L'essentiel en 30 secondes
Le produit scalaire se calcule par projection orthogonale, par u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v), ou par xx′ + yy′ dans un repère orthonormé. Il caractérise l'orthogonalité, fournit longueurs et angles avec Al-Kashi et transforme certains lieux géométriques grâce au milieu d'un segment.
1 I. Norme et produit scalaire
Le produit scalaire est une opération qui, à deux vecteurs, associe un nombre réel. Introduit au XIXᵉ siècle, il mesure à la fois des longueurs et des angles : c'est l'outil qui fait entrer la trigonométrie dans le calcul vectoriel.
2 II. Expression analytique
3 III. Propriétés de calcul
4 IV. Orthogonalité
5 V. Applications : angles et longueurs
6 VI. Projection orthogonale et choix d’une expression
À travailler ensuite
Questions fréquentes
Comment calculer un produit scalaire dans le plan ?
En repère orthonormé, . On peut aussi utiliser si l'on connaît l'angle entre les deux vecteurs.
Comment montrer que deux droites sont perpendiculaires ?
On montre que le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut .
À quoi sert le produit scalaire ?
Il sert à calculer des angles, à démontrer des orthogonalités, à établir des équations de droites et de cercles, et à démontrer les formules d'Al-Kashi et de la médiane. C'est l'outil qui fait le pont entre géométrie et calcul.