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Chapitre 06 Trigonométrie Première Spé

Exercices corrigés sur la trigonométrie en Première spécialité

Sur le cercle trigonométrique, un angle permet de lire un cosinus et un sinus, mais plusieurs réels peuvent désigner le même point. Les exercices de Première spécialité reprennent cette correspondance : conversion des degrés en radians, enroulements, valeurs remarquables et périodicité. Tu utilises ensuite les symétries du cercle pour retrouver les valeurs d’angles associés sans calculatrice.

Lorsque tu connais le cosinus ou le sinus d’un angle, la relation entre leurs carrés fournit une valeur absolue ; le quadrant donne le signe qui manque. Les corrections mettent ce choix en évidence. D’autres exercices relient radians et longueur d’arc, décrivent une roue ou une piste circulaire, et font approcher pi avec les polygones d’Archimède. Dessine le cercle avant de calculer pour garder une interprétation géométrique des résultats.

50 exercices : 18 faciles, 16 intermédiaires, 9 difficiles, 7 avancés. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.

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Cours et fiche de révision sur la trigonométrie

Les 50 exercices, du plus simple au plus complet

50 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 1

Non commencéFacile
Degrés vers radians (1). Convertir 60°60° en radians.

Exercice 2

Non commencéFacile
Degrés vers radians (2). Convertir 45°45° en radians.

Exercice 3

Non commencéFacile
Radians vers degrés. Convertir π6\dfrac{\pi}{6} en degrés.

Exercice 4

Non commencéFacile
Deux conversions. Convertir 90°90° et 180°180° en radians.

Exercice 5

Non commencéFacile
Valeurs remarquables (1). Donner cos⁡π3\cos\dfrac{\pi}{3} et sin⁡π3\sin\dfrac{\pi}{3}.

Exercice 6

Non commencéFacile
Valeurs remarquables (2). Donner cos⁡π4\cos\dfrac{\pi}{4} et sin⁡π4\sin\dfrac{\pi}{4}.

Exercice 7

Non commencéFacile
Valeurs remarquables (3). Donner cos⁡π2\cos\dfrac{\pi}{2} et sin⁡π2\sin\dfrac{\pi}{2}.

Exercice 8

Non commencéFacile
Valeurs en 0. Donner cos⁡0\cos 0 et sin⁡0\sin 0.

Exercice 9

Non commencéFacile
Relation fondamentale. Sachant que cos⁡x=35\cos x = \dfrac{3}{5} avec x∈[0 ;π2]x \in \left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right], calculer sin⁡x\sin x.

Exercice 10

Non commencéFacile
Parité (1). Calculer cos⁡(−π3)\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right).

Exercice 11

Non commencéFacile
Parité (2). Calculer sin⁡(−π6)\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right).

Exercice 12

Non commencéFacile
Angle associé (1). Calculer cos⁡(π−π3)\cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right).

Exercice 13

Non commencéFacile
Angle associé (2). Calculer sin⁡(π−π6)\sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right).

Exercice 14

Non commencéFacile
Périodicité. Calculer cos⁡(π3+2π)\cos\left(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi\right).

Exercice 15

Non commencéFacile
Équation très simple. Résoudre cos⁡x=1\cos x = 1 sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[.

Exercice 16

Non commencéIntermédiaire
Conversions. Convertir 135°135° puis 210°210° en radians.

Exercice 17

Non commencéIntermédiaire
Relation fondamentale (bis). Sachant que sin⁡x=35\sin x = \dfrac{3}{5} avec x∈[0 ;π2]x \in \left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right], calculer cos⁡x\cos x.

Exercice 18

Non commencéIntermédiaire
Angle π+x\pi + x. Calculer cos⁡5π4\cos\dfrac{5\pi}{4} et sin⁡5π4\sin\dfrac{5\pi}{4} en écrivant 5π4=π+π4\dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4}.

Exercice 19

Non commencéIntermédiaire
Complémentaire. Vérifier sur x=π6x = \dfrac{\pi}{6} l'égalité cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x.

Exercice 20

Non commencéIntermédiaire
Simplification (1). Simplifier A=cos⁡(π−x)+cos⁡xA = \cos(\pi - x) + \cos x.

Exercice 21

Non commencéIntermédiaire
Simplification (2). Simplifier B=sin⁡(π−x)−sin⁡xB = \sin(\pi - x) - \sin x.

Exercice 22

Non commencéIntermédiaire
Valeur de 2π3\dfrac{2\pi}{3}. Calculer cos⁡2π3\cos\dfrac{2\pi}{3} et sin⁡2π3\sin\dfrac{2\pi}{3}.

Exercice 23

Non commencéIntermédiaire
Valeur de 5π6\dfrac{5\pi}{6}. Calculer cos⁡5π6\cos\dfrac{5\pi}{6} et sin⁡5π6\sin\dfrac{5\pi}{6}.

Exercice 24

Non commencéIntermédiaire
12 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : proportionnalité · mesure d’un angle en radians

Objectifs : relier angle au centre et longueur d’arc · convertir une longueur d’arc en mesure d’angle · donner une valeur exacte

Angles et longueurs d’arcs. Sur un cercle de centre OO et de rayon 66 cm, la longueur de l’arc intercepté par un angle au centre de mesure θ\theta radians est ℓ=Rθ\ell=R\theta.

1. Calculer la longueur de l’arc intercepté par un angle de π3\dfrac{\pi}{3} radians.
2. Calculer la longueur de l’arc intercepté par un angle de 5π6\dfrac{5\pi}{6} radians.
3. Un arc de ce cercle mesure 99 cm. Déterminer la mesure en radians de l’angle au centre correspondant.
4. Expliquer pourquoi la formule ℓ=Rθ\ell=R\theta ne s’utilise pas directement lorsque θ\theta est donné en degrés.

Exercice 25

Non commencéIntermédiaire
12 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : cercle trigonométrique · multiples de 2π2\pi

Objectifs : interpréter l’enroulement de la droite réelle · réduire un angle modulo 2π2\pi · reconnaître plusieurs réels associés au même point

Trois enroulements, un même point. On enroule la droite réelle sur le cercle trigonométrique.

1. Pour chacun des réels

17π6,−7π6,29π6,\frac{17\pi}{6},\qquad -\frac{7\pi}{6},\qquad \frac{29\pi}{6},

déterminer une mesure appartenant à l’intervalle [0;2π[[0;2\pi[ qui lui est associée.
2. En déduire que ces trois réels repèrent le même point du cercle.
3. Pour chaque réel, préciser le nombre de tours complets effectués avant d’atteindre ce point, en distinguant le sens direct et le sens indirect.

Exercice 26

Non commencéIntermédiaire
14 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : cercle trigonométrique · valeurs remarquables de sinus et cosinus

Objectifs : placer un point sur le cercle trigonométrique · déterminer ses coordonnées · contrôler les signes avec le quadrant

Placer avant de calculer. Pour chacun des réels suivants, placer mentalement le point associé sur le cercle trigonométrique, indiquer son quadrant puis donner ses coordonnées exactes :

−π3,3π4,11π6.-\frac{\pi}{3},\qquad \frac{3\pi}{4},\qquad \frac{11\pi}{6}.

Pour chaque point, justifier les signes du cosinus et du sinus à l’aide du quadrant.

Exercice 27

Non commencéIntermédiaire
Simplification (3). Simplifier C=cos⁡(−x)+cos⁡(π−x)+cos⁡(π+x)C = \cos(-x) + \cos(\pi - x) + \cos(\pi + x).

Exercice 28

Non commencéIntermédiaire
Signe selon le quadrant. Sachant que cos⁡x=−12\cos x = -\dfrac{1}{2} avec x∈[π2 ;π]x \in \left[\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right], calculer sin⁡x\sin x.

Exercice 29

Non commencéDifficile
15 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : symétries du cercle trigonométrique · valeurs remarquables

Objectifs : lire des angles associés sur le cercle · utiliser une symétrie pour obtenir sinus et cosinus · justifier les signes géométriquement

Angles associés et symétries. Sans résoudre d’équation trigonométrique, déterminer les valeurs exactes suivantes en utilisant les symétries du cercle trigonométrique :

1. cos⁡(7π6)\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) et sin⁡(7π6)\sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) ;
2. cos⁡(−3π4)\cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) et sin⁡(−3π4)\sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) ;
3. cos⁡(5π3)\cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) et sin⁡(5π3)\sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right).

Dans chaque cas, nommer l’angle remarquable de référence et la symétrie utilisée.

Exercice 30

Non commencéDifficile
14 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : théorème de Pythagore · définition du sinus et du cosinus dans un triangle rectangle

Objectifs : démontrer les valeurs remarquables pour π/4\pi/4 · passer d’un triangle au cercle trigonométrique · rédiger une preuve géométrique

Pourquoi cos⁡(π4)=22\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt2}{2} ? On considère un triangle rectangle isocèle dont les deux côtés de l’angle droit mesurent 11.

1. Calculer exactement la longueur de l’hypoténuse.
2. En utilisant l’un des angles aigus du triangle, démontrer les valeurs exactes de cos⁡(π4)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) et sin⁡(π4)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right).
3. Expliquer comment ces résultats donnent les coordonnées du point du cercle trigonométrique associé à π4\dfrac{\pi}{4}.

Exercice 31

Non commencéDifficile
15 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : triangle équilatéral · théorème de Pythagore · sinus et cosinus dans un triangle rectangle

Objectifs : démontrer les valeurs remarquables pour π/3\pi/3 · construire un triangle rectangle auxiliaire · rédiger un calcul exact

Retrouver les valeurs remarquables pour π3\dfrac{\pi}{3}. Soit ABCABC un triangle équilatéral de côté 22. La hauteur issue de AA coupe [BC][BC] en HH.

1. Justifier que BH=1BH=1 et que BAH^=π6\widehat{BAH}=\dfrac{\pi}{6}.
2. Calculer AHAH.
3. En utilisant le triangle rectangle ABHABH, démontrer les valeurs de cos⁡(π3)\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) et sin⁡(π3)\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right).
4. En déduire aussi les valeurs pour π6\dfrac{\pi}{6}.

Exercice 32

Non commencéDifficile
Simplification (4). Simplifier D=sin⁡(π2−x)+cos⁡(π−x)D = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) + \cos(\pi - x).

Exercice 33

Non commencéDifficile
15 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : triangle rectangle · coordonnées sur le cercle trigonométrique · symétrie axiale

Objectifs : obtenir sinus et cosinus à partir d’un triangle · placer un point du cercle à partir de ses coordonnées · utiliser la symétrie associée à π−α\pi-\alpha

Du triangle au cercle. Un triangle ABCABC est rectangle en AA et vérifie

AB=5,AC=12,BC=13.AB=5,\qquad AC=12,\qquad BC=13.

On note α=ABC^\alpha=\widehat{ABC}.

1. Déterminer cos⁡α\cos\alpha et sin⁡α\sin\alpha.
2. Donner les coordonnées du point MM du cercle trigonométrique associé à α\alpha.
3. Construire géométriquement le point NN associé à π−α\pi-\alpha, puis donner ses coordonnées.
4. En déduire cos⁡(π−α)\cos(\pi-\alpha) et sin⁡(π−α)\sin(\pi-\alpha) sans utiliser de formule apprise par cœur.

Exercice 34

Non commencéDifficile
12 min
Objectifs et prérequis5 repères

Prérequis : relation cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2x+\sin^2x=1 · quadrants du cercle trigonométrique

Objectifs : déterminer le signe d’un cosinus avec le quadrant · détecter une erreur de raisonnement · corriger une solution argumentée

Le signe oublié. On sait que xx est associé à un point du quatrième quadrant et que

sin⁡x=−35.\sin x=-\frac35.

Un élève écrit :

> cos⁡2x=1−sin⁡2x=1625\cos^2x=1-\sin^2x=\dfrac{16}{25}, donc cos⁡x=−45\cos x=-\dfrac45.

1. Indiquer précisément ce qui est correct dans ce raisonnement.
2. Identifier l’erreur.
3. Donner la valeur correcte de cos⁡x\cos x et vérifier que les signes obtenus sont cohérents avec le quatrième quadrant.

Exercice 35

Non commencéDifficile
Quadrant inférieur. Sachant que cos⁡x=13\cos x = \dfrac{1}{3} avec x∈]−π2 ;0[x \in \left]-\dfrac{\pi}{2}\,;0\right[, calculer sin⁡x\sin x.

Exercice 36

Non commencéAvancé
18 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : polygone régulier · longueur d’une corde · valeurs remarquables

Objectifs : comprendre l’encadrement géométrique d’Archimède · calculer le périmètre d’un polygone inscrit · interpréter une approximation de π\pi

Archimède : approcher π\pi par des polygones. Dans un cercle de rayon 11, on inscrit un polygone régulier à nn côtés. Son périmètre est

pn=2nsin⁡(πn).p_n=2n\sin\left(\frac{\pi}{n}\right).

1. Calculer exactement p6p_6 et en déduire une minoration simple de π\pi.
2. On donne sin⁡(π12)≈0,258819\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\approx0{,}258819. Calculer p12p_{12} puis p122\dfrac{p_{12}}2.
3. Comparer les approximations p62\dfrac{p_6}{2} et p122\dfrac{p_{12}}2 à π≈3,141593\pi\approx3{,}141593.
4. Expliquer géométriquement pourquoi pn<2πp_n<2\pi et pourquoi augmenter le nombre de côtés améliore l’approximation.

Exercice 37

Non commencéAvancé
22 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : racine carrée · boucle Python · polygones réguliers inscrits

Objectifs : mettre en œuvre l’algorithme d’Archimède · comprendre une récurrence de doublement · interpréter une sortie numérique

Algorithme d’Archimède en Python. Dans le cercle unité, on note sns_n la longueur d’un côté du polygone régulier inscrit à nn côtés. On admet la relation de doublement

s2n=2−4−sn2.s_{2n}=\sqrt{2-\sqrt{4-s_n^2}}.

Pour l’hexagone inscrit, n=6n=6 et s6=1s_6=1.

1. Expliquer pourquoi nsn2\dfrac{ns_n}{2} constitue une approximation par défaut de π\pi.
2. Compléter le programme afin de doubler quatre fois le nombre de côtés :
from math import sqrt
n = 6
s = 1.0
for k in range(4):
    s = ...
    n = ...
print(n, n*s/2)
3. L’exécution affiche une valeur voisine de 3,141033{,}14103. Quel est alors le nombre de côtés du polygone ?
4. Expliquer pourquoi cette méthode approche π\pi sans utiliser directement une valeur numérique de π\pi dans le programme.

Exercice 38

Non commencéAvancé
Une identité. Montrer que, pour tout réel xx, (cos⁡x+sin⁡x)2=1+2sin⁡xcos⁡x(\cos x + \sin x)^2 = 1 + 2\sin x \cos x.

Exercice 39

Non commencéAvancé
Identité avec angle associé. Montrer que, pour tout réel xx, cos⁡2(π2−x)+cos⁡2x=1\cos^2\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) + \cos^2 x = 1.

Exercice 40

Non commencéAvancé
18 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : enroulement sur le cercle trigonométrique · longueur d’arc · valeurs remarquables

Objectifs : modéliser un déplacement orienté sur un cercle · réduire une mesure négative modulo 2π2\pi · distinguer position finale et distance parcourue

Un déplacement sur une piste circulaire. Dans un repère orthonormé d’origine OO, un mobile part du point I(8;0)I(8;0) d’un cercle de centre OO et de rayon 88 m. Il parcourt la piste dans le sens horaire sur un angle total de 19π4\dfrac{19\pi}{4} radians.

1. Traduire le déplacement par une mesure d’angle orienté.
2. Déterminer une mesure de l’angle final dans [0;2π[[0;2\pi[.
3. Sur le cercle trigonométrique associé, indiquer le quadrant et donner les coordonnées exactes du point final.
4. Calculer la longueur exacte réellement parcourue sur la piste de rayon 88 m.
5. Expliquer pourquoi il serait faux de calculer cette longueur avec la seule mesure réduite obtenue à la question 2.

Exercice 41

Non commencéFacile
8 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Cercle trigonométrique · Coordonnées dans un repère · Angle de 60°

Objectifs : Interpréter le radian · Lire le point image d’un réel · Mobiliser les valeurs remarquables

Premier tour sur le cercle. Sur la figure, le point MM est obtenu en partant de II et en parcourant le cercle trigonométrique dans le sens direct d'un arc de longueur π3\dfrac{\pi}{3}.

1. Dans quel quadrant se trouve MM ?
2. Donner une mesure en radians de l'angle IOM^\widehat{IOM}.
3. Déterminer les coordonnées exactes de MM.
4. En déduire cos⁡(π3)\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) et sin⁡(π3)\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right).
Cercle trigonométrique : M est atteint depuis I dans le sens direct par un arc de longueur π/3.

Exercice 42

Non commencéFacile
8 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Proportionnalité · Calcul fractionnaire · Égalité 180° = π radians

Objectifs : Convertir des degrés en radians · Convertir des radians en degrés · Simplifier une fraction

Degrés et radians. Compléter le tableau en donnant des valeurs exactes.

Mesure en degrés30°30°135°135°225°225°300°300°
Mesure en radians


Puis convertir en degrés 5π12\dfrac{5\pi}{12} et −2π3-\dfrac{2\pi}{3}.

Exercice 43

Non commencéFacile
9 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Valeurs remarquables à π/6 · Symétrie centrale · Quadrants

Objectifs : Convertir un angle · Utiliser une symétrie du cercle · Déterminer sinus et cosinus

Un point dans le troisième quadrant. La figure place le point PP image de l'angle 210°210° sur le cercle trigonométrique.

1. Convertir 210°210° en radians.
2. Écrire cet angle sous la forme π+α\pi+\alpha, avec α\alpha remarquable.
3. Par symétrie centrale, déterminer les coordonnées exactes de PP.
4. En déduire cos⁡(210°)\cos(210°) et sin⁡(210°)\sin(210°).
Sur le cercle trigonométrique, le point P est l’image de l’angle 210°.

Exercice 44

Non commencéIntermédiaire
12 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Enroulement de la droite réelle · Calcul fractionnaire · Valeurs à π/6

Objectifs : Réduire un réel modulo 2π · Utiliser la périodicité · Lire des coordonnées remarquables

Deux réels, un même point. On considère les réels

x=−11π6ety=25π6.x=-\frac{11\pi}{6} \qquad\text{et}\qquad y=\frac{25\pi}{6}.

1. Réduire chacun modulo 2π2\pi en choisissant un représentant dans [0 ;2π[[0\,;2\pi[.
2. Montrer que xx et yy ont le même point image MM sur le cercle.
3. À l'aide de la figure, donner les coordonnées exactes de MM.
4. Calculer cos⁡x+sin⁡y\cos x+\sin y.
Le point M représente la position commune à identifier après réduction des deux réels modulo 2π.

Exercice 45

Non commencéIntermédiaire
12 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Équation du cercle unité · Carré d’un nombre négatif · Quadrants

Objectifs : Utiliser cos²x + sin²x = 1 · Choisir un signe avec le quadrant · Calculer une expression exacte

Retrouver une coordonnée sur le cercle. Le point M(cos⁡x ;sin⁡x)M(\cos x\,;\sin x) est situé dans le deuxième quadrant et

cos⁡x=−35.\cos x=-\frac35.

1. Utiliser l'équation du cercle trigonométrique pour calculer sin⁡2x\sin^2 x.
2. Déterminer sin⁡x\sin x en justifiant son signe.
3. Calculer exactement 2sin⁡x−cos⁡x2\sin x-\cos x.
Le point M se trouve dans le deuxième quadrant ; son abscisse vaut −3/5.

Exercice 46

Non commencéIntermédiaire
13 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Radian · Périmètre d’un cercle · Conversions cm–m

Objectifs : Relier angle et longueur d’arc · Calculer avec π · Convertir une longueur

Distance parcourue par une roue. Une roue de rayon 3030 cm roule sans glisser et effectue une rotation de 5π6\dfrac{5\pi}{6} radians.

1. Calculer la longueur exacte de circonférence déroulée sur le sol. En déduire la distance dont la roue a avancé.
2. Donner cette distance en centimètres, arrondie au millimètre.
3. La roue effectue ensuite trois tours complets supplémentaires. Quelle distance totale a alors été parcourue ? Donner la valeur exacte en mètres.

Exercice 47

Non commencéDifficile
18 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Triangle équilatéral · Théorème de Pythagore · Coordonnées sur le cercle

Objectifs : Démontrer une valeur remarquable · Exploiter un hexagone régulier · Utiliser les symétries du cercle

Valeurs obtenues par un hexagone régulier. On inscrit dans le cercle trigonométrique un hexagone régulier dont un sommet est I(1 ;0)I(1\,;0). Deux sommets consécutifs vus depuis OO forment un angle de π3\dfrac{\pi}{3}.

1. Expliquer pourquoi chaque côté de l'hexagone a pour longueur 11.
2. À partir du triangle équilatéral formé par OO et deux sommets consécutifs, retrouver les coordonnées du sommet d'angle π3\dfrac{\pi}{3}.
3. Par symétries, donner les coordonnées des points images de 2π3\dfrac{2\pi}{3}, 4π3\dfrac{4\pi}{3} et 5π3\dfrac{5\pi}{3}.
4. Calculer exactement
S=cos⁡π3+cos⁡2π3+cos⁡4π3+cos⁡5π3.S=\cos\frac{\pi}{3}+\cos\frac{2\pi}{3}+\cos\frac{4\pi}{3}+\cos\frac{5\pi}{3}.
Le cercle unité contient l’hexagone régulier inscrit ; seuls le cercle et l’hexagone intérieur sont utiles aux trois premières questions.

Exercice 48

Non commencéDifficile
16 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Parité de sinus et cosinus · Point diamétralement opposé · Valeurs remarquables

Objectifs : Utiliser parité et symétries · Transformer des angles associés · Démontrer une identité

Simplifier sans calculatrice. Pour un réel xx, on considère

A=cos⁡(−x)+cos⁡(π−x)+sin⁡(π+x)−sin⁡(−x).A=\cos(-x)+\cos(\pi-x)+\sin(\pi+x)-\sin(-x).

1. À l'aide des symétries du cercle trigonométrique, exprimer chacun des quatre termes en fonction de cos⁡x\cos x ou sin⁡x\sin x.
2. Simplifier AA.
3. Vérifier le résultat pour x=π6x=\dfrac{\pi}{6} avec des valeurs exactes.

Exercice 49

Non commencéAvancé
23 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Hexagone régulier · Trigonométrie du triangle rectangle · Périmètre du cercle

Objectifs : Comparer des périmètres · Exploiter un polygone régulier · Établir un encadrement de π

L'encadrement d'Archimède avec des hexagones. La figure montre un cercle de rayon 11, un hexagone régulier inscrit et un hexagone régulier circonscrit. On admet qu'un polygone inscrit a un périmètre inférieur à celui du cercle, lui-même inférieur au périmètre d'un polygone circonscrit.

1. Justifier que le périmètre de l'hexagone inscrit vaut 66.
2. Dans l'hexagone circonscrit, montrer que la demi-longueur d'un côté vaut 13\dfrac1{\sqrt3}.
3. En déduire que son périmètre vaut 434\sqrt3.
4. Établir alors l'encadrement
3<π<23.3<\pi<2\sqrt3.
5. Donner les valeurs décimales des deux bornes au centième et commenter la précision.
Cercle de rayon 1 placé entre un hexagone régulier inscrit et un hexagone régulier circonscrit, comme dans la méthode d’Archimède.

Exercice 50

Non commencéAvancé
22 min
Objectifs et prérequis6 repères

Prérequis : Enroulement modulo 2π · Coordonnées d’un point opposé · Somme indexée

Objectifs : Exploiter une périodicité · Raisonner sur des points opposés · Calculer une somme par regroupement

Douze positions qui se répètent. Pour tout entier naturel nn, on note MnM_n le point image du réel nπ6\dfrac{n\pi}{6} sur le cercle trigonométrique. La figure fait apparaître les douze positions possibles ; M1M_1 est indiqué.

1. Expliquer pourquoi Mn+12=MnM_{n+12}=M_n pour tout nn.
2. Déterminer le point de la figure confondu avec M17M_{17}, puis donner ses coordonnées exactes.
3. Montrer que Mn+6M_{n+6} est diamétralement opposé à MnM_n.
4. Sans additionner les douze valeurs une par une, calculer
C=∑n=011cos⁡(nπ6)etS=∑n=011sin⁡(nπ6).C=\sum_{n=0}^{11}\cos\left(\frac{n\pi}{6}\right) \quad\text{et}\quad S=\sum_{n=0}^{11}\sin\left(\frac{n\pi}{6}\right).
Cercle trigonométrique partagé en douze arcs égaux ; M₁ est le premier point après I dans le sens direct.

Aller plus loin sur ce chapitre

Les 4 problèmes de synthèse et 2 devoirs surveillés restent sur la page du chapitre : ils mobilisent plusieurs notions à la fois et s'abordent une fois ces exercices maîtrisés.

Voir les 4 problèmes de synthèse et 2 devoirs surveillés sur la trigonométrie