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III Géométrie · Chapitre 07 / 10

Produit scalaire

Définition, orthogonalité, applications.

8 min de lecture
5 sections, 8 exemples
40 exercices · 4 problèmes

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L'essentiel en 30 secondes

Le produit scalaire mesure l'alignement de deux vecteurs : u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v), soit xx′ + yy′ en repère orthonormé. Il est nul exactement quand les vecteurs sont orthogonaux — c'est son usage principal. Il fournit aussi longueurs et angles (théorème d'Al-Kashi) et s'applique aux démonstrations de perpendicularité.

1 I. Norme et produit scalaire

Le produit scalaire est une opération qui, à deux vecteurs, associe un nombre réel. Introduit au XIXᵉ siècle, il mesure à la fois des longueurs et des angles : c'est l'outil qui fait entrer la trigonométrie dans le calcul vectoriel.

2 II. Expression analytique

3 III. Propriétés de calcul

4 IV. Orthogonalité

5 V. Applications : angles et longueurs

Questions fréquentes

Comment calculer un produit scalaire dans le plan ?
En repère orthonormé, u→⋅v→=xx′+yy′\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy'. On peut aussi utiliser u→⋅v→=∥u→∥ ∥v→∥cos⁡θ\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta si l'on connaît l'angle entre les deux vecteurs.
Comment montrer que deux droites sont perpendiculaires ?
On montre que le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut 00.
À quoi sert le produit scalaire ?
Il sert à calculer des angles, à démontrer des orthogonalités, à établir des équations de droites et de cercles, et à démontrer les formules d'Al-Kashi et de la médiane. C'est l'outil qui fait le pont entre géométrie et calcul.

Définitions et expressions

Propriétés

Al-Kashi

Pièges à éviter

40 exercices disponibles
Exercice 1
Facile
Produit scalaire (coordonnées). Calculer u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v} pour u→(3 ;2)\vec{u}(3\,;2) et v→(1 ;4)\vec{v}(1\,;4).
Correction détaillée
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 3 \times 1 + 2 \times 4 = 3 + 8 = 11$.
Exercice 2
Facile
Produit scalaire (bis). Calculer u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v} pour u→(2 ;−1)\vec{u}(2\,;-1) et v→(5 ;3)\vec{v}(5\,;3).
Correction détaillée
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 2 \times 5 + (-1) \times 3 = 10 - 3 = 7$.
Exercice 3
Facile
Norme (1). Calculer ∥u→∥\|\vec{u}\| pour u→(3 ;4)\vec{u}(3\,;4).
Correction détaillée
$\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.
Exercice 4
Facile
Norme (2). Calculer ∥u→∥\|\vec{u}\| pour u→(−6 ;8)\vec{u}(-6\,;8).
Correction détaillée
$\|\vec{u}\| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
Exercice 5
Facile
Carré scalaire. Pour u→(2 ;3)\vec{u}(2\,;3), calculer u→⋅u→\vec{u}\cdot\vec{u} et vérifier que c'est ∥u→∥2\|\vec{u}\|^2.
Correction détaillée
$\vec{u}\cdot\vec{u} = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$. Or $\|\vec{u}\|^2 = \left(\sqrt{13}\right)^2 = 13$ : c'est bien égal.
Exercice 6
Facile
Orthogonalité (1). Les vecteurs u→(1 ;2)\vec{u}(1\,;2) et v→(4 ;−2)\vec{v}(4\,;-2) sont-ils orthogonaux ?
Correction détaillée
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 1 \times 4 + 2 \times (-2) = 4 - 4 = 0$ : oui, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
Exercice 7
Facile
Orthogonalité (2). Les vecteurs u→(3 ;1)\vec{u}(3\,;1) et v→(2 ;−6)\vec{v}(2\,;-6) sont-ils orthogonaux ?
Correction détaillée
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 3 \times 2 + 1 \times (-6) = 6 - 6 = 0$ : oui, ils sont orthogonaux.
Exercice 8
Facile
Produit scalaire (bis). Calculer u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v} pour u→(2 ;5)\vec{u}(2\,;5) et v→(1 ;0)\vec{v}(1\,;0).
Correction détaillée
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 2 \times 1 + 5 \times 0 = 2$.
Exercice 9
Facile
Trouver une coordonnée. Déterminer le réel aa pour que u→(a ;3)\vec{u}(a\,;3) et v→(2 ;−4)\vec{v}(2\,;-4) soient orthogonaux.
Correction détaillée
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 2a - 12 = 0 \iff a = 6$.
Exercice 10
Facile
Produit scalaire par l'angle. Calculer u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v} sachant que ∥u→∥=3\|\vec{u}\| = 3, ∥v→∥=4\|\vec{v}\| = 4 et l'angle vaut 60°60°.
Correction détaillée
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 3 \times 4 \times \cos 60° = 12 \times \dfrac{1}{2} = 6$.
Exercice 11
Facile
Vecteurs colinéaires (même sens). Calculer u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v} si ∥u→∥=2\|\vec{u}\| = 2, ∥v→∥=5\|\vec{v}\| = 5 et l'angle vaut 0°0°.
Correction détaillée
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 2 \times 5 \times \cos 0° = 10 \times 1 = 10$.
Exercice 12
Facile
Vecteurs orthogonaux (angle). Que vaut u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v} si l'angle entre u→\vec{u} et v→\vec{v} est de 90°90° ?
Correction détaillée
$\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos 90° = 0$ (car $\cos 90° = 0$).
Exercice 13
Facile
Colinéaires (sens contraire). Calculer u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v} si ∥u→∥=3\|\vec{u}\| = 3, ∥v→∥=2\|\vec{v}\| = 2 et l'angle vaut 180°180°.
Correction détaillée
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 3 \times 2 \times \cos 180° = 6 \times (-1) = -6$.
Exercice 14
Facile
Norme (3). Calculer ∥u→∥\|\vec{u}\| pour u→(1 ;1)\vec{u}(1\,;1).
Correction détaillée
$\|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Exercice 15
Facile
Produit scalaire négatif. Calculer u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v} pour u→(−2 ;3)\vec{u}(-2\,;3) et v→(4 ;1)\vec{v}(4\,;1).
Correction détaillée
$\vec{u}\cdot\vec{v} = (-2) \times 4 + 3 \times 1 = -8 + 3 = -5$.
Exercice 16
Intermédiaire
Vecteur défini par deux points. Soit A(1 ;2)A(1\,;2) et B(4 ;6)B(4\,;6). Déterminer les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} puis sa norme ∥AB→∥=AB\|\overrightarrow{AB}\| = AB.
Correction détaillée
$\overrightarrow{AB}(4 - 1\,;6 - 2) = (3\,;4)$, donc $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.
Exercice 17
Intermédiaire
Produit scalaire à partir de points. Soit A(1 ;1)A(1\,;1), B(5 ;4)B(5\,;4), C(2 ;5)C(2\,;5). Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.
Correction détaillée
$\overrightarrow{AB}(4\,;3)$ et $\overrightarrow{AC}(1\,;4)$, donc $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 4 \times 1 + 3 \times 4 = 16$.
Exercice 18
Intermédiaire
Angle remarquable (1). Déterminer l'angle θ\theta entre u→(1 ;0)\vec{u}(1\,;0) et v→(1 ;1)\vec{v}(1\,;1).
Correction détaillée
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 1$, $\|\vec{u}\| = 1$, $\|\vec{v}\| = \sqrt{2}$. Donc $\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, soit $\theta = 45°$ (ou $\frac{\pi}{4}$).
Exercice 19
Intermédiaire
Cosinus d'un angle. Calculer cos⁡θ\cos\theta où θ\theta est l'angle entre u→(3 ;4)\vec{u}(3\,;4) et v→(4 ;3)\vec{v}(4\,;3).
Correction détaillée
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 12 + 12 = 24$, $\|\vec{u}\| = \|\vec{v}\| = 5$. Donc $\cos\theta = \dfrac{24}{5 \times 5} = \dfrac{24}{25}$.
Exercice 20
Intermédiaire
Paramètre et orthogonalité. Déterminer kk pour que u→(2 ;k)\vec{u}(2\,;k) et v→(3 ;−1)\vec{v}(3\,;-1) soient orthogonaux.
Correction détaillée
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 6 - k = 0 \iff k = 6$.
Exercice 21
Intermédiaire
Bilinéarité. Soit u→(1 ;2)\vec{u}(1\,;2) et v→(3 ;−1)\vec{v}(3\,;-1). Calculer (2u→)⋅v→(2\vec{u})\cdot\vec{v} de deux façons.
Correction détaillée
**Directement :** $2\vec{u}(2\,;4)$, donc $(2\vec{u})\cdot\vec{v} = 6 - 4 = 2$. **Par bilinéarité :** $(2\vec{u})\cdot\vec{v} = 2(\vec{u}\cdot\vec{v}) = 2(3 - 2) = 2$. On retrouve bien $2$.
Exercice 22
Intermédiaire
Distributivité. Soit u→(2 ;1)\vec{u}(2\,;1), v→(1 ;3)\vec{v}(1\,;3), w→(−2 ;4)\vec{w}(-2\,;4). Calculer u→⋅(v→+w→)\vec{u}\cdot(\vec{v} + \vec{w}) et vérifier l'égalité avec u→⋅v→+u→⋅w→\vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w}.
Correction détaillée
$\vec{v} + \vec{w} = (-1\,;7)$, donc $\vec{u}\cdot(\vec{v} + \vec{w}) = -2 + 7 = 5$. Par ailleurs $\vec{u}\cdot\vec{v} = 2 + 3 = 5$ et $\vec{u}\cdot\vec{w} = -4 + 4 = 0$, dont la somme vaut $5$ : l'égalité est vérifiée.
Exercice 23
Intermédiaire
Al-Kashi (longueur). Dans un triangle, b=5b = 5, c=8c = 8 et A^=60°\widehat{A} = 60°. Calculer aa.
Correction détaillée
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A} = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \dfrac{1}{2} = 89 - 40 = 49$, donc $a = 7$.
Exercice 24
Intermédiaire
Polarisation. Vérifier, pour u→(1 ;2)\vec{u}(1\,;2) et v→(3 ;1)\vec{v}(3\,;1), l'identité u→⋅v→=12(∥u→+v→∥2−∥u→∥2−∥v→∥2)\vec{u}\cdot\vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right).
Correction détaillée
$\vec{u} + \vec{v} = (4\,;3)$, donc $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = 25$, $\|\vec{u}\|^2 = 5$, $\|\vec{v}\|^2 = 10$. Le membre de droite vaut $\dfrac{1}{2}(25 - 5 - 10) = 5$. Et $\vec{u}\cdot\vec{v} = 3 + 2 = 5$ : l'identité est vérifiée.
Exercice 25
Intermédiaire
Vecteurs orthogonaux à démontrer. Montrer que u→(2 ;4)\vec{u}(2\,;4) et v→(−6 ;3)\vec{v}(-6\,;3) sont orthogonaux.
Correction détaillée
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 2 \times (-6) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0$, donc $\vec{u} \perp \vec{v}$.
Exercice 26
Intermédiaire
Longueur d'un segment. Soit A(−1 ;2)A(-1\,;2) et B(2 ;−2)B(2\,;-2). Calculer ABAB.
Correction détaillée
$\overrightarrow{AB}(3\,;-4)$, donc $AB = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5$.
Exercice 27
Intermédiaire
Angle remarquable (2). Déterminer l'angle θ\theta entre u→(1 ;3)\vec{u}(1\,;\sqrt{3}) et v→(3 ;1)\vec{v}(\sqrt{3}\,;1).
Correction détaillée
$\vec{u}\cdot\vec{v} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$, $\|\vec{u}\| = \|\vec{v}\| = \sqrt{1 + 3} = 2$. Donc $\cos\theta = \dfrac{2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, soit $\theta = 30°$ (ou $\frac{\pi}{6}$).
Exercice 28
Intermédiaire
Angle à partir des données. Sachant que ∥u→∥=4\|\vec{u}\| = 4, ∥v→∥=3\|\vec{v}\| = 3 et u→⋅v→=6\vec{u}\cdot\vec{v} = 6, déterminer l'angle θ\theta entre u→\vec{u} et v→\vec{v}.
Correction détaillée
$\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$, donc $\theta = 60°$.
Exercice 29
Difficile
Angle d'un triangle. Soit A(0 ;0)A(0\,;0), B(4 ;0)B(4\,;0), C(1 ;3)C(1\,;3). Calculer cos⁡A^\cos\widehat{A} (angle en AA).
Correction détaillée
$\overrightarrow{AB}(4\,;0)$ et $\overrightarrow{AC}(1\,;3)$. $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 4$, $\|\overrightarrow{AB}\| = 4$, $\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{10}$. $$\cos\widehat{A} = \dfrac{4}{4\sqrt{10}} = \dfrac{1}{\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$$
Exercice 30
Difficile
Al-Kashi (angle). Un triangle a pour côtés a=7a = 7, b=5b = 5, c=8c = 8. Calculer cos⁡A^\cos\widehat{A}, où A^\widehat{A} est l'angle opposé au côté aa.
Correction détaillée
D'après Al-Kashi, $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}$, d'où : $$\cos\widehat{A} = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{25 + 64 - 49}{2 \times 5 \times 8} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2}$$ Donc $\widehat{A} = 60°$.
Exercice 31
Difficile
Point orthogonal. Soit A(1 ;2)A(1\,;2), B(4 ;3)B(4\,;3) et C(x ;0)C(x\,;0). Déterminer xx pour que le triangle ABCABC soit rectangle en AA.
Correction détaillée
Le triangle est rectangle en $A$ ssi $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 0$. $\overrightarrow{AB}(3\,;1)$ et $\overrightarrow{AC}(x - 1\,;-2)$ : $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 3(x - 1) - 2 = 3x - 5 = 0 \iff x = \dfrac{5}{3}$$
Exercice 32
Difficile
Triangle rectangle et aire. Soit A(0 ;0)A(0\,;0), B(2 ;1)B(2\,;1), C(1 ;−2)C(1\,;-2). Montrer que ABCABC est rectangle en AA, puis calculer son aire.
Correction détaillée
$\overrightarrow{AB}(2\,;1)$, $\overrightarrow{AC}(1\,;-2)$ : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 2 - 2 = 0$, donc rectangle en $A$. $\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{5}$ et $\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{5}$. L'aire d'un triangle rectangle en $A$ vaut $\dfrac{1}{2}\,AB \times AC = \dfrac{1}{2}\sqrt{5}\times\sqrt{5} = \dfrac{5}{2}$.
Exercice 33
Difficile
Angle exact. Déterminer l'angle θ\theta entre u→(2 ;1)\vec{u}(2\,;1) et v→(1 ;3)\vec{v}(1\,;3).
Correction détaillée
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 2 + 3 = 5$, $\|\vec{u}\| = \sqrt{5}$, $\|\vec{v}\| = \sqrt{10}$. Donc : $$\cos\theta = \dfrac{5}{\sqrt{5}\times\sqrt{10}} = \dfrac{5}{\sqrt{50}} = \dfrac{5}{5\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ soit $\theta = 45°$.
Exercice 34
Difficile
Polarisation inverse. On sait que ∥u→∥=3\|\vec{u}\| = 3, ∥v→∥=5\|\vec{v}\| = 5 et ∥u→+v→∥=7\|\vec{u} + \vec{v}\| = 7. Calculer u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v}, puis l'angle entre u→\vec{u} et v→\vec{v}.
Correction détaillée
$\vec{u}\cdot\vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right) = \dfrac{1}{2}(49 - 9 - 25) = \dfrac{15}{2}$. $\cos\theta = \dfrac{15/2}{3 \times 5} = \dfrac{15}{30} = \dfrac{1}{2}$, donc $\theta = 60°$.
Exercice 35
Difficile
Al-Kashi (troisième côté). Un triangle a deux côtés a=6a = 6 et b=10b = 10 qui forment un angle C^=120°\widehat{C} = 120°. Calculer la longueur cc du troisième côté.
Correction détaillée
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\widehat{C} = 36 + 100 - 2 \times 6 \times 10 \times \cos 120° = 136 - 120 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 136 + 60 = 196$, donc $c = 14$.
Exercice 36
Avancé
Normes d'une somme et d'une différence. On sait que ∥u→∥=2\|\vec{u}\| = 2, ∥v→∥=3\|\vec{v}\| = 3 et u→⋅v→=−1\vec{u}\cdot\vec{v} = -1. Calculer ∥u→+v→∥2\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 et ∥u→−v→∥2\|\vec{u} - \vec{v}\|^2.
Correction détaillée
En développant avec $\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ : $$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2 = 4 - 2 + 9 = 11$$ $$\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2 = 4 + 2 + 9 = 15$$
Exercice 37
Avancé
Ensemble de points (cercle). Soit A(1 ;0)A(1\,;0) et B(5 ;0)B(5\,;0). Déterminer l'ensemble des points M(x ;y)M(x\,;y) tels que MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0.
Correction détaillée
$\overrightarrow{MA}(1 - x\,;-y)$ et $\overrightarrow{MB}(5 - x\,;-y)$. Le produit scalaire : $$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = (1 - x)(5 - x) + y^2 = x^2 - 6x + 5 + y^2 = 0$$ En regroupant : $(x - 3)^2 + y^2 = 4$. L'ensemble cherché est le **cercle de centre $(3\,;0)$ et de rayon $2$** — c'est le cercle de diamètre $[AB]$.
Exercice 38
Avancé
Plus grand angle d'un triangle. Un triangle a pour côtés a=7a = 7, b=8b = 8, c=9c = 9. Calculer cos⁡C^\cos\widehat{C} (angle opposé au plus grand côté cc).
Correction détaillée
D'après Al-Kashi, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\widehat{C}$, d'où : $$\cos\widehat{C} = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \dfrac{49 + 64 - 81}{2 \times 7 \times 8} = \dfrac{32}{112} = \dfrac{2}{7}$$
Exercice 39
Avancé
Produit scalaire par les longueurs. Dans un triangle ABCABC, on donne AB=4AB = 4, AC=6AC = 6 et BC=5BC = 5. En utilisant BC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}, calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}, puis cos⁡A^\cos\widehat{A}.
Correction détaillée
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$, donc $\|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{AC}\|^2 - 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + \|\overrightarrow{AB}\|^2$. Ainsi : $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2} = \dfrac{16 + 36 - 25}{2} = \dfrac{27}{2}$$ Puis $\cos\widehat{A} = \dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB \times AC} = \dfrac{27/2}{24} = \dfrac{27}{48} = \dfrac{9}{16}$.
Exercice 40
Avancé
Triangle isocèle rectangle. Soit A(2 ;1)A(2\,;1), B(6 ;3)B(6\,;3), C(4 ;7)C(4\,;7). Montrer que le triangle ABCABC est rectangle et isocèle, puis calculer son aire.
Correction détaillée
$\overrightarrow{BA}(-4\,;-2)$, $\overrightarrow{BC}(-2\,;4)$ : $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} = 8 - 8 = 0$, donc le triangle est **rectangle en $B$**. $\|\overrightarrow{BA}\|^2 = 16 + 4 = 20$ et $\|\overrightarrow{BC}\|^2 = 4 + 16 = 20$, donc $BA = BC$ : le triangle est **isocèle** en $B$. Aire $= \dfrac{1}{2}\,BA \times BC = \dfrac{1}{2} \times 20 = 10$ (car $BA \times BC = \sqrt{20}\times\sqrt{20} = 20$).
4 problèmes de synthèse
Problème 1 — Calculs de base
Facile
On considère les vecteurs u→(3 ;−1)\vec{u}(3\,;-1) et v→(2 ;4)\vec{v}(2\,;4).

Partie A — Produit scalaire et normes

1.
Calculer u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v}.
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 3 \times 2 + (-1) \times 4 = 6 - 4 = 2$.
2.
Calculer ∥u→∥\|\vec{u}\| et ∥v→∥\|\vec{v}\|.
$\|\vec{u}\| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ et $\|\vec{v}\| = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

Partie B — Orthogonalité et distance

3.
Déterminer le réel aa pour que w→(a ;6)\vec{w}(a\,;6) soit orthogonal à u→\vec{u}.
$\vec{u}\cdot\vec{w} = 3a - 6 = 0 \iff a = 2$.
4.
Soit A(1 ;1)A(1\,;1) et B(4 ;5)B(4\,;5). Calculer la distance ABAB.
$\overrightarrow{AB}(3\,;4)$, donc $AB = \sqrt{9 + 16} = 5$.
Problème 2 — Un triangle rectangle
Intermédiaire
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(0 ;0)A(0\,;0), B(3 ;0)B(3\,;0) et C(0 ;4)C(0\,;4).

Partie A — Nature du triangle

1.
Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} et en déduire la nature du triangle ABCABC.
$\overrightarrow{AB}(3\,;0)$ et $\overrightarrow{AC}(0\,;4)$ : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 0$. Le triangle $ABC$ est **rectangle en $A$**.
2.
Calculer les longueurs ABAB, ACAC et BCBC.
$AB = 3$, $AC = 4$, et $\overrightarrow{BC}(-3\,;4)$ donne $BC = \sqrt{9 + 16} = 5$. (On vérifie $3^2 + 4^2 = 5^2$.)

Partie B — Un angle

3.
Calculer cos⁡B^\cos\widehat{B} (angle en BB).
En $B$ : $\overrightarrow{BA}(-3\,;0)$ et $\overrightarrow{BC}(-3\,;4)$. $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} = 9$, $\|\overrightarrow{BA}\| = 3$, $\|\overrightarrow{BC}\| = 5$, donc $\cos\widehat{B} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$.
Problème 3 — Théorème d'Al-Kashi
Difficile
Dans un triangle ABCABC, on donne b=AC=3b = AC = 3, c=AB=8c = AB = 8 et l'angle A^=60°\widehat{A} = 60°.

Partie A — Le troisième côté

1.
Calculer la longueur a=BCa = BC.
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A} = 9 + 64 - 2 \times 3 \times 8 \times \dfrac{1}{2} = 73 - 24 = 49$, donc $a = 7$.

Partie B — Un autre angle

2.
En appliquant de nouveau Al-Kashi, calculer cos⁡B^\cos\widehat{B} (angle opposé au côté bb).
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\widehat{B}$, d'où $\cos\widehat{B} = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \dfrac{49 + 64 - 9}{2 \times 7 \times 8} = \dfrac{104}{112} = \dfrac{13}{14}$.
Problème 4 — Un ensemble de points
Avancé
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(−2 ;0)A(-2\,;0) et B(2 ;0)B(2\,;0).

Partie A — Cercle de diamètre [AB]

1.
Déterminer l'ensemble (E)(\mathcal{E}) des points M(x ;y)M(x\,;y) tels que MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0.
$\overrightarrow{MA}(-2 - x\,;-y)$ et $\overrightarrow{MB}(2 - x\,;-y)$ : $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = (-2 - x)(2 - x) + y^2 = x^2 - 4 + y^2$. L'équation $x^2 + y^2 - 4 = 0$, soit $x^2 + y^2 = 4$, est celle du **cercle de centre $O(0\,;0)$ et de rayon $2$** (cercle de diamètre $[AB]$).
2.
Le point C(0 ;2)C(0\,;2) appartient-il à (E)(\mathcal{E}) ? Que peut-on dire de l'angle ACB^\widehat{ACB} ?
$0^2 + 2^2 = 4$ : $C$ appartient à $(\mathcal{E})$. Comme $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB} = 0$, l'angle $\widehat{ACB}$ est **droit** (angle inscrit dans un demi-cercle).

Partie B — Produit scalaire par les longueurs

3.
Dans un triangle PQRPQR avec PQ=4PQ = 4, PR=6PR = 6 et QR=5QR = 5, calculer PQ→⋅PR→\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR}.
En utilisant $\overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR} - \overrightarrow{PQ}$ : $QR^2 = PR^2 - 2\,\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR} + PQ^2$, donc $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR} = \dfrac{PQ^2 + PR^2 - QR^2}{2} = \dfrac{16 + 36 - 25}{2} = \dfrac{27}{2}$.