Aller au contenu
🇫🇷 France 🇲🇦 Maroc

Chapitre 07 Produit scalaire Première Spé

Exercices corrigés sur le produit scalaire en Première spécialité

Pour calculer un produit scalaire en Première spécialité, tu peux utiliser les coordonnées, les normes et l’angle, ou un projeté orthogonal. Ces exercices t’entraînent à choisir l’expression adaptée aux données. Les premières applications portent sur les normes, la recherche d’une coordonnée et la vérification de l’orthogonalité de deux vecteurs dans un repère orthonormé.

La suite de la banque fait calculer des angles et des longueurs dans des triangles avec la formule d’Al-Kashi. Tu développes aussi des produits scalaires avec la bilinéarité, puis tu étudies des identités et des ensembles de points. Trace les vecteurs avec leur orientation avant de remplacer les grandeurs par des nombres : une projection ou un angle mal lu change le signe du résultat. Compare ensuite ta méthode à celle de la correction.

50 exercices : 18 faciles, 16 intermédiaires, 9 difficiles, 7 avancés. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.

Conforme au programme officiel 2026-2027 · notre méthode de vérification

Cours et fiche de révision sur le produit scalaire

Les 50 exercices, du plus simple au plus complet

50 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 1

Non commencéFacile
Produit scalaire (coordonnées). Calculer u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v} pour u→(3 ;2)\vec{u}(3\,;2) et v→(1 ;4)\vec{v}(1\,;4).

Exercice 2

Non commencéFacile
Produit scalaire (bis). Calculer u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v} pour u→(2 ;−1)\vec{u}(2\,;-1) et v→(5 ;3)\vec{v}(5\,;3).

Exercice 3

Non commencéFacile
Norme (1). Calculer ∥u→∥\|\vec{u}\| pour u→(3 ;4)\vec{u}(3\,;4).

Exercice 4

Non commencéFacile
Norme (2). Calculer ∥u→∥\|\vec{u}\| pour u→(−6 ;8)\vec{u}(-6\,;8).

Exercice 5

Non commencéFacile
Carré scalaire. Pour u→(2 ;3)\vec{u}(2\,;3), calculer u→⋅u→\vec{u}\cdot\vec{u} et vérifier que c'est ∥u→∥2\|\vec{u}\|^2.

Exercice 6

Non commencéFacile
Orthogonalité (1). Les vecteurs u→(1 ;2)\vec{u}(1\,;2) et v→(4 ;−2)\vec{v}(4\,;-2) sont-ils orthogonaux ?

Exercice 7

Non commencéFacile
Orthogonalité (2). Les vecteurs u→(3 ;1)\vec{u}(3\,;1) et v→(2 ;−6)\vec{v}(2\,;-6) sont-ils orthogonaux ?

Exercice 8

Non commencéFacile
10 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : projection orthogonale · produit scalaire et longueur projetée

Objectifs : utiliser une projection orthogonale pour calculer un produit scalaire · repérer le signe d’une longueur projetée · interpréter géométriquement un produit scalaire

Calculer avec un projeté orthogonal. Soient trois points AA, BB et CC tels que AB=5AB=5. Le point HH est le projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB).

1. On suppose que HH appartient au segment [AB][AB] et que AH=3AH=3. Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.
2. On suppose maintenant que HH appartient à la demi-droite d’origine AA opposée à celle qui contient BB, avec AH=3AH=3. Sans refaire tout le calcul, donner la nouvelle valeur du produit scalaire.
3. Expliquer dans chaque cas le signe obtenu.

Exercice 9

Non commencéFacile
Trouver une coordonnée. Déterminer le réel aa pour que u→(a ;3)\vec{u}(a\,;3) et v→(2 ;−4)\vec{v}(2\,;-4) soient orthogonaux.

Exercice 10

Non commencéFacile
Produit scalaire par l'angle. Calculer u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v} sachant que ∥u→∥=3\|\vec{u}\| = 3, ∥v→∥=4\|\vec{v}\| = 4 et l'angle vaut 60°60°.

Exercice 11

Non commencéFacile
Vecteurs colinéaires (même sens). Calculer u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v} si ∥u→∥=2\|\vec{u}\| = 2, ∥v→∥=5\|\vec{v}\| = 5 et l'angle vaut 0°0°.

Exercice 12

Non commencéFacile
Vecteurs orthogonaux (angle). Que vaut u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v} si l'angle entre u→\vec{u} et v→\vec{v} est de 90°90° ?

Exercice 13

Non commencéFacile
10 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : base orthonormée · produit scalaire

Objectifs : retrouver les coordonnées d’un vecteur par produits scalaires · calculer une norme dans une base orthonormée · recomposer un vecteur sur une base

Coordonnées par produits scalaires. Dans le plan muni d’une base orthonormée (i→,j→)(\vec i,\vec j), un vecteur u→\vec u vérifie

u→⋅i→=−3etu→⋅j→=4.\vec u\cdot\vec i=-3 \qquad\text{et}\qquad \vec u\cdot\vec j=4.

1. Déterminer les coordonnées de u→\vec u dans la base (i→,j→)(\vec i,\vec j).
2. Écrire u→\vec u comme combinaison linéaire de i→\vec i et j→\vec j.
3. Calculer ∥u→∥\|\vec u\|.
4. Vérifier le résultat en calculant u→⋅u→\vec u\cdot\vec u.

Exercice 14

Non commencéFacile
Norme (3). Calculer ∥u→∥\|\vec{u}\| pour u→(1 ;1)\vec{u}(1\,;1).

Exercice 15

Non commencéFacile
Produit scalaire négatif. Calculer u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v} pour u→(−2 ;3)\vec{u}(-2\,;3) et v→(4 ;1)\vec{v}(4\,;1).

Exercice 16

Non commencéIntermédiaire
Vecteur défini par deux points. Soit A(1 ;2)A(1\,;2) et B(4 ;6)B(4\,;6). Déterminer les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} puis sa norme ∥AB→∥=AB\|\overrightarrow{AB}\| = AB.

Exercice 17

Non commencéIntermédiaire
Produit scalaire à partir de points. Soit A(1 ;1)A(1\,;1), B(5 ;4)B(5\,;4), C(2 ;5)C(2\,;5). Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.

Exercice 18

Non commencéIntermédiaire
Angle remarquable (1). Déterminer l'angle θ\theta entre u→(1 ;0)\vec{u}(1\,;0) et v→(1 ;1)\vec{v}(1\,;1).

Exercice 19

Non commencéIntermédiaire
Cosinus d'un angle. Calculer cos⁡θ\cos\theta où θ\theta est l'angle entre u→(3 ;4)\vec{u}(3\,;4) et v→(4 ;3)\vec{v}(4\,;3).

Exercice 20

Non commencéIntermédiaire
Paramètre et orthogonalité. Déterminer kk pour que u→(2 ;k)\vec{u}(2\,;k) et v→(3 ;−1)\vec{v}(3\,;-1) soient orthogonaux.

Exercice 21

Non commencéIntermédiaire
Bilinéarité. Soit u→(1 ;2)\vec{u}(1\,;2) et v→(3 ;−1)\vec{v}(3\,;-1). Calculer (2u→)⋅v→(2\vec{u})\cdot\vec{v} de deux façons.

Exercice 22

Non commencéIntermédiaire
16 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : différentes expressions du produit scalaire · norme d’un vecteur · projection orthogonale

Objectifs : choisir une expression adaptée du produit scalaire · justifier une méthode de calcul · reconnaître l’orthogonalité

Choisir la bonne méthode. Dans chacune des situations indépendantes suivantes, calculer u→⋅v→\vec u\cdot\vec v. Avant le calcul, indiquer la formule la plus efficace et justifier ce choix.

1. Dans une base orthonormée, u→=(2;−1)\vec u=(2;-1) et v→=(3;4)\vec v=(3;4).
2. On connaît ∥u→∥=3\|\vec u\|=3, ∥v→∥=2\|\vec v\|=2 et l’angle entre les deux vecteurs vaut 60∘60^\circ.
3. On connaît ∥u→∥=5\|\vec u\|=5 et la longueur algébrique de la projection de v→\vec v sur la direction de u→\vec u vaut −2-2.
4. On connaît ∥u→∥=4\|\vec u\|=4, ∥v→∥=3\|\vec v\|=3 et ∥u→−v→∥=5\|\vec u-\vec v\|=5.

Exercice 23

Non commencéIntermédiaire
Al-Kashi (longueur). Dans un triangle, b=5b = 5, c=8c = 8 et A^=60°\widehat{A} = 60°. Calculer aa.

Exercice 24

Non commencéIntermédiaire
15 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : relations de Chasles · bilinéarité du produit scalaire · côtés perpendiculaires d’un carré

Objectifs : calculer dans une configuration sans coordonnées · décomposer des vecteurs · prouver une orthogonalité par produit scalaire

Un carré sans repère. Soit ABCDABCD un carré de côté a>0a>0. On pose

u→=AB→etv→=AD→.\vec u=\overrightarrow{AB} \qquad\text{et}\qquad \vec v=\overrightarrow{AD}.

Sans introduire de coordonnées :

1. Exprimer AC→\overrightarrow{AC} et BD→\overrightarrow{BD} à l’aide de u→\vec u et v→\vec v.
2. Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.
3. Calculer AC→⋅BD→\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}.
4. Que retrouve-t-on géométriquement à propos des diagonales du carré ?

Exercice 25

Non commencéIntermédiaire
Vecteurs orthogonaux à démontrer. Montrer que u→(2 ;4)\vec{u}(2\,;4) et v→(−6 ;3)\vec{v}(-6\,;3) sont orthogonaux.

Exercice 26

Non commencéIntermédiaire
Longueur d'un segment. Soit A(−1 ;2)A(-1\,;2) et B(2 ;−2)B(2\,;-2). Calculer ABAB.

Exercice 27

Non commencéIntermédiaire
Angle remarquable (2). Déterminer l'angle θ\theta entre u→(1 ;3)\vec{u}(1\,;\sqrt{3}) et v→(3 ;1)\vec{v}(\sqrt{3}\,;1).

Exercice 28

Non commencéIntermédiaire
Angle à partir des données. Sachant que ∥u→∥=4\|\vec{u}\| = 4, ∥v→∥=3\|\vec{v}\| = 3 et u→⋅v→=6\vec{u}\cdot\vec{v} = 6, déterminer l'angle θ\theta entre u→\vec{u} et v→\vec{v}.

Exercice 29

Non commencéDifficile
Angle d'un triangle. Soit A(0 ;0)A(0\,;0), B(4 ;0)B(4\,;0), C(1 ;3)C(1\,;3). Calculer cos⁡A^\cos\widehat{A} (angle en AA).

Exercice 30

Non commencéDifficile
Al-Kashi (angle). Un triangle a pour côtés a=7a = 7, b=5b = 5, c=8c = 8. Calculer cos⁡A^\cos\widehat{A}, où A^\widehat{A} est l'angle opposé au côté aa.

Exercice 31

Non commencéDifficile
Point orthogonal. Soit A(1 ;2)A(1\,;2), B(4 ;3)B(4\,;3) et C(x ;0)C(x\,;0). Déterminer xx pour que le triangle ABCABC soit rectangle en AA.

Exercice 32

Non commencéDifficile
Triangle rectangle et aire. Soit A(0 ;0)A(0\,;0), B(2 ;1)B(2\,;1), C(1 ;−2)C(1\,;-2). Montrer que ABCABC est rectangle en AA, puis calculer son aire.

Exercice 33

Non commencéDifficile
Angle exact. Déterminer l'angle θ\theta entre u→(2 ;1)\vec{u}(2\,;1) et v→(1 ;3)\vec{v}(1\,;3).

Exercice 34

Non commencéDifficile
18 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : produit scalaire avec un angle · norme au carré d’une différence de vecteurs · relations vectorielles dans un triangle

Objectifs : démontrer la formule d’Al-Kashi · traduire les côtés d’un triangle par des vecteurs · retrouver Pythagore comme cas particulier

Démontrer la formule d’Al-Kashi. Dans un triangle ABCABC, on adopte les notations usuelles

a=BC,b=CA,c=AB,a=BC,\qquad b=CA,\qquad c=AB,

et on note A^=BAC^\widehat A=\widehat{BAC}.

1. Écrire BC→\overrightarrow{BC} à l’aide de AC→\overrightarrow{AC} et AB→\overrightarrow{AB}.
2. En calculant ∥BC→∥2\|\overrightarrow{BC}\|^2, démontrer que

a2=b2+c2−2bccos⁡A^.a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A.

3. Montrer que le théorème de Pythagore est un cas particulier de cette formule.
4. Si b=5b=5, c=8c=8 et A^=60∘\widehat A=60^\circ, calculer a2a^2 puis aa.

Exercice 35

Non commencéDifficile
Al-Kashi (troisième côté). Un triangle a deux côtés a=6a = 6 et b=10b = 10 qui forment un angle C^=120°\widehat{C} = 120°. Calculer la longueur cc du troisième côté.

Exercice 36

Non commencéAvancé
Normes d'une somme et d'une différence. On sait que ∥u→∥=2\|\vec{u}\| = 2, ∥v→∥=3\|\vec{v}\| = 3 et u→⋅v→=−1\vec{u}\cdot\vec{v} = -1. Calculer ∥u→+v→∥2\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 et ∥u→−v→∥2\|\vec{u} - \vec{v}\|^2.

Exercice 37

Non commencéAvancé
24 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : milieu d’un segment · décomposition vectorielle · lignes de niveau de la distance

Objectifs : démontrer l’identité du milieu · transformer une condition de produit scalaire en condition de distance · déterminer un lieu géométrique avec discussion des cas

Identité du milieu et lieu géométrique. Soient AA et BB deux points distincts et II le milieu de [AB][AB]. Pour un point variable MM, on cherche à étudier MA→⋅MB→\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}.

1. Exprimer MA→\overrightarrow{MA} et MB→\overrightarrow{MB} à l’aide de MI→\overrightarrow{MI} et IA→\overrightarrow{IA}.
2. Démontrer l’identité

MA→⋅MB→=MI2−AB24.\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} =MI^2-\frac{AB^2}{4}.

3. Soit kk un réel. Déterminer, suivant les valeurs de kk, l’ensemble des points MM tels que

MA→⋅MB→=k.\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k.

4. Application : si AB=6AB=6 et k=7k=7, préciser complètement le lieu obtenu.

Exercice 38

Non commencéAvancé
18 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : parallélogramme · identités sur les normes · distributivité du produit scalaire

Objectifs : démontrer l’identité du parallélogramme sans coordonnées · décomposer les vecteurs diagonaux · interpréter une égalité de longueurs

L’identité du parallélogramme. Soit ABCDABCD un parallélogramme. On pose

u→=AB→etv→=AD→.\vec u=\overrightarrow{AB} \qquad\text{et}\qquad \vec v=\overrightarrow{AD}.

1. Exprimer AC→\overrightarrow{AC} et BD→\overrightarrow{BD} à l’aide de u→\vec u et v→\vec v.
2. Développer ∥u→+v→∥2\|\vec u+\vec v\|^2 et ∥v→−u→∥2\|\vec v-\vec u\|^2 à l’aide du produit scalaire.
3. En déduire, sans utiliser de coordonnées, l’identité

AC2+BD2=2(AB2+AD2).AC^2+BD^2=2\left(AB^2+AD^2\right).

4. Reformuler cette identité par une phrase portant sur les diagonales et les côtés du parallélogramme.

Exercice 39

Non commencéAvancé
Produit scalaire par les longueurs. Dans un triangle ABCABC, on donne AB=4AB = 4, AC=6AC = 6 et BC=5BC = 5. En utilisant BC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}, calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}, puis cos⁡A^\cos\widehat{A}.

Exercice 40

Non commencéAvancé
Triangle isocèle rectangle. Soit A(2 ;1)A(2\,;1), B(6 ;3)B(6\,;3), C(4 ;7)C(4\,;7). Montrer que le triangle ABCABC est rectangle et isocèle, puis calculer son aire.

Exercice 41

Non commencéFacile
8 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Coordonnées de vecteurs · Carrés et racine carrée · Repère orthonormé

Objectifs : Calculer un produit scalaire · Calculer une norme · Tester une orthogonalité

Produit scalaire en coordonnées. Dans un repère orthonormé, on donne

u→=(3 ;−2),v→=(4 ;5),w→=(−2 ;−3).\vec u=(3\,;-2),\qquad \vec v=(4\,;5),\qquad \vec w=(-2\,;-3).

1. Calculer u→⋅v→\vec u\cdot\vec v et u→⋅w→\vec u\cdot\vec w.
2. Calculer ∥u→∥2\|\vec u\|^2, puis ∥u→∥\|\vec u\|.
3. Les vecteurs u→\vec u et v→\vec v sont-ils orthogonaux ? Justifier.

Exercice 42

Non commencéFacile
10 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Cosinus de 60° · Norme d’un vecteur · Relation de Chasles

Objectifs : Utiliser la définition géométrique · Interpréter le signe d’un produit scalaire · Calculer une longueur

Avec les longueurs et l'angle. Dans le triangle représenté, AB=5AB=5, AC=4AC=4 et BAC^=60°\widehat{BAC}=60°.

1. Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.
2. Le résultat est-il positif ou négatif ? Relier ce signe à la nature de l'angle BAC^\widehat{BAC}.
3. Calculer BC2BC^2 à l'aide de BC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}.
Triangle ABC : AB vaut 5, AC vaut 4 et l’angle BAC mesure 60°.

Exercice 43

Non commencéFacile
9 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Coordonnées de deux points · Produit scalaire analytique · Vecteurs orthogonaux

Objectifs : Calculer des coordonnées de vecteurs · Caractériser l’orthogonalité · Identifier un triangle rectangle

Triangle rectangle ou non ? Dans un repère orthonormé, on considère

A(−1 ;2),B(3 ;4),C(1 ;−2).A(-1\,;2),\qquad B(3\,;4),\qquad C(1\,;-2).

1. Calculer les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
2. Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.
3. Que peut-on en déduire pour le triangle ABCABC ?

Exercice 44

Non commencéIntermédiaire
12 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Projeté orthogonal · Vecteurs de même sens · Produit scalaire

Objectifs : Utiliser une projection orthogonale · Calculer un produit scalaire géométrique · Interpréter son signe

Calcul par projection orthogonale. Sur la figure, HH est le projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB). On sait que AB=7AB=7 et AH=3AH=3.

1. Expliquer pourquoi la projection de AC→\overrightarrow{AC} sur la direction de AB→\overrightarrow{AB} est AH→\overrightarrow{AH}.
2. Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} sans connaître ACAC.
3. Que deviendrait le signe du produit scalaire si HH se trouvait sur la demi-droite opposée à [AB)[AB) ?
H est le pied de la perpendiculaire issue de C sur (AB) ; AB = 7 et AH = 3.

Exercice 45

Non commencéIntermédiaire
13 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Carrés de longueurs · Cosinus d’un angle · Signe du cosinus

Objectifs : Appliquer le théorème d’Al-Kashi · Relier Al-Kashi au produit scalaire · Qualifier un angle

Al-Kashi et produit scalaire. Dans le triangle de la figure, AB=5AB=5, AC=7AC=7 et BC=8BC=8.

1. Calculer cos⁡BAC^\cos\widehat{BAC} à l'aide du théorème d'Al-Kashi.
2. En déduire la valeur de AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.
3. L'angle BAC^\widehat{BAC} est-il aigu, droit ou obtus ?
Triangle ABC dont les côtés AB, AC et BC mesurent respectivement 5, 7 et 8.

Exercice 46

Non commencéIntermédiaire
15 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Relation de Chasles · Identités du produit scalaire · Norme

Objectifs : Développer un carré scalaire · Exploiter les diagonales d’un parallélogramme · Interpréter un signe

Une diagonale de parallélogramme. Dans le parallélogramme ABCDABCD représenté, on donne

AB=4,AD=3,AC=37.AB=4,\qquad AD=3,\qquad AC=\sqrt{37}.

1. En utilisant AC→=AB→+AD→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}, calculer AB→⋅AD→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}.
2. Utiliser DB→=AB→−AD→\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD} pour calculer BDBD.
3. L'angle BAD^\widehat{BAD} est-il aigu ou obtus ?
Parallélogramme ABCD : AB = 4, AD = 3 et la diagonale AC mesure √37.

Exercice 47

Non commencéDifficile
18 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Vecteur directeur · Équation cartésienne · Orthogonalité

Objectifs : Caractériser une projection · Résoudre une équation issue d’un produit scalaire · Calculer une distance

Projeté orthogonal dans un repère. Dans le repère orthonormé de la figure, la droite dd passe par A(0 ;0)A(0\,;0) et B(2 ;1)B(2\,;1). Le point PP a pour coordonnées (3 ;4)(3\,;4). On cherche le projeté orthogonal HH de PP sur dd.

1. Donner un vecteur directeur u→\vec u de dd.
2. Déterminer une équation cartésienne de dd.
3. En notant H(x ;y)H(x\,;y), traduire simultanément H∈dH\in d et PH→⊥u→\overrightarrow{PH}\perp\vec u, puis déterminer les coordonnées de HH.
4. Calculer la distance PHPH.
Dans un repère orthonormé, le point P et la droite d passant par A et B sont donnés ; le projeté H reste à déterminer.

Exercice 48

Non commencéDifficile
19 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Coordonnées de vecteurs · Forme canonique d’un cercle · Triangle rectangle inscrit

Objectifs : Traduire un produit scalaire en équation · Reconnaître un cercle · Relier orthogonalité et diamètre

Un cercle décrit par un produit scalaire. On fixe A(−2 ;1)A(-2\,;1) et B(4 ;1)B(4\,;1). On cherche l'ensemble des points M(x ;y)M(x\,;y) tels que

MA→⋅MB→=0.\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0.

1. Développer cette condition en coordonnées.
2. Mettre l'équation obtenue sous la forme
(x−1)2+(y−1)2=9.(x-1)^2+(y-1)^2=9.
3. Décrire géométriquement l'ensemble des points MM.
4. Expliquer le lien avec le théorème du cercle de diamètre [AB][AB].
Une configuration possible des points A, B et M ; le lieu complet du point M reste à déterminer par le calcul.

Exercice 49

Non commencéAvancé
22 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Relation de Chasles · Bilinéarité · Vecteurs opposés

Objectifs : Démontrer une identité vectorielle · Exploiter un milieu · Interpréter le signe d’un produit scalaire

Identité de la médiane. Dans le triangle ABCABC, II est le milieu de [BC][BC].

1. Justifier les décompositions
AB→=AI→+IB→etAC→=AI→−IB→.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB} \quad\text{et}\quad \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IB}.
2. Démontrer que
AB→⋅AC→=AI2−BC24.\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =AI^2-\frac{BC^2}{4}.
3. On donne AI=5AI=5 et BC=6BC=6. Calculer le produit scalaire.
4. En déduire la nature aiguë, droite ou obtuse de l'angle BAC^\widehat{BAC}.
Dans le triangle ABC, I est le milieu de BC et la médiane AI, tracée en rouge, mesure 5.

Exercice 50

Non commencéAvancé
24 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Milieu · Carré scalaire · Distance d’un point à une droite

Objectifs : Établir l’identité du milieu · Utiliser une projection orthogonale · Résoudre un problème de minimum

Somme des carrés de deux distances et projection. Dans un repère orthonormé, on donne A(−2 ;2)A(-2\,;2), B(4 ;4)B(4\,;4) et leur milieu II. Le point XX varie sur l'axe des abscisses.

1. Calculer les coordonnées de II et la longueur ABAB.
2. En écrivant XA→=XI→+IA→\overrightarrow{XA}=\overrightarrow{XI}+\overrightarrow{IA} et XB→=XI→−IA→\overrightarrow{XB}=\overrightarrow{XI}-\overrightarrow{IA}, démontrer que
XA2+XB2=2XI2+AB22.XA^2+XB^2=2XI^2+\frac{AB^2}{2}.
3. À l'aide de la figure, déterminer le point HH de l'axe des abscisses qui minimise XIXI.
4. En déduire le minimum de XA2+XB2XA^2+XB^2.
A et B ont pour milieu I ; le point de l’axe des abscisses le plus proche de I reste à identifier.

Aller plus loin sur ce chapitre

Les 4 problèmes de synthèse et 2 devoirs surveillés restent sur la page du chapitre : ils mobilisent plusieurs notions à la fois et s'abordent une fois ces exercices maîtrisés.

Voir les 4 problèmes de synthèse et 2 devoirs surveillés sur le produit scalaire