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II Analyse · Chapitre 05 / 10

Fonction exponentielle

Définition, relation fonctionnelle, variations.

8 min de lecture
5 sections, 7 exemples
40 exercices · 4 problèmes

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L'essentiel en 30 secondes

La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0. Elle transforme les sommes en produits : exp(a + b) = exp(a) × exp(b), et on note exp(x) = eˣ. Strictement positive et strictement croissante sur ℝ, elle modélise les évolutions à taux de croissance constant.

1 I. Définition de la fonction exponentielle

Beaucoup de phénomènes (populations, radioactivité, intérêts composés) évoluent à un rythme proportionnel à leur valeur actuelle : plus la grandeur est grande, plus elle varie vite. Traduit avec les dérivées, cela donne une fonction égale à sa propre dérivée. C'est la propriété qui définit l'exponentielle.

2 II. Relation fonctionnelle et règles de calcul

Démonstration (exigible)
Soit xx un réel. En écrivant x=x2+x2x = \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} et en appliquant la relation fonctionnelle :

ex=ex2+x2=ex2×ex2=(ex2)2⩾0e^x = e^{\frac{x}{2} + \frac{x}{2}} = e^{\frac{x}{2}} \times e^{\frac{x}{2}} = \left(e^{\frac{x}{2}}\right)^2 \geqslant 0

De plus ex≠0e^x \neq 0 : sinon on aurait ex×e−x=e0=1e^x \times e^{-x} = e^0 = 1 avec un facteur nul, ce qui est impossible. Un carré non nul étant strictement positif, ex>0e^x > 0. □\square
Démonstration (exigible) — e−a=1eae^{-a} = \dfrac{1}{e^a}
D'après la relation fonctionnelle et e0=1e^0 = 1 :

ea×e−a=ea+(−a)=e0=1e^a \times e^{-a} = e^{a + (-a)} = e^0 = 1

Comme ea≠0e^a \neq 0, on peut diviser : e−a=1eae^{-a} = \dfrac{1}{e^a}. □\square

3 III. Dérivée et variations

4 IV. Équations et inéquations

5 V. Modéliser avec l'exponentielle

L'exponentielle décrit les évolutions à taux continu. Une fonction du type t↦A ektt \mapsto A\,e^{kt} modélise une croissance exponentielle si k>0k > 0, une décroissance si k<0k < 0.

Questions fréquentes

Quelles sont les propriétés de la fonction exponentielle ?
L'exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur R\mathbb{R}, et elle est égale à sa propre dérivée. Elle transforme les sommes en produits : ea+b=ea×ebe^{a+b} = e^a \times e^b, et vérifie e0=1e^0 = 1.
Comment résoudre une équation avec exp ?
On utilise le fait que l'exponentielle est strictement croissante, donc injective : ea=ebe^a = e^b équivaut à a=ba = b. Attention, une équation comme ex=−2e^x = -2 n'a aucune solution, puisque l'exponentielle est toujours strictement positive.
À quoi sert l'exponentielle en pratique ?
Elle modélise tous les phénomènes à croissance ou décroissance proportionnelle à la quantité présente : intérêts composés, croissance d'une population, désintégration radioactive, refroidissement d'un corps.

Définition et règles de calcul

Dérivées et variations

Équations et inéquations

Pièges à éviter

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Produit de puissances. Simplifier e3×e2e^3 \times e^2 sous la forme eke^k.
Correction détaillée
$e^3 \times e^2 = e^{3 + 2} = e^5$.
Exercice 2
Facile
Quotient de puissances. Simplifier e7e4\dfrac{e^7}{e^4} sous la forme eke^k.
Correction détaillée
$\dfrac{e^7}{e^4} = e^{7 - 4} = e^3$.
Exercice 3
Facile
Puissance d'une puissance. Simplifier (e2)3\left(e^2\right)^3 sous la forme eke^k.
Correction détaillée
$\left(e^2\right)^3 = e^{2 \times 3} = e^6$.
Exercice 4
Facile
Valeurs particulières. Donner les valeurs de e0e^0 et de e1e^1.
Correction détaillée
$e^0 = 1$ et $e^1 = e \approx 2{,}718$.
Exercice 5
Facile
Produit avec variable. Simplifier ex×e2xe^x \times e^{2x} sous la forme ek(x)e^{k(x)}.
Correction détaillée
$e^x \times e^{2x} = e^{x + 2x} = e^{3x}$.
Exercice 6
Facile
Quotient avec variable. Simplifier e5xe2x\dfrac{e^{5x}}{e^{2x}}.
Correction détaillée
$\dfrac{e^{5x}}{e^{2x}} = e^{5x - 2x} = e^{3x}$.
Exercice 7
Facile
Puissance avec variable. Simplifier (ex)4\left(e^x\right)^4.
Correction détaillée
$\left(e^x\right)^4 = e^{4x}$.
Exercice 8
Facile
Inverse. Simplifier e−x×exe^{-x} \times e^x.
Correction détaillée
$e^{-x} \times e^x = e^{-x + x} = e^0 = 1$.
Exercice 9
Facile
Dérivée de l'exponentielle. Déterminer la dérivée de f(x)=exf(x) = e^x.
Correction détaillée
$f'(x) = e^x$ : l'exponentielle est égale à sa dérivée.
Exercice 10
Facile
Coefficient constant. Déterminer la dérivée de f(x)=3exf(x) = 3e^x.
Correction détaillée
$f'(x) = 3e^x$.
Exercice 11
Facile
Somme. Déterminer la dérivée de f(x)=ex+x2f(x) = e^x + x^2.
Correction détaillée
$f'(x) = e^x + 2x$.
Exercice 12
Facile
Exposant 2x2x. Déterminer la dérivée de f(x)=e2xf(x) = e^{2x}.
Correction détaillée
$f'(x) = 2e^{2x}$ (règle $\left(e^{ax+b}\right)' = a\,e^{ax+b}$ avec $a = 2$).
Exercice 13
Facile
Exposant −x-x. Déterminer la dérivée de f(x)=e−xf(x) = e^{-x}.
Correction détaillée
$f'(x) = -e^{-x}$ (règle avec $a = -1$).
Exercice 14
Facile
Équation simple. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ex=1e^x = 1.
Correction détaillée
$e^x = 1 = e^0 \iff x = 0$. $\mathcal{S} = \{0\}$.
Exercice 15
Facile
Équation ex=e3e^x = e^3. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ex=e3e^x = e^3.
Correction détaillée
$e^x = e^3 \iff x = 3$. $\mathcal{S} = \{3\}$.
Exercice 16
Intermédiaire
Simplification. Écrire e3x×e−xex\dfrac{e^{3x} \times e^{-x}}{e^x} sous la forme ek(x)e^{k(x)}.
Correction détaillée
$\dfrac{e^{3x} \times e^{-x}}{e^x} = \dfrac{e^{3x - x}}{e^x} = \dfrac{e^{2x}}{e^x} = e^{2x - x} = e^x$.
Exercice 17
Intermédiaire
Développement. Développer ex(ex+2)e^x\left(e^x + 2\right).
Correction détaillée
$e^x\left(e^x + 2\right) = e^x \times e^x + 2e^x = e^{2x} + 2e^x$.
Exercice 18
Intermédiaire
Dérivée d'un produit. Déterminer la dérivée de f(x)=x exf(x) = x\,e^x.
Correction détaillée
Avec $u = x$ ($u' = 1$) et $v = e^x$ ($v' = e^x$) : $$f'(x) = 1 \times e^x + x \times e^x = (x + 1)e^x$$
Exercice 19
Intermédiaire
Produit avec x2x^2. Déterminer la dérivée de f(x)=x2exf(x) = x^2 e^x.
Correction détaillée
Avec $u = x^2$ ($u' = 2x$) et $v = e^x$ ($v' = e^x$) : $$f'(x) = 2x\,e^x + x^2 e^x = (x^2 + 2x)e^x$$
Exercice 20
Intermédiaire
Quotient. Déterminer la dérivée de f(x)=exxf(x) = \dfrac{e^x}{x} sur R∗\mathbb{R}^*.
Correction détaillée
Avec $u = e^x$ ($u' = e^x$) et $v = x$ ($v' = 1$) : $$f'(x) = \frac{e^x \times x - e^x \times 1}{x^2} = \frac{(x - 1)e^x}{x^2}$$
Exercice 21
Intermédiaire
Exposant affine. Déterminer la dérivée de f(x)=e3x+1f(x) = e^{3x + 1}.
Correction détaillée
$f'(x) = 3\,e^{3x + 1}$.
Exercice 22
Intermédiaire
Produit affine × exponentielle. Déterminer la dérivée de f(x)=(2x−1)exf(x) = (2x - 1)e^x.
Correction détaillée
Avec $u = 2x - 1$ ($u' = 2$) et $v = e^x$ ($v' = e^x$) : $$f'(x) = 2e^x + (2x - 1)e^x = (2x + 1)e^x$$
Exercice 23
Intermédiaire
Équation à exposants. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation e2x=ex+3e^{2x} = e^{x + 3}.
Correction détaillée
$e^{2x} = e^{x + 3} \iff 2x = x + 3 \iff x = 3$. $\mathcal{S} = \{3\}$.
Exercice 24
Intermédiaire
Équation quadratique en exposant. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ex2=e2xe^{x^2} = e^{2x}.
Correction détaillée
$e^{x^2} = e^{2x} \iff x^2 = 2x \iff x^2 - 2x = 0 \iff x(x - 2) = 0$. $\mathcal{S} = \{0\,;2\}$.
Exercice 25
Intermédiaire
Se ramener à e0e^0. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ex×e−2=1e^x \times e^{-2} = 1.
Correction détaillée
$e^x \times e^{-2} = e^{x - 2}$, donc l'équation s'écrit $e^{x - 2} = e^0$, soit $x - 2 = 0$, d'où $x = 2$.
Exercice 26
Intermédiaire
Factoriser par exe^x. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation e2x−ex=0e^{2x} - e^x = 0.
Correction détaillée
$e^{2x} - e^x = e^x(e^x - 1) = 0$. Comme $e^x > 0$, il reste $e^x = 1 = e^0$, donc $x = 0$. $\mathcal{S} = \{0\}$.
Exercice 27
Intermédiaire
Inéquation. Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation ex>1e^x > 1.
Correction détaillée
$e^x > 1 = e^0 \iff x > 0$ (l'exponentielle est strictement croissante). $\mathcal{S} = \,]0\,;+\infty[$.
Exercice 28
Intermédiaire
Tangente en 0. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f(x)=exf(x) = e^x au point d'abscisse 00.
Correction détaillée
$f(0) = 1$ et $f'(0) = e^0 = 1$ : la tangente est $y = 1 \times (x - 0) + 1 = x + 1$.
Exercice 29
Difficile
Dérivée d'un quotient d'exponentielles. Déterminer la dérivée de f(x)=ex+1ex−1f(x) = \dfrac{e^x + 1}{e^x - 1} (là où ex≠1e^x \neq 1).
Correction détaillée
Avec $u = e^x + 1$ ($u' = e^x$) et $v = e^x - 1$ ($v' = e^x$) : $$f'(x) = \frac{e^x(e^x - 1) - (e^x + 1)e^x}{(e^x - 1)^2} = \frac{e^x\big[(e^x - 1) - (e^x + 1)\big]}{(e^x - 1)^2} = \frac{-2e^x}{(e^x - 1)^2}$$
Exercice 30
Difficile
Étude d'un produit. Soit f(x)=x exf(x) = x\,e^x. Déterminer f′(x)f'(x), étudier son signe, et en déduire l'extremum de ff.
Correction détaillée
$f'(x) = (x + 1)e^x$. Comme $e^x > 0$, $f'(x)$ a le signe de $x + 1$ : négatif pour $x < -1$, positif pour $x > -1$. $f$ décroît sur $]-\infty\,;-1]$ puis croît sur $[-1\,;+\infty[$ : elle admet un **minimum** en $x = -1$, égal à $f(-1) = -e^{-1} = -\dfrac{1}{e}$.
Exercice 31
Difficile
Un autre produit. Soit f(x)=(x−1)exf(x) = (x - 1)e^x. Montrer que f′(x)=x exf'(x) = x\,e^x, puis déterminer l'extremum de ff.
Correction détaillée
Avec $u = x - 1$ ($u' = 1$) et $v = e^x$ ($v' = e^x$) : $f'(x) = e^x + (x - 1)e^x = x\,e^x$. Comme $e^x > 0$, $f'(x)$ a le signe de $x$ : $f$ décroît sur $]-\infty\,;0]$, croît sur $[0\,;+\infty[$, et admet un **minimum** $f(0) = (0 - 1)e^0 = -1$ en $x = 0$.
Exercice 32
Difficile
Équation du second degré en exe^x. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation e2x+ex−2=0e^{2x} + e^x - 2 = 0.
Correction détaillée
On pose $X = e^x$, avec $X > 0$. L'équation devient $X^2 + X - 2 = 0$, soit $(X - 1)(X + 2) = 0$ : $X = 1$ ou $X = -2$. La valeur $X = -2$ est **impossible** car $e^x > 0$. Il reste $e^x = 1 = e^0$, donc $x = 0$. $\mathcal{S} = \{0\}$.
Exercice 33
Difficile
Tangente en 1. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f(x)=exf(x) = e^x au point d'abscisse 11.
Correction détaillée
$f(1) = e$ et $f'(1) = e$ : la tangente est $y = e(x - 1) + e = ex - e + e = ex$. Elle passe donc par l'origine.
Exercice 34
Difficile
Inéquation à exposants. Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation e2x⩽ex+2e^{2x} \leqslant e^{x + 2}.
Correction détaillée
L'exponentielle étant strictement croissante : $e^{2x} \leqslant e^{x + 2} \iff 2x \leqslant x + 2 \iff x \leqslant 2$. $\mathcal{S} = \,]-\infty\,;2]$.
Exercice 35
Difficile
Modélisation — refroidissement. La température (en °C) d'un liquide est θ(t)=20+60 e−0,05t\theta(t) = 20 + 60\,e^{-0{,}05t}, où tt est le temps en minutes.
1.
Calculer la température initiale θ(0)\theta(0).
$\theta(0) = 20 + 60\,e^0 = 20 + 60 = 80$ °C.
2.
Calculer θ′(t)\theta'(t) et en déduire le sens de variation de θ\theta.
$\theta'(t) = 60 \times (-0{,}05)\,e^{-0{,}05t} = -3\,e^{-0{,}05t}$. Comme $e^{-0{,}05t} > 0$, on a $\theta'(t) < 0$ : la température est **décroissante**.
3.
Vers quelle température tend le liquide quand tt devient grand ?
Quand $t$ devient grand, $e^{-0{,}05t}$ se rapproche de $0$, donc $\theta(t)$ se rapproche de $20$ °C : la température ambiante.
Exercice 36
Avancé
Une inégalité de référence. On pose g(x)=ex−x−1g(x) = e^x - x - 1. Montrer que, pour tout réel xx, ex⩾x+1e^x \geqslant x + 1, et préciser le cas d'égalité.
Correction détaillée
$g$ est dérivable et $g'(x) = e^x - 1$. Or $e^x - 1 \geqslant 0 \iff e^x \geqslant e^0 \iff x \geqslant 0$. Ainsi $g'$ est négative sur $]-\infty\,;0]$ et positive sur $[0\,;+\infty[$ : $g$ admet un **minimum** en $0$, égal à $g(0) = e^0 - 0 - 1 = 0$. Donc $g(x) \geqslant 0$ pour tout $x$, c'est-à-dire $e^x \geqslant x + 1$, avec **égalité si et seulement si $x = 0$**.
Exercice 37
Avancé
L'exponentielle dépasse l'identité. Soit f(x)=ex−xf(x) = e^x - x. Étudier les variations de ff et en déduire que ex>xe^x > x pour tout réel xx.
Correction détaillée
$f'(x) = e^x - 1$, du signe de $x$ (car $e^x \geqslant 1 \iff x \geqslant 0$). $f$ décroît sur $]-\infty\,;0]$, croît sur $[0\,;+\infty[$ : minimum $f(0) = e^0 - 0 = 1$. Donc $f(x) \geqslant 1 > 0$ pour tout $x$, c'est-à-dire $e^x - x > 0$, soit $e^x > x$ pour tout réel $x$.
Exercice 38
Avancé
Équation à racines 00 et 11. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation e2x−(e+1)ex+e=0e^{2x} - (e + 1)e^x + e = 0.
Correction détaillée
On pose $X = e^x$ ($X > 0$) : l'équation devient $X^2 - (e + 1)X + e = 0$. On reconnaît une factorisation : $$X^2 - (e + 1)X + e = (X - 1)(X - e) = 0$$ donc $X = 1$ ou $X = e$ (toutes deux strictement positives). Ainsi $e^x = 1 = e^0$ (soit $x = 0$) ou $e^x = e = e^1$ (soit $x = 1$). $\mathcal{S} = \{0\,;1\}$.
Exercice 39
Avancé
Déterminer une fonction. On cherche une fonction de la forme f(x)=(ax+b)exf(x) = (ax + b)e^x dont la dérivée est f′(x)=(x+3)exf'(x) = (x + 3)e^x. Déterminer aa et bb.
Correction détaillée
En dérivant $f(x) = (ax + b)e^x$ (produit) : $f'(x) = a\,e^x + (ax + b)e^x = (ax + a + b)e^x$. L'égalité $f'(x) = (x + 3)e^x$ impose, en identifiant les coefficients de l'expression entre parenthèses : $a = 1$ et $a + b = 3$, d'où $b = 2$. Ainsi $f(x) = (x + 2)e^x$. *Vérification :* $f'(x) = e^x + (x + 2)e^x = (x + 3)e^x$ ✓.
Exercice 40
Avancé
Propriété géométrique de la tangente. Soit f(x)=exf(x) = e^x et aa un réel. Déterminer l'abscisse du point où la tangente à la courbe au point d'abscisse aa coupe l'axe des abscisses.
Correction détaillée
La tangente au point d'abscisse $a$ est $y = e^a(x - a) + e^a = e^a(x - a + 1)$. Elle coupe l'axe des abscisses là où $y = 0$ : $$e^a(x - a + 1) = 0 \iff x - a + 1 = 0 \quad (\text{car } e^a > 0) \iff x = a - 1$$ La tangente coupe donc l'axe des abscisses au point d'abscisse $a - 1$, quel que soit $a$.
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Premiers calculs sur l'exponentielle
Facile
Cet exercice regroupe des calculs de base sur la fonction exponentielle.

Partie A — Simplifications

1.
Écrire A=e5×e−3A = e^5 \times e^{-3} sous la forme eke^k.
$A = e^{5 - 3} = e^2$.
2.
Écrire B=(e2)3e4B = \dfrac{\left(e^2\right)^3}{e^4} sous la forme eke^k.
$B = \dfrac{e^6}{e^4} = e^{6 - 4} = e^2$.

Partie B — Dérivées et équations

3.
Déterminer la dérivée de f(x)=ex−2xf(x) = e^x - 2x.
$f'(x) = e^x - 2$.
4.
Résoudre l'équation e3x=ex+4e^{3x} = e^{x + 4}.
$3x = x + 4 \iff 2x = 4 \iff x = 2$. $\mathcal{S} = \{2\}$.
Problème 2 — Étude d'une fonction avec exponentielle
Intermédiaire
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(x−2)exf(x) = (x - 2)e^x, de courbe C\mathcal{C}.

Partie A — Dérivée et variations

1.
Montrer que f′(x)=(x−1)exf'(x) = (x - 1)e^x.
Avec $u = x - 2$ ($u' = 1$) et $v = e^x$ ($v' = e^x$) : $f'(x) = e^x + (x - 2)e^x = (x - 1)e^x$.
2.
Étudier le signe de f′(x)f'(x) et dresser le tableau de variations de ff.
Comme $e^x > 0$, $f'(x)$ a le signe de $x - 1$ : négatif pour $x < 1$, positif pour $x > 1$. $f$ décroît sur $]-\infty\,;1]$ puis croît sur $[1\,;+\infty[$, avec un minimum $f(1) = (1 - 2)e^1 = -e$ en $x = 1$.

Partie B — Tangente

3.
Déterminer une équation de la tangente à C\mathcal{C} au point d'abscisse 00.
$f(0) = (0 - 2)e^0 = -2$ et $f'(0) = (0 - 1)e^0 = -1$ : la tangente est $y = -1(x - 0) - 2 = -x - 2$.
Problème 3 — Désintégration radioactive
Difficile
La masse (en grammes) d'un échantillon radioactif au bout de tt années est modélisée par m(t)=8 e−0,1tm(t) = 8\,e^{-0{,}1t}.

Partie A — Lecture du modèle

1.
Déterminer la masse initiale de l'échantillon.
$m(0) = 8\,e^0 = 8$ g.
2.
Calculer m′(t)m'(t) et justifier que la masse est décroissante.
$m'(t) = 8 \times (-0{,}1)e^{-0{,}1t} = -0{,}8\,e^{-0{,}1t}$. Comme $e^{-0{,}1t} > 0$, $m'(t) < 0$ : la masse décroît.

Partie B — Comparaison de masses

3.
Montrer que la masse à l'instant t+10t + 10 vaut m(t+10)=m(t)×e−1m(t + 10) = m(t) \times e^{-1}.
$m(t + 10) = 8\,e^{-0{,}1(t + 10)} = 8\,e^{-0{,}1t - 1} = 8\,e^{-0{,}1t} \times e^{-1} = m(t) \times e^{-1}$.
4.
Interpréter : par quel facteur la masse est-elle multipliée toutes les 1010 années ? (Donner une valeur approchée.)
Toutes les $10$ années, la masse est multipliée par $e^{-1} = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}368$ : elle perd environ $63\%$ de sa valeur sur chaque période de $10$ ans.
Problème 4 — Une inégalité et ses conséquences
Avancé
On considère la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=ex−x−1g(x) = e^x - x - 1.

Partie A — Signe de gg

1.
Calculer g′(x)g'(x) et étudier son signe.
$g'(x) = e^x - 1$, qui est négatif pour $x < 0$ et positif pour $x > 0$ (car $e^x \geqslant 1 \iff x \geqslant 0$).
2.
Dresser le tableau de variations de gg et en déduire que g(x)⩾0g(x) \geqslant 0 pour tout réel xx.
$g$ décroît sur $]-\infty\,;0]$ puis croît sur $[0\,;+\infty[$ : elle a pour minimum $g(0) = e^0 - 0 - 1 = 0$. Donc $g(x) \geqslant 0$ pour tout $x$.

Partie B — Applications

3.
En déduire que la courbe de l'exponentielle est toujours située au-dessus de sa tangente en 00.
L'inégalité $g(x) \geqslant 0$ s'écrit $e^x \geqslant x + 1$. Or $y = x + 1$ est justement l'équation de la tangente à la courbe de $e^x$ en $0$ (exercice de cours). La courbe est donc toujours au-dessus de cette tangente.
4.
Montrer que pour tout réel xx, ex⩾1+x+x22e^x \geqslant 1 + x + \dfrac{x^2}{2} n'est pas demandé : vérifier plus simplement que e0,5⩾1,5e^{0{,}5} \geqslant 1{,}5 à l'aide de la question 2.
En appliquant $e^x \geqslant x + 1$ à $x = 0{,}5$ : $e^{0{,}5} \geqslant 0{,}5 + 1 = 1{,}5$. (Numériquement, $e^{0{,}5} \approx 1{,}649$, ce qui confirme l'inégalité.)