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II Analyse · Chapitre 06 / 10

Trigonométrie

Cercle trigonométrique, radians, cosinus et sinus.

8 min de lecture
5 sections, 5 exemples
40 exercices · 4 problèmes

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L'essentiel en 30 secondes

Sur le cercle trigonométrique (rayon 1), chaque réel x s'enroule en un point du cercle : cos x et sin x en sont l'abscisse et l'ordonnée, d'où cos²x + sin²x = 1. Le radian mesure l'angle par la longueur d'arc : 180° = π rad. Les valeurs remarquables (π/6, π/4, π/3, π/2) et les angles associés (−x, π − x, π + x) permettent de résoudre les équations trigonométriques.

1 I. Le cercle trigonométrique et le radian

La trigonométrie du collège mesurait les angles en degrés, dans les triangles rectangles. En Première, on change de point de vue : on mesure les angles avec une unité mieux adaptée au calcul, le radian, et l'on définit cosinus et sinus pour tout nombre réel à l'aide d'un cercle.

Degrés0°0°30°30°45°45°60°60°90°90°180°180°360°360°
Radians00π6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}π\pi2π2\pi

2 II. Cosinus et sinus d'un réel

Démonstration de cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1
Le point M(cos⁡x ;sin⁡x)M(\cos x\,;\sin x) appartient au cercle de centre OO et de rayon 11. Donc OM=1OM = 1, soit OM2=1OM^2 = 1. Or OM2=cos⁡2x+sin⁡2xOM^2 = \cos^2 x + \sin^2 x (distance au carré depuis l'origine). D'où cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1. □\square
xx00π6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}
cos⁡x\cos x1132\dfrac{\sqrt{3}}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}12\dfrac{1}{2}00
sin⁡x\sin x0012\dfrac{1}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}32\dfrac{\sqrt{3}}{2}11

3 III. Périodicité et parité

4 IV. Angles associés

Les symétries du cercle trigonométrique relient les valeurs de cos⁡\cos et sin⁡\sin en des réels associés à xx. On les retrouve à partir des positions des points images.

Réelcos⁡\cossin⁡\sinSymétrie de MM
−x-xcos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin xaxe des abscisses
π−x\pi - x−cos⁡x-\cos xsin⁡x\sin xaxe des ordonnées
π+x\pi + x−cos⁡x-\cos x−sin⁡x-\sin xcentre OO
π2−x\dfrac{\pi}{2} - xsin⁡x\sin xcos⁡x\cos xpremière bissectrice

5 V. Équations trigonométriques

Questions fréquentes

Comment utiliser le cercle trigonométrique ?
À chaque réel xx on associe un point du cercle de rayon 11 ; son abscisse est cos⁡x\cos x et son ordonnée sin⁡x\sin x. Le cercle rend immédiates les valeurs remarquables et les relations de symétrie, sans rien apprendre par cœur.
Quelles sont les valeurs remarquables de cosinus et sinus ?
Il faut connaître cos⁡0=1\cos 0 = 1, cos⁡π6=32\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡π4=22\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡π3=12\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} et cos⁡π2=0\cos\dfrac{\pi}{2} = 0. Les sinus se lisent dans l'ordre inverse, puisque sin⁡x=cos⁡(π2−x)\sin x = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right).
Qu'est-ce que le radian ?
C'est l'unité d'angle naturelle : un angle d'un radian intercepte sur le cercle de rayon 11 un arc de longueur 11. La conversion se fait par proportionnalité : 180°180° correspond à π\pi radians.

Radian et valeurs remarquables

xx00π6\frac{\pi}{6}π4\frac{\pi}{4}π3\frac{\pi}{3}π2\frac{\pi}{2}
cos⁡x\cos x1132\frac{\sqrt{3}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}12\frac{1}{2}00
sin⁡x\sin x0012\frac{1}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}32\frac{\sqrt{3}}{2}11

Propriétés et angles associés

Équations

Pièges à éviter

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Degrés vers radians (1). Convertir 60°60° en radians.
Correction détaillée
$x = \dfrac{60 \pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}$.
Exercice 2
Facile
Degrés vers radians (2). Convertir 45°45° en radians.
Correction détaillée
$x = \dfrac{45 \pi}{180} = \dfrac{\pi}{4}$.
Exercice 3
Facile
Radians vers degrés. Convertir π6\dfrac{\pi}{6} en degrés.
Correction détaillée
$\alpha = \dfrac{\frac{\pi}{6} \times 180}{\pi} = \dfrac{180}{6} = 30°$.
Exercice 4
Facile
Deux conversions. Convertir 90°90° et 180°180° en radians.
Correction détaillée
$90° = \dfrac{90\pi}{180} = \dfrac{\pi}{2}$ et $180° = \dfrac{180\pi}{180} = \pi$.
Exercice 5
Facile
Valeurs remarquables (1). Donner cos⁡π3\cos\dfrac{\pi}{3} et sin⁡π3\sin\dfrac{\pi}{3}.
Correction détaillée
$\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Exercice 6
Facile
Valeurs remarquables (2). Donner cos⁡π4\cos\dfrac{\pi}{4} et sin⁡π4\sin\dfrac{\pi}{4}.
Correction détaillée
$\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Exercice 7
Facile
Valeurs remarquables (3). Donner cos⁡π2\cos\dfrac{\pi}{2} et sin⁡π2\sin\dfrac{\pi}{2}.
Correction détaillée
$\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$ et $\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$.
Exercice 8
Facile
Valeurs en 0. Donner cos⁡0\cos 0 et sin⁡0\sin 0.
Correction détaillée
$\cos 0 = 1$ et $\sin 0 = 0$.
Exercice 9
Facile
Relation fondamentale. Sachant que cos⁡x=35\cos x = \dfrac{3}{5} avec x∈[0 ;π2]x \in \left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right], calculer sin⁡x\sin x.
Correction détaillée
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$. Comme $x \in \left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]$, $\sin x \geqslant 0$, donc $\sin x = \dfrac{4}{5}$.
Exercice 10
Facile
Parité (1). Calculer cos⁡(−π3)\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right).
Correction détaillée
Le cosinus est pair : $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$.
Exercice 11
Facile
Parité (2). Calculer sin⁡(−π6)\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right).
Correction détaillée
Le sinus est impair : $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$.
Exercice 12
Facile
Angle associé (1). Calculer cos⁡(π−π3)\cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right).
Correction détaillée
$\cos(\pi - x) = -\cos x$, donc $\cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$.
Exercice 13
Facile
Angle associé (2). Calculer sin⁡(π−π6)\sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right).
Correction détaillée
$\sin(\pi - x) = \sin x$, donc $\sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$.
Exercice 14
Facile
Périodicité. Calculer cos⁡(π3+2π)\cos\left(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi\right).
Correction détaillée
Par périodicité de période $2\pi$ : $\cos\left(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$.
Exercice 15
Facile
Équation très simple. Résoudre cos⁡x=1\cos x = 1 sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[.
Correction détaillée
Sur le cercle, seul le point $I(1\,;0)$ a pour abscisse $1$ : $\cos x = 1 \iff x = 0 + 2k\pi$. Dans $[0\,;2\pi[$, $\mathcal{S} = \{0\}$.
Exercice 16
Intermédiaire
Conversions. Convertir 135°135° puis 210°210° en radians.
Correction détaillée
$135° = \dfrac{135\pi}{180} = \dfrac{3\pi}{4}$ et $210° = \dfrac{210\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{6}$.
Exercice 17
Intermédiaire
Relation fondamentale (bis). Sachant que sin⁡x=35\sin x = \dfrac{3}{5} avec x∈[0 ;π2]x \in \left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right], calculer cos⁡x\cos x.
Correction détaillée
$\cos^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$. Comme $x \in \left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]$, $\cos x \geqslant 0$, donc $\cos x = \dfrac{4}{5}$.
Exercice 18
Intermédiaire
Angle π+x\pi + x. Calculer cos⁡5π4\cos\dfrac{5\pi}{4} et sin⁡5π4\sin\dfrac{5\pi}{4} en écrivant 5π4=π+π4\dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4}.
Correction détaillée
$\cos(\pi + x) = -\cos x$ et $\sin(\pi + x) = -\sin x$, avec $x = \dfrac{\pi}{4}$ : $$\cos\dfrac{5\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \sin\dfrac{5\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
Exercice 19
Intermédiaire
Complémentaire. Vérifier sur x=π6x = \dfrac{\pi}{6} l'égalité cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x.
Correction détaillée
$\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}$, donc $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$. Or $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ : l'égalité est vérifiée.
Exercice 20
Intermédiaire
Simplification (1). Simplifier A=cos⁡(π−x)+cos⁡xA = \cos(\pi - x) + \cos x.
Correction détaillée
$\cos(\pi - x) = -\cos x$, donc $A = -\cos x + \cos x = 0$.
Exercice 21
Intermédiaire
Simplification (2). Simplifier B=sin⁡(π−x)−sin⁡xB = \sin(\pi - x) - \sin x.
Correction détaillée
$\sin(\pi - x) = \sin x$, donc $B = \sin x - \sin x = 0$.
Exercice 22
Intermédiaire
Valeur de 2π3\dfrac{2\pi}{3}. Calculer cos⁡2π3\cos\dfrac{2\pi}{3} et sin⁡2π3\sin\dfrac{2\pi}{3}.
Correction détaillée
$\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}$, donc $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ et $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Exercice 23
Intermédiaire
Valeur de 5π6\dfrac{5\pi}{6}. Calculer cos⁡5π6\cos\dfrac{5\pi}{6} et sin⁡5π6\sin\dfrac{5\pi}{6}.
Correction détaillée
$\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$, donc $\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$.
Exercice 24
Intermédiaire
Équation cosinus. Résoudre cos⁡x=12\cos x = \dfrac{1}{2} sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[.
Correction détaillée
$\dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3}$, donc $x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$. Dans $[0\,;2\pi[$ : $\mathcal{S} = \left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{5\pi}{3}\right\}$.
Exercice 25
Intermédiaire
Équation sinus. Résoudre sin⁡x=12\sin x = \dfrac{1}{2} sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[.
Correction détaillée
$\dfrac{1}{2} = \sin\dfrac{\pi}{6}$, donc $x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $x = \pi - \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$. Dans $[0\,;2\pi[$ : $\mathcal{S} = \left\{\dfrac{\pi}{6}\,;\dfrac{5\pi}{6}\right\}$.
Exercice 26
Intermédiaire
Équation cosinus négatif. Résoudre cos⁡x=−22\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[.
Correction détaillée
$-\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \cos\dfrac{3\pi}{4}$, donc $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$ ou $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$. Dans $[0\,;2\pi[$ : $\mathcal{S} = \left\{\dfrac{3\pi}{4}\,;\dfrac{5\pi}{4}\right\}$.
Exercice 27
Intermédiaire
Simplification (3). Simplifier C=cos⁡(−x)+cos⁡(π−x)+cos⁡(π+x)C = \cos(-x) + \cos(\pi - x) + \cos(\pi + x).
Correction détaillée
$\cos(-x) = \cos x$, $\cos(\pi - x) = -\cos x$, $\cos(\pi + x) = -\cos x$. Donc $C = \cos x - \cos x - \cos x = -\cos x$.
Exercice 28
Intermédiaire
Signe selon le quadrant. Sachant que cos⁡x=−12\cos x = -\dfrac{1}{2} avec x∈[π2 ;π]x \in \left[\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right], calculer sin⁡x\sin x.
Correction détaillée
$\sin^2 x = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$. Sur $\left[\frac{\pi}{2}\,;\pi\right]$ (demi-plan supérieur), $\sin x \geqslant 0$, donc $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Exercice 29
Difficile
Équation sinus négatif. Résoudre sin⁡x=−32\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[.
Correction détaillée
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$, donc $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = \pi + \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi = \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi$. Dans $[0\,;2\pi[$ : $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3}$ et $x = \dfrac{4\pi}{3}$. $\mathcal{S} = \left\{\dfrac{4\pi}{3}\,;\dfrac{5\pi}{3}\right\}$.
Exercice 30
Difficile
Équation à mettre en forme. Résoudre 2cos⁡x−1=02\cos x - 1 = 0 sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[.
Correction détaillée
$2\cos x - 1 = 0 \iff \cos x = \dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3}$. D'où $\mathcal{S} = \left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{5\pi}{3}\right\}$.
Exercice 31
Difficile
Équation avec 2x2x. Résoudre cos⁡(2x)=12\cos(2x) = \dfrac{1}{2} sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[.
Correction détaillée
$\cos(2x) = \cos\dfrac{\pi}{3}$ donne $2x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $2x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$, soit $x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{6} + k\pi$. Dans $[0\,;2\pi[$ : $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{7\pi}{6}$ (première famille) et $\dfrac{5\pi}{6}$, $\dfrac{11\pi}{6}$ (seconde). $\mathcal{S} = \left\{\dfrac{\pi}{6}\,;\dfrac{5\pi}{6}\,;\dfrac{7\pi}{6}\,;\dfrac{11\pi}{6}\right\}$.
Exercice 32
Difficile
Simplification (4). Simplifier D=sin⁡(π2−x)+cos⁡(π−x)D = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) + \cos(\pi - x).
Correction détaillée
$\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$ et $\cos(\pi - x) = -\cos x$. Donc $D = \cos x - \cos x = 0$.
Exercice 33
Difficile
Solution générale (cosinus). Donner toutes les solutions réelles de cos⁡x=cos⁡π5\cos x = \cos\dfrac{\pi}{5}.
Correction détaillée
D'après le théorème : $x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{5} + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$.
Exercice 34
Difficile
Solution générale (sinus). Donner toutes les solutions réelles de sin⁡x=sin⁡π7\sin x = \sin\dfrac{\pi}{7}.
Correction détaillée
D'après le théorème : $x = \dfrac{\pi}{7} + 2k\pi$ ou $x = \pi - \dfrac{\pi}{7} + 2k\pi = \dfrac{6\pi}{7} + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$.
Exercice 35
Difficile
Quadrant inférieur. Sachant que cos⁡x=13\cos x = \dfrac{1}{3} avec x∈]−π2 ;0[x \in \left]-\dfrac{\pi}{2}\,;0\right[, calculer sin⁡x\sin x.
Correction détaillée
$\sin^2 x = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$. Sur $\left]-\frac{\pi}{2}\,;0\right[$ (demi-plan inférieur), $\sin x < 0$, donc $\sin x = -\dfrac{\sqrt{8}}{3} = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
Exercice 36
Avancé
Équation avec sin⁡2\sin^2. Résoudre 2sin⁡2x−1=02\sin^2 x - 1 = 0 sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[.
Correction détaillée
$2\sin^2 x - 1 = 0 \iff \sin^2 x = \dfrac{1}{2} \iff \sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ou $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. - $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : $x = \dfrac{\pi}{4}$ ou $\dfrac{3\pi}{4}$. - $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : $x = \dfrac{5\pi}{4}$ ou $\dfrac{7\pi}{4}$. $\mathcal{S} = \left\{\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{3\pi}{4}\,;\dfrac{5\pi}{4}\,;\dfrac{7\pi}{4}\right\}$.
Exercice 37
Avancé
Second degré en cos⁡x\cos x. Résoudre 2cos⁡2x+cos⁡x−1=02\cos^2 x + \cos x - 1 = 0 sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[.
Correction détaillée
On pose $X = \cos x$ : $2X^2 + X - 1 = 0$, soit $(2X - 1)(X + 1) = 0$, donc $X = \dfrac{1}{2}$ ou $X = -1$. - $\cos x = \dfrac{1}{2}$ : $x = \dfrac{\pi}{3}$ ou $\dfrac{5\pi}{3}$. - $\cos x = -1$ : $x = \pi$. $\mathcal{S} = \left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\pi\,;\dfrac{5\pi}{3}\right\}$.
Exercice 38
Avancé
Une identité. Montrer que, pour tout réel xx, (cos⁡x+sin⁡x)2=1+2sin⁡xcos⁡x(\cos x + \sin x)^2 = 1 + 2\sin x \cos x.
Correction détaillée
On développe le carré : $$(\cos x + \sin x)^2 = \cos^2 x + 2\sin x\cos x + \sin^2 x = (\cos^2 x + \sin^2 x) + 2\sin x\cos x = 1 + 2\sin x\cos x$$ en utilisant $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
Exercice 39
Avancé
Identité avec angle associé. Montrer que, pour tout réel xx, cos⁡2(π2−x)+cos⁡2x=1\cos^2\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) + \cos^2 x = 1.
Correction détaillée
Comme $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$, on a $\cos^2\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin^2 x$. Donc : $$\cos^2\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) + \cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x = 1$$
Exercice 40
Avancé
Équation sin⁡x=cos⁡x\sin x = \cos x. Résoudre sin⁡x=cos⁡x\sin x = \cos x sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[.
Correction détaillée
On écrit $\cos x = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$. L'équation devient $\sin x = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$, d'où : $$x = \dfrac{\pi}{2} - x + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) + 2k\pi$$ La première donne $2x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$, soit $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$. La seconde donne $0 = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$, impossible. Dans $[0\,;2\pi[$ : $\mathcal{S} = \left\{\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{5\pi}{4}\right\}$.
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Conversions et valeurs remarquables
Facile
Cet exercice fait le tour des automatismes de base de la trigonométrie.

Partie A — Conversions

1.
Convertir 30°30°, 120°120° et 225°225° en radians.
$30° = \dfrac{\pi}{6}$ ; $120° = \dfrac{120\pi}{180} = \dfrac{2\pi}{3}$ ; $225° = \dfrac{225\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{4}$.
2.
Convertir 3π4\dfrac{3\pi}{4} en degrés.
$\dfrac{\frac{3\pi}{4} \times 180}{\pi} = \dfrac{3 \times 180}{4} = 135°$.

Partie B — Valeurs

3.
Donner cos⁡π6\cos\dfrac{\pi}{6}, sin⁡π6\sin\dfrac{\pi}{6}, cos⁡π4\cos\dfrac{\pi}{4} et sin⁡π2\sin\dfrac{\pi}{2}.
$\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$, $\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$.
Problème 2 — Utiliser la relation fondamentale
Intermédiaire
Soit xx un réel de l'intervalle [0 ;π2]\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right] tel que cos⁡x=513\cos x = \dfrac{5}{13}.

Partie A — Sinus

1.
Calculer sin⁡x\sin x.
$\sin^2 x = 1 - \left(\dfrac{5}{13}\right)^2 = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}$. Comme $x \in \left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]$, $\sin x \geqslant 0$, donc $\sin x = \dfrac{12}{13}$.

Partie B — Angles associés

2.
En déduire cos⁡(π−x)\cos(\pi - x) et sin⁡(π−x)\sin(\pi - x).
$\cos(\pi - x) = -\cos x = -\dfrac{5}{13}$ et $\sin(\pi - x) = \sin x = \dfrac{12}{13}$.
3.
En déduire cos⁡(−x)\cos(-x) et sin⁡(−x)\sin(-x).
$\cos(-x) = \cos x = \dfrac{5}{13}$ et $\sin(-x) = -\sin x = -\dfrac{12}{13}$.
Problème 3 — Résolution d'équations trigonométriques
Difficile
Résoudre chacune des équations suivantes sur l'intervalle [0 ;2π[[0\,;2\pi[.

Partie A — Équations directes

1.
cos⁡x=32\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
$\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos\dfrac{\pi}{6}$, donc $x = \dfrac{\pi}{6}$ ou $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{11\pi}{6}$. $\mathcal{S} = \left\{\dfrac{\pi}{6}\,;\dfrac{11\pi}{6}\right\}$.
2.
sin⁡x=−12\sin x = -\dfrac{1}{2}.
$-\dfrac{1}{2} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$, donc $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{11\pi}{6}$ ou $x = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6}$. $\mathcal{S} = \left\{\dfrac{7\pi}{6}\,;\dfrac{11\pi}{6}\right\}$.

Partie B — Équation à mettre en forme

3.
2cos⁡x+2=02\cos x + \sqrt{2} = 0.
$2\cos x + \sqrt{2} = 0 \iff \cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \cos\dfrac{3\pi}{4}$. Donc $x = \dfrac{3\pi}{4}$ ou $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{4}$. $\mathcal{S} = \left\{\dfrac{3\pi}{4}\,;\dfrac{5\pi}{4}\right\}$.
Problème 4 — Identité et équation du second degré
Avancé
On travaille avec la relation cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 valable pour tout réel xx.

Partie A — Une identité

1.
Montrer que (cos⁡x+sin⁡x)2=1+2sin⁡xcos⁡x(\cos x + \sin x)^2 = 1 + 2\sin x \cos x.
$(\cos x + \sin x)^2 = \cos^2 x + 2\sin x\cos x + \sin^2 x = 1 + 2\sin x\cos x$.
2.
En déduire la valeur de (cos⁡x+sin⁡x)2(\cos x + \sin x)^2 lorsque sin⁡xcos⁡x=38\sin x \cos x = \dfrac{3}{8}.
$(\cos x + \sin x)^2 = 1 + 2 \times \dfrac{3}{8} = 1 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{7}{4}$.

Partie B — Équation

3.
Résoudre 2cos⁡2x−3cos⁡x+1=02\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0 sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[.
On pose $X = \cos x$ : $2X^2 - 3X + 1 = 0$, soit $(2X - 1)(X - 1) = 0$, donc $X = \dfrac{1}{2}$ ou $X = 1$. - $\cos x = \dfrac{1}{2}$ : $x = \dfrac{\pi}{3}$ ou $\dfrac{5\pi}{3}$. - $\cos x = 1$ : $x = 0$. $\mathcal{S} = \left\{0\,;\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{5\pi}{3}\right\}$.