Exercice 1
Non commencéFacile
Coordonnées d'un vecteur. Soit et . Déterminer les coordonnées de .
Chapitre 08 Géométrie repérée Première Spé
Exercices corrigés sur la géométrie repérée en Première spécialité
Les exercices de géométrie repérée en Première spécialité traduisent des informations géométriques en équations. Tu calcules des coordonnées de vecteurs, des milieux et des distances, puis tu détermines une droite à partir de deux points ou d’une direction. Pour les cercles, tu passes du centre et du rayon à une équation, ou tu retrouves ces données dans une expression développée.
Les problèmes combinent ensuite droites perpendiculaires, intersections, médiatrices et cercles circonscrits. Pour trouver un projeté orthogonal, décris la droite perpendiculaire passant par le point donné, puis résous le système formé avec la droite de projection. Vérifie que les coordonnées obtenues satisfont les équations de départ. Les figures et les corrections permettent de relier chaque calcul à sa construction dans le repère.
50 exercices : 18 faciles, 16 intermédiaires, 9 difficiles, 7 avancés. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.
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Les 50 exercices, du plus simple au plus complet
50 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir
Exercice 2
Non commencéFacile
Milieu. Déterminer les coordonnées du milieu de pour et .
Exercice 3
Non commencéFacile
Colinéarité (1). Les vecteurs et sont-ils colinéaires ?
Exercice 4
Non commencéFacile
Colinéarité (2). Les vecteurs et sont-ils colinéaires ?
Exercice 5
Non commencéFacile
Vecteur directeur. Donner un vecteur directeur de la droite d'équation .
Exercice 6
Non commencéFacile
Reconnaître un projeté orthogonal. Dans un repère orthonormé, on considère la droite d'équation , le point et le point .
1. Vérifier que appartient à .
2. Montrer que est perpendiculaire à .
3. En déduire que est le projeté orthogonal de sur .
1. Vérifier que appartient à .
2. Montrer que est perpendiculaire à .
3. En déduire que est le projeté orthogonal de sur .
Exercice 7
Non commencéFacile
Coefficient directeur. Donner le coefficient directeur de la droite .
Exercice 8
Non commencéFacile
Équation réduite. Mettre l'équation sous forme réduite.
Exercice 9
Non commencéFacile
Pente à partir de deux points. Déterminer le coefficient directeur de la droite passant par et .
Exercice 10
Non commencéFacile
Centre et rayon. Donner le centre et le rayon du cercle d'équation .
Exercice 11
Non commencéFacile
Équation d'un cercle. Donner l'équation du cercle de centre et de rayon .
Exercice 12
Non commencéFacile
Appartenance à un cercle. Le point appartient-il au cercle d'équation ?
Exercice 13
Non commencéFacile
Vecteur directeur (réduite). Donner un vecteur directeur de la droite .
Exercice 14
Non commencéFacile
Droites parallèles. Les droites et sont-elles parallèles ?
Exercice 15
Non commencéFacile
Distance. Calculer pour et .
Exercice 16
Non commencéIntermédiaire
Droite par point et direction. Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par et de vecteur directeur .
Exercice 17
Non commencéIntermédiaire
Droite par deux points. Déterminer l'équation réduite de la droite passant par et .
Exercice 18
Non commencéIntermédiaire
Points alignés. Les points , et sont-ils alignés ?
Exercice 19
Non commencéIntermédiaire
Pente d'une cartésienne. Déterminer le coefficient directeur de la droite .
Exercice 20
Non commencéIntermédiaire
Droite parallèle. Déterminer l'équation réduite de la droite parallèle à passant par .
Exercice 21
Non commencéIntermédiaire
Calculer un projeté orthogonal. Dans un repère orthonormé, on considère le point et la droite
On note le projeté orthogonal de sur .
1. Donner un vecteur normal à .
2. Déterminer une équation de la droite passant par et perpendiculaire à .
3. En déduire les coordonnées de .
On note le projeté orthogonal de sur .
1. Donner un vecteur normal à .
2. Déterminer une équation de la droite passant par et perpendiculaire à .
3. En déduire les coordonnées de .
Exercice 22
Non commencéIntermédiaire
Cercle par centre et point. Déterminer l'équation du cercle de centre passant par .
Exercice 23
Non commencéIntermédiaire
Cercle de diamètre. Déterminer l'équation du cercle de diamètre pour et .
Exercice 24
Non commencéIntermédiaire
Intersection de deux droites. Déterminer le point d'intersection des droites et .
Exercice 25
Non commencéIntermédiaire
Cartésienne vers réduite. Mettre sous forme réduite et donner sa pente.
Exercice 26
Non commencéIntermédiaire
Distance d'un point à une droite par projection. Dans un repère orthonormé, on considère
On note le projeté orthogonal de sur .
1. Déterminer une équation de la droite .
2. Calculer les coordonnées de .
3. En déduire la distance du point à la droite , sans utiliser de formule générale de distance point-droite.
On note le projeté orthogonal de sur .
1. Déterminer une équation de la droite .
2. Calculer les coordonnées de .
3. En déduire la distance du point à la droite , sans utiliser de formule générale de distance point-droite.
Exercice 27
Non commencéIntermédiaire
Cercle développé. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation .
Exercice 28
Non commencéIntermédiaire
Point sur une droite. Le point appartient-il à la droite ?
Exercice 29
Non commencéDifficile
Droite perpendiculaire à (BC). Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par et perpendiculaire à , où et .
Exercice 30
Non commencéDifficile
Hauteur d'un triangle. Soit , , . Déterminer une équation de la hauteur issue de (perpendiculaire à ).
Exercice 31
Non commencéDifficile
Cercle passant par trois points. Déterminer l'équation du cercle passant par , et .
Exercice 32
Non commencéDifficile
Reconnaître un cercle et étudier des sections horizontales. On considère l'ensemble d'équation
1. Mettre cette équation sous la forme . En déduire le centre et le rayon de .
2. Pour un réel , on note la droite d'équation . Déterminer, selon la valeur de , si coupe en zéro, un ou deux points.
3. Déterminer exactement les points d'intersection de avec .
1. Mettre cette équation sous la forme . En déduire le centre et le rayon de .
2. Pour un réel , on note la droite d'équation . Déterminer, selon la valeur de , si coupe en zéro, un ou deux points.
3. Déterminer exactement les points d'intersection de avec .
Exercice 33
Non commencéDifficile
Projeté orthogonal et cercle. Dans un repère orthonormé, on considère le point et la droite
On note le projeté orthogonal de sur .
1. Déterminer les coordonnées de , puis calculer .
2. Donner une équation du cercle de centre passant par .
3. Tout point de peut s'écrire . Montrer que
En déduire que est l'unique point commun à et .
On note le projeté orthogonal de sur .
1. Déterminer les coordonnées de , puis calculer .
2. Donner une équation du cercle de centre passant par .
3. Tout point de peut s'écrire . Montrer que
En déduire que est l'unique point commun à et .
Exercice 34
Non commencéDifficile
Médiatrice. Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice du segment pour et .
Exercice 35
Non commencéDifficile
Alignement avec paramètre. Déterminer pour que les points , et soient alignés.
Exercice 36
Non commencéAvancé
Cercle de diamètre et angle droit. Soit et .
1.
Déterminer l'équation du cercle de diamètre .
2.
Le point appartient-il à ce cercle ? Que peut-on en déduire pour l'angle ?
Exercice 37
Non commencéAvancé
Cercle de diamètre et produit scalaire. Dans un repère orthonormé, on considère les points
On cherche l'ensemble des points tels que
1. Traduire cette condition avec les coordonnées de , puis obtenir une équation cartésienne de .
2. Mettre cette équation sous forme canonique et reconnaître le cercle de diamètre .
3. Vérifier que appartient à et en déduire la nature de l'angle .
On cherche l'ensemble des points tels que
1. Traduire cette condition avec les coordonnées de , puis obtenir une équation cartésienne de .
2. Mettre cette équation sous forme canonique et reconnaître le cercle de diamètre .
3. Vérifier que appartient à et en déduire la nature de l'angle .
Exercice 38
Non commencéAvancé
Cercle circonscrit. Déterminer l'équation du cercle circonscrit au triangle , , .
Exercice 39
Non commencéAvancé
Perpendiculaire et intersection. Soit . Déterminer une équation de la droite perpendiculaire à passant par le point d'intersection de avec l'axe des abscisses.
Exercice 40
Non commencéAvancé
Ensemble des points équidistants. Déterminer l'ensemble des points équidistants de et , et vérifier que c'est une droite perpendiculaire à .
Exercice 41
Non commencéFacile
Vecteur, milieu et distance. La figure place et dans un repère orthonormé.
1. Calculer les coordonnées de .
2. Déterminer les coordonnées du milieu de .
3. Calculer la longueur exacte .
4. Vérifier sur la figure la cohérence des signes obtenus pour le vecteur.
1. Calculer les coordonnées de .
2. Déterminer les coordonnées du milieu de .
3. Calculer la longueur exacte .
4. Vérifier sur la figure la cohérence des signes obtenus pour le vecteur.
Exercice 42
Non commencéFacile
Une droite définie par un point et une direction. La droite passe par et a pour vecteur directeur , représenté par la flèche sur la figure.
1. Donner un vecteur normal à .
2. Déterminer une équation cartésienne de .
3. Vérifier que le point appartient à .
4. Donner l'équation réduite de .
1. Donner un vecteur normal à .
2. Déterminer une équation cartésienne de .
3. Vérifier que le point appartient à .
4. Donner l'équation réduite de .
Exercice 43
Non commencéFacile
Appartient ou n'appartient pas ? On considère la droite
et les points , et .
1. Tester par le calcul l'appartenance de chacun des trois points à .
2. Donner un vecteur directeur de .
3. Expliquer pourquoi la lecture graphique seule ne suffit pas toujours pour certifier une appartenance.
et les points , et .
1. Tester par le calcul l'appartenance de chacun des trois points à .
2. Donner un vecteur directeur de .
3. Expliquer pourquoi la lecture graphique seule ne suffit pas toujours pour certifier une appartenance.
Exercice 44
Non commencéIntermédiaire
Droite passant par deux points. La figure donne et .
1. Calculer un vecteur directeur de .
2. Déterminer une équation cartésienne de .
3. En déduire son équation réduite.
4. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de avec les deux axes.
1. Calculer un vecteur directeur de .
2. Déterminer une équation cartésienne de .
3. En déduire son équation réduite.
4. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de avec les deux axes.
Exercice 45
Non commencéIntermédiaire
Perpendiculaire menée par un point. On considère
et le point . La droite passe par et est perpendiculaire à .
1. Donner un vecteur normal et un vecteur directeur de .
2. Déterminer une équation cartésienne de .
3. Calculer les coordonnées du point d'intersection de et .
4. Expliquer le rôle géométrique de .
et le point . La droite passe par et est perpendiculaire à .
1. Donner un vecteur normal et un vecteur directeur de .
2. Déterminer une équation cartésienne de .
3. Calculer les coordonnées du point d'intersection de et .
4. Expliquer le rôle géométrique de .
Exercice 46
Non commencéIntermédiaire
Équation d'un cercle. La figure représente le cercle de centre et de rayon .
1. Écrire une équation de .
2. Vérifier si et appartiennent à .
3. Déterminer les points d'intersection de avec la droite verticale .
4. Déterminer les abscisses extrêmes des points du cercle.
1. Écrire une équation de .
2. Vérifier si et appartiennent à .
3. Déterminer les points d'intersection de avec la droite verticale .
4. Déterminer les abscisses extrêmes des points du cercle.
Exercice 47
Non commencéDifficile
Intersection d'une droite et d'un cercle. Dans le repère de la figure,
1. Identifier le centre et le rayon de .
2. Résoudre le système formé par les deux équations.
3. Donner les coordonnées exactes des points d'intersection et .
4. Calculer la longueur de la corde et la distance du centre à la droite .
1. Identifier le centre et le rayon de .
2. Résoudre le système formé par les deux équations.
3. Donner les coordonnées exactes des points d'intersection et .
4. Calculer la longueur de la corde et la distance du centre à la droite .
Exercice 48
Non commencéDifficile
Projeté orthogonal avec deux équations cartésiennes. On donne le point et la droite
On cherche le projeté orthogonal de sur .
1. Donner un vecteur directeur de .
2. Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par et perpendiculaire à .
3. Résoudre le système des équations de et pour trouver .
4. Calculer et vérifier graphiquement la cohérence du résultat.
On cherche le projeté orthogonal de sur .
1. Donner un vecteur directeur de .
2. Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par et perpendiculaire à .
3. Résoudre le système des équations de et pour trouver .
4. Calculer et vérifier graphiquement la cohérence du résultat.
Exercice 49
Non commencéAvancé
Cercle circonscrit sans formule toute faite. On considère
1. Déterminer le milieu de puis une équation de sa médiatrice.
2. Le centre du cercle circonscrit est donc de la forme . Traduire par une équation en .
3. Déterminer et le rayon du cercle circonscrit.
4. Écrire une équation de ce cercle et vérifier que la satisfait.
1. Déterminer le milieu de puis une équation de sa médiatrice.
2. Le centre du cercle circonscrit est donc de la forme . Traduire par une équation en .
3. Déterminer et le rayon du cercle circonscrit.
4. Écrire une équation de ce cercle et vérifier que la satisfait.
Exercice 50
Non commencéAvancé
Deux tangentes à un cercle. On considère le cercle
et les points et .
1. Vérifier que et appartiennent à .
2. La tangente en est perpendiculaire au rayon . Déterminer son équation cartésienne .
3. Déterminer de même l'équation de la tangente en .
4. Calculer leur point d'intersection .
5. Vérifier par le calcul que et expliquer la symétrie visible sur la figure.
et les points et .
1. Vérifier que et appartiennent à .
2. La tangente en est perpendiculaire au rayon . Déterminer son équation cartésienne .
3. Déterminer de même l'équation de la tangente en .
4. Calculer leur point d'intersection .
5. Vérifier par le calcul que et expliquer la symétrie visible sur la figure.
Aller plus loin sur ce chapitre
Les 4 problèmes de synthèse et 2 devoirs surveillés restent sur la page du chapitre : ils mobilisent plusieurs notions à la fois et s'abordent une fois ces exercices maîtrisés.
Voir les 4 problèmes de synthèse et 2 devoirs surveillés sur la géométrie repérée