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IV Probabilités & statistiques · Chapitre 10 / 10

Variables aléatoires

Q: Comment calculer la variance et l'écart-type ?

La variance vaut V(X) = E(X^2) - (E(X))^2, et l'écart-type est sa racine carrée : (X) = racine(V(X)). La variance mesure la dispersion autour de l'espérance ; l'écart-type a l'avantage d'être dans la même unité que X.

Loi de probabilité, espérance, variance.

8 min de lecture

4 sections, 4 exemples

40 exercices · 4 problèmes

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Probabilités conditionnelles

L'essentiel en 30 secondes

Une variable aléatoire X associe un nombre à chaque issue d'une expérience ; sa loi de probabilité liste ses valeurs possibles avec leurs probabilités. L'espérance E(X) = Σ x × P(X = x) est la moyenne obtenue sur un très grand nombre de répétitions ; la variance et l'écart type mesurent la dispersion autour de cette moyenne.

1 I. Variable aléatoire et loi de probabilité

Une variable aléatoire attribue un nombre au résultat d'une expérience aléatoire : le gain à un jeu, le nombre de succès, la valeur d'un dé. Elle permet de résumer une expérience par des indicateurs numériques : une valeur moyenne attendue (l'espérance) et une dispersion (l'écart-type).

Exemple

Soit

X

la variable de loi :

$x_i$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x_i)$	$0{,}2$	$0{,}5$	$0{,}3$

La somme des probabilités vaut

0{,}2 + 0{,}5 + 0{,}3 = 1

: c'est bien une loi de probabilité. On lit par exemple

P(X = 2) = 0{,}5

P(X \geqslant 2) = 0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8

2 II. Espérance

Démonstration

La variable

aX + b

prend les valeurs

ax_i + b

avec les mêmes probabilités

p_i

. Donc :

E(aX + b) = \sum_i (ax_i + b)p_i = a\sum_i x_i p_i + b\sum_i p_i = a\,E(X) + b \times 1 = a\,E(X) + b

(en utilisant

\sum p_i = 1

\square

3 III. Variance et écart-type

Démonstration

En développant le carré dans la définition et par linéarité :

V(X) = \sum_i p_i\,(x_i - E(X))^2 = \sum_i p_i\big(x_i^2 - 2E(X)x_i + E(X)^2\big)

= \sum_i x_i^2 p_i - 2E(X)\sum_i x_i p_i + E(X)^2\sum_i p_i = E(X^2) - 2E(X)\cdot E(X) + E(X)^2 = E(X^2) - E(X)^2

\square

4 IV. Applications

Questions fréquentes

Qu'est-ce que l'espérance d'une variable aléatoire ?

C'est la moyenne des valeurs prises, pondérées par leurs probabilités :

E(X) = \sum x_i \, P(X = x_i)

. Elle s'interprète comme le gain moyen par partie si l'on répétait l'expérience un très grand nombre de fois.

Comment calculer la variance et l'écart-type ?

La variance vaut

V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2

, et l'écart-type est sa racine carrée :

\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

. La variance mesure la dispersion autour de l'espérance ; l'écart-type a l'avantage d'être dans la même unité que

X

Qu'est-ce qu'un jeu équitable ?

Un jeu est équitable si l'espérance de gain est nulle : en moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur ne gagne ni ne perd rien. Une espérance négative signifie que le jeu est défavorable au joueur.

Loi et espérance

Variance et écart-type

Pièges à éviter

40 exercices disponibles

Exercice 1

Facile

Reconnaître une loi. Une variable

X

prend les valeurs

1

2

3

avec probabilités

0{,}2

0{,}5

0{,}3

. Vérifier que c'est bien une loi de probabilité.

Correction détaillée

Les probabilités sont positives et $0{,}2 + 0{,}5 + 0{,}3 = 1$ : c'est bien une loi de probabilité.

Exercice 2

Facile

Probabilité manquante. Une variable

X

a la loi

P(X = 1) = 0{,}3

P(X = 2) = ?

P(X = 3) = 0{,}4

. Déterminer

P(X = 2)

Correction détaillée

La somme vaut $1$ : $P(X = 2) = 1 - 0{,}3 - 0{,}4 = 0{,}3$.

Exercice 3

Facile

Espérance (1). Soit

X

de loi

P(X = 0) = 0{,}5

P(X = 1) = 0{,}3

P(X = 2) = 0{,}2

. Calculer

E(X)

Correction détaillée

$E(X) = 0 \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}3 + 2 \times 0{,}2 = 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7$.

Exercice 4

Facile

Espérance (2). Soit

X

de loi

(1\,;0{,}2)

(2\,;0{,}5)

(3\,;0{,}3)

. Calculer

E(X)

Correction détaillée

$E(X) = 1 \times 0{,}2 + 2 \times 0{,}5 + 3 \times 0{,}3 = 0{,}2 + 1 + 0{,}9 = 2{,}1$.

Exercice 5

Facile

Probabilité cumulée. Pour

X

de loi

(1\,;0{,}2)

(2\,;0{,}5)

(3\,;0{,}3)

, calculer

P(X \geqslant 2)

Correction détaillée

$P(X \geqslant 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8$.

Exercice 6

Facile

Lecture d'une loi. Pour la loi

(1\,;0{,}2)

(2\,;0{,}5)

(3\,;0{,}3)

, donner

P(X = 2)

Correction détaillée

$P(X = 2) = 0{,}5$.

Exercice 7

Facile

Espérance d'un dé. Soit

X

le résultat d'un dé équilibré à six faces. Calculer

E(X)

Correction détaillée

Chaque face a probabilité $\dfrac{1}{6}$ : $E(X) = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \dfrac{21}{6} = 3{,}5$.

Exercice 8

Facile

Moment d'ordre 2. Pour

X

de loi

(1\,;0{,}2)

(2\,;0{,}5)

(3\,;0{,}3)

, calculer

E(X^2)

Correction détaillée

$E(X^2) = 1 \times 0{,}2 + 4 \times 0{,}5 + 9 \times 0{,}3 = 0{,}2 + 2 + 2{,}7 = 4{,}9$.

Exercice 9

Facile

Variance. Pour cette même variable (

E(X) = 2{,}1

E(X^2) = 4{,}9

), calculer

V(X)

Correction détaillée

$V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 4{,}9 - 2{,}1^2 = 4{,}9 - 4{,}41 = 0{,}49$.

Exercice 10

Facile

Écart-type. Sachant que

V(X) = 0{,}49

, calculer l'écart-type

\sigma(X)

Correction détaillée

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0{,}49} = 0{,}7$.

Exercice 11

Facile

Espérance d'une transformation. Avec

E(X) = 2{,}1

, calculer

E(2X + 1)

Correction détaillée

$E(2X + 1) = 2\,E(X) + 1 = 2 \times 2{,}1 + 1 = 5{,}2$.

Exercice 12

Facile

Variance d'une transformation. Avec

V(X) = 0{,}49

, calculer

V(3X)

Correction détaillée

$V(3X) = 3^2\,V(X) = 9 \times 0{,}49 = 4{,}41$.

Exercice 13

Facile

Écart-type d'une transformation. Avec

\sigma(X) = 0{,}7

, calculer

\sigma(3X)

Correction détaillée

$\sigma(3X) = |3|\,\sigma(X) = 3 \times 0{,}7 = 2{,}1$.

Exercice 14

Facile

Gain moyen. Un joueur gagne

5

€ avec probabilité

0{,}4

et perd

2

€ avec probabilité

0{,}6

. Calculer l'espérance

E(X)

de son gain

X

Correction détaillée

$E(X) = 5 \times 0{,}4 + (-2) \times 0{,}6 = 2 - 1{,}2 = 0{,}8$ €.

Exercice 15

Facile

Jeu équitable. Le gain

X

d'un jeu vaut

-1

€ avec probabilité

\dfrac{2}{3}

+2

€ avec probabilité

\dfrac{1}{3}

. Le jeu est-il équitable ?

Correction détaillée

$E(X) = -1 \times \dfrac{2}{3} + 2 \times \dfrac{1}{3} = -\dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = 0$. Comme $E(X) = 0$, le jeu est **équitable**.

Exercice 16

Intermédiaire

Loi, espérance et variance. Soit

X

de loi

(0\,;0{,}25)

(2\,;0{,}5)

(4\,;0{,}25)

. Calculer

E(X)

, puis

V(X)

\sigma(X)

Correction détaillée

$E(X) = 0 \times 0{,}25 + 2 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}25 = 1 + 1 = 2$. $E(X^2) = 0 + 4 \times 0{,}5 + 16 \times 0{,}25 = 2 + 4 = 6$, donc $V(X) = 6 - 2^2 = 2$ et $\sigma(X) = \sqrt{2} \approx 1{,}41$.

Exercice 17

Intermédiaire

Loterie. Un billet rapporte

0

€ avec probabilité

0{,}9

10

€ avec probabilité

0{,}09

100

€ avec probabilité

0{,}01

. Calculer le gain moyen

E(X)

Correction détaillée

$E(X) = 0 \times 0{,}9 + 10 \times 0{,}09 + 100 \times 0{,}01 = 0{,}9 + 1 = 1{,}9$ €.

Exercice 18

Intermédiaire

Espérance affine. Avec

E(X) = 2{,}1

, calculer

E(3X - 2)

Correction détaillée

$E(3X - 2) = 3\,E(X) - 2 = 3 \times 2{,}1 - 2 = 6{,}3 - 2 = 4{,}3$.

Exercice 19

Intermédiaire

Variance affine. Avec

V(X) = 0{,}49

, calculer

V(-2X + 5)

Correction détaillée

$V(-2X + 5) = (-2)^2\,V(X) = 4 \times 0{,}49 = 1{,}96$.

Exercice 20

Intermédiaire

Déterminer un coefficient. Une variable

X

vérifie

E(X) = 2{,}1

. Déterminer le réel

a

tel que

E(aX) = 6{,}3

Correction détaillée

$E(aX) = a\,E(X) = 2{,}1\,a = 6{,}3 \iff a = 3$.

Exercice 21

Intermédiaire

Loi d'une transformation. Soit

X

de loi

(1\,;0{,}2)

(2\,;0{,}5)

(3\,;0{,}3)

Y = 2X

. Donner la loi de

Y

et calculer

E(Y)

Correction détaillée

$Y$ prend les valeurs $2$, $4$, $6$ avec les mêmes probabilités $0{,}2$, $0{,}5$, $0{,}3$. $E(Y) = 2 \times 0{,}2 + 4 \times 0{,}5 + 6 \times 0{,}3 = 0{,}4 + 2 + 1{,}8 = 4{,}2$ (on retrouve $2 \times 2{,}1$).

Exercice 22

Intermédiaire

Roue de loterie. Une roue donne un gain

X

valant

-5

€ (probabilité

0{,}5

0

€ (probabilité

0{,}3

) ou

15

€ (probabilité

0{,}2

). Calculer

E(X)

et conclure sur le caractère favorable du jeu.

Correction détaillée

$E(X) = -5 \times 0{,}5 + 0 \times 0{,}3 + 15 \times 0{,}2 = -2{,}5 + 3 = 0{,}5$ €. Comme $E(X) > 0$, le jeu est **favorable** au joueur.

Exercice 23

Intermédiaire

Deux pièces. On lance deux pièces équilibrées et on note

X

le nombre de « pile ». Établir la loi de

X

puis calculer

E(X)

Correction détaillée

$X \in \{0, 1, 2\}$ avec $P(X = 0) = \dfrac{1}{4}$, $P(X = 1) = \dfrac{1}{2}$, $P(X = 2) = \dfrac{1}{4}$. $E(X) = 0 \times \dfrac{1}{4} + 1 \times \dfrac{1}{2} + 2 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$.

Exercice 24

Intermédiaire

De la variance à l'écart-type. Une variable

X

vérifie

V(X) = 1{,}96

. Calculer

\sigma(X)

Correction détaillée

$\sigma(X) = \sqrt{1{,}96} = 1{,}4$.

Exercice 25

Intermédiaire

Variance de deux pièces. Pour

X

= nombre de « pile » en deux lancers (loi

(0\,;\frac{1}{4})

(1\,;\frac{1}{2})

(2\,;\frac{1}{4})

), calculer

V(X)

Correction détaillée

$E(X) = 1$ (exercice 23). $E(X^2) = 0 \times \dfrac{1}{4} + 1 \times \dfrac{1}{2} + 4 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2}$. Donc $V(X) = \dfrac{3}{2} - 1^2 = \dfrac{1}{2}$.

Exercice 26

Intermédiaire

Prix équitable. Un jeu consiste à payer une mise

m

€ puis à gagner

10

€ avec probabilité

0{,}3

(et rien sinon). Déterminer

m

pour que le jeu soit équitable.

Correction détaillée

Le gain algébrique est $G = 10 - m$ avec probabilité $0{,}3$ et $G = -m$ avec probabilité $0{,}7$. $E(G) = 0{,}3 \times 10 - m = 3 - m$. Le jeu est équitable si $E(G) = 0$, soit $m = 3$ €.

Exercice 27

Intermédiaire

Espérance et variance. Soit

X

de loi

(1\,;0{,}5)

(2\,;0{,}25)

(3\,;0{,}25)

. Calculer

E(X)

V(X)

Correction détaillée

$E(X) = 1 \times 0{,}5 + 2 \times 0{,}25 + 3 \times 0{,}25 = 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}75 = 1{,}75$. $E(X^2) = 1 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}25 + 9 \times 0{,}25 = 0{,}5 + 1 + 2{,}25 = 3{,}75$, donc $V(X) = 3{,}75 - 1{,}75^2 = 3{,}75 - 3{,}0625 = 0{,}6875$.

Exercice 28

Intermédiaire

Variable centrée. Soit

X

avec

E(X) = 2{,}1

. On pose

Y = X - 2{,}1

. Calculer

E(Y)

Correction détaillée

$E(Y) = E(X - 2{,}1) = E(X) - 2{,}1 = 2{,}1 - 2{,}1 = 0$. La variable $Y$ est dite **centrée** (d'espérance nulle).

Exercice 29

Difficile

Jeu du dé. On lance un dé équilibré. Si le résultat est pair, on gagne sa valeur (en €) ; s'il est impair, on perd

3

€. Soit

X

le gain.

Établir la loi de probabilité de

X

Impair (1, 3, 5) : gain $-3$, de probabilité $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. Pair : gain $2$, $4$ ou $6$, chacun de probabilité $\dfrac{1}{6}$. | $x_i$ | $-3$ | $2$ | $4$ | $6$ | | --- | --- | --- | --- | --- | | $p_i$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ |

Calculer

E(X)

et interpréter.

$E(X) = -3 \times \dfrac{1}{2} + (2 + 4 + 6) \times \dfrac{1}{6} = -\dfrac{3}{2} + \dfrac{12}{6} = -1{,}5 + 2 = 0{,}5$ €. Le jeu est favorable (gain moyen $0{,}5$ € par partie).

Exercice 30

Difficile

Prix d'un billet. Une tombola propose un lot de

200

€ (probabilité

\frac{1}{100}

), un lot de

50

€ (probabilité

\frac{4}{100}

), et rien sinon. Déterminer le prix du billet qui rend le jeu équitable pour l'organisateur (espérance nulle du gain du joueur).

Correction détaillée

Sans le prix, le gain espéré du joueur est $200 \times \dfrac{1}{100} + 50 \times \dfrac{4}{100} = 2 + 2 = 4$ €. En payant un billet de prix $p$, le gain algébrique a pour espérance $4 - p$. Le jeu est équitable si $4 - p = 0$, soit $p = 4$ €.

Exercice 31

Difficile

Comparer deux jeux. Le jeu

A

a un gain d'espérance

E(A) = 2

€ et d'écart-type

\sigma(A) = 1

€ ; le jeu

B

E(B) = 2

€ et

\sigma(B) = 5

€. Quel jeu est le plus « sûr » ? Justifier.

Correction détaillée

Les deux jeux ont le même gain moyen ($2$ €). Le jeu $A$ a un écart-type plus petit ($1 < 5$) : ses résultats sont plus **concentrés** autour de la moyenne. Le jeu $A$ est donc le plus sûr (moins risqué).

Exercice 32

Difficile

Somme de deux dés. On lance deux dés équilibrés et on note

S

la somme des résultats. Calculer

P(S = 7)

E(S)

Correction détaillée

Il y a $36$ issues équiprobables. La somme $7$ s'obtient de $6$ façons ($1{+}6$, $2{+}5$, $3{+}4$, $4{+}3$, $5{+}2$, $6{+}1$), donc $P(S = 7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$. Par linéarité, $E(S) = E(D_1) + E(D_2) = 3{,}5 + 3{,}5 = 7$.

Exercice 33

Difficile

Transformation ciblée. Une variable

X

vérifie

E(X) = 4

V(X) = 9

. On pose

Y = \dfrac{X - 4}{3}

. Calculer

E(Y)

V(Y)

Correction détaillée

$Y = \dfrac{1}{3}X - \dfrac{4}{3}$. Donc $E(Y) = \dfrac{1}{3}E(X) - \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{3} - \dfrac{4}{3} = 0$ et $V(Y) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 V(X) = \dfrac{9}{9} = 1$. ($Y$ est centrée réduite.)

Exercice 34

Difficile

Assurance. Une compagnie assure un objet contre le vol (probabilité

0{,}02

), avec un remboursement de

500

€ en cas de vol. La prime annuelle payée par le client est

20

€. Soit

X

le gain algébrique de la compagnie. Calculer

E(X)

Correction détaillée

La compagnie encaisse $20$ € et rembourse $500$ € en cas de vol. Gain : $20$ € (probabilité $0{,}98$) ou $20 - 500 = -480$ € (probabilité $0{,}02$). $E(X) = 20 \times 0{,}98 + (-480) \times 0{,}02 = 19{,}6 - 9{,}6 = 10$ € : la compagnie gagne $10$ € en moyenne par contrat.

Exercice 35

Difficile

Nombre de six. On lance deux dés équilibrés et on note

X

le nombre de six obtenus. Établir la loi de

X

puis calculer

E(X)

Correction détaillée

$X \in \{0, 1, 2\}$. $P(X = 2) = \dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}$ ; $P(X = 0) = \dfrac{5}{6}\times\dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{36}$ ; $P(X = 1) = 1 - \dfrac{25}{36} - \dfrac{1}{36} = \dfrac{10}{36}$. $E(X) = 0 \times \dfrac{25}{36} + 1 \times \dfrac{10}{36} + 2 \times \dfrac{1}{36} = \dfrac{12}{36} = \dfrac{1}{3}$.

Exercice 36

Avancé

Étude complète d'un jeu. À un jeu, on tire une carte parmi

10

(numérotées de

1

10

). Si le numéro est un multiple de

3

, on gagne

6

€ ; sinon on perd

2

€. Soit

X

le gain.

Établir la loi de

X

Les multiples de $3$ entre $1$ et $10$ sont $3$, $6$, $9$ : trois cartes, donc $P(X = 6) = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$ et $P(X = -2) = 0{,}7$.

Calculer

E(X)

. Le jeu est-il favorable ?

$E(X) = 6 \times 0{,}3 + (-2) \times 0{,}7 = 1{,}8 - 1{,}4 = 0{,}4$ € : le jeu est **favorable** au joueur.

Calculer

V(X)

\sigma(X)

(arrondir l'écart-type au centième).

$E(X^2) = 36 \times 0{,}3 + 4 \times 0{,}7 = 10{,}8 + 2{,}8 = 13{,}6$. Donc $V(X) = 13{,}6 - 0{,}4^2 = 13{,}6 - 0{,}16 = 13{,}44$ et $\sigma(X) = \sqrt{13{,}44} \approx 3{,}67$ €.

Exercice 37

Avancé

Retrouver une loi. Une variable

X

prend les valeurs

0

1

2

avec

P(X = 0) = 0{,}5

. Sachant que

E(X) = 0{,}7

, déterminer

P(X = 1)

P(X = 2)

Correction détaillée

Notons $P(X = 1) = a$ et $P(X = 2) = b$. On a le système : $0{,}5 + a + b = 1$ (somme des probabilités) et $0 \times 0{,}5 + 1 \times a + 2 \times b = 0{,}7$ (espérance). Donc $a + b = 0{,}5$ et $a + 2b = 0{,}7$. En soustrayant : $b = 0{,}2$, puis $a = 0{,}3$. Ainsi $P(X = 1) = 0{,}3$ et $P(X = 2) = 0{,}2$.

Exercice 38

Avancé

Démonstration de König-Huygens. Démontrer que, pour toute variable aléatoire

X

V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2

Correction détaillée

Notons $\mu = E(X)$. Par définition, $V(X) = \sum_i p_i (x_i - \mu)^2$. On développe le carré : $$V(X) = \sum_i p_i\big(x_i^2 - 2\mu x_i + \mu^2\big) = \sum_i x_i^2 p_i - 2\mu\sum_i x_i p_i + \mu^2\sum_i p_i$$ Or $\sum_i x_i^2 p_i = E(X^2)$, $\sum_i x_i p_i = E(X) = \mu$ et $\sum_i p_i = 1$. Donc : $$V(X) = E(X^2) - 2\mu \cdot \mu + \mu^2 = E(X^2) - \mu^2 = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 \qquad \square$$

Exercice 39

Avancé

Linéarité de l'espérance. Démontrer que, pour tous réels

a

b

E(aX + b) = a\,E(X) + b

Correction détaillée

La variable $aX + b$ prend les valeurs $ax_i + b$ avec les probabilités $p_i$ de $X$. Donc : $$E(aX + b) = \sum_i (ax_i + b)p_i = a\sum_i x_i p_i + b\sum_i p_i = a\,E(X) + b \times 1 = a\,E(X) + b$$ en utilisant $\sum_i x_i p_i = E(X)$ et $\sum_i p_i = 1$. $\square$

Exercice 40

Avancé

Jeu à mise et variance. Un jeu coûte

4

€ la partie. On lance un dé équilibré et l'on reçoit un nombre d'euros égal au double du résultat. Soit

G

le gain algébrique (gain reçu moins la mise).

Exprimer

G

en fonction du résultat

D

du dé, puis établir

E(G)

On reçoit $2D$ et l'on paie $4$, donc $G = 2D - 4$. Par linéarité, $E(G) = 2\,E(D) - 4 = 2 \times 3{,}5 - 4 = 7 - 4 = 3$ € : le jeu est favorable.

Sachant que

V(D) = \dfrac{35}{12}

, calculer

V(G)

$G = 2D - 4$, donc $V(G) = 2^2\,V(D) = 4 \times \dfrac{35}{12} = \dfrac{140}{12} = \dfrac{35}{3} \approx 11{,}67$.

4 problèmes de synthèse

Problème 1 — Loi, espérance et variance

Facile

Une variable aléatoire

X

a la loi de probabilité suivante :

$x_i$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$P(X = x_i)$	$0{,}1$	$0{,}4$	$0{,}3$	$0{,}2$

Partie A — Vérification et espérance

Vérifier qu'il s'agit d'une loi de probabilité.

$0{,}1 + 0{,}4 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1$ et toutes les valeurs sont positives : c'est bien une loi de probabilité.

Calculer

E(X)

$E(X) = -1 \times 0{,}1 + 0 \times 0{,}4 + 1 \times 0{,}3 + 2 \times 0{,}2 = -0{,}1 + 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}6$.

Partie B — Dispersion

Calculer

E(X^2)

puis

V(X)

$E(X^2) = 1 \times 0{,}1 + 0 + 1 \times 0{,}3 + 4 \times 0{,}2 = 0{,}1 + 0{,}3 + 0{,}8 = 1{,}2$. Donc $V(X) = 1{,}2 - 0{,}6^2 = 1{,}2 - 0{,}36 = 0{,}84$.

En déduire l'écart-type

\sigma(X)

(arrondi au centième).

$\sigma(X) = \sqrt{0{,}84} \approx 0{,}92$.

Problème 2 — Un jeu de hasard

Intermédiaire

À une fête, un stand propose le jeu suivant : on tire une boule dans une urne contenant

3

boules gagnantes (gain

8

€) et

7

boules perdantes (gain

0

€). Le jeu coûte

3

€ la partie. On note

G

le gain algébrique du joueur.

Partie A — Loi du gain

Déterminer les valeurs prises par

G

et leurs probabilités.

Boule gagnante (probabilité $\dfrac{3}{10} = 0{,}3$) : gain $8 - 3 = 5$ €. Boule perdante (probabilité $0{,}7$) : gain $0 - 3 = -3$ €. Donc $G$ vaut $5$ (probabilité $0{,}3$) ou $-3$ (probabilité $0{,}7$).

Calculer

E(G)

. Le jeu est-il favorable au joueur ?

$E(G) = 5 \times 0{,}3 + (-3) \times 0{,}7 = 1{,}5 - 2{,}1 = -0{,}6$ €. Comme $E(G) < 0$, le jeu est **défavorable** au joueur (il perd $0{,}6$ € en moyenne par partie).

Partie B — Prix équitable

Quel devrait être le prix de la partie pour que le jeu soit équitable ?

Sans la mise, le gain espéré est $8 \times 0{,}3 = 2{,}4$ €. Le jeu est équitable si la mise vaut $2{,}4$ € (l'espérance du gain algébrique est alors $2{,}4 - 2{,}4 = 0$).

Problème 3 — Transformation affine

Difficile

Une variable aléatoire

X

a pour espérance

E(X) = 10

et pour variance

V(X) = 4

Partie A — Nouvelle variable

On pose

Y = 3X + 2

. Calculer

E(Y)

V(Y)

\sigma(Y)

$E(Y) = 3E(X) + 2 = 32$. $V(Y) = 3^2 V(X) = 9 \times 4 = 36$. $\sigma(Y) = \sqrt{36} = 6$ (ou $|3|\sigma(X) = 3 \times 2 = 6$).

On pose

Z = -2X + 1

. Calculer

E(Z)

\sigma(Z)

$E(Z) = -2 \times 10 + 1 = -19$. $\sigma(Z) = |-2|\,\sigma(X) = 2 \times 2 = 4$.

Partie B — Variable centrée réduite

Déterminer les réels

a > 0

b

tels que

T = aX + b

vérifie

E(T) = 0

V(T) = 1

$V(T) = a^2 V(X) = 4a^2 = 1$ donne $a = \dfrac{1}{2}$ (car $a > 0$). $E(T) = aE(X) + b = \dfrac{1}{2}\times 10 + b = 5 + b = 0$ donne $b = -5$. Ainsi $T = \dfrac{1}{2}X - 5 = \dfrac{X - 10}{2}$.

Problème 4 — Deux dés et décision

Avancé

On lance deux dés équilibrés à six faces et on note

X

le plus grand des deux résultats obtenus (ou la valeur commune en cas d'égalité).

Partie A — Loi de X

Montrer que

P(X = k) = \dfrac{2k - 1}{36}

pour

k

1

6

, et vérifier que la somme vaut

1

$X = k$ signifie que les deux dés sont $\leqslant k$ mais pas tous les deux $\leqslant k - 1$ : $P(X \leqslant k) = \dfrac{k^2}{36}$, donc $P(X = k) = \dfrac{k^2 - (k-1)^2}{36} = \dfrac{2k - 1}{36}$. La somme $\sum_{k=1}^{6}(2k - 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36$, donc $\sum P(X = k) = \dfrac{36}{36} = 1$.

Partie B — Espérance

Calculer

E(X)

(donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au centième).

$E(X) = \dfrac{1}{36}\sum_{k=1}^{6} k(2k - 1) = \dfrac{1}{36}(1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11)$. Le calcul donne $1 + 6 + 15 + 28 + 45 + 66 = 161$, donc $E(X) = \dfrac{161}{36} \approx 4{,}47$.

Un joueur gagne

X

euros mais paie

5

€ pour jouer. Le jeu est-il favorable ?

Le gain algébrique est $G = X - 5$, d'espérance $E(G) = E(X) - 5 = \dfrac{161}{36} - 5 = \dfrac{161 - 180}{36} = -\dfrac{19}{36} \approx -0{,}53$ €. Comme $E(G) < 0$, le jeu est **défavorable** au joueur.