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IV Probabilités & dénombrement · Chapitre 17 / 17

Sommes de variables aléatoires

Concentration, loi des grands nombres.

12 min de lecture
7 sections, 8 exemples
50 exercices · 7 problèmes

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L'essentiel en 30 secondes

L'espérance est linéaire : E(X + Y) = E(X) + E(Y), et pour des variables indépendantes, les variances s'ajoutent aussi. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev borne la probabilité qu'une variable s'écarte de son espérance. La loi des grands nombres en découle : la moyenne d'un grand échantillon se concentre autour de l'espérance — c'est le fondement des sondages et de la statistique.

1 I. Somme de deux variables aléatoires

Définition

Linéarité de l'espérance

2 II. Variables aléatoires indépendantes

Notion d'indépendance

Variance d'une somme de variables indépendantes

3 III. Application à la loi binomiale

Décomposition de la loi binomiale

Démonstration (au programme)
Chaque XiX_i suit B(p)\mathcal{B}(p), donc E(Xi)=pE(X_i) = p et V(Xi)=p(1−p)V(X_i) = p(1-p).

Par linéarité de l'espérance :
E(X)=E(X1)+⋯+E(Xn)=npE(X) = E(X_1) + \cdots + E(X_n) = np

Comme les XiX_i sont indépendantes, par additivité de la variance :
V(X)=V(X1)+⋯+V(Xn)=np(1−p)V(X) = V(X_1) + \cdots + V(X_n) = np(1-p)

4 IV. Échantillon d'une variable aléatoire

Somme et moyenne d'un échantillon

Démonstration
Somme : Par linéarité de l'espérance : E(Sn)=E(X1)+⋯+E(Xn)=nμE(S_n) = E(X_1) + \cdots + E(X_n) = n\mu.

Par indépendance : V(Sn)=V(X1)+⋯+V(Xn)=nVV(S_n) = V(X_1) + \cdots + V(X_n) = nV.

Moyenne : Mn=1nSnM_n = \frac{1}{n} S_n, donc :
E(Mn)=1nE(Sn)=nμn=μE(M_n) = \frac{1}{n} E(S_n) = \frac{n\mu}{n} = \mu.

V(Mn)=V(1nSn)=1n2V(Sn)=nVn2=VnV(M_n) = V\left(\frac{1}{n} S_n\right) = \frac{1}{n^2} V(S_n) = \frac{nV}{n^2} = \frac{V}{n}.

5 V. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Énoncé et interprétation

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est un outil fondamental qui relie la variance d'une variable aléatoire à la probabilité qu'elle s'écarte de son espérance. Elle montre que l'écart-type σ\sigma est l'unité naturelle pour mesurer la dispersion.

6 VI. Inégalité de concentration

Concentration de la moyenne

L'inégalité de concentration est l'application de BT à la moyenne d'un échantillon. Elle quantifie à quel point la moyenne se concentre autour de l'espérance quand la taille de l'échantillon grandit.

Démonstration
On applique l'inégalité de BT à la variable MnM_n :
P(∣Mn−E(Mn)∣⩾ε)⩽V(Mn)ε2P(|M_n - E(M_n)| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{V(M_n)}{\varepsilon^2}

Or E(Mn)=μE(M_n) = \mu et V(Mn)=VnV(M_n) = \frac{V}{n} (résultats de la section IV).

Donc :
P(∣Mn−μ∣⩾ε)⩽V/nε2=Vnε2P(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{V/n}{\varepsilon^2} = \frac{V}{n\varepsilon^2}

7 VII. Loi des grands nombres

Énoncé et conséquences

Démonstration
D'après l'inégalité de concentration :
0⩽P(∣Mn−μ∣⩾ε)⩽Vnε20 \leqslant P(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{V}{n\varepsilon^2}

Comme VV et ε\varepsilon sont des constantes positives :
lim⁡n→+∞Vnε2=0\lim_{n \to +\infty} \frac{V}{n\varepsilon^2} = 0

Par le théorème des gendarmes (pour les suites) :
lim⁡n→+∞P(∣Mn−μ∣⩾ε)=0\lim_{n \to +\infty} P(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon) = 0
Test d'hypothese
H₀ : p = p₀
Calculer I_n sous p₀
Observer f_n
f_n ∈ I_n ?
Oui
Ne pas rejeter H₀
Non
Rejeter H₀
au seuil choisi

Ce chapitre est tombé au bac

14 sujets officiels de bac comportent un exercice sur ce chapitre — chaque corrigé est détaillé question par question.

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Questions fréquentes

Comment calculer l'espérance et la variance d'une somme de variables aléatoires ?
L'espérance est toujours additive : E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y) = E(X) + E(Y), sans aucune hypothèse. La variance ne l'est que si les variables sont INDÉPENDANTES : on a alors V(X+Y)=V(X)+V(Y)V(X+Y) = V(X) + V(Y). C'est la distinction centrale du chapitre.
Qu'est-ce que la loi des grands nombres ?
Elle affirme que la moyenne de nn variables aléatoires indépendantes et de même loi se rapproche de l'espérance quand nn grandit. C'est ce qui justifie qu'on estime une probabilité par une fréquence observée sur un grand échantillon.
À quoi sert l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
Elle majore la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte de son espérance : P(∣X−E(X)∣⩾δ)⩽V(X)δ2P\big(|X - E(X)| \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}. Elle vaut pour n'importe quelle loi, ce qui la rend très générale — mais aussi souvent peu précise.

Linéarité de l'espérance

Variance

Loi binomiale

Échantillon de taille nn

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Inégalité de concentration

Loi des grands nombres

50 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Soit XX et YY deux variables aléatoires telles que E(X)=3E(X) = 3 et E(Y)=7E(Y) = 7.

Calculer E(X+Y)E(X+Y), E(3X)E(3X), E(2X+Y)E(2X+Y) et E(X−Y)E(X-Y).
Correction détaillée
Par linéarité de l'espérance : $E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 3 + 7 = \boxed{10}$ $E(3X) = 3E(X) = 3 \times 3 = \boxed{9}$ $E(2X+Y) = 2E(X) + E(Y) = 6 + 7 = \boxed{13}$ $E(X-Y) = E(X) - E(Y) = 3 - 7 = \boxed{-4}$
Exercice 2
Facile
Soit XX une variable aléatoire telle que E(X)=5E(X) = 5 et V(X)=4V(X) = 4.

Calculer E(3X+2)E(3X+2) et V(3X+2)V(3X+2).
Correction détaillée
$E(3X+2) = 3E(X) + 2 = 3 \times 5 + 2 = \boxed{17}$ $V(3X+2) = 3^2 V(X) = 9 \times 4 = \boxed{36}$ (L'ajout d'une constante ne change pas la variance.)
Exercice 3
Facile
Soit X∼B(50 ;0,3)X \sim \mathcal{B}(50\,; 0{,}3). Calculer E(X)E(X), V(X)V(X) et σ(X)\sigma(X).
Correction détaillée
$E(X) = np = 50 \times 0{,}3 = \boxed{15}$ $V(X) = np(1-p) = 50 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = \boxed{10{,}5}$ $\sigma(X) = \sqrt{10{,}5} = \boxed{\sqrt{10{,}5} \approx 3{,}24}$
Exercice 4
Facile
Soit XX et YY deux variables aléatoires indépendantes telles que V(X)=6V(X) = 6 et V(Y)=10V(Y) = 10.

Calculer V(X+Y)V(X+Y).
Correction détaillée
Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes : $V(X+Y) = V(X) + V(Y) = 6 + 10 = \boxed{16}$
Exercice 5
Facile
On lance 200200 fois une pièce truquée dont la probabilité de Pile est p=0,4p = 0{,}4. Soit XX le nombre de Pile obtenus.

1) Quelle est la loi de XX ?

2) Calculer E(X)E(X) et σ(X)\sigma(X).
1.
Quelle est la loi de XX ?
$X$ compte le nombre de succès (Pile) dans une répétition de $200$ épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p = 0{,}4$. $\boxed{X \sim \mathcal{B}(200\,; 0{,}4)}$
2.
Calculer E(X)E(X) et σ(X)\sigma(X).
$E(X) = 200 \times 0{,}4 = \boxed{80}$ $V(X) = 200 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 48$ $\sigma(X) = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx \boxed{6{,}93}$
Exercice 6
Facile
Soit XX une variable aléatoire d'espérance μ=10\mu = 10 et de variance V=8V = 8. On considère un échantillon (X1,…,X40)(X_1, \ldots, X_{40}) de taille 4040 de XX.

Calculer E(S40)E(S_{40}), V(S40)V(S_{40}), E(M40)E(M_{40}) et V(M40)V(M_{40}).
Correction détaillée
$E(S_{40}) = 40 \times 10 = \boxed{400}$ $V(S_{40}) = 40 \times 8 = \boxed{320}$ $E(M_{40}) = \boxed{10}$ $V(M_{40}) = \frac{8}{40} = \boxed{0{,}2}$
Exercice 7
Facile
Soit X∼B(p)X \sim \mathcal{B}(p) une variable de Bernoulli. Vérifier que V(X)=p(1−p)V(X) = p(1-p) en utilisant la formule V(X)=E(X2)−[E(X)]2V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2.
Correction détaillée
$X$ prend les valeurs $0$ et $1$. $E(X) = 0 \times (1-p) + 1 \times p = p$. $E(X^2) = 0^2 \times (1-p) + 1^2 \times p = p$. $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = p - p^2 = \boxed{p(1-p)}$
Exercice 8
Facile
Soit XX une variable aléatoire telle que V(X)=12V(X) = 12.

Calculer V(2X)V(2X), V(−3X)V(-3X), V(5X+7)V(5X+7) et σ(2X)\sigma(2X).
Correction détaillée
$V(2X) = 2^2 \times 12 = \boxed{48}$ $V(-3X) = (-3)^2 \times 12 = 9 \times 12 = \boxed{108}$ $V(5X+7) = 5^2 \times 12 = \boxed{300}$ (la constante $7$ ne change pas la variance) $\sigma(2X) = |2| \times \sqrt{12} = 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3} \approx \boxed{6{,}93}$
Exercice 9
Facile
On lance 55 dés équilibrés à 66 faces. Soit SS la somme des résultats et MM la moyenne.

Calculer E(S)E(S), E(M)E(M), V(S)V(S) et V(M)V(M).

(On rappelle que pour un dé : E(X)=3,5E(X) = 3{,}5 et V(X)=3512V(X) = \frac{35}{12}.)
Correction détaillée
Les $5$ lancers sont indépendants, chaque $X_i$ a pour espérance $3{,}5$ et pour variance $\frac{35}{12}$. $E(S) = 5 \times 3{,}5 = \boxed{17{,}5}$ $E(M) = \boxed{3{,}5}$ $V(S) = 5 \times \frac{35}{12} = \frac{175}{12} \approx \boxed{14{,}58}$ $V(M) = \frac{V(S)}{5^2} = \frac{175/12}{25} = \frac{175}{300} = \frac{7}{12} \approx \boxed{0{,}583}$
Exercice 10
Facile
Soit X1X_1 et X2X_2 deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi, avec E(X1)=4E(X_1) = 4 et σ(X1)=3\sigma(X_1) = 3.

Calculer E(X1+X2)E(X_1+X_2), V(X1+X2)V(X_1+X_2) et σ(X1+X2)\sigma(X_1+X_2).
Correction détaillée
$E(X_1+X_2) = E(X_1) + E(X_2) = 4 + 4 = \boxed{8}$ $V(X_1) = \sigma^2 = 9$. Par indépendance : $V(X_1+X_2) = V(X_1)+V(X_2) = 9 + 9 = \boxed{18}$ $\sigma(X_1+X_2) = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx \boxed{4{,}24}$ **Remarque :** $\sigma(X_1+X_2) \neq \sigma(X_1)+\sigma(X_2)$ en général.
Exercice 11
Facile
On tire 44 fois de suite une boule dans une urne contenant 33 boules rouges et 77 boules bleues, avec remise. Soit XX le nombre de boules rouges tirées.

Exprimer XX comme somme de variables de Bernoulli, puis calculer E(X)E(X) et V(X)V(X).
Correction détaillée
À chaque tirage, la probabilité de tirer une boule rouge est $p = \frac{3}{10} = 0{,}3$. Soit $X_i$ la variable de Bernoulli valant $1$ si le $i$-ème tirage donne rouge, $0$ sinon. $X = X_1 + X_2 + X_3 + X_4$ avec les $X_i$ indépendantes (tirage avec remise) et $X_i \sim \mathcal{B}(0{,}3)$. Donc $X \sim \mathcal{B}(4\,; 0{,}3)$. $E(X) = 4 \times 0{,}3 = \boxed{1{,}2}$ $V(X) = 4 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = \boxed{0{,}84}$
Exercice 12
Facile
Soit XX une variable aléatoire avec E(X)=20E(X) = 20 et V(X)=50V(X) = 50. On considère un échantillon de taille n=200n = 200.

Calculer σ(M200)\sigma(M_{200}).
Correction détaillée
$\sigma(M_{200}) = \frac{\sigma(X)}{\sqrt{200}} = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{200}} = \sqrt{\frac{50}{200}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \boxed{\frac{1}{2} = 0{,}5}$
Exercice 13
Facile
Soit X∼B(n ;0,6)X \sim \mathcal{B}(n\,; 0{,}6) avec E(X)=30E(X) = 30. Déterminer nn et V(X)V(X).
Correction détaillée
$E(X) = np = 0{,}6n = 30$, donc $n = \frac{30}{0{,}6} = \boxed{50}$. $V(X) = np(1-p) = 50 \times 0{,}6 \times 0{,}4 = \boxed{12}$
Exercice 14
Facile
Soit XX et YY deux variables aléatoires indépendantes avec E(X)=2E(X) = 2, V(X)=3V(X) = 3, E(Y)=−1E(Y) = -1, V(Y)=5V(Y) = 5.

Calculer E(X+Y)E(X+Y), V(X+Y)V(X+Y), E(3X−2Y+4)E(3X - 2Y + 4) et V(3X−2Y)V(3X - 2Y).

(On admet que si XX et YY sont indépendantes, 3X3X et 2Y2Y le sont aussi.)
Correction détaillée
$E(X+Y) = 2 + (-1) = \boxed{1}$ $V(X+Y) = 3 + 5 = \boxed{8}$ $E(3X-2Y+4) = 3 \times 2 - 2 \times (-1) + 4 = 6 + 2 + 4 = \boxed{12}$ $V(3X-2Y) = V(3X) + V(-2Y) = 9 \times 3 + 4 \times 5 = 27 + 20 = \boxed{47}$ (On utilise $V(aX) = a^2 V(X)$ et l'indépendance.)
Exercice 15
Facile
Montrer que si X∼B(n,p)X \sim \mathcal{B}(n, p), alors σ(X)⩽n2\sigma(X) \leqslant \frac{\sqrt{n}}{2}.
Correction détaillée
On a $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$. Or pour tout $p \in [0\,;1]$, $p(1-p) \leqslant \frac{1}{4}$ (le maximum de $p \mapsto p(1-p)$ est atteint en $p = \frac{1}{2}$ et vaut $\frac{1}{4}$). Donc $np(1-p) \leqslant \frac{n}{4}$, soit $\sigma(X) \leqslant \sqrt{\frac{n}{4}} = \boxed{\frac{\sqrt{n}}{2}}$.
Exercice 16
Intermédiaire
Un jeu consiste à lancer 33 dés équilibrés. On gagne la somme SS des trois dés, et on paie 1212 euros pour jouer.

Soit GG le gain net du joueur. Calculer E(G)E(G). Le jeu est-il favorable au joueur ?
Correction détaillée
Soit $X_i$ le résultat du $i$-ème dé. $S = X_1 + X_2 + X_3$ et $G = S - 12$. $E(X_i) = 3{,}5$ pour chaque dé. $E(S) = 3 \times 3{,}5 = 10{,}5$. $E(G) = E(S) - 12 = 10{,}5 - 12 = \boxed{-1{,}5}$. L'espérance est négative : le jeu est **défavorable** au joueur. En moyenne, il perd $1{,}50$ euro par partie.
Exercice 17
Intermédiaire
Soit XX une variable aléatoire prenant les valeurs 11, 22, 33 avec les probabilités respectives 12\frac{1}{2}, 13\frac{1}{3}, 16\frac{1}{6}.

1) Calculer E(X)E(X) et V(X)V(X).

2) On considère S=X1+X2S = X_1 + X_2 où X1X_1 et X2X_2 sont deux copies indépendantes de XX. Déterminer E(S)E(S) et V(S)V(S).
1.
Calculer E(X)E(X) et V(X)V(X).
$E(X) = 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{3} + 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3+4+3}{6} = \frac{10}{6} = \boxed{\frac{5}{3}}$ $E(X^2) = 1 \times \frac{1}{2} + 4 \times \frac{1}{3} + 9 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{3}{2} = \frac{3+8+9}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$ $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{10}{3} - \frac{25}{9} = \frac{30-25}{9} = \boxed{\frac{5}{9}}$
2.
Déterminer E(S)E(S) et V(S)V(S).
$E(S) = E(X_1) + E(X_2) = \frac{5}{3} + \frac{5}{3} = \boxed{\frac{10}{3}}$ $V(S) = V(X_1) + V(X_2) = \frac{5}{9} + \frac{5}{9} = \boxed{\frac{10}{9}}$ (Additivité de la variance car $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes.)
Exercice 18
Intermédiaire
Un contrôle qualité teste 500500 pièces. Chaque pièce a une probabilité 0,020{,}02 d'être défectueuse, indépendamment des autres. Soit XX le nombre de pièces défectueuses.

Calculer E(X)E(X) et σ(X)\sigma(X).
Correction détaillée
$X \sim \mathcal{B}(500\,; 0{,}02)$. $E(X) = 500 \times 0{,}02 = \boxed{10}$ $V(X) = 500 \times 0{,}02 \times 0{,}98 = 9{,}8$ $\sigma(X) = \sqrt{9{,}8} \approx \boxed{3{,}13}$
Exercice 19
Intermédiaire
Soit XX une variable aléatoire d'espérance μ=5\mu = 5 et de variance V=20V = 20. On note MnM_n la moyenne d'un échantillon de taille nn.

Déterminer la plus petite valeur de nn telle que σ(Mn)⩽0,1\sigma(M_n) \leqslant 0{,}1.
Correction détaillée
$\sigma(M_n) = \frac{\sigma(X)}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{n}}$. On veut $\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{n}} \leqslant 0{,}1$, soit $\sqrt{n} \geqslant \frac{\sqrt{20}}{0{,}1} = 10\sqrt{20}$. Donc $n \geqslant (10\sqrt{20})^2 = 100 \times 20 = 2000$. $\boxed{n = 2000}$
Exercice 20
Intermédiaire
On lance une pièce équilibrée nn fois. Soit SnS_n le nombre de Pile et Mn=SnnM_n = \frac{S_n}{n} la fréquence de Pile.

1) Exprimer E(Mn)E(M_n) et V(Mn)V(M_n) en fonction de nn.

2) Pour quelle valeur minimale de nn a-t-on σ(Mn)⩽0,01\sigma(M_n) \leqslant 0{,}01 ?
1.
Exprimer E(Mn)E(M_n) et V(Mn)V(M_n) en fonction de nn.
$S_n \sim \mathcal{B}(n\,; 0{,}5)$, donc $E(S_n) = 0{,}5n$ et $V(S_n) = 0{,}25n$. $M_n = \frac{S_n}{n}$. $E(M_n) = \frac{E(S_n)}{n} = \boxed{0{,}5}$ $V(M_n) = \frac{V(S_n)}{n^2} = \frac{0{,}25n}{n^2} = \boxed{\frac{0{,}25}{n} = \frac{1}{4n}}$
2.
Valeur minimale de nn pour σ(Mn)⩽0,01\sigma(M_n) \leqslant 0{,}01.
$\sigma(M_n) = \frac{1}{2\sqrt{n}}$. $\frac{1}{2\sqrt{n}} \leqslant 0{,}01 \Leftrightarrow 2\sqrt{n} \geqslant 100 \Leftrightarrow \sqrt{n} \geqslant 50 \Leftrightarrow n \geqslant 2500$. $\boxed{n = 2500}$
Exercice 21
Intermédiaire
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n,p)\mathcal{B}(n, p) avec E(X)=12E(X) = 12 et V(X)=9,6V(X) = 9{,}6.

Déterminer nn et pp.
Correction détaillée
$E(X) = np = 12$ et $V(X) = np(1-p) = 9{,}6$. Donc $\frac{V(X)}{E(X)} = \frac{np(1-p)}{np} = 1-p = \frac{9{,}6}{12} = 0{,}8$. Ainsi $p = 1 - 0{,}8 = \boxed{0{,}2}$. Et $n = \frac{12}{p} = \frac{12}{0{,}2} = \boxed{60}$. **Vérification :** $60 \times 0{,}2 = 12$ ✓ et $60 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 9{,}6$ ✓.
Exercice 22
Intermédiaire
On lance nn fois un dé équilibré. Soit MnM_n la moyenne des résultats. Calculer la probabilité exacte P(M1=3,5)P(M_1 = 3{,}5) puis commenter P(M2=3,5)P(M_2 = 3{,}5).
Correction détaillée
$M_1 = X_1$. Or un dé ne prend jamais la valeur $3{,}5$. Donc $\boxed{P(M_1 = 3{,}5) = 0}$. Pour $M_2 = \frac{X_1+X_2}{2}$, on a $M_2 = 3{,}5$ si et seulement si $X_1 + X_2 = 7$. Les couples $(X_1, X_2)$ donnant une somme de $7$ sont : $(1,6)$, $(2,5)$, $(3,4)$, $(4,3)$, $(5,2)$, $(6,1)$, soit $6$ couples. Il y a $36$ couples au total. $\boxed{P(M_2 = 3{,}5) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}}$ **Commentaire :** bien que $E(M_n) = 3{,}5$ pour tout $n$, la valeur $3{,}5$ n'est pas toujours atteignable (cas $n=1$). Quand elle l'est ($n=2$), la probabilité est non nulle.
Exercice 23
Intermédiaire
Un examen comporte 8080 questions de type vrai/faux. Un étudiant répond au hasard à chaque question. On note 11 point par bonne réponse et 00 sinon. Soit XX sa note totale.

1) Déterminer la loi de XX et calculer E(X)E(X) et σ(X)\sigma(X).

2) L'examen est réussi si X⩾50X \geqslant 50. Commenter.
1.
Loi, espérance et écart-type.
Chaque question est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}5$ (une chance sur deux de répondre correctement). Les réponses sont indépendantes. $X \sim \mathcal{B}(80\,; 0{,}5)$. $E(X) = 80 \times 0{,}5 = \boxed{40}$ $V(X) = 80 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 20$ $\sigma(X) = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx \boxed{4{,}47}$
2.
Commenter le seuil X⩾50X \geqslant 50.
Il faudrait $X \geqslant 50$, soit $X \geqslant E(X) + 10 = E(X) + 2{,}24\sigma(X)$. Obtenir un résultat à plus de $2$ écarts-types de l'espérance est assez improbable en répondant au hasard. L'étudiant a très peu de chances de réussir l'examen de cette manière.
Exercice 24
Intermédiaire
Soit X1,X2,X3X_1, X_2, X_3 trois variables aléatoires indépendantes avec :

E(X1)=2E(X_1) = 2, V(X1)=1V(X_1) = 1 ; E(X2)=5E(X_2) = 5, V(X2)=4V(X_2) = 4 ; E(X3)=3E(X_3) = 3, V(X3)=2V(X_3) = 2.

Soit Y=X1+2X2−X3Y = X_1 + 2X_2 - X_3. Calculer E(Y)E(Y) et V(Y)V(Y).
Correction détaillée
$E(Y) = E(X_1) + 2E(X_2) - E(X_3) = 2 + 10 - 3 = \boxed{9}$ $V(Y) = V(X_1) + V(2X_2) + V(-X_3) = V(X_1) + 4V(X_2) + V(X_3) = 1 + 16 + 2 = \boxed{19}$ (On utilise $V(aX) = a^2 V(X)$, $V(-X_3) = V(X_3)$, et l'additivité par indépendance.)
Exercice 25
Intermédiaire
Une entreprise fabrique des vis. La probabilité qu'une vis soit défectueuse est p=0,05p = 0{,}05. On prélève nn vis au hasard (échantillon indépendant). Soit MnM_n la proportion de vis défectueuses dans l'échantillon.

Pour quelle taille nn d'échantillon a-t-on σ(Mn)⩽0,01\sigma(M_n) \leqslant 0{,}01 ?
Correction détaillée
Chaque vis est modélisée par une variable de Bernoulli $X_i$ de paramètre $p = 0{,}05$. $M_n = \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$, $E(M_n) = p = 0{,}05$, $V(M_n) = \frac{p(1-p)}{n} = \frac{0{,}05 \times 0{,}95}{n} = \frac{0{,}0475}{n}$. $\sigma(M_n) = \sqrt{\frac{0{,}0475}{n}} \leqslant 0{,}01$. $\frac{0{,}0475}{n} \leqslant 0{,}0001$, soit $n \geqslant \frac{0{,}0475}{0{,}0001} = 475$. $\boxed{n = 475}$
Exercice 26
Intermédiaire
Soit XX et YY deux variables aléatoires indépendantes avec X∼B(10 ;0,3)X \sim \mathcal{B}(10\,; 0{,}3) et Y∼B(20 ;0,3)Y \sim \mathcal{B}(20\,; 0{,}3).

Montrer que X+Y∼B(30 ;0,3)X + Y \sim \mathcal{B}(30\,; 0{,}3).
Correction détaillée
$X = X_1 + \cdots + X_{10}$ où les $X_i \sim \mathcal{B}(0{,}3)$ sont indépendantes. $Y = Y_1 + \cdots + Y_{20}$ où les $Y_j \sim \mathcal{B}(0{,}3)$ sont indépendantes. Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes, les $30$ variables $X_1, \ldots, X_{10}, Y_1, \ldots, Y_{20}$ sont mutuellement indépendantes et suivent toutes $\mathcal{B}(0{,}3)$. Donc $X + Y = X_1 + \cdots + X_{10} + Y_1 + \cdots + Y_{20}$ est la somme de $30$ variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $0{,}3$. $\boxed{X + Y \sim \mathcal{B}(30\,; 0{,}3)}$ **Vérification :** $E(X+Y) = 3 + 6 = 9 = 30 \times 0{,}3$ ✓ et $V(X+Y) = 2{,}1 + 4{,}2 = 6{,}3 = 30 \times 0{,}3 \times 0{,}7$ ✓.
Exercice 27
Intermédiaire
Un joueur lance un dé équilibré nn fois et note la moyenne MnM_n des résultats.

Comparer V(M10)V(M_{10}), V(M100)V(M_{100}) et V(M1000)V(M_{1000}). Que peut-on conjecturer sur V(Mn)V(M_n) quand n→+∞n \to +\infty ?
Correction détaillée
On a $V(X) = \frac{35}{12}$ et $V(M_n) = \frac{V(X)}{n} = \frac{35}{12n}$. $V(M_{10}) = \frac{35}{120} \approx \boxed{0{,}292}$ $V(M_{100}) = \frac{35}{1200} \approx \boxed{0{,}0292}$ $V(M_{1000}) = \frac{35}{12000} \approx \boxed{0{,}00292}$ La variance est divisée par $10$ chaque fois que $n$ est multiplié par $10$. $\lim_{n \to +\infty} V(M_n) = 0$ : la moyenne se **concentre** autour de $E(X) = 3{,}5$ quand $n$ grandit.
Exercice 28
Intermédiaire
Soit XX une variable aléatoire avec E(X)=μE(X) = \mu et V(X)=σ2V(X) = \sigma^2. On pose Z=X−μσZ = \frac{X - \mu}{\sigma}.

Calculer E(Z)E(Z) et V(Z)V(Z).
Correction détaillée
$Z = \frac{1}{\sigma} X - \frac{\mu}{\sigma}$. $E(Z) = \frac{1}{\sigma} E(X) - \frac{\mu}{\sigma} = \frac{\mu}{\sigma} - \frac{\mu}{\sigma} = \boxed{0}$ $V(Z) = \frac{1}{\sigma^2} V(X) = \frac{\sigma^2}{\sigma^2} = \boxed{1}$ On dit que $Z$ est la variable **centrée réduite** associée à $X$.
Exercice 29
Difficile
Soit XX et YY deux variables aléatoires indépendantes avec X∼B(3 ;14)X \sim \mathcal{B}(3\,; \frac{1}{4}) et Y∼B(5 ;14)Y \sim \mathcal{B}(5\,; \frac{1}{4}).

1) Déterminer la loi de X+YX + Y.

2) Calculer P(X+Y=2)P(X+Y = 2) de deux manières : en utilisant la loi de X+YX+Y, et en décomposant selon les valeurs de XX.
1.
Loi de X+YX+Y.
$X+Y$ est la somme de $3 + 5 = 8$ variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $\frac{1}{4}$. $\boxed{X+Y \sim \mathcal{B}\left(8\,; \frac{1}{4}\right)}$
2.
Calculer P(X+Y=2)P(X+Y=2) de deux manières.
**Méthode 1 :** $X+Y \sim \mathcal{B}(8\,; \frac{1}{4})$. $P(X+Y=2) = \binom{8}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^6 = 28 \times \frac{1}{16} \times \frac{729}{4096} = \frac{20412}{65536} = \frac{5103}{16384}$ **Méthode 2 :** $(X+Y=2) = (X=0 \cap Y=2) \cup (X=1 \cap Y=1) \cup (X=2 \cap Y=0)$. Par indépendance : $P(X=0) = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}$, $P(Y=2) = \binom{5}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^2\left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{270}{1024}$. $P(X=1) = \binom{3}{1}\frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{27}{64}$, $P(Y=1) = \binom{5}{1}\frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{405}{1024}$. $P(X=2) = \binom{3}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^2\frac{3}{4} = \frac{9}{64}$, $P(Y=0) = \left(\frac{3}{4}\right)^5 = \frac{243}{1024}$. Donc : $\frac{27}{64} \times \frac{270}{1024} + \frac{27}{64} \times \frac{405}{1024} + \frac{9}{64} \times \frac{243}{1024} = \frac{7290 + 10935 + 2187}{65536} = \frac{20412}{65536} = \boxed{\frac{5103}{16384} \approx 0{,}311}$.
Exercice 30
Difficile
Soit XX une variable aléatoire prenant les valeurs 00, 11, 22 avec P(X=0)=14P(X=0) = \frac{1}{4}, P(X=1)=12P(X=1) = \frac{1}{2}, P(X=2)=14P(X=2) = \frac{1}{4}.

Soit (X1,X2,…,Xn)(X_1, X_2, \ldots, X_n) un échantillon de taille nn de XX et MnM_n la moyenne.

1) Calculer E(X)E(X) et V(X)V(X).

2) Exprimer V(Mn)V(M_n) et déterminer nn pour que σ(Mn)<0,05\sigma(M_n) < 0{,}05.
1.
Calculer E(X)E(X) et V(X)V(X).
$E(X) = 0 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \boxed{1}$ $E(X^2) = 0 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{1}{2} + 4 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ $V(X) = \frac{3}{2} - 1 = \boxed{\frac{1}{2}}$
2.
Déterminer nn pour σ(Mn)<0,05\sigma(M_n) < 0{,}05.
$V(M_n) = \frac{V(X)}{n} = \frac{1}{2n}$ et $\sigma(M_n) = \frac{1}{\sqrt{2n}}$. $\frac{1}{\sqrt{2n}} < 0{,}05 \Leftrightarrow \sqrt{2n} > 20 \Leftrightarrow 2n > 400 \Leftrightarrow n > 200$. $\boxed{n \geqslant 201}$
Exercice 31
Difficile
Un sondage interroge nn personnes pour estimer la proportion pp de la population favorable à une mesure. Chaque personne est modélisée par une variable de Bernoulli XiX_i de paramètre pp, les réponses étant indépendantes. La fréquence observée est Fn=Mn=SnnF_n = M_n = \frac{S_n}{n}.

Montrer que V(Fn)⩽14nV(F_n) \leqslant \frac{1}{4n}.
Correction détaillée
$F_n = \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$ où les $X_i \sim \mathcal{B}(p)$ sont indépendantes. $V(F_n) = \frac{p(1-p)}{n}$. Or, pour tout $p \in [0\,;1]$ : $p(1-p) \leqslant \frac{1}{4}$ (le maximum est atteint en $p = \frac{1}{2}$). Donc $V(F_n) = \frac{p(1-p)}{n} \leqslant \boxed{\frac{1}{4n}}$.
Exercice 32
Difficile
Soit X1,…,XnX_1, \ldots, X_n des variables aléatoires indépendantes suivant la même loi que XX, avec E(X)=μE(X) = \mu et V(X)=σ2V(X) = \sigma^2.

Montrer que E[(Mn−μ)2]=σ2nE\left[(M_n - \mu)^2\right] = \frac{\sigma^2}{n}.
Correction détaillée
On a $M_n = \frac{S_n}{n}$, donc : $E[(M_n - \mu)^2] = V(M_n) + [E(M_n) - \mu]^2$. Or $E(M_n) = \mu$, donc $[E(M_n) - \mu]^2 = 0$. Ainsi $E[(M_n - \mu)^2] = V(M_n) = \frac{\sigma^2}{n}$. Alternativement, par la définition de la variance : $V(M_n) = E[(M_n - E(M_n))^2] = E[(M_n - \mu)^2]$. $\boxed{E[(M_n - \mu)^2] = \frac{\sigma^2}{n}}$ Ce résultat montre que l'écart quadratique moyen entre $M_n$ et $\mu$ tend vers $0$ quand $n \to +\infty$.
Exercice 33
Difficile
On considère deux jeux :
• Jeu A : on lance 100100 pièces équilibrées et on note XX le nombre de Pile.
• Jeu B : on lance 400400 pièces équilibrées et on note YY le nombre de Pile.

Comparer les écarts-types de X100\frac{X}{100} et Y400\frac{Y}{400}. En déduire quel jeu donne la fréquence la plus « fiable ».
Correction détaillée
$X \sim \mathcal{B}(100\,; 0{,}5)$ et $Y \sim \mathcal{B}(400\,; 0{,}5)$. $\frac{X}{100} = M_{100}$ et $\frac{Y}{400} = M_{400}$ sont les fréquences. $\sigma(M_{100}) = \frac{\sqrt{0{,}5 \times 0{,}5}}{\sqrt{100}} = \frac{0{,}5}{10} = \boxed{0{,}05}$ $\sigma(M_{400}) = \frac{0{,}5}{\sqrt{400}} = \frac{0{,}5}{20} = \boxed{0{,}025}$ L'écart-type de la fréquence du jeu B est deux fois plus petit : la fréquence de Pile observée au jeu B est **plus concentrée** autour de $0{,}5$. Le jeu B donne une estimation **plus fiable**. **Remarque :** pour diviser $\sigma$ par $2$, il faut multiplier $n$ par $4$ (car $\sigma \propto \frac{1}{\sqrt{n}}$).
Exercice 34
Difficile
Soit XX une variable aléatoire de variance V(X)>0V(X) > 0. On pose Y=X−E(X)V(X)Y = \frac{X - E(X)}{\sqrt{V(X)}}.

Montrer que E(Y)=0E(Y) = 0, V(Y)=1V(Y) = 1, et que pour tout δ>0\delta > 0 : P(∣Y∣⩾δ)⩽1δ2P(|Y| \geqslant \delta) \leqslant \frac{1}{\delta^2}.

(On admet l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.)
Correction détaillée
Posons $\mu = E(X)$ et $\sigma = \sqrt{V(X)}$. $Y = \frac{X - \mu}{\sigma}$. $E(Y) = \frac{E(X) - \mu}{\sigma} = \frac{0}{\sigma} = \boxed{0}$ $V(Y) = \frac{1}{\sigma^2} V(X) = \frac{V(X)}{V(X)} = \boxed{1}$ Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $Y$ (d'espérance $0$ et de variance $1$) : $$P(|Y - 0| \geqslant \delta) \leqslant \frac{V(Y)}{\delta^2} = \boxed{\frac{1}{\delta^2}}$$
Exercice 35
Difficile
Soit XX une variable aléatoire suivant B(n,p)\mathcal{B}(n, p). On note Fn=XnF_n = \frac{X}{n} la fréquence.

Montrer que pour tout ε>0\varepsilon > 0 :
P(∣Fn−p∣⩾ε)⩽14nε2P(|F_n - p| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{1}{4n\varepsilon^2}
Correction détaillée
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne : $$P(|F_n - E(F_n)| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{V(F_n)}{\varepsilon^2}$$ Or $E(F_n) = p$ et $V(F_n) = \frac{p(1-p)}{n}$. Comme $p(1-p) \leqslant \frac{1}{4}$, on a $V(F_n) \leqslant \frac{1}{4n}$. Donc : $P(|F_n - p| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{1/4n}{\varepsilon^2} = \boxed{\frac{1}{4n\varepsilon^2}}$
Exercice 36
Avancé
Soit XX une variable aléatoire telle que E(X)=0E(X) = 0 et V(X)=1V(X) = 1.

Montrer que E(X2)=1E(X^2) = 1 et que pour tout a>0a > 0 : P(X2⩾a2)⩽1a2P(X^2 \geqslant a^2) \leqslant \frac{1}{a^2}.
Correction détaillée
$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = E(X^2) - 0 = E(X^2)$. Donc $\boxed{E(X^2) = 1}$. $P(X^2 \geqslant a^2) = P(|X| \geqslant a) = P(|X - E(X)| \geqslant a)$. Par Bienaymé-Tchebychev : $P(|X - 0| \geqslant a) \leqslant \frac{V(X)}{a^2} = \boxed{\frac{1}{a^2}}$.
Exercice 37
Avancé
On répète nn fois une expérience de Bernoulli de paramètre p=0,5p = 0{,}5. Soit SnS_n le nombre de succès.

En utilisant l'inégalité de concentration, déterminer le plus petit nn tel que :
P(∣Snn−0,5∣⩾0,02)⩽0,05P\left(\left|\frac{S_n}{n} - 0{,}5\right| \geqslant 0{,}02\right) \leqslant 0{,}05
Correction détaillée
Par l'inégalité de concentration : $P\left(|M_n - p| \geqslant \varepsilon\right) \leqslant \frac{V(X)}{n\varepsilon^2}$ avec $V(X) = p(1-p) = 0{,}25$. On veut $\frac{0{,}25}{n \times 0{,}02^2} \leqslant 0{,}05$. $\frac{0{,}25}{0{,}0004 \times n} \leqslant 0{,}05 \Leftrightarrow \frac{625}{n} \leqslant 0{,}05 \Leftrightarrow n \geqslant \frac{625}{0{,}05} = 12500$. $\boxed{n = 12500}$ **Remarque :** l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne une majoration grossière. En pratique, des tailles d'échantillon beaucoup plus petites suffisent.
Exercice 38
Avancé
Soit (X1,…,Xn)(X_1, \ldots, X_n) un échantillon d'une variable aléatoire XX d'espérance μ\mu et de variance σ2\sigma^2.

Montrer que V(Sn)=nσ2V(S_n) = n\sigma^2 puis en déduire que σ(Mn)→0\sigma(M_n) \to 0 quand n→+∞n \to +\infty. Interpréter ce résultat.
Correction détaillée
Les $X_i$ sont indépendantes et de même variance $\sigma^2$. $V(S_n) = V(X_1) + \cdots + V(X_n) = n\sigma^2$. $V(M_n) = V\left(\frac{S_n}{n}\right) = \frac{1}{n^2} V(S_n) = \frac{n\sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n}$. $\sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. **Interprétation :** la dispersion de la moyenne $M_n$ autour de $\mu$ diminue quand la taille $n$ de l'échantillon augmente. Cela signifie que $M_n$ se **concentre** de plus en plus autour de $\mu$, ce qui est le fondement de la loi des grands nombres.
Exercice 39
Avancé
Un dé pipé a la loi : P(X=k)=k21P(X=k) = \frac{k}{21} pour k=1,2,…,6k = 1, 2, \ldots, 6.

1) Calculer E(X)E(X) et V(X)V(X).

2) On lance ce dé nn fois. Déterminer nn pour que P(∣Mn−E(X)∣⩾0,5)⩽0,05P(|M_n - E(X)| \geqslant 0{,}5) \leqslant 0{,}05.
1.
Calculer E(X)E(X) et V(X)V(X).
$E(X) = \sum_{k=1}^{6} k \cdot \frac{k}{21} = \frac{1}{21} \sum_{k=1}^{6} k^2 = \frac{1}{21} \times 91 = \frac{91}{21} = \boxed{\frac{13}{3}}$ (On utilise $\sum_{k=1}^6 k^2 = \frac{6 \times 7 \times 13}{6} = 91$.) $E(X^2) = \sum_{k=1}^{6} k^2 \cdot \frac{k}{21} = \frac{1}{21} \sum_{k=1}^{6} k^3 = \frac{1}{21} \times 441 = \frac{441}{21} = 21$ (On utilise $\sum_{k=1}^6 k^3 = \left(\frac{6 \times 7}{2}\right)^2 = 441$.) $V(X) = 21 - \left(\frac{13}{3}\right)^2 = 21 - \frac{169}{9} = \frac{189 - 169}{9} = \boxed{\frac{20}{9}}$
2.
Déterminer nn pour la condition donnée.
Par Bienaymé-Tchebychev : $P(|M_n - \frac{13}{3}| \geqslant 0{,}5) \leqslant \frac{V(X)}{n \times 0{,}5^2} = \frac{20/9}{0{,}25n} = \frac{80}{9n}$. On veut $\frac{80}{9n} \leqslant 0{,}05$, soit $n \geqslant \frac{80}{9 \times 0{,}05} = \frac{80}{0{,}45} \approx 177{,}8$. $\boxed{n \geqslant 178}$
Exercice 40
Avancé
Soit X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n des variables aléatoires indépendantes suivant la même loi de Bernoulli B(p)\mathcal{B}(p).

On pose Sn=X1+⋯+XnS_n = X_1 + \cdots + X_n et X‾n=Snn\overline{X}_n = \frac{S_n}{n}.

Montrer que pour tout ε>0\varepsilon > 0 : lim⁡n→+∞P(∣X‾n−p∣⩾ε)=0\lim_{n \to +\infty} P(|\overline{X}_n - p| \geqslant \varepsilon) = 0.

Énoncer le résultat obtenu.
Correction détaillée
Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $$0 \leqslant P(|\overline{X}_n - p| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{V(\overline{X}_n)}{\varepsilon^2} = \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}$$ Or $\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ car $p(1-p)$ et $\varepsilon$ sont des constantes. Par le théorème des gendarmes (pour les suites) : $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} P(|\overline{X}_n - p| \geqslant \varepsilon) = 0}$$ C'est la **loi des grands nombres** : la fréquence observée $\overline{X}_n$ converge en probabilité vers la probabilité théorique $p$ lorsque la taille de l'échantillon tend vers l'infini.
Exercice 41
Facile
Soit XX une variable aléatoire avec E(X)=10E(X) = 10 et V(X)=4V(X) = 4.

En utilisant l'inégalité de BT, majorer P(∣X−10∣⩾6)P(|X - 10| \geqslant 6).
Correction détaillée
$P(|X-10| \geqslant 6) \leqslant \frac{V(X)}{6^2} = \frac{4}{36} = \boxed{\frac{1}{9} \approx 0{,}111}$
Exercice 42
Facile
Soit XX une variable aléatoire avec E(X)=50E(X) = 50 et σ(X)=5\sigma(X) = 5.

Majorer P(∣X−50∣⩾10)P(|X - 50| \geqslant 10) et P(∣X−50∣⩾15)P(|X - 50| \geqslant 15).
Correction détaillée
$\delta = 10 = 2\sigma$ : $P(|X-50| \geqslant 10) \leqslant \frac{25}{100} = \boxed{\frac{1}{4}}$ $\delta = 15 = 3\sigma$ : $P(|X-50| \geqslant 15) \leqslant \frac{25}{225} = \boxed{\frac{1}{9}}$
Exercice 43
Facile
Soit X∼B(400 ;0,5)X \sim \mathcal{B}(400\,; 0{,}5). En utilisant BT, montrer que P(∣X−200∣⩾30)⩽19P(|X - 200| \geqslant 30) \leqslant \frac{1}{9}.
Correction détaillée
$E(X) = 200$ et $V(X) = 400 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 100$. $P(|X-200| \geqslant 30) \leqslant \frac{100}{900} = \frac{1}{9}$. On a bien $\boxed{P(|X-200| \geqslant 30) \leqslant \frac{1}{9}}$. Autrement dit, $P(170 \leqslant X \leqslant 230) \geqslant \frac{8}{9} \approx 89\%$.
Exercice 44
Facile
Soit MnM_n la moyenne d'un échantillon de taille nn d'une variable XX avec V(X)=9V(X) = 9.

Majorer P(∣Mn−μ∣⩾1)P(|M_n - \mu| \geqslant 1) pour n=100n = 100 et n=900n = 900.
Correction détaillée
$P(|M_n - \mu| \geqslant 1) \leqslant \frac{V(X)}{n \times 1^2} = \frac{9}{n}$. Pour $n = 100$ : $\frac{9}{100} = \boxed{0{,}09}$ Pour $n = 900$ : $\frac{9}{900} = \boxed{0{,}01}$
Exercice 45
Facile
On lance nn fois une pièce équilibrée. Soit FnF_n la fréquence de Pile.

Déterminer nn pour que P(∣Fn−0,5∣⩾0,05)⩽0,1P(|F_n - 0{,}5| \geqslant 0{,}05) \leqslant 0{,}1.
Correction détaillée
$V(F_n) \leqslant \frac{1}{4n}$. $\frac{1}{4n \times 0{,}05^2} \leqslant 0{,}1 \Leftrightarrow \frac{1}{0{,}01n} \leqslant 0{,}1 \Leftrightarrow n \geqslant \frac{1}{0{,}001} = 1000$. $\boxed{n \geqslant 1000}$
Exercice 46
Intermédiaire
Soit XX une variable aléatoire avec E(X)=20E(X) = 20 et V(X)=16V(X) = 16.

1) Majorer P(X⩽10)P(X \leqslant 10) à l'aide de BT.

2) Majorer P(X⩾30)P(X \geqslant 30) à l'aide de BT.
1.
Majorer P(X⩽10)P(X \leqslant 10).
$P(X \leqslant 10) = P(X - 20 \leqslant -10) \leqslant P(|X-20| \geqslant 10) \leqslant \frac{16}{100} = \boxed{0{,}16}$
2.
Majorer P(X⩾30)P(X \geqslant 30).
$P(X \geqslant 30) = P(X - 20 \geqslant 10) \leqslant P(|X-20| \geqslant 10) \leqslant \frac{16}{100} = \boxed{0{,}16}$
Exercice 47
Intermédiaire
Soit XX une VA avec E(X)=μE(X) = \mu et V(X)=σ2V(X) = \sigma^2.

Montrer que P(μ−kσ⩽X⩽μ+kσ)⩾1−1k2P(\mu - k\sigma \leqslant X \leqslant \mu + k\sigma) \geqslant 1 - \frac{1}{k^2} pour tout k>0k > 0.
Correction détaillée
Par BT : $P(|X - \mu| \geqslant k\sigma) \leqslant \frac{\sigma^2}{k^2\sigma^2} = \frac{1}{k^2}$. L'événement complémentaire est $|X - \mu| < k\sigma$, soit $\mu - k\sigma < X < \mu + k\sigma$. Donc $P(\mu - k\sigma \leqslant X \leqslant \mu + k\sigma) \geqslant P(|X-\mu| < k\sigma) = 1 - P(|X-\mu| \geqslant k\sigma) \geqslant \boxed{1 - \frac{1}{k^2}}$
Exercice 48
Intermédiaire
Soit Sn∼B(n ;0,3)S_n \sim \mathcal{B}(n\,; 0{,}3).

En utilisant BT, majorer P(∣Sn−0,3n∣⩾n)P(|S_n - 0{,}3n| \geqslant \sqrt{n}) et montrer que cette borne est constante. Puis montrer que P(∣Sn−0,3n∣⩾n2/3)P(|S_n - 0{,}3n| \geqslant n^{2/3}) tend vers 00.
Correction détaillée
$E(S_n) = 0{,}3n$, $V(S_n) = 0{,}21n$. BT : $P(|S_n - 0{,}3n| \geqslant \sqrt{n}) \leqslant \frac{0{,}21n}{(\sqrt{n})^2} = \frac{0{,}21n}{n} = 0{,}21$ : borne **constante**. Avec $\delta = n^{2/3}$ : $P(|S_n - 0{,}3n| \geqslant n^{2/3}) \leqslant \frac{0{,}21n}{n^{4/3}} = \frac{0{,}21}{n^{1/3}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \boxed{0}$
Exercice 49
Intermédiaire
Un casino propose un jeu où le gain GG a pour espérance −2-2 et pour variance 100100.

1) Majorer la probabilité de gagner plus de 1818 euros.

2) Un joueur joue nn parties. Soit MnM_n son gain moyen par partie. Déterminer nn pour que P(Mn⩾0)⩽0,01P(M_n \geqslant 0) \leqslant 0{,}01.
1.
Majorer P(G>18)P(G > 18).
$P(G > 18) = P(G - (-2) > 20) \leqslant P(|G+2| \geqslant 20) \leqslant \frac{100}{400} = \boxed{0{,}25}$
2.
Déterminer nn pour P(Mn⩾0)⩽0,01P(M_n \geqslant 0) \leqslant 0{,}01.
$P(M_n \geqslant 0) = P(M_n - (-2) \geqslant 2) \leqslant P(|M_n + 2| \geqslant 2) \leqslant \frac{100}{n \times 4} = \frac{25}{n}$. $\frac{25}{n} \leqslant 0{,}01 \Leftrightarrow n \geqslant 2500$. $\boxed{n \geqslant 2500}$
Exercice 50
Difficile
Soit XX une variable aléatoire à valeurs dans [0 ;1][0\,;1] avec E(X)=12E(X) = \frac{1}{2}.

Montrer que V(X)⩽14V(X) \leqslant \frac{1}{4}.

(Indication : utiliser le fait que X2⩽XX^2 \leqslant X puisque 0⩽X⩽10 \leqslant X \leqslant 1.)
Correction détaillée
Comme $0 \leqslant X \leqslant 1$, on a $X^2 \leqslant X$ (car $X(X-1) \leqslant 0$). Donc $E(X^2) \leqslant E(X) = \frac{1}{2}$. $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \leqslant \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \boxed{\frac{1}{4}}$ **Remarque :** plus généralement, si $X$ prend ses valeurs dans $[a, b]$, on peut montrer que $V(X) \leqslant \frac{(b-a)^2}{4}$.
7 problèmes de synthèse
Problème 1 — Espérance de gain et stratégie de jeu
Intermédiaire
Un joueur dispose de deux jeux :

• Jeu A : on lance un dé équilibré. On gagne (en euros) le double du résultat moins 88.
• Jeu B : on lance 33 pièces équilibrées. On gagne 55 euros par Pile obtenu, moins 66 euros.

Soit GAG_A et GBG_B les gains nets respectifs.

Partie A — Étude du jeu A

1.
Exprimer GAG_A en fonction du résultat XX du dé, puis calculer E(GA)E(G_A).
$G_A = 2X - 8$. $E(G_A) = 2E(X) - 8 = 2 \times 3{,}5 - 8 = 7 - 8 = \boxed{-1}$. Le jeu A est défavorable.
2.
Calculer V(GA)V(G_A) et σ(GA)\sigma(G_A).
$V(G_A) = 4V(X) = 4 \times \frac{35}{12} = \frac{35}{3} \approx 11{,}67$. $\sigma(G_A) = 2\sigma(X) = 2\sqrt{\frac{35}{12}} = \frac{2\sqrt{35}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{35}{3}} \approx \boxed{3{,}42}$

Partie B — Étude du jeu B

3.
Soit YY le nombre de Pile en 33 lancers. Quelle est la loi de YY ? Exprimer GBG_B en fonction de YY.
$Y \sim \mathcal{B}(3\,; 0{,}5)$. $G_B = 5Y - 6$.
4.
Calculer E(GB)E(G_B) et V(GB)V(G_B).
$E(Y) = 3 \times 0{,}5 = 1{,}5$. $E(G_B) = 5 \times 1{,}5 - 6 = 7{,}5 - 6 = \boxed{1{,}5}$. $V(Y) = 3 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}75$. $V(G_B) = 25 \times 0{,}75 = \boxed{18{,}75}$. $\sigma(G_B) = \sqrt{18{,}75} \approx 4{,}33$.

Partie C — Comparaison et stratégie

5.
Quel jeu est le plus favorable en moyenne ?
$E(G_A) = -1 < 0$ et $E(G_B) = 1{,}5 > 0$. Le jeu B est **favorable** et le jeu A est **défavorable**. Le joueur devrait choisir le $\boxed{\text{Jeu B}}$.
6.
On joue 100100 parties au jeu B. Soit G=GB,1+⋯+GB,100G = G_{B,1} + \cdots + G_{B,100} le gain total. Calculer E(G)E(G) et σ(G)\sigma(G).
$E(G) = 100 \times E(G_B) = 100 \times 1{,}5 = \boxed{150}$ euros. $V(G) = 100 \times V(G_B) = 100 \times 18{,}75 = 1875$. $\sigma(G) = \sqrt{1875} = 25\sqrt{3} \approx \boxed{43{,}3}$ euros.
Problème 2 — Contrôle qualité et échantillonnage
Difficile
Une usine produit des pièces dont la proportion de pièces défectueuses est p=0,03p = 0{,}03. On prélève un échantillon de nn pièces (modélisé par des variables de Bernoulli indépendantes). On note FnF_n la proportion de pièces défectueuses dans l'échantillon.

Partie A — Propriétés de FnF_n

1.
Exprimer E(Fn)E(F_n) et V(Fn)V(F_n) en fonction de nn.
$F_n = M_n = \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$ avec $X_i \sim \mathcal{B}(0{,}03)$. $E(F_n) = \boxed{0{,}03}$ $V(F_n) = \frac{0{,}03 \times 0{,}97}{n} = \boxed{\frac{0{,}0291}{n}}$
2.
Calculer σ(Fn)\sigma(F_n) pour n=100n = 100, n=1000n = 1000 et n=10000n = 10000.
$\sigma(F_n) = \sqrt{\frac{0{,}0291}{n}}$. $\sigma(F_{100}) = \sqrt{\frac{0{,}0291}{100}} \approx \boxed{0{,}0171}$ $\sigma(F_{1000}) \approx \boxed{0{,}0054}$ $\sigma(F_{10000}) \approx \boxed{0{,}0017}$

Partie B — Taille d'échantillon

3.
En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer nn pour que :
P(∣Fn−0,03∣⩾0,01)⩽0,05P(|F_n - 0{,}03| \geqslant 0{,}01) \leqslant 0{,}05
Par BT : $P(|F_n - 0{,}03| \geqslant 0{,}01) \leqslant \frac{V(F_n)}{0{,}01^2} = \frac{0{,}0291}{n \times 0{,}0001} = \frac{291}{n}$. On veut $\frac{291}{n} \leqslant 0{,}05$, soit $n \geqslant \frac{291}{0{,}05} = 5820$. $\boxed{n \geqslant 5820}$
4.
En utilisant la majoration p(1−p)⩽14p(1-p) \leqslant \frac{1}{4} (si pp est inconnu), déterminer nn pour la même condition.
$V(F_n) \leqslant \frac{1}{4n}$. $P(|F_n - p| \geqslant 0{,}01) \leqslant \frac{1}{4n \times 0{,}0001} = \frac{2500}{n}$. On veut $\frac{2500}{n} \leqslant 0{,}05$, soit $n \geqslant 50000$. $\boxed{n \geqslant 50000}$ Cette estimation est beaucoup plus conservatrice car on n'utilise pas la connaissance de $p$.
Problème 3 — Loi des grands nombres et simulation
Difficile
On considère une variable aléatoire XX qui suit la loi uniforme sur {1,2,3,4,5,6}\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} (dé équilibré). On note μ=E(X)\mu = E(X) et σ2=V(X)\sigma^2 = V(X).

Partie A — Calculs préliminaires

1.
Calculer μ\mu et σ2\sigma^2.
$\mu = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \boxed{\frac{7}{2} = 3{,}5}$ $E(X^2) = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$ $\sigma^2 = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182-147}{12} = \boxed{\frac{35}{12}}$
2.
Soit MnM_n la moyenne d'un échantillon de taille nn. Exprimer σ(Mn)\sigma(M_n) en fonction de nn.
$\sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{35/12}}{\sqrt{n}} = \boxed{\frac{1}{\sqrt{n}} \sqrt{\frac{35}{12}}}$

Partie B — Application de Bienaymé-Tchebychev

3.
En utilisant l'inégalité de BT, majorer P(∣Mn−3,5∣⩾0,5)P(|M_n - 3{,}5| \geqslant 0{,}5) en fonction de nn.
$P(|M_n - 3{,}5| \geqslant 0{,}5) \leqslant \frac{V(M_n)}{0{,}5^2} = \frac{35/(12n)}{0{,}25} = \frac{35}{3n}$. $\boxed{P(|M_n - 3{,}5| \geqslant 0{,}5) \leqslant \frac{35}{3n}}$
4.
Déterminer nn pour que cette probabilité soit ⩽0,01\leqslant 0{,}01.
$\frac{35}{3n} \leqslant 0{,}01 \Leftrightarrow n \geqslant \frac{35}{0{,}03} \approx 1167$. $\boxed{n \geqslant 1167}$
5.
Montrer que pour tout ε>0\varepsilon > 0 : lim⁡n→+∞P(∣Mn−3,5∣⩾ε)=0\lim_{n \to +\infty} P(|M_n - 3{,}5| \geqslant \varepsilon) = 0. Énoncer le théorème utilisé.
$0 \leqslant P(|M_n - 3{,}5| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{35}{12n\varepsilon^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. Par le théorème des gendarmes (pour les suites) : $\lim_{n \to +\infty} P(|M_n - 3{,}5| \geqslant \varepsilon) = 0$. C'est la **loi des grands nombres** : la moyenne des résultats de $n$ lancers converge en probabilité vers $3{,}5$ quand $n \to +\infty$.
Problème 4 — Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi binomiale
Intermédiaire
Soit X∼B(n ;p)X \sim \mathcal{B}(n\,; p).

Partie A — BT appliquée à la binomiale

1.
Rappeler E(X)E(X) et V(X)V(X).
$E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$.
2.
En déduire que P(∣X−np∣⩾k)⩽np(1−p)k2P(|X - np| \geqslant k) \leqslant \frac{np(1-p)}{k^2}.
Application directe de BT avec $\mu = np$ et $\delta = k$ : $P(|X - np| \geqslant k) \leqslant \frac{V(X)}{k^2} = \boxed{\frac{np(1-p)}{k^2}}$
3.
Application : n=1000n = 1000, p=0,6p = 0{,}6. Majorer P(∣X−600∣⩾50)P(|X - 600| \geqslant 50).
$V(X) = 1000 \times 0{,}6 \times 0{,}4 = 240$. $P(|X-600| \geqslant 50) \leqslant \frac{240}{2500} = \boxed{0{,}096}$ Donc $P(550 \leqslant X \leqslant 650) \geqslant 1 - 0{,}096 = 0{,}904$, soit plus de $90\%$.

Partie B — Convergence de la fréquence

4.
Soit Fn=XnF_n = \frac{X}{n}. Montrer que P(∣Fn−p∣⩾ε)⩽p(1−p)nε2P(|F_n - p| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}.
$E(F_n) = p$ et $V(F_n) = \frac{p(1-p)}{n}$. BT : $P(|F_n - p| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{V(F_n)}{\varepsilon^2} = \boxed{\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}}$
5.
En déduire la loi des grands nombres pour la fréquence.
Pour tout $\varepsilon > 0$ fixé : $0 \leqslant P(|F_n - p| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \to 0$ quand $n \to +\infty$. Par le théorème des gendarmes : $\lim_{n \to +\infty} P(|F_n - p| \geqslant \varepsilon) = 0$. C'est la **loi des grands nombres** : $F_n$ converge en probabilité vers $p$.
Problème 5 — Estimation par sondage
Difficile
On souhaite estimer la proportion pp de la population favorable à une mesure. On interroge nn personnes (échantillon indépendant). La fréquence observée est FnF_n.

Partie A

1.
Montrer que P(∣Fn−p∣⩾ε)⩽14nε2P(|F_n - p| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{1}{4n\varepsilon^2} pour tout ε>0\varepsilon > 0.
$V(F_n) = \frac{p(1-p)}{n} \leqslant \frac{1}{4n}$. BT : $P(|F_n-p| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{1/(4n)}{\varepsilon^2} = \boxed{\frac{1}{4n\varepsilon^2}}$
2.
Déterminer nn pour garantir une précision de ε=0,02\varepsilon = 0{,}02 avec un risque α=0,05\alpha = 0{,}05.
$\frac{1}{4n \times 0{,}0004} \leqslant 0{,}05 \Leftrightarrow \frac{1}{0{,}0016n} \leqslant 0{,}05 \Leftrightarrow n \geqslant \frac{1}{0{,}00008} = \boxed{12500}$
3.
Si on sait que p⩽0,1p \leqslant 0{,}1, montrer qu'on peut réduire la taille de l'échantillon.
$p(1-p) \leqslant 0{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}09 < \frac{1}{4}$. $P(|F_n - p| \geqslant 0{,}02) \leqslant \frac{0{,}09}{n \times 0{,}0004} = \frac{225}{n}$. $\frac{225}{n} \leqslant 0{,}05 \Leftrightarrow n \geqslant 4500$. Au lieu de $12500$, on peut se contenter de $\boxed{n = 4500}$ personnes.
Problème 6 — Loi des grands nombres et convergence
Difficile
Soit XX une variable aléatoire d'espérance μ\mu et de variance σ2>0\sigma^2 > 0. Soit (X1,X2,…)(X_1, X_2, \ldots) une suite de copies indépendantes de XX et Mn=1n∑i=1nXiM_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.

Partie A — Encadrement

1.
Montrer que pour tout ε>0\varepsilon > 0 et tout n⩾1n \geqslant 1 :
0⩽P(∣Mn−μ∣⩾ε)⩽σ2nε20 \leqslant P(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}
La borne inférieure $0$ est évidente (une probabilité est positive). La borne supérieure est l'inégalité de concentration : $P(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{V(M_n)}{\varepsilon^2} = \frac{\sigma^2/n}{\varepsilon^2} = \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$.
2.
En déduire la loi des grands nombres.
Pour $\varepsilon$ fixé, $\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \to 0$ quand $n \to +\infty$. Par le théorème des gendarmes : $\lim_{n \to +\infty} P(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon) = 0$. $M_n$ converge en probabilité vers $\mu$ : c'est la **loi des grands nombres**.

Partie B — Application

3.
On lance un dé équilibré (μ=3,5\mu = 3{,}5, σ2=3512\sigma^2 = \frac{35}{12}). Déterminer nn pour que P(∣Mn−3,5∣⩾0,1)⩽0,02P(|M_n - 3{,}5| \geqslant 0{,}1) \leqslant 0{,}02.
$\frac{35/12}{n \times 0{,}01} \leqslant 0{,}02 \Leftrightarrow \frac{35}{0{,}12n} \leqslant 0{,}02 \Leftrightarrow n \geqslant \frac{35}{0{,}0024} \approx 14583{,}3$. $\boxed{n \geqslant 14584}$
4.
Que signifie concrètement ce résultat ?
En lançant un dé au moins $14\,584$ fois et en calculant la moyenne des résultats, on a une probabilité d'au moins $98\%$ que cette moyenne soit comprise entre $3{,}4$ et $3{,}6$. C'est une illustration concrète de la loi des grands nombres : la moyenne empirique est très concentrée autour de l'espérance théorique pour un grand nombre de lancers.
Problème 7 — Sex ratio et loi des grands nombres
Difficile
Dans une population, la probabilité qu'un nouveau-né soit un garçon est p=0,512p = 0{,}512. On observe nn naissances indépendantes. Soit GnG_n le nombre de garçons et Fn=GnnF_n = \frac{G_n}{n} la proportion observée.

Partie A

1.
Quelle est la loi de GnG_n ? Calculer E(Fn)E(F_n) et V(Fn)V(F_n).
$G_n \sim \mathcal{B}(n\,; 0{,}512)$. $E(F_n) = 0{,}512$ $V(F_n) = \frac{0{,}512 \times 0{,}488}{n} = \frac{0{,}249856}{n}$
2.
Pour n=106n = 10^6 naissances, majorer P(∣Fn−0,512∣⩾0,001)P(|F_n - 0{,}512| \geqslant 0{,}001).
$P(|F_n - 0{,}512| \geqslant 0{,}001) \leqslant \frac{0{,}249856}{10^6 \times 10^{-6}} = \frac{0{,}249856}{1} = 0{,}25$. Cette borne n'est pas très utile (BT est grossière ici). Avec $\varepsilon = 0{,}001$ et $n = 10^6$ : $\frac{0{,}249856}{10^6 \times 0{,}000001} = 0{,}249856 \approx \boxed{0{,}25}$
3.
Déterminer nn pour que P(∣Fn−0,512∣⩾0,001)⩽0,01P(|F_n - 0{,}512| \geqslant 0{,}001) \leqslant 0{,}01.
$\frac{0{,}249856}{n \times 10^{-6}} \leqslant 0{,}01 \Leftrightarrow n \geqslant \frac{0{,}249856}{0{,}01 \times 10^{-6}} = \frac{0{,}249856}{10^{-8}} \approx 2{,}5 \times 10^7$. $\boxed{n \geqslant 25 \text{ millions de naissances}}$ Cela illustre qu'il faut un **très grand nombre** d'observations pour détecter un écart aussi faible que $0{,}001$ par rapport à la proportion théorique.
4.
Énoncer la loi des grands nombres dans ce contexte.
La loi des grands nombres affirme que pour tout $\varepsilon > 0$ : $$\lim_{n \to +\infty} P(|F_n - 0{,}512| \geqslant \varepsilon) = 0$$ Autrement dit, la proportion de garçons observée sur un très grand nombre de naissances converge en probabilité vers la probabilité théorique $p = 0{,}512$.