose

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

.

Calculer

E(Z)

V(Z)

Exercice 29

Non commencéDifficile

Soit

X

Y

deux variables aléatoires indépendantes avec

X \sim \mathcal{B}(3\,; \frac{1}{4})

Y \sim \mathcal{B}(5\,; \frac{1}{4})

.

1) Déterminer la loi de

X + Y

.

2) Calculer

P(X+Y = 2)

de deux manières : en utilisant la loi de

X+Y

, et en décomposant selon les valeurs de

X

Loi de

X+Y

Calculer

P(X+Y=2)

de deux manières.

**Méthode 1 :** $X+Y \sim \mathcal{B}(8\,; \frac{1}{4})$. $P(X+Y=2) = \binom{8}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^6 = 28 \times \frac{1}{16} \times \frac{729}{4096} = \frac{20412}{65536} = \frac{5103}{16384}$ **Méthode 2 :** $(X+Y=2) = (X=0 \cap Y=2) \cup (X=1 \cap Y=1) \cup (X=2 \cap Y=0)$. Par indépendance : $P(X=0) = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}$, $P(Y=2) = \binom{5}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^2\left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{270}{1024}$. $P(X=1) = \binom{3}{1}\frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{27}{64}$, $P(Y=1) = \binom{5}{1}\frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{405}{1024}$. $P(X=2) = \binom{3}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^2\frac{3}{4} = \frac{9}{64}$, $P(Y=0) = \left(\frac{3}{4}\right)^5 = \frac{243}{1024}$. Donc : $\frac{27}{64} \times \frac{270}{1024} + \frac{27}{64} \times \frac{405}{1024} + \frac{9}{64} \times \frac{243}{1024} = \frac{7290 + 10935 + 2187}{65536} = \frac{20412}{65536} = \boxed{\frac{5103}{16384} \approx 0{,}311}$.

Exercice 30

Non commencéDifficile

Soit

X

une variable aléatoire prenant les valeurs

0

1

2

avec

P(X=0) = \frac{1}{4}

P(X=1) = \frac{1}{2}

P(X=2) = \frac{1}{4}

.

Soit

(X_1, X_2, \ldots, X_n)

un échantillon de taille

n

X

M_n

la moyenne.

1) Calculer

E(X)

V(X)

.

2) Exprimer

V(M_n)

et déterminer

n

pour que

\sigma(M_n) < 0{,}05

Calculer

E(X)

V(X)

Déterminer

n

pour

\sigma(M_n) < 0{,}05

Exercice 31

Non commencéDifficile

Un sondage interroge

n

personnes pour estimer la proportion

p

de la population favorable à une mesure. Chaque personne est modélisée par une variable de Bernoulli

X_i

de paramètre

p

, les réponses étant indépendantes. La fréquence observée est

F_n = M_n = \frac{S_n}{n}

.

Montrer que

V(F_n) \leqslant \frac{1}{4n}

Exercice 32

Non commencéDifficile

Soit

X_1, \ldots, X_n

des variables aléatoires indépendantes suivant la même loi que

X

, avec

E(X) = \mu

V(X) = \sigma^2

.

Montrer que

E\left[(M_n - \mu)^2\right] = \frac{\sigma^2}{n}

Exercice 33

Non commencéDifficile

On considère deux jeux :
• Jeu A : on lance

100

pièces équilibrées et on note

X

le nombre de Pile.
• Jeu B : on lance

400

pièces équilibrées et on note

Y

le nombre de Pile.

Comparer les écarts-types de

\frac{X}{100}

\frac{Y}{400}

. En déduire quel jeu donne la fréquence la plus « fiable ».

Exercice 34

Non commencéDifficile

Soit

X

une variable aléatoire de variance

V(X) > 0

. On pose

Y = \frac{X - E(X)}{\sqrt{V(X)}}

.

Montrer que

E(Y) = 0

V(Y) = 1

, et que pour tout

\delta > 0

P(|Y| \geqslant \delta) \leqslant \frac{1}{\delta^2}

.

(On admet l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.)

Exercice 35

Non commencéDifficile

Soit

X

une variable aléatoire suivant

\mathcal{B}(n, p)

. On note

F_n = \frac{X}{n}

la fréquence.

Montrer que pour tout

\varepsilon > 0

P(|F_n - p| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{1}{4n\varepsilon^2}

Exercice 36

Non commencéAvancé

Soit

X

une variable aléatoire telle que

E(X) = 0

V(X) = 1

.

Montrer que

E(X^2) = 1

et que pour tout

a > 0

P(X^2 \geqslant a^2) \leqslant \frac{1}{a^2}

Exercice 37

Non commencéAvancé

On répète

n

fois une expérience de Bernoulli de paramètre

p = 0{,}5

. Soit

S_n

le nombre de succès.

En utilisant l'inégalité de concentration, déterminer le plus petit

n

tel que :

P\left(\left|\frac{S_n}{n} - 0{,}5\right| \geqslant 0{,}02\right) \leqslant 0{,}05

Exercice 38

Non commencéAvancé

Soit

(X_1, \ldots, X_n)

un échantillon d'une variable aléatoire

X

d'espérance

\mu

et de variance

\sigma^2

.

Montrer que

V(S_n) = n\sigma^2

puis en déduire que

\sigma(M_n) \to 0

quand

n \to +\infty

. Interpréter ce résultat.

Exercice 39

Non commencéAvancé

Un dé pipé a la loi :

P(X=k) = \frac{k}{21}

pour

k = 1, 2, \ldots, 6

.

1) Calculer

E(X)

V(X)

.

2) On lance ce dé

n

fois. Déterminer

n

pour que

P(|M_n - E(X)| \geqslant 0{,}5) \leqslant 0{,}05

Calculer

E(X)

V(X)

$E(X) = \sum_{k=1}^{6} k \cdot \frac{k}{21} = \frac{1}{21} \sum_{k=1}^{6} k^2 = \frac{1}{21} \times 91 = \frac{91}{21} = \boxed{\frac{13}{3}}$ (On utilise $\sum_{k=1}^6 k^2 = \frac{6 \times 7 \times 13}{6} = 91$.) $E(X^2) = \sum_{k=1}^{6} k^2 \cdot \frac{k}{21} = \frac{1}{21} \sum_{k=1}^{6} k^3 = \frac{1}{21} \times 441 = \frac{441}{21} = 21$ (On utilise $\sum_{k=1}^6 k^3 = \left(\frac{6 \times 7}{2}\right)^2 = 441$.) $V(X) = 21 - \left(\frac{13}{3}\right)^2 = 21 - \frac{169}{9} = \frac{189 - 169}{9} = \boxed{\frac{20}{9}}$

Déterminer

n

pour la condition donnée.

Exercice 40

Non commencéAvancé

Soit

X_1, X_2, \ldots, X_n

des variables aléatoires indépendantes suivant la même loi de Bernoulli

\mathcal{B}(p)

.

On pose

S_n = X_1 + \cdots + X_n

\overline{X}_n = \frac{S_n}{n}

.

Montrer que pour tout

\varepsilon > 0

\lim_{n \to +\infty} P(|\overline{X}_n - p| \geqslant \varepsilon) = 0

.

Énoncer le résultat obtenu.

Exercice 41

Non commencéFacile

Soit

X

une variable aléatoire avec

E(X) = 10

V(X) = 4

.

En utilisant l'inégalité de BT, majorer

P(|X - 10| \geqslant 6)

Exercice 42

Non commencéFacile

Soit

X

une variable aléatoire avec

E(X) = 50

\sigma(X) = 5

.

Majorer

P(|X - 50| \geqslant 10)

P(|X - 50| \geqslant 15)

Exercice 43

Non commencéFacile

Soit

X \sim \mathcal{B}(400\,; 0{,}5)

. En utilisant BT, montrer que

P(|X - 200| \geqslant 30) \leqslant \frac{1}{9}

Exercice 44

Non commencéFacile

Soit

M_n

la moyenne d'un échantillon de taille

n

d'une variable

X

avec

V(X) = 9

.

Majorer

P(|M_n - \mu| \geqslant 1)

pour

n = 100

n = 900

Exercice 45

Non commencéFacile

On lance

n

fois une pièce équilibrée. Soit

F_n

la fréquence de Pile.

Déterminer

n

pour que

P(|F_n - 0{,}5| \geqslant 0{,}05) \leqslant 0{,}1

Exercice 46

Non commencéIntermédiaire

Soit

X

une variable aléatoire avec

E(X) = 20

V(X) = 16

.

1) Majorer

P(X \leqslant 10)

à l'aide de BT.

2) Majorer

P(X \geqslant 30)

à l'aide de BT.

Majorer

P(X \leqslant 10)

Majorer

P(X \geqslant 30)

Exercice 47

Non commencéIntermédiaire

Soit

X

une VA avec

E(X) = \mu

V(X) = \sigma^2

.

Montrer que

P(\mu - k\sigma \leqslant X \leqslant \mu + k\sigma) \geqslant 1 - \frac{1}{k^2}

pour tout

k > 0

Exercice 48

Non commencéIntermédiaire

Soit

S_n \sim \mathcal{B}(n\,; 0{,}3)

.

En utilisant BT, majorer

P(|S_n - 0{,}3n| \geqslant \sqrt{n})

et montrer que cette borne est constante. Puis montrer que

P(|S_n - 0{,}3n| \geqslant n^{2/3})

tend vers

0

Exercice 49

Non commencéIntermédiaire

Un casino propose un jeu où le gain

G

a pour espérance

-2

et pour variance

100

.

1) Majorer la probabilité de gagner plus de

18

euros.

2) Un joueur joue

n

parties. Soit

M_n

son gain moyen par partie. Déterminer

n

pour que

P(M_n \geqslant 0) \leqslant 0{,}01

Majorer

P(G > 18)

Déterminer

n

pour

P(M_n \geqslant 0) \leqslant 0{,}01

Exercice 50

Non commencéDifficile

Soit

X

une variable aléatoire à valeurs dans

[0\,;1]

avec

E(X) = \frac{1}{2}

.

Montrer que

V(X) \leqslant \frac{1}{4}

.

(Indication : utiliser le fait que $X^2 \leqslant X$ puisque $0 \leqslant X \leqslant 1$ .)

Aller plus loin sur ce chapitre

Les 7 problèmes de synthèse restent sur la page du chapitre : ils mobilisent plusieurs notions à la fois et s'abordent une fois ces exercices maîtrisés.

Voir les 7 problèmes de synthèse sur les sommes de variables aléatoires et la concentration