Chapitre 10 Variables aléatoires Première Spé

Exercices corrigés sur les variables aléatoires en Première spécialité

Ces exercices sur les variables aléatoires en Première spécialité partent d’expériences simples : dés, pièces, roues et tirages. Tu identifies les valeurs possibles, construis la loi de probabilité et traduis des événements comme gagner une somme positive. Tu calcules ensuite l’espérance, la variance et l’écart-type en vérifiant que les probabilités sont positives et que leur somme vaut un.

Les jeux permettent d’interpréter l’espérance comme un gain moyen et de déterminer une mise équitable. Deux jeux de même espérance peuvent présenter des dispersions différentes : les exercices de comparaison donnent un rôle à l’écart-type. La banque comprend également des simulations Python et des moyennes d’échantillons. Distingue les valeurs théoriques des résultats d’une simulation, puis utilise la correction pour contrôler ton tableau de loi et tes calculs.

50 exercices : 18 faciles, 16 intermédiaires, 9 difficiles, 7 avancés. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.

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Cours et fiche de révision sur les variables aléatoires

Les 50 exercices, du plus simple au plus complet

50 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 1

Non commencéFacile

Reconnaître une loi. Une variable

X

prend les valeurs

1

2

3

avec probabilités

0{,}2

0{,}5

0{,}3

. Vérifier que c'est bien une loi de probabilité.

Exercice 2

Non commencéFacile

Probabilité manquante. Une variable

X

a la loi

P(X = 1) = 0{,}3

P(X = 2) = ?

P(X = 3) = 0{,}4

. Déterminer

P(X = 2)

Exercice 3

Non commencéFacile

Espérance (1). Soit

X

de loi

P(X = 0) = 0{,}5

P(X = 1) = 0{,}3

P(X = 2) = 0{,}2

. Calculer

E(X)

Exercice 4

Non commencéFacile

Espérance (2). Soit

X

de loi

(1\,;0{,}2)

(2\,;0{,}5)

(3\,;0{,}3)

. Calculer

E(X)

Exercice 5

Non commencéFacile

Probabilité cumulée. Pour

X

de loi

(1\,;0{,}2)

(2\,;0{,}5)

(3\,;0{,}3)

, calculer

P(X \geqslant 2)

Exercice 6

Non commencéFacile

Lecture d'une loi. Pour la loi

(1\,;0{,}2)

(2\,;0{,}5)

(3\,;0{,}3)

, donner

P(X = 2)

Exercice 7

Non commencéFacile

Espérance d'un dé. Soit

X

le résultat d'un dé équilibré à six faces. Calculer

E(X)

Exercice 8

Non commencéFacile

Moment d'ordre 2. Pour

X

de loi

(1\,;0{,}2)

(2\,;0{,}5)

(3\,;0{,}3)

, calculer

E(X^2)

Exercice 9

Non commencéFacile

Variance. Pour cette même variable (

E(X) = 2{,}1

E(X^2) = 4{,}9

), calculer

V(X)

Exercice 10

Non commencéFacile

Écart-type. Sachant que

V(X) = 0{,}49

, calculer l'écart-type

\sigma(X)

Exercice 11

Non commencéFacile

Espérance d'une transformation. Avec

E(X) = 2{,}1

, calculer

E(2X + 1)

Exercice 12

Non commencéFacile

7 min

Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : Lecture d'un tableau de loi · Inégalités

Objectifs : Passer du langage naturel au langage symbolique · Interpréter un événement portant sur une variable aléatoire · Calculer une probabilité à partir d'une loi

Interpréter les événements liés à une variable aléatoire. Le gain algébrique

X

d'un jeu a pour loi :

$x$	$-2$	$0$	$3$
$P(X=x)$	$0{,}2$	$0{,}5$	$0{,}3$

1. Traduire en langage courant les événements

\{X=0\}

\{X\leqslant0\}

.
2. Écrire symboliquement l'événement « le joueur réalise un gain strictement positif ».
3. Calculer les probabilités de ces trois événements.

Exercice 13

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Univers fini · Équiprobabilité · Notion de fonction

Objectifs : Formaliser une variable aléatoire comme fonction · Déterminer l'image d'un univers fini · Regrouper les issues pour construire une loi

Une variable aléatoire comme fonction sur l'univers. Une roue possède quatre secteurs équiprobables notés

\Omega=\{A,B,C,D\}.

Le gain

X

est défini par

X(A)=2,\qquad X(B)=-1,\qquad X(C)=2,\qquad X(D)=0.

1. Expliquer pourquoi

X

est une variable aléatoire réelle sur l'univers fini

\Omega

.
2. Donner l'ensemble des valeurs prises par

X

.
3. Déterminer la loi de probabilité de

X

Exercice 14

Non commencéFacile

Gain moyen. Un joueur gagne

5

€ avec probabilité

0{,}4

et perd

2

€ avec probabilité

0{,}6

. Calculer l'espérance

E(X)

de son gain

X

Exercice 15

Non commencéFacile

Jeu équitable. Le gain

X

d'un jeu vaut

-1

€ avec probabilité

\dfrac{2}{3}

+2

€ avec probabilité

\dfrac{1}{3}

. Le jeu est-il équitable ?

Exercice 16

Non commencéIntermédiaire

Loi, espérance et variance. Soit

X

de loi

(0\,;0{,}25)

(2\,;0{,}5)

(4\,;0{,}25)

. Calculer

E(X)

, puis

V(X)

\sigma(X)

Exercice 17

Non commencéIntermédiaire

Loterie. Un billet rapporte

0

€ avec probabilité

0{,}9

10

€ avec probabilité

0{,}09

100

€ avec probabilité

0{,}01

. Calculer le gain moyen

E(X)

Exercice 18

Non commencéIntermédiaire

Espérance affine. Avec

E(X) = 2{,}1

, calculer

E(3X - 2)

Exercice 19

Non commencéIntermédiaire

14 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Espérance · Variance · Boucle for et listes Python

Objectifs : Écrire un algorithme à partir d'une formule · Parcourir deux listes parallèles · Calculer les indicateurs d'une variable aléatoire

Programmer l'espérance, la variance et l'écart-type. On représente une loi par deux listes de même longueur : valeurs contient les valeurs

x_i

et probas les probabilités

p_i

correspondantes.

Compléter la fonction Python suivante :

def indicateurs(valeurs, probas):
    mu = 0
    for i in range(len(valeurs)):
        mu = mu + ........................
    variance = 0
    for i in range(len(valeurs)):
        variance = variance + ........................
    sigma = variance**0.5
    return mu, variance, sigma

Appliquer ensuite la fonction à

valeurs = [-1, 1, 3]
probas = [0.25, 0.50, 0.25]

et donner les valeurs théoriques exactes, puis la sortie numérique correspondante renvoyée par Python.

Exercice 20

Non commencéIntermédiaire

Déterminer un coefficient. Une variable

X

vérifie

E(X) = 2{,}1

. Déterminer le réel

a

tel que

E(aX) = 6{,}3

Exercice 21

Non commencéIntermédiaire

Loi d'une transformation. Soit

X

de loi

(1\,;0{,}2)

(2\,;0{,}5)

(3\,;0{,}3)

Y = 2X

. Donner la loi de

Y

et calculer

E(Y)

Exercice 22

Non commencéIntermédiaire

Roue de loterie. Une roue donne un gain

X

valant

-5

€ (probabilité

0{,}5

0

€ (probabilité

0{,}3

) ou

15

€ (probabilité

0{,}2

). Calculer

E(X)

et conclure sur le caractère favorable du jeu.

Exercice 23

Non commencéIntermédiaire

Deux pièces. On lance deux pièces équilibrées et on note

X

le nombre de « pile ». Établir la loi de

X

puis calculer

E(X)

Exercice 24

Non commencéIntermédiaire

De la variance à l'écart-type. Une variable

X

vérifie

V(X) = 1{,}96

. Calculer

\sigma(X)

Exercice 25

Non commencéIntermédiaire

Variance de deux pièces. Pour

X

= nombre de « pile » en deux lancers (loi

(0\,;\frac{1}{4})

(1\,;\frac{1}{2})

(2\,;\frac{1}{4})

), calculer

V(X)

Exercice 26

Non commencéIntermédiaire

Prix équitable. Un jeu consiste à payer une mise

m

€ puis à gagner

10

€ avec probabilité

0{,}3

(et rien sinon). Déterminer

m

pour que le jeu soit équitable.

Exercice 27

Non commencéIntermédiaire

Espérance et variance. Soit

X

de loi

(1\,;0{,}5)

(2\,;0{,}25)

(3\,;0{,}25)

. Calculer

E(X)

V(X)

Exercice 28

Non commencéIntermédiaire

13 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Intervalles · Instruction conditionnelle Python · Loi d'une variable aléatoire

Objectifs : Simuler une loi discrète avec random · Utiliser des probabilités cumulées · Calculer une espérance

Simuler une variable aléatoire discrète. Une variable aléatoire

X

prend les valeurs

-1

2

5

avec les probabilités respectives

0{,}5

0{,}3

0{,}2

.

Compléter la fonction Python suivante pour qu'elle simule une réalisation de

X

from random import random

def simule_X():
    u = random()
    if u < ........:
        return -1
    elif u < ........:
        return 2
    else:
        return 5

Justifier les deux seuils choisis, puis calculer l'espérance théorique de

X

Exercice 29

Non commencéDifficile

Jeu du dé. On lance un dé équilibré. Si le résultat est pair, on gagne sa valeur (en €) ; s'il est impair, on perd

3

€. Soit

X

le gain.

Établir la loi de probabilité de

X

Calculer

E(X)

et interpréter.

Exercice 30

Non commencéDifficile

Prix d'un billet. Une tombola propose un lot de

200

€ (probabilité

\frac{1}{100}

), un lot de

50

€ (probabilité

\frac{4}{100}

), et rien sinon. Déterminer le prix du billet qui rend le jeu équitable pour l'organisateur (espérance nulle du gain du joueur).

Exercice 31

Non commencéDifficile

Comparer deux jeux. Le jeu

A

a un gain d'espérance

E(A) = 2

€ et d'écart-type

\sigma(A) = 1

€ ; le jeu

B

E(B) = 2

€ et

\sigma(B) = 5

€. Quel jeu est le plus « sûr » ? Justifier.

Exercice 32

Non commencéDifficile

16 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Espérance · Simulation d'une variable aléatoire · Boucle Python

Objectifs : Écrire une fonction de moyenne d'échantillon · Comparer une moyenne observée à une espérance · Interpréter une fluctuation de simulation

Moyenne d'un échantillon simulé. On considère une variable aléatoire

X

définie par

P(X=-1)=0{,}5,\qquad P(X=2)=0{,}3,\qquad P(X=5)=0{,}2,

et une fonction simule_X() qui en renvoie une réalisation.

1. Vérifier que

E(X)=1{,}1

.
2. Compléter la fonction qui renvoie la moyenne d'un échantillon simulé de taille

n

def moyenne_echantillon(n):
    somme = 0
    for _ in range(n):
        somme = ........................
    return ........................

3. Une exécution donne

0{,}95

pour

n=20

et une autre donne

1{,}106

pour

n=500

. Comparer les deux écarts à l'espérance et interpréter sans affirmer qu'une moyenne de grand échantillon est toujours la plus proche.

Exercice 33

Non commencéDifficile

18 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Moyenne d'un échantillon · Espérance et écart-type · Fonctions Python

Objectifs : Simuler plusieurs échantillons · Programmer une condition avec une valeur absolue · Interpréter une proportion de moyennes

Répéter des échantillons et mesurer une proportion. Une variable aléatoire a pour espérance

\mu=2

et pour écart-type

\sigma=1{,}5

. Une fonction moyenne_echantillon(n) simule un échantillon de taille

n

et renvoie sa moyenne

m

.

1. Compléter la fonction suivante, qui simule

N

échantillons et renvoie la proportion de ceux pour lesquels

|m-\mu|\leqslant\frac{2\sigma}{\sqrt n}.

def proportion(N, n, mu, sigma):
    compteur = 0
    for _ in range(N):
        m = moyenne_echantillon(n)
        if .................................:
            compteur = compteur + 1
    return ........................

2. Pour

n=100

, déterminer l'intervalle des moyennes vérifiant la condition.
3. Sur

N=1000

échantillons simulés,

947

moyennes appartiennent à cet intervalle. Calculer et interpréter la proportion observée.

Exercice 34

Non commencéDifficile

Assurance. Une compagnie assure un objet contre le vol (probabilité

0{,}02

), avec un remboursement de

500

€ en cas de vol. La prime annuelle payée par le client est

20

€. Soit

X

le gain algébrique de la compagnie. Calculer

E(X)

Exercice 35

Non commencéDifficile

Nombre de six. On lance deux dés équilibrés et on note

X

le nombre de six obtenus. Établir la loi de

X

puis calculer

E(X)

Exercice 36

Non commencéAvancé

Étude complète d'un jeu. À un jeu, on tire une carte parmi

10

(numérotées de

1

10

). Si le numéro est un multiple de

3

, on gagne

6

€ ; sinon on perd

2

€. Soit

X

le gain.

Établir la loi de

X

Calculer

E(X)

. Le jeu est-il favorable ?

Calculer

V(X)

\sigma(X)

(arrondir l'écart-type au centième).

Exercice 37

Non commencéAvancé

Retrouver une loi. Une variable

X

prend les valeurs

0

1

2

avec

P(X = 0) = 0{,}5

. Sachant que

E(X) = 0{,}7

, déterminer

P(X = 1)

P(X = 2)

Exercice 38

Non commencéAvancé

Démonstration de König-Huygens. Démontrer que, pour toute variable aléatoire

X

V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2

Exercice 39

Non commencéAvancé

Linéarité de l'espérance. Démontrer que, pour tous réels

a

b

E(aX + b) = a\,E(X) + b

Exercice 40

Non commencéAvancé

24 min

Objectifs et prérequis8 repères

Prérequis : Équiprobabilité · Formule de König-Huygens · Simulation Python · Valeur absolue et racine carrée

Objectifs : Construire une loi à partir d'une expérience · Calculer espérance, variance et écart-type · Simuler une variable aléatoire · Étudier des moyennes d'échantillons

Étude théorique et expérimentale d'un gain. Une urne contient quatre jetons indiscernables au toucher : deux bleus, un rouge et un vert. On tire un jeton, puis on le remet dans l'urne. Le gain

X

vaut

-1

euro pour un jeton bleu,

2

euros pour le rouge et

4

euros pour le vert.

1. Déterminer la loi de

X

, puis calculer

E(X)

V(X)

\sigma(X)

.
2. Compléter la fonction simule_X() :

from random import random

def simule_X():
    u = random()
    if u < ........:
        return -1
    elif u < ........:
        return 2
    else:
        return 4

3. On simule

N=500

échantillons de taille

n=100

. Parmi leurs moyennes,

474

vérifient

|m-E(X)|\leqslant\frac{2\sigma(X)}{\sqrt n}.

Déterminer l'intervalle correspondant, calculer la proportion observée et l'interpréter.

Exercice 41

Non commencéFacile

9 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : dé équilibré · variable aléatoire · regroupement d’issues

Objectifs : définir une variable aléatoire · construire sa loi · vérifier la somme des probabilités

Construire une loi à partir d’un dé. On lance un dé équilibré à six faces. Le gain

X

vaut :

•

-2

euros si le résultat est

1

2

;
•

1

euro si le résultat est

3

4

5

;
•

5

euros si le résultat est

6

.

1. Donner l’ensemble des valeurs prises par

X

.
2. Construire le tableau de la loi de

X

.
3. Calculer

P(X\geqslant1)

Exercice 42

Non commencéFacile

8 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : lecture d’une loi · événements portant sur une variable aléatoire · addition de probabilités

Objectifs : traduire un événement · additionner les probabilités adaptées · utiliser un événement contraire

Lire des événements dans une loi. La variable aléatoire

X

a pour loi :

$x$	$-3$	$0$	$2$	$6$
$P(X=x)$	$0{,}15$	$0{,}35$	$0{,}30$	$0{,}20$

Calculer :

1.

P(X>0)

;
2.

P(X\leqslant2)

;
3.

P(X\neq0)

;
4.

P(-1<X<6)

Exercice 43

Non commencéFacile

10 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : espérance · gain algébrique · équation du premier degré

Objectifs : calculer une espérance · tenir compte d’une mise · déterminer une mise équitable

Déterminer une mise équitable. Une roue donne un gain brut

G

dont la loi est :

$g$	$0$	$2$	$5$
$P(G=g)$	$0{,}5$	$0{,}3$	$0{,}2$

Pour jouer, on paie une mise

c

euros. Le gain algébrique est donc

X=G-c

.

1. Calculer

E(G)

.
2. Écrire directement les trois valeurs possibles de

X

et calculer

E(X)

en fonction de

c

.
3. Déterminer la mise qui rend le jeu équitable, c’est-à-dire telle que

E(X)=0

Exercice 44

Non commencéIntermédiaire

14 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : espérance · variance · écart-type

Objectifs : calculer les indicateurs d’une loi · utiliser la définition de la variance · interpréter l’écart-type

Espérance, variance et écart-type. La variable aléatoire

X

suit la loi :

$x$	$0$	$2$	$5$
$P(X=x)$	$0{,}2$	$0{,}5$	$0{,}3$

1. Calculer

E(X)

.
2. Calculer

V(X)

à partir de la somme

\sum p_i(x_i-E(X))^2

.
3. En déduire

\sigma(X)

sous forme exacte puis approchée au centième.

Exercice 45

Non commencéIntermédiaire

15 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : loi avec paramètre · espérance · variance

Objectifs : déterminer un paramètre par une espérance imposée · vérifier une loi · calculer variance et écart-type

Une loi avec un paramètre. La variable aléatoire

X

prend les valeurs

-2

1

4

avec les probabilités suivantes :

$x$	$-2$	$1$	$4$
$P(X=x)$	$a$	$0{,}5$	$0{,}5-a$

où

0\leqslant a\leqslant0{,}5

.

1. Vérifier que le tableau définit bien une loi pour toutes les valeurs autorisées de

a

.
2. Exprimer

E(X)

en fonction de

a

.
3. Déterminer

a

pour que

E(X)=1

.
4. Pour cette valeur de

a

, calculer

V(X)

\sigma(X)

Exercice 46

Non commencéIntermédiaire

16 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : deux épreuves indépendantes · variable aléatoire · espérance et variance

Objectifs : construire une loi par recensement · regrouper des chemins · calculer des indicateurs

Nombre de succès sur deux essais. Une épreuve réussit avec la probabilité

0{,}4

. Elle est répétée deux fois de manière indépendante. La variable

X

compte le nombre de succès.

1. Écrire les quatre chemins possibles et leurs probabilités.
2. Construire la loi de

X

.
3. Calculer

E(X)

V(X)

directement à partir de cette loi.

Exercice 47

Non commencéDifficile

18 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : loi d’un gain · jeu équitable · variance

Objectifs : déterminer un lot pour équilibrer un jeu · construire une loi de gain algébrique · mesurer la dispersion d’un jeu équitable

Rendre un jeu équitable. On lance un dé équilibré. Le joueur paie

2

euros puis reçoit :

•

a

euros si le dé donne

1

;
•

2

euros si le dé donne

2

3

;
• rien si le dé donne

4

5

6

.

On note

X

le gain algébrique, recette moins mise.

1. Écrire les trois valeurs possibles de

X

et leurs probabilités.
2. Déterminer

a

pour que le jeu soit équitable.
3. Pour cette valeur de

a

, construire la loi de

X

et calculer

V(X)

puis

\sigma(X)

Exercice 48

Non commencéDifficile

17 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : espérance · variance · comparaison de lois

Objectifs : comparer rentabilité et risque · calculer deux variances · argumenter un choix à partir d’indicateurs

Deux jeux de même espérance. Les gains algébriques de deux jeux ont pour lois :

Jeu A : $x$	$-2$	$4$
$P(X_A=x)$	$0{,}5$	$0{,}5$

Jeu B : $x$	$0$	$4$
$P(X_B=x)$	$0{,}75$	$0{,}25$

1. Vérifier que les deux jeux ont la même espérance.
2. Calculer leurs variances et leurs écarts-types.
3. Lequel présente la plus forte dispersion ?
4. Expliquer pourquoi l’espérance seule ne suffit pas toujours à choisir un jeu.

Exercice 49

Non commencéAvancé

21 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : simulation avec random · loi discrète · moyenne d’un échantillon

Objectifs : programmer une variable aléatoire · simuler un échantillon · comparer moyenne observée et espérance

Simuler une loi et une moyenne. La variable aléatoire

X

prend les valeurs

-2

1

5

avec les probabilités respectives

0{,}4

0{,}4

0{,}2

.

1. Calculer

E(X)

.
2. Compléter les fonctions suivantes :

from random import random

def simule_X():
    u = random()
    if u < ........:
        return -2
    elif u < ........:
        return 1
    else:
        return 5

def moyenne_X(n):
    somme = 0
    for _ in range(n):
        somme = ........................
    return ........................

3. Dans un échantillon de taille

100

, on observe

43

fois

-2

38

fois

1

19

fois

5

. Calculer la moyenne et son écart à

E(X)

Exercice 50

Non commencéAvancé

24 min

Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : espérance et variance · moyenne d’échantillon · simulation répétée

Objectifs : calculer les indicateurs d’une loi · étudier des moyennes simulées · interpréter une proportion expérimentale

Dispersion des moyennes d’échantillons. La variable aléatoire

X

prend les valeurs

-2

1

5

avec les probabilités

0{,}4

0{,}4

0{,}2

. On admet qu’une fonction moyenne_X(n) simule

n

réalisations indépendantes et renvoie leur moyenne.

1. Vérifier que

E(X)=0{,}6

, puis calculer

V(X)

\sigma(X)

.
2. Pour

n=100

, déterminer l’intervalle défini par

\left|m-E(X)\right|\leqslant\frac{2\sigma(X)}{\sqrt n}.

3. Compléter la fonction suivante :

def proportion_moyennes(N, n, mu, sigma):
    compteur = 0
    for _ in range(N):
        m = moyenne_X(n)
        if ........................:
            compteur = compteur + 1
    return ........................

4. Pour

N=1000

n=100

, une simulation trouve

956

moyennes dans l’intervalle. Calculer et interpréter la proportion observée.

Aller plus loin sur ce chapitre

Les 4 problèmes de synthèse et 2 devoirs surveillés restent sur la page du chapitre : ils mobilisent plusieurs notions à la fois et s'abordent une fois ces exercices maîtrisés.

Voir les 4 problèmes de synthèse et 2 devoirs surveillés sur les variables aléatoires