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Chapitre 09 Fonctions trigonométriques Terminale Spé

Exercices corrigés sur les fonctions trigonométriques en Terminale spécialité

Ces exercices de fonctions trigonométriques en Terminale commencent par les valeurs exactes et les formules d’addition ou de duplication. Tu peux décomposer un angle en angles remarquables, transformer une expression avec des carrés ou mettre une somme de sinus et cosinus sous une forme plus simple. Pour résoudre une équation, écris les solutions puis sélectionne celles qui appartiennent à l’intervalle demandé.

La suite propose des dérivées et des variations avec sinus, cosinus et tangente. Le domaine de définition devient essentiel dès que tu divises par un cosinus : certains angles doivent être exclus avant tout calcul. Les exercices plus avancés associent transformations trigonométriques, étude du signe et limites. Appuie-toi sur le cercle trigonométrique pour contrôler les signes et éviter d’oublier une famille de solutions.

44 exercices : 12 faciles, 12 intermédiaires, 10 difficiles, 10 avancés. Le tri et la recherche ci-dessous permettent de commencer par le niveau qui te convient. Ta progression est mémorisée sur cet appareil.

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Cours et fiche de révision sur les fonctions trigonométriques

Les 44 exercices, du plus simple au plus complet

44 exercices disponibles0 réussis · 0 à revoir

Exercice 1

Non commencéFacile
Calculer la valeur exacte de cos⁡7π12\cos\dfrac{7\pi}{12}.

(Indication : écrire 7π12\dfrac{7\pi}{12} comme somme de deux angles remarquables.)

Exercice 2

Non commencéFacile
Calculer la valeur exacte de sin⁡π12\sin\dfrac{\pi}{12}.

(Indication : écrire π12\dfrac{\pi}{12} comme différence de deux angles remarquables.)

Exercice 3

Non commencéFacile
Sachant que cos⁡a=35\cos a = \dfrac{3}{5} et sin⁡a=45\sin a = \dfrac{4}{5} avec a∈]0 ;π2[a \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[, calculer la valeur exacte de cos⁡ ⁣(a+π3)\cos\!\left(a + \dfrac{\pi}{3}\right).

Exercice 4

Non commencéFacile
Simplifier les expressions suivantes :

1) A=2cos⁡2 ⁣(π8)−1A = 2\cos^2\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right) - 1

2) B=1−2sin⁡2 ⁣(π12)B = 1 - 2\sin^2\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)

Exercice 5

Non commencéFacile
Calculer la valeur exacte de sin⁡π8\sin\dfrac{\pi}{8} en utilisant la formule sin⁡2a=1−cos⁡(2a)2\sin^2 a = \dfrac{1-\cos(2a)}{2}.

Exercice 6

Non commencéFacile
Linéariser l'expression f(x)=cos⁡2x−sin⁡2xf(x) = \cos^2 x - \sin^2 x (c'est-à-dire l'écrire sans carré).

Exercice 7

Non commencéFacile
1) Donner l'ensemble de définition de la fonction tangente.

2) Calculer tan⁡π3\tan\dfrac{\pi}{3} et tan⁡5π4\tan\dfrac{5\pi}{4}.

3) La fonction tangente est-elle définie en x=3π2x = \dfrac{3\pi}{2} ? Justifier.

Exercice 8

Non commencéFacile
Soit f(x)=tan⁡(2x)f(x) = \tan(2x), définie là où cos⁡(2x)≠0\cos(2x) \neq 0.

1) Préciser l'ensemble de définition de ff.

2) Calculer f′(x)f'(x).

Exercice 9

Non commencéFacile
Résoudre sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[ l'équation cos⁡x=12\cos x = \dfrac{1}{2}.

Exercice 10

Non commencéFacile
Résoudre sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[ l'équation sin⁡x=−22\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Exercice 11

Non commencéFacile
Résoudre sur ]−π ;π]]-\pi\,;\pi] l'équation tan⁡x=3\tan x = \sqrt{3}.

Exercice 12

Non commencéFacile
Écrire l'expression 3cos⁡x+sin⁡x\sqrt{3}\cos x + \sin x sous la forme Rcos⁡(x−φ)R\cos(x - \varphi) où R>0R > 0 et φ∈[0 ;2π[\varphi \in [0\,;2\pi[.

Exercice 13

Non commencéIntermédiaire
1) Développer et simplifier cos⁡ ⁣(π4+x)+cos⁡ ⁣(π4−x)\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4} + x\right) + \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right).

2) En déduire la valeur exacte de cos⁡π12+cos⁡5π12\cos\dfrac{\pi}{12} + \cos\dfrac{5\pi}{12}.

Exercice 14

Non commencéIntermédiaire
Résoudre sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[ l'équation cos⁡(2x)+cos⁡x=0\cos(2x) + \cos x = 0.

(Indication : utiliser une formule de duplication pour se ramener à une équation en cos⁡x\cos x.)

Exercice 15

Non commencéIntermédiaire
Soit a∈]0 ;π2[a \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[ tel que tan⁡a=2\tan a = 2.

1) Calculer cos⁡2a\cos^2 a à l'aide de 1+tan⁡2a=1cos⁡2a1 + \tan^2 a = \dfrac{1}{\cos^2 a}.

2) En déduire les valeurs de cos⁡a\cos a et sin⁡a\sin a.

3) Calculer la valeur exacte de sin⁡ ⁣(a+π4)\sin\!\left(a + \dfrac{\pi}{4}\right).

Exercice 16

Non commencéIntermédiaire
1) Montrer que pour tout réel xx : cos⁡4x=3+4cos⁡(2x)+cos⁡(4x)8\cos^4 x = \dfrac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}.

(Indication : écrire cos⁡4x=(cos⁡2x)2\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 et linéariser deux fois.)

2) En déduire la valeur exacte de cos⁡4π8\cos^4\dfrac{\pi}{8}.

Exercice 17

Non commencéIntermédiaire
1) Mettre cos⁡x−sin⁡x\cos x - \sin x sous la forme Rcos⁡(x−φ)R\cos(x - \varphi) avec R>0R > 0 et φ∈[0 ;2π[\varphi \in [0\,;2\pi[.

2) En déduire les solutions sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[ de l'équation cos⁡x−sin⁡x=1\cos x - \sin x = 1.

Exercice 18

Non commencéIntermédiaire
Résoudre sur ]−π2 ;π2[\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[ l'équation tan⁡(2x)=tan⁡x\tan(2x) = \tan x.

(Attention à l'ensemble de définition.)

Exercice 19

Non commencéIntermédiaire
Soit x∈]0 ;π2[x \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[ tel que sin⁡x=13\sin x = \dfrac{1}{3}.

1) Calculer cos⁡x\cos x.

2) Calculer sin⁡(2x)\sin(2x) et cos⁡(2x)\cos(2x).

3) En déduire tan⁡(2x)\tan(2x).

Exercice 20

Non commencéIntermédiaire
1) Simplifier sin⁡(π+x)+sin⁡(π−x)\sin(\pi + x) + \sin(\pi - x).

2) Simplifier cos⁡ ⁣(π2+x)+cos⁡ ⁣(π2−x)\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) + \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right).

3) Développer et simplifier sin⁡(a+b)sin⁡(a−b)\sin(a+b)\sin(a-b).

Exercice 21

Non commencéIntermédiaire
Résoudre sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[ l'équation sin⁡(2x)=sin⁡x\sin(2x) = \sin x.

Exercice 22

Non commencéIntermédiaire
1) À l'aide de la formule d'addition de la tangente, calculer la valeur exacte de tan⁡7π12\tan\dfrac{7\pi}{12}.

2) Vérifier ce résultat en calculant sin⁡(7π/12)cos⁡(7π/12)\dfrac{\sin(7\pi/12)}{\cos(7\pi/12)} à l'aide des résultats des exos faciles.

Exercice 23

Non commencéIntermédiaire
On considère la fonction ff définie par f(x)=tan⁡x−xf(x) = \tan x - x sur ]−π2 ;π2[\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[.

1) Calculer f′(x)f'(x).

2) Montrer que f′(x)⩾0f'(x) \geqslant 0 pour tout xx et préciser quand il y a égalité.

3) En déduire le sens de variation de ff et que pour tout x∈]0 ;π2[x \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[ : tan⁡x⩾x\tan x \geqslant x.

Exercice 24

Non commencéIntermédiaire
Résoudre sur [0 ;2π[[0\,;2\pi[ l'équation 2cos⁡2x−3sin⁡(2x)=12\cos^2 x - \sqrt{3}\sin(2x) = 1.

(Indication : utiliser la linéarisation et une mise sous forme Rcos⁡(x−φ)R\cos(x - \varphi).)

Exercice 25

Non commencéDifficile
f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x) = \sin x + \cos x.
1.
Montrer f(x)=2sin⁡(x+π/4)f(x) = \sqrt{2}\sin(x+\pi/4).
2.
Amplitude, période.
3.
Max et min.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 26

Non commencéDifficile
Résoudre cos⁡x+3sin⁡x=1\cos x + \sqrt{3}\sin x = 1 sur [0;2π[[0;2\pi[.
1.
Forme Rcos⁡(x−φ)R\cos(x-\varphi).
2.
Solutions.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 27

Non commencéDifficile
Convexité de sin.
1.
sin⁡′′(x)\sin''(x).
2.
Convexité/concavité sur [0;2π][0;2\pi].
3.
Montrer sin⁡x≤x\sin x \leq x pour x≥0x \geq 0.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 28

Non commencéDifficile
Dérivées composées trigo.
1.
sin⁡3(x)\sin^3(x)
2.
cos⁡(x3)\cos(x^3)
3.
sin⁡(cos⁡x)\sin(\cos x)
4.
esin⁡xe^{\sin x}
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 29

Non commencéDifficile
Tangente en 0 de sin et cos.
1.
sin⁡x≈x\sin x \approx x pour xx petit.
2.
cos⁡x≈1−x2/2\cos x \approx 1 - x^2/2.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 30

Non commencéDifficile
f(x)=x+sin⁡xf(x) = x + \sin x.
1.
Imparité, croissance.
2.
Points d'inflexion.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 31

Non commencéDifficile
Duplication avancée.
1.
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x\cos x.
2.
sin⁡2x=(1−cos⁡2x)/2\sin^2 x = (1-\cos 2x)/2.
3.
sin⁡2(π/8)\sin^2(\pi/8).
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 32

Non commencéDifficile
f(x)=cos⁡x−xf(x) = \cos x - x. Unique solution de cos⁡x=x\cos x = x.
1.
ff strictement décroissante.
2.
Unique zéro dans ]0;1[]0;1[.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 33

Non commencéDifficile
Encadrement de sin⁡x/x\sin x/x.
1.
cos⁡x≤sin⁡x/x≤1\cos x \leq \sin x/x \leq 1 sur ]0;π/2]]0;\pi/2].
2.
sin⁡x/x\sin x/x décroissante sur ]0;π/2]]0;\pi/2].
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 34

Non commencéDifficile
Primitives de sin⁡2\sin^2 et cos⁡2\cos^2.
1.
∫0πsin⁡2x dx\int_0^\pi \sin^2 x\,dx
2.
∫0πcos⁡2x dx\int_0^\pi \cos^2 x\,dx
3.
Égalité. Interpréter.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 35

Non commencéAvancé
f(x)=xsin⁡(1/x)f(x) = x\sin(1/x) pour x≠0x \neq 0.
1.
∣f(x)∣≤∣x∣|f(x)| \leq |x|, limite en 0.
2.
Prolongement, dérivabilité en 0.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 36

Non commencéAvancé
f(x)=exsin⁡xf(x) = e^x\sin x.
1.
f′(x)f'(x).
2.
Extremums en suite géométrique.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 37

Non commencéAvancé
Formule d'Euler eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.
1.
eiπ=−1e^{i\pi} = -1.
2.
∣eiθ∣=1|e^{i\theta}| = 1.
3.
Retrouver duplication.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 38

Non commencéAvancé
Fonction tangente.
1.
tan⁡′=1/cos⁡2x=1+tan⁡2x\tan' = 1/\cos^2 x = 1+\tan^2 x.
2.
Bijection de ]−π/2;π/2[]-\pi/2;\pi/2[ sur R\mathbb{R}.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 39

Non commencéAvancé
Résoudre sin⁡x=cos⁡x\sin x = \cos x.
1.
tan⁡x=1\tan x = 1.
2.
Sur [−π;π][-\pi;\pi].
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 40

Non commencéAvancé
sin⁡(x)/x\sin(x)/x : prolongement et propriétés.
1.
Prolongement en 0.
2.
Parité, limites.
3.
Infinité de zéros.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 41

Non commencéAvancé
Sn=∑k=0nsin⁡(kθ)S_n = \sum_{k=0}^n \sin(k\theta).
1.
Multiplier par 2sin⁡(θ/2)2\sin(\theta/2).
2.
Télescopage.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 42

Non commencéAvancé
Dérivée de arctan.
1.
(arctan⁡)′(y)=1/(1+y2)(\arctan)'(y) = 1/(1+y^2).
2.
arctan⁡(0),arctan⁡(1),lim⁡+∞\arctan(0), \arctan(1), \lim_{+\infty}.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 43

Non commencéAvancé
Battements : cos⁡(10x)cos⁡(11x)\cos(10x)\cos(11x).
1.
Linéariser.
2.
Interpréter.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Exercice 44

Non commencéAvancé
Montrer ∣sin⁡(nx)∣≤n∣sin⁡x∣|\sin(nx)| \leq n|\sin x| par récurrence.
1.
Init n=1n=1.
2.
Hérédité.
Ton auto-évaluation

Après comparaison avec la correction, où en es-tu ?

Aller plus loin sur ce chapitre

Les 4 problèmes de synthèse restent sur la page du chapitre : ils mobilisent plusieurs notions à la fois et s'abordent une fois ces exercices maîtrisés.

Voir les 4 problèmes de synthèse sur les fonctions trigonométriques